用二分法求方程的近似解课件.ppt
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用二分法求方程的近似解史传奇课件
精度和稳定性
在某些情况下，牛顿法的精度和稳定性可能比二分法更高，但需要更 精确的初始猜测值。
06
二分法的应用实例
求一元方程的根
01
定义域限制
使用二分法求解一元方程时，需 要确保方程在定义域内只有一个解。
03
迭代过程
通过不断将初始区间一分为二， 并判断解所在的子区间，逐步缩
小解的搜索范围。
02
初始区间选择
感谢观看
用二分法求方程的近似解史 传奇课件
contents
目录
• 二分法简介 • 二分法的实现步骤 • 二分法的误差分析 • 二分法的优化与改进 • 二分法与其他数值方法的比较 • 二分法的应用实例
01
二分法简介
二分法的定 义
二分法，也称为二分搜索，是一种通 过不断将搜索区间一分为二来逼近函 数零点的迭代算法。
变步长二分法
总结词
变步长二分法通过调整步长来控制迭代过程，以更快速地逼近解。
详细描述
在传统的二分法中，步长是固定的。而变步长二分法则根据函数值的分布情况动态调整 步长，使得迭代过程更加灵活。这种方法可以在保证精度的同时，加快收敛速度，提高
求解效率。
05
二分法与其他数值方法的比较
与迭代法的比 较
为了减小迭代过程中的误差累积， 需要尽可能提高函数值计算的精 度。这可能需要对使用的数学库 或计算环境进行一些配置和调整。
设置合适的终止条
件
为了防止数值稳定性问题，需要 设置合适的终止条件。这个条件 应该根据问题的特性和所需的精 度来确定。
04
二分法的优化与改进
多重二分法
总结词
通过多次应用二分法，多重二分法能够加速 收敛，减少迭代次数，提高求解效率。
在某些情况下，牛顿法的精度和稳定性可能比二分法更高，但需要更 精确的初始猜测值。
06
二分法的应用实例
求一元方程的根
01
定义域限制
使用二分法求解一元方程时，需 要确保方程在定义域内只有一个解。
03
迭代过程
通过不断将初始区间一分为二， 并判断解所在的子区间，逐步缩
小解的搜索范围。
02
初始区间选择
感谢观看
用二分法求方程的近似解史 传奇课件
contents
目录
• 二分法简介 • 二分法的实现步骤 • 二分法的误差分析 • 二分法的优化与改进 • 二分法与其他数值方法的比较 • 二分法的应用实例
01
二分法简介
二分法的定 义
二分法，也称为二分搜索，是一种通 过不断将搜索区间一分为二来逼近函 数零点的迭代算法。
变步长二分法
总结词
变步长二分法通过调整步长来控制迭代过程，以更快速地逼近解。
详细描述
在传统的二分法中，步长是固定的。而变步长二分法则根据函数值的分布情况动态调整 步长，使得迭代过程更加灵活。这种方法可以在保证精度的同时，加快收敛速度，提高
求解效率。
05
二分法与其他数值方法的比较
与迭代法的比 较
为了减小迭代过程中的误差累积， 需要尽可能提高函数值计算的精 度。这可能需要对使用的数学库 或计算环境进行一些配置和调整。
设置合适的终止条
件
为了防止数值稳定性问题，需要 设置合适的终止条件。这个条件 应该根据问题的特性和所需的精 度来确定。
04
二分法的优化与改进
多重二分法
总结词
通过多次应用二分法，多重二分法能够加速 收敛，减少迭代次数，提高求解效率。
3.1.1二分法求方程的近似解
又可证f(x)在定义域(0,+∞）上是单调递 增的，故它仅有一零点。
已知f(2)<0,f(3)>0，求方程f(x)=lnx+2x-6=0的近根似解
-
-
+
f (2.5) 0, f (3) 0 2.5 x1 3
2
2.5
3
-
- + + f (2.5) 0, f (2.75) 0 2.5 x1 2.57
ln x 2x
f (2) 0, f
6零点在2，3
(3) 0
次数
ab 2
f ( a b) 取a
2
取b
区间长度：
ba
1 2.5
-0.084
(22.5.5,33)
0.5
2 2.75
0.512
(22..55 , 22.7.755 )
0.25
3 2.625
0.215
(2.5, 2.625)
0.125
3.1.2 用二分法求方程的近似解
数学发现之旅从这里开始……
复习思考：
1.零点存在的判定
如果函数y=f (x)在区间[a, b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0, 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根.
4 2.5625
0.066
(2.5, 2.5625)
0.0625
由于|2.5625-2.5|=0.0625<0.1
f (x) ln x 2x 6
所以方程的近似解为:
x 2.5625或2.5
2.5
2.75
2
已知f(2)<0,f(3)>0，求方程f(x)=lnx+2x-6=0的近根似解
-
-
+
f (2.5) 0, f (3) 0 2.5 x1 3
2
2.5
3
-
- + + f (2.5) 0, f (2.75) 0 2.5 x1 2.57
ln x 2x
f (2) 0, f
6零点在2，3
(3) 0
次数
ab 2
f ( a b) 取a
2
取b
区间长度：
ba
1 2.5
-0.084
(22.5.5,33)
0.5
2 2.75
0.512
(22..55 , 22.7.755 )
0.25
3 2.625
0.215
(2.5, 2.625)
0.125
3.1.2 用二分法求方程的近似解
数学发现之旅从这里开始……
复习思考：
1.零点存在的判定
如果函数y=f (x)在区间[a, b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0, 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根.
4 2.5625
0.066
(2.5, 2.5625)
0.0625
由于|2.5625-2.5|=0.0625<0.1
f (x) ln x 2x 6
所以方程的近似解为:
x 2.5625或2.5
2.5
2.75
2
二分法求方程的近似解( 公开课PPT课件)
另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题． 其中运用“二分法”进行区间的缩小、总结出“运用二分法求 方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学 生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
02 教学目标
四、教学目标
过程方法与能力目标
知识与技能目标
（1.体会二分法的思想，掌 握二分法求方程近似解的 一般步骤 。 （2.会用二分法求方程的近 似解，并能用计算器辅助 求解。 （3.会用二分法思想解决其
二、教学内容分析
二分法体现了数学的逼近思想，对 学生以后学习球的面积体积公式的 由来等微积分的知识起了奠基的作 用，同时在日常生活也常常涉及到 这种思想。
教材从上一节的一道例题出 发引起思考，通过具体的操 作得到用二分法求函数零点 近似值的步骤，这其中体现 了新课改特别强调的从特殊 到一般的归纳推理。
给定精度ε ，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε ；
2.求区间(a,b)的中点c；
(1) 启发诱导，揭示知识形成过程，让学生
参与教学过程，倡导布鲁纳的发现教学：
一个零点，即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
思考1：零点唯一吗？
思考2：若只给条件f(a) · f(b)<0能否保证在(a,b)有零点？
思考3：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条
曲线：且f(a)·f(b)>0，是否在(a,b)内函数就没有零点？
观察探究
25
35
价格（元）
10
27
50
数学源于生活，用于生活 想一 想
思考1：竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？ 如何确定价格的最可能的范围？
02 教学目标
四、教学目标
过程方法与能力目标
知识与技能目标
（1.体会二分法的思想，掌 握二分法求方程近似解的 一般步骤 。 （2.会用二分法求方程的近 似解，并能用计算器辅助 求解。 （3.会用二分法思想解决其
二、教学内容分析
二分法体现了数学的逼近思想，对 学生以后学习球的面积体积公式的 由来等微积分的知识起了奠基的作 用，同时在日常生活也常常涉及到 这种思想。
教材从上一节的一道例题出 发引起思考，通过具体的操 作得到用二分法求函数零点 近似值的步骤，这其中体现 了新课改特别强调的从特殊 到一般的归纳推理。
给定精度ε ，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε ；
2.求区间(a,b)的中点c；
(1) 启发诱导，揭示知识形成过程，让学生
参与教学过程，倡导布鲁纳的发现教学：
一个零点，即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
思考1：零点唯一吗？
思考2：若只给条件f(a) · f(b)<0能否保证在(a,b)有零点？
思考3：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条
曲线：且f(a)·f(b)>0，是否在(a,b)内函数就没有零点？
观察探究
25
35
价格（元）
10
27
50
数学源于生活，用于生活 想一 想
思考1：竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？ 如何确定价格的最可能的范围？
3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一 数学 优秀课件)
f (2.75) 0.512 0
f (2.5) f (2.75) 0 所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于 (2,3) (2.5,3) (2.5, 2.75) 所以零点所在的范围确实越来越小
用二分法求方程的近似解：
口 诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
x 2 bx c, x 0 5.设函数 f ( x) ，若f (– 4) = f (0)， x0 2,
f (– 2) = – 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为（ （B ） 2 （C ）3 （D ）4
）
（A ）1
6.若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |（a > 0且a ≠ 1）的
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
y
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去： 若要求结精确度为0.1，则何时停 止操作？
y=x2-2x-1
-1 0 1 2 3 2.25 2
15
10
y
-
(2,3)
+
2.5 2.75 2.625
-0.084
0.512
-20
1
5
（2.5，3） +
0.5
-10 0.25
-(2.5,2.75)+
0.215
o
5
10
x
-(2.5,2.625)+ 2.5625
(2.5,2.5625)
用二分法求方程的近似解(很实用)通用课件
使用数学软件实现二分法
总结词
数学软件如Matlab、Mathematica等提 供了强大的符号计算和数值计算功能， 适合用于实现二分法。
VS
详细描述
这些数学软件通常提供了内置的二分法函 数，可以直接调用。用户只需要输入方程 的形式和初始区间，软件会自动调用二分 法函数来求解近似解。
使用在线工具实现二分法
二分法的原理
总结词
二分法基于函数的连续性和零点的存在性定理，通过不断缩小搜索区间来逼近零点。
详细描述
二分法利用了函数在区间端点上的函数值异号的性质，每次迭代都将搜索区间缩小一半，从而以较快 的速度逼近零点。这个过程一直持续到找到满足精度要求的零点或者搜索区间长度小于某个阈值。
二分法的适用范围
总结词
二分法适用于寻找连续函数在某个区间内的零点。
详细描述
二分法要求函数在零点所在的区间内连续，且在区间的端点上的函数值异号。对于一些不满足这些条件的函数， 如分段函数或有多个零点的函数，二分法可能无法找到正确的零点。因此，在使用二分法之前，需要先对函数进 行适当的分析和验证。
02
二分法的基本步骤
确定初始区间
首先需要确定方程有解的初始区间 ，可以通过代入法或观察法得到。
计算中点
在初始区间内取中点，并计算中点 的函数值。
判断中点性质
根据中点的函数值与区间端点的函 数值进行比较，确定下一步的搜索 区间。
迭代搜索
不断重复上述步骤，每次将搜索区 间缩小一半，直到达到所需的精度 要求。
求函数的零点
01
确定初始区间
同样需要确定函数有零点的初 始区间。
02
计算中点
在初始区间内取中点，并计算 中点的函数值。
高等数学第三章第八节方程的近似解课件.ppt
内容小结
作图法 1. 隔根方法 二分法
二分法 牛顿切线法 2. 求近似根的方法 简化牛顿法
一般迭代法
1 2 x
从区间[a, b]的左端点出发 , 以定步长 h 一步步向右
搜索, 若
f (a jh) f (a ( j 1)h) 0 ( j 0,1,; a ( j 1)h b)
则区间[a jh，a ( j 1)h]内必有根 .
搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h < 0 .
2. 二分法
实根时, 要使误差不超过 103, 至少应对分区间多少次 ? 解: 设 f (x) x3 1.1x2 0.9x 1.4,则 f (x) C(, ) f (x) 3x2 2.2x 0.9 0 ( 5.67 0)
f (x)在(, )单调递增, 又
f (0) 1.4 0, f (1) 1.6 0
f (x0 ) f (x0 )
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :
xn
xn1
f (xn1) f (xn1)
(n 1,2,)
称为牛顿迭代公式
牛顿法的变形:
y
(1) 简化牛顿法
若用一常数代替 f (xn1), 即用平行
a
线代替切线, 则得简化牛顿迭代公式. o
bx
例如用 f (x0 ) 代替 f (xn1), 得
故该方程只有一个实根 , [0,1] 为其一个隔根区间, 欲使
n1
1 2n1
(1
0)
103
必需 2n1 1000 , 即 n log210001 8.96
可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值10
二、牛顿切线法及其变形
f (x) 满足 :
4.5.2 用二分法求方程的近似解-(新教材人教版必修第一册)(30张PPT)
证明：∵函数 f(x)＝2x＋3x－6， ∴f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0. ∴f(x)在区间(1,2)内有零点． 又∵f(x)是增函数， ∴函数 f(x)＝2x＋3x－6 在区间(1,2)内有唯一的零点． 设该零点为 x0，则 x0∈(1,2)，
取 x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)． 取 x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)． 取 x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0， f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)． 取 x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0， f(1.187 5)·f(1.25)<0， ∴x0∈(1.187 5,1.25)． ∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1， ∴可取 x0＝1.25，则该函数的零点近似解为 1.25.
(4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤(2)～(4)．
以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看； 同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来 判断．
预习验收 衔接课堂 1．已知函数 f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法 求解求如图所示函数 f(x)的零点时，不可能求出的零点
是( )
A．x1
B．x2
C．x3
D．x4
C 解析：观察图象可知，点 x3 的附近两旁的函数值都为负值，
所以点 x3 不能用二分法求出．故选 C.
2．已知 f(x)＝x2＋6x＋c 有零点，但不能用二分法求出，则 c 的
取 x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)． 取 x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)． 取 x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0， f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)． 取 x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0， f(1.187 5)·f(1.25)<0， ∴x0∈(1.187 5,1.25)． ∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1， ∴可取 x0＝1.25，则该函数的零点近似解为 1.25.
(4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤(2)～(4)．
以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看； 同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来 判断．
预习验收 衔接课堂 1．已知函数 f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法 求解求如图所示函数 f(x)的零点时，不可能求出的零点
是( )
A．x1
B．x2
C．x3
D．x4
C 解析：观察图象可知，点 x3 的附近两旁的函数值都为负值，
所以点 x3 不能用二分法求出．故选 C.
2．已知 f(x)＝x2＋6x＋c 有零点，但不能用二分法求出，则 c 的
4.5.2 用二分法求方程的近似解课件(人教版)
(3)计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c 就是函数的零点； ②若 f(a)f(c)＜0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c；
③若 f(c)f(b)＜0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝c. (4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或 b)；
端点(中点)
x0＝－12－2＝－1.5 x1＝－1.25－2＝－1.75 x2＝－1.275－2＝－1.875
端点或中点的函数值 f(－1)>0，f(－2)<0
f(x0)＝4.375>0
18
取值区间 (－2，－1) (－2，－1.5)
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
f(x2)≈0.736>0
(－1.937 5，－ 1.906 25)
(－1.937 5，－ 1.921 875)
20
x6＝－1.937
5－1.921 2
875＝
－1.929 687 5
f(x6)≈0.010 5>0
(－1.937 5，－ 1.929 687 5)
由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数的一个
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上连续不断； (2)f(a)·f(b)<0， 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
28
当堂达标 固双基
29
1．思考辨析
[答案]
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( ) (1)× (2)×
(2)函数 f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
4.5.2用二分法求方程的近似解课件(人教版)
(2)用二分法求函数零点近似值的步骤.
）
答案：×，×，×.
辨析2：用二分法研究函数() = 3 + 3 − 1的零点时，第一次经计算(0) <
0，(0.5) > 0，可得其中一个零点0 ∈________，第二次计算________，以上横线
上应填的内容为（ ）.
A.(0，0.5)，(0.25)
B.(0，1)，(0.25)
2.5390625
0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625
0.001
新知探索
零点所在区间
中点的值
中点函数近似
值
(2,3)
2.5
−0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
0，所以0 ∈ (1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点2 = 1.25，用信息技术算得(1.25) ≈ −0.87.因为
(1.25)(1.5) < 0，所以0 ∈ (1.25,1.5).
同理可得，0 ∈ (1.375,1.5)，0 ∈ (1.375,1.4375).
由于|1.375 − 1.4375| = 0.0625 < 0.1，所以，原方程的近似解可取为1.375.
间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
新知探索
取(2,3)的中点2.5，用计算工具算得(2.5) ≈ −0.084.因为(2.5)(3) < 0，所以零
点在区间(2.5,3)内.
再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算工具算得(2.75) ≈ 0.512.因为(2.5)(2.75) <
）
答案：×，×，×.
辨析2：用二分法研究函数() = 3 + 3 − 1的零点时，第一次经计算(0) <
0，(0.5) > 0，可得其中一个零点0 ∈________，第二次计算________，以上横线
上应填的内容为（ ）.
A.(0，0.5)，(0.25)
B.(0，1)，(0.25)
2.5390625
0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625
0.001
新知探索
零点所在区间
中点的值
中点函数近似
值
(2,3)
2.5
−0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
0，所以0 ∈ (1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点2 = 1.25，用信息技术算得(1.25) ≈ −0.87.因为
(1.25)(1.5) < 0，所以0 ∈ (1.25,1.5).
同理可得，0 ∈ (1.375,1.5)，0 ∈ (1.375,1.4375).
由于|1.375 − 1.4375| = 0.0625 < 0.1，所以，原方程的近似解可取为1.375.
间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
新知探索
取(2,3)的中点2.5，用计算工具算得(2.5) ≈ −0.084.因为(2.5)(3) < 0，所以零
点在区间(2.5,3)内.
再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算工具算得(2.75) ≈ 0.512.因为(2.5)(2.75) <
用二分法求解方程的近似解ppt课件
（4）判断是否达到精确度 ：若| a b | ，则得到零点近似值a（或b）；
否则重复步骤（2）~（4）.
例1 借助信息技术，用二分法求方程2x 3x 7 的近似解（精确度为0.1）.
解：
原方程即 2x 3x 7 ，令 f (x) 2x 3x 7 ，用信息技术画出函数 y f (x) 的图象如 图，并列出它的对应值表如下.
f (0.5) 20.53 30.5 3 0 , f (x) 在 (0, 0.5) 内有零点,
f (0.75) 20.753 30.75 3 0 f (x) 在 (0.5, 0.75) 内有零点, 方程 2x3 3x 3 0 根可以是 0.635. 故选：B.
4.用二分法研究函数 f x x3 2x 1的零点时，第一次经计算 f 0 0 ，f 0.5 0 ，
x012345678 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察图表，可知 f (1) f (2) 0 ，说明该函数在区间(1，2) 内存在零点 x0 . 取区间 (1，2) 的中点 x1 1.5 ，用信息技术算得 f (1.5) 0.33 . 因为 f (1) f (1.5) 0 ，所以 x0 (1，1.5) .
6.已知函数 f (x) 3x x 4 在区间[1, 2] 上存在一个零点，用二分法求该零点的近似 值，其参考数据如下： f (1.6000) 0.200 ， f (1.5875) 0.133 ， f (1.5750) 0.067 ， f (1.5625) 0.003 ， f (1.5562) 0.029 ， f (1.5500) 0.060 ，据此可得该零点的近
结论
可使用二分法：设电线两端分别为A、B,他首先从中点C查,用随身
带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC中
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因为|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5<0.01，所以方程的 根的近似值可取为 0.273 437 5，即 f(x)＝0 的正根近似值为 0.273 437 5.
[练习 2]用二分法求 2x＋x＝4 在[1,2]内的近似解(精确度为 0.2)．参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
x0∈(a,b))．
例1、用二分法求如图所示的函数f(x)的零点 时，不可能求出的零点是( )
A． x1 B．x2 C．x3 D．x4
[答案] C
[练习 1](1)函数 f(x)的图象如图所示，能够用二分法求出的函 数 f(x)的零点个数为( )
A．0 B．1 C．4 D．3 答案：D 解析：由图可知，图象与 x 轴有四个公共点，其中有 3 个变 号零点，故选 D.
二、新授
二分法的步骤：给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零 点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确
度ε； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)； ①若f(c)＝0，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a,b))； ③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点
解：令 f(x)＝2x＋x－4，则 f(1)＝2＋1－4<0，
f(2)＝22＋2－4>0.
区间 (1,2) (1,1.5) (1.25,1.5)
区间中点值 xn x1＝1.5 x2＝1.25
x3＝1.375
f(xn)的值及符号 f(x1)＝0.33>0
f(x2)＝－0.37<0 f(x3)＝－0.035<0
求方程 f(x)＝0 的正根(精确度为 0.01)．
[解析] 由于函数 f(x)＝3x＋xx－＋21在(－1，＋∞)上为增函数， 故在(0，＋∞)上也单调递增，因此 f(x)＝0 的正根最多有一个．
因为 f(0)＝－1＜0，f(1)＝52>0，所以方程的正根在(0,1)内， 取(0,1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表．
(2)用二分法求函数 f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条 件是( )
①f(x)在区间[a，b]是连续不断的；②f(a)·f(b)＜0； ③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0. A．①② B．①③ C．①④ D．①②③
答案：A 解析：根据二分法定义得①②正确，故选 A.
2 用二分法求方程的近似解 例 2 已知函数 f(x)＝3x＋xx－ ＋21在(－1，＋∞)上为增函数，
[讨论 7] 若给定精确度 0.3，如何选取近似值？
答案：当精确度为 0.3 时，由于|2.75－2.5|＝0.25＜0.3，所以 可以将 x＝2.5 作为函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点近似值，当然区 间[2.5,2.75]内的任意一个值都是函数零点的近似值，常取区间的 端点作为零点的近似值．
[讨论 5] 假设 f(2.5)＝0 说明什么？ 答案：若 f(2.5)＝0，则 2.5 就是函数的零点． [讨论 6] 如何进一步的缩小零点所在的区间？
答 案 ： 再 取 区 间 (2.5,3) 的 中 点 2.75 ， 用 计 算 器 算 得 f(2.75)≈0.512.因为 f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5,2.75) 内，这样一来，零点所在的范围就越来越小了．
(1.375,1.5) ∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4 在(1,2)内的近似解可取为 1.375.
作业：《课时练二十二》
谢谢观看！
[讨论 3] 为了缩小零点所在区间的范围，我们接下来应做 什么？
答案：取区间(2,3)的中点值 2.5. [讨论 4] 区间分成两段后，又怎样确定零点在哪一个小的 区间内呢？
答案：计算 f(2.5)的值，用计算器算得 f(2.5)≈－0.084.因为 f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内．
二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)＜0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法．
[想一想] 所有的函数零点都可以用二分法求吗？
答案：并不是所有的函数零点都可以用二分法求，二分法只 能求出函数的变号零点．不变号零点则不能用二分法求解．
3．1.2 用二分法求方程的近似分法求方程近似解；
2、精确度 与近似值的区别。
学习难点：1、判断函数零点所在的区间；
2、理解精确度 和近似值。
一、 课前导入 [讨论 1] 由前一节课的学习中，我们知道函数 f(x)＝ln x＋ 2x－6 存在零点，那么怎样找出这个零点呢？
答案：我们可以将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定的 精确度的要求下，可以得到零点的近似值．
[讨论 2] 求解函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点的近似值时，我 们首先应做什么？
答案：上节课，我们已经知道 f(x)的零点在区间(2,3)内，所 以求 f(x)的零点近似值第一步是确定区间[2,3]，使 f(2)·f(3)＜0.