二分法非线性方程求解

1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之（参考书籍《精通MATLAB 科学计算》，王正林等编著，电子工业出版社，2009年） “二分法非线性方程求解”

二分法的具体求解步骤如下。

（1）计算函数f(x)在区间[a,b]中点的函数值f((a+b)/2)，并作下面的判断： 如果0)2

(

)(<+b

a f a f ，转到（2）

； 如果0)2(

)(>+b a f a f ，令 2b

a a +=

，转到（1）； 如果 0)2()(=+b a f a f ，则 2b

a x +=

为一个跟。 （2）如果 ε<+-|2|b a a （ε为预先给定的精度）

，则4

3a

b x +=为一个根，否则令2b

a b +=，转到（1）。

在MATLAB 中编程实现的二分法函数为：HalfInterval 。 功能：用二分法求函数在某个区间上的一个零点。 调用格式：root=HalfInterval(f,a,b,eps). 其中，f 函数名； a 为区间左端点； b 为区间右端点；

eps 为根的精度； root 为求出的函数零点。

二分法的MATLAB 程序代码如下：

function root=HalfInterval(f,a,b,eps) %二分法求函数f 在区间[a,b]上的一个零点 %函数名：f %区间左端点：a %区间右端点：b %根的精度：eps %求出的函数零点：root if (nargin==3) eps=1.0e-4;

end

f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); %两端点的函数值f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);

if(f1==0)

root=a;

end

if(f2==0)

root=b;

end

if(f1*f2>0)

disp('两端点函数值乘积大于0!');

return;

else

root=FindRoots(f,a,b,eps); %调用求解子程序end

function r=FindRoots(f,a,b,eps)

f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);

f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);

mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2); %中点函数值if(f-1*mf>0)

t=(a+b)/2;

r=FindRoots(f,t,b,eps); %右递归

else

if(f_1*mf==o)

r=(a+b)/2;

else

if(abs(b-a)<=eps)

r=(b+3*a)/4; %输出根

else

s=(a+b)/2;

r=FindRooots(f,a,b,eps); %左递归

end

end

end

流程图：

实例应用：

采用二分法求方程0133=+-x x 在区间[0，1]上的一个根。

解： 流程图：

在MATLAB 命令窗口中输入：

r=HalfInterval('x^3-3*x+1',0,1)

运行结果：

2、编程以解决以下科学计算问题。

试验6 现有一平面上的封闭曲线，取一点建立坐标系，每隔9

弧度测一点，数据如下表： i 0和18 1 2 3 4 5 6 7 8 Xi 100 134 164 180 198 195 186 160 136 Yi

503

525

514.3 451.0 326.5 188.6 92.2

59.6

62.2

输入：r=HalfInterval('x^3-3*x+1',0,1)

输出r

调用HalfInterval 函数

开始

结束

用周期样条求曲线轮廓并作图。

分析：

将周期样条分成两部分来求，最后画在一个图上。用spline进行拟合。流程图：

源程序：

>> x1=[0 5 17 32 63 100 134 164 180 198];

y1=[280.5 324.9 369.4 413.8 458.3 503 525 514.3 451 326.5];

x11=[0:1:198];

y11=spline(x1,y1,x11);

plot(x11,y11,'*-',x1,y1,'-.rd')

hold on

x2=[198 195 186 160 136 100 66 35 15 0 ];

y2=[326.5 188.6 92.2 59.6 62.2 102.7 147.1 191.6 236.0 280.5]; x22=[198:-1:0];

y22=spline(x2,y2,x22);

plot(x22,y22,'*-',x2,y2,'-.rd') legend('计算数据','实验数据') 运行结果：

实验7 用电压V=10伏的电池给电容器，电容器上t 时刻的电压

)/ex p()()(0r t V V V t V ---=，其中0V 是电容器的初始电压，t 是充电常数，试

由下面一组V ，t 数确定0V 和r 。 t/s 0.5

1 2 3 4 5 6 7 V/V 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63

分析：

采用最小二乘法进行拟合，对V （t ）=V-（V-V 0）exp （-t/τ）两边求自然对数得到：log(V-V(t))=log(V- V 0)-t/τ

令k=-1/τ，w=log （V- V 0），x=t ，y=log （V-V （t ））。 得到方程：y=kx+w

流程图：

开始