初中数学：弧长及扇形的面积练习题

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初中数学冀教版九年级上册 28.5弧长和扇形面积的计算练习题

初中数学冀教版九年级上册第二十八章弧长和扇形面积的计算练习题一、选择题1.圆心角为的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是A. B. C. D.2.一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是，则圆锥的母线长是A. 8cmB. 12cmC. 16cmD. 24cm3.圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的周长为，扇形的圆心角为，则圆锥的全面积为A. B. C. D.4.如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为，则图中阴影部分的面积为A. B. C. D.5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚如图，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为A. B. C. 4 D.6.如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为A. 2cmB. 4cmC. 1cmD. 8cm7.一个扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积是A. B. C. D.8.如图，在▱ABCD中，，的半径为3，则图中阴影部分的面积是A. B. C. D.9.圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是，圆锥的高是A. B. 10cm C. 6cm D. 5cm10.钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是A. B. C. D.二、填空题11.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为，AB的长为20cm，扇面BD的长为15cm，则弧DE的长是______．12.若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为______．13.已知扇形的面积为，圆心角为，则它的半径为______．14.一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______结果保留15.如图，中，，CD平分交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的分别交AC、BC于点E、F，，，则劣弧的长为______．三、解答题16.如图，在平面直角坐标系中，将点C顺时针旋转后得则．请在图中画出，并写出点A的对应点的坐标；求线段AC旋转到时扫过的面积S．17.如图，的直径，半径，D为上一动点不包括B，C两点，，，垂足分别为E，F．求EF的长．若点E为OC的中点，求劣弧CD的长度；者点P为直径AB上一动点，直接写出的最小值．18.如图，把圆锥的侧面展开得到扇形，其半径，圆心角，求的长．19.已知：扇形的圆心角为，弧长为，求扇形面积．20.如图，AB是的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若，．求的半径；求图中阴影部分的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：扇形的面积公式，故选：B．根据扇形的面积公式计算可得答案．本题考查扇形的面积公式．2.【答案】B【解析】解：圆锥的底面周长为，即为展开图扇形的弧长，由弧长公式得，，解得，，即圆锥的母线长为12cm．故选：B．根据圆锥侧面展开图的实际意义求解即可．本题考查圆锥的侧面展开图，明确展开图扇形的各个部分与圆锥的关系是正确计算的前提．3.【答案】A【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据题意得，解得，，解得，所以圆锥的全面积．故选：A．设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，利用圆的周长公式得，解得，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后计算底面圆的面积与扇形的面积可得到圆锥的全面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4.【答案】A【解析】解：连接CD、OC、OD．，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，，，弧CD的长为，，解得：，又，、是等边三角形，在和中，，≌，．故选：A．连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．5.【答案】B【解析】解：如图：，，点从开始至结束所走过的路径长度为弧，故选：B．根据题目的条件和图形可以判断点B分别以C和A为圆心CB和AB为半径旋转，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到．本题考查了弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式求得即可．6.【答案】A【解析】解：扇形的弧长是，设底面半径是r，则，解得：．故选：A．首先利用扇形的弧长公式即可求得扇形，然后根据圆的周长公式即可求解．本题考查圆锥的计算，理解圆锥的展开图中扇形的弧长等于圆锥的底面周长是关键．7.【答案】C【解析】解：，故选：C．根据扇形的面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．根据平行四边形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．【解答】解：在▱ABCD中，，的半径为3，，图中阴影部分的面积是：，故选：C．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．【解答】解：设圆锥的母线长为R，根据题意得，解得．即圆锥的母线长为10cm，圆锥的高为：．故选：A．10.【答案】B【解析】解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是，则分针在钟面上扫过的面积是：故选：B．从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是，利用扇形的面积公式即可求解．本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．11.【答案】【解析】解：弧DE的长为：．故答案为：．直接利用弧长公式计算得出答案．此题主要考查了弧长公式计算，正确应用弧长公式是解题关键．12.【答案】【解析】解：圆锥的侧面积故答案为．利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13.【答案】3【解析】解：设半径为r，由题意，得，解得，故答案为：3．根据扇形的面积公式，可得答案．本题考查了扇形面积公式，利用扇形面积公式是解题关键．14.【答案】【解析】解：，故答案为．利用扇形的面积公式计算即可．本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积是扇形的半径，l是扇形的弧长．15.【答案】【解析】解：连接DF，OD，是的直径，，，，，平分交AB于点D，，，，，在中，，的半径，劣弧的长，故答案为连接DF，OD，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和得到，根据三角函数的定义得到，根据弧长个公式即可得到结论．本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．16.【答案】解：如图所示，；由勾股定理得，，线段AC旋转到时扫过的面积．【解析】根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转后的对应点、的位置，再与点C 顺次连接即可，根据平面直角坐标系写出点的坐标；利用勾股定理列式求出AC，再根据扇形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．17.【答案】解：如图，连接OD，圆的半径为．，，，四边形OFDE是矩形，．点E为OC的中点，，，，劣弧CD的长度为．延长CO交于点G，连接DG交AB于点P，则的最小值为DG．，，，的最小值为．【解析】连接OD，由，，知四边形OFDE是矩形，据此可得；先求出的度数，再利用弧长公式求解可得；延长CO交于点G，连接DG交AB于点P，则的最小值为DG，再根据及可得答案．本题主要考查圆的有关概念与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、轴对称的性质、圆的相关性质．18.【答案】解：的长为：．【解析】弧长的计算公式为，把半径和圆心角代入公式可以求出弧长．本题考查的是弧长的计算，知道圆心角和半径，代入弧长公式计算．19.【答案】解：设扇形的半径为R，则由弧长公式得：，解得：，即扇形的面积是．【解析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出即可．本题考查了弧长公式和扇形面积公式的应用，注意：扇形的面积弧长半径．20.【答案】解：直径，．平分AO，．又，．．在中，的半径为2；连接OF．在中，，．．．，，．【解析】本题综合考查了垂径定理和解直角三角形及扇形的面积公式．根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得解直角三角形求解．先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．。

求弧长练习题初三

求弧长练习题初三弧长是圆周上弧线所对的弧，求解弧长的问题属于初三数学习题中的一种常见类型。

本文将介绍一些初三数学求解弧长的练习题，帮助同学们巩固和提高对该知识点的理解和应用能力。

练习题一：已知半径为6 cm的圆的弧长是18 cm，求夹角大小。

解析：根据弧长与圆周角的关系，可以得出以下公式：弧长 = （圆周角 ÷ 360°）×圆周长。

即L = （θ ÷ 360°）× 2πr。

将已知数据带入，可以得到：18 = （θ ÷ 360°）× 2π × 6。

解方程可得：θ = 180°，因此夹角大小为180°。

练习题二：已知一个半圆的弧长是16π cm，求半圆的半径。

解析：同样使用上述公式，已知弧长为16π cm，半圆的圆周角为180°，将该数据带入公式可得：16π = （180° ÷ 360°）× 2πr。

化简方程可得：8 = （r ÷ 2）。

解方程可得：r = 16，因此半圆的半径为16 cm。

练习题三：已知一个正圆的弧长是48π cm，求该圆的半径。

解析：同样使用上述公式，已知弧长为48π cm，圆的圆周角为360°，将该数据带入公式可得：48π = （360° ÷ 360°）× 2πr。

化简方程可得：24 = r。

因此该圆的半径为24 cm。

练习题四：已知一个扇形的弧长是9 cm，圆心角为60°，求扇形的面积。

解析：扇形的面积可以通过弧长和圆心角的关系求解。

已知弧长为9 cm，圆心角为60°，将该数据带入公式可得：扇形的面积 = （60° ÷360°）× πr²。

化简方程可得：扇形的面积 = （1/6）× πr²，由于半径r未知，无法求解具体面积。

初中数学经典题弧长专项练习30题(有答案)ok

弧长专项练习30题（有答案）1．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．2．在半径为9cm的圆中，120°圆心角所对的弧长为（）A．3cm B．6cm C．3πcm D．6πcm3．已知一个扇形的弧长为10πcm，圆心角是150°，则它的半径长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm4．在半径为r的圆中，一条弧长为l的弧所对的圆心角为（）A．度B．度C．度D．度5．扇形的半径为30cm，圆心角为120°，此扇形的弧长是（）A．10cm B．20cm C．10πcm D．20πcm6．如果弧所对的圆心角的度数增加1°，弧的半径为R，则它的弧长增加（）A．B．C．D．7．扇形的半径为30cm，圆心角为120°，此扇形的弧长是（）A．10cm B．20cm C．10πcm D．20πcm8．圆心角为60°的扇形面积为6πcm2，则此扇形弧长为（）A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．12πcm9．钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过20分钟，分针针端转过的弧长是（）A．B．C．D．10．一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（）A．6厘米B．12厘米C．厘米D．厘米11．已知圆上一段弧长为5πcm，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径为（）A．6B．9C．12D．1812．若扇形的圆心角为100°，弧长为5π，则这条弧所在圆的半径为（）A．7B．8C．9D．1013．如图，在正方形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径作弧MN．若∠1=∠2，AB=2，则弧MN的长为（）A．B．C．πD．2ππ14．已知一个扇形的弧长为5πcm，圆心角是150°，则它的半径长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm15．已知一弧的半径为3，弧长为2π，则此弧所对的圆心角为（）B．240°C．120°D．60°A．16．已知一弧长为m的弧所对的圆心角为60°，那么它所对的弦长为（）B．C．D．A．m17．扇形的半径是9cm，弧长是3πcm，则此扇形的圆心角为_________度．18．扇形的半径为50cm，圆心角为288°，这个扇形的弧长等于_________cm．19．已知挂钟分针的长度是10cm，若经过45分钟，则分针的针尖转过的弧长是_________cm．20．半径为6的弧长等于半径为3的圆的周长，则这条弧所对的圆心角的度数是_________度．21．已知一圆弧长为π，所对的圆心角为30°，则这条弧的半径为_________．22．有一块圆心角为120°半径为9cm的扇形铁皮，则扇形铁皮的弧长为_________cm．23．如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中圆弧的半径为2km，圆心角为90°，这段铁轨的长度是_________km （结果保留π）．24．已知扇形的圆心角为100°，半径为12cm，则扇形的弧长为_________cm．（结果保留π）25．如图，扇形AOB中，OA=10，∠AOB=36°．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形AʹOʹB，其中A点在OʹB上，则点O的运动路径长为_________cm．（结果保留π）26．已知扇形的圆心角为90°，半径为18cm，则扇形的弧长为_________cm．（结果保留π）27．若80°的圆心角所对的弧长是cm，则该圆的半径为_________cm．28．如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧BF长是（）A．πB．2πC．3πD．4π29．如图，正方形ABCD的边长AB=4，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，则弧BE的长是多少？30.在△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是多少？弧长专项练习30题参考答案：1．=．故选D．2．l==6πcm．故选D．3．，解得r=12cm．故选A．4．根据弧长公式L=，可得n=°．故选B．5．=20πcm．故选D．6．弧长=．故选D．7．l===20πcm．故选D．8．设扇形的半径长是R，则=6π，解得：R=6．则弧长是：=2πcm．故选A．9．分针经过20分钟转过的角度是：360×=120°，则分针针端转过的弧长是：=cm．故选A．10．l=，由题意得，2π=，解得：R=6cm．故选A．11．设该圆的半径为R，∴5π=，∴R=9（cm）．故选B．12．设这条弧所在圆的半径为R，∴5π=，∴R=9．故选C．13．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∵∠1=∠2，∴∠NAM=90°，∵以点A为圆心，AB长为半径作弧MN，AB=2，∴AN=2，∴弧MN的长为：l===π，故选：C．14．∵l=5πcm，n=150°，∴l=，∴r===6cm．故选A．15．∵弧长的公式l=，∴弧长的公式2π=，解得，n=120，故选C．16．由题意得：l=m，l=，∴R=，又∵弧所对的圆心角为60°，∴两半径与弧所对的弦构成等边三角形，故可得所对的弦长=R=．故选C．17．根据l===3π，解得：n=60，18.∵扇形的半径r为50cm，圆心角n为288°，∴l===80π；故答案是：80π19.分针经过60分钟，转过360°，经过45分钟转过270°，则分针的针尖转过的弧长是l===15π．20．，解得n=180°21．由弧长公式可知l=αr，π=•r，解得r=2，故答案为222．扇形铁皮的弧长为=6πcm．故答案是：6π23．圆弧长是：=π．故答案是：π24．根据扇形的弧长公式可得：L===π，故答案为：π．25．根据题意，知OA=OB．又∠AOB=36°，∴∠OBA=72°．∴点O旋转至Oʹ点所经过的轨迹长度==4πcm．故答案是：4π26．根据弧长的公式l=，得l==9πcm，故答案为9π27．设圆的半径为R，根据题意得π=，解得R=6．故答案为628．由题意得，BE=2m，AC=3m，CD=0.5m，作BG ⊥AC 于G ，则AG=AD-GD=AC+CD-BE=1.5m ，由于AB=3，所以在Rt △ABG 中，∠BAG=60°，根据对称性，知∠BAF=120°，故秋千所荡过的圆弧长是1803120⨯π=2π（米），故选B ．29.∵AE=BE=AB ，∴△ABE 是等边三角形．∴∠EAB=60°，∴弧BE 的长是34180460ππ=⨯30.弧CC ′的长=32180260ππ=⨯。

初中数学浙教版九年级上册3.8弧长及扇形的面积(2)同步练习

初中数学浙教版九年级上册3.8弧长及扇形的面积（2）同步练习一、单选题（共10题；共20分）1.一个扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积是（）A. B. C. D.2.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为4的“等边扇形”的面积为（）A. 8B. 16C. 2πD. 4π3.如图，一根5米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊（羊在草地上活动），那么羊在草地上的最大活动区域面积是（）平方米.A. B. C. D.4.钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（）A. B. C. D.5.如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A. B. 1﹣ C. ﹣1 D. 1﹣6.如图，圆的四条半径分别是OA，OB，OC，OD，其中点O，A，B在同一条直线上，若∠AOD=90°，∠AOC=3∠BOC，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（）A. 1：2：2：3B. 3：2：2：3C. 4：2：2：3D. 1：2：2：17.如图所示，分别以边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为（）A. B. C. D.8.如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，若点D是AB的中点，分别以点A，B为圆心， AB长为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A. 16﹣2πB. 16﹣πC. 8﹣2πD. 8﹣π9.如图，扇形纸扇完全打开后，扇形ABC的面积为，∠BAC=150°，BD=2AD，则的长度为( )A. B. C. D.10.如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的右上端剪去一个直径为1的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪去的半圆的半径)得到图形P3、P4…P n…,记纸板P n的面积为S n，则S n-S n+1的值为( )A. B. C. D.二、填空题（共5题；共5分）11.一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为________．12.将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形=________cm2.13.如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为________．(答案用根号表示)14.如图，扇形AOB的圆心角是为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C，E，D 分别在OA，OB，上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为________．15.如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．若图中阴影部分的面积是，OA=2，则OC的长为________．三、解答题（共4题；共40分）16.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝，求阴影部分的面积．17.△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示：（1）将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，则点A1、B1的坐标分别是.（2）将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形；（3）求出线段AC在（2）的条件下所扫过的面积．18.如图是一种正方形地板砖图样，阴影部分是由两个扇形(四分之一圆)重叠产生的.（1）设正方形边长为a，用含a的代数式表示图中阴影部分的面积S；（2）现在要按照图样制作地板砖若制成边长为0.3m的地板砖，求每块地板砖中阴影面积(单位：m2，π≈3.14，精确到0.01)19.如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE=OF．（1）求证：△AFO≌△CEB；（2）若BE=4，CD = 求：①⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】解：该扇形的面积S＝，故答案为：C．【分析】根据扇形的面积公式计算即可．2.【答案】A【解析】【解答】解：∵扇形的弧长等于它的半径，当半径为4时，∴此扇形的弧长为4，∴此等边扇形”的面积为.故答案为：A.【分析】根据等边扇形”的定义，可知已知扇形的半径和弧长都为4，再利用扇形的面积公式：S扇形=（l为扇形的弧长，r为扇形的半径），代入计算可求解。

初中数学扇形面积弧长计算练习题(附答案)

初中数学扇形面积弧长计算练习题一、单选题1.矩形ABCD中，5AB=，12AD=，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( )A.25π2B.13πC.25πD.2522.一个扇形的弧长是10cm，面积是260cm，则此扇形的圆心角的度数是（）A.300°B.150°C.120°D.75°3.如图，在O的内接四边形ABCD中，135B∠=︒，若O的半径为4，则弧AC的长为( )A.4πB.2πC.πD.2π34.如图，在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将ABC△绕着点A逆时针旋转得到AB C'△，则BB'的长为（）A.πB.π2C.7πD.6π5.如图，正六边形ABCDEF内接于O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为( )A.π2,3B.π2π3 D.4π36.如图，矩形ABCD 的边1,AB BE =平分ABC ∠交AD 于点E .若点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 长为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A.π24-B.3π24-C.π28-D.3π28- 7.如图,AB 是O 的直径,CD 是弦，30,2BCD OA ∠==°,则阴影部分的面积是( )A.π3B.2π3C.πD.2π 8.如图.从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90︒的扇形,则此扇形的面积为( )A.2πm 2 2m C.2πm D.22πm9.如图,点,,A B C 在O 上,若45,2BAC OB ∠==则图中阴影部分的面积为( )A. π4-B. 2π13- C. π2- D. 2π23- 二、解答题10.如图,已知在Rt ABC △中,30,90B ACB ∠=︒∠=︒.延长CA 到,O 使AO AC =,以点O 为圆心,OA 为半径作O 交BA 的延长线于点,D 连接CD .(1)求证:CD 是O 的切线;(2)若4AB =,求图中阴影部分的面积.三、填空题11.一个扇形的弧长是11πcm ，半径是18cm ，则此扇形的圆心角是度。

圆的有关计算(优选真题60道)：三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）圆的有关计算（优选真题60道）一．选择题（共20小题）1．（2023•大连）圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为（） A ．2πB ．3πC ．32πD ．12π【分析】根据弧长公式计算即可．【解答】解：l =nπr 180=90⋅π×3180=32π，∴该扇形的弧长为32π．故选：C ．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．2．（2023•湘潭）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA′̂的长为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π【分析】根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长即可得出答案．【解答】解：这个圆锥的侧面展开图中AA′̂的长为2π×4＝8π．故选：C ．【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1．圆锥的母线长为扇形的半径，2．圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．3．（2023•鄂州）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（）A ．5√3−√33πB ．5√3−4πC ．5√3−2πD ．10√3−2π【分析】连接OD．解直角三角形求出∠DOB＝60°，BC＝4√3，再根据S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB，求解即可．【解答】解：连接OD．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，∴BC=√3AB＝4√3，∴OC＝OD＝OB＝2√3，∴∠DOB＝2∠C＝60°，∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB=12×4×4√3−12×2√3×2√3×√32−60π⋅(2√3)2360＝8√3−3√3−2π＝5√3−2π．故选：C．【点评】本题考查扇形的面积，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．4．（2023•通辽）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB̂于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（）A．√2+π6B．√2+π3C．2√2+π6D．2√2+π3【分析】作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，最小值为AE的长与弧AD的和．【解答】解：作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB̂于点D，∴∠AOD＝∠BOD＝30°，由轴对称的性质，∠EOB ＝∠BOD ＝30°，OE ＝OD ， ∴∠AOE ＝90°，∴△AOE 是等腰直角三角形， ∵OA ＝1，∴AE =√2，AD̂的长=30π×1180=π6， ∴阴影部分周长的最小值为√2+π6，故选：A ．【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，证得△AOE 为等腰直角三角形是解题的关键．5．（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A ．πB ．3πC ．2πD ．2π−√3【分析】由等边三角形的性质得到AB ̂=BC ̂=AC ̂，由弧长公式求出AB ̂的长＝π，即可求出“莱洛三角形”的周长．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ＝3，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， ∴AB ̂=BC ̂=AC ̂， ∵AB̂的长=60π×3180=π，∴该“莱洛三角形”的周长是3π．故选：B ．【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是由弧长公式求出AB̂的长． 6．（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm 的三个等圆构成，且三个等圆⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（）A ．14πcm 2B ．13πcm 2C ．12πcm 2D ．πcm 2【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接O1A ，O2A ，O1B ，O3B ，O2C ，O3C ，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1的正三角形，所以，S 阴影部分＝3S 扇形O 1O 2A ＝3×60π×12360=π2（cm2），故选：C ．【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提．7．（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 是AB ̂上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，若CD ＝CE ，则图中阴影部分面积为（）A ．25π16B ．25π8C ．25π6D ．25π4【分析】先连接OC ，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC 的面积，然后代入数据计算即可．【解答】解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四边形OECD是正方形，∴∠COE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S阴影＝S△DCE+S半弓形DCE＝S△OCE+S半弓形DCE＝S扇形COB=45π×52360=25π8，故选：B．【点评】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB̂是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出AB̂的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+MN2OA．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（）A．11﹣2√3B．11﹣4√3C．8﹣2√3D．8﹣4√3【分析】连接ON，根据AB̂是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，得ON＝OA•sin60°＝2√3，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣2√3，故l＝AB+MN2OA =4+(4−2√3)24=11﹣4√3．【解答】解：连接ON，如图：∵AB ̂是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN ⊥AB ， ∴ON ⊥AB ， ∴M ，N ，O 共线， ∵OA ＝4，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA ＝AB ＝4，∠OAN ＝60°， ∴ON ＝OA •sin60°＝2√3， ∴MN ＝OM ﹣ON ＝4﹣2√3， ∴l ＝AB +MN 2OA=4+(4−2√3)24=11﹣4√3；故选：B ．【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求ON 的长度．9．（2023•连云港）如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB ＝4，BC ＝5，则阴影部分的面积是（）A ．414π﹣20B ．412π﹣20C ．20πD ．20【分析】根据矩形的性质可求出BD ，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S 阴影部分＝S 以AD 为直径的圆+S 以AB 为直径的圆+S 矩形ABCD ﹣S 以BD 为直径的圆进行计算即可．【解答】解：如图，连接BD ，则BD 过点O ，在Rt △ABD 中，AB ＝4，BC ＝5，S 阴影部分＝S 以AD 为直径的圆+S 以AB 为直径的圆+S 矩形ABCD ﹣S 以BD 为直径的圆＝π×（42）2+π×（52）2+4×5﹣π×（BD 2）2=41π4+20−41π4＝20，故选：D ．【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．10．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P ，Q ，M 均为正六边形的顶点．若点P ，Q 的坐标分别为(−2√3，3)，（0，﹣3），则点M 的坐标为（）A ．（3√3，﹣2）B ．（3√3，2）C ．（2，﹣3√3）D ．（﹣2，﹣3√3）【分析】设中间正六边形的中心为D ，连接DB ．判断出OC ，CM 的长，可得结论．【解答】解：设中间正六边形的中心为D ，连接DB ．∵点P ，Q 的坐标分别为(−2√3，3)，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，∴OA＝OB=√3，∴OC＝3√3，∵DQ＝DB＝2OD，∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，∴M（3√3，﹣2），故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（2023•河北）如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（）A．a＜b B．a＝bC．a＞b D．a，b大小无法比较【分析】利用三角形的三边关系，正多边形的性质证明即可．【解答】解：连接P4P5，P5P6．∵点P1～P8是⊙O的八等分点，∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6，∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3，∵P5P4+P5P6＞P4P6，∴P3P4+P7P6＞P1P3，∴b ﹣a ＞0， ∴a ＜b ，故选：A ．【点评】本题考查正多边形于圆，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在AB ̂上，点Q 是DE ̂的中点，则∠CPQ 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．36°D ．60°【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．【解答】解：如图，连接OC ，OD ，OQ ，OE ， ∵正六边形ABCDEF ，Q 是DE ̂的中点， ∴∠COD ＝∠DOE =360°6=60°，∠DOQ ＝∠EOQ =12∠DOE ＝30°，∴∠COQ ＝∠COD+∠DOQ ＝90°， ∴∠CPQ =12∠COQ ＝45°，故选：B ．【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．13．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF ）放在平面直角坐标系中，若AB 与x 轴垂直，顶点A 的坐标为（2，﹣3），则顶点C 的坐标为（）A ．（2﹣2√3，3）B ．（0，1+2√3）C ．（2−√3，3）D ．（2﹣2√3，2+√3）【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．【解答】解：如图，连接BD 交CF 于点M ，则点B （2，1），在Rt △BCM 中，BC ＝4，∠BCM =12×120°＝60°， ∴CM =12BC ＝2，BM =√32BC ＝2√3， ∴点C 的横坐标为﹣（2√3−2）＝2﹣2√3，纵坐标为1+2＝3， ∴点C 的坐标为（2﹣2√3，3），故选：A ．【点评】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．14．（2022•泰安）如图，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ∥CD ，DE ⊥AD 交AB 于点E ，以点E 为圆心，DE 为半径，且DE ＝6的圆交CD 于点F ，则阴影部分的面积为（）A ．6π﹣9√3B ．12π﹣9√3C ．6π−9√32D ．12π−9√32【分析】根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．【解答】解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，∵∠GDE＝30°，DE＝6，∴GE＝3，DG＝3√3，∴DF＝6√3，阴影部分的面积=120π×36360−12×6√3×3＝12π﹣9√3，故选：B．【点评】本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的关键．15．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB̂上的点C处，图中阴影部分的面积为（）A．3π﹣3√3B．3π−9√32C．2π﹣3√3D．6π−9√32【分析】根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB̂上的点C处，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO ＝BO ，∴四边形AOBC 是菱形，连接OC 交AB 于D ， ∵OC ＝OA ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠CAO ＝∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°， ∵AC ＝3， ∴OC ＝3，AD =√32AC =3√32， ∴AB ＝2AD ＝3√3，∴图中阴影部分的面积＝S 扇形AOB ﹣S 菱形AOBC =120π×32360−12×3×3√3=3π−9√32，故选：B ．【点评】本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．16．（2022•广西）如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，∠BAC ＝α，将△ABC 绕点A 逆时针旋转2α，得到△AB ′C ′，连接B ′C 并延长交AB 于点D ，当B ′D ⊥AB 时，BB′̂的长是（）A ．2√33π B ．4√33π C ．8√39π D ．10√39π【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD 的长度，根据弧长公式即可得出答案．【解答】解：∵CA ＝CB ，CD ⊥AB ， ∴AD ＝DB =12AB ′．∴∠AB ′D ＝30°， ∴α＝30°， ∵AC ＝4，∴AD ＝AC •cos30°＝4×√32=2√3，∴AB =2AD =4√3，∴BB′̂的长度l =nπr 180=60×π×4√3180=4√33π．故选：B ．【点评】本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．17．（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm ）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（）A ．282.6B ．282600000C ．357.96D ．357960000【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S 圆锥侧面积+S 圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.1kg ，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出1000个这样的锚标浮筒需用锌量．【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m ，圆锥的高为0.4m ，则圆锥的母线长为：√0.32+0.42=0.5m ． ∴圆锥的侧面积S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2）， ∵圆柱的高为1m ．圆柱的侧面积S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2）， ∴浮筒的表面积＝2S1+S2＝0.9π（m2）， ∵每平方米用锌0.1kg ，∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1kg ，∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg ）．故选：A ．【点评】本题考查了圆锥表面积的计算和圆柱表面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，难度中等．18．（2022•遵义）如图，在正方形ABCD 中，AC 和BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AB 于点E （E 不与A ，B 重合），交CD 于点F ．以点O 为圆心，OC 为半径的圆交直线EF 于点M ，N ．若AB ＝1，则图中阴影部分的面积为（）A ．π8−18B ．π8−14C ．π2−18D ．π2−14【分析】图中阴影部分的面积等于扇形DOC 的面积减去△DOC 的面积．【解答】解：以OD 为半径作弧DN ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB ＝OD ＝OC ，∠DOC ＝90°， ∵∠EOB ＝∠FOD ，∴S 扇形BOM ＝S 扇形DON ， ∴S 阴影＝S 扇形DOC ﹣S △DOC =90π×(√22)2360−14×1×1=π8−14，故选：B ．【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，关键是求出阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC 的面积．19．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A．23π−√32B．23π−√3C．43π﹣2√3D．43π−√3【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB=√3，进而求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，由题意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝2∴S扇形AOB=60π×22360=23π，∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC=√3，∴S△AOB=12×2×√3=√3，∴阴影部分的面积为：23π−√3；故选：B．【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．20．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=√5，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．8﹣πB．4﹣πC．2−π4D．1−π4【分析】先根据直角三角形中的勾股定理求得AC＝1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC），将相关量代入求解即可．【解答】解：根据题意可知AC=√AB2−BC2=√√52−22=1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1，设∠B＝n°，∠A＝m°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）=12×2×1−（nπ×12360+mπ×12360）＝1−(n+m)π360=1−π4，故选：D．【点评】本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．二．填空题（共20小题）21．（2023•吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则AB的长为m．（结果保留π）【分析】由弧长公式：l =nπr 180（l 是弧长，n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径长），由此即可计算．【解答】解：∵∠AOB ＝120°，⊙O 半径r 为15m ， ∴AB̂的长=120π×15180=10π（m ）．故答案为：10π．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．22．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l 为6cm ，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r 为 cm ．【分析】首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r ．【解答】解：由题意得：母线l ＝6，θ＝120°， 2πr =120π×6180，∴r ＝2（cm ）．故答案为：2．【点评】本题考查了圆锥的计算及其应用问题，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．23．（2023•内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为．【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD＝2√2，再由扇形面积公式求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，∴△AOD≌△COB（SSS），∵正方形ABCD的边长为2，∴BD=√22+22=2√2，=π，∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即45π⋅(2√2)2360故答案为：π．【点评】本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形BED 的面积是解题的关键．24．（2023•齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为cm2．（结果保留π）【分析】解析圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×3÷2＝6π （cm²）故答案为：6π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．25．（2023•邵阳）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为cm2．（结果保留π）【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：这张扇形纸板的面积=1•2π•8•30＝240π（cm2）．2故答案为：240π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．26．（2023•扬州）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm．【分析】根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，×2πr×24＝120π，则12解得：r＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．27．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm．【分析】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OÊ的长．＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出DE【解答】解：连接OE，OD，∵OD ＝OB ， ∴∠B ＝∠ODB ， ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， ∴∠C ＝∠ODB ， ∴OD ∥AC ， ∴∠EOD ＝∠AEO ， ∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠BAC ＝50°， ∴∠EOD ＝∠BAC ＝50°， ∵OD =12AB =12×6＝3（cm ）， ∴DÊ的长=50π×3180=56π（cm ）．故答案为：56π．【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD ∥AC ，从而求出∠EOD 的度数．28．（2023•苏州）如图，在▱ABCD 中，AB =√3+1，BC ＝2，AH ⊥CD ，垂足为H ，AH =√3．以点A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB ，AC ，AD 分别交于点E ，F ，G ．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 1；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 2，则r 1﹣r 2＝．（结果保留根号）【分析】根据平行四边形的性质以及正弦函数的定义求出∠D ＝60°，∠BAC ＝45°，利用弧长公式以及圆的周长公式求出r1，r2即可．【解答】解：在▱ABCD中，AB=√3+1，BC＝2，∴AD＝BC＝2，CD＝AB=√3+1，AB∥CD．∵AH⊥CD，垂足为H，AH=√3，∴sinD=AHAD =√32，∴∠D＝60°，∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，∴DH=12AD＝1，∴CH＝CD﹣DH=√3+1﹣1=√3，∴CH＝AH，∵AH⊥CD，∴△ACH是等腰直角三角形，∴∠ACH＝∠CAH＝45°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACH＝45°，∴45π×√3180=2πr1，解得r1=√38，30π×√3 180=2πr2，解得r2=√312，∴r1﹣r2=√38−√312=√324．故答案为：√324．【点评】本题考查了圆锥的计算，平行四边形的性质，解直角三角形，弧长公式，求出∠D＝60°，∠BAC ＝45°是解决本题的关键．29．（2023•云南）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为分米．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得：圆锥的高为：√42−12=√15（分米），故答案为：√15．【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记勾股定理是解题的关键．30．（2023•浙江）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是6√6−6√2．现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是．【分析】如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，由等腰直角三角形性质可得CK＝GK=√22CG，进而得出BK＝BC﹣CK＝12−√22CG，利用解直角三角形可得BK=√3GK，建立方程求解即可得出答案；如图2，以C为圆心，CD为半径作圆，当△CDE绕点C旋转60°时，CE′交AB于H′，连接DD′，过点D作DM ⊥AB于M，过点C作CN⊥DD′于N，则∠BCE′＝∠DCD′＝60°，点D的运动轨迹为DD′̂，点H的运动轨迹为线段BH′，因此在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，再利用等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式即可求得答案．【解答】解：如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，∵∠BCD＝45°，∴△CGK是等腰直角三角形，∴CK＝GK=√22CG，∵BC＝12，∴BK＝BC﹣CK＝12−√22CG，在Rt△BGK中，∠GBK＝30°，∴GKBK =tan∠GBK＝tan30°=√33，即12−√22CG =√3×√22CG ， ∴CG ＝6√6−6√2；如图2，以C 为圆心，CD 为半径作圆，当△CDE 绕点C 旋转60°时，CE ′交AB 于H ′，连接DD ′，过点D 作DM ⊥AB 于M ，过点C 作CN ⊥DD ′于N ，则∠BCE ′＝∠DCD ′＝60°，点D 的运动轨迹为DD′̂，点H 的运动轨迹为线段BH ′，∴在旋转0°到60°的过程中，线段DH 扫过的面积为S △BDD ′+S 扇形CDD ′﹣S △CDD ′，∵CD ＝BC •cosCBD ＝12cos45°＝6√2，∴DG ＝CD ﹣CG ＝6√2−（6√6−6√2）＝12√2−6√6，∵∠BCD+∠ABC ＝60°+30°＝90°，∴∠BH ′C ＝90°，在Rt △BCH ′中，CH ′＝BC •sin30°＝12×12=6，BH ′＝BC •cos30°＝12×√32=6√3，∵△CD ′E ′是等腰直角三角形，∠CD ′E ′＝90°，D ′H ′⊥CE ′，∴D ′H ′=12CE ′＝6， ∴BD ′＝6√3+6，∵DM ⊥AB ，∴∠DMG ＝90°，∴∠DMG ＝∠CH ′G ，∵∠DGM ＝∠CGH ′，∴△DGM ∽△CGH ′，∴DM CH′=DG CG ，即DM 6=√2−6√66√6−6√2，∵CD′＝CD＝6√2，∠DCD′＝60°，∴△CDD′是等边三角形，∴∠CDD′＝60°，∵CN⊥DD′，∴CN＝CD•sin∠CDD′＝6√2sin60°＝3√6，∴S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′=12×（6√3+6）×（3√3−3）+60π⋅(6√2)2360−12×6√2×3√6=18+12π﹣18√3；故答案为：6√6−6√2；18+12π﹣18√3．【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，等腰直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，得出DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′是解题关键．31．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可．【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，∴阴影部分的面积为12×4×2−2×45π×22360=4﹣π．故答案为：4﹣π．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．32．（2023•重庆）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【分析】连接BD，根据圆周角定理证得BD是⊙O的直径，利用勾股定理求得直径，然后利用圆的面积减去矩形的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵AB＝4，AD＝3，∴BD=√AD2+AB2=√32+42=5，∴S阴影＝S⊙O﹣S矩形ABCD=π×(52)2−3×4=254π﹣12．故答案为：254π﹣12．【点评】本题考查了圆的面积和矩形的面积，解题的关键是明确阴影部分的面积是圆的面积减去矩形的面积，属于中考常考题型．33．（2022•重庆）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形ADE 的面积，由S 阴影部分＝S 菱形ABCD ﹣2S 扇形ADE 可得答案．【解答】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACD ＝30°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝2，∠BAO ＝30°，∴BO =12AB ＝1，AO =√32AB =√3，∴AC ＝2OA ＝2√3，BD ＝2BO ＝2，∴S 菱形ABCD =12AC •BD ＝2√3，∴S 阴影部分＝S 菱形ABCD ﹣2S 扇形ADE＝2√3−60π×22360 =6√3−2π3，故答案为：6√3−2π3．【点评】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．34．（2022•广州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 在边AC 上，以O 为圆心，4为半径的圆恰好过点C ，且与边AB 相切于点D ，交BC 于点E ，则劣弧DE ̂的长是．（结果保留π）【分析】连接OD ，OE ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A ＝∠COE ，再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE ＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．【解答】解：如图，连接OD ，OE ，∵OC ＝OE ，∴∠OCE ＝∠OEC ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABC ＝∠OEC ，∴AB ∥OE ，∴∠BDO+∠DOE ＝180°，∵AB 是切线，∴∠BDO ＝90°，∴∠DOE ＝180°﹣∠DOE ＝90°，∴劣弧DÊ的长是90×π×4180=2π．故答案为：2π．【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．35．（2022•重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，以B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AD 于点E ．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【分析】先根据锐角三角函数求出∠AEB ＝30°，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．【解答】解：∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，∴BE＝BC＝2，在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴sin∠AEB=ABBE =12，∴∠AEB＝30°，∴∠EBA＝60°，∴∠EBC＝30°，∴阴影部分的面积：S=30π×22360=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查有关扇形面积的相关计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式和矩形的性质的应用，其中根据锐角三角函数求出角的度数是解题关键．36．（2023•陕西）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的长为．【分析】根据正八边形的性质得出四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AE，GE，BG即可．【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于G，由题意可知，四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，在Rt△ACE中，AC＝2，AE＝CE，∴AE＝CE=√22AC=√2，同理BG=√2，∴AB＝EG+BG＝2+√2，故答案为：2+√2．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．37．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）∠α＝度；（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为（结果保留根号）．【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON＝OM+BE，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出OM，BE即可．【解答】解：（1）作图如图所示，∵多边形是正六边形，∴∠ACB＝60°，∵BC∥直线l，∴∠ABC＝90°，∴α＝30°；故答案为：30°；（2）取中间正六边形的中心为O，作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，∴四边形ABFG为矩形，∴AB＝GF，∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，∴△ABC≌△GFH（SAS），∴BC＝FH，在Rt△PDE中，DE＝1，PE=√3，由图1知AG＝BF＝2PE＝2√3，OM＝PE=√3，∵BC=12(BF−CH)=√3−1，∴AB=BCtan∠BAC =√3−1√33=3−√3，∴BD=2−AB=√3−1，∵DE=12×2=1，∴BE=BD+DE=√3，∴ON=OM+BE=2√3．∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2√3，故答案为：2√3．【点评】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．38．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是．【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：15×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．39．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S1S2=．【分析】连接OA，OC，OE，首先证明出△ACE 是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OAC（ASA），得到S△ABC＝S△AEE＝S△CDES△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可．【解答】解：如图所示，连接OA，OC，OE．∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是⊙O的内接正三角形，∵∠B＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA=12（180°﹣∠B）＝30°，∵∠CAE＝60°，∴∠OAC＝∠OAE＝30°，∴∠BAC＝∠OAC＝30°，同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，又∵AC＝AC，∴△BAC≌△OAC（ASA），∴S△BAC＝S△AOC，圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，由圆和正三角形的性质可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，=2，∴S1S2故答案为：2【点评】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．40．（2023•连云港）以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转°．【分析】以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，即∠DCD'是旋转角，∠BCD＝120°，要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则∠DCD'至少要旋转60°．【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD＝120°，要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则∠DCD'至少为60°，则正六边形ABCDEF至少旋转60°．故答案为：60°．【点评】本题考查多边形的性质和旋转的性质，熟悉性质是解题关键．。

初中数学专题训练--圆--圆扇形弓形的面积

例如图，已知半径OA=6cm ，C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分的面积．解：过A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于D ，则AD 是△ACO 的边OC 上的高，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°， ∴AD=OAsin60°=33236=⨯．∴S 阴影=S 扇形ABO -S △ACO =)cm (3291233321360612022-π=⨯⨯-⋅π 说明：（1）此题应用解直角三角形，三角形面积公式和扇形面积公式；（2）阴影部分的面积是由扇形和三角形组合而成，熟练拿握扇形面积公式和三角形面积公式是求此阴影部分面积的关键；（3）灵活选用三角形面积公式： ①a ah 21S =∆；②B sin ca 21C sin bc 21C sin ab 21S ===∆．例已知：弓形的弧的度数为240°，弧长是π38，求弓形的面积．解：如图，根据弧长公式有π=⋅π38180OA 240． ∴OA=2．∴ S 扇形OAmB =π=⨯π3836022402， S △OAB =360sin 2221=︒⨯⨯，∴S 弓形AmB =338+π．说明：（1）弓形面积的计算；（2）弓形面积可以看成是扇形面积和三角形面积的分解和组合，实际应用时，要注意公式的选择．例如图，在边长l 的正方形中，以各顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为．解：S 阴影=22121S S 4S 41π-=-π-=-⨯-）（）（正方形圆正方形．说明：求面积问题的常用方法有：直接公式法，和差法，割补法等．例如图，已知半径为1的三个等圆⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切，切点分别为M 、N 、P ，求夹在三个等圆中间的曲边形MNP 的面积．分析：连结AB 、BC 、CA ，则必分别过点M 、N 、P ．曲边形MNP 如果先借添上三个全等扇形即构成了正△ABC ，算出△ABC 的面积后再还掉三个扇形．这样一借一还，先借后还，剩下的就是曲边形MNP ．解：S 曲边形MNP =三个扇形△三个扇形三个扇形曲边形）（S S S S S A BC M N P -=-+=π-=⨯π⨯-︒⨯⨯213360160360sin 22212．说明：求有关不规则图形的面积问题的关键是将图形分解为可求图形面积的和差问题，本题是作辅助线构造三角形和扇形的面积解决的．典型例题五例已知扇形的圆心角150°，弧长为π20cm ，则扇形的面积为_______. 解：设扇形的面积为S ，弧长为l ，所在圆的半径为R ，由弧长公式，得18015020Rππ=. ∴24=R （cm ）. 由扇形面积公式，得ππ240360241502=⋅=S .故填π240.说明：本题主要考察弧长公式180R n l π=和扇形面积公式3602R n S π=.典型例题六例已知弓形的弦长等于半径R ，则此弓形的面积为________.（弓形的弧为劣弧）解：∵弓形的弦长等于半径R ， ∴弓形的弧所对的圆心角为60°，∴扇形的面积为63606022R R S ππ==. 三角形的面积为224360sin 21R R =︒. ∴弓形的面积为22436R R -π. 即212332R -π.故应填212332R -π.说明：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差.本题若没有括号里的条件，则有两种情况.典型例题七例如图，已知扇形AOB 的中心角为直角，若cm 4=OA ，以AB 为直径作半圆，求圆中阴影部分的面积.分析：欲求图形中阴影部分的面积，必须弄清求这个面积没有直接的公式计算，只有通过可求面积的和差来解决，因为阴影部分的面积等于以AB 为直径的半圆面积减去弓形AmB 的面积，而AO B AO B Am B S S S ∆-=扇.解 cm 4=OA ︒=∠90O ，则cm 4=OB22)cm (4360490ππ=⨯⨯︒=∴AOBS 扇cm 24=AB)cm (82=∴∆AO B S)cm (42)22(22ππ==∴半圆S)cm )(84(2-=∴πAm B S 弓形即阴影部分面积)cm (8)84(42=--=-=ππAm B S S 弓形半圆典型例题八例如图，A 为⊙O 外一点，AO 交⊙O 于P ，AB 切⊙O 于B ，5=AP 厘米，35=AB 厘米，求图中阴影部分的面积.分析：图中阴影部分面积计算无公式可用，可转化为OBA ∆Rt 与扇形OBP 的面积差. 解连结OB ，因AB 为⊙O 的切线，故AB OB ⊥ 设⊙O 的半径为r ，在OBA ∆Rt 中，r OB =，35=AB ，r OA +=5. 则有222)5()35(r r +=+，︒=∠∴60OO BP O BA S S S 扇形阴影-=∴∆360560355212⋅-⨯⨯=π 6252325π-=（平方厘米）说明：本例求半径r 时，还可用切割线定理.典型例题九例已知：如图，OA 和1OO 是⊙O 中互相垂直的半径，B 在上，弧的圆心是1O ，半径是1OO ，⊙2O 与⊙O 、⊙1O 、OA 都相切，61=OO .求图中阴影部分的面积.解析设⊙2O 与⊙O 、⊙1O 、OA 分别切于点D 、C 、E ，设⊙2O 的半径为r ，连结21O O ，E O 2，过点2O 作O O F O 12⊥于F ，连结B O 1、OB 、2OO .r E O r F O r O O O O =-=+=∴=21211,6,6,6212212F O O O EO F O -==r r r 62)6()6(22=--+=r r F O O O S O OO 6662621212121=⋅⨯⨯=⋅=∴∆又)69)(69)(69(921r r S O OO --+--⨯=∴∆)9(332r -=)9(33662r r -=∴2922r r -=，298r r -=1=∴r 或9-=r （舍去）又OB O 1∆ 是等边三角形︒=∠=∠===∴60,61111BOO O BO O O OB B O∴扇形BO O 1和扇形B OO 1的面积相等且都等于ππ63606021=⋅O O O O 1∴、、所组成的图形面积为扇形BO O 1和扇形B OO 1的面积之和减去三角形OB O 1的面积.即391223662166-=⨯⨯⨯-+πππ 又扇形1OAO 的面积为：ππ96412=⋅∴阴影部分的面积为：ππππππ-+-=⋅---39129)3912(92r π439-=说明：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加、减得出结论.本题较为复杂，考察的知识面较多，要正确作辅助线，找出解题的思路.典型例题十例（1）已知扇形的半径为10cm ，弧长为π5cm ，则扇形的面积为______cm 2. （2）一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于________度.（3）如图，已知半圆的直径︒=∠==35,,cm 10ACD AD AB BC ，则图中阴影部分的面积等于_________.解（1）设扇形半径为R ，弧长为l ，则).cm (2510521212ππ=⨯⨯=⋅=R l S 扇形（2）设扇形的半径为R 3，则圆的半径为R ，22)(R R S ππ=⋅=圆.依题意，得扇形的圆心角为：︒=÷120360)3(22R R ππ（3）连结,,,AD AB OA OD = ∴∴.2ACD ∠=∠又.352,35︒=∠∴︒=∠ACD 又.1,3521,ACD OC PA ∠=∠∴︒=∠=∠∴=)cm (925360540.,//22ππ=⨯⨯==∴=∴∴∆∆OCDADC ODC S S S S DC AO 扇形阴影说明：本题考查面积公式的应用，弄清公式中字母的意义，善于进行图形的转换是解题关键.典型例题十一例如图，已知：⊙O 的长l 是半径R 的π32倍，BC AC ,是方程01)1(22=++---m x m x 的根，1=OC ，求弓形AmB 的面积.解延长线段OC 交⊙O 于F E ,，作AB OG ⊥于G ，∴.21AB GB =又.120,120,32180︒=∠=∴==AOB n R R n l ππ ∴.60︒=∠GOB在Rt OGB ∆中，.2360sin R R GB =︒⋅= ∴R AB 3=，又.21,cos R OG OB OG GOB =∴=∠ ∴.4321321212R R R OG AB S ABO =⨯⨯=⋅=∆ BC AC , 是方程01)1(22=++---m x m x 的根，∴21+-=⋅m BC AC ，① 21m BC AC -=+ ② 又1))((222-=-=+-=⋅=⋅R OC R OC R OC R CF CE BC AC ③ ∴R AB BC AC 3==+ ④ 由②④得213m R -=，由①，③得.2112+=-m R解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=.211,2132m R m R 得.3=R∴.360)3(120,4334322ππ===∆OAmB ABO S R S 扇形＝∴弓形AmB 的面积.433-=-=∆πOAB OAmB S S 扇形说明：本题考查方程与面积的综合应用，解题关键是求⊙O 的半径，应用一元二次方程的根与系数关系等求出面积.典型例题十二例如图，已知：⊙O 的半径为R ，直径⊥AB 直径CD ，以B 为圆心，以BD 为半径作⊙B 交AB 于E ，交AB 的延长线于F ，连结DB 并延长交⊙B 于M ，连结MA 交⊙O 于N ，交CD 于H ，交⊙B 于G .（1）求图中阴影部分的面积S ；（2）求证：.HM HG HN HA ⋅=⋅解（1）连结BC ，则,,2122R S R S BCD BCED ==∆π扇形 .2121.2122222R R R R S S R S CED =+-=∴-=∴πππ弓形（2）由相交弦定理，得HC HD HM HG HC HD HN HA ⋅=⋅⋅=⋅,，∴.HM HG HN HA ⋅=⋅说明：本题综合考查阴影面积计算与比例线段的证明，解题关键是把组合图形的面积，化归为几个简单图形面积的和或差.典型例题十三例如图，ABC ∆为某一住宅区的平面示意图，其周长为800米，为了美化环境，计划在住宅区周围5米（虚线以内，ABC ∆之外）作为绿化带，则绿化带的面积为______（米2）.解分别过C B A ,,作BC C C BC B B AC A A AC C C AB B B AB A A ⊥''⊥''⊥''⊥'⊥'⊥',,,,,，则A A A S A A AC B B BC B B AB S '''+''⋅+''⋅+'⋅=3.2540005800518018022πππ+=⋅+⨯='⋅⋅+⨯'=∆B B l B B ABC 说明：本题考查不规则图形的面积计算，解题关键是通过作辅助线转化为规则几何图形求解.选择题1. 如图，在ABC ∆Rt 中，︒=∠90BAC ，2==AC AB 以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分面积为（）A ．1B ．2C ．41π+D ．42π-2. 如果扇形的圆心角为︒150，扇形面积为2cm 240π，那么扇形的弧长为（） A ．cm 5π B ．cm 10π C ．cm 20π D ．cm 40π3. 正方形的内切圆半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为（） A ．222r -πB ．221r -π C ．2)2(r -πD ．2)1(r -π4. 设三个同心圆的半径分别为1r ，2r ，3r ，且321r r r <<，如果大圆的面积被两个小圆分成三等分，那么321::r r r 为（） A ．1：2：3B ．3:2:1C ．9:4:1D ．2:3:15．已知如图，扇形AOB 的半径为12，OB OA ⊥，C 为OB 上一点，以OA 为直径的半圆1O 和以BC 为直径的半圆2O 相切于点D ，则图中阴影部分面积为（）（A ）π6 （B ）π10 （C ）π12 （D ）π206．若⊙1O 的60°弧与⊙2O 的45°弧长度相等，则⊙1O 与⊙2O 的面积之比为（） A ．16：9 B ．9：16 C ．4：3 D ．3：47．若扇形的面积为π12，它的弧所对的圆心角为25°，则扇形的半径是（）A ．212B ．30512C ．12D ．612 8．两圆半径分别为R 和r ，另有一大圆的面积等于这两圆面积之和的4倍，则此大圆半径为（）A ．)(21r R + B ．)(2122r R + C ．2221r R + D ．222r R + 9．两同心圆小圆切线被大圆所截部分为6cm ，则这两圆围成的环形面积为（）。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》3.8 弧长及扇形的面积(1)-每日好题挑选

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》3.8弧长及扇形的面积（1）--每日好题挑选【例1】如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了。

【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵，点O 是CD ︵的圆心)，其中CD＝600米，E 为CD ︵上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF＝3003米，则这段弯路的长度为。

【例3】如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为。

【例4】如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动(不滑动)至点B 重新落在直线l 上，点B 从开始运动到结束，所经过路径的长度为。

【例5】如图为一个半圆形工件，未搬动前直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O 所经过的路线长是m。

【例6】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC 的夹角为120°，AB 的长为30厘米，则弧BC 的长为厘米(结果保留π)。

【例7】如图，△ABC 和△A′B′C 是两个完全重合的三角尺，∠B＝30°，斜边长为10cm.三角尺A′B′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A′落在AB 边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为cm。

【例8】如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF 的长是。

【例9】如图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据：半径OA＝2cm，∠AOB＝120°.则图②中图形的周长为cm(结果保留π)。

3.8-弧长及扇形的面积(2)

＝
n 360
πR2
1 nR R 1 lR
2 180
2
B
n圆0 心角 A
选一选
1.如果半径为r，圆心角为n0的扇形的面积是S，那么
n等于（ B ）
(A)
360S πr
(B)
360S πr2
(C)
180S πr
(D)
180S πr2
2. 如果一个扇形面积是它所在圆的面积的
扇形的圆心角是（ C ）
πR2
1 lR 2
3.扇形的面积大小与哪些因素有关？（1）与圆心角的大小有关（2）与半径的长短有关
4.扇形面积公式与弧长公式的区别：
l弧＝
n 360
C圆
S扇形＝
n 360
S圆
5.扇形面积单位与弧长单位的区别：
（1）扇形面积单位有平方的
（2）弧长单位没有平方的
1 8
，则此
(A)300
(B)360
(C)450 (D)600
例3：如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇
的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度
是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °，问哪一把扇子扇面的面积大？
a
a
例4：我国著名的引水工程的主干线输水管的直
径为2.5m,设计流量为12.73m3 /s.如果水管截面中水面面积如图所示,其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到多少m/s.
当弓形所对的是优弧时
S弓形=S扇形+S三角形
当弓形所对的是半圆弧时
S弓形=S半圆
C
O
A
B
课堂小结
本节课我们学习了什么内容？谈谈你的收获？
1．探索扇形的面积公式公式进行计算．

初中数学圆的弧长及扇形面积公式 (含答案)

弧长及扇形面积第一部分知识梳理（一）、圆的弧长及扇形面积公式在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长为C 1,以n °为圆心角的扇形面积为S 1弧长公式：弧长C 1＝180n R π 扇形面积公式： S 1＝2360n R π＝12C 1R注意：计算不规则图形的面积时，要转化成规则图形的面积进行计算。

（二）、圆锥的侧面积：注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形其中：（1）h 是圆锥的高,r 是底面半径；（2）l 是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的半径R ；（3）圆锥的侧面展开图是半径等于 l ,弧长等于圆锥底面周长C 的扇形.即： ①l =R ②180n Rπ=2πr ③h 2+r 2=l 2圆锥的侧面积 S 侧面积＝ πrl圆锥的全面积 S 全面积＝ πrl ＋πr 2第二部分中考链接一、有关弧长计算（一）、选择题1、（2018•淄博）如图，⊙O 的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC 的长为（）A 、2π B. 83π C 34π D. 43π1题图2题图 3题图 4题图 5题图2、（2018•黄石）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π3、（2018•沈阳）如图，正方形ABCD 内接于O ，AB=2，则的长是（）A ．πB ．πC ．2πD ．π4、（2018•陵城区二模）一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为（）A ．B ．C ．4D ．2+5、（2018•明光市二模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，则劣弧的长是（）A ．B ．C ．D ．6、（2019青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．π B．2π C．2π D．4π6题图 7题图 8题图7、（2019烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π8、（2019泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π（二）、填空题1、（2018•潍坊）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是．．1题图 3题图 4题图5题图8题图2、（2018•连云港）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为cm．3、（2018•永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为．4、（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为cm（结果保留π）．5、（2018常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是．6、（2018•温州）已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为．．7、（2018•白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．8．（2019泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．（三）、解答题1．（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．二、、有关扇形面积计算（一）、选择题1、（2018•德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2B．C．πm2 D．2πm21题图2题图 3题图4题图2、（2018•广安）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣2B．π﹣C．π﹣2D．π﹣3、（2018•成都）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π4、（2018•绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．（30+5）πm2B．40πm2C．（30+5）πm2D．55πm25．（2018•十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+18B．12π+36C．6D．66、（2018•山西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣85题图6题图7题图8题图7、（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2 D．28、（2018•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π9题图10题图11题图12题图13题图9、（2019枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣12π10、（2019临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π11、（2019宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．63﹣πB．63﹣2πC．63+πD．63+2π12. （2019四川南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6π B. 33π C. 23π D. 2π13.（2019四川资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A. 5πB. 6πC. 20πD. 24π（二）、填空题1、（2018青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是．1题图2题图3题图4题图2、（2018•安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．3、（2018•荆门）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O 交BC于点E，则阴影部分的面积为．4、（2018•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）5、（2018•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．5题图6题图8题图9题图10题图6．（2018•香坊区）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为．7、（2018•哈尔滨）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．8、(2019日照)如图，已知动点A 在函数4(0y x x=＞）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 交以A 为圆心AB 长为半径的圆弧于点E ，延长BA 交以A 为圆心AC 长为半径的圆弧于点F ，直线EF 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，当NF ＝4EM 时，图中阴影部分的面积等于．9、（2019泰安）如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB于点D ，若OA ＝3，则阴影都分的面积为．10、（2019德州）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BC ＝，AC ＝3．则图中阴影部分的面积是．11、(2019无锡市)如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝5：12：13，⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为． A BABCOOCOOI HF GED11题图 12题图 12、（2019四川内江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠A ＝150°，CD ＝4，以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为．（三）、解答题1、（2019东营）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，点C 在⊙O 上，且AC ＝CD ，∠ACD ＝120°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线，（2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积．2、（2019无锡市）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且sin ∠ABO 3OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为﹣3．（1）求一次函数的解析式；（2）求图中阴影部分的面积．xy M BAO3．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1）如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2）如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积ODEMF EMO图1 图2 4．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．DAOCB三、圆锥（一）、选择题2、（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．3、（2018•遵义）若要用一个底面直径为10，高为12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．60πB．65πC．78πD．120π4、（2018•遂宁）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π5、（2018•东阳市模拟）已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．50πcm2C．60πcm2D．3πcm26、（2019东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3 D．3（二）、填空题1、（2018烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=．1题图2题图3题图7题图8题图2、（2018徐州）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为．3、（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）4、（2018•聊城）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是cm．5、（2018•黑龙江）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为．6、（2018•扬州）用半径为10cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．7、（2018•苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D 均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则12rr的值为8、（2019聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为．9．（2019无锡市）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为cm ．答案与提示：一、弧长计算（一）、选择题1、D2、D3、A4、B5、B6、B7、D8、C1、解：如图，连接CO，∵∠BAC=50°，AO=CO=3，∴∠ACO=50°，∴∠AOC=80°，∴劣弧AC的长为=，故选：D．1题图2题图3题图6题图8题图2、解：连接OD，∵∠ABD=30°，∴∠AOD=2∠ABD=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==，故选：D．3、解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于O，∴AB=BC=DC=AD，∴===，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，∴的长为=π，故选：A．4、BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×12014=1803ππ⨯故选B．5、连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为6011= 1803ππ⨯．6、解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．7、解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴＝，即＝，∵tan∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．8、解：连接OA．OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．（二）、填空题1、201923π2、2π3、24π4、83π5、26、67、πa8、6π1、解：直线y=x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，OA2==4，点A2的坐标为（4，0），这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），则的长是=．故答案为：．2、1203=2 180ππ⨯3、解：∵点A（1，1），∴OA==，点A在第一象限的角平分线上，∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，∴∠AOB=45°，∴的长为=．故答案为．4、解：由图1得：的长+的长=的长 ∵半径OA=2cm ，∠AOB=120°则图2的周长为：=故答案为：．5、连接OB.OC ，由∠BAC=60°得∠BOC=120°，1204=1803r ππ⨯ 得：r=26、解：设半径为r ，60=2180rππ⨯，解得：r=6，故答案为：6 7、解：如图．∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a ， ∴的长=的长=的长==，∴勒洛三角形的周长为×3=πa ．故答案为πa ．(三)、解答题1、证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ，∴AE=ED ；（2）∵OC ⊥AD ，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．二、有关扇形面积计算1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、D8、C9、C 10、A 11、A 12、A 13、A 1、解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°， ∴AC 为直径，即AC=2m ，AB=BC ，∵AB 2+BC 2=22，∴AB=BC=m ，∴阴影部分的面积是=（m 2），故选：A ．2、解：连接OB 和AC 交于点D ，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC 是菱形，∴OB ⊥AC ，OD=OB=1，在Rt △COD 中利用勾股定理可知：CD==，AC=2CD=2，∵sin ∠COD==，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S 菱形ABCO =OB ×AC=×2×2=2，S 扇形AOC ==，则图中阴影部分面积为S 菱形ABCO ﹣S 扇形AOC =π﹣2，故选：C ．1题图 2题图 5题图 7题图 8题图3、解：∵在□ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，∴∠C=120°， ∴图中阴影部分的面积是：=3π，故选：C ．4、解：设底面圆的半径为R ，则πR 2=25π，解得R=5，圆锥的母线长==，所以圆锥的侧面积=•2π•5•=5π；圆柱的侧面积=2π•5•3=30π，所以需要毛毡的面积=（30π+5π）m 2．故选：A ．5、解：如图，连接OD ，AD ，∵点C 为OA 的中点，∴OC=OA=OD ， ∵CD ⊥OA ，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO 为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=，6，∴S 扇形AOD ==24π，∴S 阴影=S 扇形AOB ﹣S 扇形COE ﹣（S 扇形AOD ﹣S △COD ）=﹣﹣（24π﹣×6×6）=18+6π．故选：C ．6、解：利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF 的面积﹣△ABD 的面积=﹣×4×2=4π﹣4，故选：A ． 7、解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC 的面积为=，S 扇形BAC ==π，∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，故选：D ．8、解：作FH ⊥BC 于H ，连接FH ，如图，∵点E 为BC 的中点，点F 为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=6， 226+125Rt △ABE ≌△EHF ，∴∠AEB=∠EFH ，而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD +S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF=12×12+12•π•62﹣12×12×6﹣12•65×65 =18+18π．故选：C．9、解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．10、解：∵＝，∴AB＝AC，∵∠ACB＝75°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．12.连接OA、OB，则S阴=S扇形OAB=2606360π⨯=6π故选A13、圆所扫过的图形面积=长方形的面积+圆的面积=2π×2+π=5π二、填空题1、734-23π2、4π3、40π4、14π5、43π﹣36、8﹣2π7、6﹣π8、3 9、6π10、2.5π 11、34π 12、 13、25 14、233π+解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，∵OA=2，∴扇形OGF的面积为：=∵OA为半径的圆与CB相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3∴△ABC的面积为：×3×3=∵△OAF的面积为：×2×=，∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π故答案为：﹣π1题图 3题图 8题图2、解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O ，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°， ∵AB=2cm ，∴OB=1cm ，OC′=，∴B′C′=，∴S 扇形B′OB ==π，S 扇形C′OC ==，∴阴影部分面积=S 扇形B′OB +S △B′C′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C′OC =S 扇形B′OB ﹣S 扇形C′OC =π﹣=π；3、解：连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=AB=2，BE==2，∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S 阴影=S 扇形OBE ﹣S △BOE ，=﹣×，=﹣，=﹣，4、解：S 阴=S △ABD ﹣S 扇形BAE =×4×4﹣=8﹣2π，故答案为8﹣2π．5、解：∵矩形ABCD ，∴AD=2，∴S 阴影=S 矩形﹣S 四分之一圆=2×3﹣π×22=6﹣π，6、解：∵在⊙O 上，∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴此扇形的半径为：=3．故答案为：3．7、解：设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm ， ∴=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为=6π（cm 2），故答案为：6π．8．解：作DF ⊥y 轴于点D ，EG ⊥x 轴于G ，∴△GEM ∽△DNF ，∵NF ＝4EM ，∴＝＝4，设GM ＝t ，则DF ＝4t ，∴A （4t ，），由AC ＝AF ，AE ＝AB ，∴AF ＝4t ，AE ＝，EG ＝， ∵△AEF ∽△GME ，∴AF ：EG ＝AE ：GM ，即4t ：＝：t ，即4t 2＝，∴t 2＝，图中阴影部分的面积＝+＝2π+π＝2.5π，11、解：连接OC ，作CH ⊥OB 于H ，∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠OAB ＝60°，AB ＝2OA ＝6，由勾股定理得，OB ＝＝3，∵OA ＝OC ，∠OAB ＝60°，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝30°， ∴CO ＝CB ，CH ＝OC ＝， ∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．11题图12题图 13题图解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝，AC ＝3．∴AB ＝＝2，∵BC ⊥OC ，∴BC 是圆的切线，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴BD ＝BC ，∴AD ＝AB ﹣BD ＝2﹣＝，在Rt △ABC 中，∵sinA ＝＝＝，∴∠A ＝30°，∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝90°﹣∠A ＝60°， ∵＝tanA ＝tan30°，∴＝，∴OD ＝1，∴S 阴影＝＝．故答案是：．13、如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC 与Rt△O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.14、连接OE,则S 阴=S 扇形OEC +S △OED =260212123336023ππ⨯+⨯⨯=（三）、解答题 1、（1）证明：连接OC ．∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°∴∠A ＝∠D ＝30°．∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°．∴∠OCD ＝∠ACD ﹣∠ACO ＝90°．即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠A ＝30°，∴∠COB ＝2∠A ＝60°．∴S 扇形BOC ＝，在Rt △OCD 中，CD ＝OC ，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．2、作MN ⊥OB,垂足为N,连接OM,则MN=12OA=3,OA=6 ,A(-6,0)由sin ∠ABO 3则∠A=60°tan ∠BAO=OBOA∴3 ∴B （0，3）设直线AB:y=kx+b,将A,B 点的坐标代入得：3,b=3∴3x+3 S 阴=S 扇形MAO -S △MAO 2120(23)1634332ππ⨯-⨯-3、证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ．∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ．又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°，∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE=，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ，∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。

初中数学：扇形面积的相关计算练习(含答案)

初中数学：扇形面积的相关计算练习（含答案）知识点1 扇形的面积1．半径为6，圆心角为60°的扇形的面积是( )A．3π B．6π C．9π D．12π2已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为________．3．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，那么半径为2的“等边扇形”的面积为( )A．π B．1 C．2 D.2 3π4．若扇形的面积为15π cm2，半径为5 3 cm，则这个扇形的圆心角的度数为________．5．杭州市某中学的铅球场如图3－8－11所示，已知扇形AOB的面积是36 m2，弧AB的长度为9 m，那么半径OA为________m.图3－8－11图3－8－126．如图3－8－12，在3×3的方格中(共有9个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形，O，B，C是格点，则扇形OBC的面积等于________(结果保留π)．7．已知扇形的圆心角为120°，面积为253πcm2，求扇形的弧长．知识点2 弓形的面积8．如图3－8－13，一个圆心角为90°的扇形，半径OA＝2，那么图中阴影部分的面积为________(结果保留π)．3－8－133－8－149．如图3－8－14，AB是⊙O的直径，弦AC＝2，∠ABC＝30°，则图中阴影部分的面积是________．知识点3 不规则图形的面积10．如图3－8－15，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是( )A．2 3－23π B．4 3－23πC．2 3－43π D.23π3－8－153－8－1611．课本例3变式如图3－8－16，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，竹条AB的长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面贴纸，则一面贴纸的面积为________cm2(结果保留π)．12．如图3－8－17，在⊙O中，直径AB＝2，CA⊥AB，BC交⊙O于点D.若∠C＝45°，则：(1)BD的长是________；(2)求阴影部分的面积．图3－8－1713．如图3－8－18，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2 3，则阴影部分的面积为( )A．2πB．πC.π3D.2π33－8－183－8－1914．用等分圆周的方法，在半径为1的圆中画出如图3－8－19所示的图形，则图中阴影部分的面积为________．15．如图3－8－20①，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图②所示的扇形AOB.已知OA ＝6，取OA 的中点C ，过点C 作CD⊥OA 交AB ︵于点D ，F 是AB ︵上一点，若将扇形BOD 沿OD 翻折，点B 恰好与点F 重合．用剪刀沿着线段BD ，DF ，FA 依次剪下，则剪下的纸片(阴影图形)面积之和为__________．图3－8－2016．如图3－8－21所示，已知菱形ABCD 的边长为1.5 cm ，B ，C 两点在扇形AEF 的EF ︵上，求BC ︵的长度及扇形ABC 的面积．图3－8－2117．如图3－8－22①是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图(如图②)，A，B两点的距离为18 m，求这种装置能够喷灌的草坪面积．图3－8－2218．如图3－8－23所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF.(1)求证：OF∥BC；(2)求证：△AFO≌△CEB；(3)若EB＝5 cm，CD＝10 3 cm，设OE＝x cm，求x的值及阴影部分的面积．图3－8－2319．如图3－8－24，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD 沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴图3－8－24围成图形的面积为( )A.π2＋12B.π2＋1C．π＋1 D．π＋1 2详解详析1．B2．3 [解析] 设半径为r ，由题意，得120πr 2360＝3π，解得r ＝3.3．C [解析] 根据扇形面积公式得S ＝12lr ＝12r 2＝2.4．72°5．8 [解析] S 扇形＝12lR ，∴12×9×R ＝36，∴R ＝8. 6.54π 7．解：∵扇形的圆心角为120°，面积为253πcm 2， ∴120π×R 2360＝253π，∴πR ＝5，∴l ＝120πR 180＝103 cm.即扇形的弧长为103cm.8．π－2 [解析] ∵S 扇＝n πr 2360＝90×π×22360＝π，S △AOB ＝12OA ·OB ＝12×2×2＝2，∴阴影部分的面积＝S扇－S△AOB＝π－2.9.4π－3 33[解析] 连结OC，过点C作CH⊥AB于点H.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，∠AOC＝2∠B＝60°，∴∠BOC＝120°，CH＝3，∴S弓形＝S扇形OBC－S△BOC＝120π·OB2360－12OB·CH＝4π3－12×2×3＝4π－3 33.10．A [解析] ∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，∠B＝60°，∴AC＝2 3，∴S阴影＝S△ABC－S扇形CBD＝12×2 3×2－60π×22360＝2 3－23π.11．175π[解析] 设AB＝R，AD＝r，则S贴纸＝13πR2－13πr2＝13π(R2－r2)＝13π(R＋r)(R－r)＝13×(25＋10)×(25－10)π＝175π(cm2)．即一面贴纸的面积为175π cm2.12．解：(1) 2(2)连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵∠C＝45°，AC⊥AB，∴∠B＝45°，∴△ACD，△ABD均是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝2，∴弓形BD的面积＝弓形AD的面积，∴阴影部分的面积＝△ADC的面积＝12×(2)2＝1.13．D [解析] 如图，连结OD. ∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝12CD＝3(垂径定理)，故S△OCE＝S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积．又∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°(圆周角定理)，∴OC＝2.∵OC＝OD，CD⊥OB，∴∠BOD＝∠COB＝60°，∴S扇形OBD＝60π×22360＝2π3，即阴影部分的面积为2π3.故选D.14．π－3 32[解析] 如图，连结OA，OP，AP，则△OAP的面积是34，扇形POA的面积是60π×12360＝π6，∴弓形OA的面积和弓形AP的面积都是π6－34，∴阴影部分的面积是3×2×⎝⎛⎭⎪⎫π6－34＝π－3 32.15．9π－27 [解析] 由题意，得∠DOB＝30°，∴△DOB的面积为12×6×3＝9.∴剪下的纸片(阴影图形)面积之和为π×624－3×9＝9π－27. 16∵四边形ABCD是菱形且边长为1.5 cm，∴AB＝BC＝1.5 cm.又∵B，C两点在扇形AEF的EF︵上，∴AB＝BC＝AC＝1.5 cm，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴BC︵的长＝60π×1.5180＝π2(cm)，S 扇形ABC ＝12lR ＝12×π2×1.5＝38π(cm 2)．17．解：如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C .∵OC ⊥AB ，AB ＝18 m ，∴AC ＝12AB ＝9 m.∵OA ＝OB ，∠AOB ＝360°－240°＝120°，∴∠AOC ＝12∠AOB ＝60°.在Rt △OAC 中，OA 2＝OC 2＋AC 2，又∵OC ＝12OA ，∴r ＝OA ＝6 3 m ，∴S ＝240360πr 2＝72π(m 2)．18．(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵OF ⊥AC 于点F ，∴∠AFO ＝90°，∴∠ACB ＝∠AFO ，∴OF ∥BC .(2)证明：由(1)知，∠CAB ＋∠ABC ＝90°.∵AB ⊥CD ，∴∠BEC ＝90°，∴∠CBE ＋∠BCE ＝90°，∴∠CAB ＝∠BCE .又∵∠AFO ＝∠CEB ，OF ＝BE ，∴△AFO ≌△CEB .(3)∵AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于点E ，∴∠OEC ＝90°，EC ＝12CD ＝12×103＝53(cm)．在Rt △OCE 中，OE ＝x cm ，OB ＝OC ＝(5＋x )cm.由勾股定理，得OC 2＝EC 2＋OE 2，即(5＋x )2＝(53)2＋x 2，解得x ＝5，即OE ＝5 cm ，OC ＝10 cm.在Rt △OCE 中，OC ＝2OE ，故∠OCE ＝30°，∴∠COE ＝60°.由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为S 阴影＝2(S 扇形OBC －S △OEC )＝2×(60π×102360－12×53×5)＝(100π3－253)cm 2.19．C[解析] 如图所示，点A运动的路径线与x轴围成图形的面积＝S扇形BAA1＋S扇形CA1A2＋S扇形DA2A3＋2S△A1BC＝90π×12360＋90π×（2）2360＋90π×12360＋⎝⎛⎭⎪⎫2×12×1×1＝π＋1.。

人教版初中数学九年级上册弧长和扇形面积单元检测试卷含答案解析含单元考点盘点

A ．24.4 弧长和扇形面积单元检测试卷校名：班级：姓名：学号：分数第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共 20 小题）1. 如图，在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，点 A ，B ，C 均为格点，则扇形 ABC 中的长等于（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．π2. 如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，△AOB 的三个顶点都在格点上，现将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到对应的△COD ，则点 A 经过的路径弧 AC 的长为（）B．π C ．2π D ．3π3. 如图，⊙O 的半径为 6，四边形内接于⊙O ，连结 OA 、OC ，若∠AOC=∠ABC ，则劣弧AC 的长为（）A．B．2πC．4πD．6π4.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A．B．C．4 D．2+5.半径为6cm 的圆上有一段长度为2.5πcm的弧，则此弧所对的圆心角为（）A．35°B．45°C．60°D．75°6.如图，线段AB=2，分别以A、B 为圆心，以AB 的长为半径作弧，两弧交于C 、D 两点，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．7.如图，AD 是半圆O 的直径，AD=12，B，C 是半圆O 上两点．若==，则图中阴影部分的面积是（）A．6πB．12πC．18πD．24π8.如图，圆的半径是6，空白部分的圆心角分别是60°与30°，则阴影部分的面积是（）A．9πB．27πC．6πD．3π9.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B 经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（）A．π﹣6 B．πC．π﹣3 D．+π10.如图，点C 在以AB 为直径的半圆O 的弧上，∠ABC=30°，且AC=2，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣2 C．﹣D．﹣11.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．18πcm2 B．27πcm2 C．36πcm2 D．54πcm212.圆锥母线长为10，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥的底面圆的半径为（）A．6 B．3 C．6πD．3π13.已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．30πcm2 B．50πcm2 C．60πcm2 D．3 πcm2 14．如图，一个圆锥形漏斗的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥漏斗的侧面积是（）A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm215.已知圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，则它的侧面展开图的圆心角是（）A．108°B．144°C．216°D．72°16.圆柱底面半径为3cm，高为2cm，则它的体积为（）A．97πcm3 B．18πcm3 C．3πcm3 D．18π2cm317.矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，以AB 为轴旋转一周得到圆柱，则它的表面积是（）A．60πB．56πC．32πD．24π18.已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆柱的侧面积是（）A．36cm2 B．36π cm2 C．18cm2 D．18π cm219.如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20 公分；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30 公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12 公分，且水桶与铁柱的底面半径比为2：1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（）A．4.5 B．6 C．8 D．920.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1 丈3 尺3寸，容纳米2000斛（1 丈=10 尺，1 尺=10 寸，斛为容积单位，1 斛≈1.62 立方尺，π=3），则圆柱底周长约为（注：圆柱体的体积=底面积×高）（）20.1丈3 尺B．5 丈4 尺C．9 丈2 尺D．48 丈6 尺第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共10 小题）21.一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为cm．22.如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）23.如图，正方形ABCD 的边长为1，分别以顶点A、B、C、D 为圆心，1 为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为．24.扇形弧长为5πcm，面积为60πcm2，则扇形半径为．25.如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E，若∠DCA=30°，AB=3，则阴影部分的面积为．26.如图，在扇形AOB 中，∠AOB=150°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作交B于点C，若OA=2，则图中阴影部分的面积为．27.如图，用一个半径为20cm，面积为150πcm2 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计接头损耗），则圆锥的底面半径r 为cm．28.如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是．29.已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是cm．30.已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是cm2．三．解答题（共10 小题）31.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，连接CA、CB，过点O 作弦BC的垂线，交于点D，连接AD．（1）求证：∠CAD=∠BAD；（2）若⊙O 的半径为1，∠B=50°，求的长．32.如图，半圆O 的直径AB=6，弦CD 的长为3，点C，D 在半圆上运动，D点在上且不与A 点重合，但C 点可与B 点重合．（1）若的长=π时，求的长；（2）取CD 的中点M，在CD 运动的过程中，求点M 到AB 的距离的最小值．33.如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O，延长AD，BC 交于点E，且CE=CD．（1）求证：AB=AE；（2）若∠BAE=40°，AB=4，求的长．34.如图，点C，D 是半圆O 上的三等分点，直径AB=4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE 交AC 于点F．（1）求证：AF=DF．（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）35.如图，O 为半圆的圆心，直径AB=12，C 是半圆上一点，OD⊥AC 于点D，OD=3．（1）求AC 的长；（2）求图中阴影部分的面积．36.如图，已知⊙O 半径为10cm，弦AB 垂直平分半径OC，并交OC 于点D．（1）求弦AB 的长；（2）求弧AB 的长，并求出图中阴影部分面积．37.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P，连接EO、FO，若DE=4，∠DPA=45°（1）求⊙O 的半径．（2）若图中扇形OEF 围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径．38.有一个直径为1m 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示．（1）求被剪掉阴影部分的面积：（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？39.如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，求这个圆锥的侧面积和表面积．40.求圆柱的表面积．参考答案与试题解析一．选择题（共20 小题）1．【考点】KQ：勾股定理；MN：弧长的计算．【分析】根据全等三角形的判定和性质得出∠CAB=90°，进而利用弧长公式计算即可．【解答】解：在△ACE 与△ABD 中，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠CAE=∠ABD，∠ECA=∠BAD，∵∠ECA+∠CAE=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°，∴∠CAB=90°，∵AC=AB= ，∴扇形ABC 中的长=，故选：D．【点评】此题考查弧长的计算，关键是根据全等三角形的判定和性质得出∠CAB=90°．2．【考点】KQ：勾股定理；MN：弧长的计算；R2：旋转的性质．【分析】根据旋转的性质和弧长公式解答即可．【解答】解：∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到对应的△COD，∴∠AOC=90°，∵OC=3，∴点A 经过的路径弧AC 的长=，故选：A．【点评】此题考查弧长计算，关键是根据旋转的性质和弧长公式解答．3．【考点】M5：圆周角定理；MN：弧长的计算．【分析】利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求得∠AOC=∠ABC=120°，结合弧长公式进行解答即可．【解答】解：∵四边形内接于⊙O，∠AOC=2∠ADC，∴∠ADC+∠ABC= ∠AOC+∠ABC=180°．又∠AOC=∠ABC，∴∠AOC=120°．∵⊙O 的半径为6，∴劣弧AC 的长为：=4π．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理、弧长的计算，本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的关系得出角的度数，从而得到∠AOC=∠ABC=120°，从而得出劣弧AC 的长．4．【考点】MN：弧长的计算．【分析】根据题目的条件和图形可以判断点B 分别以C 和A 为圆心CB 和AB 为半径旋转120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2 即可得到．【解答】解：如图：BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B 点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×=，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式求得即可．5．【考点】MN：弧长的计算．【分析】根据弧长的计算公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：由题意得，2.5π=，解得：n=75°．故选：D．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．6．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】根据题意和图形可以求得阴影部分的面积，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，AD=BD=AB=AC=BC，∴△ABD 和△ABC 时等边三角形，∴阴影部分的面积为：（）×2=，故选：A．【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】根据圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵==，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，∴阴影部分的面积==6π，故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积计算、圆心角定理，掌握扇形面积公式S=是解题的关键．8．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】计算阴影部分圆心角的度数，运用扇形面积公式求解．【解答】解：根据扇形面积公式，阴影部分面积==27π．故选B．【点评】考查了扇形面积公式的运用，扇形的旋转．9．【考点】KS：勾股定理的逆定理；MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【分析】根据AB=5，AC=3，BC=4 和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED 的面积=△ABC 的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB 的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC 为直角三角形，由题意得，△AED 的面积=△ABC 的面积，由图形可知，阴影部分的面积=△AED 的面积+扇形ADB 的面积﹣△ABC 的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB 的面积==π，故选：B．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB 的面积是解题的关键．10．【考点】M5：圆周角定理；MO：扇形面积的计算．【分析】根据已知条件得到∠ACB=90°，∠AOC=30°，∠COB=120°，解直角三角形得到AB=2AO=4，BC=2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：连接 OC ，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=90°，∠AOC=60°，∠COB=120°，∵AC=2，∴AB=2AO=4，BC=2，∴OC=OB=2，∴阴影部分的面积=S 扇形﹣S △OBC =﹣×2 ×1=π﹣ ，故选：A ．【点评】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形 OCD 的面积是解题关键．11．【考点】MP ：圆锥的计算．【分析】已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．【解答】解：底面周长是 2×3π=6π，则圆锥的侧面积是：×6π×6=18π（cm2）．故选：A ．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．12．【考点】MP ：圆锥的计算．【分析】设圆锥的底面圆的半径为 r ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到 2πr=，然后解关于 r 的方程即可．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 r ，根据题意得 2πr=，解得 r=6，即圆锥的底面圆的半径为6．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×10÷2=30π．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．14．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算这个圆锥漏斗的侧面积．【解答】解：圆锥的母线长==10，所以圆锥的侧面积=•2π•6•10=60π（cm2）．故选：C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】根据题意求出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出母线长，根据扇形弧长公式计算即可．【解答】解：设它的侧面展开图的圆心角为n，∵圆锥的底面周长为6πcm，∴圆锥的底面半径==3cm，∴圆锥的母线长==5，则=6π，解得，n=216°，故选：C．【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．16．【考点】MQ：圆柱的计算．【分析】根据圆柱的体积=底面积×高进行计算．【解答】解：圆柱的体积=9π×2=18π（cm3）．故选：B．【点评】熟悉圆柱的体积公式，即圆柱的体积=底面积×高．17．【考点】I2：点、线、面、体；MQ：圆柱的计算．【分析】表面积=侧面积+两个底面积=底面周长×高+2πr2．【解答】解：∵以直线AB 为轴旋转一周得到的圆柱体，得出底面半径为4cm，母线长为3cm，∴圆柱侧面积=2π•A B•BC=2π•3×4=24π（cm2），∴底面积=π•BC2=π•42=16π（cm2），∴圆柱的表面积=24π+2×16π=56π（cm2）．故选：B．【点评】此题主要考查了圆柱的表面积的计算公式，根据旋转得到圆柱体，利用圆柱体的侧面积等于底面圆的周长乘以母线长是解决问题的关键．18．【考点】MQ：圆柱的计算．【分析】圆柱侧面积=底面周长×高．【解答】解：根据侧面积公式可得π×2×3×6=36πcm2，故选：B．【点评】考查了圆柱的计算，掌握特殊立体图形的侧面展开图的特点，是解决此类问题的关键．19．【考点】MQ：圆柱的计算．【分析】由水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，得到水桶底面积：铁柱底面积=22：12=4：1，设铁柱底面积为a，水桶底面积为4a，于是得到水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a﹣a=3a，根据原有的水量为3a×12=36a，即可得到结论．【解答】解：∵水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，∴水桶底面积：铁柱底面积=22：12=4：1，设铁柱底面积为a，水桶底面积为4a，则水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a﹣a=3a，∵原有的水量为3a×12=36a，∴水桶内的水面高度变为=9（公分）．故选：D．【点评】本题考查了圆柱的计算，正确的理解题意是解题的关键．20．【考点】MQ：圆柱的计算．【分析】首先根据圆柱的体积公式：v=sh，求得圆柱的底面积s，然后根据面积s=πr，求得半径，进而即可求得周长．【解答】解：由题意得：2000×1.62=s（10+3+×），解得s= =243，因为s=πr2，所以，r=9，所以，周长=2πr=2×3×9=54（尺），54 尺=5 丈4 尺，故选：B．【点评】本题考查了圆柱的体积公式在实际中的应用，关键是熟记公式．二．填空题（共10 小题）21．【考点】MN：弧长的计算．【分析】根据弧长公式L=求解即可．【解答】解：∵L=，∴R= =9．故答案为：9．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L=．22．【考点】I6：几何体的展开图；MN：弧长的计算．【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．【解答】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r==6，∴2πr=2π×6=12π，故答案为：12π．【点评】此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．23．【考点】LE：正方形的性质；MN：弧长的计算．【分析】连接AF、DF，根据圆的定义判断出△ADF 是等边三角形，根据正方形和等边三角形的性质求出∠BAF=30°，同理可得弧DE 的圆心角是30°，然后求出弧EF 的圆心角是30°，再根据弧长公式求出弧EF 的长，然后根据对称性，图中阴影部分的外围四条弧都相等列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接AF、DF，由圆的定义，AD=AF=DF，所以，△ADF 是等边三角形，∵∠BAD=90°，∠FAD=60°，∴∠BAF=90°﹣60°=30°，同理，弧DE 的圆心角是30°，∴弧EF 的圆心角是90°﹣30°×2=30°，∴=，由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，所以，图中阴影部分的外围周长=×4=π．故答案为：π．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定，弧长的计算，作辅助线构造成等边三角形是解题的关键，难点在于熟练掌握图形的对称性．24．【考点】MN：弧长的计算；MO：扇形面积的计算．lr，把对应的【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形=数值代入即可求得半径r 的长．lr【解答】解：∵S扇形=∴240π=•20π•r∴r=24 （cm）故答案为24cm．【点评】此题主要考查了扇形的面积公式，弧长公式，解此类题目的关键是掌握住扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：Slr．扇形=25．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】作DN⊥AB，垂足为N，求出∠BOD 的度数，进而求出扇形BOD 的面积，再求出△BOD 的面积，即可求出阴影部分的面积．【解答】解：作DN⊥AB，垂足为N，∵∠DCA=30°，∴∠AOD=2∠ACD=60°，∴∠BOD=120°，∵AB=2，∴OB= ，== π，∴S扇形BOD在Rt△DON 中，sin60°==，∴DN=，∴S= ××=，△BOD∴S 阴影=π﹣，故答案为π﹣．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是根据题意得到阴影面积=扇形BOD 的面积﹣三角形BOD 的面积．26．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】连接OC、AC，根据题意得到△AOC 为等边三角形，∠BOC=90°，分别求出扇形COB 的面积、△AOC 的面积、扇形AOC 的面积，计算即可．【解答】解：连接OC、AC，由题意得OA=OC=AC=2，∴△AOC 为等边三角形，∠BOC=90°，∴扇形COB 的面积为：=π，△AOC 的面积为：×2×= ，扇形AOC 的面积为：=π，则阴影部分的面积为：π+ ﹣π=+π．故答案为：+π．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握等边三角形的性质、扇形的面积公式S=是解题的关键．27．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为20cm，面积为150πcm2 的扇形铁皮制作一个无底的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，则由题意得R=20，由Rl=150π得l=15π；由2πr=15π得r=7.5cm．故答案是：7.5cm．【点评】本题考查的知识点是圆锥的表面积，其中根据已知制作一个无底的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．28．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】易得圆锥的底面半径，那么利用勾股定理即可求得圆锥的母线长，进而根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的底面直径为6，∴圆锥的底面半径为3，∵圆锥的高为4，∴圆锥的母线长为5，∴圆锥的侧面积为π×3×5=15π．【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意运用圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．29．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设母线长为R，则：65π=π×5R，解得R=13cm．【点评】本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用，掌握公式是关键．30．【考点】MQ：圆柱的计算．【分析】圆柱侧面积=底面周长×高．【解答】解：π×2×3×5=30πcm2，故答案为30π．【点评】本题考查了圆柱的计算，掌握圆柱侧面积的计算方法是解题的关键．三．解答题（共10 小题）31．【考点】M5：圆周角定理；MN：弧长的计算．【分析】（1）根据圆周角定理证明即可；（2）连接CO，利用弧长公式解答即可．【解答】（1）证明：∵点O 是圆心，OD⊥BC，∴，∴∠CAD=∠BAD；（2）连接CO，∵∠B=50°，∴∠AOC=100°，∴的长为：L=．【点评】此题考查弧长的计算，关键是利用弧长公式解答．32．【考点】MN：弧长的计算．【分析】（1）由题意可知：△OCD 是等边三角形，从而可求出弧CD 的长度，再求出半圆弧的长度后，即可求出弧BC 的长度．（2）过点M 做ME⊥AB 于点E，连接OM，由垂径定理可求出DM 的长度，再有勾股定理即可求出OM 的长度，最后根据ME2=OM2﹣OE2 可知ME 取最小值，则只需要OE 最小即可，从而可求出ME 的长度．【解答】解：（1）连接OD、OC，∵CD=OC=OD=3，∴△CDO 是等边三角形，∴∠COD=60°，∴==π，又∵半圆弧的长度为：×6π=3π，∴=3π﹣π﹣=（2）过点M 做ME⊥AB 于点E，连接OM，再CD 运动的过程中，CD=3，由垂径定理可知：DM=，∴由勾股定理可知：OM= =∴由勾股定理可知：ME2=OM2﹣OE2若ME 取最小值，则只需要OE 最小即可，令OE=0，此时ME=OM=，即点M 到AB 的距离的最小值为【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．33．【考点】M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质；MN：弧长的计算．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质得出结论；（2）连接OC，OD，根据等腰三角形得出∠B=∠E=70°，再在等腰三角形OAD 中，得出∠AOD=100°，从而得出∠COD=40°，再由弧长公式得出答案即可．【解答】解：（1）∵CE=CD，∴∠E=∠CDE，∵∠CDE=∠B，∴∠B=∠E，∴AB=AE；（2）连接OC，OD，∵∠BAE=40°，AB=AE，∴∠B=∠E=70°，在等腰三角形OBC 中，得出∠BOC=40°，在等腰三角形OAD 中，∠AOD=100°，∴∠COD=40°，∴的长为：=π．【点评】本题考查了弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．34．【考点】M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAD=∠ADE=30°，于是得到结论；（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD 是等边三角形，OA=2，得到DE=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【解答】（1）证明：连接OD，OC，∵C 、D 是半圆 O 上的三等分点，∴==，度数都是 60°，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，∴∠DAC=30°，∠CAB=30°，∵DE ⊥AB ，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=180°﹣90°﹣30°﹣30°=30°，∴∠DAC ∠ADE=30°，∴AF=DF ；（2）解：由（1）知，∠AOD=60°，∵OA=OD ，AB=4，∴△AOD 是等边三角形，OA=2，∵DE ⊥AO ，∴DE= ，∴S 阴影=S 扇形AOD ﹣S △AOD =﹣×2× =π﹣ ．【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．35．【考点】MO ：扇形面积的计算．【分析】（1）根据垂径定理可知 AD=DC ，由 OA=OB ，推出 BC=2OD=6，Z 在 Rt △ ACB 中，利用勾股定理求出 AC ．（2）首先证明△OBC 设等边三角形，推出∠AOC=120°，根据 S 阴=S 扇形 OAC ﹣S △AOC 计算即可．【解答】解：（1）∵OD ⊥AC ，∴AD=DC ，∵AO=OB ，∴BC=2OD=6，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴AC= = =6．（2）连接OC，∵OC=OB=BC=6，∴∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，∴S阴=S扇形OAC﹣S△AOC=﹣•6•3=12π﹣9 ．【点评】本题考查扇形的面积公式、垂径定理、勾股定理．三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方法求阴影部分面积，属于中考常考题型．36．【考点】KG：线段垂直平分线的性质；M2：垂径定理；MN：弧长的计算；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）先利用垂径定理得出AB=2BD，∠ODB=90°，OD=OC=5，进而根据勾股定理求出BD，即可得出结论；（2）先利用锐角三角函数求出∠BOD=60°，最后利用扇形的弧长公式和扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）如图，⊙O 半径为10cm，∴OB=OC=10，∵弦AB 垂直平分半径OC，∴AB=2BD，∠ODB=90°，OD= OC=5，在Rt△BOD 中，根据勾股定理得，BD==5，∴AB=2BD=10 cm；（2）由（1）知，OD=5，在Rt△BOD 中，cos∠BOD= = ，∴∠BOD=60°，∵OC⊥AB，∴∠AOB=2∠BOD=120°，∴== = cm，S 阴影=S 扇形AOB﹣S△AOB= ﹣AB×OD= ﹣×=﹣25（cm）．【点评】此题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，勾股定理，弧长公式，扇形的面积公式，求出AB 是解本题的关键．37．【考点】KG：线段垂直平分线的性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理；MP：圆锥的计算．【分析】（1）利用垂径定理得到CE=DC=DE=2 ，OC= OE，则∠OEC=30°，然后利用含30 度的直角三角形三边的关系求出OE 即可；（2）利用圆周角定理得到∠EOF=2∠D=90°，设这个圆锥的底面圆的半径为r，利用弧长公式得到2πr=，然后解关于r 的方程即可．【解答】解：（1）∵弦DE 垂直平分半径OA，∴CE=DC= DE=2 ，OC=OE，∴∠OEC=30°，∴OC= =2，∴OE=2OC=4，∴ ．∴（2）设底面圆的半径为 r ，则，∴ ．圆锥的底面圆的半径长为米．即⊙O 的半径为 4；（2）∵∠DPA=45°，∴∠D=45°，∴∠EOF=2∠D=90°，设这个圆锥的底面圆的半径为 r ，∴2πr= ，解得 r=1，即这个圆锥的底面圆的半径为 1．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了垂径定理和圆周角定理．38．【考点】MO ：扇形面积的计算；MP ：圆锥的计算．【分析】（1）由∠BAC=90°，得 BC 为⊙O 的直径，即 BC=1m ；又由 AB=AC ，得到 AB= BC= ，而 S 阴影部分=S ⊙O ﹣S 扇形 ABC ，然后根据扇形和圆的面积公式进行计算即可；（2）扇形的半径是 AB= ，扇形 BAC 的弧长 l== π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，然后利用弧长公式计算．【解答】解：（1）如图，连接 BC ，∵∠BAC=90°，∴BC 为⊙O 的直径，即 BC=1m ，又∵AB=AC ，（平方米）【点评】本题考查了扇形的面积公式：S= ，其中n 为扇形的圆心角的度数，R 为圆的半径），或S=lR，l 为扇形的弧长，R 为半径．也考查了90 度的圆周角所对的弦为直径以及等腰直角三角形三边关系．39．【考点】MP：圆锥的计算．【分析】应先利用勾股定理求得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解；圆锥的表面积=圆锥的侧面积+圆锥的底面积=圆锥的侧面积+π×底面半径2，把相关数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，∴圆锥的母线长为10cm，=π×6×10=60πcm2；∴S侧∵圆锥的底面积=π×62=36π，∴S=60π+36π=96πcm2．表【点评】此题考查圆锥的侧面积和全面积的计算公式；圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．40．【考点】MQ：圆柱的计算．【分析】根据圆柱的表面积=2πr2+πdh，计算即可．【解答】解：圆柱的表面积=2πr2+πdh=2π×32+π×6×10=78π；圆柱的表面积=2πr2+πdh=2π×72+π×14×5=168π．【点评】此题考查了圆柱的表面积的公式的计算应用．考点盘点1.点、线、面、体（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．（2）从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．（3）从几何的观点来看点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6 个平面组成，球由一个曲面组成．2.几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．3.线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．。

苏科版九年级上册 2.7 弧长及扇形的面积同步练习(含答案)

初中数学苏科版九年级上册2.7弧长及扇形的面积同步测试一、单选题1.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.2.若扇形的弧长是，半径是18，则该扇形的圆心角是（）A. B. C. D.3.圆心角为，弧长为的扇形半径为（）A. B. C. D.4.如图，AB为⊙O的直径，AB＝30，点C在⊙O上，⊙A＝24°，则的长为（）A.9πB.10πC.11πD.12π5.如图1，一只蚂蚁从点O出发，以1厘米/秒速度沿着扇形AOB的边缘爬行一周。

设爬行时间为x秒，蚂蚁到点O的距离为y厘米，y关于x的函数图像如图2所示，则扇形的面积为（）A.3B.6C.πD.π6.如图，OO是⊙ABC的外接圆，BC=3，⊙BAC=30°，则劣弧的长等于（）A. B.π C. D.7.如图，在扇形中，为弦，，，，则的长为（）A. B. C. D.8.如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊙AB于点M，PN⊙CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（）A. B. C. D.9.如图，半径为2的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于（）A.4B.6C.2πD.π+ 410.如图，若弧AB半径PA为18，圆心角为120°，半径为2的⊙，从弧AB的一个端点A （切点）开始先在外侧滚动到另一个端点B（切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙自转的周数是（）。

初三扇形练习题及答案

初三扇形练习题及答案扇形是初中数学中的一个重要概念，我们在解题中经常会遇到与扇形相关的问题。

本文将提供一些初三扇形练习题及答案，旨在帮助学生更好地理解扇形的性质和应用。

1. 问题：已知一个半径为8 cm的扇形的圆心角为60°，求扇形的面积。

解析：扇形的面积公式为S = πr²θ/360°，其中r为半径，θ为圆心角。

代入已知信息，得到S = π(8)²(60°)/360° = 8π cm²。

2. 问题：已知一个扇形的圆心角为120°，扇形的面积为36π cm²，求扇形的半径。

解析：根据扇形的面积公式S = πr²θ/360°，可以得到36π =πr²(120°)/360°。

化简后得到r² = 12，即r = √12 cm。

3. 问题：已知一个扇形的周长为18 cm，圆心角为60°，求扇形的半径。

解析：扇形的周长等于圆的半周长加上扇形的弧长，即2πr +2πrθ/360° = 18 cm。

代入已知信息，得到2πr + 2πr(60°)/360° = 18 cm。

化简后得到r = 3 cm。

4. 问题：已知一个扇形的面积是另一个扇形面积的4倍，两个扇形的圆心角相等，求这两个扇形的半径比。

解析：设第一个扇形的半径为r₁，第二个扇形的半径为r₂。

根据面积的性质可得πr₁² = 4πr₂²。

取消π后得到r₁² = 4r₂²，再开方得到r₁ = 2r₂。

因此，这两个扇形的半径比为2:1。

5. 问题：已知一个扇形的周长与另一个扇形的周长之比为3:2，两个扇形的圆心角相等，求这两个扇形的半径比。

解析：设第一个扇形的半径为r₁，第二个扇形的半径为r₂。

根据周长的性质可得2πr₁/(2πr₂) = 3/2，化简后得到r₁/r₂ = 3/2。

初三扇形面积的练习题

初三扇形面积的练习题扇形是初中数学中常见的一个图形，也是我们生活中常见的一个形状，比如电风扇，扇面等等。

本文将提供一些关于初三扇形面积的练习题，帮助你更好地了解和应用扇形面积的计算方法。

1. 题目：一个扇形的半径为6cm，中心角为60度，请计算扇形的面积。

解析：扇形的面积可以通过扇形的半径和中心角来计算。

首先，我们需要将中心角转化为弧度。

由于一个圆周的角度为360度或2π弧度，所以60度对应的弧度为60/360 × 2π = π/3。

接下来，使用扇形的面积公式S = (1/2) × r^2 ×θ，其中r为半径，θ为中心角。

代入已知的数值，计算得到扇形的面积：S = (1/2) × 6^2 × π/3 = 18π。

所以，扇形的面积为18π平方厘米。

2. 题目：一个扇形的扇面弧长为10cm，半径为4cm，请计算扇形的面积。

解析：扇形的面积也可以通过扇面弧长和半径来计算。

首先，我们需要将扇面弧长转化为中心角的弧度。

一个圆的周长为2πr，所以扇面弧长占据的圆周比为10/2π × 2πr = 5/4。

现在，我们可以求得中心角的弧度：θ = (5/4) × 2π = 5π/2。

接下来，代入扇形的面积公式S = (1/2) ×r^2 × θ，计算得到扇形的面积：S = (1/2) × 4^2 × 5π/2 = 20π。

所以，扇形的面积为20π平方厘米。

3. 题目：一个扇形的面积为72π平方厘米，半径为8cm，请计算扇形的中心角。

解析：已知扇形的面积和半径，我们可以通过扇形的面积公式解出中心角。

扇形的面积公式为S = (1/2) × r^2 × θ，转化得到中心角的公式：θ = (2S)/(r^2)。

代入已知数值，计算得到中心角：θ = (2 × 72π)/(8^2) =9π/2。

初中数学——扇形面积的计算

初中数学——扇形面积的计算满分目标1.理解扇形面积公式的推导过程.2.会利用扇形面积公式进行简单计算.基础巩固练（难度等级★☆☆)1.在半径为R 的圆中，圆心角为1°的扇形面积S=________，圆心角为n°的扇形面积S=________.2.（1）在半径为6cm 的圆中，圆心角为30°的扇形的面积为________cm；（2）已知扇形的半径为2cm，面积为2πcm2，则扇形的圆心角是________；（3）若扇形的弧长为10πcm，面积为20πcm2，则扇形的半径为________cm.3.已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，则该扇形的弧长等于________cm.4.如图，在平行四边形ABCD 中，∠B=60°，⊙C 的半径为3，则图中阴影部分的面积为（）.A.πB.2πC.3πD.6π第4题图5.如图，在平面直角坐标系xOy中，三个圆是同心圆，图中阴影部分的面积为_______.第5题图技能提升练（难度等级★★☆)6.如图，⊙A 的半径为2，点B、C、D 在⊙A 上，∠BCD=30°，连接AB、AD，则图中阴影部分的面积是多少？第6题图7.在中心花园的草坪上，有一种自动旋转喷水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小明同学想了解这种装置能够喷灌的草坪的面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图.如图，这种喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起、终点A、B 间的距离为12m，求这种装置能够喷灌的草坪的面积.第7题图8.如图，在△ABC 中，∠A=90°，O 是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与AB、AC 相切于D、E 两点，连接OD.已知BD=2，AD=3.求图中两阴影部分面积的和.第8题图压轴满分练（难度等级★★★)9.如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C′的位置上，设BC=1，，则顶点A 运动到A″的位置时，点A 经过的路线与直线l围成的面积为________.第9题图10.如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连接AC，BD.若图中阴影部分的面积是，OA=2cm，求OC 的长.第10题图。

初三扇形练习题

初三扇形练习题扇形是初中数学中一个比较重要的几何概念，它在日常生活中有着广泛的应用。

本文将通过几个扇形练习题来帮助初三学生巩固扇形的相关知识。

一、扇形的定义与性质扇形是由一个圆心角和一条弧所围成的图形。

下面是扇形的一些性质：1. 圆心角等于扇形所对的弧度；2. 扇形所对的弧长等于圆心角的弧度数除以360度，再乘以整个圆的周长；3. 扇形的面积等于圆的面积乘以扇形的弧度数除以360度。

二、扇形练习题1. 已知一个扇形的半径为5 cm，中心角为60度，求该扇形的弧长和面积。

解：由题意可知，该扇形的弧长等于圆的周长乘以60度除以360度，即弧长= 2 * π * r * 60° / 360° = π * r / 3 = 5π / 3 cm；又由扇形的面积等于圆的面积乘以60度除以360度，即面积= π * r² * 60° / 360° = π * r² / 6 = 5π / 6 cm²。

2. 已知一个扇形的弧长为12 cm，半径为6 cm，求该扇形的圆心角和面积。

解：由题意可知，该扇形的圆心角等于扇形的弧长除以圆的周长再乘以360度，即圆心角 = 12 cm / (2 * π * 6 cm) * 360° ≈ 114.59°；又由扇形的面积等于圆的面积乘以圆心角的弧度数除以360度，即面积= π * 6² * 114.59° / 360° ≈ 11.27 cm²。

3. 已知一个扇形的圆心角为120度，面积为36π cm²，求该扇形的弧长和半径。

解：由扇形的面积等于圆的面积乘以圆心角的弧度数除以360度，可得36π cm² = π * r² * 120° / 360°，消去π得36 = r² * 120° / 360°，化简得r² = 360 / 120 = 3，取正平方根得r = √3 cm；由扇形的弧长等于圆的周长乘以圆心角除以360度，可得弧长= 2 * π * r * 120° / 360° = 2 * π * √3 * 2 / 6 = √3π cm。