求图形变换后点的坐标

求图形变换后点的坐标
江苏 刘海涛
在平面直角坐标系中，图形经过平移、伸长（压缩）、拉伸等变换后，点的坐标相应发生变化．
一、平移变换
例1 如图1，已知ABC △在平面直角坐标系中的位置．
（1）写出它的三个顶点的坐标；
（2）若把这个三角形向右平移5个单位后得到三角形
A B C '''，试画出三角形A B C '''，并写出它的三个顶点的坐标．
分析：（1）横坐标是过这点向x 轴作垂线，垂足所表示的数；
纵坐标是过这点向y 轴作垂线，垂足所表示的数．
（2）一点向左或向右平移正数k 个单位，其纵坐标不变，横坐标相应减或加k ；一点向上或向下平移正数k 个单位，其横坐标不变，纵坐标相应加或减k ．
解：（1）(14)(21)(32)A B C ---，，，，，；（2）(44)(31)(22)A B C '''，
，，，，． 思考：（1）若把三角形ABC 向下平移5个单位后得到三角形A B C ''''''，试写出它的三个顶点的坐标．
二、伸长（压缩）变换
例2 如图2，已知三角形ABC 在平面直角坐标系中的位置．
（1）写出它的三个顶点的坐标；
（2）把这个三角形的顶点C 向下压缩2个单位得到三角形A B C '''，试画出三角形A B C '''，并写出它的三个顶点的坐标．
分析：（2）顶点C 向下压缩2个单位得C ',表示C '的横坐标不变，纵坐标减少2.其余顶点坐标不变．
解：（1）(41)
(11)(15)A B C --，，，，，； （2）(41)
(11)(13)A B C '''--，，，，，． 思考：（1）若把三角形ABC 的顶点C 向上拉2个单位得到三角形A B C ''''''，试写出它的三个顶点的坐标．
三、拉伸变换
例 3 如图3，在直角坐标系中，第一次将
OAB △拉伸成11OA B △，第二次将11OA B △拉伸成
22OA B △，第三次将22OA B △拉伸成33OA B △．若
12(13)(23)(43)A A A ，，，，，，3(83)A ，；(20)B ，
， 123(40)(80)(160)B B B ，，，，，．
（1）观察每次拉伸前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将33OA B △拉伸成44OA B △，则4A 的坐标是___________，4B 的坐标是___________．
（2）若按第（1）题找到的规律将OAB △进行了几次拉伸，得到n n OA B △，比较每次拉伸中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测n A 的坐标是______________，n B 的坐标是___________．
分析：（1）由n A 的坐标变化知：4A 横坐标是3A 的两倍，纵坐标不变；由n B 的坐标变化知：4B 横坐标是3B 的两倍，纵坐标不变．
（2）由n A 的坐标变化知：横坐标是2n ，纵坐标是3；由n B 的坐标变化知：横坐标是12n +，
纵坐标是0．
解：（1）44(163)(320)A B ，，，；（2）1(23)(20)n n n n A B +，，，．
点的坐标有关的探索题新题
山东 于秀坤
随着课程改革的不断深入，试题也随着不断的创新.和求点的坐标有关的题型也越来越新颖.
一、根据变化规律确定点的坐标
例1 如图1,在直角坐标系中,第一次
将△OAB 变换成△OA 1B 1,第二次将
△OA 1B 1变换成△OA 2B 2,第三次将
△OA2B2变换成△OA3B3,
已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),
B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0)
观察每次变换前后的三角形有何变化,按照变换规律,第五次变换后得到的三角形A5的坐标是_______,B5的坐标是______. 图1 解析：只要注意比较横、纵坐标的变化的量以及不变的量，可推测得A5和B5的坐标及坐标变化规律：每次变换一次，实际上是将顶点A的横坐标乘以2，纵坐标不变；将顶点B 的横坐标乘以2，纵坐标不变，从而得到新的三角形；所以有A4的坐标（16，3），B4的坐标是（32，0），进一步求得A5的坐标是(32,3) B5的坐标是(64,0).
【点评】规律探索问题是中考中的热点问题，解决本题应分别比较A、A1、A2…；B、B1、B2、…的横坐标和纵坐标的变化规律.
例2 已知甲的运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度，再水平向右运动两个单位长度；乙运动的方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度.在平面直角坐标系内，现有一动点P，第1次从原点0出发按甲的方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙的方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲的方式运动到P3，第4次从点P3出发再按乙的运动方式运动到P4，……，依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在的位置P11的坐标是______.
解析:本题是一道和点的坐标有关的规律探索题.解决问题的关键是先画出图形,找出点的坐标的变化规律,根据规律写出点的坐标.由P1(2,1),P3(1,0),P5(0,-1)可以发现P1，P3，P5点的横、纵坐标前后都相差1，由此可得P11点的坐标为（-3，-4）.
【点评】解决点的坐标的规律问题，关键是从特殊的点的坐标中发现存在的一般规律，然后再根据规律求出点的坐标.
二、根据平移确定点的坐标
例3 通过平移把点A(2,-3)移到点A′(4,-2),按同样的平移方式,点B(3,1)移到点B′,则点B′的坐标是____.
解析:本题把图形的平移放在直角坐标系中,考查了点的坐标与图形平移间的关系.解题时,根据点A(2,-3)移到点A′(4,-2),可知把点A向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到A′(4,-2),根据同样的平移特征把点B向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,可得B′的坐标为(5,2).
【点评】解决和点的坐标有关的平移问题,首先要根据已知点的坐标确定平移的特征,然
后根据平移特征,通过坐标的加减运算确定点的坐标.
三、根据旋转确定点的坐标
例3 如图2，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是（）
A.（-3，-2）
B.（2，2）
C.（3，0）
D.（2，1）
解析:本题把图形的旋转防在平面直角坐标系中,考查了点的坐标在图形旋转时的变化规律.解题时将△ABC绕点C顺时针旋转90°的同时,△ACE旋转到A′CE′的位置,此时CE′=CE=OA(如图4),所以点
A′的坐标是(3,0).选C.
图2 图3
【点评】本题的已知△ABC的一般的三角形,解题时,将点A看作直角三角形ACE的顶点,使问题易于解决.
图形与点的坐标
山东于秀坤
将图形放在平面直角坐标系中，我们可以求得各顶点的坐标，反过来，知道了一些点的坐标，我们还可以将各点顺次连接起来得到一些有趣的图形，请看几例．
一、写出点的坐标
例1如图1，B，C两点的坐标分别是B（2，4），C（6，2），请你写出图中点A，D，E，F，G的坐标．
分析：由点B和点C的坐标可知，图中的单位长度等于小正方形的边长，建立坐标系如图2．
-），解：根据坐标系可得A点坐标为（0，4），D点坐标为（6，0），G点坐标为（0，4
F点坐标为（2，4-），E点坐标为（6，2-）．
二、变换点的坐标
例2按要求回答问题：
1．在直角坐标系中描出点（1，2），（2，6），（3，2），（4，6），（5，2），并将各点用线段依次连接起来，观察所得的图形，你认为它是一个什么图形？
2．将上述各点作如下变化：
（1）纵坐标不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点用线段按第1题中的顺序连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？
（2）横坐标保持不变，纵坐标分别加3 呢？
分析：本题主要考查根据点的坐标分析图形的能力．解决本题的关键是分别在两坐标轴上找到对应点，过这两点分别平行于两坐标轴的直线的交点即为所求的点．如要描点（2，6）的位置，先在x轴上找到点2，在y轴上找到点6，过这两点分别平行于两坐标轴的直线的交点即为所求的点．
解：1．这是一个“M”形图案，如图3所示．
2．（1）按题中的变化要求各点的坐标依次是（2，2），（4，6），（6，2），（8，6），（10，2），所得图案如图4所示，与原图案相比，“M”形被横向拉伸为原来的2倍．（2）根据题中的变化要求，各点的坐标依次是：（1，5），（2，9），（3，5），（4，9），（5，5），所得图案如图5所示，与原来的图案相比，“M”形向上平移了3个单位长度．
三、根据点的坐标画图形
例3在平面直角坐标系中，描出下列各组点，并用线段顺次连接起来，观察所得到的图形，说说它像什么？
（1）（1，1），（2，0），（7，0），（8，2），（6，1），（1，1）；
（2）（6，1），（６，8）；
（3）（5，7），（7，8），（7，3），（5，4），（5，7）；
（4）（2，1），（6，7）．
解：本题中顺次连接是将每一组各点顺次连接起来．通过描点，连线，可以发现，所得
到的图形是一只帆船（如图6所示）．。