二分法及迭代法求解非线性方程根

二分法及迭代法求解非线性方程根

班级：姓名：方学号：日期：

一、实验目的

1、熟悉二分法及迭代法求解非线性方程根的数值算法；

2、用matlab软件实现二分法及迭代法，掌握迭代法的收敛性和收敛速度问

题及其加速方法；

二、基本理论及背景

1、牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方，但是选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果，再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。

2、牛顿迭代理论推导：设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y =

f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－

f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值；

3、参考《二分法求非线性方程根》，实现二分算法，完成下面的题目：

求方程○1的根，精度至少达到10-6；

比较迭代下列迭代法求解○1中方程根的收敛性：

○2,；

用牛顿法设计迭代函数求解○1中方程的根（精度至少达到10-6），并与○2中收敛的迭代法比较收敛的速度。。

三、算法设计及实现

1、设计：方程○1function f=fun1(x)

f=exp(x)-x-3;；

○2function y=Exp2(x)

y=exp(x)-3;

function y=Exp3(x)

y=log(x+3);

牛顿迭代：

function df=Exp4(x)

df=exp(x)-1。

四、实验步骤

1、○1打开matlab软件，新建ErFen_Root.m文件,在窗口中编辑二分法数值积分函数程序代码,并保存在指定的文件夹下,在Current Directory窗口右边点击《Browse For Folder》按钮指向ErFen_Root.m文件；

○2在Command Window中编辑相应要计算的题目的数值函数及相应的题目的表达式。

2、输出结果和初步分析说明（见附件一）。

五、使用说明实验结果分析

1、在Command Window窗口中编辑要调用的函数名与指定的函数名字不同导致出现错误，通过改正与函数名相同即可；在调用函数时要用单引号引用。六、算法的改进和实验总结

在用二分法迭代求解的过程中，被调用的函数需要清楚的描述所要执行的问题的求解过程，在matlab函数调用时，执行函数一定要与函数同名。

七、源程序（见附件二）

附件一：

>> [val,n]=ErFen_Root('fun1',[0 3],1e-6)

0 1.5000 3.0000 -2.0000 -0.0183 14.0855

1.5000

2.2500

3.0000 -0.0183

4.2377 14.0855

1.5000 1.8750

2.2500 -0.0183 1.6458 4.2377

1.5000 1.6875 1.8750 -0.0183 0.7184 1.6458

1.5000 1.5938 1.6875 -0.0183 0.3284 0.7184

1.5000 1.5469 1.5938 -0.0183 0.1499 0.3284

1.5000 1.5234 1.5469 -0.0183 0.0645 0.1499

1.5000 1.5117 1.5234 -0.0183 0.0228 0.0645

1.5000 1.5059 1.5117 -0.0183 0.0022 0.0228

1.5000 1.5029 1.5059 -0.0183 -0.0081 0.0022

1.5029 1.5044 1.5059 -0.0081 -0.0030 0.0022

1.5044 1.5051 1.5059 -0.0030 -0.0004 0.0022

1.5051 1.5055 1.5059 -0.0004 0.0009 0.0022

1.5051 1.5053 1.5055 -0.0004 0.0002 0.0009

1.5051 1.5052 1.5053 -0.0004 -0.0001 0.0002

1.5052 1.5053 1.5053 -0.0001 0.0001 0.0002

1.5052 1.5052 1.5053 -0.0001 -0.0000 0.0001

1.5052 1.5053 1.5053 -0.0000 0.0000 0.0001

1.5052 1.5052 1.5053 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000

1.5052 1.5052 1.5052 -0.0000 0.0000 0.0000