二分法求方程的根
二分法求方程的根
二分法求方程的根二分法是求解函数零点的一种简单而又有效的方法。
它适用于xx、xx、xx等情况下，能够快速找出函数的根，对于计算机程序中的解析和数学问题研究都有很大帮助。
接下来，我们就来介绍一下利用二分法求方程的根。
求解方程的根，首先需要通过一些数学手段，将问题转化为一个函数问题。
假设我们需要求解函数$f(x)=0$的根，其中$x$为实数，我们可以将其转化为$f(x)>0$和$f(x)<0$两种情况的判断。
这样的话，就可以寻找一个区间$[a,b]$，在这个区间内，$f(x)>0$的$x$和$f(x)<0$的$x$广泛地分布在$a$和$b$这两个点的两侧，此时我们就可以运用二分法，在这个区间$[a,b]$内寻找函数$f(x)=0$的根。
在使用二分法之前，要定义好区间$[a,b]$，并进行初始化。
通常情况下，我们可以采用等距离的方式将区间分成$n$份，其中$n$为我们估计的一个比较小的值，但要保证区间内$f(x)>0$和$f(x)<0$的值分别在区间的两侧。
然后在处理过程中，每进行一次迭代，区间长度就会缩短一半，这样可以不断逼近根。
接下来就可以按照下述步骤进行计算：1. 首先，选定区间$[a,b]$，将区间分为$n$份（$n$为自己估计的一个小数），如果$f(a)>0$且$f(b)<0$，则继续下一步骤，否则退出。
2. 对于区间$[a,b]$，将其一分为二，这里我们选定中间点为$c=\dfrac{a+b}{2}$，并对区间左半部分$[a,c]$和右半部分$[c,b]$进行讨论。
3. 判断$f(c)>0$还是$f(c)<0$，如果是$f(c)>0$，则根位于左半部分$[a,c]$；如果是$f(c)<0$，则根位于右半部分$[c,b]$。
4. 再次对左半部分$[a,c]$和右半部分$[c,b]$进行二分，不断缩短区间长度，逼近根。
5. 重复执行步骤3和4，直到区间长度小于一定的精度，或者达到迭代的最大次数。
力学中的计算方法(方程求根)
ˆK x
Fixed-Point Iteration ( x K 1 x K ) 2 xK x K 2 x K 1 x K 2
y=x
x0 , x1 g( x0 ), x2 g( x1 ), ˆ 0 , x3 g( x2 ), x ˆ 1 , x4 g( x3 ), x ... ...
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 ) y
x* x0
f ( xk ) x k 1 x k f ( x 线性 /* linear */ k)
f ( x0 ) f ( x0 )
x*
x
x0
只要 f C1，每一步迭代都有 xk x * ， f ’( xk ) 0， 而且 lim k 则 x*就是 f 的根。
1 | x k 1 x k | | x * xk | 1 L
L | x1 x0 | | x * xk | 1 L
k
( k = 1, 2, … )
且存在极限
lim
k
x * x k 1 g x * x * xk
Fixed-Point Iteration
1 | x k 1 x k | ? ④ | x * xk | 1 L | x k 1 x k | | x * x k | | x * x k 1 | | x * x k | L | x * x k | | x k 1 x k | 来 Lk 可用 | x1 x0 | ? ⑤ | x * xk | 1 L 控制收敛精度
Bisection Method
When to stop?
二分法求方程的根
【例5.21】二分法求方程的根。
求方程x3+4x2+x+1=0在[-5，5]之间的近似根，误差为10-4。
若函数有实根，则函数的曲线应和x轴有交点，在根附近的左右区间内，函数的值的符号应当相反。
利用这一原理，逐步缩小区间的范围，保持在区间的两个端点处函数值的符号相反，就可以逐步逼近函数的根。
设f (x)在[a, b]上连续，且f (a) f (b)<0, 找使f (x)=0的点。
如图5-7-2所示。
图5-7-2 二分法示意图二分法的步骤如下：①取区间[a, b]中点x=(a+b)/2。
②若f (x)=0, 即(a+b)/2为方程的根。
③否则，若f (x)与f (a)同号，则变区间为[x，b]；异号，则变区间为[a，x]。
④重复①~③各步，直到取到近似根为止。
#include "stdio.h"#include "math.h"main(){ float a,b,x;float fa,fb,fx;a=-5;b=5;fa=a*a*a+4*a*a+a+1;fb=b*b*b+4*b*b+b+1;do{ x=(a+b)/2;fx=x*x*x+4*x*x+x+1;if(fa*fx<0){ b=x;fb=b*b*b+4*b*b+b+1;}else{ a=x;fa=a*a*a+4*a*a+a+1;}}while(fabs(fa-fb)>1e-4);printf("x=%f\n",(a+b)/2);printf("f(%f)=%f",(a+b)/2,fa);}运行结果：x=-3.806303f(-3.806303)=-0.000059经过多次迭代，当x= -3.806 303时，f(x)的结果为-0.000 059已经接近0，误差小于10- 4数量级。
读者可进行简单的改写，输出每一次的迭代结果。
√3的计算方法与原理
√3的计算方法与原理首先，我们需要明确√3的含义，即找到一个数x，使得x乘以自己等于3、这个数即为√3、在数学中，我们使用求解方程的方法来计算出√3的近似值。
下面将介绍三种常用的求解√3的方法以及其原理。
方法一：迭代法（牛顿法）牛顿法是一种用于优化问题的迭代算法，也可以用来求解方程。
对于求解√3，我们可以将方程x^2=3转化为x^2-3=0的形式。
然后，我们利用牛顿法进行迭代求解。
牛顿法的基本原理是利用切线逼近曲线，通过不断迭代求解方程的根。
具体步骤如下：1.选择一个初始值x0。
2.计算曲线（方程）在x0点的切线方程（斜率为f'(x0)）。
3.求解切线方程与x轴的交点，得到新的近似值x14.以x1为基础，重复第2步和第3步，得到下一个近似值，直到满足所需的精度。
对于方程x^2-3=0，其导数为2x。
根据牛顿法，得到迭代公式：x_n+1=x_n-(x_n^2-3)/(2*x_n)我们选择一个初始值x0，比如x0=1，然后进行迭代计算，直到满足所需的精度为止。
方法二：二分法二分法是一种根据函数的性质进行逼近求解的方法。
对于求解√3，我们可以利用二分法来逼近方程x^2-3=0的根。
具体步骤如下：1.确定一个区间[a,b]，使得a^2<3<b^22.计算区间的中点c=(a+b)/23.如果c^2-3≈0，则停止迭代；否则继续下一步。
4.判断c^2与3的大小关系，如果c^2>3，则新的区间为[a,c]；如果c^2<3，则新的区间为[c,b]。
5.重复3~4步骤，直到满足所需的精度。
对于方程x^2-3=0，我们选择区间[a,b]为[1,2]，然后进行二分法的迭代计算，直到满足所需的精度为止。
方法三：泰勒级数泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法。
对于求解√3，我们可以利用泰勒级数来逼近方程x^2-3=0的根。
具体步骤如下：1.将方程x^2-3=0展开为泰勒级数的形式。
2.截取级数中所需的项数，得到近似解。
MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告
MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告实验报告一、引言计算方法是数学的一门重要应用学科，它研究如何用计算机来解决数学问题。
其中，迭代法、牛顿法和二分法是计算方法中常用的数值计算方法。
本实验通过使用MATLAB软件，对这三种方法进行实验研究，比较它们的收敛速度、计算精度等指标，以及它们在不同类型的问题中的适用性。
二、实验方法1.迭代法迭代法是通过不断逼近解的过程来求得方程的根。
在本实验中，我们选择一个一元方程f(x)=0来测试迭代法的效果。
首先，我们对给定的初始近似解x0进行计算，得到新的近似解x1，然后再以x1为初始近似解进行计算，得到新的近似解x2，以此类推。
直到两次计算得到的近似解之间的差值小于规定的误差阈值为止。
本实验将通过对复杂方程的迭代计算来评估迭代法的性能。
2.牛顿法牛顿法通过使用函数的一阶导数来逼近方程的根。
具体而言，对于给定的初始近似解x0，通过将f(x)在x0处展开成泰勒级数，并保留其中一阶导数的项，得到一个近似线性方程。
然后，通过求解这个近似线性方程的解x1，再以x1为初始近似解进行计算，得到新的近似解x2，以此类推，直到两次计算得到的近似解之间的差值小于规定的误差阈值为止。
本实验将通过对不同类型的方程进行牛顿法的求解，评估它的性能。
3.二分法二分法是通过将给定区间不断二分并判断根是否在区间内来求方程的根。
具体而言，对于给定的初始区间[a,b]，首先计算区间[a,b]的中点c，并判断f(c)与0的大小关系。
如果f(c)大于0，说明解在区间[a,c]内，将新的区间定义为[a,c]，再进行下一轮的计算。
如果f(c)小于0，说明解在区间[c,b]内，将新的区间定义为[c,b]，再进行下一轮的计算。
直到新的区间的长度小于规定的误差阈值为止。
本实验将通过对复杂方程的二分计算来评估二分法的性能。
三、实验结果通过对一系列测试函数的计算，我们得到了迭代法、牛顿法和二分法的计算结果，并进行了比较。
非线性方程的数值解法中的二分法
非线性方程的数值解法中的二分法
二分法，又称秦九韶算法，是一种用来求解非线性方程的有效的数值解法。
它可以有效地将一个不确定的区间划分为两个不相交的子区间，其中一个至少包含方程的一个根，而另一个不包含根，这样重复地使用子区间，就可以缩小包含根的子区间从而求出根。
它具有准确性好、计算量小、理论考虑简单等优点。
因此，二分法逐渐得到了在互联网科技领域的广泛应用，受到了更多关注。
作为一种基础性的数学算法，二分法的基本原理是将一个不确定的区间分成两个相等的小区间，其中一个必定包含方程的一个根，而另一个肯定不包含根，然后针对这两个相邻区间，不断求解，直到最后已经求出根为止。
具体地说，在给定一个区间[a，b]，要求函数f (x)在[a，b]内存在唯一根r，根据贴合定理，只需要计算函数在两个端点的值，并判断它们是否异号，如果异号，则区间[a，b]一定包含根r。
接着，利用c =(a＋ b) / 2将区间[a，b]分成两个小区间[a，c]和[c，b]，逐渐缩小根所在的区间范围，直到最后确定根的准确值。
由于数值计算的准确性高、计算量小、计算过程简单，因此二分法在许多互联网科技应用中大量采用，如自动搜索引擎服务，精准推荐等。
此外，在建模和科学研究中，二分法也被广泛运用，例如求解非线性方程组、解析一元函数最优解等。
综上所述，二分法是一种有效的数值解法，在互联网科技的应用非常广泛，如搜索引擎服务、精准推荐以及科学研究等，它具有计算准确度高、计算量小、理论需要考虑较少的优势，有效地解决非线性方程的求解问题，同时也为科技进步和科学发展作出了贡献。
非线性方程求解
非线性方程求解在数学中，非线性方程是一种函数关系，其表达式不能通过一次函数处理得到。
与线性方程不同，非线性方程的解决方案往往更具挑战性，因为它涉及到更复杂的计算过程。
尤其在实际应用中，非线性方程的求解是一个非常重要的问题。
本文将讨论几种常用的非线性方程求解方法。
二分法二分法，也称为折半法，是一种基本的求解非线性方程的方法之一。
它的核心思想是将区间一分为二并判断方程在哪一半具有根。
不断这样做直到最终解得精度足够高为止。
下面是利用二分法求解非线性方程的流程：1. 设定精度值和区间范围2. 取区间的中点并计算函数值3. 如果函数值为0或函数值在给定精度范围内，返回中点值作为精确解4. 如果函数值不为0，则判断函数值的正负性并缩小区间范围5. 重复步骤2-4直到满足给定精度为止当然，这种方法并不总是能够找到方程的解。
在方程存在多个解或者区间范围不合适的情况下，二分法可能会导致求解失败。
但它是一种很好的起点，同时也是更复杂的求解方法中的一个重要组成部分。
牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更复杂的求解非线性方程的方法。
它利用泰勒级数和牛顿迭代公式，通过不断迭代来逼近根的位置。
下面是利用牛顿迭代法求解非线性方程的流程：1. 先取一个近似值并计算函数值2. 求出函数的导数3. 利用牛顿迭代公式，计算下一个近似根4. 检查下一个近似根的精度是否满足条件，如果满足，返回当前近似根5. 如果精度不满足，则将新的近似根带入公式，重复步骤2-5当然，牛顿迭代法的收敛性并不总是保证的。
如果迭代过程太过温和，它可能无法收敛到精确解。
如果迭代过程过于暴力，则会出现发散现象，使得求解变得不可能。
其他方法此外，还有一些其他的求解非线性方程的方法，例如黄金分割法、逆二次插值法、牛顿切线法等等。
其中每一种方法都有其优缺点，不同的情况下，不同的方法都可能比其他方法更加适合。
结论总体来说，求解非线性方程的方法非常复杂。
无论是哪种方法，都需要一定的数学基础和计算机知识。
用现代数学方法解释二分法悖论
一、概述二分法是一种常见的数值计算方法，在许多数学问题中都有广泛的应用。
然而，二分法却有一个令人困惑的现象，即当使用二分法寻找函数的根时，有时算法会收敛到一个错误的解。
这种现象被称为二分法悖论，在数值计算领域引起了广泛的讨论和研究。
在本文中，我们将使用现代数学方法解释二分法悖论，并探讨其背后的数学原理。
二、二分法的基本原理在介绍二分法悖论之前，首先需要了解二分法的基本原理。
二分法是一种求解方程根的经典算法，其基本思想是将定义域分割成两部分，然后确定目标值所在的那一部分，再对该部分继续进行分割，直到找到目标值或者满足一定的精度要求为止。
在数值计算中，二分法通常被用来求解函数的零点，即找到函数的根所对应的横坐标。
三、二分法的应用三、一、在实际工程问题中，二分法被广泛应用于求解非线性方程、求解最优化问题和求解微分方程等。
在计算机图形学中，我们常常需要对曲线和曲面进行求交，而二分法可以高效地求解曲线和曲面的交点。
在金融学中，二分法也常被用来计算期权的定价和风险价值。
在生物医学工程领域，二分法则可以用来估计人体组织的材料特性和生物学参数。
四、二分法悖论的实例四、一、尽管二分法在许多应用中表现出色，但在一些情况下却会出现令人困惑的现象。
考虑函数f(x)=x^3-2x-5，在区间[1,2]上使用二分法寻找根时，算法会不断迭代，最终发现无法找到根。
这种情况违反了二分法应该能够找到函数根的基本原则，称为二分法悖论。
五、现代数学方法解释二分法悖论现代数学方法能够对二分法悖论进行深入的解释和分析。
在实际应用中，二分法常常需要与计算机浮点数进行交互，而浮点数的表示精度有限，在对浮点数进行运算时会引入误差。
这些误差可能导致二分法在收敛过程中出现偏离期望的结果。
函数本身的性质，如导数的变化率和函数的凹凸性，也会影响二分法的收敛行为。
六、避免二分法悖论的方法六、一、尽管二分法悖论令人困扰，但通过一些方法和技巧，我们可以在实际应用中避免或减少这种现象的发生。
数值分析二分法
二分法的实现步骤
04
确定初始区间
01
确定初始区间
选择一个初始的区间，其中包含要找的根。
02
确定终止条
确定初始中点
选择区间的中点作为初始近似值。
计算中点
计算中点
将区间分成两半，取中间点作为新的近似值。
计算中点处的函数值
代入中点处的x值，计算函数值f(x)。
检查中点处的函数值
检查中点处的函数值
比较f(x)与0的大小，判断中点是否为根 。
VS
确定根所在区间
根据函数值的正负，确定根所在的区间。
更新区间
更新区间
根据根所在的区间，重新确定新的区间长度 和区间端点。
更新近似值
将新的区间端点中的较小值作为新的近似值。
重复步骤，直到满足精度要求
重复步骤
重复上述步骤，直到满足终止条件，即区间长度小于预设的精度要求。
收敛性证明
• 证明：由于f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)和f(b)异 号，根据介值定理，存在至少一个零点c属于(a, b)。 每次迭代将区间[a, b]分成两半，即c = (a + b) / 2， 由于f(c)不为零，所以f(a)和f(c)同号或f(c)和f(b)同 号，即至少有一半的区间满足条件，继续迭代直到 达到精度要求。
二分法的重要性
二分法是数值分析中基础而重要的方 法之一，为解决许多实际问题提供了 有效的数值逼近手段。
二分法在金融、工程、物理等领域都 有广泛的应用，如求解微分方程、优 化问题等。
02 二分法的基本原理
定义与公式
定义
二分法是一种求解实数区间[a, b]上函数f(x)零点的迭代算法。
公式
假设f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)和f(b)异号，即f(a) * f(b) < 0。取c = (a + b) / 2，如果f(c) = 0或f(a) * f(c) < 0，则c就是所求的零点。
数学实验项目-使用二分法对非线性方程求根
end 程序输出
n=01,当前有根区间是[0.000000,0.500000],近似根为 0.500000,wucha=0.500000 n=02,当前有根区间是[0.250000,0.500000],近似根为 0.250000,wucha=0.250000 n=03,当前有根区间是[0.250000,0.375000],近似根为 0.375000,wucha=0.125000 n=04,当前有根区间是[0.250000,0.312500],近似根为 0.312500,wucha=0.062500 n=05,当前有根区间是[0.250000,0.281250],近似根为 0.281250,wucha=0.031250 n=06,当前有根区间是[0.265625,0.281250],近似根为 0.265625,wucha=0.015625 n=07,当前有根区间是[0.265625,0.273438],近似根为 0.273438,wucha=0.007813 n=08,当前有根区间是[0.265625,0.269531],近似根为 0.269531,wucha=0.003906 n=09,当前有根区间是[0.265625,0.267578],近似根为 0.267578,wucha=0.001953 n=10,当前有根区间是[0.265625,0.266602],近似根为 0.266602,wucha=0.000977 n=11,当前有根区间是[0.266113,0.266602],近似根为 0.266113,wucha=0.000488 n=12,当前有根区间是[0.266113,0.266357],近似根为 0.266357,wucha=0.000244 n=13,当前有根区间是[0.266235,0.266357],近似根为 0.266235,wucha=0.000122 n=14,当前有根区间是[0.266235,0.266296],近似根为 0.266296,wucha=0.000061 n=15,当前有根区间是[0.266235,0.266266],近似根为 0.266266,wucha=0.000031 n=16,当前有根区间是[0.266235,0.266251],近似根为 0.266251,wucha=0.000015 n=17,当前有根区间是[0.266243,0.266251],近似根为 0.266243,wucha=0.000008 n=18,当前有根区间是[0.266247,0.266251],近似根为 0.266247,wucha=0.000004 n=19,当前有根区间是[0.266247,0.266249],近似根为 0.266249,wucha=0.000002 n=20,当前有根区间是[0.266248,0.266249],近似根为 0.266248,wucha=0.000001
二分法求方程的根
用二分法求方程 f(x)=0的根 x*的近似值 xk 的步骤
步骤1.若对于a<b, 有f(a)f(b)<0, 则在(a, b)内f(x)=0至少有一个根.
步骤2. 取a,
b的中点
x1
a
2
b
,
计算
f
x1
步骤3. 若f x1 0,则x1是f(x)=0的根, 停止计算,
运行后输出结果x*=x1.
若f a f x1 0,则在(a, x1 )内f(x)=0至少有一个根. 取a1=a, b1=x1; 若f a f x1 0, 则取a1=x1, b1=b;
用二分法求方程 f(x)=0的根 x*的近似值 xk 的步骤
步骤1.若对于a<b, 有f(a)f(b)<0, 则在(a, b)内f(x)=0至少有一个根.
for k=1: max1+1 a;ya=fun(a); b;yb=fun(b); x=(a+b)/2; yx=fun(x); wuca=abs(b-a)/2; k=k-1; [k,a,b,x,wuca,ya,yb,yx] if yx==0 a=x; b=x; elseif yb*yx>0 b=x;yb=yx; else a=x; ya=yx; end if b-a< abtol , return, end end k=max1; x; wuca; yx=fun(x);
步骤2.取a, b的中点
x1
ab, 2
计算
f
x1
步骤3. 若 f x1 0, 则x1是f(x)=0的根, 停止计算,
运行后输出结果x*=x1.
若 f a f x1 0, 则在(a, x1 )内f(x)=0至少有一个根. 取a1=a, b1=x1;
数值分析——二分法及迭代法
, 从而可得一系列有根区间:
a, b a1 , b1 a2 , b2 an , bn
其中每一个区间长度都是前一个区间长度的一半，因此，
an bn b a an , bn 的长度为bn an n ,且 x an , bn , xn , 2 2 bn an b a x x xn x 0, lim n xn x n1 , lim n n 2 2
x6 1.3242 x , 并且 x x6 0.005
三.二分法算法框图
y
什么时候停止？
f ( x)
a
o
x0 x
a1 a2
2
x*
x1
b2
b b1
x
lim x x n n
xk 1 xk ε
开始
输入数据a , b,
二 分 法 的 算 法 框 图
以上方法称为二分法.它计算简单且收敛.
内 例2:求方程 f ( x ) x x 1 0 在区间 1,1.5
3
的实根，要求误差不超过0.005. 解: 首先按公式估计所要的二分次数
ln(1.5 1) ln 0.01 n 5.644 ln 2
可见只需要二分6次便能达到所要求的精度。 计算结果见书13页的表2-2.
非线性方程包括高次方程和超越方程。
方程 f ( x) 0 的解
x
通常叫做方程的根，
又称为函数 f ( x ) 的零点。 方程求根大致可以包括下列三个问题：
1.根的存在性; 2.根的隔离; 3.根的精确化.
如何根的精确化 ?
已知根的近似值后, 设法将它逐步精确, 直到满足精
二分法定义
二分法定义二分法是一种求解问题的有效方法，它的基本思想是分而治之，即将一个规模为n的问题分成两个规模为n/2的子问题，通过递归的方式去解决每个子问题，然后将子问题的结果合并，得出原问题的解。
二分法也称为折半搜索方法，是在有序数组中寻找某个特定元素的最常用算法之一。
该算法的基本思想是：首先，将数组中间元素与所要查找的元素进行比较，若相等则查找成功；若所查找的元素大于中间元素，则在数组的右区间继续查找；若所查找的元素小于中间元素，则在数组的左区间继续查找。
重复这一过程，直到查找到所要的元素或者确定数组中没有该元素为止。
二分法的应用非常广泛，其中最常见的应用就是用来求函数的根，即求解方程的解。
假设f(x)是一个单调递增的函数，若在一个区间[a,b]上存在一个使f(x)=0的根，则通过二分法我们可以把[a,b]划分为若干小的区间，比较f(m)和0的大小，其中m是区间[a,b]的中点，来缩小查找范围，一直到找到一个小的区间[c,d]，使f(c)×f(d)<=0，这时可以确定这个区间内存在一个根，然后再继续划分这个区间，不断地重复这个过程，直到精确找到一个根为止。
此外，二分法还可以用来解决一些更为复杂的问题，例如动态规划问题，最大子序列问题等。
因为动态规划问题是一种求多次最优解的问题，其解决过程中需要考虑多个变量，而一般采用动态规划法求解时，需要进行大量的重复计算，而二分法则可以用来解决这类问题，即以二分法求解最优解，从而避免重复计算。
同样的，最大子序列问题也可以用二分法求解。
在算法设计中，二分法也可以有所应用，它是很多算法设计都涉及到的一种技巧。
例如，当我们要解决一个排序问题时，我们可以采用二分法，将数组分成两个子数组，分别进行排序，再将排序后的子数组合并，从而得到有序的结果。
总之，二分法是一种高效的求解问题的方法，它在算法设计中得到极大的应用，而且效率很高，现在也在逐步得到普及。
(完整word版)数值分析报告-二分法和牛顿法方程求根(word文档良心出品)
《数值分析》实验报告一**: **学号: PB********实验一一、实验名称方程求根二、实验目的与要求：通过对二分法和牛顿法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点；比较二者的计算速度和计算精度。
三、实验内容：通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点 。
（一）二分法算法：给定区间[a,b]，并设f （a ）与f （b ）符号相反，取δ为根的容许误差，ε为值的容许误差。
（1）令c=(a+b)/2（2）如果(c-a)< δ或)(c f <ε，则输出c ，结束；否则执行（3）（3）如果f(a)f(c)<0，则令)()(,c f b f c b ←←；否则，则令)()(,c f a f c a ←←，重复（1），（2），（3）。
（二）牛顿迭代法：给定初值0x ，ε为根的容许误差，η为)(x f 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。
（1）如果)(x f <η或迭代次数大于N ，则算法结束；否则执行（2）。
（2）计算)('/)(0001x f x f x x -=（3）若 < 或 < ，则输出 ，程序结束；否则执行（4）。
（4）令 = ，转向（1）。
四、实验题目与程序设计1、二分法3.1.1、用二分法求方程a. f(x)= x x tan 1--在区间[0，π/2]上的根,c. f(x)=6cos 22-++-x e x x 在区间[1，3]上的根。
源程序：3.1.1.a#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){float a,b;double c,y,z;printf("plese input two number a and b:\n");scanf("%f%f",&a,&b);c=(a+b)/2;y=1/c-tan(c);printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y);while(fabs(b-a)>0.00001|| fabs(y)>0.00001){z=1/a-tan(a);if(z*y<0)b=c;elsea=c;c=(a+b)/2;y=1/c-tan(c);printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y);}x x 01-ε)(1x f ηx 1x 0x 1}输入0 1.5707563( /2~1.5705563)得到下表：由上表可以看出刚开始时f（c）取值幅度很大，但是经过一段历程之后，幅度变得平缓甚至基本接近与零，我们认为，x=0.8603是方程的根，结果与实际想要得到的值相当接近。
3 求根 - 二分法 牛顿法 割线法
求根
经过简单推导，得到如下关系
Pin=1000.00元, Nin=40年, Pout=5000.00元, Nout=20年， 求r 代入上式，问题即转为求解如下方程
3
求根
求解如下方程
找到一个或者多个x，使得f(x)=0成立！
最最没有技术含量的方法： 穷举法！
4
求根
所谓求根 找到一个或者多个x，使得f(x)=0成立！ 求根方法 二分法、牛顿法、割线法
function f = myfun_rootfindingfunction(x)
f = 1000.*( (1+x./12).^480 -1 ) - 5000.*(1- (1+x/12).^(-240) );
end
40
求根—割线法
例子 求根
我们用
看成对
的一个估计 41
求根—割线法
割线法和牛顿法比较 1. 割线法比牛顿法需要更多的迭代次数 2. 割线法不要计算f’(x)，而牛顿法需要计
代入上式，问题即转为求解如下方程
将方程写成函数形式：
39
求根—割线法
割线法编程 function root= myfun_rootfinding_secant(x0, x1, e)
f0 = myfun_rootfindingfunction(x0);
f1 = myfun_rootfindingfunction(x1);
对分法：反复对分区间[a,b]，保留f(x)改变符 合的那一半区间。 对分法可以确保收敛于一个根。
7
二分法求根
二分法算法：
1. 计算c=(a+b)/2 2. 若b-c≤ε，则接受c为根，程序终止 3.若b-c>ε，比较f(c), f(a), f(b)的符号
数值分析2-方程求根二分法迭代法
即使用|φ'(x0)|>1来判断（但需选择靠近x0上的合适初值） 例:用迭代法求方程 f(x) = x(x+1)2 -1=0 在x=0.4附近的根。
x=φ(x)= φ'(x)= -
(1 | '( x ) |)
1 2
可令正数
,则有
| '( x) | | '( x ) | | '( x) '( x ) | (再利用绝对值性质)
1 1 | '( x) || '( x ) | (1 | '( x ) |) (1 | '( x ) |) 1 2 2
| '( x ) | 1,
1 (1 '( x )) 0. 2
| '( x ) | 1
(先证明第2个条件：构造某区间,有
)
lim '( x) 0 . ( x) 为一阶导数连续，即 x 0
再利用函数极限知识:对任意给定正数 ，总存在
当
x [ x , x ] 时,有 | '( x) || '( x) '( x ) |
xk＋1 - x ＝φ '( ξ k )( xk - x )
*
*
*
，∴
xk＋1 - x* ＝φ '( ξ k) xk - x*
ξ k )＝x ， ∴ 又∵ klim( →∞
xk＋1 - x* * lim ＝ φ '( x ) k→∞ x - x* k
0
| '( x) | 1，则对任意初值x [a, b] ， (6) 若 x [a, b] 时， 迭代公式发散.
解高次多项式方程的实根问题的常见方法与技巧
解高次多项式方程的实根问题的常见方法与技巧高次多项式方程的实根问题一直是数学研究中的重要课题之一。
对于一个给定的高次多项式方程，求解其实根是找到方程的解的过程。
本文将介绍几种常见的方法与技巧，帮助读者更好地理解和解决这一问题。
一、有理根定理有理根定理，也被称为整系数有理根定理，是解高次多项式方程实根的重要方法之一。
其表述如下：如果多项式方程\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\]的系数都是整数，并且有有理数$\dfrac{p}{q}$，其中$p$和$q$是互素的整数，使得$\dfrac{p}{q}$是方程的实根，那么$p$必须整除$a_0$，而$q$必须整除$a_n$。
基于有理根定理，我们可以先寻找高次多项式方程的有理根，这可以帮助我们缩小解的范围。
然后，我们可以使用其他方法进一步求解实根。
二、二分法二分法是一种简单而又有效的求解方程实根的方法。
其原理是利用函数在不同区间的符号差异来判断方程在该区间是否具有实根。
具体步骤如下：1. 选择一个初始区间[a, b]，其中a和b是已知的实数，并且方程在这个区间内有符号差异；2. 将区间[a, b]分成两半，找到中点c；3. 计算方程在中点c的取值，判断其与0的关系；4. 根据中点c的取值和符号差异，缩小解的范围，将区间[a, b]替换为新的区间；5. 重复步骤2到步骤4，直到求得满足精度要求的解。
三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种迭代求解方程实根的方法，其基本思想是通过不断逼近方程的解。
具体步骤如下：1. 选择一个初始值$x_0$，可以是任意实数；2. 计算方程在$x_0$处的函数值和导数值；3. 利用方程在$x_0$处的函数值和导数值，计算出新的逼近值$x_1$；4. 重复步骤2和步骤3，直到求得满足精度要求的解。
四、Horner法则Horner法则是一种用于求解多项式实根的简便方法。
其基本思想是将多项式进行因式分解，从而降低多项式的次数，并且可以直接求解出实根。
c语言求三次方程的根
c语言求三次方程的根在数学中，三次方程是一个最高次数为3的多项式方程。
常见的三次方程的一般形式为Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0，其中A、B、C和D是给定的常数。
解三次方程是求出满足上述方程的所有值的过程。
在C语言中，我们可以使用牛顿迭代法或者二分法来解决这个问题。
一、牛顿迭代法求解三次方程的根牛顿迭代法是一种非常常用的数值求根方法，它通过不断迭代逼近根的值，直到满足一定的精度要求。
对于已知的三次方程，我们可以通过牛顿迭代法求解其根。
具体步骤如下：1. 初始化一个估计根的值x，通常选择为0或者方程中一个首要项的系数的反数。
2. 使用迭代公式x = x - f(x) / f'(x)来计算新的x值，其中f(x)表示方程的值，f'(x)表示方程的导数。
3. 重复步骤2，直到满足迭代收敛的条件，一般是当x的变化足够小或者f(x)的值足够接近于零。
下面是使用C语言实现牛顿迭代法解三次方程的代码示例：```c#include <stdio.h>#include <math.h>#define EPSILON 0.00001double f(double x, double A, double B, double C, double D) {return A * pow(x, 3) + B * pow(x, 2) + C * x + D;}double derivative(double x, double A, double B, double C) {return 3 * A * pow(x, 2) + 2 * B * x + C;}double newtonRaphson(double x, double A, double B, double C, double D) { double h = f(x, A, B, C, D) / derivative(x, A, B, C);while (fabs(h) >= EPSILON) {h = f(x, A, B, C, D) / derivative(x, A, B, C);x = x - h;}return x;}int main() {double A, B, C, D;printf("Enter the coefficients A, B, C and D: ");scanf("%lf %lf %lf %lf", &A, &B, &C, &D);double initialGuess = -A; // 初始化一个估计根的值double root = newtonRaphson(initialGuess, A, B, C, D);printf("Root: %lf\n", root);return 0;}```二、二分法求解三次方程的根二分法也是一种常用的数值求根方法，它通过不断将区间划分为两段，然后根据函数值的符号来确定根所在的区间，最终逼近根的值。