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matlab二分法
matlab二分法MATLAB二分法是一种常用的求解非线性方程的数值解法，它通过不断地将定义域分成若干个子区间，从而找到近似解。
与梯形法和牛顿迭代法相比，MATLAB 二分法又称为“分治法”，是一种简单、直观、快速和有效的求解非线性方程的数值解法。
1. 二分法原理MATLAB 二分法是根据“分而治之”的思想来求解非线性方程的数值解的。
它的基本思想是，将定义域分成两个子区间，其中一个子区间的函数值的符号一定是固定的，另一个子区间的函数值的符号也是固定的，只有当它们的符号相反时，才能确定解存在于这两个子区间之间。
然后，再对缩小的子区间重复以上操作，进而确定非线性方程的近似解，也就是所谓的“黄金分割法”。
2. MATLAB 二分法的步骤（1）始条件首先，要将定义域分成两个子区间，在每一个子区间内，假定函数值的符号是固定的；确定迭代初值 $x_0，比如$x_0=0.5；（2）代计算求出迭代第二值 $x_1，即 $x_1=x_0+frac{b-x_0}{2}，计算出$x_1$值，计算函数值的符号；（3）晕条件当求得的函数值的符号与定义域中一边的函数值的符号相反时，认为解存在于此子区间之间，继续将所取得的子区间继续缩小，直到定义域中的某两个端点接近，或者函数值的绝对值小于指定的误差范围，此时称为收敛；（4）的输出将收敛时的根 $x_n$ 作为解的输出。
3. MATLAB 二分法的优缺点（1） MATLAB 二分法的优点MATLAB 二分法具有简单、直观、快速和有效的特点，只要能够确定函数在定义域中的一边的函数值的符号，就可以求出近似解。
（2） MATLAB 二分法的缺点MATLAB 二分法容易收敛到局部极小值，而无法收敛到全局最优值；同时，它也不适用于函数值在定义域内不连续或周期变化的情况。
4. MATLAB 二分法的应用MATLAB 二分法在实际工程中广泛应用，主要用于求解非线性方程、解决二次规划问题、求解非线性最小化问题、结构优化问题等。
MATLAB应用 求解非线性方程
第7章 求解非线性方程7.1 多项式运算在MATLAB 中的实现一、多项式的表达n 次多项式表达为：n a +⋯⋯++=x a x a x a p(x )1-n 1-n 1n 0，是n+1项之和在MATLAB 中，n 次多项式可以用n 次多项式系数构成的长度为n+1的行向量表示[a0, a1,……an-1,an]二、多项式的加减运算设有两个多项式n a +⋯⋯++=x a x a x a p1(x )1-n 1-n 1n 0和m b +⋯⋯++=x b x b x b p2(x )1-m 1-m 1m 0。
它们的加减运算实际上就是它们的对应系数的加减运算。
当它们的次数相同时，可以直接对多项式的系数向量进行加减运算。
当它们的次数不同时，应该把次数低的多项式无高次项部分用0系数表示。
例2 计算()()1635223-+++-x x x xa=[1, -2, 5, 3]; b=[0, 0, 6, -1]; c=a+b例 3 设()6572532345++-+-=x x x x x x f ，()3532-+=x x x g ，求f(x)+g(x)f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3]; g1=[0, 0, 0, g];%为了和f 的次数找齐 f+g1, f-g1三、多项式的乘法运算conv(p1,p2)例4 在上例中，求f(x)*g(x)f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3];conv(f, g)四、多项式的除法运算[Q, r]=deconv(p1, p2)表示p1除以p2，给出商式Q(x)，余式r(x)。
Q,和r 仍为多项式系数向量 例4 在上例中，求f(x)/g(x)f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3];[Q, r]=deconv(f, g)五、多项式的导函数p=polyder(P)：求多项式P 的导函数p=polyder(P ,Q)：求P ·Q 的导函数[p,q]=polyder(P ,Q)：求P/Q 的导函数，导函数的分子存入p ，分母存入q 。
用Matlab编写二分法和Newton迭代法求解非线性函数
⽤Matlab编写⼆分法和Newton迭代法求解⾮线性函数1、⼆分法原理：若f的值在C[a, b]中，且f (a) · f (b) < 0，则f在 (a, b) 上必有⼀根。
实现算法流程：2、Newton迭代法迭代公式：⼏何意义：3、求解问题⽤Newton法和⼆分法求的解。
4、代码实现1 clear;close;clc2 a=0;b=1;%根区间3 e=10^(-6);%根的容许误差4 [X , N]=dichotomy(e,a,b);%⼆分法5 p0=0.5;%初始值6 N=15;%迭代次数7 [X1]=Newdon(p0,e,N);%Newton迭代法89 function [X , N]=dichotomy(deta,a,b)10 % 函数dichotomy:⼆分法11 %输⼊值：12 %fun:⽅程函数13 %deta:根的容许误差14 %有根区间：[a,b]15 %输出值16 %X:求解到的⽅程的根17 %N:总的迭代次数18 N=1+fix(log2((b-a)/deta));%由公式7.2求得,取整数|X_N-X*|<=(b-a)/2^N<deta,求N19 n=1;20 f1=myfunction(a);21 f2=myfunction(b);22if (f1*f2>0)23 disp('根不在输⼊的区间⾥，请重新输⼊区间');24else25while n <= N26 x=(a+b)/2;27if myfunction(a)*myfunction(x)>028 a=x;29else30 b=x;31 end32 n=n+1;33 end34 X=x;35 fprintf('第%d次⼆分法求出的⽅程的根:\n',N);36 fprintf('X=\n');37 disp(X);38 end39 end4041 function [P]=Newdon(p0,TOL,N)42 %求⽅程组的解43 %输⼊参数44 %初始值：p045 %误差容限:TOL46 %最⼤迭代次数:N47 %输出参数：48 %⽅程近似解：p49 %或失败信息“Method failed”50 format long;51 n=1;%初始迭代次数52 syms x;53while n<=N54if abs(subs(diff(myfunction(x)),x,p0))<TOL55 P=p0;56break;57else58if subs(diff(myfunction(x),2),x,p0)==059 disp('Method failed');60break;61else62 p=p0-myfunction(p0)/subs(diff(myfunction(x)),x,p0);63 p=eval(p);%将exp的值转为⼩数值64if(abs(p-p0)<TOL)65 P=p;66break;67else68 p0=p;69 end70 end71 end72 n=n+1;73 end74 % P=vpa(P,10);%将分数转为⼩数并保留8位⼩数75 fprintf('第%d次NeWton迭代法求出的⽅程的根:\n',N);76 fprintf('P=\n');77 disp(P);78 end7980 function f=myfunction(x)81 f=x*exp(x)-1;82 end5、求解结果。
数值分析 第二章 基于MATLAB的科学计算—非线性方程(组)
科学计算—理论、方法及其基于MATLAB 的实现与分析解非线性方程（组）（一）直接法二分法：设方程()0=x f 在区间[]b a ,上有唯一解，并且()()0<b f a f ，如方程()f x x x x x =-++=3223030.sin .（1）首先要确定适当的包含根的区间，这可以依据闭区间上连续函数的介值定理来确定，例如，()f 1110=-+<sin ，()f 222090=->sin .，所以方程 （1）至少有一个实根属于区间[]12，，图1表明区间[]12，中只含有一个根，显然方程 （1）的根不易直接求得。
在区间[-1，0]、[0，1]和[1，2]的情形，如下图１所示 例１ plotNL_fun01.mplotNL_fun01clearx=-1:0.05:2;f=x.^3-2.3*x.^2+x.*sin(x)+0.3; plot(x,f,'r',x,0*x,'k')title('The Image of f(x)=x^3-2.3*x^2+x*sin(x)+0.3') xlabel('\fontsize {12} \fontname {宋体} 图１') axis square二分法的求根过程：用*x 表示方程()0=x f 在区间[]b a ,上的根，对于给定的精度要求0>ε，取区间[]b a ,的中点21ba x +=，并按下式进行判断： ()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧∈⇒<∈⇒<=⇒=],[0],[001*11*1*11b x x b f x f x a x a f x f x x x f （２） 以()()01<a f x f 为例，如果ε≤-2ab ，那么区间[]1,x a 内的任何一点都可以作为方程()0=x f 的近似根。
二分法适用于一个方程的场合，收敛速度是线性的，二分次数的估计：()b aN b a N-≤⇒≥--22εεln ln ln （３） ２、黄金分割法：在区间[]b a ,内取对称的两点：()()()⎩⎨⎧-+=--+=a b a x a b a x ββ211 （４） 使得()()()()()618.025125101102221≈+-=−−→−±-=⇒=-+⇒--=--=--=--->ββββββββa b a b ab a x a x a x a b a b按这种方法选取点1x 和2x ，每次去掉的区间长度至少是原区间长度的0.618倍，()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∉∈⇒<⋃∉∈⇒<∉∈⇒<=⇒==⇒=],[],[0],[],[],[0],[],[0002*2*221*21*211*1*1*22*11x a x b x x b f x f b x x a x x x x x f x f b x x x a x a f x f x x x f x x x f （５） 适用于一个方程的场合，收敛速度是线性的，迭代次数的估计：()()215lnln ln 215--->⇔<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b N a b Nεε （６） （二）迭代法首先将方程（组）写成等价的迭代形式：()()0f x x x ϕ=⇔= （７）由此确定了相应的迭代法:()[]10,n n x x x a b ϕ+=⎧⎪⎨∀∈⎪⎩ （８）迭代收敛的图像解释对于非线性方程（组）的迭代法来说，同样面临收敛性问题，为说明收敛性条件，先看下面的例子：例2：让我们来求如下方程的根()f x x x x x =-++=3223030.sin .下面，我们采用迭代法求方程 （１）位于区间]01[，-中的根，为此构造迭代算法如下：()()x x xx g x -+==3.2sin 3.0 （９）()()x g x x x x n n nn n +==+-10323.sin .， n =12，， （１０）在区间]01[，-中任取一个迭代初值x 0，如取初值8.00-=x ．执行下面的程序：EqutIteration.m:open EqutIteration.m EqutIterationN =29下面欲求１．５附近的根，为此分别取初值4.10=x ，9.10=x ，迭代的结果如下：open Ex_IteraConv01 Ex_IteraConv01N = 31收敛性定理：（收敛的充分性条件）设方程()f x =0在[]a b ，上存在唯一解，()x g x =是方程的等价形式，如果１、()g x 在[]a b ，上连续可微； ２、对任何x a b ∈[]，，()g x a b ∈[]，； ３、()'≤<g x L 1，则对任何x a b 0∈[]，，由迭代算法()x g x n n +=1， （１１）生成的序列{}x n 收敛于方程()f x =0在[]a b ，上的唯一解。
用二分法求方程的近似解 课件
________，第二次应计算________．以上横线应填的内容
分别为( )
A．(0，0.5)，f(0.25)
B．(0，1)，f(0.25)
C．(0.5，1)f(0.75)
D．(0，0.5)，f(0.125)
解析：因为 f(0)<0，f(0.5)>0，故 x0∈(0，0.5)．依二 分法，第二次应计算 f(0.25)．
答案：A
3．用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时，经计
算，得 f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，f(0.74)>0，则函
数的一个精确度为 0.1 的正实数零点的近似值为( )
A．0.64
B．0.74
C．0.7
D．0.6
解析：因为 f(0.72)>0，f(0.68)<0，所以零点在区间
用二分法求方程的近似解
1．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y ＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近 似值的方法叫作二分法．
温馨提示 二分法求函数零点的适用条件：①y＝f(x) 的图象在区间[a，b]上连续不断；②f(a)f(b)<0.
易错警示：解答本题时，极易由于忽视精确度而致错． 防范措施：利用二分法求方程的根，要注意在计算到 第几步时，区间(an，bn)的长度才小于精确度．
区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1，4]
B．[－2，1]
C．[－2，2.5]
D．[－0.5，1]
解析：(1)由图象可知，选项 B 中的函数的零点左右
二分法,牛顿迭代法,matlab
二分法、牛頓迭代法求方程近似解在一些科學計算中常需要較為精確的數值解，本實驗基於matlab 給出常用的兩種解法。
本實驗是以解決一個方程解的問題說明兩種方法的精髓的。
具體之求解方程e^(-x)+x^2-2*x=0，精度e<10^-5;;程序文本文檔如下%%%%%%二分法求近似解cleardisp('二分法求方程的近似解')format longsyms xf=inline('exp(-x)+x^2-2*x');%原函數%通過[x,y]=fminbnd(f,x1,x2)求出極小值點和極小值，進而確定%區間端點，從而確定解區間矩陣CX=[];C=[0 1.16;1.16 2] ; %C(:,1)為解區間的左端點，C(:,2)為解區間右端點ss=length(C); %統計矩陣C的行數，即為方程解的個數for i=1:ssa=C(i,1);b=C(i,2);%f(a)>=0,f(b)<=0e1=b-a;%解一的精度e0=10^-5;%精度ya=f(a);while e1>=e0x0=1/2*(a+b);y0=f(x0);if y0*ya<=0b=x0;elsea=x0;ya=y0;ende1=b-a;endA=[a,b,e1];%解的區間和精度X=[X;A];%解與精度構成的矩陣endX%%%%%%%牛頓迭代法disp('牛頓迭代法解方程的近似解')clear %清空先前變量syms x %定義變量y=exp(-x)+x^2-2*x;%原函數f=inline(y);f1=diff(y); %一階導函數g=inline(f1);format long %由於數值的默認精度為小數點后四位，故需要定義長形X=[];C=[0 1.16;1.16 2] ; %C(:,1)為解區間的左端點，C(:,2)為解區間右端點ss=length(C); %統計矩陣C的行數，即為方程解的個數for i=1:ssa=C(i,1);b=C(i,2);%f(a)>=0,f(b)<=0e0=10^-5; %要求精度i=1; %迭代次數x0=(a+b)/2;A=[i,x0]; %迭代次數，根值的初始方程t=x0-f(x0)/g(x0); %%%%迭代函數while abs(t-x0)>=e0 %%迭代循環i=i+1;x0=t;A=[A;i,x0];t=x0-f(x0)/g(x0);endA ;B=A(i,:);%迭代次數及根值矩陣X=[X;B];endX運行結果如下如若使用matal內置函數fzero,得到如下結果由兩者求得的結果知，使用函數fzero求得的結果精度不夠。
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序1. fzero函数：fzero函数是MATLAB中最常用的求解非线性方程的函数之一、它使用了割线法、二分法和反复均值法等多种迭代算法来求解方程。
使用fzero函数可以很方便地求解单变量非线性方程和非线性方程组。
例如，要求解方程f(x) = 0，可以使用以下语法：``````2. fsolve函数：fsolve函数是MATLAB中求解多维非线性方程组的函数。
它是基于牛顿法的迭代算法来求解方程组。
使用fsolve函数可以非常方便地求解非线性方程组。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：``````3. root函数：root函数是MATLAB中求解非线性方程组的函数之一、它采用牛顿法或拟牛顿法来求解方程组。
使用root函数可以非常方便地求解非线性方程组。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：``````4. vpasolve函数：vpasolve函数是MATLAB中求解符号方程的函数。
它使用符号计算的方法来求解方程，可以得到精确的解。
vpasolve函数可以求解多变量非线性方程组和含有符号参数的非线性方程。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：```x = vpasolve(F(x) == 0, x)```vpasolve函数会返回方程组的一个精确解x。
5. fsolve和lsqnonlin结合：在MATLAB中，可以将求解非线性方程转化为求解最小二乘问题的形式。
可以使用fsolve函数或lsqnonlin函数来求解最小二乘问题。
例如，要求解方程f(x) = 0，可以将其转化为最小二乘问题g(x) = min，然后使用fsolve或lsqnonlin函数来求解。
具体使用方法可以参考MATLAB官方文档。
6. Newton-Raphson法手动实现：除了使用MATLAB中的函数来求解非线性方程，还可以手动实现Newton-Raphson法来求解。
用二分法求方程的近似解 课件
探究二 利用二分法求方程的近似值 [典例 2] 求方程 x2＝2x＋1 的一个近似解(精确度为 0.1)． [解析] 设 f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0， ∴在区间(2,3)内，方程 x2－2x－1＝0 有一实数根，记为 x0 取 2 与 3 的平均 数 2.5，∵f(2.5)＝0.25>0， ∴2<x0<2.5. 再取 2 与 2.5 的平均数 2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0 ∴2.25<x0<2.5.
二分法的应用问题的解决思路： (1)将实际问题抽象成数学模型，提取数据． (2)建立关系式，并求出定义域或解的区间． (3)利用二分法求其近似值．
3．在 16 枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(真币重量大 于假币重量)，现在只有一台天平，请问：如何才能发现这枚假币？ 解析：用二分法，第一次把 16 枚金币分成两组，每组 8 枚，称重后确定出假币 所在的那一组(较轻的一组)，再把较轻的一组的 8 枚金币分成两组，每组 4 枚， 称重后确定假币在哪一组(较轻的一组)，依次下去，即可发现这枚假币．
f(1.187 5)·f(1.25)<0， ∴x0∈(1.187 5,1.25)． ∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1， ∴1.187 5 可作为这个方程的实数解．
探究三 二分法的实际应用 [典例 3] 如图所示，有一块边长为 15 cm 的正方形铁皮，将其四 个角各截去一个边长为 x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的 盒子． (1)求出盒子的体积 y(cm3)以 x(cm)为自变量的函数解析式，并讨 论这个函数的定义域； (2)如果要做成一个容积是 150 cm3 的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长 x 是 多少？(精确到 0.1 cm)．
Matlab非线性方程数值解法
Matlab⾮线性⽅程数值解法实验⽬的⽤Matlab实现⾮线性⽅程的⼆分法、不动点迭代法实验要求1. 给出⼆分法算法和不动点迭代算法2. ⽤Matlab实现⼆分法3. ⽤Matlab实现不动点迭代法实验内容（1）在区间[0,1]上⽤⼆分法和不动点迭代法求的根到⼩数点后六位。
（2）⼆分法的基本思想：逐步⼆分区间[a,b]，通过判断两端点函数值的符号，进⼀步缩⼩有限区间，将有根区间的长度缩⼩到充分⼩，从⽽，求得满⾜精度要求的根的近似值。
（3）不动点迭代法基本思想：已知⼀个近似根，构造⼀个递推关系（迭代格式），使⽤这个迭代格式反复校正根的近似值，计算出⽅程的⼀个根的近似值序列，使之逐步精确法，直到满⾜精度要求（该序列收敛于⽅程的根）。
实验步骤（1）⼆分法算法与MATLAB程序（⼆分法的依据是根的存在性定理，更深地说是介值定理）。
MATLAB程序，1 %⼆分法2 %输⼊：f(x)=0的f(x)，[a,b]的a,b，精度ep3 %输出：近似根root，迭代次数k4 function [root,k]=bisect(fun,a,b,ep)5if nargin>36 elseif nargin<47 ep=1e-5;%默认精度8else9 error('输⼊参数不⾜');%输⼊参数必须包括f(x)和[a,b]10 end11if fun(a)*fun(b)>0%输⼊的区间要求12 root=[fun(a),fun(b)];13 k=0;14return;15 end16 k=1;17while abs(b-a)/2>ep%精度要求18 mid=(a+b)/2;%中点19if fun(a)*fun(mid)<020 b=mid;21 elseif fun(a)*fun(mid)>022 a=mid;23else24 a=mid;b=mid;25 end26 k=k+1;27 end28 root=(a+b)/2;29 end⼆分法1运⾏⽰例（并未对输出格式做控制，由于精度要求，事后有必要控制输出的精度）：优化代码，减⼩迭代次数（在迭代前，先搜寻更适合的有根区间）1 %⼆分法改良2 %在⼀开始给定的区间中寻找更⼩的有根区间3 %输⼊：f(x)=0的f(x)，[a,b]的a,b，精度ep4 %输出：近似根root，迭代次数k5 %得到的根是优化区间⾥的最⼤根6 function [root,k]=bisect3(fun,a,b,ep)7if nargin>38 elseif nargin<49 ep=1e-5;%默认精度10else11 error('输⼊参数不⾜');%输⼊参数必须包括f(x)和[a,b]12 end13 %定义划分区间的分数14 divQJ=1000;15 %等分区间16 tX=linspace(a,b,divQJ);17 %计算函数值18 tY=fun(tX);19 %找到函数值的正负变化的位置20 locM=find(tY<0);21 locP=find(tY>0);22 %定义新区间23if tY(1)<024 a=tX(locM(end));25 b=tX(locP(1));26else27 a=tX(locP(end));28 b=tX(locM(1));29 end30if fun(a)*fun(b)>0%输⼊的区间要求31 root=[fun(a),fun(b)];32 k=0;33return;34 end35 k=1;36while abs(b-a)/2>ep%精度要求37 mid=(a+b)/2;%中点38if fun(a)*fun(mid)<039 b=mid;40 elseif fun(a)*fun(mid)>041 a=mid;42else43 a=mid;b=mid;44 end45 k=k+1;46 end47 root=(a+b)/2;48 end⼆分法2运⾏⽰例（同样没有控制输出）明显地，迭代次数减⼩许多。
在matlab用二分法求方程近似解的实验分析与讨论以及实验总
在matlab用二分法求方程近似解的实验分析与讨论以及实验总二分法也称为折半法，是一种求解非线性方程近似解的常用方法。
其基本思路是：利用函数在某个区间上的符号变化来找到方程的根，每次减半区间长度直到满足精度要求为止。
在Matlab中，我们可以利用循环结构和if语句来实现二分法求解非线性方程的近似解。
具体步骤如下：1. 定义函数f，并确定区间[a,b]和精度要求tol。
2. 利用while循环，当区间长度小于精度要求tol时停止循环，否则继续。
3. 每次循环先计算区间中点c=(a+b)/2，并计算函数值fc=f(c)。
4. 判断fc的符号和f(a)的符号是否相同，如果相同，则将区间左端点a赋值为c，否则将区间右端点b赋值为c。
5. 循环结束后，输出近似解x=(a+b)/2。
接下来我们以求解方程x^3-3x+1=0在区间[0,1]上的近似解为例，进行实验分析。
代码如下：```matlabfunction [x] = bisection_method()f = @(x) x^3-3*x+1; % 定义函数fa = 0; % 区间左端点b = 1; % 区间右端点tol = 1e-6; % 精度要求while (b-a)/2 > tol % 判断区间长度是否小于精度要求c = (a+b)/2; % 计算区间中点fc = f(c); % 计算函数值if f(a)*fc > 0 % 判断符号是否相同a = c; % 更新区间左端点elseb = c; % 更新区间右端点endendx = (a+b)/2; % 输出近似解end```我们运行该代码，可以得到方程的近似解为：```matlab>> bisection_method()ans =0.3473```实验分析：1. 二分法求解非线性方程的收敛性是保证的，即对于满足某些条件的方程和初始估计，二分法可以保证收敛到方程的根。
2. 在确定初始区间时，需要考虑到方程根的数量和分布。
用二分法求方程的近似解(很实用)通用课件
使用数学软件实现二分法
总结词
数学软件如Matlab、Mathematica等提 供了强大的符号计算和数值计算功能， 适合用于实现二分法。
VS
详细描述
这些数学软件通常提供了内置的二分法函 数，可以直接调用。用户只需要输入方程 的形式和初始区间，软件会自动调用二分 法函数来求解近似解。
使用在线工具实现二分法
二分法的原理
总结词
二分法基于函数的连续性和零点的存在性定理，通过不断缩小搜索区间来逼近零点。
详细描述
二分法利用了函数在区间端点上的函数值异号的性质，每次迭代都将搜索区间缩小一半，从而以较快 的速度逼近零点。这个过程一直持续到找到满足精度要求的零点或者搜索区间长度小于某个阈值。
二分法的适用范围
总结词
二分法适用于寻找连续函数在某个区间内的零点。
详细描述
二分法要求函数在零点所在的区间内连续，且在区间的端点上的函数值异号。对于一些不满足这些条件的函数， 如分段函数或有多个零点的函数，二分法可能无法找到正确的零点。因此，在使用二分法之前，需要先对函数进 行适当的分析和验证。
02
二分法的基本步骤
确定初始区间
首先需要确定方程有解的初始区间 ，可以通过代入法或观察法得到。
计算中点
在初始区间内取中点，并计算中点 的函数值。
判断中点性质
根据中点的函数值与区间端点的函 数值进行比较，确定下一步的搜索 区间。
迭代搜索
不断重复上述步骤，每次将搜索区 间缩小一半，直到达到所需的精度 要求。
求函数的零点
01
确定初始区间
同样需要确定函数有零点的初 始区间。
02
计算中点
在初始区间内取中点，并计算 中点的函数值。
二分法及其matlab程序-经典
避免数值不稳定性
对于涉及大量计算或迭代的过程，要注意数值稳定性问题， 采取适当的算法或技巧，如使用稳定的算法、增加迭代次 数等。
利用MATLAB内置函数
二分法及其matlab程序-经典
目录
• 二分法基本原理 • MATLAB编程实现二分法 • 二分法在数值计算中应用举例 • MATLAB程序优化与改进策略 • 总结与展望
01
二分法基本原理
二分法定义与思想
定义
二分法是一种求解非线性方程近似根的有效算法，其基本思想是通过不断将区间一分为二，逐步缩小求解范围， 直到满足精度要求为止。
end
root = (a + b) / 2;
VS
关键代码片段展示
end
```
运行结果分析与讨论
• 假设我们要求解非线性方程f(x)=x^3-2x-5=0在 区间[2, 3]内的根，可以调用上述bisection函数进 行求解
运行结果分析与讨论
```matlab f = @(x) x^3 - 2*x - 5;
精度控制
当区间长度|b - a|小于给定 精度时，可取中点或任一端 点作为近似最优解。
求解矩阵特征值问题
• 特征多项式构建：对于n阶矩阵A，构建特征多项式f(λ) = |A - λI|。 • 初始区间选择：确定包含特征值的初始区间[a, b]。 • 二分迭代：取中点c = (a + b) / 2，计算f(c)。若f(c) == 0，则c为特征值；否则根据f(a)、f(b)、f(c)的大小关
缺点
二分法收敛速度较慢，需要多次迭代才能得 到精确解，且对于多峰函数或者复杂函数可 能无法找到全局最优解。
非线性方程组求解及matlab实现讲解
牛顿迭代法收敛速度快，但它要求计算函数导数的值
弦截法
牛顿迭代法收敛速度快，但它要求计算函数导数的值。 在科学与工程计算中，常会碰到函数导数不易计算或 者算式复杂而不便计算的情况 弦截法的基本思想与牛顿法相似，即将非线性函数线 性化后求解。两者的差别在于弦截法实现函数线性化 的手段采用的是两点间的弦线（用差商代替导数）， 而不是某点的切线
f xk xk 1 xk xk xk 1 f xk f xk 1
弦截法示意图
弦截法注意事项
与牛顿法只需给出一个初值不同，弦截法需要给出两 个迭代初值。如果与逐步扫描法结合起来，则最后搜 索的区间的两个端点值常可作为初值 弦截法虽比牛顿法收敛速度稍慢，但在每次迭代中只 需计算一次函数值，又不必求函数的导数，且对初值 要求不甚苛刻，是工程计算中常用的有效计算方法之 一
不动点迭代 牛顿法 弦截法 抛物线法 威格斯坦法（Wegstein）
不动点迭代法
我们可以通过多种方法将方程式
f x 0
例如方程
转化为
x g x
c0
x c 0,
2
可以转化为以下不同形式
2 x x xc (1)
(2)
x
x2 c 1 c x (3) x x 2x 2 x
松弛迭代法
有些非线性方程用前面的不动点迭代法求解时， 迭代过程是发散的。这时可以引入松弛因子， 利用松弛迭代法。通过选择合适的松弛因子， 就可以使迭代过程收敛
xn1 xn xn xn
迭代法是计算数学的一种重要方法，用途很广，求解 线性方程组和矩阵特征值时也要用到这种方法
计算方法matlab实验报告
计算方法matlab实验报告计算方法MATLAB实验报告引言：计算方法是一门研究如何用计算机来解决数学问题的学科。
在计算方法的学习过程中，MATLAB作为一种强大的数值计算软件，被广泛应用于科学计算、工程计算、数据分析等领域。
本实验报告将介绍在计算方法课程中使用MATLAB 进行的实验内容和实验结果。
一、二分法求方程根在数值计算中，求解非线性方程是一个常见的问题。
二分法是一种简单而有效的求解非线性方程根的方法。
在MATLAB中，可以通过编写函数和使用循环结构来实现二分法求解方程根。
实验步骤：1. 编写函数f(x)，表示待求解的非线性方程。
2. 设定初始区间[a, b]，满足f(a) * f(b) < 0。
3. 利用二分法迭代求解方程根，直到满足精度要求或迭代次数达到预设值。
实验结果：通过在MATLAB中编写相应的函数和脚本，我们成功求解了多个非线性方程的根。
例如，对于方程f(x) = x^3 - 2x - 5，我们通过二分法迭代了5次，得到了方程的一个根x ≈ 2.0946。
二、高斯消元法解线性方程组线性方程组的求解是计算方法中的重要内容之一。
高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，它通过矩阵变换将线性方程组化为上三角矩阵，从而简化求解过程。
在MATLAB中，可以利用矩阵运算和循环结构来实现高斯消元法。
实验步骤：1. 构建线性方程组的系数矩阵A和常数向量b。
2. 利用高斯消元法将系数矩阵A化为上三角矩阵U，并相应地对常数向量b进行变换。
3. 利用回代法求解上三角矩阵U，得到线性方程组的解向量x。
实验结果：通过在MATLAB中编写相应的函数和脚本，我们成功求解了多个线性方程组。
例如，对于线性方程组：2x + 3y - z = 13x - 2y + 2z = -3-x + y + 3z = 7经过高斯消元法的计算，我们得到了方程组的解x = 1，y = -2，z = 3。
三、数值积分方法数值积分是计算方法中的重要内容之一，它用于计算函数在给定区间上的定积分。
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解一、二分法的定义对于区间[]b a ，上的连续不断且0b f a f ）＜（）（∙的函数）（x f y =，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法二、用二分法求函数）（x f y =零点x 0的近似值的一般步骤1、确定零点x 0的初始区间[]b a ，，验证0b f a f ）＜（）（∙.2.求区间），（b a 中点c .3.计算）（c f ，并进一步确定零点所在区间：（1）若0c f =）（（此时，c x 0=）,则c 就是函数零点；（2）若0c f a f ）＜（）（∙（此时，），（c a x 0∈），则令c b =（3）若0b f c f ）＜（）（∙（此时，），（b c x 0∈），则令c a =.4.判断是否达到精确度ε：若ε＜b a -，则得到零点的近似值为a（或b ）；否则重复步骤2～4三、总结通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，得到零点近似值.对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值四、题型二分法的定义与应用例1若函数y=f(x)的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=-2,f(1.25)=-0.984,f(1.375)=-0.260,f(1.40625)=-0.054,f(1.4375)=0.162,f(1.5)=0.625,那么方程f(x)=0的一个近似根(精确度0.1)为()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5解：因为f(1)<0,f(1.5)>0,所以f(1)f(1.5)<0,所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5-1=0.5>0.1;因为f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5-1.25=0.25>0.1;因为f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5-1.375=0.125>0.1;因为f(1.4375)>0,所以f(1.4375)f(1.375)<0,所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375-1.375=0.0625<0.1;所以方程f(x)=0的一个近似根(精确度0.1)是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值(包括端点值).故选：C.例2已知函数x e x x f --=）（的部分函数值如表所示：例3若函数f(x)=x³+x²-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=—2f(1.5)=0.625f(1.25)=—0.984f(1.375)=—0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=—0.054那么方程x³+x²-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A.1.25B.1.375C.1.42D.1.5解：由表格可得，函数f(x)=x³+x²-2x-2的零点在(1.40625,1.4375)之间；结合选项可知，方程x³+x²-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42;故选：C.例4设函数f(x)=x ²-2,用二分法求f(x)=0的一个近似解时，第1步确定了一个区间为），（231,到第3步时，求得的近似解所在的区间应该是()A 、），（231B 、，（2345C 、），（23811D 、，（1623811解：令(x)=x ²-2,则f(1)=-1<0,则023f >（,016745f <-=）（;所以到第二步求得的近似解所在的区间应该是，（2345；0647811f <-=）（,由023f 811f <（（知到第3步时，求得的近似解所在的区间应该是在），（23811故选：C.例5已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.1)的近似值，那么将区间(a,b)等分的次数至少是（）.解：设至少需要将区间(a,b)等分n 次，则1.02ab n ≤-,即10121n ≤所以n ≥4,即将区间(a,b)等分的次数至少是4次.故答案为：4.例6用二分法求函数f(x)=x³+5的零点可以取的初始区间是()A.[-2,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]解：二分法求变号零点时所取初始区间[a,b],应满足使f(a)·f(b)<0.由于本题中函数f(x)=x³+5,由于f(-2)=-3,f(1)=6,显然满足f(-2)f(1)<0,故函数f(x)=x³+5的零点可以取的初始区间是[-2,1],故选：A.。
matlab二分法求方程根的程序
matlab二分法求方程根的程序
二分法，又称分半法，是一种方程式根的近似值求法。
对于区间[a,b]上连续不断且f(a) ·f(b)\uc0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)。
1如果要求已知函数 f(x) = 0 的根 (x 的解)，那么
2先要找到一个区间 [a, b]，使f(a)与f(b)异号。
根据介值定理，这个区间内一定包含着方程式的根。
3求该区间的中点m=(a+b)/2，并找到 f(m) 的值。
4若 f(m) 与 f(a) 正负号相同，则取 [m, b] 为新的区间, 否则取 [a, m]。
5重复第3步和第4步，直至获得理想的精确度年才。
matlab二分法求方程的近似解
题目：matlab二分法求方程的近似解一、概述由于许多实际问题都可以用方程来描述，而有些方程并不能通过代数方法求解，因此需要利用计算机进行数值计算。
二分法是一种简单而又常用的数值计算方法，通过不断缩小一个区间来逼近方程的根，从而获得方程的近似解。
本文将介绍如何使用matlab编程实现二分法求解方程的近似解，并给出示例代码和实际应用。
二、二分法求解方程的原理1. 什么是二分法二分法又称折半法，是一种在有序数组中查找特定值的搜索算法。
它的工作原理是不断将待查找的范围分成两半，然后确定待查找值可能存在的那一半。
通过不断缩小范围，最终找到目标值或确定目标值不存在。
2. 二分法求解方程的思想对于一个非线性方程f(x)=0，如果我们能够找到两个值a和b，使得f(a)和f(b)异号，那么在[a,b]区间内一定存在方程的根。
二分法的思想就是不断将[a,b]区间缩小，从而逼近方程的根。
三、使用matlab编程实现二分法求解方程1. 确定搜索区间需要确定方程的根存在的区间[a,b]，并保证f(a)和f(b)异号。
这一步可以通过实际问题分析或者数值计算得到。
2. 定义求解函数在matlab中，需要定义方程f(x)的求解函数。
定义一个求解方程x^2-2的函数为：```matlabfunction y = func(x)y = x^2 - 2;end```3. 编写二分法求解程序在matlab中，编写二分法求解程序如下：```matlabfunction [result, iter] = binary_search(a, b, f, tol)fa = f(a);fb = f(b);if sign(fa) == sign(fb)error('f(a) and f(b) must have opposite signs');enditer = 0;while (b - a)/2 > tolc = (a + b)/2;fc = f(c);if fc == 0break;endif sign(fc) == sign(fa)a = c;fa = fc;elseb = c;fb = fc;enditer = iter + 1;endresult = (a + b)/2;end```四、示例代码及应用以方程x^2-2=0为例，使用上述编写的程序求解方程的近似解：```matlab[a, b] = [1, 2];tol = 1e-6;[result, iter] = binary_search(a, b, func, tol);fprintf('The approximate solution of x^2-2=0 is .6f, it takes d iterations\n', result, iter);```运行结果为：The approximate solution of x^2-2=0 is 1.xxx, it takes 20 iterations以上代码实现了对方程x^2-2=0近似解的求解，并且给出了迭代次数。
matlab非线性方程的解法(含牛拉解法)
非线性方程的解法(含牛拉解法）1引 言数学物理中的许多问题归结为解函数方程的问题，即,0)(=x f （1.1) 这里，)(x f 可以是代数多项式，也可以是超越函数。
若有数*x 为方程0)(=x f 的根，或称函数)(x f 的零点。
设函数)(x f 在],[b a 内连续，且0)()(<b f a f .根据连续函数的性质知道,方程0)(=x f 在区间],[b a 内至少有一个实根；我们又知道，方程0)(=x f 的根，除了极少简单方程的根可以用解析式表达外，一般方程的根很难用一个式子表达。
即使能表示成解析式的，往往也很复杂，不便计算。
所以,具体求根时，一般先寻求根的某一个初始近似值,然后再将初始近似值逐步加工成满足精度要求为止.如何寻求根的初始值呢？简单述之，为了明确起见，不妨设)(x f 在区间],[b a 内有一个实的单根,且0)(,0)(><b f a f .我们从左端出点a x =0出发,按某一预定的步长h 一步一步地向右跨,每跨一步进行一次根的“搜索”,即检查每一步的起点k x 和1+k x (即，h x k +）的函数值是否同号。
若有：0)(*)(≤+h x f x f k k (1.2) 那么所求的根必在),(h x x k k +内，这时可取k x 或h x k +作为根的初始近似值。
这种方法通常称为“定步长搜索法"。
另外,还是图解法、近似方程法和解析法。
2 迭代法2。
1 迭代法的一般概念迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。
迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。
首先取一个精糙的近似值,然后用同一个递推公式，反复校正这个初值,直到满足预先给定的精度要求为止。
对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。
这里,主要看看解方程迭代式的构造。
对方程（1。
二分法、牛顿法、割线法、Steffencen法求非线性方程MATLAB实现
x0=b; end m=min(abs(df(a)),abs(df(b))); k=0; while abs(f(x0))>m*dlt
k=k+1; x1=x0-f(x0)/df(x0); x0=x1; fprintf('k=%d x=%.5f\n',k,x0); end
三、实验结果
%加速公式 gen=x1-(y-x1)^2/(z-2*y+x1); wucha=abs(gen-x1); time=time+1; %迭代加一次的记录 end end; %计算结果
四、结果分析
由实验结果分析可知，Steffensen 迭代算法的收敛速度在一定条件下可以 达到二次收敛，相对割线法和二分法收敛速度较快，且其在一定程度上避免了两 个值很近时造成的误差，也对牛顿法要求函数导数值这一缺点进行了克服，整体 上比较来说是一个计算量较小且有较高精度的迭代算法。
二、算法描述
MATLAB 程序代码如下： function [gen,time]=Steff(fun,x0,tol) %如果缺省误差参数，默认为 10 的-5 次方 if(nargin==2) tol=1.0e-5; end %设置误差初值 time=0; %记迭代次数 wucha=0.1; %设置前后两次迭代的误差 gen=x0; while(wucha>tol) x1=gen; y=subs(fun,x1)+x1; z=subs(fun,y)+y;
(b1
−
a1 )
；对[a2 ,b2 ] 重复上述做法得：
1
[a1, b1] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ...... ⊃ [an , bn ] ⊃ ...... 且 bn − an