湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一5月联考数学试题(1)
2019-2020学年人教A版湖南省长沙市长郡中学高三第二学期月考(文科)数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第二学期第五次月考数学试卷（文科）一、选择题1．设全集U＝{x|﹣2≤x＜5，x∈Z}，A＝{0，2，3，4}，B＝{﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，2}B．{3，4}C．{0，3，4}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3．2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）A．甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B．甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C．甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D．甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．85．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x ﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．48．如图所示的四个正方体中，A，B正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．①②③9．函数f（x）＝x3e x的图象大致为（）A．B．C．D．10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于g（x）的结论错误的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）关于点对称C．g（x）关于直线对称D．g（x）在区间上单调递增11．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝e x的切线，则b＝（）A．0B．1C．0或1D．0或﹣112．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB 取得最大值时，|AB|＝（）A．B．C．D．二、填空题13．在复平面内，复数z＝所对应的点位于第象限．14．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为则它的一条渐近线被圆（x+4）2+y2＝8所截得的弦长等于．15．已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为．16．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再铵下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N，N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED ＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC中点．（1）求证：FM∥平面BDE；（2）若平面ADE⊥平面ABCD，求F到平面BDE的距离．19．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M，当M≥85时，产品为一级品；当75≤M＜85时，产品为二级品；当70≤M＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）频数10304020 B配方的频数分布表指标值分组[70，75）[75，80）[80，85）[85，00）[90，95）频数510153040（1）从A配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y与质量指标M满足如下条件：y＝其中t∈，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大？20．已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝（ax﹣1）e x．（Ⅰ）记h（x）＝x﹣，试判断函数h（x）的极值点的情况；（Ⅱ）若af（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求a的取值范围．21．已知直线l：x＝my+1过椭圆的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为点D，K，E．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，证明：；（3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，请说明理由．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数正数x，y满足x+y＝1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分.共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{x|﹣2≤x＜5，x∈Z}，A＝{0，2，3，4}，B＝{﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，2}B．{3，4}C．{0，3，4}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】∁U B＝{﹣2，3，4}，图中阴影部分所表示的集合为A∩（∁U B），由此能求出结果．解：∵全集U＝{x|﹣2≤x＜5，x∈Z}，A＝{0，2，3，4}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴∁U B＝{﹣2，3，4}，∴图中阴影部分所表示的集合为：A∩（∁U B）＝{3，4}．故选：B．2．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．3．2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）A．甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B．甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C．甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D．甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差【分析】先分析处理茎叶图的信息，再结合平均数、中位数、方差的概念进行运算即可得解解：由茎叶图可知：①＝＝84，＝＝84，即＝，故选项A错误，②甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B错误，③由选项B可知，选项C错误，④因为S甲2＝[（75﹣84）2+（82﹣84）2+（83﹣84）2+（87﹣84）2+（93﹣84）2]＝，S乙2＝[（77﹣84）2+（83﹣84）2+（84﹣84）2+（85﹣84）2+（91﹣84）2]＝，即S甲2＞S乙2，即选项D正确，故选：D．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．5．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x ﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x ﹣2≤1，解得答案．解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣，故选：A．7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．解：若输入N＝20，则i＝2，T＝0，＝＝10是整数，满足条件．T＝0+1＝1，i＝2+1＝3，i≥5不成立，循环，＝不是整数，不满足条件．，i＝3+1＝4，i≥5不成立，循环，＝＝5是整数，满足条件，T＝1+1＝2，i＝4+1＝5，i≥5成立，输出T＝2，故选：B．8．如图所示的四个正方体中，A，B正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．①②③【分析】首先由线面平行的判定可知①正确，由此排除选项BC，再根据面面平行的性质，由此排除A，即可得到正确答案．解：对①，连接BD交NP于点O，则OM∥AB，易知AB∥平面MNP，即①正确，故排除BC；对③，由正方体的性质可知，平面MNP∥平面ABC，又AB在平面ABC内，故AB∥平面MNP，即③正确，故排除A．故选：D．9．函数f（x）＝x3e x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由x＜0时x3e x＜0排除B；由f（1）＝e＞1排除D；求出函数在x＝0处的切线方程排除A．解：当x＜0时，x3e x＜0，故排除B；f（1）＝e＞1，故排除D；f′（x）＝（x3+2x2）e x，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2．当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，0），（0，+∞）上单调递增，又f′（0）＝0，故f（x）在x＝0的切线为x轴，故排除A．故选：C．10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于g（x）的结论错误的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）关于点对称C．g（x）关于直线对称D．g（x）在区间上单调递增【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：将函数＝sin2x﹣sin（﹣2x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x+﹣）＝sin（2x﹣）的图象，对于g（x），它的周期为＝π．故A正确；令x＝，求得g（x）＝0，故函数g（x）的图象关于点对称，故B正确；当x＝，求得g（x）＝﹣，故g（x）图象不关于直线对称，故C错误；在区间上上，2x﹣∈[﹣，]，故g（x）在区间上上单调递增，故D正确，故选：C．11．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝e x的切线，则b＝（）A．0B．1C．0或1D．0或﹣1【分析】设直线y＝kx+b与y＝lnx+2的切点为（x1，y1），与y＝e x的切点为（x2，y2），可得切线的斜率，注意运用两点的斜率公式，解方程即可得到切点和斜率，进而得到切线方程，可得b的值．解：直线y＝kx+b与y＝lnx+2的切点为（x1，y1），与y＝e x的切点为（x2，y2），由y＝lnx+2的导数为y′＝，y＝e x的导数为y′＝e x，可得k＝e x2＝＝，消去x2，可得（1+lnx1）（1﹣）＝0，则x1＝或1，则切点为（，1）或（1，2），得k＝e或1，则切线为y＝ex或y＝x+1，可得b＝0或1．故选：C．12．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB 取得最大值时，|AB|＝（）A．B．C．D．【分析】求出圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心与半径，设出抛物线x2＝2y上当点P，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，利用距离公式以及函数的导数求解最值，然后转化求解即可．解：圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心C（4，1），半径r为1，设抛物线上的点P（m，n），则m2＝2n，|PC|＝＝＝，令g（m）＝﹣8m+17，可得g′（m）＝m3﹣8，令g′（m）＝m3﹣8＝0，解得m＝2，m＜2，g′（m）＝m3﹣8＜0，g（m）递减；m＞2，g′（m）＝m3﹣8＞0，g（m）递增．所以g（m）的最小值为：4﹣16+17＝5．|PC|≥，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，且为，所以切线长为|PA|＝2，如图：由直角三角形的射影定理可得|PC|•|AB|＝|PA|•|AC|，|AB|＝2，即|AB|＝．故选：C．二、填空题：共4小题.每小题5分，共20分.13．在复平面内，复数z＝所对应的点位于第三象限．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴z在复平面内对应点的坐标为（，﹣），位于第三象限．故答案为：三．14．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为则它的一条渐近线被圆（x+4）2+y2＝8所截得的弦长等于4．【分析】根据双曲线的离心率先求出双曲线的渐近线方程，先求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长即可．解：因为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，即＝，所以＝，所以＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±3y＝0，又圆（x+4）2+y2＝8的圆心为（﹣4，0），半径r为2，所以圆心到任一条渐近线的距离为d＝＝2，因此，弦长为2＝2＝4．故答案为：4．15．已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为8π．【分析】由题意画出图形，设AD＝a，BC＝2b，则ab＝4，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥A﹣BCD的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a、b，b，求出外接球的半径，代入球的表面积公式，结合等腰三角形△ABC的面积为4，利用基本不等式求最值．解：如图，设AD＝a，BC＝2b，则ab＝4，由已知，BD⊥平面ADC，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥A﹣BCD的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a、b，b，则球的直径2R＝．∴球的表面积S＝4πR2＝（a2+2b2）π，∵，∴．故答案为：．16．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再铵下来的三项是20，21，22，依此类推，求满足如下条件的最小整数N，N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是440．【分析】直接利用数列的前n项和的关系式建立等量关系，进一步求出结果．解：根据题意知：该数列得前：1+2+3+…+k＝，则：＝2k+1﹣k﹣2，要使，则有k≥14，所以：k+2是之后的等比数列1，2，…2k+1的部分的和．即：k+2＝1+2+…+2t﹣1＝2t﹣1，所以：k＝2t﹣3≥14，则：t≥5，此时k＝25﹣3＝29，对应满足的最小条件N＝．故答案为：440三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）利用正弦定理和和与差公式化简已知等式可得2cos C•sin C＝sin C，由0＜C＜π，sin C≠0，可求cos C＝，进而可求C的值．（2）根据ABC的面积公式可求ab＝6，根据余弦定理可求a+b的值，即可求得周长．解：（1）由已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c，正弦定理得：2cos C（sin A cos B+cos A sin B）＝sin C，即2cos C•sin C＝sin C，∵0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝．（2）由c＝，C＝，△ABC的面积为＝ab sin＝，∴ab＝6，又由余弦定理c2＝b2+a2﹣2ab cos C，可得：7＝b2+a2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣18，可得：（a+b）2＝25，解得：a+b＝5，∴△ABC的周长a+b+c＝5+．18．在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED ＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC中点．（1）求证：FM∥平面BDE；（2）若平面ADE⊥平面ABCD，求F到平面BDE的距离．【分析】（1）取BD中点O，连接OM，通过证明四边形OMEF为平行四边形得出FM ∥OE，故而FM∥平面BDE；（2）取AD的中点H，证明EH⊥平面ABCD，根据V E﹣BDM＝V M﹣BDE得出M到平面BDE 的距离，也是F到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：取BD中点O，连接OM，OE，因为O、M分别为BD，BC的中点，所以OM∥CD且OM＝CD，由EF∥AB且EF＝AB，在菱形ABCD菱形中，AB∥CD，且AB＝CD，∴OM∥EF，且OM＝EF，∴四边形OMEF为平行四边形，所以MF∥OE．又OE⊂平面BDE且MF⊄平面BDE，所以MF∥平面BDE．（2）解：由（1）得FM∥平面BDE，所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离．取AD的中点H，因为EA＝ED，所以EH⊥AD，因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH⊂平面ADE，所以EH⊥平面ABCD．由已知可得EH＝＝，BE＝＝＝，所以等腰三角形BDE的面积为S△BDE＝××＝；又因为S△BDM＝S△BCD＝××2×2×sin60°＝，设F到平面BDE的距离为h，由V E﹣BDM＝V M﹣BDE得S△BDM•EH＝S△BDE•h，即××＝××h，解得h＝，即F到平面BDE的距离为．19．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M，当M≥85时，产品为一级品；当75≤M＜85时，产品为二级品；当70≤M＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）频数10304020B配方的频数分布表指标值分组[70，75）[75，80）[80，85）[85，00）[90，95）频数510153040（1）从A配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y与质量指标M满足如下条件：y＝其中t∈，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大？【分析】（1）先求出5件产品中有二级品2件，有一级品3件，再利用古典概率公式即可求出从这5件产品中任取3件恰好取到1件二级品的频率；（2）分别求出A配方、B配方生产的产品平均利润率，再比较即可求出结果．解：（1）由题意，5件产品中二级品的件数为：0.4×5＝2（件），记为a，b，5件产品中一级品的件数为：0.6×5＝3（件），记为x，y，z，从这5件产品中任取3件共有10种方式：（a，b，x），（a，b，y），（a，b，z），（a，x，y），（a，x，z），（a，y，z），（b，x，y），（b，x，z），（b，y，z），（x，y，z），其中恰好取到1件二级品共有6种，所以恰好取到1件二级品的频率为；（2）A配方生产的产品平均利润率E（A）＝＝2t2+0.6t，B配方生产的产品平均利润率E（B）＝＝1.3t2+0.7t，∴E（A）﹣E（B）＝0.7t2﹣0.1t＝0.1t（7t﹣1），∵0＜t＜，∴0＜7t＜1，∴E（A）＜E（B），所以投资B配方的产品平均利润率较大．20．已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝（ax﹣1）e x．（Ⅰ）记h（x）＝x﹣，试判断函数h（x）的极值点的情况；（Ⅱ）若af（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求a的取值范围．【分析】（I）h（x）＝x﹣＝x﹣，h′（x）＝．令u（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，又u（0）＝﹣1，u（1）＝e﹣1＞0．可得存在唯一x0∈（0，1），使得u（x0）＝0，即h′（x0）＝0．利用单调性即可得出函数h（x）的极值点与极值．（Ⅱ）af（x）＞g（x）化为：a（x﹣）＜1，即ah（x）＜1．对a分类讨论，即可得出a的取值范围．解：（I）h（x）＝x﹣＝x﹣，h′（x）＝．令u（x）＝e x+x﹣2在R上单调递增，又u（0）＝﹣1，u（1）＝e﹣1＞0．∴存在唯一x0∈（0，1），使得u（x0）＝0，即h′（x0）＝0．x∈（﹣∞，x0），h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减．x∈（x0，+∞），h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴x＝x0为极小值点，无极大值点．（Ⅱ）af（x）＞g（x）化为：a（x﹣）＜1，即ah（x）＜1．①当a≤0时，由不等式有整数解，∴h（x）在x∈Z时，h（x）≥1，∴ah（x）＜1有无穷多整数解．②当0＜a＜1时，h（x）＜，又＞1，h（0）＝h（1）＝1．∴不等式有两个整数解为0，1．即，解得：≤a＜1．③当a≥1时，h（x）≤，又≤1，∴h（x）在x∈Z时小于或等于1，∴不等式ah（x）＜1无整数解．综上可得：≤a＜1．21．已知直线l：x＝my+1过椭圆的右焦点F，抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为点D，K，E．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，证明：；（3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给出证明；否则，请说明理由．【分析】（1）由题设条件能够求出c、b＝，从而求出椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆联立方程组，由根与系数的关系，结合，即可证得结论；（3）由题设条件证明点N（，0）在既直线AE上，又在直线BD上，即可得到结论．【解答】（1）解：椭圆右焦点F（1，0），∴c＝1，抛物线的焦点坐标（0，），∴b＝∴b2＝3∴a2＝b2+c2＝4∴椭圆C：…（2）证明：由题意，m≠0，，设A（x1，y1），B（x2，y2）由，∴△＝（6m）2+36（3m2+4）＝144（m2+1）＞0∴…又由得：，∴…（3）解：m＝0时，得N（，0），猜想：m变化时，直线AE与BD相交于定点N（，0），由（2）知A（x1，y1），B（x2，y2）于是D（4，y1），E（4，y2），先证直线AE过定点N：直线AE的方程为：当x＝时所以，点N在直线AE上，同理可得点N在直线BD上．即m变化时，直线AE与BD相交于定点N（，0）…22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，∴sin（）＝±1，∵0＜α＜π，∴﹣，∴，解得．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数正数x，y满足x+y＝1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．【分析】（1）利用x的取值，去掉绝对值符号，求解绝对值不等式即可．（2）利用已知条件，通过“1”的代换以及基本不等式求解表达式的最小值，证明不等式即可．解：∵正数x，y满足x+y＝1，∴由不等式|x+2y|+|x﹣y|≤，得∴，∴≤x＜1，∴不等式的解集为{x|≤x＜1}．（2）∵正数x，y满足x+y＝1，∴＝＝＝+5≥2+5＝9，当且仅当x＝y＝时取等号．。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1． 经过两点(4,0)(0,3)A B 、-的直线方程是（ ）． A ．34120x y --= B ．34120x y +-= C ．43120x y -+= D ．43120x y ++=【答案】A【解析】直线AB 斜率为0(3)3,404AB k --==-所以直线AB 方程为30(4),4y x -=-即34120.x y --=故选A2．已知0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a b < B ．11a b< C ．a b ->- D ．22a b <【答案】B【解析】由不等式的性质，即可得出结果. 【详解】0a b >>，a b ∴>，11a b<，a b -<-，22a b >. 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了理解辨析能力，属于一般题目. 3．已知直线31ax y +=与直线320x y -+=互相垂直，则a =（ ） A ．-3 B ．-1C ．3D ．1【答案】D【解析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为1-即可得到答案. 【详解】直线31ax y +=的斜率为3a-，直线320x y -+=的斜率为3，由题意， ()313a-⨯=-，解得1a =. 故选：D 【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 4．在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =（ ） A．B．C．D．【答案】B【解析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a b A B=sin sin 43b π=，解得b =故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．函数1(3)3y x x x =+>-的最小值为（ ） A ．5 B ．3C ．2D ．5-【答案】A【解析】将函数变形为1333y x x =+-+-，利用基本不等式求解. 【详解】11333533y x x x x =+=+-+≥=--， 当且仅当133x x =--，即4x =时，取等号. 所以函数1(3)3y x x x =+>-的最小值为5 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且280a a +=，1133S =，则公差d 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由280a a +=及等差数列下标和的性质可得50a =，再由1133S =可得63a =，进而可得公差的值． 【详解】∵等差数列{}n a 中，28520a a a +==， ∴50a =． 又()111611611211113322a a a S a+⨯⨯====，∴63a =，∴公差653d a a =-=． 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列项的下标和的性质和前n 项和公式的运用，其中项的下标和的性质常与前n 项和公式结合在一起考查，起到简化运算的作用，考查变形能力和计算能力，属于基础题．7．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．4π【答案】B【解析】根据圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为2， 所以122S rl πππ==⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和侧面积的求法，属于基础题.8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．至少有一个黑球与至少有一个红球 C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是红球 【答案】C【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解. 【详解】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9．我国2015年以来，第x 年（2015年为第一年）的国内生产总值y （万亿元），数据如下：由散点图分析可知y 与x 线性相关，若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是7.7y x a =+，则实数a 的值为（ ）A ．61.3B ．60.5C ．59.9D ．59.6【答案】B【解析】先求解,x y ，结合线性回归直线一定经过点(),x y 可求实数a 的值. 【详解】 由表可知()11234535x =++++=，()1697583929983.65y =++++=， 因为7.7y x a =+经过点()3,83.6，所以83.67.73a =⨯+，解得60.5a =. 故选：B.【点睛】本题主要考查回归直线的性质，利用线性回归直线必过中心点(),x y 可求解此题，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知两条不同直线l ，m ，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是( ) A ．若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m B ．若//αβ，//m α，l β⊥，则l m ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则//l m D ．若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥ 【答案】B【解析】对A ，//l m 或,l m 异面，所以该选项错误；对B ，l m ⊥，所以该选项正确；对C ，l m ⊥，所以该选项错误；对D ，l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 【详解】对A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或,l m 异面，所以该选项错误； 对B ，若//αβ，l β⊥，所以l α⊥，因为//m α，则l m ⊥，所以该选项正确； 对C ，若αβ⊥，l α⊥，m β⊥，则l m ⊥，所以该选项错误；对D ，若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥或//l m 或,l m 相交或,l m 异面，所以该选项错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.11．如图，在ABC 中，458B AC D =︒=，，是BC 边上一点，57DC DA ==，，则AB 的长为（ ）A． B．C ．8 D．【答案】D【解析】先由余弦定理求出1cos 7ADC ∠=，得出sin 7∠=ADB ，再由正弦定理得到sin sin =∠DA ABB ADB，即可求出结果. 【详解】因为57DC DA ==，，8AC =，所以2227581cos 2757+-∠==⋅⋅ADC ，因此1cos 7∠=-ADB，所以sin 7∠=ADB ， 又45B =︒，7=DA ，由正弦定理可得：sin sin =∠DA ABB ADB，所以7sin sin 2⋅∠===DA ADBAB B故选D 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四五世纪.其卷中《算筹分数之法》里有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织通五尺.问：日织几何？”意思是有一女子擅长织布，每天织布都比前一天多1倍，5天共织了5尺布.现请问该女子第3天织了多少布？（ ） A ．1尺 B ．43尺 C ．531尺 D ．2031尺 【答案】D【解析】分别设5天织布为：a ，2a ，4a ，8a ，16a 为等比数列，进而可求出结果. 【详解】设第一天织布为a 尺，以后几天分别为2a ，4a ，8a ，16a ，共31a =5 所以531=a 尺 第三天为：20431=a 尺故选：D 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和，考查了计算能力，属于一般题目.13．如图，点M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是（ ）A ．105B ．25C ．5 D ．10 【答案】A【解析】连接1AD ，1D M ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D AM ∠（或其补角），然后在三角形1D AM 中用余弦定理即可解得. 【详解】连接1AD ，1D M ，如图：易得11//AD BC ，所以1D AM ∠（或其补角）是异面直线AM 与BC 1所成角， 设正方体的棱长为a ，1AD 2a ，15AM D M ==， 在三角形1D AM 中，2221111cos 2AD AM D M D AM AD AM +-∠=⋅⋅222552a a a +-=5=， 所以异面直线AM 与BC 1故选：A 【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.14．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（ ） A ．19B ．29C ．39D ．49【答案】D【解析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果 【详解】解：三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即11B 、22B 、33B ⋯B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯共有91090⨯=个，其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即22B ，44B ，66B ，88B ，B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯其有41040⨯=个，∴三位数的回文数中，偶数的概率404909P ==； 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，注意列举法在使用时一定做到不重不漏，属于中档题． 15．由直线x+2y-7=0 上一点P 引圆222420x y x y +-++=的一条切线，切点为A,则PA 的最小值为 A．BC．D．【答案】B【解析】由222420x y x y +-++=得圆的标准方程为()()22123x y -++=，设圆心为C ，故()1,2C -，由切线性质可得223PA PC =-，PC的最小值为=故PA，故选B.点睛：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键；求切线的长度主要是通过构建直角三角形，即切线长为斜边，半径和点到圆心的距离为直角边.二、填空题16．不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(2,2)-【解析】利用二次不等式与相应的二次函数的关系，易得结果. 【详解】∵不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立， ∴240k =-＜ ∴2-＜k ＜2 故答案为()2,2- 【点睛】（1）二次函数图象与x 轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式．（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【答案】8【解析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.18．如图所示，为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．【答案】3【解析】设AB hm =，则3BC =，BD 3h =，则3320h h -=，∴103h m =，故答案为10319．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________. 22【解析】根据BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，则1132A BCD AB ADV BC CD BD-⋅≤⋅⋅⋅，然后由BC CD =且AB AD =时体积最大求解.【详解】 如图所示：因为BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒， 所以1132A BCD AB AD V BC CD BD-⋅≤⋅⋅⋅，当BC CD =且AB AD =时体积最大， 因为22BD =，所以2BC CD ==，2AB AD ==， 所以最大体积为：11222232322⋅⋅⋅=； 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.20．已知数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且（()()()222123222x x x -+-+-()2102170x ++-=，则数据1x ，2x ，…，10x 的平均数是________. 【答案】2-或6.【解析】由数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，且()()()()2222123102222170x x x x -+-+-++-=，把所给的式子进行整理，两式相减，得到关于数据的平均数的一元二次方程，解方程即可．【详解】数据1x ，2x ，…，10x 的方差为1，()()()()22221231010x x x x x x x x∴-+-+-++-=，()()22221210121010210x x x x x x x x ∴++++-+++=，()222212101010x x x x ∴+++-=，①()()()()2222123102222170x x x x -+-+-++-=，()()22212101210440170x x x x x x ∴+++-++++=，()22212104040170x x x x ∴+++-+=，②将②-①得24120x x --=，解得2x =-，或6x =， 故答案为：2-或6. 【点睛】本题主要考查一组数据的平均数的求法，解题时要熟练掌握方差的计算公式的灵活运用，属于中档题.三、解答题21．已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足1cos 2a c Bb =+． （1）求角C 的大小；（2）若7a b +=，ABC 的面积等于c 边长．【答案】（1）3π（2【解析】（1）利用正弦定理可化边为角，利用三角恒等变换即可；（2）由面积公式可求得ab ，联立7a b +=求出,a b ，利用余弦定理即可求出c . 【详解】（1）由正弦定理可知，1sin sin cos sin 2A CB B =⋅+，1sin()sin cos sin 2B C C B B ∴+=⋅+，即1sin cos sin 2B C B =sin 0B ≠1cos 2C ∴=， 0C π<<，3C π∴=（2）1sin 24ABCSab C ab ===， 12ab ∴=7a b +=2222cos c a b ab C ∴=+- 2()3493613a b ab =+-=-=c ∴=【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 22．已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=. （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =m 的值. 【答案】（1）5m <；（2）4m =【解析】（1）先将圆的一般方程化为标准方程，可得22(2)(1)5x y m -+-=-，然后根据20r >，可得结果.（2）根据圆的弦长公式. 【详解】（1）22420x y x y m +--+=化简得22(2)(1)5x y m -+-=-， 则当5m <时，方程C 表示以(2,1). （2）圆心(2,1)C 到直线l 的距离为5d ==225m ∴-=+⎝⎭⎝⎭，解得4m =. 【点睛】本题考查表示圆的方程满足条件以及圆的弦长公式，属基础题.23．哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a ，b 的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数； （2）现用分层抽样的方法从分数在[130,140)，[140,150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.【答案】（1）0.020a =，0.026b =；中位数为411213；（2）815. 【解析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人列式求解a ，b 的值，再根据中位数左右两边的面积均为0.5计算即可.（2）在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示， 在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示，再利用枚举法求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图的面积和为1，则(0.0020.0080.0140.0150.010.005)101a b +++++++⨯=，得0.046a b +=，又由100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人 则10010()6b a ⨯-=，解得0.020a =，0.026b =中位数中位数为()0.5100.0020.0080.0140.021100.026-++++411213= （2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A ，由题意知，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用1a ，2a ，3a ，4a 表示，在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用1b ，2b 表示， 从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b ，共15种抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，共8种所以8()15P A =抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为815.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF //平面PCD ； （2）平面PAB ⏊平面PCD ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，推导出//FG PC ，//EG DC ，从而平面//EFG 平面PCD ，由此能得出结论；（2）推导出CD AD ⊥，从而CD ⊥平面P AD ，即得CD PA ⊥，结合PA PD ⊥得出PA ⊥平面PCD ，由此能证明结论成立.【详解】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，∵E ，F 分别是AD ，PB 的中点， ∴//FG PC ，//EG DC ，∴//FG 面PCD ，//EG 面PCD ， ∵FGEG G =，∴平面//EFG 平面PCD ，∵EF ⊂平面EFG ，∴//EF 平面PCD .（2）因为底面ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ．因为PA ⊂平面P AD ，所以CD PA ⊥.又因为PA PD ⊥， PD CD D ⋂=，所以PA ⊥平面PCD ． 因为PA ⊂平面P AB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． 【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()*11122n n n a a n N +=+∈. （1）设()1*2n n n b a n N -=∈，求证数列{}n b 为等差数列；（2）求n S ；（3）若对任意*n N ∈，不等式15422n n S λ-≥--恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1242n n n S -+=-；（3）116λ≥. 【解析】（1）由11211n n n n b a b -+=+=+可得答案；（2）求得n b n =，12n n a n -=得到n a ，运用数列的错位相减法求和得到n S ； （3）结合（2）化简不等式，再由参数分离得到32n n λ-≥，再对32n n -讨论，利用单调性可得到λ的最小值. 【详解】（1）111112221122nnn n n n n n n b a a a b -++⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，即()*11n n b b n N+-=∈，所以数列{}n a 是首项为01121b a ==，公差为1的等差数列；（2）由（1）得n b n =，即12n n a n -=，12n n na -∴=， 01211232222n n n S -∴=++++，① 121112122222n n n n nS --∴=++++，② ①-②，得0121111111122212222222212n n n n n n n n n S --+=++++-=-=--， 所以1242n n n S -+=-； （3）不等式即为112544222n n n λ--+-≥--，化简得32n n λ-≥，对任意*n N ∈恒成立，令()*32n n n c n N -=∈，则111234222n n n n n n n n c c +++----=-=，所以3n ≤时，10n n c c +->，即1n n c c +>；4n =时，10n n c c +-=，即1n n c c +=；5n ≥时，10n n c c +-<，即1n n C C +<；所以1234567c c c c c c c <<<=>>>，所以{}n c 的最大项为45116c c ==， 所以116λ≥. 【点睛】本题考查了数列的通项公式和前n 项和公式的求法，注意错位相减的合理运用,以及常数分离法解决恒成立的问题.。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期线上教学效果检测考试数学试题(解析版)
则 BEF （或其补角）为异面直线 AC 与 BE 所成的角，
AC 2 3, SA SB AB BC SC 2
BE EF BF 3
BEF 60 ．
故选 C．
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线所成的角是关
键．
12．各项均为实数的等比数列{an}前 n 项之和记为 Sn ,若 S10 10 , S30 70 , 则 S40 等
的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运
算过程.
11．如图，在三棱锥 S ABC 中， E 为棱 SC 的中点.若 AC 2 3 ，
SA SB SC AB BC 2 .则异面直线 AC 与 BE 所成的角为（ ）
A． 30
【答案】C
B． 45
C． 60
a(1 q10 ) 1 q
10
，
S30
a(1 q30 ) 1 q
70
1 q30 二式相除得， 1 q10
7 ，整理得1 q10 q20
7
解得 q10 2 或 q10 3 （舍）
a(1 q40 )
S40 1 q S10 a(1 q10 ) 1 q40
所以有
1 q = 1 q10
1 24 15 = 12
7．在 ABC 中， a2 b2 c2 2bc cos A 2ac cos B ，则 ABC 一定是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【解析】由余弦定理结合题意得 a2 b2 c2 ，由勾股定理逆定理即可得解.
【详解】
a2 b2 c2 2bc cos A 2ac cos B ，
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年下学期期末考试高一数学试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.11-的等比中项是（ ） A. 1 B. －1 C. ±1 D.12【答案】C 【解析】试题分析：设两数的等比中项为)21111x x x ∴=+=∴=±，等比中项为-1或1考点：等比中项2.如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ） A. 22a b > B. 0a b -> C. 0a b +< D. b a >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质或比较法对各选项中不等式的正误进行判断.【详解】0b a <<，0a b ∴->，0a b +<，则()()220a b a b a b -=-+<，22a b ∴<，可得出b a >，因此，A 选项错误，故选：A.【点睛】本题考查判断不等式的正误，常利用不等式的性质或比较法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A.79B.49C.23D.59【答案】D 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5， 因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选：D. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.4.若经过两点4,21A y 、2,3B 的直线的倾斜角为34π，则y 等于（ ） A. 1- B. 2C. 0D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值. 【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，则该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，故选：D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度不变，与y 轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A 选项符合题意．故应选A ．考点：斜二测画法。
湖南省长沙市长郡集团2019-2020学年度第二学期5月高一联考化学试卷(word含答案)
长郡中学2019—2020学年度高一第二学期5月联考化学试卷时量：90分钟满分：100分可能用到的相对原子质量：H~1 C~12 N~14 O~16 Na~23 S~32第I卷（选择题，共48分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.古籍《天工开物》中记载的“凡石灰，经火焚炼为用”涉及的反应类型是（）A化合反应 B.分解反应 C.置换反应 D.复分解反应2.下列各组微粒中，互称为同位素的是（）A.63Li和73Li B.146C和147N C.Cl和Cl D.O2和O33.下列物质溶于水，有离子键破坏的是（）A.NH3B.H2SO4C.HNO3D.NH4Cl4.一小块钠在空气中长期放置，最后变成的物质是（）A.Na2O2B.NaOHC.Na2CO3D.Na2O5.下列关于化学键的叙述正确的是（）A.所有物质里都含有化学键B.离子化合物中可能含有共价键C.共价化合物中可能含有离子键D.水分子中的化学键是非极性键6.下列气体中，不能．．用浓硫酸干燥的是（）A.NOB.SO2C.Cl2D.H2S7.对同一周期主族元素从左到右递变的一般规律，叙述正确的是（）A.最外层电子数逐渐增多B.原子半径逐渐增大C.最高正化合价逐渐减小D.元索的金属性逐渐增强8.用下面的方案检验试液中的24SO -，其中方案设计严密的是（ ）A 2BaCl −−−→−−−−→溶液稀硝酸试液无沉淀白色沉淀B.2BaCl −−−→−−−−→溶液稀盐酸试液无沉淀白色沉淀C.2BaCl −−−−→−−−→溶液稀硝酸试液白色沉淀白色沉淀D.2BaCl −−−−→−−−→溶液稀盐酸试液白色沉淀白色沉淀9.实验室需要200mL 0.100mol ·L -1 NaOH 溶液，配制时的部分实验操作如图所示，下列说法正确的是（ ）A.实验中需用到的玻璃仪器有：100mL 容量瓶、烧杯、玻璃棒、胶头滴管等B.实验操作步骤的正确顺序为dabcC.容量瓶需要用自来水洗涤，干燥后才可用D.定容时，若俯视容量瓶的刻度线，则使配得的NaOH 溶液浓度偏高 10.下列方程式能用离子方程式+2H +OH H O -==表示的是（ ）A.32222HCl +CaCO ==CaCl +H O +CO ↑B.24324323H SO +2Al(OH)==Al (SO )+6H OC.2HI +NaOH ==NaI +H OD.24242H SO +Ba(OH)=BaSO +2H O ↓二、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11.下列物质分类的正确组合是（ ）12.根据元素周期律和元素周期表，下列推断不合理．．．的是（ ） A.第35号元素的单质在常温常压下是液体 B.第四周期第ⅤA 族的元素为非金属元素 C.第二周期第ⅥA 族的元素的最高化合价是+6 D.第七周期0族元素的原子序数为11813.常温下，下列各组离子在溶液中一定能大量共存的是（ ）A.K +、Mg 2+、3CHO -、24SO -B.H +、4NH +、Cl -、23SO -C.K +、Na +、2AlO -、3NO -D.H +、Fe 2+、I -、3NO -14.用如图中的实验装置进行相应的实验，不能．．达到实验目的的是（）A.用图甲装置，可快速制取氨气B用图乙装置，分离饱和食盐水溶液中的食盐和水C.用图丙装置操作方法，可检验Fe2+D.用图丁装置，可说明浓H2SO4具有脱水性和强氧化性.，SO2具有漂白性和还原性13.设N A代表阿伏加德罗常数的值，下列有关叙述．．中正确的是（）A.在N A个P4分子中含有4N A个共价键B.在含N A个硅原子的二氧化硅晶体中含有4N A个Si—O键C.1mol Na2O2中，含有的阴离子数为2N AD.向FeI2溶液中通入适量Cl2，当有1mol Fe2+被氧化时，转移的电子总数为3N Al6.X、Y、Z、M、W为五种短周期元素，X原子的质子数与电子层数相同，W原子核外电子数是M原子最外层电子数的2倍，Y、Z、M、W在周期表中的相对位置如下表所示。
湖南省长沙一中、师大附中、雅礼中学、长郡中学2019届高三五月份联考书卷数学(理科)试题
湖南省 五月份联考试卷 数学（理科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知以为正实数，i 为虚数单位，|a+i i |=2,则a =A.2B.√3C.√2D.12.已知集合A ={x ∈Z|123+x ∈N),B ={x|x 2−4x −5≤0},则A ⋂B =A.{−1,0,1,3}B.{−1,0,1,2}C.{−1,0,1}D.{0,1,2,3}3.下图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是A. 2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省B.与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量五省都实现了增长C.去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元D.2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个长沙一中 师大附中雅礼中学 长郡中学4.设0≤x ≤2π，且√1−sin 2x =sin x −cos x ，则 A.0≤x ≤π B.π4≤x ≤7π4 C.π4≤x ≤5π4 D.π2≤x ≤3π25.设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；② x 、y 是直线， z 是平面；③ z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x ⊥z 且y ⊥z ⇒x//y ”为真命题的是A.③④B.①③C.②③D.①②6.已知函数f （x ）是R 上的偶函数， g(x)是R 上的奇函数，且g(x)=f(x −1)，若f(2)=2,则f(2019)的值为A.2B.0C.−2D.±27.若(3x +1x √x )n (n ∈N*)的展开式中含有常数项，且n 的最小值为以，则∫√a 2−x 2a−a dx = A.36π B.81π2 C.25π2 D.25π8.已知向量a 与b 的夹角为θ,定义a ×b 为a 与b 的“向量积”，且a ×b 是一个向量，它的长度|a ×b|=|a||b|sin θ,若u =(2,0),u −υ=(1,−√3)，则|u ×(u +υ)|=A.4√3B.√3C.6D.2√39.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0),F 2(c,0)，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线PF 2与圆E:(x −c 2)2+y 2=b 216相切，则双曲线的渐近线方程是 A ⋅y =±x B ⋅y =±√2x C ⋅y =±√3x D ⋅y =±2x10.已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)−1(ω>0,0<φ<π)的一个零点是π3,函数y =f(x)图象的一条对称轴是直线x =−π6，则当ω取得最小值时，函数f(x)的单调递增区间是A.[3kπ−π3,3kπ−π6](k ∈Z )B.[3kπ−5π3,3kπ−π6](k ∈Z) C.[2kπ−2π3,2kπ−π6](k ∈Z ) D.[2kπ−π3,2kπ−π6](k ∈Z) 11.在边长为2√3的菱形ABCD 中，∠BAD= 60o ，沿对角线BD 折成二面角A-BD-C 为120的四面体ABCD(如右图)，则此四面体的外接球表面积为A.28πB.7πC.14πD.21π12.已知函数f(x)=(2a +2)ln x +2ax 2+5.设a <−1，若对任意不相等的正数x 1,x 2,恒有|f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2|≥8.则实数a 的取值范围是A.(−3,−1)B.(−2,−1)C.(−∞,−3]D.(−∞,−2]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.设变量x,y 满足约束条件{x +y ≥3,x −y ≥−1,2x −y ≤3.则目标函数z =2x +3y 的最小值为______________.14.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为______________.15.过抛物线C:y 2=2Px(P >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段 AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN|=√33|AB|，则l 的斜率为______.16.如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心,OC =65,残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在BC 上，则裁出三角形面积的最大值为______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a n 2=8a 1+1,公差d >0,S 1.、S 4.、S 16成等比数列，数列{b n }满足log 2b n =(a n −1)log 2√x.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式；(2)已知c n =1an a n +1,求数列{c n +b n }的前n 项和T n ⋅18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是直角梯形， AB ⊥AD,AB//CD,PC ⊥底面ABCD ，AB=2AD=2CD=4，PC= 2a ，E 是PB 的中点.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若二面角P-AC-E 的余弦值为√63,求直线PA 与平EAC 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）已知圆M:(x +2√3)2+y 2=64及定点N(2√3,0),点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，点G 在MA 上，且满足NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,点G 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程；(2)设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线y =12x 和y =−12x 分别交于P 、Q 两点，当k|>12时，求△OPQ (O 为坐标原点)面积的取值范围.20.（本小题满分12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n ∈N *）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n 次；(2)混合检验，将其中k(k ∈N *且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k+l 次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （0<p<l ）.(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k （k ∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2(i)试运用概率统计的知识，若Eξ1=Eξ2,试求p 关于k 的函数关系式P =f(k);( ii)若p =1−√e 3，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据： ln 2≈0.6931,ln 3≈1.0986,ln 4≈1.3863,ln 5≈1.6094,ln 6≈1.7918.21.（本小题满分12分）记max{m,n}表示m,n 中的最大值，如max{3,√10}=√10.已知函数f(x)=max{x 2−1,2ln x},g(x)=max{x +ln x,−x 2+(α2−12)x +2α2+4α}⋅(1)设ℎ(x)=f(x)−3(x −12)(x −1)2，求函数ℎ(x)在(0,1]上的零点个数；(2)试探讨是否存在实数a ∈(−2,+∞)，使得g(x)<32x +4a 对x ∈(a +2,+∞)恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.请考生在第22～23题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2√3+αt,y=4+√3t（其中t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为(2,π6)，直线l经过点A.曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)过点P(√3,0)作直线l的垂线交曲线C于D，E两点(D在x轴上方)，求1|PD|−1|PE|的值.23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x−a|+|x−2a+3|.(1)当a=2时，解关于x的不等式f(x)≤9;(2)当a≠2时，若对任意实数x,f(x)≥4都成立，求实数a的取值范围.。
湖南省长沙市2019-2020学年高考数学五模试卷含解析
湖南省长沙市2019-2020学年高考数学五模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．水平放置的ABC V ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''V ，其中2,O A O B ''''==3O C ''=，则ABC V 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得2AO BO ==，23OC =,ABC V 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积. 【详解】根据“斜二测画法”可得2AO BO ==，23OC =，4AB AC BC ===，ABC V 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为22234163S rl πππ==⨯=. 故选:B 【点睛】本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.2．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ）【分析】由已知等式求出z ，再由共轭复数的概念求得z ，即可得z 的虚部. 【详解】由zi ＝1﹣i ，∴z ＝()()111·i i i i i i i ---==--- ，所以共轭复数z =-1+i ，虚部为1 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．3．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33- B ．3C ．33- D ．32【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将问题转化为点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值，利用P 到x 轴的距离等于P 到点A 的距离得到P 点轨迹方程，得到()26399y x =-+≥，进而得到所求最小值.【详解】如图，原题等价于在直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，P 是第一象限内的动点，满足P 到x 轴的距离等于点P 到点A 的距离，求点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值． 设(),P x y ，则()()2233y x y =-+-，化简得：()23690x y --+=，则()26399y x =-+≥，解得：32y ≥，本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.4．近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app主要玩游戏；③可以估计使用app主要找人聊天的大学生超过总数的1 4 .其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】【分析】根据利用app主要听音乐的人数和使用app主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app主要听音乐的人数为5380，使用app主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app主要玩游戏，所以②错误；使用app主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】5．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（）A ．23 B ．3 C ．323D ．233【答案】B 【解析】 【分析】 首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,223r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.6．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b α=1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】【详解】依题意，得35α=，故3log 5(1,2)α=∈，故3log 5101e a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，33log 51b =>，3log 51log 04c =<， 则c a b <<. 故选：A. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题. 7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．83【答案】A 【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为1和2，所以底面面积为11212S =⨯⨯= 高为2h =的三棱锥，所以三棱锥的体积为11212333V Sh ==⨯⨯=，故选A ．8．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =， 方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ， 所以，阴影部分区域的面积为()1232100111233S x x dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A. 【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.9．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称， 又58f π=（），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题10．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A B ． C ．12 D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()f x 为R 上的奇函数可得ϕ，由函数()f x 的对称轴及单调性即可确定ω的值，进而确定函数()f x 的解析式，即可求得12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数， 则ϕπ=，所以()sin f x x ω=-.又()f x 的图象关于直线4x π=对称可得42k πωππ=+，k Z ∈，即24k ω=+，k Z ∈，由函数的单调区间知，12114ππω≤⋅， 即 5.5ω≤，综上2ω=，则()sin 2f x x =-，1122f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题. 11．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是 A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得1121AF BF p+==；再由基本不等式可求得4AF BF +的最小值． 【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l 过抛物线24y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知1121AF BF p+== 所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭ 441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭因为AF BF 、为线段长度，都大于0，由基本不等式可知4415BF AF AF BF ⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭522≥+⨯9≥，此时2BF AF =所以选B 【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题． 12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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)
ax 1,x 1
A ． ( ,2)
B ． (0,2)
C． (0, 1 ] 2
4．下列函数既是偶函数，又在 (0, ) 上为增函数的是 (
)
A． y x
B ． y x2
C． y | x |
5．函数 y x2 x 1 ， x [ 1， 1]的最大值与最小值之和为 (
D． [ 1 ,2) 2
D． y 1 x
．
17．已知函数 f (2 x 2) 3 x 2 ，且 f （ a） 4 ，则 a
．
18．已知 f ( x) x3 3x ， x R ，且 f (a 2) f (a2 ) 0 ，则实数 a 的取值范围是
．
19．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质
36% ，若要使水
中杂质减少到原来的 5% 以下，则至少需要过滤
)
A ． a 1或 a 1 B． 1 a 1
2
2
C． a 1 2
D． a 1
15．函数 g ( x) 的图象如图所示，则方程 g( g( x3 )) 0 的实数根个数为 (
)
A ．3
B．6
C． 9
D． 12
二、填空题：本大题共 5 个小题．每小题 3 分，共 15 分，将答案填在答题纸上．
16．设集合 A {1 ， 2} ，则满足 A B {1 ， 2， 3} ， A B {2} 的集合 B
2019-2020 学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共 15 个小题，每小题 3 分， 共 45 分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知 A { x | 1 x 2} ， B { x | x2 2x 0} ，则 A B (