二分法非线性方程求解

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c语言计算机编程三种方法求解非线性方程

本科专业学年论文题目：非线性方程求解比较姓名：何娟专业：计算机科学技术系班级：08级本科（2）班指导老师：刘晓娜完成日期：2010年11 月21 日题目：非线性方程求解比较摘要本文给出了三种求解非线性方程的方法，分别是二分法，牛顿迭代法，割弦法。

二分法巧妙地利用插值得到的点以及有根区间中点这两点处的函数值，缩小隔根区间，以期望得到更快的收敛速度。

牛顿迭代法是非线性方程根的一种常见的数值方法,对于非线性方程的单重零点来说，牛顿迭代法一般具有局部二阶收敛性,但是当所求的根X*是F(X)的M 重根时,M 是大于等于2的整数,此时牛顿迭代法只有一阶收敛性。

弦截法是将牛顿迭代公式中用差商F(k x )-F(1-k x )/ （k x - 1-k x ）代替导数'()k F x 。

本文给出了算法改进的具体步骤及算法流程图相关的数值结果也说明了方法的有效性。

关键词 : 二分法；牛顿迭代法；割弦法；非线性方程目录第一章绪论- 3 -第二章求解非线性方程的三种常见算法……………………………- 4-2.1 二分法………………………………………………………-4 -2.2 牛顿迭代法……………………………………………………- 5 -2.3 割弦法- 6 -第三章求解非线性方程的三种算法比较- 8 -3.1 二分法求解方法- 8 -3.2 牛顿迭代法求解- 10 -3.3 割弦法求解- 11 -参考文献- 14 -第一章绪论在科技飞速发展的今天，计算机已经成为我们生活中不可缺少的一部分了，在我们生活与生产中扮演越来越重要的角色，而科学计算已经成为科学计算的重要方法之一，其应用范围已渗透到所有科学领域，作为科学与工程计算的数学工具，计算方法已成为高等院校数学与应用数学，信息与计算科学，应用物理学等必修课。

在永恒变化发展的自然界与人类社会中，在研究其内部规律的各个科学领域中，更深刻、更精确地描述其内部规律的数学工具之一，就是非线性方程。

非线性方程解法二分法实验报告

第七章非线性方程解法⒈二分法考察有根区间[a, b]，取中点x0=(b+a)/2 将它分为两半，假设中点x0不是f(x)的零点，然后进行根的搜索，即查找f(x0)与f(a)是否同号，如果确系同号，说明所求的根x*在x0的右侧，这是令a1= x0，b1=b;否则x*必在x0的左侧，这是令a1=a,b1=x0,不管出现哪一种情况，新的有根区间[a1, b1]的长度仅为[a, b]的一半。

.重复以上做法得新近似根x1,…这样不断将区间分半,得到一系列区间[an , bn],和近似根(区间中点)nx,n=0,1,2,3…,nx误差为(b-a)/2n+1.这样的方法称为二分法。

下面是一个关于二分法的例子。

例1求f(x)=x3- x-1=0在区间[1,1.5]内的一个实根，要求准确到小数点后的第二位.这里a=1,b=1.5,而f(a)<0,f(b)>0。

取[a,b]的中点x0=1.25，将区间二等分，由于f(x0 )<0, 既f(x0 )与f(a)同号，故所求的根x*必在x0 右侧，这是应令a1＝x0 =1.25, b1=b=1.5,而得到新的有根区间［a1，b1］，这样继续结果如下表：x6.实际上x5就有三位有效数字了.二分法实验(1)上机题目：二分法的应用实验目的：熟悉二分法并在计算机上实现实验要求：①上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序；②完成实验后写出完整的实验报告，内容应该包括：所用的算法语言，算法步骤陈述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析等等；③用编好的程序在Ｍatlab环境中执行。

算法说明：①找出计算f(x)在有限根区间[a, b]端点的值，f(a),f(b)②计算计算f(x)在区间中点（2ba+）处的值f(2ba+) .③判断若f(2ba+)=0，则2ba+即是根，计算过程结束，否则检验若f(2ba+)f(a)<0,则以2ba+代替b,否则以2ba+代替a.反复执行步骤②和步骤③，直到区间[a, b]长度小于允许误差ξ，此时中点2ba+即为所求近似根。

二分法非线性方程求解

1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之（参考书籍《精通MATLAB 科学计算》，王正林等编著，电子工业出版社，2009年） “二分法非线性方程求解”二分法的具体求解步骤如下。

（1）计算函数f(x)在区间[a,b]中点的函数值f((a+b)/2)，并作下面的判断：如果0)2()(<+ba f a f ，转到（2）；如果0)2()(>+b a f a f ，令 2ba a +=，转到（1）；如果 0)2()(=+b a f a f ，则 2ba x +=为一个跟。

（2）如果 ε<+-|2|b a a （ε为预先给定的精度），则43ab x +=为一个根，否则令2ba b +=，转到（1）。

在MATLAB 中编程实现的二分法函数为：HalfInterval 。

功能：用二分法求函数在某个区间上的一个零点。

调用格式：root=HalfInterval(f,a,b,eps). 其中，f 函数名； a 为区间左端点； b 为区间右端点；eps 为根的精度； root 为求出的函数零点。

二分法的MATLAB 程序代码如下：function root=HalfInterval(f,a,b,eps) %二分法求函数f 在区间[a,b]上的一个零点 %函数名：f %区间左端点：a %区间右端点：b %根的精度：eps %求出的函数零点：root if (nargin==3) eps=1.0e-4;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); %两端点的函数值f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if(f1==0)root=a;endif(f2==0)root=b;endif(f1*f2>0)disp('两端点函数值乘积大于0!');return;elseroot=FindRoots(f,a,b,eps); %调用求解子程序endfunction r=FindRoots(f,a,b,eps)f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2); %中点函数值if(f-1*mf>0)t=(a+b)/2;r=FindRoots(f,t,b,eps); %右递归elseif(f_1*mf==o)r=(a+b)/2;elseif(abs(b-a)<=eps)r=(b+3*a)/4; %输出根elses=(a+b)/2;r=FindRooots(f,a,b,eps); %左递归endendend流程图：实例应用：采用二分法求方程0133=+-x x 在区间[0，1]上的一个根。

数学中的非线性方程求解算法研究

数学中的非线性方程求解算法研究一、引言非线性方程是数学中的重要问题，具有广泛的应用背景。

在现实生活中，很多问题都是由非线性方程建模的，需要通过求解非线性方程来得到问题的解。

因此，对于非线性方程求解算法的研究具有重要的理论和实际意义。

本文旨在对目前常用的非线性方程求解算法进行详细介绍，并对其优缺点进行评价和比较。

二、二分法二分法也称为割线法或区间收缩法，它是一种比较基础的求解非线性方程的方法。

具体来讲，二分法的思想是：首先给定一个初始区间，然后取区间中点作为近似值，通过与零点的比较来缩小区间，直到区间长度小于给定的精度要求为止。

二分法的基本流程可以简述如下：1. 给定初始区间[a,b]，满足f(a)f(b)＜0。

2. 求出中点c=(a+b)/2。

3. 计算f(c)并判断其与零点的位置关系。

4. 根据f(a)f(c)＜0或者f(c)f(b)＜0将区间缩小。

5. 重复步骤2~4，直到满足收敛条件。

二分法的优点在于其思路简单，易于实现和理解。

但是，其收敛速度比较慢，并且对函数的单调性和连续性要求比较高。

三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种基于导数信息的非线性方程求解方法。

其基本思想是：选取一个初始点作为近似解，并通过不断迭代，逐渐逼近方程的零点。

牛顿迭代法的基本流程如下：1. 选取一个初始点x0。

2. 计算函数f(x)的一阶导数f'(x0)。

3. 计算当前点x0的函数值f(x0)。

4. 根据泰勒公式得到近似解x1=x0-f(x0)/f'(x0)。

5. 重复步骤2~4直到满足收敛条件。

牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，尤其适用于连续可微的函数。

但是其缺点在于需要求取函数的一阶导数，如果函数难以求导或者计算导数比较费时，则会影响其求解效率和准确性。

四、弦截法弦截法是一种基于线性插值的非线性方程求解方法。

其基本思路是：从两点出发构造一条直线，通过直线与x轴的交点来逼近方程的零点。

根据插值定理，可以通过两个初始点上的函数值来构造一条直线，并根据截距与零点的位置关系来选择新的近似解。

求解非线性方程与二次曲线性质

求解非线性方程与二次曲线性质在数学中，我们经常会遇到非线性方程与二次曲线。

这些问题在高中数学中就已经开始学习，而在大学中，这些知识被更深入地学习和应用。

在本文中，我们将讨论如何求解非线性方程以及二次曲线的一些基本性质。

求解非线性方程非线性方程指的是在未知量的一次以上的项中，至少有一项不是常数。

例如，$ax^2+bx+c=0$ 就是一个非线性方程，其中 $a$，$b$，$c$ 都是常数，$x$ 是未知量。

解非线性方程的方法有很多种，下面我们讨论常用方法。

1. 二分法二分法是解非线性方程的一种简单方法。

假设我们需要求方程$f(x)=0$ 的根，那么我们可以先找到一个区间 $[a,b]$，使得$f(a)$ 和 $f(b)$ 的符号不同。

然后我们从区间的中点 $c$ 开始，计算 $f(c)$ 的符号。

如果 $f(c)$ 的符号与 $f(a)$ 相同，那么我们可以将 $a$ 替换为 $c$，否则将 $b$ 替换为 $c$。

接着我们再计算$c$ 的中点，用同样的方法来判断符号。

不断重复这个过程，直到求得一个满足误差限的根。

2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种基于泰勒级数的求根方法，具有快速收敛的特点，但需要计算函数的导数。

假设我们要求解方程 $f(x)=0$ 的根，我们可以选择一个初值 $x_0$，然后按照下面的公式迭代求解：$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$其中，$f'(x_i)$ 是 $f(x)$ 在 $x_i$ 处的导数。

不断重复迭代，直到满足误差限。

二次曲线的性质二次曲线是用一般式表示的形如$ax^2+by^2+2hxy+2gx+2fy+c=0$ 的方程。

在本节中，我们将讨论二次曲线的一些基本性质。

1. 对称轴对称轴是指将二次曲线对称的轴。

以一般式表示的二次曲线的对称轴方程是：$$y=-\frac{b}{2a}x-\frac{h}{a}y-\frac{g}{a}$$其中，$a$，$b$，$h$，$g$ 表示二次曲线的系数。

非线性方程求解算法比较

非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。

因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。

本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。

通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。

它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。

2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。

3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。

4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。

牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。

然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。

因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。

二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。

它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。

2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。

3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。

4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。

与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。

然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。

与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。

三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。

它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。

非线性方程的求解方法

非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。

求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。

本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。

二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。

设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。

重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。

三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。

它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。

根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。

重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。

四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。

由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。

设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。

五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。

它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。

设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。

然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。

非线性方程的数值解法中的二分法

非线性方程的数值解法中的二分法
二分法，又称秦九韶算法，是一种用来求解非线性方程的有效的数值解法。

它可以有效地将一个不确定的区间划分为两个不相交的子区间，其中一个至少包含方程的一个根，而另一个不包含根，这样重复地使用子区间，就可以缩小包含根的子区间从而求出根。

它具有准确性好、计算量小、理论考虑简单等优点。

因此，二分法逐渐得到了在互联网科技领域的广泛应用，受到了更多关注。

作为一种基础性的数学算法，二分法的基本原理是将一个不确定的区间分成两个相等的小区间，其中一个必定包含方程的一个根，而另一个肯定不包含根，然后针对这两个相邻区间，不断求解，直到最后已经求出根为止。

具体地说，在给定一个区间[a，b]，要求函数f (x)在[a，b]内存在唯一根r，根据贴合定理，只需要计算函数在两个端点的值，并判断它们是否异号，如果异号，则区间[a，b]一定包含根r。

接着，利用c =(a＋ b) / 2将区间[a，b]分成两个小区间[a，c]和[c，b]，逐渐缩小根所在的区间范围，直到最后确定根的准确值。

由于数值计算的准确性高、计算量小、计算过程简单，因此二分法在许多互联网科技应用中大量采用，如自动搜索引擎服务，精准推荐等。

此外，在建模和科学研究中，二分法也被广泛运用，例如求解非线性方程组、解析一元函数最优解等。

综上所述，二分法是一种有效的数值解法，在互联网科技的应用非常广泛，如搜索引擎服务、精准推荐以及科学研究等，它具有计算准确度高、计算量小、理论需要考虑较少的优势，有效地解决非线性方程的求解问题，同时也为科技进步和科学发展作出了贡献。

非线性方程求解

非线性方程求解在数学中，非线性方程是一种函数关系，其表达式不能通过一次函数处理得到。

与线性方程不同，非线性方程的解决方案往往更具挑战性，因为它涉及到更复杂的计算过程。

尤其在实际应用中，非线性方程的求解是一个非常重要的问题。

本文将讨论几种常用的非线性方程求解方法。

二分法二分法，也称为折半法，是一种基本的求解非线性方程的方法之一。

它的核心思想是将区间一分为二并判断方程在哪一半具有根。

不断这样做直到最终解得精度足够高为止。

下面是利用二分法求解非线性方程的流程：1. 设定精度值和区间范围2. 取区间的中点并计算函数值3. 如果函数值为0或函数值在给定精度范围内，返回中点值作为精确解4. 如果函数值不为0，则判断函数值的正负性并缩小区间范围5. 重复步骤2-4直到满足给定精度为止当然，这种方法并不总是能够找到方程的解。

在方程存在多个解或者区间范围不合适的情况下，二分法可能会导致求解失败。

但它是一种很好的起点，同时也是更复杂的求解方法中的一个重要组成部分。

牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更复杂的求解非线性方程的方法。

它利用泰勒级数和牛顿迭代公式，通过不断迭代来逼近根的位置。

下面是利用牛顿迭代法求解非线性方程的流程：1. 先取一个近似值并计算函数值2. 求出函数的导数3. 利用牛顿迭代公式，计算下一个近似根4. 检查下一个近似根的精度是否满足条件，如果满足，返回当前近似根5. 如果精度不满足，则将新的近似根带入公式，重复步骤2-5当然，牛顿迭代法的收敛性并不总是保证的。

如果迭代过程太过温和，它可能无法收敛到精确解。

如果迭代过程过于暴力，则会出现发散现象，使得求解变得不可能。

其他方法此外，还有一些其他的求解非线性方程的方法，例如黄金分割法、逆二次插值法、牛顿切线法等等。

其中每一种方法都有其优缺点，不同的情况下，不同的方法都可能比其他方法更加适合。

结论总体来说，求解非线性方程的方法非常复杂。

无论是哪种方法，都需要一定的数学基础和计算机知识。

非线性方程的二分法

1 条件 f ( x) C[a,b],且f (a) f (b) 0
2 主要依据由连续函数介值定理,则至少存在某个 x* (a,b),
使得f ( x* ) 0,即[a,b]内至少有方程(2.1)的一个根,称[a,b]为f(x)
的一个含根区间。并且有
x* a b b a
有根区间中点 x n
-(1,2)+ (1,1.5)
x1 1.5 x2 1.25
(1.25,1.5)
x3 1.375
(1.25,1.375) x4 1.313
(1.313,1.375) x5 1.344
(1.344,1.375) x6 1.360
(1.360,1.375) x7 1.368
bk
生成含根区间[ak 1,bk 1] ,满足（2.2）式，即

(1) [ak 1 , bk 1 ] [ak h
(2) bk1 akak1 ak bk1 xk
x
(3) f (ak 1 ) f (bk 1 ) 0
含根区间 [ak 1,bk 1] 满足（2.2）式，即
对
区((间12))[找 a计k ,中算bk点](:,(23f)：)kbif令(xafaki ()ixkf12（ )(2(bhiai即)1k,中 i0b,k点 i0);,的 10,,1函,,数 k,,k值. ）; (3) 生成含根区间：
(2.2)
ak ak
x* xk xk
若f ( x1 ) 0，则x* x1 ,
若f ( x1 ) f (a1 ) 0, 取a2 x1, b2 b1, 若f ( x1 ) f (a1 ) 0, 取a2 a1, b2 x1,

数学实验项目-使用二分法对非线性方程求根

end 程序输出
n=01,当前有根区间是[0.000000,0.500000],近似根为 0.500000,wucha=0.500000 n=02,当前有根区间是[0.250000,0.500000],近似根为 0.250000,wucha=0.250000 n=03,当前有根区间是[0.250000,0.375000],近似根为 0.375000,wucha=0.125000 n=04,当前有根区间是[0.250000,0.312500],近似根为 0.312500,wucha=0.062500 n=05,当前有根区间是[0.250000,0.281250],近似根为 0.281250,wucha=0.031250 n=06,当前有根区间是[0.265625,0.281250],近似根为 0.265625,wucha=0.015625 n=07,当前有根区间是[0.265625,0.273438],近似根为 0.273438,wucha=0.007813 n=08,当前有根区间是[0.265625,0.269531],近似根为 0.269531,wucha=0.003906 n=09,当前有根区间是[0.265625,0.267578],近似根为 0.267578,wucha=0.001953 n=10,当前有根区间是[0.265625,0.266602],近似根为 0.266602,wucha=0.000977 n=11,当前有根区间是[0.266113,0.266602],近似根为 0.266113,wucha=0.000488 n=12,当前有根区间是[0.266113,0.266357],近似根为 0.266357,wucha=0.000244 n=13,当前有根区间是[0.266235,0.266357],近似根为 0.266235,wucha=0.000122 n=14,当前有根区间是[0.266235,0.266296],近似根为 0.266296,wucha=0.000061 n=15,当前有根区间是[0.266235,0.266266],近似根为 0.266266,wucha=0.000031 n=16,当前有根区间是[0.266235,0.266251],近似根为 0.266251,wucha=0.000015 n=17,当前有根区间是[0.266243,0.266251],近似根为 0.266243,wucha=0.000008 n=18,当前有根区间是[0.266247,0.266251],近似根为 0.266247,wucha=0.000004 n=19,当前有根区间是[0.266247,0.266249],近似根为 0.266249,wucha=0.000002 n=20,当前有根区间是[0.266248,0.266249],近似根为 0.266248,wucha=0.000001

二分法,Newton法,割线法求解

非线性方程数值求解的算法实现二分法：1.理论基础：（1）对于方程f （x ）=0，如果在区间[a,b]上至少有一个根，就称[a,b]是方程的一个有根区间。

例如，若f(x)连续，且f(x)*f(b)<0，由介值定理可知[a,b]是一个有根区间。

如果在[a.b]上方程有且只有一个根，那就把方程的根隔离出来了，这时若把有根区间不断缩小，便可逐步得到根的近似值。

（2）设方程f(x)=0的一个有根区间为[a,b]，且在区间[a,b]上只有一个根，满足f(x)*f(b)<0。

可以用区间对分的方法形成有限区间的序列[]{},n n a b 。

令[][]11,,a b a b =，对于区间[],n n a b ，区间中点1(a b )2n n n x =+。

检验()f n x 的符号，若()f(a )f 0n n x <，则取新的有限区间[][]11,,x n n n n a b a ++=，有根区间向左压缩。

若()f(a )f 0n n x >，则[]11,n n a b ++取为[],n n x b ，有根区间向右压缩。

（3）以上产生的有根区间的序列[]{},nna b ，满足1122[,][,][,]n n a b a b a b ⊃⊃⊃⊃ ，其中各区间的长度等于上一个区间的一半，区间中点的序列{}n x 就是方程的根*x 的近似解序列。

不难分析，对1n ≥有11(b a)2n n n b a --=-。

而n x 是[],n n a b 的中点，满足*11(b a )(b a)22n n n n x x -≤-=-。

这保证了*lim n n x x →∞=。

2.代码：function y=f(x) y=x^3-x-1; end 主程序：clear all clca=input('输入下界 a='); b=input('输入上界 b=');eps=input('输入误差范围 eps='); distance=b-a; num=0; format longwhile (distance>eps) x0=(a+b)/2; if f(a)*f(x0)<0 b=x0; elseif f(a)*f(x0)>0 a=x0; elsea=x0; b=x0; enddistance=distance/2; num=num+1; endx=(a+b)/2; end3.运行结果：Newton 法：1.理论基础：为了求解方程组(x)0f =的根*x 。

非线性方程的求解方法

非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。

然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。

本文将介绍几种非线性方程的求解方法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。

该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。

牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。

牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。

二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。

割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。

三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。

该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。

二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。

二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。

四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。

不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。

二分法和牛顿法求解非线性方程(C语言)

(1)二分法求解非线性方程：#include<stdio.h>#include<math.h>#define f(x)((x*x-1)*x-1)void main(){float a,b,x,eps;int k=0;printf("intput eps\n");/*容许误差*/scanf("%f",&eps);printf("a,b=\n");for(;;){scanf("%f,%f",&a,&b);if(f(a)*f(b)>=0)/*判断是否符合二分法使用的条件*/printf("二分法不可使用,请重新输入:\n");else break;}do{x=(a+b)/2;k++;if(f(a)*f(x)<0)/*如果f(a)*f(x)<0，则根在区间的左半部分*/b=x;else if(f(a)*f(x)>0)/*否则根在区间的右半部分*/a=x;else break;}while(fabs(b-a)>eps);/*判断是否达到精度要求,若没有达到,继续循环*/x=(a+b)/2;/*取最后的小区间中点作为根的近似值*/printf("\n The root is x=%f,k=%d\n",x,k);}运行结果：intput eps0.00001a,b=2,-5The root is x=1.324721,k=20Press any key to continue总结：本题关键在于两个端点的取值和误差的判断，此程序较容易。

二分法收敛速度较快，但缺点是只能求解单根。

(2)牛顿法求解非线性方程：#include<stdio.h>#include<math.h>float f(float x)/*定义函数f(x)*/{return((-3*x+4)*x-5)*x+6;}float f1(float x)/*定义函数f(x)的导数*/{return(-9*x+8)*x-5;}void main(){float eps,x0,x1=1.0;printf("input eps:\n");scanf("%f",&eps);/*输入容许误差*/do{x0=x1;/*准备下一次迭代的初值*/x1=x0-f(x0)/f1(x0);/*牛顿迭代*/}while(fabs(x1-x0)>eps);/*当满足精度,输出近似根*/printf("x=%f\n",x1);}程序运行结果：x=1.265328总结：关键是牛顿迭代的应用，程序中最大缺点是函数及其导数已唯一给出确定不可求的随意函数的根，牛顿法比二分法收敛快，可以求重根。

计算方法 10 二分法-非线性方程

2016/2017 学年
第一学期（16周）
二分法 – 非线性方程
二分法
原理：若 f C a, b ，且 f (a ) f (b) 0，则 f
在区间 (a,b) 上必须有一根。考察：请求解三次元方程 f ( x) x 3 x 2 3 x 3 0 的正根？求解： f (1) 4 0, f (2) 3 0
*
计算方法（2016/2017 第一学期）
西南科技大学
制造科学与工程学院
4
二分法
在实际计算中，如果预先给定了精度 0 ，则
1 ba x xk bk ak k 1 2 2
*
当
达到了精度要求
ba k 1 2
* x x 时，则认为 k 作为的达到了
计算方法（2016/2017 第一学期）
2
计算方法（2016/2017 第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院
2
二分法
对于有根区间 a1 , b1 ，在实际操作上，可加中点
a1 b1 x1 a2 , b2 ，可得到新的有根区间，长度 2
为原有根区间的一半。
如此反复二分可得一系列有根区间，且
3.4688
3.4531 3.4531
3.4531
3.4453 3.4492
制造科学与工程学院
8
x* x0 。否则 f ( x0 ) 与 f (a) 和 f (b) 的其中一个
异号。若 f ( x0 )与 f (a) 异号，则取 a1 a, b1 x0 原左半若 f ( x0 )与 f (b) 异号，则取 a1 x0 , b1 b 原右半则原方程的有根区间为 a1 , b1 ，它被包含在原区 ba b1 - a1 间 a , b 内，长度为原区间一半，即：

高等代数中的非线性方程组求解方法与案例

高等代数中的非线性方程组求解方法与案例高等代数中的非线性方程组求解方法与案例一、引言非线性方程组在数学和科学工程领域中具有重要的理论和实际应用价值。

本文将介绍一些常用的非线性方程组求解方法，并通过案例来展示这些方法的应用。

二、牛顿法牛顿法是一种经典的非线性方程组求解方法。

该方法利用函数的导数信息进行迭代，通过不断逼近方程组的解。

其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - J_F(x_n)^{-1} * F(x_n)其中，J_F(x_n) 表示 F(x_n) 的雅可比矩阵。

三、割线法割线法是一种迭代求解非线性方程组的方法。

该方法使用方程组中两个初始解点之间的割线来逼近方程组的解。

其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0 和 x_1，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n) * (x_n - x_{n-1})}{F(x_n) - F(x_{n-1})}四、二分法二分法是一种简单且可靠的非线性方程组求解方法。

该方法利用方程组在区间两端点函数值异号的性质，在区间内部寻找解。

其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，在区间 [a, b] 内满足 F(a) * F(b) < 0，迭代公式为：x_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}五、案例分析假设有如下非线性方程组：x^2 + y^2 = 10x + y = 5我们将使用上述介绍的三种方法来求解该方程组。

1. 牛顿法求解：首先，我们需要计算方程组的雅可比矩阵：J_F(x, y) = [[2x, 2y],[1, 1]]给定初始解 x_0 = (1, 4)，按照牛顿法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。

2. 割线法求解：给定初始解 x_0 = (1, 4) 和 x_1 = (2, 3)，按照割线法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。

数学中的非线性方程求解

数学中的非线性方程求解非线性方程是指未知量与其函数之间不满足线性关系的方程。

解决非线性方程的问题一直是数学领域的研究重点之一，因为非线性方程在自然科学、工程技术以及金融经济等领域中具有广泛的应用。

在本文中，我们将探讨几种常见的非线性方程求解方法。

一、二分法二分法也称为区间二分法，是求解非线性方程最基本的方法之一。

该方法利用非线性方程连续性的特点，将方程的解所在的区间不断二分并缩小区间范围，最终找到非线性方程的解。

考虑一个一元非线性方程f(x)=0，其中f(x)在区间[a, b]上连续且f(a)与f(b)异号。

根据区间中值定理可知，存在一点c属于(a, b)，使得f(c)=0。

我们可以按以下步骤进行二分法的求解：步骤1：选择区间[a, b]，计算函数值f(a)与f(b)。

步骤2：如果f(a)与f(b)异号，则继续进行下一步。

否则，结束计算，方程无解。

步骤3：计算区间中点c=(a+b)/2，并计算f(c)。

步骤4：如果f(c)接近于0或满足终止条件，则c为方程解。

否则，根据f(a)与f(c)的符号确定新的区间[a, c]或[c, b]。

步骤5：重复步骤3和步骤4，直至满足终止条件。

二、牛顿法牛顿法是一种迭代逼近的方法，通过使用函数的一阶和二阶导数来逼近非线性方程的解。

该方法基于泰勒级数展开，通过不断迭代逼近函数零点的位置。

考虑一个一元非线性方程f(x)=0，我们可以按以下步骤进行牛顿法的求解：步骤1：选择一个初始近似值x0。

步骤2：计算函数f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。

步骤3：使用初始近似值x0和函数导数来进行迭代计算，得到新的近似值x1。

迭代公式为x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。

步骤4：计算函数f(x1)的值。

步骤5：如果f(x1)接近于0或满足终止条件，则x1为方程解。

否则，将x1作为新的近似值，重复步骤3和步骤4。

步骤6：重复步骤3至步骤5，直至满足终止条件。

非线性方程求解的数值方法研究

非线性方程求解的数值方法研究非线性方程求解是数学领域中的重要问题之一。

与线性方程不同，非线性方程存在更加复杂的形式和求解方法。

本文将针对非线性方程求解的数值方法进行研究，探讨其应用和效果。

一、引言非线性方程是指未满足线性关系的方程，形如f(x) = 0。

相比于线性方程，非线性方程更具挑战性和难度。

在实际问题中，非线性方程常常出现，如物理、经济、工程等领域。

因此，研究非线性方程的数值解法对解决实际问题具有重要意义。

二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法。

其基本思想是通过不断逼近方程的根来求解方程。

具体来说，牛顿迭代法通过将非线性方程化为一系列线性方程的解来逼近方程的根。

该方法的迭代过程如下：1. 选取初始近似解x_0；2. 对于第n+1次迭代，计算x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)；3. 若满足终止准则，如|f(x_{n+1})| < ε，则停止迭代，得到近似解x_{n+1}。

牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，尤其对于初始值选择合适的情况下，其迭代过程可以较快地接近方程的根。

然而，该方法也有其局限性，如可能出现迭代发散或震荡等问题。

三、二分法二分法是一种较为简单但有效的非线性方程求解方法。

其思想是通过判断非线性方程在区间内的正负性来逼近方程的根。

该方法的基本过程如下：1. 选取区间[a, b]，满足f(a) * f(b) < 0；2. 对区间[a, b]进行二分，计算c = (a + b) / 2；3. 判断f(c)和f(a) * f(c)的正负关系，更新区间[a, b]；4. 若满足终止准则，如|f(c)| < ε，则停止迭代，得到近似解c。

二分法的优点在于其简单性和稳定性，适用于一些函数有明显单调性的情况。

然而，该方法的收敛速度较慢，尤其对于复杂的非线性方程，可能需要较多的迭代次数才能得到较精确的解。

四、弦截法弦截法是一种综合了牛顿迭代法和二分法思想的非线性方程求解方法。

非线性方程求解算法的性能比较研究

非线性方程求解算法的性能比较研究随着科技的不断发展，非线性方程在数学、物理、工程等领域中得到广泛应用。

然而，求解非线性方程是一个复杂而耗时的过程。

为了提高求解的效率和准确性，研究者们不断探索和开发各种非线性方程求解算法。

本文将对其中几种常用的算法进行性能比较研究，以帮助读者更好地选择和应用非线性方程求解算法。

一、牛顿法 (Newton's Method)牛顿法是一种基于切线的迭代算法，通过不断逼近零点来求解非线性方程。

其基本思想是利用切线的斜率逼近曲线的斜率，从而找到曲线与 x 轴交点的近似解。

牛顿法的迭代公式如下：```x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)```牛顿法具有较快的收敛速度和较高的精度，在实际应用中得到广泛使用。

然而，牛顿法也存在一些问题，例如对于某些特殊函数，可能会出现收敛速度慢或者迭代发散的情况。

二、割线法 (Secant Method)割线法是一种基于割线的迭代算法，类似于牛顿法，但割线法不需要计算函数的导数。

其基本思想是通过连接两个点的割线与 x 轴的交点来逼近方程的根。

割线法的迭代公式如下：```x_(n+1) = x_n - f(x_n) * (x_n - x_(n-1)) / (f(x_n) - f(x_(n-1)))```相比于牛顿法，割线法的计算复杂度较低，但在某些情况下可能会出现割线过程与根无交点的问题。

三、二分法 (Bisection Method)二分法是一种简单而直观的求解非线性方程的方法。

它利用中值定理将函数值异号的两个点之间的中点作为下一次迭代的起点，通过逐步缩小区间来求解方程的根。

二分法迭代的公式如下：```x_(n+1) = (x_a + x_b) / 2```二分法的优点是收敛稳定，不易发散，但收敛速度相对较慢。

四、迭代法 (Iterative Method)迭代法是一种常用于非线性方程求解的数值方法。

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