C ,使用欧几里得算法计算两个数的最大公约数,分别用递推和递归两种算法实现5
求最大公约数的两种算法
求最大公约数的两种算法最大公约数（GCD）是指能够同时整除两个或多个整数的最大正整数。
在数学和计算机科学中，求最大公约数是一个常见的问题，并有多种算法可以解决。
以下是两种常见的求最大公约数的算法：1.暴力法：暴力法，也称为穷举法或试除法，是最简单直观的求最大公约数的方法。
该方法使用一个循环来遍历从2到较小的那个数之间所有的可能公约数，然后找到最大的。
算法步骤：-输入两个整数a和b，其中a>=b。
-从2开始，从小到大的顺序依次遍历所有的整数，直到找到最大的公约数。
-对于每一个遍历到的整数i，判断它是否同时整除a和b，如果是则更新最大公约数。
-返回最大公约数。
该算法的时间复杂度取决于较小整数b的大小，即O(b)。
然而，该算法对于较大的整数效率比较低，而且无法处理负整数。
2.辗转相除法（欧几里得算法）：辗转相除法是一种通过反复用较小数除较大数，然后用余数去除旧的较小数，直到余数为0的方式来求解最大公约数的算法。
该算法基于下面的原理：两个整数a和b的最大公约数等于b和a mod b的最大公约数。
算法步骤：-输入两个整数a和b，其中a>=b。
- 计算a mod b，使用较小数b去除较大数a，将余数保存下来。
-如果余数为0，则b即为最大公约数。
-如果余数不为0，则将b赋值给a，将余数赋值给b，回到第二步继续计算。
-返回b作为最大公约数。
辗转相除法的时间复杂度较低，约为O(log b)。
它比暴力法更加高效且适用于处理较大整数。
此外，该算法也能正确处理负整数。
这两种算法是求最大公约数最常用的方法，它们在数学和计算机科学的许多领域都有广泛的应用。
可以根据具体情况选择合适的算法来求解最大公约数。
C语言实现求最大公约数的三种方法
C语⾔实现求最⼤公约数的三种⽅法⽬录题⽬描述问题分析代码实现⽅法⼀：穷举法⽅法⼆：辗转相除法⽅法三：更相减损法题⽬描述求任意两个正整数的最⼤公约数问题分析最⼤公因数，也称最⼤公约数、最⼤公因⼦，指两个或多个整数共有约数中最⼤的⼀个。
a，b的最⼤公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最⼤公约数记为（a，b，c），多个整数的最⼤公约数也有同样的记号。
求最⼤公约数有多种⽅法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。
与最⼤公约数相对应的概念是最⼩公倍数，a，b的最⼩公倍数记为[a，b]。
——百度百科最⼤公因数的求法有不少，本⽂我将采⽤穷举法、辗转相除法、更相减损法三种⽅法，求两个正整数的最⼤公约数（最⼤公因数）。
代码实现⽅法⼀：穷举法穷举法（列举法），是最简单最直观的⼀种⽅法。
具体步骤为：先求出两个数的最⼩值min（最⼤公约数⼀定⼩于等于两个数的最⼩值），接着从最⼩值min递减遍历（循环结束条件为i > 0），如果遇到⼀个数同时为这两个整数的因数，则使⽤break退出遍历（退出循环），这时的遍历值i即为两个正整数的最⼤公约数。
#include <stdio.h>/*** @brief 获取两个正整数的最⼤公因数（穷举法）* @param num1 第⼀个正整数* @param num2 第⼆个正整数* @return 最⼤公因数*/int Get_Max_Comm_Divisor(int num1, int num2){int i = 0;//获取两个整数的最⼩值int min = num1 < num2 ? num1 : num2;//从两个数的最⼩值开始递减遍历for(i = min; i > 0; i--){//i为num1和num2的公倍数if(num1 % i == 0 && num2 % i == 0)break;}return i;}int main(){int num1 = 0, num2 = 0;puts("请输⼊两个正整数.");scanf("%d%d", &num1, &num2);printf("最⼤公约数为%d.\n", Get_Max_Comm_Divisor(num1, num2));运⾏结果⽅法⼆：辗转相除法辗转相除法⼜称欧⼏⾥得算法，是指⽤于计算两个⾮负整数a，b的最⼤公约数。
求两个整数m,n的最大公约数的欧几里德算法
求两个整数m,n的最大公约数的欧几里德算法
欧几里德算法，也称辗转相除法，是一种求两个数的最大公约数的算法。
方法如下：设a和b是两个不全为0的整数，求它们的最大公约数。
不妨设a > b，用a除以b，得到余数r，将b除以r，得到余数r1，将r除以r1，得到余数r2，如此继续进行，每次将所得的商作为除数，余数作为被除数，直到余数为0为止，此时所得的被除数即为a和b的最大公约数。
可以通过递归来实现欧几里德算法。
例如，假设有两个整数m和n，我们可以使用如下Python代码来实现欧几里德算法：
def gcd(m, n):
if n == 0:
return m
else:
return gcd(n, m % n)
在这个函数中，如果n等于0，则返回m，否则通过递归调用gcd(n, m % n)来继续求解。
这个算法的正确性可以通过数学归纳法来证明。
首先，当n等于0时，gcd(m, n)等于m，显然成立。
接下来，假设gcd(n, m % n)等于d，则gcd(m, n)等于gcd(n, m % n)等于d，也就是说，d是m和n的公因数。
另一方面，如果x是m和n的公因数，则它也是n和m % n的公因数。
因此，d是m和n的最大公因数。
欧几里德算法的时间复杂度为O(log(max(m, n)))，因为每一次递归都能将一个参数减半。
因此，这个算法在实践中是非常高效的。
总之，欧几里德算法是求两个数的最大公约数的一种简单而优美的方法，递归实现更容易理解和实现，且在时间复杂度上表现出色，因此在实际应用中被广泛使用。
数的最大公约数求两个数的最大公约数的方法
数的最大公约数求两个数的最大公约数的方法假设我们需要求两个数的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD），有多种方法可以实现。
一、辗转相除法辗转相除法是求两个数最大公约数的一种常见方法。
具体步骤如下：1. 计算两个数的余数，将较大数除以较小数，取余数。
2. 将较小数替换为原来的较大数，将余数替换为原来的较小数。
3. 重复步骤1和步骤2，直到余数为0。
4. 最后一个余数不为0的数即为最大公约数。
举例说明：求78和66的最大公约数。
1. 78除以66，余数为12。
2. 将66替换为78，将12替换为66。
3. 66除以12，余数为6。
4. 将12替换为66，将6替换为12。
5. 12除以6，余数为0。
因此，最大公约数为6。
二、更相减损术更相减损术是另一种求两个数最大公约数的方法。
具体步骤如下：1. 比较两个数的大小，将较大数减去较小数。
2. 将较小数替换为原来的较大数，将差值替换为原来的较小数。
3. 重复步骤1和步骤2，直到两个数相等。
4. 相等的数即为最大公约数。
举例说明：求68和46的最大公约数。
1. 68减去46，差值为22。
2. 将46替换为68，将22替换为46。
3. 46减去22，差值为24。
4. 将22替换为46，将24替换为22。
5. 22减去24，差值为-2。
6. 将24替换为22，将-2替换为24。
7. 24减去-2，差值为26。
8. 将-2替换为24，将26替换为-2。
9. -2减去26，差值为-28。
10. 将26替换为-2，将-28替换为26。
11. -2减去-28，差值为26。
12. 将-28替换为26，将26替换为-28。
因此，最大公约数为26。
三、辗转相减法与辗转相除法的比较辗转相减法的思路与辗转相除法类似，只是每次相减得到的差值较大，但是最终得到的最大公约数是相同的。
四、欧几里得算法（Euclidean Algorithm）欧几里得算法是一种高效的求最大公约数的方法，通常用于大数求解。
C语言求最大公约数和最小公倍数算法总结
C语言求最大公约数和最小公倍数可以说是C语言编程学习中一个重点和难点，它常常作为计算机专业学生参加各种考试必须要把握的内容。
其算法方面除常用的辗转相除法外、还可以根据数学定义法、递归调用法等。
前提：假设求任意两个整数的最大公约数和最小公倍数，采用函数调用形式进行。
1、辗转相除法辗转相除法（又名欧几里德法）C语言中用于计算两个正整数a,b的最大公约数和最小公倍数，实质它依赖于下面的定理：a b=0gcd(a,b) =gcd(b,a mod b) b!=0根据这一定理可以采用函数嵌套调用和递归调用形式进行求两个数的最大公约数和最小公倍数,现分别叙述如下：①、函数嵌套调用其算法过程为：前提：设两数为a,b设其中a 做被除数,b做除数，temp为余数1、大数放a中、小数放b中；2、求a/b的余数；3、若temp=0则b为最大公约数；4、如果temp!=0则把b的值给a、temp的值给a；5、返回第第二步；代码：int divisor (int a,int b) /*自定义函数求两数的最大公约数*/{int temp; /*定义整型变量*/if(a<b) /*通过比较求出两个数中的最大值和最小值*/{ temp=a;a=b;b=temp;} /*设置中间变量进行两数交换*/while(b!=0) /*通过循环求两数的余数，直到余数为0*/{temp=a%b;a=b; /*变量数值交换*/b=temp;}return (a); /*返回最大公约数到调用函数处*/}int multiple (int a,int b) /*自定义函数求两数的最小公倍数*/{int divisor (int a,int b); /*自定义函数返回值类型*/int temp;temp=divisor(a,b); /*再次调用自定义函数，求出最大公约数*/return (a*b/temp); /*返回最小公倍数到主调函数处进行输出*/}#include "stdio.h" /*输入输出类头文件*/main(){int m,n,t1,t2; /*定义整型变量*/printf("please input two integer number:"); /*提示输入两个整数*/scanf("%d%d",&m,&n); /*通过终端输入两个数*/t1=divisor(m,n); /*自定义主调函数*/t2=multiple(m,n); /*自定义主调函数*/printf("The higest common divisor is %d\n",t1);/*输出最大公约数*/printf("The lowest common multiple is %d\n", t2); /*输出最小公倍数*/}启示：请注意算法中变量数值之间的相互交换方法、如何取模、怎样进行自定义函数及主调函数与被调函数间的相互关系，函数参数的定义及对应关系特点，利用控制语句如何实现。
C语言实现欧几里得算法和扩展欧几里得算法
C语言实现欧几里得算法和扩展欧几里得算法欧几里得算法（Euclidean Algorithm）是一种用于求解两个整数的最大公约数的算法。
它是古希腊数学家欧几里得提出的，在数学上被广泛应用。
算法的基本思想是，通过多次用较小数去除较大数，直到两个数相等为止。
此时，两个数相等的值即为它们的最大公约数。
这是因为，如果一个数能整除另一个数，那么这两个数的公约数也能整除另一个数。
下面我们通过C语言实现欧几里得算法：```c#include <stdio.h>int euclidean_algorithm(int a, int b)while (b != 0)int temp = a;a=b;b = temp % b;}return a;int maiint a, b;printf("请输入两个整数：");scanf("%d%d", &a, &b);int gcd = euclidean_algorithm(a, b);printf("最大公约数为：%d\n", gcd);return 0;```在上面的代码中，`euclidean_algorithm` 函数使用while循环，将较大数除以较小数，然后将较小数赋值给较大数，较小数赋值为较大数取模较小数的结果。
当较小数为0时，循环终止，较大数即为最大公约数。
`main`函数通过`scanf`函数获取用户输入的两个整数，然后调用`euclidean_algorithm`函数得到最大公约数。
扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）是在欧几里得算法的基础上扩展而来的，它不仅能求解两个整数的最大公约数，还能求解两个整数的贝祖等式的一组解。
两个整数a和b的贝祖等式表示为：ax + by = gcd(a, b)，其中x 和y为整数。
扩展欧几里得算法的基本思想是通过递归计算，并利用欧几里得算法的性质。
c语言输出最大公约数和最小公倍数
《C 语言输出最大公约数和最小公倍数》在 C 语言编程中，计算最大公约数和最小公倍数是非常常见的需求之一。
它们是数学中的基本概念，对于计算机科学以及实际问题中都具有重要的意义。
本文将深入探讨如何在 C 语言中输出最大公约数和最小公倍数，并结合实际问题进行分析和应用。
## 1. 最大公约数让我们明确最大公约数的定义。
最大公约数，英文为 Greatest Common Divisor，通常缩写为 GCD，是两个整数的共同约数中最大的一个。
在 C 语言中，我们可以使用欧几里得算法来高效地计算两个数的最大公约数。
欧几里得算法的基本思想是通过不断取余的方式，直到余数为 0，那么除数就是最大公约数。
以下是 C 语言中计算最大公约数的代码示例：```cint gcd(int a, int b) {if (b == 0) {return a;} else {return gcd(b, a % b);}}```在上述代码中，我们定义了一个名为 `gcd` 的函数，它接收两个整数参数 `a` 和 `b`，然后通过递归调用自身来计算最大公约数。
这种递归的实现思路非常巧妙，而且在实际的程序中也能够高效地运行。
## 2. 最小公倍数接下来，让我们来讨论最小公倍数。
最小公倍数，英文为 Least Common Multiple，通常缩写为 LCM，是两个整数的共同倍数中最小的一个。
在C 语言中，我们可以通过最大公约数来计算最小公倍数，因为有一个基本的性质：两个整数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个整数的乘积。
以下是 C 语言中计算最小公倍数的代码示例：```cint lcm(int a, int b) {return a / gcd(a, b) * b;}```在上述代码中，我们定义了一个名为 `lcm` 的函数，用来计算两个整数的最小公倍数。
通过调用之前我们定义的 `gcd` 函数，可以非常方便地实现对最小公倍数的计算。
编程求最大公约数的方法
编程求最大公约数的方法
有多种方法可以求两个数的最大公约数。
1. 辗转相除法：也称为欧几里得算法。
设两个数为a和b，先用a除以b得到余数c，再用b除以c得到余数d，再用c除以d得到余数e...重复这个过程直到余数为0，此时的除数就是a和b的最大公约数。
```python
def gcd(a, b):
while b != 0:
a, b = b, a % b
return a
```
2. 更相减损法：设两个数为a和b，若a > b，则用a减去b得到差c，c和b的最大公约数即为a和b的最大公约数。
```python
def gcd(a, b):
while a != b:
if a > b:
a -= b
else:
b -= a
return a
```
3. 整除法：设两个数为a和b，先找到a和b的最小值min，然后从min开始递减，找到能同时整除a和b的最大数即为a和b的最大公约数。
```python
def gcd(a, b):
min_num = min(a, b)
for i in range(min_num, 0, -1):
if a % i == 0 and b % i == 0:
return i
return 1
```
其中，辗转相除法是最常用的方法，效率较高。
使用欧几里得算法计算两个正整数的最大公约数c语言
使用欧几里得算法计算两个正整数的最大公约数c语言使用欧几里得算法计算两个正整数的最大公约数是计算机领域中的经典问题之一，尤其在c语言中，这一算法广泛应用。
本文将探讨欧几里得算法的原理和实现方法，并深入介绍在c语言中如何编写代码来实现这一计算过程。
一、欧几里得算法原理欧几里得算法，又称辗转相除法，是一种用于计算两个正整数的最大公约数的算法。
其原理非常简单，即通过反复用较大数除以较小数，然后用除数去除余数，直至余数为0时，除数即为这两个正整数的最大公约数。
二、欧几里得算法实现在c语言中，可以通过递归或迭代的方式来实现欧几里得算法。
下面分别介绍这两种实现方法。
1. 递归实现递归是一种简洁而优雅的解决问题的方式，对于欧几里得算法也同样适用。
以下是c语言中使用递归实现欧几里得算法的代码示例：```cint gcd(int a, int b) {if (b == 0) {return a;} else {return gcd(b, a % b);}}```在这段代码中，函数gcd接受两个正整数参数a和b，返回它们的最大公约数。
当b等于0时，即找到了最大公约数，返回a的值；否则，递归调用gcd函数，传入参数为b和a除以b的余数。
2. 迭代实现除了递归，欧几里得算法还可以通过迭代的方式进行实现。
以下是c语言中使用迭代实现欧几里得算法的代码示例：```cint gcd(int a, int b) {while (b != 0) {int temp = a % b;a = b;b = temp;}return a;}```在这段代码中，使用while循环来不断更新a和b的值，直至b等于0，最终a的值就是这两个正整数的最大公约数。
三、个人观点欧几里得算法作为计算最大公约数的经典算法，不仅在c语言中得到了广泛的应用，也为其他编程语言提供了宝贵的思路。
其简洁、高效的特点使之成为解决相关问题的首选算法之一。
在实际开发中，对欧几里得算法的理解和掌握能够帮助我们更好地应对相关计算问题，提高代码的执行效率和性能。
欧几里得算法求最大公约数（GCD）的数学原理
欧⼏⾥得算法求最⼤公约数（GCD）的数学原理很早就学过欧⼏⾥得算法，但是⼀直不知道它的原理。
⼏乎每本算法书都会提到它，但是貌似只有数学书上才会见到它的原理。
前段时间粗粗看了点数论（《什么是数学》），惊讶于这个原理的奇妙。
现在把它通俗地写下来，以免⾃⼰忘记。
欧⼏⾥得算法是求两个数的最⼤公约数(Greatest Common Divisor (GCD))的算法，我们⾸先假设有两个数a和b，其中a是不⼩于b的数，记a被b除的余数为r，那么a可以写成这样的形式：a=bq+r其中q是整数（我们不需要去管q到底是多少，这和我们的⽬标⽆关）。
现在假设a和b的⼀个约数为u，那么a和b都能被u整除，即a=sub=tus和t都是整数（同样的，我们只需要知道存在这样的整数s和t就⾏）。
这样可以得出r=a−bq=su−(tu)q=(s−tq)u所以r也能被u整除，⼀般规律如下a和b的约数也整除它们的余数r，所以a和b的任⼀约数同时也是b和r的约数。
—— 条件⼀反过来可以得出b和r的任⼀约数同时也是a和b的约数。
——条件⼆这是因为对b和r每⼀个约数v，有b=kvr=cv于是有a=bq+r=(kv)q+cv=(kq+c)v由条件⼀和条件⼆可知a和b的约数的集合，全等于b和r的约数的集合。
于是a和b的最⼤公约数，就是b和r的最⼤公约数。
接下来⽤递推法，a÷b余r，现在设b÷r余r1r÷r1余r2……r n−3÷r n−2余r n−1r n−2÷r n−1余r n=0因为a≥b，可以看出余数r n会越来越⼩，最终变成 0.当r n−1≠0 且r n=0 时，可知r n−2可被r n−1整除（余数为 0 嘛）此时r n−2和r n−1的约数就只有：r n−1和r n−1的因数，所以他们的最⼤公约数就是r n−1！所以r n−1就是a和b的最⼤公约数。
（若r=0，则b为最⼤公约数）这个递推法写成c语⾔函数是这样的（⽐推导更简洁...）:unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N){unsigned int Rem;while(N){Rem = M % N;M = N;N = Rem;}return Rem;}可以发现这⾥没有要求M>=N，这是因为如果那样，循环会⾃动交换它们的值。
使用递归求两个数字的最大公约数.
使用递归求两个数字的最大公约数.文章主题：使用递归求两个数字的最大公约数在数学中，最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）指的是能整除两个或多个整数的最大正整数。
求最大公约数的方法多种多样，其中使用递归是一种常见且优雅的方式。
通过递归，我们可以简洁地表达求解最大公约数的过程，使得代码更加优雅和易读。
下面我们将以递归的方式来讨论如何求两个数字的最大公约数，并深入探讨递归的原理和应用。
一、递归的基本原理及应用递归，顾名思义，就是函数自己调用自己的过程。
在数学和计算机科学中，递归通常用于解决可以被分解为相似子问题的问题。
通过递归调用，我们可以简洁地解决复杂的问题，如斐波那契数列的求解、二叉树的遍历等。
在求两个数字的最大公约数时，我们也可以利用递归的思想，将问题不断分解为相似的子问题，直至求解出最终结果。
在递归调用中，需要考虑递归的终止条件，即递归的边界条件，以避免出现死循环或无限递归的情况。
一般来说，递归调用需要满足递归边界条件，才能够最终退出递归的循环。
二、使用递归求解最大公约数的思路假设我们要求两个数字a和b的最大公约数，我们可以利用欧几里得算法（Euclidean algorithm）来求解。
欧几里得算法的原理是，两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数相除所得余数的最大公约数。
我们可以通过递归的方式来应用欧几里得算法。
具体来说，我们首先比较a和b的大小，如果a小于b，则交换两个数字的位置，确保a始终大于等于b。
我们计算a除以b的余数，将b和余数作为新的两个数字，再次递归调用自己，直至余数为0。
此时，b即为所求的最大公约数。
三、具体实现下面我们给出使用递归求解最大公约数的具体实现。
```pythondef gcd(a, b):if b == 0:return aelse:return gcd(b, a % b)以上代码中，我们定义了一个名为gcd的函数，接受两个参数a和b。
c++中求两个数的最大公约数题目
【题目】C++中求两个数的最大公约数在C++编程中，求两个数的最大公约数是一个常见的问题。
最大公约数，即两个数共有的约数中最大的一个，是数学中常见的概念。
在C++中，我们可以通过多种方法来求解最大公约数，比如欧几里得算法、更相减损术或辗转相除法等。
下面，我将从简单到复杂、由浅入深地介绍这些方法，以及它们的实现原理和应用。
1. 欧几里得算法欧几里得算法，也称辗转相除法，是求解两个正整数的最大公约数的经典方法之一。
它的思想非常简单：假设a、b为两个正整数，且a > b，那么a和b的最大公约数等于b和a%b的最大公约数。
在C++中，我们可以使用递归或循环的方式来实现欧几里得算法，代码非常简洁和高效。
2. 更相减损术更相减损术是另一种求解最大公约数的方法，它的思想是不断用较大数减去较小数，直至两数相等为止。
这个相等的数就是最大公约数。
虽然更相减损术在实际应用中效率较低，但它对于理解最大公约数的概念有一定意义。
在C++中，我们也可以编写代码来实现更相减损术，从而加深对最大公约数的理解。
3. 辗转相除法辗转相除法是求解最大公约数最常用的方法之一，也是欧几里得算法的基础。
它的思想是不断用两数中较大的数除以较小的数，然后用较小的数去除余数，直至余数为0为止。
最后一次作除数的这个较小的数就是最大公约数。
在C++中，我们同样可以编写代码来实现辗转相除法，这也是C++中求最大公约数的常见做法。
在实际编写程序时，我们需要考虑输入的合法性、数值的范围、负数的处理等问题。
对于大整数的最大公约数求解，还需要考虑算法的效率和优化。
在C++中求解最大公约数并不是一件简单的任务，需要我们深入理解相关的数学知识和算法原理，才能编写出高效和稳定的代码。
总结回顾通过以上的介绍，我们对C++中求两个数的最大公约数这一主题有了更深入的理解。
我们学习了欧几里得算法、更相减损术和辗转相除法这三种常见的方法，并深入探讨了它们的实现原理和应用场景。
欧几里得最大公约数c语言
欧几里得最大公约数c语言
欧几里得算法，也称辗转相除法，用于求两个非零整数a、b的最大公约数。
具体流程如下：
1. 如果a能整除b，那么a就是最大公约数；
2. 如果a不能整除b，那么将a对b取余，得到余数c；
3. 将b赋值给a，将c赋值给b；
4. 重复执行步骤2和3，直到a能整除b，此时a即为最大公约数。
下面是使用C语言实现欧几里得算法的代码：
```c
int gcd(int a, int b) {
int r;
while (b > 0) {
r = a % b;
a = b;
b = r;
}
return a;
}
```
在主函数中调用该函数：
```c
int main() {
int a, b;
printf('请输入两个正整数：
');
scanf('%d%d', &a, &b);
printf('%d和%d的最大公约数为%d
', a, b, gcd(a, b));
return 0;
}
```
通过输入两个正整数，即可得到它们的最大公约数。
欧几里得算法的递归式
欧几里得算法的递归式欧几里得算法，也称为辗转相除法，是一种用于求两个正整数的最大公约数的算法。
它的递归式可以表示为：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)其中，a和b是两个正整数，mod表示取模运算，gcd表示最大公约数。
这个递归式的意义是，如果a能够被b整除，那么b就是a和b的最大公约数；否则，a和b的最大公约数等于b和a mod b的最大公约数。
这个递归式的证明可以通过数学归纳法来完成。
假设对于任意的正整数a和b，递归式都成立。
现在考虑a和b的最大公约数gcd(a,b)和b和a mod b的最大公约数gcd(b,a mod b)之间的关系。
如果a能够被b整除，那么a mod b等于0，此时b就是a和b的最大公约数，也就是gcd(a,b)等于b。
另一方面，b和a mod b的最大公约数等于gcd(b,0)，也就是b本身。
因此，递归式在这种情况下也成立。
如果a不能被b整除，那么a mod b一定小于b，因此gcd(b,amod b)一定是a和b mod a的最大公约数。
根据归纳假设，gcd(a mod b,b mod (a mod b))等于a mod b和b mod a mod b的最大公约数。
因此，gcd(a,b)等于gcd(b,a mod b)也成立。
欧几里得算法的时间复杂度为O(logn)，其中n是a和b中较大的那个数。
这是因为每次递归都会将问题的规模减少一半，直到问题规模缩小到1或者0为止。
因此，递归的深度最多为logn。
总之，欧几里得算法是一种简单而有效的求最大公约数的方法，它的递归式可以通过数学归纳法来证明。
该算法的时间复杂度为O(logn)，可以在实际应用中得到广泛的应用。
c语言中最大公约数 -回复
c语言中最大公约数-回复C语言中最大公约数最大公约数是指两个或多个数中最大的能够整除它们的数，也称为最大公因数或最大公因子。
在C语言中，我们可以通过一些简单的算法来计算两个数的最大公约数。
本文将一步一步回答关于C语言中最大公约数的问题。
问题一：什么是最大公约数？最大公约数是两个或多个数中最大的能够整除它们的数。
例如，给定两个数12和18，它们的公约数有1、2、3和6。
其中最大的公约数是6。
问题二：如何计算两个数的最大公约数？C语言中常用的计算最大公约数的方法有欧几里得算法和辗转相除法。
下面我们将介绍这两种方法。
方法一：欧几里得算法欧几里得算法，也称为辗转相减法，是一种求最大公约数的古老而有效的方法。
该算法的基本思想是通过反复用较大数减去较小数，直到两个数相等为止。
这时的相等数就是它们的最大公约数。
下面是用C语言实现欧几里得算法的代码：c#include <stdio.h>int gcd(int a, int b) {while (a != b) {if (a > b)a -= b;elseb -= a;}return a;}int main() {int num1, num2;printf("Enter two numbers: ");scanf("d d", &num1, &num2);printf("GCD of d and d is d\n", num1, num2, gcd(num1, num2));return 0;}运行上述代码，输入两个数，程序将输出它们的最大公约数。
方法二：辗转相除法辗转相除法，也称为欧几里得算法，是一种求最大公约数的常用方法。
该算法的基本思想是用较大数除以较小数，然后用余数代替除数，继续进行这个过程，直到两个数相等为止。
这个相等的数就是它们的最大公约数。
下面是用C语言实现辗转相除法的代码：c#include <stdio.h>int gcd(int a, int b) {while (b != 0) {int temp = b;b = a b;a = temp;}return a;}int main() {int num1, num2;printf("Enter two numbers: ");scanf("d d", &num1, &num2);printf("GCD of d and d is d\n", num1, num2, gcd(num1, num2));return 0;}同样，运行上述代码，输入两个数，程序将输出它们的最大公约数。
欧几里德求最大公约数算法
欧几里德求最大公约数算法有时候啊，咱们在生活中遇到问题，想要找到一个“最合适”的解决方案，总是觉得好像差那么一点。
比如，两个数字，怎么才能找到一个最“亲近”的关系呢？嗯，说白了就是找出它们的最大公约数了。
就像你和朋友一起合伙做生意，大家凑在一起，能把自己的优点最大化，最后一起分配“成果”。
但要怎么分才最公正呢？这个“最大公约数”就是你们俩最接近、最能“合作”的那个数字。
欧几里得的求最大公约数算法就好比是一种方法，帮你找出这两个数字的“共同点”。
不过，说到这个算法嘛，可能有些人会觉得，它听起来就像一块硬骨头，让人一想到就皱眉头。
其实啊，真没那么复杂！就像做一道简单的菜，步骤不多，只要用点心，你就能做好。
你看，欧几里得这家伙挺聪明的，他想了个办法，把找最大公约数的过程变得既简单又快速。
很多人都以为大数相除才能找出公约数，其实啊，根本不需要那么麻烦！欧几里得的办法就是，嗯，直白点说，就是用“除法”来反推。
怎么做呢？拿两个数字，假设是25和15，我们要找出它们的最大公约数。
先看这两个数字，25能不能被15整除？当然不行！那我们怎么办呢？嘿，先用25除以15，得出一个商和一个余数。
商我们不管，余数很重要。
拿15和这个余数继续做同样的事情，一直做下去，直到余数变成0为止。
这个时候，最后一个非零的余数，就是你找出来的最大公约数。
就这么简单！就像你和朋友比赛跑步，谁先跑到终点，最后那个人的成绩就能决定谁是“冠军”！欧几里得的算法就是这么“快准狠”，一气呵成。
想象一下，25除以15得1，余数是10。
然后，你再用15去除10，得商1，余数5。
用10除5，得到商2，余数就变成0了。
嘿，余数是0了，这时候，咱们就知道最大公约数是5！这就好比你们俩合伙打拼，最终找到的共同点就是5，所有的努力和付出，最后都集中在这个点上，大家一起分享成果。
哎，你说是不是特别神奇？不需要大脑拼命运算，欧几里得就能帮你搞定一切。
但欧几里得这个算法真的不仅仅是数学上的巧妙，它还给咱们生活带来了不少启示呢。
使用欧几里得算法,编写递归函数,求两个数的最大公约数。
欧几里得算法（Euclidean algorithm）是一个用于求两个整数的最大公约数（GCD）的经典算法。
它的基本思想是：用较大的数除以较小的数，然后用除数去除较小的数，如此反复，直到两个数相等为止，此时这两个数中的任何一个就是它们的最大公约数。
以下是一个使用Python编写的递归函数，用于使用欧几里得算法求两个数的最大公约数：
```python
def gcd(a, b):
# 基本情况
if b == 0:
return a
# 递归情况
else:
return gcd(b, a % b)
```
这个函数接受两个参数：`a`和`b`，并返回它们的最大公约数。
如果`b`等于0，那么`a`就是最大公约数。
否则，函数会递归地调用自身，将`b`和`a % b`作为新的参数。
使用欧几里得辗转相除法求两个数最大公约数和最小公倍数python
使用欧几里得辗转相除法求两个数最大公约数和最小公倍数
python
首先，得到两个已知的正整数m、n，使得m > n（这里可以通过if语句判断m、n的大小，然后用三条语句使得m > n）例如：
if m < n:
t = n
n = m
m = t
通过m 除以 n 得余数 r。
然后判断余数r是否为0；若r 不等于 0，则令m = n, n = r, 然后继续相除，直到余数r = 0 为止，此时得到的 m 就是最大公约数。
得到最大公约数后，最小公倍数就是已知的两个正整数的乘积除以最大公倍数得到的商。
完整例子：
import random
m = random.randint(0,100)
n = random.randint(0,100)print("整数1 = ", m)print("
整数2 = ", n)if m < n:
t = n
n = m
m = t
# 辗转相除之前保留两个整数的值
a = m
b = n
while n !=0:
r = m % n
m = n
n = r
print("最大公约数为：", m)print("最小公倍数为：",int((a * b)/m))
输出结果：
整数1 = 88
整数2 = 16
最大公约数为： 8
最小公倍数为： 176。
c++欧几里得算法实现
以下是C++中使用欧几里得算法实现求两个数的最大公约数的示例代码：
```c++
#include <iostream>
using namespace std;
// 欧几里得算法求最大公约数
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) {
return a;
} else {
return gcd(b, a % b);
}
}
int main() {
int a, b;
cout << "请输入两个整数：" << endl;
cin >> a >> b;
int result = gcd(a, b);
cout << "它们的最大公约数是：" << result << endl;
return 0;
}
```
在这个示例中，我们定义了一个名为`gcd`的函数，它使用欧几里得算法来计算两个数的最大公约数。
在主函数中，我们首先获取用户输入的两个整数，然后调用`gcd`函数来计算它们的最大公约数，并将结果输出到控制台上。
最大公约数和最小公倍数c语言编程
最大公约数和最小公倍数c语言编程最大公约数和最小公倍数是数学中的基本概念，也是计算机编程中常用的算法。
在C语言编程中，可以使用循环、递归等方式实现求解最大公约数和最小公倍数的功能。
下面将从概念、算法和实现三个方面详细介绍。
一、概念1. 最大公约数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
例如，12和18的公约数有1、2、3、6，其中6是它们的最大公约数。
2. 最小公倍数最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）指两个或多个整数共有的倍数中最小的一个。
例如，4和6的倍数有4、8、12、16、20……以及6、12、18……其中12是它们的最小公倍数。
二、算法1. 暴力枚举法暴力枚举法即遍历所有可能情况，找到满足条件的解。
对于求解两个正整数a和b的最大公约数而言，暴力枚举法就是从a和b中较小值开始递减，找到第一个同时能被a和b整除的正整数即为它们的最大公约数。
对于求解最小公倍数而言，暴力枚举法就是从a和b中较大值开始递增，找到第一个同时能整除a和b的正整数即为它们的最小公倍数。
2. 辗转相除法辗转相除法又称欧几里德算法，是一种高效的求解最大公约数的方法。
其基本思想是：假设有两个正整数a和b（a>b），令r为a除以b所得余数，若r等于0，则b即为最大公约数；否则，将b赋值给a，将r赋值给b，然后继续进行相同的操作直到r等于0为止。
3. 更相减损术更相减损术是另一种求解最大公约数的方法。
其基本思想是：假设有两个正整数a和b（a>b），每次用较大值减去较小值得到一个新的差c，再用较小值和c比较大小，重复进行这个过程直到两个数相等为止。
由于该算法每次操作都要进行多次减法运算，因此效率比辗转相除法低。
4. 质因数分解法质因数分解法是一种求解最大公约数和最小公倍数的通用方法。
其基本思想是：将两个数分别进行质因数分解，然后将它们的公共质因子相乘得到最大公约数，将它们的所有质因子相乘得到最小公倍数。
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if (x%y==0) return y; else return fun(y, x%y); } int main( ){
int m, n, t, r; cout<<"please imput two numbers"<<endl; cin>>m>>n; if(m<n) {
实验九
一、实验内容
教材3.9 定义递归函数实现下面的Ackman函数 n+1 m=0
Acm(m,n)= Acm(m-1,1) n=0 Acm(m-1,Acm(m,n-1)) n>0,m>0
教材3.10 用递归法实现勒让德多项式：
1
n=0
Pn= x
n=1
((2n-1)xPn-1(x)-(n-1)Pn-2(x))/n
cout<<"Area of point is"<<area()<<'\n'; cout<<"Area of square is"<<area(1,1)<<'\n'; cout<<"Area of trapezium is"<<area(1,0.5,1)<<'\n'; cout<<"Area of triangle is"<<area(1,sqrt(1+0.5*0.5),sqrt(1+0.5*0.5),0)<<'\n'; return 0; }
int a,b,c,d,n; cout<<"Please imput tow numbers"<<endl; cin>>a>>b;
c=max(a,b); d=min(a,b); n=c%d; while(n!=0){
c=d; d=n; n=c%d; }
cout<<"最大公约数是"<<d<<endl; return 0; }
t=m; m=n; n=t; } r=fun(m, n); cout<<"最大公约数是:"<<r<<endl; return 0; }
教材 p26 area.h double area(double radius=0); double area(double a,double b); double area(double a,double b,double h); double area(double a,double b,double c,int);
if(m==0) return n+1; else{
if(n==0) return Acm(m-1,1); else return Acm(m-1,Acm(m,n-1)); } int main(){ int a,b; cout<<"please imput two numbers:"<<endl; cin>>a>>b; cout<<"Acm(a,b)="<<Acm(a,b)<<endl; return 0; }
教程p24 使用欧几里得算法计算两个数的最大公约数，分别用递推和递归两种算
法实现
教程p26 编程：将上题以多文件方式组织，在area.h中声明各个area（）函数原型， 在area.cpp文件中定义函数，然后在Exp9_2中包含area.h,定义main（） 函数并执行。
二、实验目的
1、掌握函数的嵌套调用好递归调用 2、掌握递归算法 3、了解内联函数、重载函数、带默认参函数的定义及使用方法 4、掌握程序的多文件组织 5、掌握编译预处理的内容，理解带参数宏定义与函数的区别
area.cpp #include<cmath> #define PI 3.14159 double area(double radius){
return PI *radius*radius; } double area(double a,double b){
return a*b; } double area(double a,double b,double h){
return (0.5*(a+b)*h); } double area(double a,double b,double c,int){
double s=0.5*(a+b+c); return sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));
} exp9_2.cpp #include<iostream> #include<cmath> #include"area.h" using namespace std; #define PI 3.14159 int main(){
三、实验步骤
教材3.9
定义递归函数实现下面的Ackman函数 n+1 m=0
Acm(m,n)= Acm(m-1,1) n=0 Acm(m-1,Acm(m,n-1)) n>0,m>0
教材3.10用递归法实现勒让德多项式：
1
n=0
Pn= x
n=1
((2n-1)xPn-1(x)-(n-1)Pn-2(x))/n
return 0; }
教程 p24 实验八(2)递推法 #include<iostream> using namespace std; int max(int x,int y){
return(x>=y?x:y); } int min(int a,int b){
return(a<=b?a:b); } int main(){
五、思考讨论题或体会或对改进实验的建议 感觉对多文件运行结构不是很透彻,运用多文件方式3.10 #include<iostream> using namespace std; double P(int n,double x){ if(n==0) return 1; if(n==1) return x; return ((2*n-1)*x*P(n-1,x)-(n-1)*P(n-2,x))/n; } int main(){ cout<<"P(4,1.5)="<<P(4,1.5)<<endl;
教程p24 使用欧几里得算法计算两个数的最大公约数，分别用递推和递归两种算
法实现
教程p26 编程：将上题以多文件方式组织，在area.h中声明各个area（）函数原型， 在area.cpp文件中定义函数，然后在Exp9_2中包含area.h,定义main（） 函数并执行。
四、实验数据及处理结果
教材 3.9 #include<iostream> using namespace std; int Acm(int m,int n){