2019届吉林省吉化第一高级中学校高三下学期第三次模拟数学（理）试题

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吉林省吉林市普通中学2019届高中毕业班第三次调研测试理科数学试题(解析版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（全国卷Ⅱ）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出，则可求。

【详解】由题意知，所以，所以，故选C【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的并集运算，属基础题。

2.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据新定义，化简即可得出答案．【详解】∵cos i sin i，∴i)=i，此复数在复平面中对应的点（，）位于第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了复数的除法运算及复数的几何意义，涉及三角函数求值，属于基础题．3.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角α的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r 2故sinα，cosα∴sinαcosα故选：B．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．4.“成等差数列”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，成等差数列,而 ,但1,3,3,5不成等差数列,所以“，，，成等差数列”是“”的充分不必要条件,选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．5.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，则底面积为，侧棱长为，则可求侧面积为，所以表面积为。

2019届吉林省吉林市高三第三次调研理综化学试卷【含答案及解析】

2019届吉林省吉林市高三第三次调研理综化学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 下列有关物质应用的说法正确的是A ．烧碱可做食品干燥剂___________________________________B ．经常接触铅笔芯易造成铅中毒C ．盐类都可以用作调味品D ．蚕丝的主要成分是蛋白质2. 分子式为C 7 H 12 O 4 ，其中只含二个—COOCH 3 基团的同分异构体（不考虑手性异构）共有A ． 4种______________________________B ． 5种______________________________ C ． 6种______________________________ D ． 7种3. 将足量的稀盐酸加到由下列物质组成的固体混合物中，只能发生一种类型反应的是A．Al、Cu、AgNO 3_____________________________________ B．Na 2 O 2 、Na 2 SO3 、BaCl 2C．CaCO 3 、Na 2 SiO 3 、CH 3 COONa______________ D．Ba(NO 3 ) 2 、Fe(OH) 2 、NaOH4. 加热聚丙烯废塑料可以得到碳、氢气、甲烷、乙烯、丙烯、苯和甲苯。

用右图所示装置探究废旧塑料的再利用。

下列叙述错误的是A．装置乙的试管中可收集到芳香烃B．装置丙中的试剂可吸收烯烃以获得卤代烃C．最后收集的气体可做燃料D．聚丙烯的链节是—CH 2 —CH 2 —CH 2 —5. 镁电池放电时电压高而平稳，镁电池成为人们研制的绿色电池，一种镁电池的反应式为x Mg＋Mo 3 S 4 Mg x Mo 3 S 4 ，下列说法中正确的是A ．充电时Mg x Mo 3 S 4 只发生还原反应B．放电时Mo 3 S 4 只发生氧化反应C ．充电时阳极反应式为 Mo 3 S 4 2x－—2 x e － = Mo 3 S 4D ．放电时负极反应式为 x Mg= x Mg 2+ —2 x e －6. 下列关于0.5mol·L —1 NaHCO 3 溶液的说法正确的是A ．溶质的电离方程式为NaHCO 3 ＝Na + ＋H + ＋CO 3 2—B．加水稀释后， n (H + )与 n (OH — )的乘积变大C．离子浓度关系： c (Na + )＋ c (H + )＝ c (OH — )＋ c (HCO 3 — )＋ c (CO 3 2— )D．温度升高， c (HCO 3 — )增大7. 甲、乙、丙、丁4种物质分别含2种或3种元素，它们的分子中均含18个电子，甲是气态氢化物，在水中分步电离出两种阴离子，下列推断错误的是A．若某钠盐溶液含甲电离出的阴离子，则该溶液既可能与酸反应又可能与碱反应B．若乙与氧气的摩尔质量相同，则乙只能由2种元素组成C．若丙中含有第2周期ⅣA族的元素，则丙可能是甲烷的同系物D．若丁中各元素质量比跟甲中各元素质量比相同，则丁中一定含有—1价的元素二、实验题8. TiCl 4 是生产金属钛和钛白的原料，工业上主要用TiO 2 氯化的方法来制取。

2019-2020年高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题含答案

2019-2020年高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，且有4个子集，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2．复数等于（）A. B. C. D.03. 函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.4．等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（）A. 1B.－C. 1或－D. -1或－5. 已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（）A．1 B．C．2 D．6. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（）A. 4B. 8C. 10D. 128．若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 ( )A．1 B． C．D．9. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.10. 已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为3，则的值为（）A. B. C. 2 D. 311. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．定义在上的单调函数，则方程的解所在区间是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知等差数列中，,那么 .14. 5位同学排队，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排头，则排法种数为 .15. 已知球的直径，是球球面上的三点,，是正三角形，则三棱锥的体积为 . 16. 给出下列四个结论：（1）如图中，是斜边上的点，. 以为起点任作一条射线交于点，则点落在线段上的概率是；（2）设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；（3）若是定义在上的奇函数，且满足,则函数的图像关于对称;（4）已知随机变量服从正态分布则.其中正确结论的序号为三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面1万米的点时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得飞船位于其南偏东方向，仰角为，救援中心测得飞船位于其南偏西方向，仰角为．救援中心测得着陆点位于其正东方向．（1）求两救援中心间的距离；（2）救援中心与着陆点间的距离．18．(本小题满分12分)我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.市环保局对我市xx 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，空气质量指数0.032 0.020 0.018O 5 15 25 35 45 A BCD E北 A P东B C D由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，在锐角中，并且，.（1）点是上的一点，证明：平面平面；（2）若与平面成角，当面平面时，求点到平面的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆的左，右顶点分别为，圆上有一动点,点在轴的上方，，直线交椭圆于点，连接.(1)若,求△的面积;(2)设直线的斜率存在且分别为,若,求的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数.（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；②证明：不等式考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知点在⊙直径的延长线上，切⊙于点，是的平分线，交于点，交于点．（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）若，求．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于两点.（1）求的长；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知实数满足，且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：.哈尔滨市第六中学xx届高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）答案一．选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.D9.D 10.A 11.A 12.C二．填空题13. 14. 15.40 16.②③④三．解答题17. 解：（1）由题意知，则均为直角三角形………………1分在中，，解得…………………………2分在中，，解得…………………………3分又，万米. …………………………5分（2），，…………………………7分又，所以.…………………………9分在中，由正弦定理，…………………………10分万米…………………………12分18.(1) 解：由题意，得，……………1分解得. ……………2分（2）解：个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X=⨯+⨯+⨯+⨯=……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. …………4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则. ………5分的取值为，………6分，，，. ……………10分∴的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分（或者）19.解法一（1）因为，，由勾股定理得，因为平面平面，平面平面=，面，所以平面面，所以平面平面………6分M（2）如图，因为平面，所以平面平面，所以，做于，所以面，，设面面=，面平面所以面面，所以，取中点，得为平行四边形，由平面边长得为中点，所以………12分解法二（1）同一（2）在平面过做垂线为轴，由（1），以为原点，为轴建立空间直角坐标系,设平面法向量为，设，锐角所以，由，解得，，，解得或（舍）设，解得因为面平面，，所以面法向量为，所以，解得，所以到平面的距离为竖坐标．………12分20.（1）依题意，.设，则.由得, ,, 解得, . …………5分(2)设, 动点在圆上, .又, , 即====.又由题意可知,且,则问题可转化为求函数的值域.由导数可知函数在其定义域内为减函数,函数的值域为从而的取值范围为……12分21.（1）由已知得：，且函数在处有极值∴，即∴∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴函数的最大值为（2）①由已知得：(i)若，则时，∴在上为减函数，∴在上恒成立；(ii)若，则时，∴在上为增函数，∴，不能使在上恒成立；(iii)若，则时，，xyz当时，，∴在上为增函数，此时， ∴不能使在上恒成立；综上所述，的取值范围是 …………8分 ②由以上得：取得：令，则，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此. 又()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ 故1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()()11122111111111111n n n k k k kk k k kn k k ---===⎛⎫>-=-≥=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑ ……12分22．（1）因为为⊙的切线，所以…………1分因为是的平分线，所以…………2分所以，即，…………3分又因为为⊙的直径，所以…………4分. 所以.…………5分（2）因为，所以，所以∽，所以，………7分在中，又因为，所以，………8分中，………10分23.解:（1）直线的参数方程化为标准型（为参数） …… 2分代入曲线方程得设对应的参数分别为，则，，所以 …… 5分（2）由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标， …… 6分所以点在直线，中点对应参数为，由参数几何意义，所以点到线段中点的距离 ……10分 24.(1) ，相乘得证——————5分（2），，相加得证——————10分。

吉林省部分重点中学2019届高三第三次联合模拟考试理科数学

吉林省部分重点中学2019届高三第三次联合模拟考试理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·肇庆统测]若复数z 满足12i1i z +=+，则z =（）AB ．32 CD ．122．[2019·武汉六中]设集合{}2540A x x x =∈+->N ，集合[]0,2B =，则A B =（）A ．{}0,1,2B ．[]0,2C ．∅D ．{}1,23．[2019·海淀八模]如图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（）A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大C ．2008年以来我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年以来我国实际利用外资同比增速最大 4．[2019·湘潭一模]已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，223S a =，则3412a a a a +=+（） A ．14 B ．12 C ．2 D ．4 5．[2019·河南名校联考]已知函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1，且()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则b =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．[2019·肇庆统测]已知ABC △的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（） A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．4155AD AB AC =+ 7．[2019·遵义联考]如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为（）A． B ．4 C．D ．5 8．[2019·滨州期末]已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是PF 直线与抛物线C 的一个交点，若3PF FQ =，则QF =（） A ．3 B ．83 C ．4或83 D ．3或49．[2019·宁德期末]已知函数()32,0ln ,0x x x f x x x⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =--有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)0,2B ．[)0,1C ．(],2-∞D ．(],1-∞10．[2019·衡水中学]如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．1πB ．12πC ．112π- D ．1142π-11．[2019·湖北联考]椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线Ω：()222210,0x y m n m n -=>>焦点相同，F 为左焦点，曲线Γ与Ω在第一象限、第三象限的交点分别为A 、B ，且2π3AFB ∠=，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是（）A ．20x y -=B ．20x y += C．0x = D0y +=12．[2019·丰台期末]如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为（）AB ．1 CD ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·驻马店期中]设变量x ，y 满足约束条件：3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为_____．14．[2019·呼和浩特调研]已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =____． 15．[2019·长沙一模]为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A ，B ，C ，D ，E ，F 六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A ，B 两门课程至少要选1门，则学生甲共有__________种不同的选法． 16．[2019·黄山八校联考]不等式()2cos 3sin 3a x x -≥-对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·镇江期末]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且co s co s 3co s c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=，ABC △的面积为b ． 18．（12分）[2019·惠州调研]在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，BC AD ∥，90ADC ∠=︒，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为AD 的中点，F 为PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面BEF ；（2）求二面角F BE A --的余弦值．19．（12分）[2019·朝阳期末]某日A ，B ，C 三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B 市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C 市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格．记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A ，B ，C 三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）． 20．（12分）[2019·德州期末]已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，椭圆C 的离心率是12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，AQ 斜率分别为1k ，2k ，若1214k k =-，请判断直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．21．（12分）[2019·泉州质检]已知函数()ln 1x f x ae x x =++．（1）当1e a =-时，证明()f x 在()0,+∞单调递减；（2）当1e a ≥-时，讨论()f x 的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·哈尔滨三中]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =-，()k ∈R ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 6sin 80ρρθρθ--+=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有四个公共点，求k 的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·揭阳毕业]已知函数()22f x x a x =--+．（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[]2,2x ∈-时，不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】依题意()()()()12i 1i 12i31i 1i 1i 1i 22z +-+===+++-，∴z =C ．2．【答案】A【解析】集合{}{}{}2540150,1,2,3,4A x x x x x =∈+-=∈-<<=>N N ，集合[]0,2B =，则{}0,1,2A B =．故选A ．3．【答案】C【解析】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A 错误；我国实际利用外资规模2012年比2011年少，∴选项B 错误；从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，∴选项C 正确；2008年实际利用外资同比增速最大，∴选项D 错误；故选C ．4．【答案】A【解析】由题意得，22123S a a a =+=，2112a a =，公比12q =，则2341214a a q a a +==+，故选A ．5．【答案】A【解析】∵函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1，∴()()2f x f x -+=， ∴()()()()112222f f f f ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，即141a c a c +=⎧⎨+=⎩，得01a c =⎧⎨=⎩，∴()31f x x bx =++，()23f x x b '=+，又∵()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，∴()()17112f f -'=-，即531b b -+=-，解得1b =，故选A ．6．【答案】A【解析】画出图像如下图所示，故()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，故选A ． 7．【答案】C 【解析】∵根据三视图得出：几何体为下图AD ，AB ，AG 相互垂直，面AEFG ⊥面ABCDE ，BC AE ∥，3AB AD AG ===，1DE =，根据几何体的性质得出：AC =GC ==5GE =，BG =，4AE=，EF CE故最长的为GC =．故选C ． 8．【答案】B 【解析】设Q 到l 的距离为d ，则由抛物线的定义可得QF d =， ∵3PF FQ =，∴4PQ d =，1Q x >， ∴直线PF的斜率为= ∵抛物线方程为24y x =，∴()1,0F ，准线:1l x =-， ∴直线PF 的方程为)1y x =-，与24y x =联立可得53Q x =或35Q x =（舍去）， ∴58133QF d ==+=，故选B ． 9．【答案】A 【解析】绘制出()f x 的图像，()f x x a =+有3个零点，令()h x x a =+与()f x 有三个交点，则()h x 介于1号和2号之间，2号过原点，则0a =，1号与()f x 相切，则()2321f x x '=-=，1x =-，1y =，代入()h x 中，计算出2a =， ∴a 的范围为[)0,2，故选A ．10．【答案】C【解析】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形EFMN ，易知四边形EFMN 为正方形，设圆O 的半径为r ，则正方形EFMN 的边长也为r ，∴正方形的EFMN 的面积为2r ，阴影部分的面积为22222π2π22r r r r r ⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ∴阴影部分占总面积的比值为222π112π2πr r r -=-，即在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是112π-，故选C ．11．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为1F ，由题意点A 与点B 关于原点对称，因此1AF BF =，又2π3AFB ∠=，∴1π3FAF ∠=；由椭圆与双曲线定义可得12AF AF a +=，12AF AF m -=， ∴AF a m =+，1AF a m =-，根据余弦定理可得22211112cos FF AF AF AF AF FAF =+-∠，即()()()()222π42cos 3c a m a m a m a m =++--+-，化简得22243c m a =+≥，∴离心率乘积为2c c c a m am ⋅=≥，当且仅当223m a =（1）时，去等号; 由2222a b m n -=+，∴2222243c m b m n --=+，∴223b n =（2），再将（1）（2）代入2222a b m n -=+可得222m n =，∴双曲线的渐近线方程为0x =或0x =，故选C ． 12．【答案】C 【解析】延展平面EFG ，可得截面EFGHQR ，其中H 、Q 、R 分别是所在棱的中点，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，∴1D P ∥平面EFGHQR ，由中位线定理可得AC EF ∥，EF 在平面EFGHQR 内，AC 在平面EFGHQR 外， ∴AC ∥平面EFGHQR ， ∵1D P 与AC 在平面1D AC 内相交， ∴平面1D AC ∥平面EFGHQR ， ∴P 在AC 上时，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点， ∵BO 与AC 垂直，∴P 与O 重合时BP 最小，此时，三角形1PBB的面积最小，最小值为122⨯ 故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】92 【解析】作出变量x ，y 满足约束条件：3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩可行域如图，由2z x y =+知122zy x =-+， ∴动直线122zy x =-+的纵截距2z取得最大值时，目标函数取得最大值．由300x y x y +-=⎧⎨-=⎩得33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭．结合可行域可知当动直线经过点33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时，目标函数取得最大值3392222z =+⨯=．故答案为92．14．【答案】21n -【解析】∵11a =，12n n n a a +=+，∴1212a a =+，2322a a =+，3432a a =+，…，112n n n a a +=﹣﹣，等式两边分别累加得：121122221n n n a a +++==+-﹣，故答案为21n -．15．【答案】16【解析】总体种数有36C 20=，A ，B 都不选的个数有34C 4=，∴一共有16种．16．【答案】3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令sin x t =，11t -≤≤，则原函数化为()()23g t at a t =-+-，即()()33g t at a t =-+-，由()333at a t -+-≥-，()()21310at t t ----≥，()()()1130t at t --+-≥及10t -≤知，()130at t -+-≤，即()23a t t +≥-，（1）当0t =，1-时（1）总成立，对01t <≤，202t t <+≤，2max 332a t t -⎛⎫≥=-⎪+⎝⎭；对10t -<<，2104t t -≤+<，2min312a t t -⎛⎫≤= ⎪+⎝⎭，从而可知3122a -≤≤，故答案为3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）13；（2）3b =．【解析】（1）由cos cos 3cos c B b C a B +=及余弦定理得： 2222222223222a c b a b c a c b c b a ac ab ac +-+-+-+=，整理得22223ac a c b =+-， ∴由余弦定理得222213cos 223ac a c b B ac ac +-===．（2）∵在ABC △中，()0,πB ∈，又∵1cos 3B =，∴sin B =，由2CA CB -=得2BA =，即2c =，由1sin 2S ac B ==可得3a =，由余弦定理得2222212cos 3223293b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴3b =． 18．【答案】（1）见证明；（2）．【解析】（1）连接AC 交BE 于N ，并连接CE，FN ， ∵BC AD ∥，12BC AD =，E 为AD 中点，∴AE BC ∥，且AE BC =， ∴四边形ABCE 为平行四边形， ∴N 为AC 中点，又F 为PC 中点，∴NF PA ∥， ∵NF ⊂平面BEF ，PA ⊄平面BEF ，∴PA ∥平面BEF ．（2）〖解法1〗（向量法）连接PE ，由E 为AD的中点及PA PD =PE AD ⊥，则PE ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且交于AD ，∴PE ⊥面ABCD ，如图所示，以E 为原点，EA 、EB 、EP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0E ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，(P ． ∵F 为PC的中点，∴11,22F ⎛- ⎝⎭，∴()0,1,0EB =，11,22EF ⎛=- ⎝⎭，设平面EBF 法向量为(),,x y z =m，则0000110022y EB x y EF ++=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎪⎪⎩⎩m m ，取)=m ，平面EBA 法向量可取()0,0,1=n ，设二面角F BE A --的大小为θ，显然θ为钝角，∴cos cos ,θ⋅=-=-=m nm n m n F BE A --的余弦值为．（2）〖解法2〗（几何法1）连接PE ，由E 为AD的中点及PA PD ==，得PE AD ⊥， ∵1DE =，∴PE PD 中点M ，连ME ，MF ，MA ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且交于AD ，BE AD ⊥，∴BE ⊥面PAD ， ∵M E ⊂面PAD ，AE ⊂面PAD ，∴BE ME ⊥，BE AE ⊥， ∵F 为PC 的中点，M 为PD 的中点，M E PA ∥，NF PA ∥，∴ME NF ∥，∴M EA ∠为二面角F BE A --的平面角，在Rt PDE △中，cos PDE ∠=，ME = 在MDA △中，由余弦定理得MA =， ∴在MEA △中，由余弦定理得cos MEA ∠= ∴二面角F BE A --的余弦值为（2）〖解法3〗（几何法2）连接PE ，由E 为AD的中点及PA PD =，得PE AD ⊥， ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥面ABCD ， ∵1BC =，∴PE 连BD 交CE 于点Q ，则Q 为CE 中点，连QF ，QN ，FN ，∵F 为PC 的中点，∴PE FQ ∥，FQ ⊥面ABCD ，又QN BC ∥，∴QN BE ⊥，∴FN BE ⊥， ∴FNQ ∠为二面角F BE A --的平面角的补角在Rt FQN △中，12FQ PE ==1122QN BC ==，由勾股定理得FN =cos FNQ ∠=， ∴二面角F BE A --的余弦值为 19．【答案】（1）分布列见解析，期望为1；（2）C ，A ，B ．【解析】（1）B 市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500．∴中位数为2500，∴甲的购买价格为2500． C 市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故X 的可能取值为0，1，2． ()202224C C 10C 6P X ===，()112224C C 421C 63P X ====，()022224C C 12C 6P X ===．∴分布列为∴数学期望()()()()2100112212136E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯=．（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为C ，A ，B ．20．【答案】（1）22143x y+=；（2）过定点()1,0．【解析】（1）由点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率是12，可得22191412a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可解得222431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设点P ，Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，（i ）当直线PQ 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，（ii ）当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()()2224384120k x kmx m +++-=，由()()()2222226444341248430k m k m k m ∆=-+-=-+>，有2243k m +>，由韦达定理得：122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+，故()()1212121224y y k k x x ==-++，可得()()12124220y y x x +++=，可得()()()()12124220kx m kx m x x +++++=，整理为()()()2212124142440k x x km x x m ++++++=，故有()()22222412841424404343mkm k km m kk -+-+++=++，化简整理得2220m km k --=，解得：2m k =或m k =-，当2m k =时直线PQ 的方程为2y kx k =+，即()2y k x =+，过定点()2,0-不合题意，当m k =-时直线PQ 的方程为y kx k =-，即()1y k x =-，过定点()1,0，综上，由（i ）（ii ）知，直线PQ 过定点()1,0．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）当1e a =-时，()1e ln 1ex f x x x =-++，()1e ln 1x f x x -+'=-+，令()()()1e ln 10x g x f x x x -=-++'=>，则()10g =， ()11e x g x x-=-'+，在()0,+∞上为减函数，且()10g '=，令()0g x '>，得01x <<，∴()g x 的递增区间为()0,1，同理，可得()g x 的递减区间为()1,+∞， ∴()()10g x g ≤=，即()0f x '≤，故()f x 在()0,+∞单调递减．（2）由（1）得1e a =-时，()f x 在()0,+∞单调递减，又()10f =，∴1ea =-时，()f x 有一个零点．∵()f x 定义域为()0,+∞，故()f x x与()f x 有相同的零点，令()()e 1ln x f x a h x x xx x ==++，则()()()()2221e 11e 11xx x a a x h x x x x x -+-=+-='，当0a ≥时，()0,1x ∈时，()0h x '<，()1,x ∈+∞时，()0h x '>， ∴()()min 1e 10h x h a ==+>，()h x 无零点，()f x 也无零点．当10a -<<时，令()0h x '=，得1x =或1ln x a ⎛⎫=- ⎪，()1e 10h a =+>，当211e ea -≤≤-时，()()()222e 2e 222e 4222e e e e 2e 2e e 2e 0e e a h ------⋅=++<++=-++<，当210e a -<<，即21e a ->时，311e a a -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，31121111111e ln e ln 1110a ah a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--=---+<-----+<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故()h x 有一个零点，()f x 也有有一个零点．综上可知，当0a ≥时，()f x 无零点；当10ea -≤<时，()f x 有一个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）()()22132x y -+-=；（2）7k >．【解析】（1）由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入曲线2C 的极坐标方程可得222680x y x y +--+=，因此，曲线2C 的普通方程为()()22132x y -+-=．（2）将曲线1C 的方程可化为()()2,22,2k x x y k x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，由于曲线1C 与曲线2C 有四个公共点，直线()202kx y k x --=≥与曲线2C 相交且直线()202kx y k x +-=<与曲线2C 相交，<2670k k -->，解得1k <-或7k >，<2670k k +->，解得7k <-或1k >，∴7k <-或7k >，综上所述，实数k 的取值范围是7k >． 23．【答案】（1）()4,43⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭,；（2）12a ≤-．【解析】（1）①当2x <-时，()()22262f x x x x =-+++=+<，解得4x <-， ②当22x -≤<时，()()222322f x x x x =-+-+=--<，解得423x -<<，③当2x ≥时，()()22262f x x x x =--+=--<，解得2x ≥，综上知，不等式()2f x <的解集为()4,43⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭,．（2）当[]2,2x ∈-时，()()()()22121f x x a x a x a =--+=-++-，设()()g x f x x =-，则[]2,2x ∀∈-，()()()2210g x a x a =-++-≥恒成立，只需()()2020g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，即60420a ≥⎧⎨--≥⎩，解得12a ≤-．。

2019届吉林省普通高中高三第三次联合模拟数学(理)试题(解析版)

2019届吉林省普通高中高三第三次联合模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B I 子集的个数为（） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】首先求出A B I ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得. 【详解】解：{2,0,1,3}A =-Q ，{B x x =<，{2,0,1}A B ∴=-I ，A B ∴I 子集的个数为328=.故选：B . 【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 2．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（） A ．23-B ．23C ．3D ．-3【答案】B【解析】把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值．【详解】因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23m =. 【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.3．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一【答案】C【解析】通过图表所给数据，逐个选项验证. 【详解】根据图示数据可知选项A 正确；对于选项B ：1935.5238715720.9⨯=<，正确；对于选项C ：16635.31.523595.8⨯>，故C 不正确；对于选项D ：123595.878655720.93⨯≈>，正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（） A ．256 B ．-256 C ．32 D ．-32【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B【解析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式.6．函数4ln x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数奇偶性排除B ，C ；根据函数零点选A. 【详解】因为函数4ln x y x =为奇函数，排除B ，C ；又函数4ln x y x=的零点为1-和1，故选:A. 【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.7．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（） A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B【解析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r的方向为x 轴，CA u u u r 的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .故选：B. 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解. 8．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（） A ．()2)4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+ C ．()2)4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-【答案】A【解析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4k πϕπ=+，ϕ的最小值是4π.()0cos 14f A π==，则2A =，所以()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系.9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B【解析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =，所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题10．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（） A ．(1,2) B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】D【解析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C【解析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===，所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+，联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--；同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.12．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（）A ．16,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭U D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-，当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减；当1a e≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增；当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a =，故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷；对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立，只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭，即可得111,154alna e+<-≥，解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.二、填空题13．在区间[6,2]-内任意取一个数0x ，则0x 恰好为非负数的概率是________. 【答案】14【解析】先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“0x 恰好为非负数”的概率. 【详解】当0x 是非负数时，[]00,2x ∈，区间长度是202-=，又因为[]6,2-对应的区间长度是()268--=，所以“0x 恰好为非负数”的概率是2184P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.14．已知实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数21z x y =+-的最小值为__________．【答案】-4【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，，，对应的平面区域如图阴影所示；由z ＝x +2y ﹣1，得y 12=-x 122z++，平移直线y 12=-x 122z ++，由图象可知当直线y 12=-x 122z ++经过点A 时，直线y 12=-x 122z ++的纵截距最小，此时z 最小．由430y xx y =⎧⎨--=⎩，得A （﹣1，﹣1），此时z 的最小值为z ＝﹣1﹣2﹣1＝﹣4，故答案为﹣4．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题15．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种. 【答案】156【解析】先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可得到不同安排的方案数. 【详解】安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有11226542180C C C C =种，刘老师和王老师分配到一个班，共有11243224C C A =种，所以18024156-=种. 故答案为：156. 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过 “正难则反”的思想进行分析.16．在四面体ABCD 中，ABD ∆与BDC ∆都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为_______．【答案】2015π 【解析】先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积. 【详解】取BDC ∆的外心为1O ，设O 为球心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BDC ，取BD 的中点M ，连接AM ，1O M ，过O 做OG AM ⊥于点G ，易知四边形1OO MG 为矩形，连接OA ，OC ，设OA R =，1OO MG h ==.连接MC ，则1O ，M ，C 三点共线，易知3MA MC ==，所以13OG MO ==，123CO =.在Rt AGO ∆和1Rt OO C ∆中，222GA GO OA +=，22211O C O O OC +=，即()22233h R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，22223h R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以33h =，253R =，得153R =.所以342015==327O V R ππ球.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且22sin ()3cos 0B C A +-=. （1）求角A 的大小；（2）若,4B a π==，求边长c .【答案】（1）3π；（2【解析】（1）把B C A π+=-代入已知条件，得到关于cos A 的方程，得到cos A 的值，从而得到A 的值.（2）由（1）中得到的A 的值和已知条件，求出sin C ，再根据正弦定理求出边长c . 【详解】（1）因为A B C π++=，()22sin3cos 0B C A +-=，所以22sin 3cos 0A A -=，()221cos 3cos 0A A --=，所以22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=. 因为()cos 1,1A ∈-，所以1cos 2A =，因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1222=+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c aC A=，=，解得c =.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是边长为2的等边三角形，1BC BB ⊥，1CC =1AC =（1）证明：平面ABC ⊥平面11BB C C ；（2）M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，P 是线段1AC 上的动点，若二面角P MN C --的平面角的大小为30°，试确定点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）P 为线段1AC 上靠近1C 点的四等分点，且坐标为3323,,444P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）先通过线面垂直的判定定理证明1CC ⊥平面ABC ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角P MN C --的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出P 的坐标从而位置可确定. 【详解】（1）证明：因为2AC =，12CC =，16AC =，所以22211AC CC AC +=，即1AC CC ⊥.又因为1BC BB ⊥，11//BB CC ，所以1BC CC ⊥，AC BC C =I ，所以1CC ⊥平面ABC .因为1CC ⊂平面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C .（2）解：连接AM ，因为2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥. 由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11BB C C . 以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则平面11BB C C 的一个法向量是(0,0,1)m =r，3)A ，2,0)N ，1(12,0)C -.设1(01)AP t AC t =<<u u u r u u u u r，(,,)P x y z ，(,,AP x y z =-u u u r，1(1AC =-u u u u r ，代入上式得x t =-，y =，)z t =-，所以()P t --.设平面MNP 的一个法向量为()111,,n x y z =r，MN =u u u u r，()MP t =-u u u r，由00n MN n MP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v，得11110)0tx t z =-+-=⎪⎩.令1z t =，得,0,)n t =r.因为二面角P MN C --的平面角的大小为30︒，所以||||m n m n ⋅=u r ru r r=，解得3t 4=. 所以点P 为线段1AC 上靠近1C点的四等分点，且坐标为3,44P ⎛- ⎝⎭.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.19．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的*()n n N ∈个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．（1）当n 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2）当4n =时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望．【答案】（1）当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516；（2）见解析.【解析】（1）将有3个坑需要补种表示成n 的函数，考查函数随n 的变化情况，即可得到n 为何值时有3个坑要补播种的概率最大．（2）n ＝4时，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可．【详解】（1）对一个坑而言，要补播种的概率330133111222P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有3个坑要补播种的概率为312nnC ⎛⎫ ⎪⎝⎭.欲使312nn C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1331133111221122n n n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得56n ≤≤，因为*n N ∈，所以5,6,n =当5n =时，53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当6n =时，63615216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭；所以当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516. （2）由已知，X 的可能取值为0，1，2，3，4.14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X 的数学期望1422EX =⨯=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题．20．已知△ABC 的两个顶点A ,B 的坐标分别为(,0),圆E 是△ABC 的内切圆,在边AC ,BC ,AB 上的切点分别为P ,Q ,R ,|CP |=2,动点C 的轨迹为曲线G . （1）求曲线G 的方程;（2）设直线l 与曲线G 交于M ,N 两点,点D 在曲线G 上,O 是坐标原点OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r,判断四边形OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.【答案】（1）22142x y +=()0y ≠.（2）四边形OMDN 的面积是定值,.【解析】（1）根据三角形内切圆的性质证得4CA CB AB +=>，由此判断出C 点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线G 的方程.（2）将直线l 的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形OMDN 的面积，两种情况下四边形OMDN，由此证得四边形OMDN 的面积为定值. 【详解】（1）因为圆E 为△ABC 的内切圆,所以|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|PA |+|QB |=2|CP |+|AR |+|BR |=2|CP |+|AB |=4>|AB |所以点C 的轨迹为以点A 和点B 为焦点的椭圆（点C 不在x 轴上）, 所以c =a =2,b =所以曲线G 的方程为22142x y +=()0y ≠,（2）因为OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r，故四边形OMDN 为平行四边形. 当直线l 的斜率不存在时，则四边形OMDN 为为菱形，故直线MN 的方程为x =﹣1或x =1, 此时可求得四边形OMDN. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 方程是y =kx +m ,代入到22142x y +=,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣4=0,∴x 1+x 22412km k -=+,x 1x 2222412m k-=+,△=8(4k 2+2﹣m 2)>0, ∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m 2212m k =+,|MN|212k=+点O 到直线MN 的距离d =由OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r,得x D 2412kmk -=+,y D2212m k =+， ∵点D 在曲线C 上,所以将D 点坐标代入椭圆方程得1+2k 2=2m 2,由题意四边形OMDN为平行四边形, ∴OMDN的面积为S==,由1+2k2=2m2得S=故四边形OMDN的面积是定值,.【点睛】本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.21．已知函数()ln()(0)x af x e x a a-=-+>.（1）证明：函数()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点x，判断出()f x的单调性，从而()minf x可确定，利用()min1f x=以及1lny xx=-的单调性，可确定出,x a之间的关系，从而a的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x af x e x a a-=-+>，∴1()x af x ex a-'=-+.∵x ae-在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减，∴函数()f x'在(0,)+∞上单调递增.又1(0)aaaa ef ea ae--'=-=，令()(0)ag a a e a=->，()10ag a e'=-<，则()g a在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g<=-，故(0)0f'<.令1m a=+，则1()(1)021f m f a ea''=+=->+所以函数()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x aex a-=+（）. 函数1()x af x ex a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点(0,2)M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状；（2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B两点，若11||||4MA MB +=，求sin α的值.【答案】（1）22(2)(2)8x y -++=，以(2,2)-为圆心，（2）sin 4α=【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到2C 的直角坐标方程并判断形状；（2）联立直线参数方程与2C 的直角坐标方程，根据直线参数方程中t的几何意义结合11||||4MA MB +=求解出sin α的值. 【详解】解：（1）由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4cos 4sin ρθθ=-，所以24cos 4sin ρρθρθ=-，即2244x y x y +=-，22(2)(2)8x y -++=. 所以曲线2C 是以(2,2)-为圆心，.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入22(2)(2)8x y -++=，整理得24cos 40t t α--=.设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则124cos t t α+=，124t t =-.12121211||||||||||||444t t t t MA MB MA MB MA MB t t +-++======，解得21cos16α=，则sin α==. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中t 的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ραρθ==；（2）若要使用直线参数方程中t 的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于t 的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解. 23．已知函数()|||25|(0)f x x a x a =++->. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）8{|2}3x x x ≤≥或；（2）13(2,]5. 【解析】（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到a 的取值范围，判断x a +，4x +为正，去掉绝对值，转化为254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立,得到4a ≤，4254a x a -≤-≤-，在[],22x a a ∈-恒成立，从而得到a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()33,252257,22533,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，由()5f x ≥，得2335x x <-⎧⎨-≥⎩，即223x x <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，2x <-或52275x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≥⎩，即5222x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤⎩，22x -≤≤ 或52335x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，即5283x x ⎧>⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，83x ≥ 综上：2x ≤或83x ≥，所以不等式()5f x ≥的解集为8{|2}3x x x 或≤≥. （2）()4f x x ≤+，()254f x x a x x =++-≤+，因为[],22x a a ∈-，22a a ->，所以2a >，又[],22x a a ∈-，0x a +>，40x +>，得254x a x x ++-≤+.不等式恒成立，即254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立，不等式恒成立必须4a ≤，4254a x a -≤-≤-，解得129a x a +≤≤-. 所以21449a a a a ≥+⎧⎨-≤-⎩，解得1315a ≤≤，结合24a <≤，所以1325a <≤，即a 的取值范围为132,5⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.。

吉林省吉林市2019届高三第三次调研测试理科综合化学试卷Word版含答案

吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第三次调研测试理科综合能力测试-化学注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分300分，考试时间150分钟。

可能用到的相对原子量：H 1 C 12 N 14 O 16 S 32 Ca 40 Fe 56 Co 59第I 卷（共126分）一、选择题：本题包括13个小题，每小题6分，每小题只有一个选项符合题意。

可用于盛装食品可用于盛放碳酸钠溶液可用于运输浓硫酸不宜长时间存放酸性或碱性的食物8．三位分别来自法国、美国、荷兰的科学家因研究“分子机器的设计与合成”而获得2016年诺贝尔化学奖。

纳米分子机器日益受到关注，机器的“车轮”常用组件如下：下列说法错误的是A. ①、③均能发生加成反应B. ②、④互为同分异构体C. ①、②、③、④均属于烃D. ①和②的一氯代物同分异构体数目相同 9．设N A 为阿伏加德罗常数的数值，下列有关说法正确的是 A ．60克的乙酸和葡萄糖混合物充分燃烧消耗O 2分子数为2N A B ．5.8g 熟石膏(2CaSO 4·H 2O)含有的结晶水分子数为0.04N AC．把4.6g乙醇完全氧化变成乙醛，转移电子数为0.1N AD．将1 mol Cl2通入水中，HClO、Cl—、ClO—的粒子数之和为2N A10. 下列离子方程式书写正确的是A. 在AlCl3溶液中滴入过量的氨水：Al3＋＋4OH―＝AlO2—＋2H2OB. NaHSO4与Ba(OH)2两溶液混合后溶液呈中性：H+＋SO42—＋Ba2+＋OH—＝BaSO4↓＋H2OC．向FeBr2溶液中通入氯气，当n(FeBr2)∶n(Cl2) ＝4∶5时：2Fe2+＋4Br—＋3Cl2＝2Fe3+＋2Br2＋6Cl—D．CuCl2溶液与NaHS溶液反应，当n(CuCl2)∶n(NaHS)＝1∶2时：Cu2＋＋2HS―＝CuS↓＋H2S↑11. 某化学课外活动小组拟用铅蓄电池进行电絮凝净水的实验探究，设计的实验装置示意图如下。

【名校试题】吉林省吉林市2019届高三第三次调研测试数学(理)答案

结合列联表 K 2 100(35 25 15 25)2 4.17 6.635 5050 60 40
故没有 99％把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动。------------------------------------------------ 12 分
19.解：

（2）把曲线
C1
的参数方程为

x

1

2 t
2 （ t 为参数），代入 y2 4x 得 t2 6
2t 6 0 ，

y

1

2t 2
---------------6 分
设 t1, t2 是 A, B 对应的参数，则 t1 t2 6 2 ，t1 t2 6
4
x2

8 t
x

0 ，解得
xA

0
，
x1

8t t2 4
，同理
xB

0，
x2

24t t2 36
---------6 分
S四边形ACBD
SACB
SADB

1 2
AB
x2
x1
32(t3 12t) = t4 40t2 144
32(t 12)
=
t
2

144 t2
AE ( 3 , 0, 1) ， AC ( 22
3, 2m, 0) ，设平面 AEC 的法向量 n2 (x2, y2, z2 ) ，
由

AE
n2

0
得

AC n2 0

3 2

吉林省吉林市2019届高三第三次调研测试数学(理)试卷(有答案)

吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知集合{1,1},A =-2{|20,}B x x x x Z =+-<∈，则A B =A. {1}-B. {1,1}-C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-2. 欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”,iie π表示的复数位于复平面内A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知角α的终边经过点(P -，则sin 2α的值为A.B.C.12-D. 4. “,,,a b c d 成等差数列”是“a d b c +=+”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．正三棱锥的三视图如右图所示，则该正三棱锥的表面积为6. 已知双曲线2222:1(0,0)yxC a b a b -=>>的焦点F 到渐近线距离与顶点A到渐近线距离之比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为A.y=± B. y =C. y x =D.y x = 7. 已知AB 是圆22620x y x y+-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于A.B.C.D. 8. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A. 213log 32+B. 2log 3C. 2D. 39. 将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间为A. 7[,]()1212k k k Z ππππ++∈B. [,]()63k k k Z ππππ-+∈ C. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈D. [,]()36k k k Z ππππ-+∈ 10. 已知,αβ是[0,]π上的两个随机数，则满足1sin βα<的概率为正视图俯视图侧视图A.2πB.22π C.4πD.24π11. 已知抛物线24y x =的焦点F ，点(4,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长取最小值时，线段PF 的长为A. 1B.134C. 5D.21412. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意实数x ，都有()()2f x f x x =-+，当0x <时，()21f x x '<+，若(1)()22f a f a a -≤-+-，则实数a 的最小值为 A. 1-B.12- C.12D. 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 52()x x-展开式中含x 项的系数为 . 14. 已知向量(,1),(1,1)a m b =-=，若||||||a b a b -=+，则实数m = . 15. 某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（ⅰ）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；（ⅱ）若开启2号或4号，则关闭1号；（ⅲ）禁止同时关闭5号和1号.现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是 . 16. 已知函数23,()63,x x af x x x x a+>⎧=⎨++≤⎩，若函数()()2g x f x x =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分。

2019届吉林省吉林市高三第三次调研测试数学(理)(word版)后附详解

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1.已知集合{1,1},A =-2{|20,}B x x x x Z =+-<∈，则A B =A. {1}-B. {1,1}-C. {1,0,1}- D. {1,0,1,2}-2.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”,4i i e π表示的复数位于复平面内A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 已知角α的终边经过点(P -，则sin 2α的值为A.B. C. 12-D. 4.“,,,a b c d 成等差数列”是“a d b c +=+”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为侧视图A. y =±B.y =C. y x =D. y x = 7.已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于A.B. C.D. 8.执行如图所示的程序框图，则输出SA.213log 32+ B. 2log 3C. 2D. 3 9. 将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间为A. 7[,]()1212k k k Z ππππ++∈ B. [,]()63k k k Z ππππ-+∈ C.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D. [,]()36k k k Z ππππ-+∈ 10. 已知,αβ是[0,]π上的两个随机数，则满足1sin βα<的概率为A. 2πB. 22πC. 4π D. 24π11. 已知抛物线24y x =的焦点F ，点(4,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长取最小值时，线段PF 的长为A. 1B. 134C.5 D. 214 12. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意实数x ，都有()()2f x f x x =-+，当0x <时，()21f x x '<+，若(1)()22f a f a a -≤-+-，则实数a 的最小值为A. 1-B. 12-C.12 D. 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.52()x x -展开式中含x 项的系数为 . 14. 已知向量(,1),(1,1)a m b =-=，若||||||a b a b -=+，则实数m = .15.某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（ⅰ）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；（ⅱ）若开启2号或4号，则关闭1号；（ⅲ）禁止同时关闭5号和1号.现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是 .16.已知函数23,()63,x x a f x x x x a +>⎧=⎨++≤⎩，若函数()()2g x f x x =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分。

【2019吉林高考三模】吉林省吉林市2019届高三第三次调研测试数学(理)

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知集合{1,1},A =-2{|20,}B x x x x Z =+-<∈，则A B =A. {1}-B. {1,1}-C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-2. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”,4i ieπ表示的复数位于复平面内A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知角α的终边经过点(P -，则sin2α的值为A.B.C. 12-D. 4. “,,,a b c d 成等差数列”是“a d b c +=+”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．正三棱锥的三视图如右图所示，则该正三棱锥的表面积为6. 已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为A.y =± B. y =正视图俯视图侧视图C. 2y x =D. 4y x = 7. 已知AB 是圆22620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于A.B.C.D.8. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A. 213log 32+ B. 2log 3 C. 2 D. 39. 将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间为 A. 7[,]()1212k k k Z ππππ++∈B. [,]()63k k k Z ππππ-+∈C. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈D. [,]()36k k k Z ππππ-+∈ 10. 已知,αβ是[0,]π上的两个随机数，则满足1sin βα<的概率为A. 2πB. 22πC. 4πD. 24π 11. 已知抛物线24y x =的焦点F ，点(4,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长取最小值时，线段PF 的长为A. 1B.134 C. 5 D. 21412. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意实数x ，都有()()2f x f x x =-+，当0x <时，()21f x x '<+，若(1)()22f a f a a -≤-+-，则实数a 的最小值为A. 1-B. 12-C. 12D. 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 52()x x-展开式中含x 项的系数为.。

吉林省吉林市吉化第一高级中学2024学年高三第三次教学质量检测试题数学试题卷

吉林省吉林市吉化第一高级中学2024学年高三第三次教学质量检测试题数学试题卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（）A ．32B ．25C ．26D ．272．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为 A ． B ． C ．D ．3．已知角α的终边经过点P(0sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12B 3C ．12-D ．3 4．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）. A ．432B ．576C ．696D ．9605．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()UA B ⋂=（）A ．()(),35,-∞+∞B ．(](),35,-∞+∞C ．(][),35,-∞+∞D ．()[),35,-∞+∞6．521mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-27．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,78．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --9．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（）A ．112n n n S S ++-=B ．2nn a =C ．21nn S =-D ．121n n S -=-10．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种11．函数cos 23sin 20,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年吉林省吉林市高三下学期第三次调研数学试卷(理科) (解析版)

2019-2020学年吉林省吉林市高三第二学期第三次调研数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则A∩B＝（）A．{2}B．{﹣1，0}C．{﹣1}D．{﹣1，0，1} 2．复数z满足z（1﹣i）＝1（其中i为虚数单位），则z＝（）A．B．C．D．3．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．﹣1D．14．已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，α⊥β的充分条件是（）A．m∥n，m⊂α，n⊂βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3C．D．6．函数的对称轴不可能为（）A．B．C．D．7．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（3）＝（）A．﹣18B．18C．﹣2D．28．已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列，若a6+a7+a8＝26，且a5•a9＝36，则＝（）A．B．或C．D．9．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF2|＝2，则∠F1PF2的大小为（）A．150°B．135°C．120°D．90°10．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A'F'＝2F'A，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）A．B．C．D．12．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，若△PF1F2的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．二项式（2﹣x）5展开式中x3的系数是．14．已知两圆相交于两点A（a，3），B（﹣1，1），若两圆圆心都在直线x+y+b＝0上，则a+b的值是．15．若点P（cosα，sinα）在直线y＝2x上，则的值等于．16．已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣+λa n且a1＝，设f（x）＝e x﹣e2﹣x+1，则f（log2a1）+f（log2a2）+…+f（log2a7）的值等于．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求角B的大小；（2）若，D为△ABC外一点，DB＝2，CD＝1，求四边形ABDC面积的最大值．18．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下2×2列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）（Ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（Ⅱ）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式其中n＝a+b+c+d）19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝CD，∠DAB＝60°，点E，F分别为CD，AP的中点．（1）证明：PC∥面BEF；（2）若PA⊥PD，且PA＝PD，面PAD⊥面ABCD，求二面角F﹣BE﹣A的余弦值．20．已知倾斜角为的直线经过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，与抛物线C相交于A、B两点，且|AB|＝8．（1）求抛物线C的方程；（2）设P为抛物线C上任意一点（异于顶点），过P做倾斜角互补的两条直线l1、l2，交抛物线C于另两点C、D，记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为α，直线CD的倾斜角为β，求证：α与β互补．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（a﹣b﹣1）x+b+1（a，b∈R）．（1）若a＝0，试讨论f（x）的单调性；（2）若0＜a＜2，b＝1，实数x1，x2为方程f（x）＝m﹣ax2的两不等实根，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设A，B为曲线C1上位于第一，二象限的两个动点，且，射线OA，OB交曲线C2分别于D，C，求△AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积．23．已知a，b，c均为正实数，函数的最小值为1．证明：（1）a2+b2+4c2≥9；（2）．参考答案一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则A∩B＝（）A．{2}B．{﹣1，0}C．{﹣1}D．{﹣1，0，1}【分析】由集合A＝{﹣1，0，1，2}，求出B＝{x|x＜1}，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝lg（4﹣x）}＝{x|x＜1}，故选：B．2．复数z满足z（1﹣i）＝1（其中i为虚数单位），则z＝（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵复数z满足z（1﹣i）＝1，∴z（1﹣i）（1+i）＝3+i，化为2z＝1+i，故选：B．3．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．﹣1D．1【分析】根据向量的坐标即可求出和的值，然后根据投影的计算公式即可求出投影的值．解：∵，，∴在方向上的投影为．故选：A．4．已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，α⊥β的充分条件是（）A．m∥n，m⊂α，n⊂βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β【分析】α⊥β的充分条件，即能够推出α⊥β的条件，根据空间直线和平面的位置关系，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：对于A，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故A错误；对于B，若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β，故B错误；对于D，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D正确．故选：D．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3C．D．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为直三棱柱ABC﹣EFG截去一个三棱锥H ﹣EFC，直三棱柱的底面三角形ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，AB⊥BC，AE ＝2，由棱柱体积减去棱锥体积得答案．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱柱ABC﹣EFG截去一个三棱锥H﹣EFC，AE＝2，故选：A．6．函数的对称轴不可能为（）A．B．C．D．【分析】根据余弦函数的对称性，求出函数的对称轴，结合条件进行判断即可．解：由2x+＝kπ，k∈Z，得x＝kπ﹣，即函数的对称轴为x＝kπ﹣，k∈Z，当k＝﹣1时，x＝﹣，故选：D．7．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（3）＝（）A．﹣18B．18C．﹣2D．2【分析】根据题意，分析可得f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1），由函数的解析式计算可得答案．解：根据题意，f（x）满足f（x+4）＝f（x），令x＝﹣1可得，f（3）＝f（﹣1），f（x）为定义在R上的奇函数，则f（﹣6）＝﹣f（1），则f（3）＝﹣f（1）＝﹣2，故选：C．8．已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列，若a6+a7+a8＝26，且a5•a9＝36，则＝（）A．B．或C．D．【分析】由题意利用比数列的性质求得a7、a6+a8、a6•a8的值，可得要求式子的值．解：数列{a n}为各项均为正数的等比数列，若a6+a7+a8＝26，且a3•a9＝＝36，∴a7＝6，a6+a8＝20，a6•a8＝＝36．故选：A．9．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF2|＝2，则∠F1PF2的大小为（）A．150°B．135°C．120°D．90°【分析】由|PF1|+|PF2|＝6，且|PF1|＝4，易得|PF2|；通过求解△F1PF2，用余弦定理求解．解：∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6﹣|PF1|＝2．cos∠F4PF2＝＝﹣，故选：C．10．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】可以得出，，即得出0＜a＜1，b＞1，从而可得出a b＜a，这样即可得出a，b，c的大小关系．解：∵，，∴0＜a＜1，b＞1，∴c＜a＜b．故选：B．11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A'F'＝2F'A，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）A．B．C．D．【分析】设AF′＝a，则A′F′＝2a，小正六边形的边长为A′F′＝2a，利用余弦定理可得大正六边形的边长为，再利用面积之比可得结论．解：由题意，设AF′＝a，则A′F′＝2a，即小正六边形的边长为A′F′＝2a，在△AF′F中，即，所以，大正六边形的边长为，大正六边形的面积为，故选：D．12．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，若△PF1F2的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3【分析】不妨设点P在渐近线上，且P在第一象限，利用数据想的面积求解P的坐标，以F1F2为直径的圆经过点P，结合平面向量数量积的坐标运算和b2＝c2﹣a2，可以推出c2（c2﹣4a2）＝0，求解离心率即可．解：不妨设点P、Q在渐近线y＝x上，且P在第一象限，如图所示，∴，解得y P＝，∴点P（，），∴（+c，）•（﹣c，）＝6，化简整理得12a2b2﹣9c2+12b4＝0，∴12a2（c2﹣a2）﹣9c4+12（c2﹣a2）2＝4，即3c2（c2﹣4a7）＝0，∴c2＝4a2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．二项式（2﹣x）5展开式中x3的系数是﹣40．【分析】根据二项式（2﹣x）5展开式的通项公式，求出x3的系数即可．解：∵二项式（2﹣x）5展开式的通项公式是T r+1＝•25﹣r•（﹣x）r，∴T7+1＝•22•（﹣x）3；故答案为：﹣40．14．已知两圆相交于两点A（a，3），B（﹣1，1），若两圆圆心都在直线x+y+b＝0上，则a+b的值是﹣1．【分析】根据题意，由圆与圆的位置关系可得线段AB的垂直平分线为x+y+b＝0，求出直线AB的斜率，分析可得a的值，求出AB的中点坐标，将其代入直线x+y+b＝0的方程，计算可得b的值，即可得答案．解：根据题意，两圆相交于两点A（a，3），B（﹣1，1），而两圆圆心都在直线x+y+b ＝0上，则线段AB的垂直平分线为x+y+b＝3，则k AB＝1，则A（1，3），B（﹣1，1），则AB的中点坐标为（0，4），则a+b＝1﹣2＝﹣1，故答案为：﹣815．若点P（cosα，sinα）在直线y＝2x上，则的值等于．【分析】根据点P在直线上，得到sinα和cosα之间的关系，利用同角三角函数基本关系式公式和诱导公式化简得出答案．解：∵点P（cosα，sinα）在直线y＝2x上，∴sinα＝2cosα，解得：cos2α＝；故答案为：﹣．16．已知数列{a n}的前n项和S n＝﹣+λa n且a1＝，设f（x）＝e x﹣e2﹣x+1，则f（log2a1）+f（log2a2）+…+f（log2a7）的值等于7．【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式，再利用对数的运算和相消法的应用求出结果．解：数列{a n}的前n项和S n＝﹣+λa n且a1＝，当n＝1时，，解得λ＝2．当n≥2时，②，①﹣②得：a n＝2a n﹣7a n﹣1，整理得（常数），所以（首项符合通项），所以，故答案为：7三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）求角B的大小；（2）若，D为△ABC外一点，DB＝2，CD＝1，求四边形ABDC面积的最大值．【分析】（1）利用正弦定理将中的边化角，再结合A＝π﹣（B+C）与正弦的两角和公式可推出，从而求得tan B以及B的值．（2）在△BCD中，由余弦定理可得BC2＝5﹣4cos D，易知△ABC为等边三角形，从而求得S△ABC；由正弦面积公式知S△BDC＝BD•CD sin D，而S ABDC＝S△ABC+S△BDC，再结合辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．解：（1）由正弦定理得，＝，∵，∴，∵B∈（8，π），（2）在△BCD中，BD＝2，CD＝1，∵，，∴△ABC为等边三角形，又，故当D﹣＝，即时，四边形ABDC的面积取得最大值，为．18．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下2×2列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面2×2列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）（Ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；（Ⅱ）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式其中n＝a+b+c+d）【分析】（1）根据已知条件补充完整2×2列联表，由K2的公式计算出观测值，并与临界值进行对比即可作出判断；（2）（I）由分层抽样的特点求出，需要从不足120分的学生中抽取4人，从而确定X 的可能取值为0，1，2，3，4，再结合超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列；（II）先利用古典概型求出从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为0.6，再设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y，则Y～B（20，0.6），然后根据二项分布的性质即可求出数学期望和方差．解：（1）补充完整的2×2列联表如下，分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045∴（2）（I）由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人，，，，，．X01234P（II）从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y，则Y～B（20，0.6），故E（Y）＝20×0.6＝12，D（Y）＝20×0.4×（1﹣0.6）＝4.8．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝CD，∠DAB＝60°，点E，F分别为CD，AP的中点．（1）证明：PC∥面BEF；（2）若PA⊥PD，且PA＝PD，面PAD⊥面ABCD，求二面角F﹣BE﹣A的余弦值．【分析】（1）连接AC，交BE于H，连接FH，易证△ABH≌△CEH，故AH＝CH，即点H为AC的中点，从而得FH∥PC，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）取AD的中点O，连PO，OB，则PO⊥AD，由面PAD⊥面ABCD，可推出PO⊥OB，由∠DAB＝60°和AD＝AB，可证得OB⊥AD，故以OA，OB，OP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝2，依次写出A、B、D、P和F的坐标，由PO⊥面ABCD，知面ABE的一个法向量为，根据法向量的性质可求得面BEF的法向量，再由cos＜＞＝即可得解．解：（1）证明：连接AC，交BE于H，连接FH，∵点E为CD的中点，AB∥CD，∴△ABH≌△CEH，∴AH＝CH，即点H为AC的中点，∵FH⊂面BEF，PC⊄面BEF，∵PA＝PD，∴PO⊥AD，∴PO⊥面ABCD，∴PO⊥OB，以OA，OB，OP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∴，，设面BEF的法向量为，则，即，∴cos＜＞＝＝＝，故二面角F﹣BE﹣A的余弦值为．20．已知倾斜角为的直线经过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，与抛物线C相交于A、B两点，且|AB|＝8．（1）求抛物线C的方程；（2）设P为抛物线C上任意一点（异于顶点），过P做倾斜角互补的两条直线l1、l2，交抛物线C于另两点C、D，记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为α，直线CD的倾斜角为β，求证：α与β互补．【分析】（1）设直线AB的方程为，令A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，利用韦达定理，结合抛物线的定义|AB|＝y1+y2+p＝4p，求解p，得到抛物线方程．（2）设，，，设l1的方程为，与x2＝4y联立，利用韦达定理，转化求解直线CD的斜率，结合函数的导数，推出α与β互补．解：（1）由题意设直线AB的方程为，令A（x1，y1）、B（x2，y8），联立得，根据抛物线的定义得|AB|＝y1+y2+p＝4p，又|AB|＝6，∴4p＝8，p＝2，（2）证明：依题意，设，，，消去y得，∴x C+x D＝﹣2x0，直线CD的斜率＝＝，切线l的斜率．由K l+K CD＝0，得α与β互补．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（a﹣b﹣1）x+b+1（a，b∈R）．（1）若a＝0，试讨论f（x）的单调性；（2）若0＜a＜2，b＝1，实数x1，x2为方程f（x）＝m﹣ax2的两不等实根，求证：．【分析】（1）根据导数符号与函数单调性的关系即可求得函数f（x）的单调性；（2）实数x1，x2为方程f（x）＝m﹣ax2的两不等实根，则，要证，即证，令，即转化为单变量不等式，移项结合函数最值即可证明．解：（1）依题意x＞0，当a＝0时，，①当b≤﹣1时，f'（x）＞7恒成立，此时f（x）在定义域上单调递增；②当b＞﹣1时，若，f'（x）＞7；若，f'（x）＜0．（5）证明：由f（x）＝m﹣ax2得lnx+（a﹣2）x+2﹣m＝3，依题意有lnx1+（a﹣2）x1＝lnx2+（a﹣2）x4，要证，即证，∵，∴g（t）＜g（1）＝7，从而有．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设A，B为曲线C1上位于第一，二象限的两个动点，且，射线OA，OB交曲线C2分别于D，C，求△AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）由曲线C1的参数方程为（α为参数）消去参数得即，（2）依题意得C6的极坐标方程为则，，∴，当且仅当ρ4＝ρ2（即时取“＝”）此时＝故所求四边形的面积为．23．已知a，b，c均为正实数，函数的最小值为1．证明：（1）a2+b2+4c2≥9；（2）．【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为++，再由乘1法和三元均值不等式，即可得证；（2）由二元均值不等式，结合累加法和不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）≥|x+﹣x+|+＝++，当﹣≤x≤时，上式取得等号，则f（x）的最小值为++，所以a2+b7+4c2＝（a2+b5+4c2）（++）≥3•3＝9，当且仅当a＝b＝2c时，等号成立；+≥，三式相加可得2（++）≥2（++），可得++≤1（当且仅当a＝b＝6c取得等号）．。

2019年吉林市高三第三次调研考数学试题(理)

2019年吉林市高三第三次调研考数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}3．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．4．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）A．求24名男生的达标率B．求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数D．求24名男生的不达标人数5．等比数列{an }中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A．9 B．15 C．18 D．306．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．27．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A． B．C．D．8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x 1+x2=（）A．B．C．D．10．设n∈N*，则=（）A．B．C．D．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n ∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知lgcosx=﹣，则cos2x= ．14．（1﹣）7的展开式中x2的系数为．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为．16．已知Sn 为数列{an}的前n项和，若an（2+sin）=n（2+cosnπ），且S4n=an2+bn，则a﹣b= ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知C为锐角且asinA=bsinBsinC，b=2a．（1）求tanC的值；（2）若a+c=6，求△ABC的面积．18．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16，；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（1）如果a=11，求B组的7位病人康复时间的平均数和方差；（2）如果a=14，设甲与乙的康复时间都低于15，记甲的康复时间与乙的康复时间的差的绝对值X，求X的分布列及数学期望．19．在四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，AD⊥PA，△ADC、△PAD均为等腰三角形，AD=4AB=4，M为线段CP上一点，且=λ（0≤λ≤1）．（1）若λ=，求证：MB∥平面PAD；（2）若λ=，求二面角C﹣AB﹣M的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的倍，且过点（2，）．（1）求椭圆M的方程；（2）四边形ABCD的顶点都在椭圆M上，且对角线AC，BD过原点O，若直线AC 与BD的斜率之积为﹣，求证：﹣2≤•＜2．21．已知函数f（x）=，f′（0）=9，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10．（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；（2）若0＜a≤1，求证：当x＞1时，（x3+1）f（x）＞9+lnx．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m （2）若∀a，b∈A，x∈R+的取值范围．2019年吉林市高三第三次调研考数学试题（理）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴ =|z|2=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}【考点】集合的表示法．【分析】先化简A，B，再求出其交集即可．【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜0，或x＞1}，故A∩B={x|﹣1＜x＜0，或1＜x＜3}．故选D．【点评】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题．3．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．（i=1，2，…，24），4．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（）A．求24名男生的达标率B．求24名男生的不达标率C．求24名男生的达标人数D．求24名男生的不达标人数【考点】程序框图．【分析】由题意，从成绩中搜索出大于6.8s的成绩，计算24名中不达标率．【解答】解：由题意可知，k记录的是时间超过6.8s的人数，而i记录是的参与测试的人数，因此表示不达标率；故选B．【点评】本题考查程序框图的理解以及算法功能的描述．5．等比数列{an }中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（）A．9 B．15 C．18 D．30 【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{an }的公比为q＞0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q，进而得出．【解答】解：设等比数列{an }的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，∴2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化为：2q2﹣q﹣6=0，解得q=2．又a4=16，可得a1×23=16，解得a1=2．则S4==30．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【解答】解：不等式组所表示的平面区域位于直线x+y﹣3=0的下方区域和直线x﹣y+1=0的上方区域，根据目标函数的几何意义，可知目标函数经过A时，z取得最大值．由可得A（1，2），所以目标函数z的最大值为4．故选B．【点评】本题主要考查线性规划问题．画出可行域判断目标函数的几何意义是解题的关键．7．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A． B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，四棱锥的表面积为．故选D．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的表面积的求法，考查计算能力，空间想象能力．8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．【点评】本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x 1+x2=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．设n∈N*，则=（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【分析】利用数列知识，即可求解．【解答】解： =．故选A．【点评】本题主要考查推理证明的相关知识，比较基础．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n ∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t≤2，又由=t，故≤≤2；故选：D．【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要即可，当m＜2时，只要即可，由此能求出结果．【解答】解：当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立；当m＞2时，，只要即可，解得2＜m＜5；当m＜2时，，只要即可，解得，综上．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．已知lgcosx=﹣，则cos2x= ﹣．【考点】二倍角的余弦；对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质及已知可求cosx，根据二倍角的余弦函数公式即可计算求cos2x的值．【解答】解：∵lgcosx=﹣，∴cosx=10=，∴cos2x=2cos2x﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．14．（1﹣）7的展开式中x2的系数为7 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．=•（﹣1）r•，【解答】解：由于（1﹣）7的展开式的通项公式为Tr+1令=2，求得r=6，可得展开式中x2的系数为=7，故答案为：7．15．设m＞0，点A（4，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，F为焦点，以A为圆心|AF|为半径的圆C被y轴截得的弦长为6，则圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=25 ．【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．【分析】由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，可求出|AF|的值，进一步得到p的值，把点A（4，m）代入抛物线的方程，求得m的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．【解答】解：由题意可得点A（4，m）到y轴的距离为4，又已知圆C被y轴截得的弦长为6，得|AF|=，则，∴p=2．∵点A（4，m）为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，∴．∴圆C的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=25．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2=25．16．已知Sn 为数列{an}的前n项和，若an（2+sin）=n（2+cosnπ），且S4n=an2+bn，则a﹣b= 5 ．【考点】数列的求和．【分析】通过计算得出数列{an }前8项的值，进而联立S4=a+b、S8﹣S4=3a+b，进而解方程组，计算即得结论．【解答】解：①当n=4k﹣3时，an （2+1）=n（2﹣1），an=；②当n=4k﹣2时，an （2+0）=n（2+1），an=n；③当n=4k﹣1时，an （2﹣1）=n（2﹣1），an=n；④当n=4k时，an （2+0）=n（2+1），an=n；∵S4n=an2+bn，∴S4=a+b=+•2+3+•4 =+12，S 8﹣S4=（4a+2b）﹣（a+b）=3a+b=•5+•6+7+•8=+28，∴（3a+b）﹣（a+b）=（+28）﹣（+12），解得：a=+8，b=+12﹣a=（+12）﹣（+8）=﹣+4，∴a﹣b=（+8）﹣（﹣+4）=5，故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知C为锐角且asinA=bsinBsinC，b=2a．（1）求tanC的值；（2）若a+c=6，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）asinA=bsinBsinC，由正弦定理可得： a2=b2sinC，又b=2a．可得： a2=4a2sinC，化为sinC=，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．（2）由a+c=6，可得c=6﹣a，利用余弦定理可得cosC=，解得a，b，c．即可得出．【解答】解：（1）在△ABC中，∵asinA=bsinBsinC，由正弦定理可得：a2=b2sinC，又b=2a．∴a2=4a2sinC，化为sinC=，C为锐角，∴cosC==，tanC==．（2）由a+c=6，可得c=6﹣a，∴cosC===，解得a=2，b=4，c=4．=sinC==．∴S△ABC18．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16，；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（1）如果a=11，求B组的7位病人康复时间的平均数和方差；（2）如果a=14，设甲与乙的康复时间都低于15，记甲的康复时间与乙的康复时间的差的绝对值X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）当a=11时，先求出B组的7位病人康复时间的平均数，由此能求出B组的7位病人康复时间的方差．（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）当a=11时，B组的7位病人康复时间的平均数：=（12+13+15+16+17+14+11）=14，B组的7位病人康复时间的方差：S2= [（12﹣14）2+（13﹣14）2+（15﹣14）2+（16﹣14）2+（17﹣14）2+（14﹣14）2+（11﹣14）2=4．（2）∵a=14，设甲与乙的康复时间都低于15，甲的康复时间与乙的康复时间的差的绝对值X，∴X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X=0）=+=，P（X=1）=++=，P（X=2）=+++=，P（X=3）==，P（X=4）==，0 1 2 3 4EX==．19．在四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，AD⊥PA，△ADC、△PAD均为等腰三角形，AD=4AB=4，M为线段CP上一点，且=λ（0≤λ≤1）．（1）若λ=，求证：MB∥平面PAD；（2）若λ=，求二面角C﹣AB﹣M的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】解：（1）在PD上取一点E，使PE=PD，∵=λ（0≤λ≤1）．且λ=，∴ME∥CD，且ME=CD，∵AB∥CD，且AB=CD，∴ME∥AB，ME=AB，则四边形ABME是平行四边形，∴MB∥AE，∵AE⊂平面PAD，MB⊄平面PAD，∴MB∥平面PAD．（2）建立空间坐标系如图：则A（0，0，0），C（4，0，4），B（0，0，1），M（，，），=（0，0，1），=（，，），设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则由得，令y=1，则=（﹣7，1，0），∵AP⊥平面ABC，∴平面ABC的法向量为=（0，1，0），则cos＜，＞===，∴二面角C﹣AB﹣M的余弦值是．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的倍，且过点（2，）．（1）求椭圆M的方程；（2）四边形ABCD的顶点都在椭圆M上，且对角线AC，BD过原点O，若直线AC 与BD的斜率之积为﹣，求证：﹣2≤•＜2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆长轴长是短轴长的倍，且过点（2，），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆M的方程．（2））设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率、向量的数量积，能证明﹣2≤•＜2．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的倍，且过点（2，），∴，解得a=2，b=2，∴椭圆M的方程为=1．证明：（2）设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，①，∵对角线AC，BD过原点O，直线AC与BD的斜率之积为﹣，∴=﹣，∴=﹣=﹣，y 1y2=（kx1+m）（kx1+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=+km×+m2=，∴﹣，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，∴4k2+2=m2，•=x1x2+y1y2====2﹣，∴﹣2=2﹣4≤•＜2．∴﹣2≤•＜2．21．已知函数f（x）=，f′（0）=9，其中a＞0，b，c∈R，且b+c=10．（1）求b，c的值及函数f（x）的单调区间；（2）若0＜a≤1，求证：当x＞1时，（x3+1）f（x）＞9+lnx．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】（1）求出f（x）的导数，由条件列方程，可得b=9，c=1，由a＞0，令导数大于0，可得增区间；令导数小于0，可得减区间；（2）当x＞1时，（x3+1）f（x）＞9+lnx．即为f（x）＞在x＞1成立，分别求得f（x）的最值和g（x）=的最值，即可得证．【解答】（1）解：f（x）=，f'（x）=，f′（0）=9，且b+c=10，∴c=1，b=9，f'（x）=，a＞0，当x∈（﹣，）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（﹣∞，﹣）和（，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；（2）证明：当x＞1时，（x3+1）f（x）＞9+lnx．即为f（x）＞在x＞1成立，由g（x）=的导数为g'（x）=＜0，即有g（x）在x＞1递减，则g（x）＜g（1）=；由（1）可得f（x）在（1，）时，f（x）递增；（，+∞）时，f（x）递减．x=1时f（1）=≥，可得x=处取得最大值，即为＞，又（，+∞）时，f（x）＞g（x）．则有当x＞1时，（x3+1）f（x）＞9+lnx．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）．（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，由此能求出直线l与极轴的交点到极点的距离．（2）先求出直线l和曲线C的直角坐标方程，由曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，结合题设条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l的方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=2，∴令θ=0，得ρ（3cos0﹣4sin0）=2，∴3ρ=2，∴直线l与极轴的交点到极点的距离ρ=．（2）直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣2=0，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2，曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为，∵曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为，∴．∴实数m的取值范围是（，）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10的解集为A．（1）求集合A；，不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，求实数m （2）若∀a，b∈A，x∈R+的取值范围．【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）化不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10为3个不等式组，解不等式组可得；（2）由题意可得﹣10＜a+b＜10，由基本不等式可得（x﹣4）（﹣9）≤25，由恒成立可得m+25≤﹣10，解不等式可得．【解答】解：（1）不等式|x+2|+|x﹣2丨＜10等价于，或或，解得﹣5＜x＜5，故可得集合A=（﹣5，5）；，（2）∵a，b∈A=（﹣5，5），x∈R+∴﹣10＜a+b＜10，∴（x﹣4）（﹣9）=1﹣﹣9x+36=37﹣（+9x）≤37﹣2=25，∵不等式a+b＞（x﹣4）（﹣9）+m恒成立，∴m+25≤﹣10，解得m≤﹣35。

吉林省市2019届高三下学期三校联合模拟考试数学(理)试题Word版含答案

吉林省市2019届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}8U x N x =危，集合{}1,3,7A =，{}2,3,8B =，则()()U UC A C B =( )A ．{}1,2,7,8B ．{}4,5,6C ．{}0,4,5,6D ．{}0,3,4,5,6 2.已知复数11z i =+，22z i =-，则12z z i=( ) A ．13i - B ．13i -+ C ．12i + D ．12i -3.若实数数列：1231,,,,81a a a 成等比数列，则圆锥曲线2221y x a +=的离心率是( )A 或D ．134.函数()()120,1x f x a a a -=->?的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny --=上，其中0m >，0n >，则12m n+的最小值为( )A ．4B ．5 C.6 D ．3+5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202p +B ．203p + C.242p + D ．243p +6.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位℃) ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26. 方差为10.2，则肯定进入夏季的地区有( )A ．0个B ．1个 C.2个 D ．3个 7.()()2412x x +-的展开式中含3x 项的系数为( )A ．16B ．40 C.40- D ．88.若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为( )A ．5?n £B ．6?n £ C.7?n £ D ．8?n £9.若方程()()()222cos 2sin 102x y q q q p -+-=?的任意一组解(),x y 都满足不等式y x ³，则q 的取值范围是( )A ．7,66p p 轾犏犏臌B ．53,1212p p 轾犏犏臌 C.,2p p 轾犏犏臌 D ．,3p p 轾犏犏臌10.已知ABC △外接圆的圆心为O ，AB =AC =，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM AO ?( )A ．3B ．4 C.5 D ．611.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( )A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->- C.b a MO MT -<- D ．b a MO MT -=+12.函数()f x ()f x 下列性质：①函数的定义域和值域均为[]1,1-；②函数的图象关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④()0ba f x dx =ò(其中,ab 为函数在定义域上的积分下限和上限)；⑤,M N 为函数()f x2MN <?，则关于函数()f x 性质正确描述的序号为( )A ．①②⑤B ．①③⑤ C.②③④ D ．②④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量1a =，2b =，()()2a b a b +^-，则向量a 与b 的夹角为． 14.函数()cos22sin f x x x =-的值域为．15.设O 为坐标原点，()2,1A ，若点(),B x y 满足22111201x y x y ì+?ïïï＃íïï＃ïî，则OA OB ×的最大值是．16.已知集合111,,,1,2232P 禳镲=-睚镲铪，集合P 的所有非空子集依次记为：1231,,,M M M …，设1231,,,m m m …分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果P 的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么1231m m m +++=… ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知2252cos 2cos 222C A a c b +=. (1)求证：()23a c b +=；(2)若1cos 4B =，S ，求b .18.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ^，2AE AD ==.(1)证明：平面PAD ^平面ABFE ；(2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --.19.生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计元件甲、乙为正品的概率；(2)生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元，生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在(1)的前提下：(i)记X 为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； (ii)求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率.20.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率e =并且2C 的短轴为1C的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是(1)求椭圆1C 与2C 的方程；(2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点.(i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；(ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.21.设函数()ln 1af x x x =+-，()0a > (1)当130a =时，求函数()f x 的单调区间； (2)若()f x 在10,e骣琪琪桫内有极值点，当()10,1x Î，()21,x ??，求证：()()21423f x f x e ->-.()2.71828e =…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为x y jj ìïíïî(j 为参数)，直线l的参数方程为12x t y ì=-ïïíïïî(t为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为2p. (1)求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求PA PB +的值. 23.已知函数()5f x x a x =-++. (1)若1a =，解不等式：()25f x x ?； (2)若()8f x ³恒成立，求a 的取值范围.吉林省市2019届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:CACDB 6-10:CDBDC 11、12：AD二、填空题13.2p14.33,2轾-犏犏臌三、解答题17.解：(1)由条件：()()51cos 1cos 2a C c A b +++=，由于：cos cos a C c A b +=，所以：32a c b +=，即：()23a c b +=.(2)1cos 4B =，所以：sin B =.1sin 2S ac B =8ac =.又：()()22222cos 21cos b a c ac B a c ac B =+-=+-+，由()23a c b +=，所以：25116144b 骣琪=+琪桫，所以：4b =. 18.(1)证明：直三棱柱ADE BCF -中，AB ^平面ADE ，所以：AB AD ^，又AD AF ^，所以：AD ^平面ABFE ，AD Ì平面PAD ，所以：平面PAD ^平面ABFE .(2)由(1)AD ^平面ABFE ，以A 为原点，,,AB AE AD 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，设正四棱锥P ABCD -的高h ，2AE AD ==，则()0,0,0A ，()2,2,0F ，()2,0,2C ，()1,,1P h -.()2,2,0AF =，()2,0,2AC =，()1,,1AP h =-.设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =，则：1111220220m AF x y n AC x z ì?+=ïíï?+=î，取11x =，则111y z ==-，所以：()1,1,1m =--.设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z =，则222222200n AF x y n APx hy z ì?+=ïíï?-+=î，取21x =，则21y =-，21z h =--，所以：()1,1,1n h =---，二面角C AF P --，所以：cos ,3m n m n m n ?<>==，解得：1h =.19.解：(1)元件甲为正品的概率约为：4032841005++=.元件乙为正品的概率约为：4029631004++＝. (2)(i)随机变量X 的所有取值为90，45，30，15-，而且()43390545P X ==?；()133455420P X ==?； ()41130545P X ==?；()111155420P X =-=?. 所以随机变量X 的分布列为：所以：()33119045301566520520E X =????. (2)设生产的5件元件乙中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意：()50105140n n --?，解得：196n ³，所以4n =或5n =. 设“生产5件元件乙所获得的利润不少于140元”为事件A ，则：()454531381444128P A C 骣骣琪琪=+=琪琪桫桫. 20.解：(1)依题意e =22122:12x y C b b +=，22222:124x y C b b+=，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积122S b =创=21b =.所以椭圆221:12x C y +=，222:124x y C +=.(2)(i)设()00,P x y ，则2200124x y +=，()A，)B.PA k =PB k .所以：2200220042222PA PBy x k k x x -?==---. 直线PA ，PB 斜率之积为常数2-. (ii)设()11,E x y ，则221112x y +=.EA k =，EB k ，所以：221122101112222EA EBx y k k x x -?==---，同理：12FA FB k k ?-，所以：14FA FB FA FB k k k k 鬃=，由EA PA k k =，FB PB k k =，结合(i)有18EA FBk k ?-. 21.解：(1)函数()f x 的定义域为()()0,11,+?，当130a =时，()()25665'1x x f x x x 骣骣琪琪--琪琪桫桫=-，令：()'0f x >，得：65x >或56x <，所以函数单调增区间为：50,6骣琪琪桫，6,5骣琪+?琪桫.(2)证明：()()()()222211'11x a x af x x x x x -++=-=--，令：()()()()2210g x x a x x m x n =-++=--=，所以：2m n a +=+，1mn =，若()f x 在10,e骣琪琪桫内有极值点，不妨设10m e <<，则1n e m =>，且122a m n e e=+->+-，由()'0f x >得：0x m <<或x n >，由()'0f x <得：1m x <<或1x n <<，所以()f x 在()0,m 递增，(),1m 递减；()1,n 递减，(),n +?递增，当()10,1x Î时，()()1ln 1af x f m m m ?+-；当()21,x ??时，()()2ln 1af x f n n ?+-，所以：()()()()2111ln ln 2ln 1111a a f x f x f n f m n m n a n m n m 骣琪-?=+--=+-琪----桫12ln n n n=+-，n e >. 设：()12ln F n n n n =+-，n e >，则()222'10F n n n=++>. 所以：()F n 是增函数，所以()()12F n F e e e>=+-. 又：()()23131411031032203333e e e e e e e ee e e 骣----+-琪+---=--+==>琪桫，所以：()()21423f x f x e ->-.22.解：(1)由极值互化公式知：点P 的横坐标02x p =，点P 的纵坐标2x p所以(P ，消去参数j 的曲线C 的普通方程为：221515x y +=.(2)点P 在直线l 上，将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得： 2280t t +-=，设其两个根为1t ，2t ，所以：122t t +=-，128t t =-，由参数t 的几何意义知：126PA PB t t +=-=.23.解：(1)当1a =时，()()()251524150f x x x x x x x ????---?，解得：2x ?，所以原不等式解集为{}2x x ?.(2)()()555f x x a x x a x a =-++?-+=+，若()8f x ³恒成立，只需：58a +?. 解得：3a ³或13a ?.。

2019年吉林省吉林市高三第三次调研考试数学(理科)试题(含答案)

高考数学精品复习资料2019.5吉林市普通中学20xx —高中毕业班第三次调研测试理科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 若集合{|0}B x x =≥，且A B A =，则集合A 可以是A ．{1,2}B ．{|1}x x ≤C ．{1,0,1}-D ．R2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①||2z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A.0 B. 1 C. 2 D. 33．若1sin ,3α=且2παπ<<，则sin 2α=A ． 229-B ． 429-C ．429D ．2294. 已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =A. (1)2n n +B. 2(1)2n +C. 212n +D. (3)4n n +5．若1()nx x-的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ． 462-B ． 462C ． 792D ． 792-6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A. 12018 B. 12019 C.20172018D.201820197． 10|1|x dx -=⎰A ． 12B ． 1C ．2D ． 38．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是开始结束k = 1 , S = 0k = k + 1k < 2018?输出SS = S +k (k +1)1是否xyz正视图方向O(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)1,(,1,0)2, 绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为 A. B.C.D.9．设曲线()cos (*)f x m x m R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为 A. B. C. D.10．平行四边形ABCD 中，2,1,1,AB AD AB AD ===- 点M 在边CD 上，则MA MB 的最大值为A. 2B. 221-C.5 D. 31-11．等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n nS S -的最大值与最小值的比值为A.125-B. 107- C.109D.12512．已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（ln x 是以e 为底的自然对数， 2.71828e =），若存在实数,()m n m n <，满足()()f m f n =，则n m -的取值范围为A. 2(0,3)e + B. 2(4,1]e -C. 2[52ln2,1]e --D. [52ln2,4)-二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

2019届吉林省吉林市高三第三次调研测试数学(理)试题(解析版)

2019届吉林省吉林市高三第三次调研测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据一元二次不等式的解法求出，则可求。

【详解】由题意知，所以，所以，故选C【点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的并集运算，属基础题。

2．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】根据新定义，化简即可得出答案．【详解】∵cos i sin i，∴i)=i，此复数在复平面中对应的点（，）位于第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了复数的除法运算及复数的几何意义，涉及三角函数求值，属于基础题．3．已知角的终边经过点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角α的终边经过点p（﹣1，），其到原点的距离r 2故sinα，cosα∴sinαcosα故选：B．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．4．“成等差数列”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，成等差数列,而 ,但1,3,3,5不成等差数列,所以“，，，成等差数列”是“”的充分不必要条件,选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．5．正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，则底面积为，侧棱长为，则可求侧面积为，所以表面积为。

吉林普通高中2019年高三第三次重点考试试题—数学(理)

吉林普通高中2019年高三第三次重点考试试题—数学（理）数学〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

本卷须知1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2、选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3、请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4、作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色自己的签字笔描黑。

5、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第一卷【一】选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、全集R =U ，集合}43|{><=x x x A ，或，}2|{<=x x B ，那么右图中阴影部分表示的集合为〔A 〕)4(∞+，〔B 〕)3(，-∞ 〔C 〕)2(，-∞〔D 〕)32(，2、假设复数R )(i 2i )1(3∈-=-+b a b a ，，那么复数i b a z +=对应的点位于〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限3、32sin -=α,且⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,2πα，那么αtan 等于〔A 〕552- 〔B 〕552〔C 〕25-〔D 〕25〔A 〕命题“R ∈∃x ,使得012<++x x ”的否定是：“R ∈∀x ,均有012>++x x ” 〔B 〕“1=x ”是“0652=-+x x ”成立的必要不充分条件〔C 〕线性回归方程ax b y ˆˆˆ+=对应的直线一定经过其样本数据点 ()11,y x ,()22,y x ,…，()n n y x ,中的一个点〔D 〕假设“q p ∧”为真命题，那么“)(q p ⌝∨”也为真命题 5、右边程序框图的程序执行后输出的结果是〔A 〕24 〔B 〕25〔C 〕34 〔D 〕356、几何体的三视图如下图，可得这个几何体的体积是〔A 〕4 〔B 〕6〔C 〕12 〔D 〕187、实数m 是函数xx f x21log 2)(-=的零点，那么〔A 〕m m 21<<〔B 〕m m <<12〔C 〕m m 21<<〔D 〕12<<m m8、4名同学到某景点旅游，该景点有4条路线可供游览，其中恰有1条路线没有被这4个同学中的任何1人游览的情况有〔A 〕81种〔B 〕36种〔C 〕72种〔D 〕144种9、一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为34π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是〔A 〕36〔B 〕312〔C 〕318〔D 〕32410、数列}{n a ，假设点)(n a n ，)N (*∈n 在经过点)48(，的定直线l 上，那么数列}{na 的前15项和=15S〔A 〕12 〔B 〕32 〔C 〕60 〔D 〕12011、函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的部分图象，如下图，假设2||AB BC AB =⋅，那么ω等于〔A 〕12π〔B 〕6π〔C 〕4π〔D 〕3π12、如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且CD AB //.假设双曲线以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点，那么当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为〔A 〕2〔B 〕3 〔C 〕21+〔D 〕31+第二卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 【二】填空题：本大题共4个小题，每题5分，共20分. 13、假设实数y x ，满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥021x x y x y ,那么目标函数x y z 2-=的最大值是.14、xx cos a d ⎰=20π，那么二项式52)(xa x +展开式中x 的系数为. 15、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设Ca cb cos 21⋅=-，那么=A . 16、函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=)1(147)1()(22x a x a x ax x x f ，假设R ,21∈∃x x ，且21x x ≠，使得)()(21x f x f =，那么实数a 的取值范围是.【三】解答题：共70分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.〔本小题总分值12分〕各项均不相同的等差数列}{n a 的前四项和144=S ，且731a a a ，，成等比数列.〔Ⅰ〕求数列}{n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设nT 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和，求2012T的值.18.〔本小题总分值12分〕某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分A B CDAB CDEF成五组：第1组)8075[，，第2组)8580[，，第3组)9085[，，第4组)9590[，，第5组]10095[，，得到的频率分布直方图如下图，同时规定成绩在85分以上〔含85分〕的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.〔Ⅰ〕求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；〔Ⅱ〕如果用分层抽样的方法从“优秀”和 “良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是 “优秀”的概率是多少？〔Ⅲ〕假设该校决定在第4，5组中随机抽取2ξ名学生被考官A 面试，求ξ的分布列和数学期望、19.〔本小题总分值12分〕在如下图的几何体中，平面⊥ACE 平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形， 90=∠ACB ，BC EF //，EF BC AC 2==，EC AE AC 22==. 〔Ⅰ〕求证：⊥AE 平面BCEF ；〔Ⅱ〕求二面角C BF A --的大小、 20.〔本小题总分值12分〕)0,1(1-F 、)0,1(2F ，圆2F ：1)1(22=+-y x ，一动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆2F 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C ，曲线E 是以1F ，2F 为焦点的椭圆、〔Ⅰ〕求曲线C 的方程；〔Ⅱ〕设曲线C 与曲线E 相交于第一象限点P ，且371=PF ，求曲线E 的标准方程；〔Ⅲ〕在〔Ⅰ〕、〔Ⅱ〕的条件下，直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，假设AB 的中点M 在曲线C 上，求直线l 的斜率k 的取值范围、21.〔本小题总分值12分〕函数x b x f ln )(=，R)()(2∈-=a x ax x g 、〔Ⅰ〕假设曲线)(x f 与)(x g 在公共点)0,1(A 处有相同的切线，求实数a 、b 的值；〔Ⅱ〕当1=b 时，假设曲线)(x f 与)(x g 在公共点P 处有相同的切线，求证：点P 唯一；〔Ⅲ〕假设0>a ，1=b ，且曲线)(x f 与)(x g 总存在公切线，求正实数a 的最小值、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，那么按所选的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22、〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如下图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，10=PA ，5=PB ,BAC ∠的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E 、〔Ⅰ〕求证：PC PA AC AB =；〔Ⅱ〕求AE AD ⋅的值、23.〔本小题总分值10分〕选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P )5,1(-，且倾斜角为3π，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C 的圆心的极坐标为)2,4(π.〔Ⅰ〕写出直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕试判定直线l 和圆C 的位置关系.24.〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲设函数)1(|||4|)(>-+-=a a x x x f . 〔Ⅰ〕假设)(x f 的最小值为3，求a 的值；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，求使得不等式5)(≤x f 成立的x 的取值集合.命题、校对：凌志永常越曹凤仁杨万江王玉梅孙长青吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：每题5分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B ADBBADCCBD二、填空题：每题5分13.2;14.10;15.3π;16.()()5,32, ∞-.三、解答题：17.解：〔Ⅰ〕设公差为d ，由得121114614(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩. (3)分联立解得1d =或0d =〔舍去〕.12.a ∴=…………5分故1n a n =+.…………6分〔Ⅱ〕()111111(2)12n n a a n n n n +==-++++ …………8分11111111.233412222(2)n nT n n n n ∴=-+-++-=-=++++ (10)分2012503.1007T = …………12分18.解：〔Ⅰ〕其它组的频率为〔0.01+0.07+0.06+0.02〕×5=0.8，所以第四组的频率为0.2，频率分布图如图：……3分〔Ⅱ〕依题意优秀与良好的人数比为3:2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件A()1()P A P A ∴=-=1-2225C C =910.…………6分〔Ⅲ〕由频率分布直方图可知，第四组的人数为8人，第五组的人数为4人ξ的所有可能取值为0,1,2 2821214(0)33C P C ξ===，118421216(1)33C C P C ξ===，242121(2)11C P C ξ===…………9分ξ∴的分布列为:1416120123333113E ξ∴=⨯+⨯+⨯=（）………………12分19.解：〔Ⅰ〕∵平面ACE ⊥平面ABCD ,且平面ACE平面ABCD AC =BC AC ⊥BC ∴⊥平面AEC 2分BC AE ∴⊥,……3分又AC ==,AE EC ∴⊥…………………4分…………10分且BC EC C ⋂=,∴AE ⊥平面ECBF .…………………6分2AC BC ==，那么AE EC ==那由题意得(0,0,0)A ，(2,2,0)B -,(2,0,0)C ,(2,2,0),(0,2,0),AB BC =-= (8)设平面BFC 的法向量为111(,,)m x y z =，由0,0m BC m BF ⋅=⋅=,得(1,0,1)m =，9分设平面ABF 的法向量为222(,,)n x y z =，由0,0n AB n BF ⋅=⋅=，得(1,1,0)n =，10分所以1cos ,2m n m n m n⋅==∴二面角A BF C --的大小为60︒.………………12分〔解法二〕取AB 的中点H ，连接CH ，因为AC BC =，那么CH AB ⊥，∴CH ⊥平面ABF (要证明)，过H 向BF 引垂线交BF 于R ，连接CR ，那么CR BF ⊥，那么HRC ∠为二面角A BF C --的平面角.……9分由题意，不妨设2AC BC ==，连接FH ，那么FH AB ⊥，又AB =因此在Rt BHF ∆中，3HR =,12CH AB ==1,1),(1,1,1).BF =-所以在Rt △CHR 中，3362tan ==∠HRC …11分因此二面角A BF C --的大小为 60…………12分 20.解：〔Ⅰ〕设动圆圆心的坐标为(),x y )0(>x因为动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆2F 相外切，所以21CF x -=，……………1分1x =+，化简整理得24y x =，曲线C 的方程为24y x =)0(>x ；…3分〔Ⅱ〕依题意，1c =，173PF =,可得23p x =，…………………4分 253PF ∴=,又由椭圆定义得127524,233a PF PF a =+=+==.…………………5分 2223b a c ∴=-=，所以曲线E 的标准方程为22143x y +=；…………………6分〔Ⅲ〕设直线l 与椭圆E 交点),(),,(2211y x B y x A ，B A ,的中点M 的坐标为()00,y x ，将B A ,的坐标代入椭圆方程中，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+012430124322222121y x y x两式相减得()()()()04321212121=+-++-y y y y x x x x00212143y x x x y y -=--∴，…………………7分 0204x y = ，∴直线AB 的斜率2121163y x x y y k -=--=，…………………8分由〔Ⅱ〕知23p x =，,3842==∴p p x y ∴362±=p y 由题设)0(36236200≠<<-y y ，86163860<-<-∴y ，…………………10分即8686<<-k ()0≠k .…………………12分21.解：〔Ⅰ〕()xb x f ='，()12-='ax x g 、∵曲线()x f 与()x g 在公共点()0,1A 处有相同的切线∴()()⎪⎩⎪⎨⎧-==-===1201101ln 1a b a g b f ，解得，⎩⎨⎧==11b a 、…………………3分〔Ⅱ〕设()00,P x y ，那么由题设有0200ln x ax x -=…①又在点P 有共同的切线∴()()000020011''212x f x g x ax a x x +=⇒=-⇒=代入①得002121ln x x -=…………5分设()x x x h 2121ln +-=，那么()()0211>+='x x x h ， ∴()x h 在()+∞,0上单调递增，所以()h x ＝0最多只有1个实根，从而，结合〔Ⅰ〕可知，满足题设的点P 只能是()1,0P …………………7分〔Ⅲ〕当0>a ，1=b 时，()x x f ln =，()xx f 1='，曲线()x f 在点()t t ln ，处的切线方程为()t x t t y -=-1ln ，即1ln 1-+=t x ty 、由⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=x ax y t x t y 21ln 1，得1ln 112=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t x t ax 、∵曲线()x f 与()x g 总存在公切线，∴关于t ()0>t 的方程()01ln 411Δ2=-+⎪⎭⎫⎝⎛+=t a t ，即()t a t ln 14112-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+()*总有解、…………………9分假设e t >，那么0ln 1<-t ，而0112>⎪⎭⎫⎝⎛+t ，显然()*不成立，所以e t <<0、 (10)分从而，方程()*可化为()()t t t a ln 11422-+=、令()()()t t t t h ln 1122-+=()e t <<0，那么()()()()23ln 11ln 21t t t t t t h --++='、∴当10<<t 时，()0<'t h ；当e t <<1时，()0>'t h ，即()t h 在()1,0上单调递减，在()e ,1上单调递增、∴()t h 在()e ,0的最小值为()41=h ，所以，要使方程()*有解，只须44≥a ，即1≥a 、…………………12分 22、解：〔Ⅰ〕∵PA 为⊙O 的切线，∴ACP PAB ∠=∠，又P ∠P =∠，∴PAB ∆∽PCA ∆、∴PCPA AC AB=、…………………4分〔Ⅱ〕∵PA 为⊙O 的切线，PBC 是过点O 的割线，∴PC PB PA ⋅=2、………5分又∵10=PA ,5=PB ，∴20=PC ，15=BC 、由〔Ⅰ〕知，21==PC PA AC AB，∵BC 是⊙O 的直径， ∴ 90=∠CAB 、∴225222==+BC AB AC ,∴53,56==AB AC ………7分连结CE ，那么E ABC ∠=∠，又EAB CAE ∠=∠，∴ACE ∆∽ADB ∆, ∴ACAD AE AB=∴905653=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD 、…………………10分 23、解：〔Ⅰ〕直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 235211，〔t 为参数〕…………………2分圆心C 直角坐标为)4,0(……3分圆C 的直角坐标方程为16)4(22=-+y x …4分由⎩⎨⎧==+θρρsin 222y y x …5分得圆C 的极坐标方程是8sin ρθ=.………6分〔Ⅱ〕圆心的直角坐标是(0,4)，直线l50y --=，………8分圆心到直线的距离4d >，…………………9分所以直线l 和圆C 相离.…………………10分24、解：〔Ⅰ〕因为|4|||(4)()4x x a x x a a -+-≥---=-，………………3分所以43a -=，即71a a ==或…………………5分由a ＞1知7=a ；…………………6分〔Ⅱ〕当4≤x 时，不等式化为5112≤+-x 解得：43≤≤x …………………7分当74<<x 时，不等式化为53≤恒成立所以：74<<x …………………8分当7≥x 时，不等式化为5112≤-x 解得：87≤≤x …………………9分综上不等式574≤-+-x x 的解集为{}83|≤≤x x 、…………………10分。

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3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知集合{1,1},A =-2{|20,}B x x x x Z =+-<∈，则A B =A. {1}-B. {1,1}-C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-2. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”,4iie π表示的复数位于复平面内A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知角α的终边经过点(P -，则sin 2α的值为A.B.C.12-D. 4. “,,,a b c d 成等差数列”是“a d b c +=+”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．正三棱锥的三视图如右图所示，则该正三棱锥的表面积为6. 已知双曲线2222:1(0,0)y xC a b a b -=>>的焦点F 到渐近线距离与顶点A到渐近线距离之比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为A.y=± B. y =C. y x =D.y x = 7. 已知AB是圆22620x y x y+-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于A.B. C. D. 8. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A. 213log 32+B. 2log 3C. 2D. 39. 将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间为A. 7[,]()1212k k k Z ππππ++∈B. [,]()63k k k Z ππππ-+∈ C. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D. [,]()36k k k Z ππππ-+∈ 10. 已知,αβ是[0,]π上的两个随机数，则满足1sin βα<的概率为A.2πB.22πC.4πD.24π正视图俯视图侧视图11. 已知抛物线24y x =的焦点F ，点(4,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长取最小值时，线段PF 的长为A. 1B.134C. 5D.21412. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意实数x ，都有()()2f x f x x =-+，当0x <时，()21f x x '<+，若(1)()22f a f a a -≤-+-，则实数a 的最小值为 A. 1-B.12- C.12D. 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 52()x x-展开式中含x 项的系数为 . 14. 已知向量(,1),(1,1)a m b =-=，若||||||a b a b -=+，则实数m = . 15. 某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（ⅰ）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；（ⅱ）若开启2号或4号，则关闭1号；（ⅲ）禁止同时关闭5号和1号.现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是 .16. 已知函数23,()63,x x a f x x x x a+>⎧=⎨++≤⎩，若函数()()2g x f x x =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分。

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