用二分法求方程的近似解
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把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近 零点 , 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 .
探究:若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解 ? 答案:二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此 函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解 ,如f(x)=(x-1)2的零点就不 能用二分法求解.
2n 即 2n>4 000, 而 210=1 024,211=2 048,212=4 096>4 000, 故需要计算的次数是 12.
答案:12
方法技巧 精确度ε与等分区间次数之间的关系 :若初始区间选定为 (a,b),则区
间长度为 b-a,等分 1 次,区间长度变为 b ? a ;等分 2 次,区间长度变为 b ? a ;则等分
.
答案:x3
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 二分法的概念 【例1】 (2017·恩施州高一月考)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能 用二分法求函数零点近似值的是 ( )
解析:能用二分法求函数零点的函数 ,在零点的左右两侧的函数值符号 相反,图象要穿过x轴.B图象不穿过x轴.故选B.
方法技巧 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适 用,即条件f(a)·f(b)<0是必不可少的,对函数的不变号零点不适用 .
2.二分法的步骤
给定精确度ε ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε .
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c):
①若f(c)=0,则c就是函数的零点; ②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈ (a,c) ); ③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈ (c,b) ). (4)判断是否达到精确度ε :即若 |a-b|<ε ,则得到零点近似值a(或b);否
2 所以方程的正根在 (0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算 ,列出下表:
区间 (0,1) (0,0.5) (0.25,0.5) (0.25,0.375) (0.25,0.312 5) (0.25,0.281 25) (0.265 625,0.281 25) (0.273 437 5,0.281 25)
.
解析:设至少需要计算 n 次,则 n 满足 b ? a <0.001, 2n
故结束计算的条件是 b ? a <0.001.
答案: b ? a <0.001
2n
2n
题型三 用二分法求方程的近似解 【例3】 用二分法求函数f(x)=2x3+3x-3在(0,1)上的一个近似零点.(精确 度0.1)
解:f(x)=2x3+3x-3,因为f(0)=-3<0,f(1)=2>0, 所以函数在(0,1)内存在 零点,即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有实数根. 取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f(1)>0, 所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有实数根. 如此继续下去,得到方程的一个实数根所在的区间 ,如下表:
3.1.2 用二分法求方程的近似解
课标要求:1.理解二分法求方程近似解的原理和步骤 .2.能根据具体的函 数,借助于学习工具,用二分法求出方程的近似解 .3.知道二分法是求方程 近似解的一种常用方法,体会“逐步逼近”的思想.
自主学习 课堂探究
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】
导入 在一档娱乐节目中 ,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格 ,若猜中了 ,就把物品奖 给选手 .某次竞猜的物品为价格在 600 ～1 000 元之间的一款手机 ,选手开始报价 : 选手 :800. 主持人 :低了. 选手 :900. 主持人 :高了. 选手 :850. 主持人 :高了. 选手 :825. 主持人 :祝贺你 ,答对了 .
中点值 0.5 0.25
0.375 0.312 5 0.281 25 0.265 625 0.273 437 5
因为|0.273 437 5-0.281 25|=0.007 812 5<0.01, 所以方程的根的近似值为0.273 437 5, 即f(x)=0的正根约为0.273 437 5.
中点函数近似值 0.732 -0.084 0.328 0.124 0.021 -0.032
因为|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1, 所以函数f(x)=2x3+3x-3在(0,1)上 的一个近似零点可取为0.75.
题后反思 二分法求解过程中,每次取中点求值可以利用列表的方式 ,使 计算步骤明确,当区间长度小于精确度时,即为计算的最后一步.
即时训练3-1:利用计算器,求方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1).
想一想 导入中的实例给出价格的一个范围 ,是如何逐步逼近其真实价 格的? (它是利用了二分法的思想 ,通过对中点值的判断 ,每次把区间一分为二 , 使区间的两个端点逐步逼近真实价格 ,从而在较短的时间内猜中真实价格 )
知识探究
1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上 连续不断 且 f(a)·f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地
解:作出y=lg x,y=2-x的图象可以发现,方程lg x=2-x有唯一解,设为x0, 并且在区间(1,2)内, 设f(x)=lg x+x-2, 用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0? x0∈(1,2); f(1.5)<0,f(2)>0 ? x0∈(1.5,2); f(1.75)<0,f(2)>0 ? x0∈(1.75,2); f(1.75)<0,f(1.875)>0 ? x0∈(1.75,1.875); f(1.75)<0,f(1.812 5)>0 ? x0∈(1.75,1.812 5). 因为|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1, 所以方程的近似解可取为1.812 5.
(C)[0,1]
(D)[ 1,2]
3.(精确度)用“二分法”可求近似解,对于精确度ε 说法正确的是(B )
(A)ε 越大,零点的精确度越高 (B)ε 越大,零点的精确度越低
(C)重复计算次数就是ε
(D)重复计算次数与ε 无关
4.(二分法的概念)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则不能利用二分法
求解的零点是
-0.005 43
则重复(2)～(4).
自我检测
1.(二分法的步骤)用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为
(D)
(A)(-1,0) (B)(0,1) (C)(2,3) (D)(1,2)
2.(二分法的步骤)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是
(A)
(A)[-2,-1]
(B)[-1,0]
2
22
n 次,区间长度变为 b ? a .要想达到精确度 ,需满足 b ? a <ε?
2n
2n
n>log2 b ? a . ?
即时训练2-1:下面关于二分法的叙述,正确的是 .(填序号) ①用二分法可求所有函数零点的近似值; ②用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位; ③二分法无规律可循; ④只有在求函数零点时才用二分法 .
(a,b)
(a,b) 的ห้องสมุดไป่ตู้点
f(a)
f(b)
f( a ? b )
2
(0,1) (0.5,1)
0.5 0.75
f(0)<0 f(0.5)<0
f(1)>0 f(1)>0
f(0.5)<0 f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
即时训练1-1:观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是
.
答案:①
题型二 二分法的步骤 【例2】 用二分法求方程f(x)=0在[0,4] 上的近似解时,至少经过 次 计算精确度可以达到0.001.
解析:初始区间是 [0,4], 精确度要求是 0.001,需要计算的次数 n 满足 4 ? 0 <0.001,
【备用例2】 已知函数f(x)=3x+ x ? 2 在(-1,+∞)上为增函数,求方程f(x)=0
x?1
的正根(精确度0.01).
解:由于函数 f(x)=3x+ x ? 2 在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增 ,
x?1
因此 f(x)=0 的正根最多有一个 . 因为 f(0)=-1<0,f(1)= 5 >0,
解析:只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号 , 才可以用二分法求函数的零点的近似值 ,故①错;二分法有规律可循,可以 通过计算机来进行,故③错;求方程的近似解也可以用二分法,故④错. 答案:②
【备用例1】 若用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为
0.001,则结束计算的条件是
探究:若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解 ? 答案:二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此 函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解 ,如f(x)=(x-1)2的零点就不 能用二分法求解.
2n 即 2n>4 000, 而 210=1 024,211=2 048,212=4 096>4 000, 故需要计算的次数是 12.
答案:12
方法技巧 精确度ε与等分区间次数之间的关系 :若初始区间选定为 (a,b),则区
间长度为 b-a,等分 1 次,区间长度变为 b ? a ;等分 2 次,区间长度变为 b ? a ;则等分
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答案:x3
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 二分法的概念 【例1】 (2017·恩施州高一月考)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能 用二分法求函数零点近似值的是 ( )
解析:能用二分法求函数零点的函数 ,在零点的左右两侧的函数值符号 相反,图象要穿过x轴.B图象不穿过x轴.故选B.
方法技巧 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适 用,即条件f(a)·f(b)<0是必不可少的,对函数的不变号零点不适用 .
2.二分法的步骤
给定精确度ε ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε .
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c):
①若f(c)=0,则c就是函数的零点; ②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈ (a,c) ); ③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈ (c,b) ). (4)判断是否达到精确度ε :即若 |a-b|<ε ,则得到零点近似值a(或b);否
2 所以方程的正根在 (0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算 ,列出下表:
区间 (0,1) (0,0.5) (0.25,0.5) (0.25,0.375) (0.25,0.312 5) (0.25,0.281 25) (0.265 625,0.281 25) (0.273 437 5,0.281 25)
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解析:设至少需要计算 n 次,则 n 满足 b ? a <0.001, 2n
故结束计算的条件是 b ? a <0.001.
答案: b ? a <0.001
2n
2n
题型三 用二分法求方程的近似解 【例3】 用二分法求函数f(x)=2x3+3x-3在(0,1)上的一个近似零点.(精确 度0.1)
解:f(x)=2x3+3x-3,因为f(0)=-3<0,f(1)=2>0, 所以函数在(0,1)内存在 零点,即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有实数根. 取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f(1)>0, 所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有实数根. 如此继续下去,得到方程的一个实数根所在的区间 ,如下表:
3.1.2 用二分法求方程的近似解
课标要求:1.理解二分法求方程近似解的原理和步骤 .2.能根据具体的函 数,借助于学习工具,用二分法求出方程的近似解 .3.知道二分法是求方程 近似解的一种常用方法,体会“逐步逼近”的思想.
自主学习 课堂探究
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】
导入 在一档娱乐节目中 ,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格 ,若猜中了 ,就把物品奖 给选手 .某次竞猜的物品为价格在 600 ～1 000 元之间的一款手机 ,选手开始报价 : 选手 :800. 主持人 :低了. 选手 :900. 主持人 :高了. 选手 :850. 主持人 :高了. 选手 :825. 主持人 :祝贺你 ,答对了 .
中点值 0.5 0.25
0.375 0.312 5 0.281 25 0.265 625 0.273 437 5
因为|0.273 437 5-0.281 25|=0.007 812 5<0.01, 所以方程的根的近似值为0.273 437 5, 即f(x)=0的正根约为0.273 437 5.
中点函数近似值 0.732 -0.084 0.328 0.124 0.021 -0.032
因为|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1, 所以函数f(x)=2x3+3x-3在(0,1)上 的一个近似零点可取为0.75.
题后反思 二分法求解过程中,每次取中点求值可以利用列表的方式 ,使 计算步骤明确,当区间长度小于精确度时,即为计算的最后一步.
即时训练3-1:利用计算器,求方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1).
想一想 导入中的实例给出价格的一个范围 ,是如何逐步逼近其真实价 格的? (它是利用了二分法的思想 ,通过对中点值的判断 ,每次把区间一分为二 , 使区间的两个端点逐步逼近真实价格 ,从而在较短的时间内猜中真实价格 )
知识探究
1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上 连续不断 且 f(a)·f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地
解:作出y=lg x,y=2-x的图象可以发现,方程lg x=2-x有唯一解,设为x0, 并且在区间(1,2)内, 设f(x)=lg x+x-2, 用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0? x0∈(1,2); f(1.5)<0,f(2)>0 ? x0∈(1.5,2); f(1.75)<0,f(2)>0 ? x0∈(1.75,2); f(1.75)<0,f(1.875)>0 ? x0∈(1.75,1.875); f(1.75)<0,f(1.812 5)>0 ? x0∈(1.75,1.812 5). 因为|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1, 所以方程的近似解可取为1.812 5.
(C)[0,1]
(D)[ 1,2]
3.(精确度)用“二分法”可求近似解,对于精确度ε 说法正确的是(B )
(A)ε 越大,零点的精确度越高 (B)ε 越大,零点的精确度越低
(C)重复计算次数就是ε
(D)重复计算次数与ε 无关
4.(二分法的概念)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则不能利用二分法
求解的零点是
-0.005 43
则重复(2)～(4).
自我检测
1.(二分法的步骤)用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为
(D)
(A)(-1,0) (B)(0,1) (C)(2,3) (D)(1,2)
2.(二分法的步骤)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是
(A)
(A)[-2,-1]
(B)[-1,0]
2
22
n 次,区间长度变为 b ? a .要想达到精确度 ,需满足 b ? a <ε?
2n
2n
n>log2 b ? a . ?
即时训练2-1:下面关于二分法的叙述,正确的是 .(填序号) ①用二分法可求所有函数零点的近似值; ②用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位; ③二分法无规律可循; ④只有在求函数零点时才用二分法 .
(a,b)
(a,b) 的ห้องสมุดไป่ตู้点
f(a)
f(b)
f( a ? b )
2
(0,1) (0.5,1)
0.5 0.75
f(0)<0 f(0.5)<0
f(1)>0 f(1)>0
f(0.5)<0 f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
即时训练1-1:观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是
.
答案:①
题型二 二分法的步骤 【例2】 用二分法求方程f(x)=0在[0,4] 上的近似解时,至少经过 次 计算精确度可以达到0.001.
解析:初始区间是 [0,4], 精确度要求是 0.001,需要计算的次数 n 满足 4 ? 0 <0.001,
【备用例2】 已知函数f(x)=3x+ x ? 2 在(-1,+∞)上为增函数,求方程f(x)=0
x?1
的正根(精确度0.01).
解:由于函数 f(x)=3x+ x ? 2 在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增 ,
x?1
因此 f(x)=0 的正根最多有一个 . 因为 f(0)=-1<0,f(1)= 5 >0,
解析:只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号 , 才可以用二分法求函数的零点的近似值 ,故①错;二分法有规律可循,可以 通过计算机来进行,故③错;求方程的近似解也可以用二分法,故④错. 答案:②
【备用例1】 若用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为
0.001,则结束计算的条件是