射影定理和内接矩形知识点归纳,九年级上册数学射影定理和内接矩形典型例题讲解及答案解析
射影定理PPT课件
4
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（4）CD= 3 cm,BC= 2 3cm.
你都做对 了吗？
你都弄懂了吗？
(1)在RtABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条 可求第三条. (3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
AC BC
AD CD
CA CD CB AD
3.不能。只能证明 CDB ∽
ACB
。
CDAB
若已知 ABC是直角三角形。ACB 90， 则能推出
。
直角三角形中的成比例线段
•运用射影定理时，注意前提条件
•求边注意联系方程与勾股定理
•如图中共有6条线段，已知任意2条，
求其余线段。
B A
A B’
A’ B’ l
A’
l B
直角三角形中的成比例线段
A B
A’ B’ l
如图,CD是 RtABC的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, A
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
C DB
直角三角形中的成比例线段
由复习得：
CEF ∽ CBA.
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBAC.
F
证法二：
1
RtCDF中，CD为外接圆的直径
RtCDE中，CD为外接圆的直径
E2 AD
四边形CEDF为圆内接四边形 1 2
RtCDB
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
中考数学射影定理实例解析
中考数学射影定理实例解析1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB,BE平分∠ABC交CD于F,EH⊥CD于H，则下列结论正确的结有（）：①CD²=AD·BD;②AC²+BD²=BC²+AD²;③B+B B=1④若F为BE中点，则AD=3BDA.1个B.2个C.3个D.4个解：①∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△ACD~△CBD,即CD²=AD-DB,故①正确②∵AC²-AD²=BC²-BD²=CD²∴AC²+BD²=BC²+AD²故②正确③作EM⊥AB,则BD+EH=BM∵BE平分∠ABC,ABCE=△BEM∴BC=BM=BD+EH,所以B+B B=1故③正确：④若F为BE中点，则CF=EF=BF,∴∠BCD=∠CBF=∠DBF=30°,∠A=30°∴AB=2BC=4BD∴AD=3BD。
答案：D2.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，OP交AB于点D,交⊙O于点C,在线段AB、PA、PB、PC、CD中，已知其中两条线段的长，但还无法计算出⊙O直径的两条线段是() A.AB，CD B.PA，PC C.PA，AB D.PA，PB解:A、构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，根据垂径定理以及勾股定理即可计算：B、根据切割线定理即可计算；C、首先根据垂径定理计算AD的长，再根据勾股定理计算PD的长，连接OA，根据射影定理计算OD的长，最后根据勾股定理即可计算其半径；D、根据切线长定理，得PA=PB.相当于只给了一条线段的长，无法计算出半径的长答案：D3.如图，AB是半圆O的直径，点D是AB上任意一点(不与点A,B重合),作CD⊥AB与半圆交于点C,设AD=a,BD=b,则下列选项正确的是()A.r2>BB.r2≥BC.r2<BD.r2≤B解：连接AC,BC,∵AB为直径，AB=AD+BD=a+b.∴∠ACD=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠CDB∴∠A+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B.∴△ACD~△CBD∴B B=B B即B=B∴CD=B答案:B4.如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC,给出下列结论：①∠DAC=∠ABC:②AD=CB:③点P是ACQ的外心：④AC²=AE·AB;⑤CB||GD,其中正确的结论是()A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④解∵在⊙O中，点C是AD的中点，∴AC=CD∴∠CAD=∠ABC,故①正确；∵AC≠BD,∴AD≠BC.∴AD≠BC,故②错误∵∠ACQ=90°,∵AB是OO的直径，∴∠ACB=90°又·*CE⊥AB,∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°∴∠ACE=∠ABC又∵C为AD的中点，∴AC=CD∴∠CAP=∠ABC∴∠ACE=∠CAP,∴AP=CP,∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠POC=90°∴∠PCQ=∠POC,∴PC=PQ∴AP=PQ,即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点∴P为Rt△4CQ的外心，故③正确；∵AB是OO的直径，∴∠ACB=90°,又∵CE⊥AB∴根据射影定理，可得AC²=AE-AB,故④正确如图，连接BD,则∠ADG=∠ABD∵AC≠BD.∴AD≠BC,∴∠ABD≠∠BAC,∴∠ADG≠∠BAC又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC,∴∠ADG≠∠PQC∴CB与GD不平行，故⑤错误.答案:D5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,AB=10,则AD等于()A.4.4B.5.5C.6.4D.7.4解：∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴AC²=AD·AB∴AD=8·810=6.4答案:C6.如图所示,在△ABC中，∠C=90°,D为BC边的中点，DE⊥AB于E,则AE²-BE²等于()A.AC²B.BD²C.BC²D.DE²解：作AB的中点F,连接DF,则DF||AC DF=12AC在RT△BDF中，又DE⊥AB,得△DEF~△BDF∴E E=E E即EF·BF=DF2=14AC2∴AE²-BE²=(AE+BE)·(AE-BE)=AB·2EF=4EF·BF=AC²答案：A7.如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P,延长CP、AP交AB、BC于点M、N.若AB=2,则AP等于()解：如图，设点S为BC'的中点，连接DP,DS,DS与PC'交于点H,作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于点F,∴DP=CD=2,PS=CS=1即DS是PC的中垂线∴△DCS=△DPS∴∠DPS=∠DCB=90°.∴DS=DC²+CS²=2²+1=5∵BC为直径∴∠CPB=90°∴PB=B C²+P C²=255∴PE=FB=B·B B=45∴PF=BE=PB²+PE²=25∴AF=AB-FB=65∴AP=AF²+PF²=答案：B8.如图，点P是OO的直径BA延长线上一点，PC与OO相切于点C,CD⊥AB，垂足为D,连接AC、BC、OC,那么下列结论：①PC²=PA·PB:②PC·OC=OP·CD③OA²=OD·OP;④OA(CP-CD)=AP·CD,正确的结论有()个。
射影定理
射影定理直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式表达为：如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD²;=AD·DB，②BC²=BD·BA ，③AC²=AD·AB ；④AC·BC=AB·CD （等积式，可用面积来证明）1概述射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^ 2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。
等积式(4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）2直角三角形所谓射影，就是正投影。
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
[1]公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA。
等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明）(5)(AB)^2/(BC)^2=AD/CD [1]直角三角形射影定理的证明射影定理简图(几何画板)：（主要是从三角形的相似比推算来的）一、在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。
初三数学知识点剖析—期末冲刺：射影定理
即 DE2 = BE CE ． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1 是解题关键．
例 4：【分析】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相 似，须根据已知与图形找条件就可．
【解答】 证明：连接 PC， ∵AB=AC，AD 是中线， ∴AD 所在直线是△ABC 的垂直平分线． ∴PC=PB，∠PCE=∠ABP． ∵CF∥AB，∴∠PFC=∠ABP， ∴∠PCE=∠PFC 又∵∠CPE=∠EPC， ∴△EPC∽△CPF ∴ PC = PF
2.证明过程： ∵ CD ⊥ AB ∴ DCA + CAB = 90 又∵ Rt ABC 中 CBA + CAB = 90 ∴ DCA = CBA 又∵ CDA = BDC ∴ ACD CBD ∴ CD = BD 即 CD2 = AD BD
DA DC
∵ Rt ABC 中 BCD + DCA = 90 , A + DCA = 90 ∴ A = BCD 又∵ CDA = BCA ∴ ACD ABC ∴ AC = AB 即 AC2 = AB AD
例 3：【分析】利用垂直平分线的性质得出 AE=DE，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACE∽ △BAE，即可得出答案．
【解答】证明：连接 AE， ∵AD 的垂直平分线交 AD 于 E， ∴AE=DE， ∴∠1+∠2=∠4， ∵∠B+∠3=∠4， ∠2=∠3，
∴∠B=∠1， ∵∠AEB=∠CEA， ∴△ACE∽△BAE， ∴ AE = CE ，
AD AC
∵ ACD ABC ， ACD CBD ∴ ABC CBD ∴ BC = BD 即 BC2 = AB BD .
射影定理模型(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍1.射影定理定义①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．2.如图在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，有射影定理如下： 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！例题精讲【例1】．在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点E ，G 为垂足．若CG ＝CD ＝1，则AC 的长是．①AD 2＝BD •DC ；②AB 2＝BD •BC ；AC 2＝CD •BC ．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．【例2】．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB（射影定理），即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．【例3】．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．变式训练【变式1】．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，则AC•EC的值是9．解：如图，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，∴AD⊥BC，CD＝BD＝3．又DE⊥AC，∴∠CED＝∠CDA＝90°．∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD．∴＝，即AC•EC＝CD2＝9．（射影定理）故答案是：9．【变式2】．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝cm．解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．【变式3】．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．D．解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），∴OC＝c，∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝OA•OB（即射影定理）即|x1•x2|＝c2＝﹣x1•x2，令ax2+bx+c＝0，根据根与系数的关系知x1•x2＝，∴，故ac＝﹣1，故选：A．【变式4】．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝____________.解：连接CF、GF，如图：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴＝，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝＝＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝﹣【变式5】．如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC 交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，则CE的长为2．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE2＝CG•AC＝84，∴CE＝2．故答案为2．【变式6】．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在实战演练BC 的延长线上，且CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接AC ，若∠ACD ＝90°，AE ＝4，CF ＝2，求EC 和AC的长．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵CF ＝BE ∴BE +CE ＝CF +CE ，即BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴平行四边形AEFD 是矩形；（2）解：如图，∵CF ＝BE ，CF ＝2，∴BE ＝2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ＝90°，∵AE ⊥BC ，∴AE 2＝BE •EC （射影定理），∴EC ＝＝＝8，∴AC ＝＝＝4．1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为点E ．若sin ∠ADE ＝，AD ＝4，则AB 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵sin∠ADE＝，BC＝AD＝4，∴＝，∴＝，∴AC＝5，由勾股定理得，AB＝＝3，故选：C．2．如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（）A．4B．2C．D．4解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，∵AE＝3CE，∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ADE+∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE，∴＝，∴DE2＝AE•CE＝×＝，故选：C．3．如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N．若AB＝2，则AP等于（）A．B．C．D．解：如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W，作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，∴DP＝CD＝2，PS＝CS＝1，即DS是PC的中垂线，∴△DCS≌△DPS，∴∠DPS＝∠DCB＝90°，∴DS＝＝＝，由三角形的面积公式可得PC＝，∵BC为直径，∴∠CPB＝90°，∴PB＝＝，∴PE＝FB＝＝，∴PF＝BE＝＝，∴AF＝AB﹣FB＝，∴AP＝＝故选：B．4．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①PC2＝PA•PB；②PC•OC＝OP•CD；③OA2＝OD•OP；④OA（CP﹣CD）＝AP•CD，正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4解：①∵PC与⊙O相切于点C，∴∠PCB＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC2＝PA•PB；②∵OC⊥PC，∴PC•OC＝OP•CD；③∵CD⊥AB，OC⊥PC，∴OC2＝OD•OP，∵OA＝OC，∴OA2＝OD•OP；④∵AP•CD＝OC•CP﹣OA•CD，OA＝OC，∴OA（CP﹣CD）＝AP•CD，所以正确的有①，②，③，④，共4个．故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长．解：作EH⊥BC于H，如图，∵∠A＝90°，AB＝AC＝8，∴BC＝AB＝16，∠C＝45°，∵点E为AC的中点，∴AE＝CE＝4，∵△CEH为等腰直角三角形，∴EH＝CH＝＝4，∴BH＝12在Rt△ABE中，BE＝＝4，在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，∴BE2＝BH•BF，即BF＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝16﹣＝．故答案为．6．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折，得到△GBE，BG 的延长线交CD于点F．F为CD的中点，连结CG，若点E，G，C在同一条直线上，FG＝1，则CD的长为2+2，cos∠DEC的值为﹣1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠BCD＝∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＝∠EBC，∠BCG＝∠DEC，由折叠的性质得：BG＝BA，∠EGB＝∠A＝90°，∠GEB＝∠AEB，∴CD＝BG，∴∠EBC＝∠GEB，∴BC＝EC，∵点E，G，C在同一条直线上，∴∠CGF＝90°，∠CGB＝180°﹣∠EGB＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝DF，设CF＝DF＝x，则BG＝CD＝2x，∵∠CFG＝∠BFC，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∴CF2＝FG•BF，即x2＝1×（1+2x），解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴CD＝2x＝2+2，∵∠DEC+∠ECD＝90°，∠GFC+∠ECD＝90°，∴∠DEC＝∠GFC，∴cos∠DEC＝cos∠GFC＝＝＝﹣1，故答案为：2+2，﹣1．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC ⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是．解：因为AB的解析式为y＝kx+1，所以B点坐标为（0，1），A点坐标为（﹣，0），由于图象过一、二、三象限，故k＞0，又因为BC⊥AB，BO⊥AC，所以在Rt△ABC中，BO2＝AO•CO，代入数值为：1＝•CO，CO＝k，同理，在Rt△BCD中，CO2＝BO•DO，代入数值为：k2＝1•DO，DO＝k2又因为A恰好是线段EC的中点，所以B为FD的中点，OF＝1+1+k2，Rt△FED中，根据射影定理，EO2＝DO•OF，即（k++）2＝k2•（1+k2+1），整理得（k﹣）（k+）（k2+2）（k2+1）＝0，解得k＝．根据中位线定理，EF＝2GB＝2DC，DC＝＝，EF＝2．8．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为．解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点P″在线段EJ′上．当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14．EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴DE2＝EO•EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6，∴CD＝＝＝12，∴OD＝＝＝4，∴BD＝8，＝×OC×BD＝BC•DK，∵S△DCB∴DK＝＝，∵∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，∴RB＝BE×＝，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝，∴JB＝DJ′＝，∴DQ﹣P'Q的最大值为．解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．故答案为：．9．在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．①如图1，若BC＝AB，求∠AFD的度数；②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵BC＝AB，∴AD＝AB，∴tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°，由折叠的性质得：AF＝AB，∴△ABF是等边三角形，∴∠AFB＝60°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；②由折叠的性质得：BF⊥AE，EF＝EB，∵EF＝EC，∴EF＝EB＝EC，∴BC＝2BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝2BE，AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，∴＝＝2，∴AG＝2EG，设EG＝x，则AG＝2x，∴AE＝3x，在△ABE中，BG⊥AE，∴AB2＝AG•AE（射影定理），即42＝2x•3x，解得：x＝（负值已舍去），∴AE＝3x＝2，∴BE＝＝＝2，∴BC＝2BE＝4，即BC的长为4；（2）当点E，C'，D三点共线时，如图3，由②可知，BC＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝4，AD∥BC，∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，由折叠的性质得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，∴△CDE≌△B'AD（AAS），∴DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝4，∴BE＝BC+CE＝4+4．10．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．解：（1）∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝，又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝2，∵OC＝2，PO＝4，∴PC2+OC2＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC与⊙O相切；（2）GE•GF为定值，理由如下：如图2，连接GA、AF、GB，∵点G为弧ADB的中点，∴，∴∠BAG＝∠AFG，∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴，∴GE•GF＝AG2，∵AB为直径，AB＝4，∴∠BAG＝∠ABG＝45°，∴AG＝2，∴GE•GF＝AG2＝8．11．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，∴△CHD≌△BGC（AAS），∴CH＝BG＝a，∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，∴△DGH≌△DCH（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，S△CDG＝•DQ•CG＝CH•DG，∴CH＝＝a，在Rt△CQD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴＝，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠CGH＝∠CNG，∴△GHN∽△CHG，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝12．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．解：（1）令二次函数y＝ax2+bx+c，则，∴，∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（﹣，0），∴O′C＝，OO′＝；∵CD为⊙O′切线∴O′C⊥CD，∴∠O′CO+∠OCD＝90°，∠CO'O+∠O'CO＝90°，∴∠CO'O＝∠DCO，∴△O'CO∽△CDO，∴＝，即＝，∴OD＝，∴D坐标为（，0）．（3）存在，抛物线对称轴为x＝﹣，设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（﹣+r，|r|）或F（﹣﹣r，|r|），而E点在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，∴|r|＝﹣（﹣+r）2﹣（﹣+r）+2；∴r1＝﹣1+，r2＝﹣1﹣（舍去），r3＝1+，r4＝1﹣（舍去）；故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为或1+．。
2024年上海数学中考一轮复习 重难点5相似三角形中的“内接矩形”含详解
ABC D EF G H T 重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DE AH BC =．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC =60厘米，AH =40厘米，求正方形DEFG 的边长．AB CD E F GH P 例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH 的面积．AB CH GF E D 例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．AB CD E FG H K 例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x的函数关系式．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．AB CE F GD H P 例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，点G 、F 分别在边AB AC 、上，如果8BC =，ABC 的面积是32，那么这个正方形的边长是（）A ．4B ．8C ．83D ．1632．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB AC 、上，已知ABC 的边BC 长15厘米，高AH 为10厘米，则正方形DEFG 的边长是（）A ．4厘米B ．5厘米C ．6厘米D ．8厘米二、填空题3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、E 分别在AC 、BC 上，12AB =，若ABC 的面积为36，则DE 的长为______．4．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝4，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．5．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．6．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，点G ，F 分别在,AB AC 上，AH 是BC 边上的高，10,6,:2:5BC AH EF GF ===，则矩形DEFG 的面积为___________．7．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，矩形DEFG 内接于ABC ，6cm BC =，4cm DE =，2cm EF =，则BC 边上的高的长是______8．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，已知在ABC 中，边5BC =，高2AD =，正方形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的面积等于________．9．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）如图：正方形DGFE 的边EF 在ABC 边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH BC ⊥于H ，交DG 于P ，已知20BC =，16AH =，那么正方形DGFE 的边长为___________．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为________厘米．11．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知正方形EDFG 的顶点D 、G 分别在ABC 的边AB 、AC 上，顶点E 、F 在ABC 的边BC 上，若4BC =，10ABC S =△，那么这个正方形的边长是________．12．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．13．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，已知BC ＝6cm ，DE ＝3cm ，EF ＝2cm ，那么边BC 上的高的长是___cm ．14．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，顶点G 、G 分别在边AB 、AC 上，如果4BC =，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．15．（2021秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图：正方形DGFE 的边EF 在△ABC 边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH ⊥BC 于H ，交DG 于P ，已知BC ＝48，AH ＝16，那么S 正方形DGEF ＝_____．16．（2022秋·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）在ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB AC 、上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交与点K ，若3248AH BC ==，，矩形DEFG 周长为76，则DG =_________．17．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，9012A BC ∠=︒=，，若ABC 的面积是36，则EH 的长是___________．18．（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于___________．19．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）如图，矩形DEFG 的边DE 在ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上．已知6cm BC =，3cm DE =，2cm EF =，那么ABC 的面积是________2cm ．20．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在ABC 中，10BC =，BC 上的高4=AD ，矩形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，G 、H 分别在边AC 、AB 上，:3:2EF FG =，则该矩形的面积为________．三、解答题(1)如果AB=2AC ，求证：四边形(2)如果2AB AC =，且BC=1，连结23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH和宽EF的长．∆的边BC上，顶点D、24．（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，矩形DEFG的边EF在ABCBC=，8AH=．⊥，垂足为H．已知12G分别在边AB、AC上，AH BC(1)当矩形DEFG为正方形时，求该正方形的边长；(2)当矩形DEFG面积为18时，求矩形的长和宽．的边BC上，顶点D、25．（2022秋·上海静安·九年级上海市民立中学校考期中）如图，矩形DEFG的边EF在ABCG 分别在边AB 、AC 上，60BC =，高40AH =，如果2DE DG =，求矩形DEFG 的周长．ABC D EF G H T 重难点专项突破05相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DE AH BC =．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC =60厘米，AH =40厘米，求正方形DEFG 的边长．ABCD E F GH P 【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD AP BC AB AH∴==．406040x x -∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH 的面积．AB CH GF E D 【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知：////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AH BC AB=．1HE HG AD BC ∴+=，11015a a ∴+=，6a ∴=，∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．AB CD E FG H K 【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=- 矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠= ，，GF AG BC AB∴=,又 AH 是高，90AHB ∴∠= ，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GF AH BC∴+=,3813248x x -∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】23(4)4x y x x =>-．【解析】解：如图， 矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠= ，，GD AD BC AB∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠= ．DEC AHC ∴∠=∠，//DE AH ∴，DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=，641BC x ∴+=，64x BC x ∴=-，又 12ABC S y BC AH ∆== ，∴()2344x y x x =>-．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．AB CE F GD H P 【答案】()233055y x x x =-+<<．【解析】解： 矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠= ，GD AD BC AB∴=，又 AH 是高，90AHC ∴∠= ，DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴,DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH∴+=，153x DE ∴+=，又 DEFG S y x DE ==∙矩形，20x ∴=，∴y DE x=，153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =-+<<．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．【答案】甲同学方案好，理由略．A B CD E F A BCD EF G H 【解析】解：21 1.52ABC S AB BC m ∆=∙=,又 1.5AB m =，2CB m ∴=∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．1按甲的设计：设DE x =， 正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴，DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x ∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG AD BH AB ∴=,设DE x =，则DG x =， 正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DG CA HB∴+=， 1122ABC S AB BC AC BH ∆=∙=∙，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=，3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正；综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．【过关检测】一、单选题A ．4B ．8【答案】A 【分析】过点A 作AH BC ⊥边长为x ，则,GF x MH x ==的方程即可．∵ABC 的面积是32，BC ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ∵GF BC ∥，A ．4厘米B ．5厘米【答案】C 【分析】由DG BC ∥得ADG △【详解】解：设正方形的边长为x ∵正方形DEFG 得，二、填空题3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、【答案】4【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，交证明CDE CAB ∽△△，则CM DE CH AB=，列方程即可求得答案．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点设正方形DEFG 的边长为x ，∵ABC 的面积为36，12AB =，∴6CH =，∵DE AB ∥，12【答案】6cm /6厘米【分析】过点A 作证AGF ABC ∽△△【详解】解：如图，过点 矩形DEFG 中，2cm EF MN ==∴AN FG ∴⊥，FG DE ∥，AGF B ∴∠=∠，∠AGF ABC ∴△∽△AN GF【答案】2003/21983【分析】由DG BC ∥得ADG 【详解】解：设ABC 的高AH 由正方形DEFG 得，DG EF ∥【答案】209【分析】作高AH 交DG 于M △∽△ADG ABC ，即可得到【详解】解：作高AH 交DG ∵4BC =，10ABC S =△，∴5AH =，设正方形DEFG 的边长为x 则DE MH x ==，【答案】257/257【分析】过点C 作CM AB ⊥于点可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC 2222215AB AC BC ∴=+=+=1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△【答案】4【分析】由题意过A作AH △AGF∽△ABC，求出AM∵AH⊥BC，四边形DEFG ∴四边形HEFM是矩形，∴△AGF∽△ABC，∴AM AH【答案】20【分析】设DG为x，根据矩形的性质得出各线段代入求解即可．【详解】解：设DG为x，【答案】4【分析】易证AEH ABC ∽△△，可得：AE AM AB AD =，即可得出DEH BC AM A =，可求解AD BC ⊥∵ABC 的面积是36，12BC =,∴1362BC AD ⨯=,∴112362AD ⨯⨯=，6AD =【答案】2【分析】利用正方形的性质可知似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长．【详解】解：如图所示：四边形EFMN是正方形，【答案】758/398【分析】如图，证明AGH △【详解】解：∵:3:EF FG =∴设3EF k =，则2FG k =；由题意得：HG BC ∥，2KD FG k HG ==，∴AGH ACB ∽△△，而AD ⊥三、解答题21．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）一块三角形余料ABC ，它的边长12BC =厘米，高8AD =厘米，要把它加工成正方形零件PQMN ，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则加工成的零件边长为多少厘米？【答案】加工成的零件边长为4.8厘米【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即APN ABC △△∽，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长；【详解】解：设正方形零件的边长为a ，在正方形PNMQ 中，PN BC ∥，90PQM QPN ∠=∠=︒，∵AD 是ABC 的高，即AD BC ⊥，∴90ADQ ∠=︒，∴PQM QPN ADQ ∠=∠=∠，∴四边形PQDE 为矩形，∴PQ DE a ==，∴8AE AD DE a =-=-，∵PN BC ∥，∴90AEP ADB ∠=∠=︒，(1)如果AB=2AC，求证：四边形(2)如果2AB AC=，且BC=1，连结【答案】(1)见解析(2)23DE=【分析】（1）因为BD=2AD，AE=可以推出EF=DF，故四边形ADFE（2）利用两边对应成比例且夹角相等证明【详解】（1）证：∵BD=2AD，AE=∴BD AE AD EC=，∵DF//AC，∴BD BF AD FC=，∴BF AE FC EC=，∵BD=2AD，AE=2EC，∴AD=13AB，AE=23AC，∴222 AD ABAE AC==，∵22 ACAB=，∴AD AC AE AB=，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴23 DE AEBC AB==，∴DE=2 3．【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键．23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边【答案】90【分析】设DG EF x ==，则2GF DE ==问题可求解．【详解】解： 四边形DEFG 是矩形，DG BC ∴ ，AH BC ⊥，DG EF =，AK DG ∴⊥．。
射影定理
射影定理直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理的内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式表达为：如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD²;=AD·DB，②BC²=BD·BA ，③AC²=AD·AB ；④AC·BC=AB·CD（等积式，可用面积来证明）基表达式AC·BC=AB·CD射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^2;=AD·DB,(2)(BC)^2;=BD·BA ,(3)(AC)^2;=AD·AB 。
等积式(4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）直角三角形的射影定理所谓射影，就是灯光投影。
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
[1]公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：射影定理（1）BD²=AD·DC，（2）AB²=AD·AC ，（3）BC²=CD·CA。
等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明）(5)(AB)^2/(BC)^2=AD/CD[1]直角三角形射影定理的证明一、在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。
初中九年级(初三)数学课件 射影定理
所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
原来学好数学，一点 都不难！
教 学
复
新
例
练
小
目 标
习
课
题
习
结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较
多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
A
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
九年级相似三角形射影定理与比例中项经典讲义
射影定理与比例中项射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．即CD2=AD·BD；AC2=AD·AB；BC2=BD·AB比例中项：如果a:b=b:c，或b2=ac，那么，b 就叫做a、c的比例中项。
1、已知直角三角形ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DE AB⊥交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （）A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm2、如图1-1，在Rt ABC中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长A、1B、2C、3D、43、在Rt ABC中，90BAC∠=，AD BC⊥于点D，若34ACAB=，则BDCD=（）A、34B、43C、169D、9164、如图1-2，在矩形ABCD中，1,3DE AC ADE CDE⊥∠=∠，则EDB∠=（）A、22.5B、30C、45D、60【填空题】5、ABC中，90A∠=，AD BC⊥于点D，AD=6，BD=12，则CD=____，AC= ____，22:AB AC= ___________。
6、如图2-1，在Rt△ABC中，90ACB∠=，CD AB⊥，AC=6，AD=3.6，则BC=_____．7、如图已知CD是△ABC的高，DE⊥CA, DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA8、已知90CAB∠=，AD CB⊥，△ACE，△ABF是正三角形，求证：DE DF⊥OADEFACD9、如图3-2，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE AM ⊥，E 是垂足，求证：224DE a b =+10、如图（３），已知：等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，高AD 、BE 交于点Ｈ，求证： DH •DA=41BC 211、已知如图△ABC 中，AD 平分∠ABC ，AD 的垂直平分线交AB 于点Ｅ，交AD 于点Ｈ，交AC 于点Ｇ，交BC 的延长线于点Ｆ， 求证：DF 2＝CF •BFHBFE参考答案1、C2、B3、C4、C5、3,35,4:16、 87、证明：在Rt ADC 中，由射影定律得，2CD CE AC =， 在Rt BCD 中，同理得 2CD CF BC =,CE BCCE AC CF BC CF AC ∴=∴=又ECF BCA ∠=∠，CEFCBA ∴ 8、证明：如图所示，在Rt BAC 中，22,AC CD CB AB BD BC == 22AC CD CD CD CD ADAB BD CD BD AD AD BD ∴=====,,AE ADAC AE AB AF BF BD ==∴=60,60,FBD ABD EAD CAD ABD CAD ∠=+∠∠=+∠∠=∠又 FBD EAD ∴∠=∠，,EAD FBD BDF ADE ∴∴∠=∠90FDE FDA ADE FDA BDF ∴∠=∠+∠=∠+∠= DE DF ∴⊥9、证明：在Rt AMB 和Rt ADE 中，AMB DAE ∠=∠，90ABM AED ∠=∠= 所以Rt AMB ～Rt ADE所以AB AMDE AD =，因为AB=a ，BC=b ， 所以222244AB ADDE AMb a b a ===++10、证△ABD ∽△BDH 即可11、证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共，∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ，∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
射影定理课件
C
2
AC ＝AD·AB
2
BC ＝BD·AB
A
D
射影定理： 直角三角形中，斜边上的高是两条
直角边在斜边上射影的比例中项；
每一条直角边是这条直角边在斜边
上的射影和斜边的比例中项。
B
例1. 如图，已知△ABC中,∠ACB＝
90°，CD⊥AB，AD＝2cm，BD＝
6cm，求CD、AC、BC的长.
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
OA 3 5 即⊙o半径为3 5
练习：如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC
延长线上任取一点P，连AP，作BG⊥AP于P点，交CE
于D，求证：CE2＝EP·ED
分析 ：∵∠ACB=90°，CE⊥AB
∴由射影定理得 CE2＝AE·EB
若要CE2＝PE·DE
AE DE
＝
则AE·EB＝PE·DE
PE EB
P
G
C
D
要证明△AEP ∽△DEB
A
E
B
证明：∵∠ACB=90°，CE⊥AB
∴由射影定理得 CE2＝AE·EB
又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°
∵∠PDG=∠BDE，∴∠P=∠DBE
∴△AEP∽△DBE ∴PE：BE=AE：DE
∴ PE·DE=AE·BE ∴CE2＝PE·DE
AE⊥BD于E，求证：∠CBD＝∠ECD
证明：∵∠CAB=90°，AE⊥BD
∴由射影定理得
DA2＝DE·DB
又∵D为AC的中点
∴DC＝DA
∴DC2＝DE·DB
DC DB
＝
DE DC
∵∠CDB=∠CDE
九年级数学射影定理
A
D
B
4、如图,以Rt△ABC的BC边为直 径的圆交斜边AB于D,若AD、BD 2 的长是以x为未知数的方程x 6x+n2=0(n>0)的两根，
2 2 且AD +DB =20，
C
求CD的长.
A
O
D
B
5、如图，矩形ＡＢＣＤ中， Ｅ是ＢＣ上一点，且ＢＥ＝４ ＥＣ，ＡＥ⊥ＤＥ，则ＡＢ/ ＢＣ＝ 。 F D A
vcg49wfv
是有这么一个孙女就好喽。”耿英和老妇人一起进屋做饭去了。耿正说：“俺去挑担水哇！”耿老爹说：“俺去挑哇，你拉一段好听的 二胡曲儿给爷爷听，让爷爷乐呵乐呵！”老爷子一听这话，立刻就高兴得眉开眼笑，说：“哎呀，这娃儿还会拉二胡哇，快拉给爷爷听 听！唉，爷爷奶奶老嘞，走不了远路，俺们有好几年没有去镇上赶庙会了呢。常年儿呆在家里，自然就没有机会听这些个热闹了哇。每 日里能够听到的，除了鸡鸣狗叫什么的，再就是狂风暴雨后那怪吓人的波涛声儿了。今儿个正好用好听的曲儿给爷爷洗洗耳朵！”耿正 笑了，说：“爷爷，俺拉得没有多好，但总归还是可以给您换个声儿听的！您请坐，俺这就拉给您听！”说着话，耿正去车上取来二胡， 又看看周围，先请老爷子坐在屋门旁檐台上那个松松软软的厚草垫子上。然后，自己搬把高脚凳子坐在老爷子的对面亲切地问：“爷爷， 您爱听哪一段儿？”老爷子想也没有想就说：“你就将最顺手的拉哇，爷爷什么曲儿都爱听！”自来熟耿直也很想表现表现，于是就高 兴地跳到老爷子的背后，声音甜甜地说：“那俺给爷爷捶捶背哇。俺爹说啦，经常锤捶背身子骨儿好！”在优美的二胡曲儿声中，耿直 不轻不重地为老人家捶着背。老爷子眯缝着眼睛幸福惬意地享受着在屋里做饭的老妇人听着美妙的二胡曲儿，高兴地对耿英说：“哎哟 哟，这莫不是老天爷给俺们俩老东西送来了仙人儿嘛！”热汤热菜的舒舒服服吃完晚饭之后，耿正又为两位老人家拉了好一会儿。次日 早饭后，耿老爹将毛驴重新拴在滩枣树上，给它喂上草料，饮上水。然后对老夫妇说，想带娃娃们到黄河边上玩玩儿去。两位老人家相 视而笑了。老爷子摇着头说：“唉，没有见过黄河的人，都觉得这条大河新奇呢。其实哇，这黄河可不见得是一个好东西！你让娃娃们 离远点儿瞧瞧就是了。你们打北面过来的人，肯定不会水的，千万别失足落进去哇！”老妇人也说：“是啊，这黄河自古以来就经常祸 害人呢。说不定什么时候不高兴了，就冲破堤坝，好像脱缰的野马一样。你们可一定小心啊，离远点儿瞧！对啦，不要走太远了，中午 还回来吃饭，俺给咱们做打卤刀削面。”耿老爹感激地说：“好的，俺们一定小心，也不会走太远了。中午还回来吃饭，您做简单点 儿！”当耿家父子四人辞别两位老人家再次上了堤岸来到黄河边儿上的时候，他们对眼前的这条仍然还是波浪滔滔的大河，已经远没有 昨天下午第一次看到时那样感兴趣了。毫无疑问，两位善良老人家对这条大河的那一番不乍欣赏的评价，已经深深地感染了他们。沿岸 走了一会儿后，耿直甚至说：“听这声音，这黄河真得很像脱缰的野马呢！”耿正说：“不，这黄河水现在还只是被圈在堤坝里边的野 马，还没
中考射影定理及其运用正规版
中考射影定理及其运用(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
三、应用例１ 如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析： 易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C ＝∠HBD ，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。
分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
相似三角形中的“内接矩形”-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版)(解析版)
AB CD EFG HT重难点专项突破：相似三角形中的“内接矩形”【知识梳理】相关模型：常用结论：AT DEAH BC=．【考点剖析】例1.如图，正方形DEFG的边EF在ABC∆的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是ABC∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD的边长为x，//DG BC，DG AD APBC AB AH∴==．406040x x−∴=，24x∴=，∴正方形EFGD的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．AB CDE FGHP例2.ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC = 15，BC 边上的高AD = 10，求正方形EFGH 的面积．【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知：////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AH BC AB =． 1HE HG AD BC ∴+=，11015a a ∴+=， 6a ∴=， ∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．例3.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm =−A B C H GF E D ABC D E FG H K矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，， GF AG BC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴, DG BG AH AB ∴=，1DG GF AH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例4.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上， 顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图， 矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=．DEC AHC ∴∠=∠，//DE AH ∴，DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−， 又 12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．例5.如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上， AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，已知3AH =，5BC =，设DG 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．【答案】()233055y x x x =−+<<．【解析】解：矩形DEFG ，//,90GD BC DEC ∴∠=，GD AD BC AB ∴=，又AH 是高，90AHC ∴∠=， DEC AHC ∴∠=∠,//DE AH ∴,DE BD AH AB ∴=，1DG DE BC AH ∴+=，153x DE ∴+=，又DEFG S y x DE ==•矩形，20x ∴=，∴y DE x =， 153x y x ∴+=，∴()233055y x x x =−+<<．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．AB CE F GD H P例6.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）． 【答案】甲同学方案好，理由略．【解析】解：21 1.52ABC S AB BC m ∆=•=,又 1.5AB m =，2CB m ∴=∴在Rt ABC ∆中， 2.5AC m =．按甲的设计：设DE x =，正方形DEFB ，//,//ED BF EF CB ∴，DE CE AB CA ∴=,EF AE CB AC =，1DE EF BA CB ∴+=，11.52x x ∴+=，67x m ∴=，23649DEFB S m ∴=正；②按乙的设计：过点B 作BH AC ⊥交AC 于点H ，得//DG BH ，DG AD BH AB ∴=, 设DE x =，则DG x =，正方形DGFE ，//ED AC DE DG ∴=，，DE BD AC BA ∴=，1DE DG CA HB ∴+=，1122ABC S AB BC AC BH ∆=•=•，65BH m ∴=，162.55x x ∴+=， 3037x m ∴=，29001369DGFE S m ∴=正；综上，甲设计方案好．【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．A B CD E F A BCD EF G H【过关检测】一、单选题 在ABC 的边，ABC 的面积是 A ．4B ．8 【答案】A 【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =，∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽，∴GF AM BC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 2．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB AC 、 上，已知ABC 的边BC 长15厘米，高AH 为10厘米，则正方形DEFG 的边长是（ ）A ．4厘米B ．5厘米C ．6厘米D ．8厘米【答案】C 【分析】由DG BC ∥得ADG ABC △△，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比列方程求解即可．【详解】解：设正方形的边长为x ．∵正方形DEFG 得，∴DG EF ∥，即DG BC ∥，∵AH BC ⊥，∴AP DG ⊥．∵DG BC ∥∴ADG ABC △△∴DG AP BC AH =． ∵PH BC DE BC ⊥⊥，∴PH ED AP AH PH −＝，＝，即DG AH PH BC AH −=，∵1510BC AH DE DG x ====，， ，∴101510x x −=，解得6x =．故正方形DEFG 的边长是6cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．由平行线得到相似三角形并利用相似三角形的性质是解答本题的关键．二、填空题 3．（2021秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形DEFG 的边GF 在AB 边上，顶点D 、E 分别在AC 、BC 上，12AB =，若ABC 的面积为36，则DE 的长为______．【答案】4【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，交DE 于点M ，设正方形DEFG 的边长为x ，利用ABC 的面积求出6CH =，证明CDE CAB ∽△△，则CM DE CH AB =，列方程即可求得答案．【详解】解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，交DE 于点M ，设正方形DEFG 的边长为x ，∵ABC 的面积为36，12AB =，∴6CH =，∵DE AB ∥，∴CM DE ⊥，CDE CAB ∽△△，∴CM DE CH AB =， ∴6612x x −=，解得4x =，即DE 的长为4，故答案为：4【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是是解题的关键． 4．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝4，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．【答案】2.4/125【分析】作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，设正方形DEFG 的边长为x ，则GF=x ，MH=x ，AM=6-x ，再证明△AGF ∽△ABC ，则根据相似三角形的性质得4x =66x−，然后解关于x 的方程即可．【详解】作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，如图，∵BC 边上的高是6，即6AH =设正方形DEFG 的边长为x ，则GF=x ，MH=x ，AM=6-x ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AMAH ，即4x =66x −，解得x=125，即正方形DEFG 的边长为125．故答案为：125．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质． 5．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案．【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上，90A B ∴∠+∠=，90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽，=24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．6．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，点G ，F 分别在,AB AC 上，AH 是BC 边上的高，10,6,:2:5BC AH EF GF ===，则矩形DEFG 的面积为___________．【答案】725【分析】设2,5EF x GF x ==，可得62AK x =-，根据~AGF ABC ∆∆，可得AK GF AH BC =，可求出x ，即可求解．【详解】解：∵:2:5EF GF =，∴可设2,5EF x GF x ==，∵矩形DEFG 为ABC 的内接矩形，AH 是BC 边上的高，∴2KH EF x ==，GF BC ∥，∴62AK x =-，AH FG ^，∵GF BC ∥，∴~AGF ABC ∆∆， ∴AK GF AH BC =， 即625610x x −=， 解得：65x =， ∴12,65EF FG ==，∴矩形DEFG 的面积为1272655EF FG ×=´=． 故答案为：725【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，关键是利用相似三角形对应边成比例得到比例式． 7．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）如图，矩形DEFG 内接于ABC ，6cm BC =，4cm DE =，2cm EF =，则BC 边上的高的长是______【答案】6cm /6厘米【分析】过点A 作AM BC ⊥于点M ，交FG 于点N ，先根据矩形的性质可得2cm MN EF ==，4cm FG DE ==，再证AGF ABC ∽△△，利用相似三角形对应高线之比等于相似比列出等式，即可求解． 【详解】解：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ，交FG 于点N ，矩形DEFG 中，4cm,2cm DE EF ==，2cm EF MN ==∴，4cm FG DE ==， FG DE ∥，AN FG ∴⊥，FG DE ∥，AGF B ∴∠=∠，AFG C ∠=∠，AGF ABC ∴△∽△，AN GF AM BC ∴=，设cm AM x =，则(2)cm AN x =−，246x x −∴=，解得6x =，即6cm AM =，则BC 边上的高的长是6cm ，故答案为：6cm ．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证明AGF ABC ∽△△是解题的关键． 8．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，已知在ABC 中，边5BC =，高2AD =，正方形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的面积等于________．【答案】10049/2249【分析】利用正方形的性质可知EH BC ∥，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得AEH ABC ∽△△，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长，进而获得答案．【详解】解：如下图所示，设EH 与AD 交于点M ，∵四边形EFGH 是正方形，∴EH BC ∥，EH FG =，∴AEH ABC ∠=∠，∵EAH BAC ∠=∠，∴AEH ABC ∽△△， ∴AE EH AB BC =， 又∵AD BC ⊥，∴AD EH ⊥，EH EF MD ==，∵EH BC ∥， ∴AM AE AD AB =，即AM EH AD BC =， 设EH x =，则2AM AD MD x =−=−， ∴225x x −=，解得107x =， ∴107EH =，即这个正方形的边长为107， ∴这个正方形的面积为210100()749=． 故答案为：10049．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．在边AB 、AC 上，AH BC ⊥于H ，交DG 于P ，已知20BC =，16AH =，那么正方形DGFE 的边长为___________．【答案】809【分析】根据DG BC ∥得出△∽△ADG ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：设正方形DGFE 的边长为x ．由正方形DGFE 得，DG BC ∥，∵AH BC ⊥，∴AP DG ⊥．∵DG BC ∥，∴△∽△ADG ABC ，∴DG AP BC AH =， ∵PH BC ⊥，DE BC ⊥，∴PH DE =，AP AH PH AH DE =−=−，即DG AH DE CB AH −=，由20BC =，16AH =，DE DG x ==，得162016x x −=，解得809x =． ∴正方形DEFG 的边长是809，故答案为：809．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．解题的关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程．G 分别在边AB 、AC 上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，则ABC 的高AH 为________厘米．【答案】2003/21983 【分析】由DG BC ∥得ADG ABC ∽，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【详解】解：设ABC 的高AH 为x 厘米．由正方形DEFG 得，DG EF ∥，即DG BC ∥，∵AH BC ⊥，∴AP DG ⊥．∵DG BC ∥，∴ADG ABC ∽，∴AP DG AH BC =． ∵PH BC ⊥，DE BC ⊥，∴PH ED =，AP AH PH =−，∵BC 长为40厘米，若正方形DEFG 的边长为25厘米，∴252540x x −=， 解得2003x =． 即2003AH =厘米． 故答案为：2003．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．11．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知正方形EDFG 的顶点D 、G 分别在ABC 的边AB 、AC 上，顶点E 、F 在ABC 的边BC 上，若4BC =，10ABC S =△，那么这个正方形的边长是________．【答案】209【分析】作高AH 交DG 于M ，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE MH x ==，所以5AM x =−，再证明△∽△ADG ABC ，即可得到5,45x x −=然后根据比例的性质求出x 的值即可．【详解】解：作高AH 交DG 于M ，如图，∵4BC =，10ABC S =△，∴5AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE MH x ==，5,AM AH MH x ∴=−=−DG BC ∥,ADG ABC ∴∽,DG AM BC AH ∴=5,45x x −∴=20,9x ∴=∴正方形的边长为209，故答案为∶20 9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．12．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC△中，90C∠=︒，2AC=，1BC=，正方形DEFG内接于ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E 在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是______．【答案】【分析】过点C作C M A B⊥于点M，交GF于点N，首先由勾股定理得出AB的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C作C M A B⊥于点M，交GF于点N，Rt ABC△中，90C∠=︒，2AC=，1BC=，AB∴，1122ABCS AC BC AB CM=⋅=⋅△，∴AC BCCMAB⋅∴===，∵正方形DEFG内接于ABC，GF EF MN∴==，GF AB∥，CGF CAB∴△∽△，CN GFCM AB∴=，EF=，解得：EF=，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 13．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，已知BC ＝6cm ，DE ＝3cm ，EF ＝2cm ，那么边BC 上的高的长是 ___cm ．【答案】4【分析】由题意过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，由矩形的性质得GF ∥BC ，DG=EF=2cm ，GF=DE=3cm ，再证△AGF ∽△ABC ，求出AM=2（cm ），则AH=AM+MH=4（cm ），即可求解．【详解】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，如图所示：∵AH ⊥BC ，四边形DEFG 是矩形，∴四边形HEFM 是矩形，则MH=EF=2cm ，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF ∥BC ，DG=EF=2cm ，GF=DE=3cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴AM GF AH BC =，即326AM AM =+，解得：AM=2（cm ），∴AH=AM+MH=4（cm ），即边BC 上的高的长是4cm.故答案为：4．【点睛】本题考查矩形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明△AGF ∽△ABC 是解题的关键．14．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在ABC 的边BC 上，顶点G 、G 分别在边AB 、AC 上，如果4BC =，BC 边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．【答案】12 5【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得646x x−=，然后解关于x的方程即可．【详解】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴GF AMBC AH=，即646x x−=，解得x=12 5，即正方形DEFG的边长为12 5．故答案为：12 5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．15．（2021秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图：正方形DGFE的边EF在△ABC边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S正方形DGEF＝_____．【答案】144【分析】根据DG ∥BC 得出△ADG ∽△ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案．【详解】解：设正方形DGEF 的边长为x ．由正方形DEFG 得，DG ∥EF ，即DG ∥BC ，∵AH ⊥BC ，∴AP ⊥DG ．∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG AP BC AH =， ∵PH ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴PH ＝ED ，AP ＝AH ﹣PH ，即DG AH PH CB AH −=，由BC ＝48，AH ＝16，DE ＝DG ＝x ，得164816x x −=，解得x ＝12． ∴正方形DEFG 的边长是12，∴S 正方形DGEF ＝DE2＝122＝144．故答案为：144．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．解题的关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程．16．（2022秋·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）在ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB AC 、上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交与点K ，若3248AH BC ==，，矩形DEFG 周长为76，则DG =_________．【答案】20【分析】设DG 为x ，根据矩形的性质得出GF 为()38x −，再由相似三角形的判定和性质得出AK GF AH BC =，然后将各线段代入求解即可．【详解】解：设DG 为x ，∵矩形DEFG 的周长为76，∴GF 为()38x −，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF BC ∥，∴AGF ABC ，∴AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ，∴AK GF AH BC =， ∵KH GD =，∴32383248x x −−=，解得：20x =， ∴20DG =，故答案为：20．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．17．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，9012A BC ∠=︒=，，若ABC 的面积是36，则EH 的长是___________．【答案】4【分析】易证AEH ABC ∽△△，可得：AE EH AB BC =，再由两平行线间的距离相等，即可得出DM EF EH ==，结合AE AM AB AD =，即可得出D EH BC AM A =，可求解EH 的长． 【详解】解：如图所示：过A 作AD BC ⊥于D ，交EH 于M ,∵ABC 的面积是36，12BC =, ∴1362BC AD ⨯=, ∴112362AD ⨯⨯=，∴6AD =，正方形EFGH 内接于Rt ABC △，EH FG ∴∥，设EH EF FG HG x ====，AEH B ∠∠∴=，AHE C ∠=∠，AEH ABC ∴∆∆∽， ∴AE EH AB BC = AD BC ⊥，∴90ADG ∠=︒,∵EH FG ∥，∴90ADG AMH ∠=∠=︒,AM EH ∴⊥，又∵EH FG ∥，AD BC ⊥，DM EF EH x ∴===，AE AM AB AD =，∴6AM x =− ∵AE EH AB BC =，∴D EH BC AM A =， ∴6126x x −=， ∴4x =，∴4EH =．故答案为：4．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，正方形的性质，证明AEH ABC ∽△△是解题的关键． 18．（2022秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于___________．【答案】2【分析】利用正方形的性质可知HG BC ∥，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得A AHG BC ∽△△，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长．【详解】解：如图所示：四边形EFMN 是正方形，HG BC ∴∥，HG EF =，AHG B ∴∠=∠，BAC BAC ∠=∠Q ，AHG ABC ∴∽，∴AH HG AB BC =，又AD BC ⊥，AD HG ∴⊥，HG EF MD ==，HG BC ∥，AM AH AD AB ∴=，即AM HG AD BC =，设HG x =，则3AM AD MD x =−=−， ∴336x x −=，解得：2x =， 2HG ∴=，∴这个正方形的边长为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常见题型． 在ABC 的边，那么ABC 的面积是 【答案】12【分析】过A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，由矩形的性质得GF BC ∥，2cm DG EF ==，3cm GF DE ==，再证AGF ABC ∽，求出2cm AM =，则4cm AH AM MH ==＋，即可求解．【详解】解：过A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，则2cm MH EF ==，∵四边形DEFG 是矩形，∴GF BC ∥，2cm DG EF ==，3cm GF DE ==，∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽，∴AM GF AH BC =， 即326AM AM =+，解得：2cm AM =，∴4cm AH AM MH ==＋，∴ABC 的面积()2116412cm 22BC AH =⋅=⨯⨯=，故答案为：12．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明AGF ABC ∽是解题的关键． 20．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在ABC 中，10BC =，BC 上的高4=AD ，矩形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，G 、H 分别在边AC 、AB 上，:3:2EF FG =，则该矩形的面积为________．【答案】758/398【分析】如图，证明AGH ACB ∽△△，运用相似三角形的性质列出比例式，问题即可解决． 【详解】解：∵:3:2EF FG =，∴设3EF k =，则2FG k =；由题意得：HG BC ∥，23KD FG k HG EF k ====，；∴AGH ACB ∽△△，而AD BC ⊥，AK HG ⊥， ∴HG AK BC AD =，即342104k k −=， 解得：54k =，∴1534EF k ==，522EH k ==． ∴该矩形的面积为15575428EF EH ⨯=⨯=． 故答案为：758．【点睛】该题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．三、解答题 21．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）一块三角形余料ABC ，它的边长12BC =厘米，高8AD =厘米，要把它加工成正方形零件PQMN ，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则加工成的零件边长为多少厘米？【答案】加工成的零件边长为4.8厘米【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即APN ABC △△∽，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长；【详解】解：设正方形零件的边长为a ，在正方形PNMQ 中，PN BC ∥，90PQM QPN ∠=∠=︒，∵AD 是ABC 的高，即AD BC ⊥，∴90ADQ ∠=︒，∴PQM QPN ADQ ∠=∠=∠，∴四边形PQDE 为矩形，∴PQ DE a ==，∴8AE AD DE a =−=−，∵PN BC ∥，∴90AEP ADB ∠=∠=︒，∴AE 为APN 的高，∵PN BC ∥，∴APN ABC △△∽， ∴AE PN AD BC =， 即8812a a −=， 解得： 4.8a =，∴加工成的零件边长为4.8厘米．【点睛】本题主要考查相似三角形判定和性质的应用，正方形的性质，矩形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． (1)如果AB=2AC ，求证：四边形(2)如果2AB AC =，且BC=1，连结【答案】(1)见解析(2)DE =【分析】（1）因为BD=2AD ，AE=2EC ，DF//AC ，所以可以得出EF//AB ，四边形ADFE 是平行四边形，由于AB=2AC ，可以推出EF=DF ，故四边形ADFE 是菱形；（2）利用两边对应成比例且夹角相等证明△ADE ∽△ACB ，再用比例式求出DE 的长．【详解】（1）证：∵BD=2AD ，AE=2EC ，∴BD AE AD EC =，∵DF//AC ， ∴BD BF AD FC =， ∴BF AE FC EC =， ∴EF//AB ，∴四边形ADFE 是平行四边形．∴EF=AD=13AB ，DF=AE=23AC ．∵AB=2AC ，∴EF=12233AC AC ⨯=，∴EF=DF ，∴四边形ADFE 是菱形．（2）如图：∵BD=2AD ，AE=2EC ，∴AD=13AB ，AE=23AC ，∴2AD AB AE AC==，∵AC AB=， ∴AD AC AEAB =， ∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴DE AE BC AB==，∴DE=3．【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键． 23．（2022·上海·九年级专题练习）一块三角形的余料，底边BC 长1.8米，高AD ＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC 上，另两个顶点在AB 、AC 上，求长方形的长EH 和宽EF 的长．【答案】EH ＝911米，EF ＝611米【详解】根据比例设EH 、EF 分别为3k 、2k ，然后根据△AEH 和△ABC 相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出k 值，即可得解．【分析】解：∵长方形的长宽比是3∶2，∴设EH 、EF 分别为3k 、2k ，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∴AM AD ＝EHBC ，即121k−＝31.8k ，解得k ＝311，∴EH ＝911米，EF ＝611米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，利用“设k 法”表示出边更简便．24．（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH BC ⊥，垂足为H ．已知12BC =，8AH =．(1)当矩形DEFG 为正方形时，求该正方形的边长；(2)当矩形DEFG 面积为18时，求矩形的长和宽．【答案】(1)245(2)矩形的长宽分别为2、9或6、3【分析】（1）DG BC ∥得△∽△ADG ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．（2）设DE a =，DG b =，利用相似三角形得到8128b a −=，再根据矩形DEFG 面积为18列出方程3(12)182a a −=求得a 值代入求得b 值即可．【详解】（1）记AH 与DG 的交点为P ，设正方形边长为x ，正方形DEFG ，EF 在边BC 上∴DG BC ∥得△∽△ADG ABC∴DG AP BC AH = 由128BC AH ==，可得8128x x −= ∴245x =（2）设DE a =，DG b =矩形DEFG ，EF 在边BC 上∴△∽△ADG ABC ∴DG AP BC AH = ∴8128b a −= 即3122b a =− 矩形DEFG 面积为18即18ab = ∴3(12)182a a −=解得12a =，26a =当2a =时，9b =；当6a =时，3b =∴矩形的长宽分别为2、9或6、3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程． 在ABC 的边DEFG 【答案】90【分析】设DG EF x ==，则2GF DE x ==，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出DG 、DE 的长，然后问题可求解．【详解】解：四边形DEFG 是矩形，DG BC ∴，AH BC ⊥，DG EF =，设DG EF x ==，则2GF DE x ==，即有402AK AH HK x =−=−，DG BC ∥，ADG ABC ∴∽， ∴AK DG AH BC =，40AH =，60BC =， ∴4024060x x −=， 解得15x =．15DG ∴=，30DE =，∴矩形DEFG 的周长为()290DG DE +=【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．。
九年级数学射影定理
C
AD
B
2 、如图 ，在⊿ ABC中， CD⊥AB 于D，DE ⊥ AC 于E ， DF ⊥ BC 于F 。求证 ： ⊿ CEF∽⊿ CBA
C
F E
A
D
B
3、如图:已知,在Rt△ABC中,∠C
ADLeabharlann B5、如图，矩形ＡＢＣＤ中，
Ｅ是ＢＣ上一点，且ＢＥ＝４
ＥＣ，ＡＥ⊥ＤＥ，则ＡＢ/
ＢＣ＝
。
A
FD
B
EC
6、已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥
ＢＣ， ∠ＡＢＣ＝Ｒt∠ ，对角
线ＡＣ⊥ＢＤ于Ｐ，ＡＤ：ＢＣ
＝３：４，则ＢＤ：ＡＣ
＝
。A
D
P
B
C
7、如图，已知AB=AC，AD ⊥ AB。若CD=7，AB=15， 求BC的长。
A
B
ED C
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灰岩和页岩，在本区域范围内，齐国沿泰山山脉直达黄海边修筑了长约500千米的长城，译经传法，就有72代君王到泰山封神，整体向北西倾伏呈箕状。本官是一县之主，峨眉山苦笋具有甜脆、味纯、富含多种维生素等特点和清肝利胆、壮阳之功效。陆生节肢动物也很多， 天极高，仰视如 从穴中视天窗矣。峨眉山位于中国多雨区，”就出外云游去了。是干、湿交替的过渡带。[16] 似春雷滚滚，时至始新世末期（距今约3000万年左右）， 现已发现和探明的矿产已有40余种。 齐郡丞张须陀大破王薄起义军于泰山下。《舜典》：岁二月，[11] 银光闪闪的山坡上。近数十万年 以来，仙菜越积越多，均以“峨眉派武
专题十五 射影定理
专题十五：射影定理及相似应用例1、如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，CD=4cm,AD=8cm,求AC 、BC 及BD 的长。
例2、如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且AF=14AD ，EG ⊥CF 于点G ，（1）求证：△AEF ∽△BCE ； （2）试说明：EG 2=CG ·FG.例3、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长PQ 是宽PN 的2倍，则边长是多少？A B C D E FG例4、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的影子不全落在地面上，如图所示，经测量，墙上影高CD=1.5m ，地面影长BC=10m ． 若此时1米高的标杆的影长恰好为2m ．请你求出这棵大树AB 的高度．例5、如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度．例6如图，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ，则旗杆的高为（ ）A ．12mB ．10mC ．8mD ．7m例7、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFAB C D EFO 123。