用样本估计总体-【新教材】人教B版高中数学必修
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本容量偏少等．
知识点 二 用样本的数字特征来估计总体的数字特征
• (1)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的 ____________即可．
• (数2)字样特本征是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特 征．以分两层抽样的情况为例.
假设第一层有 m 个数，分别为 x1，x2，…，xm，平均数为－x ， 条件 方差为 s2；第二层有 n 个数，分别为 y1，y2，…，yn，平均数
s2＝23×[s2x＋－x －－a 223]＋＋2277×[s2y＋－y －－a 2] ＝23×[12.59＋170.6－165.22]5＋0 27×[38.62＋160.6－165.22] ＝51.486 2， 即样本的方差为 51.486 2． 因此估计高一年级全体学生身高的方差为 51.486 2．
• 规律方法：(1)利用样本的原始数据求得的样本数字特征是准确值，可用 以估计总体．
• (2)此类问题需计算样本的平均值和方差来估计总体．
对点训练
1．为了快速了解某学校学生体重(单位：kg)的大致情况，随机抽取了 10 名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示．估计这个学校学生体 重的平均数和方差．
＋
(98
－
100)2
＋
(100
－
100)2
＋
(100
－
100)2＋(103－100)2]＝73，
s
2
乙
＝
1 6
[(99
－
100)2
＋
(100
－
100)2
Baidu Nhomakorabea
＋
(102
－
100)2
＋
(99
－
100)2
＋
(100
－
100)2＋(100－100)2]＝1．
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又 s2甲＞s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
• 角度2 分层抽样的数字特征
典例剖析
•
在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用
分层抽典样例的2 方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和
12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，你能由
这些数据计算出样本的方差，并对高一年级全体学生身高的方差作出估
为－y ，方差为 t2
结论 如果记样本的平均值为 a，样本方差为 b，则－a ＝m－mx ＋＋nn－y ， b2＝m＋1 n×ms2＋nt2＋mm＋nn－x －－y 2
知识点 三
用样本的分布来估计总体的分布
如果总体在每一个分组的频率记为 π1，π2，…，πn，样本在第一组对
应的频率记为 p1，p2，…，pn，一般来说，1ni＝n1 (πi－pi)2 不等于零．当样本
4 597966 5 189 60
[解析] 将样本中的每一个数都减去 50，可得 －5，－1，－3，－1，－4，－4,1,8,9,10， 这组数的平均数为－5－1－3－1－41－0 4＋1＋8＋9＋10＝1， 方差为62＋22＋42＋22＋52＋ 1052＋02＋72＋82＋92＝30.4， 因此可估计这个学校学生体重的平均数为 51，方差为 30.4．
第五章 统计与概率
5.1 统计
5.1.4 用样本估计总体
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
素养目标·定方向
课程标准
1.能用样本的数字特征估计总体的数字特征． 2．能用样本的分布估计总体的分布．
学法解读
通过用样本估计总体，提升学生的数据分析、数学 运算和逻辑推理素养．
的容量___越__来__越__大___时，上式很小的可能性将越来越大．
关键能力·攻重难
题型 一
题型探究
用样本的特征数估计总体的特征数
典例剖析
• 角度1 简单随机抽样的数字特征
•
典例甲1 、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各
从中抽取6件测量，数据为
• 甲：99 100 98 100 100 103
• 规律方法：1.求分层随机抽样的平均数的步骤 • (1)求样本中不同层的平均数； • (2)应用分层随机抽样的平均数公式进行求解． • 2．求分层随机抽样的方差的步骤 • (1)求样本中不同层的平均数； • (2)求样本中不同层的方差； • (3)应用分层随机抽样的方差公式进行求解．
对点训练 • 2．为了解某公司员工的身体情况，利用分层抽样的方法抽取了9名男员
计吗？
[解析] 把样本中男生的身高记为 x1，x2，…，x23，其平均数记为－x ， 方差记为 s2x；把样本中女生的身高记为 y1，y2，…，y27，其平均数记为－y ， 方差记为 s2y，把样本的平均数记为－a ，方差记为 s2．
则－a ＝23×1702.63＋＋2277×160.6＝165.2，
题型 二
用样本的分布估计总体的分布
典例剖析
• 用水，典计例划3 调我整国居是民世生界活上用严水重收缺费水方的案国，家拟，确某定市一政个府合为理了的鼓月励用居水民量节标约 准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分 按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居 民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5] 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
工的身高和体重数据，计算得到他们的体质指数的平均数为25.1，方差 为6，抽取了5名女员工的身高和体重数据，计算得到她们的体质指数的 平均数为20.3，方差为3.求样本平均数与方差．
[解析] 样本平均数－x ＝9×25.91＋＋55×20.3≈23.4， 方差 s2＝9×[6＋25.1－23.429]＋＋55×[3＋20.3－23.42]≈10.2．
必备知识·探新知
知识点 一
用样本估计总体 • (1)前提 • 样本的容量恰当，抽样方法合理． • (2)必要性 • ①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人
力和物力． • ②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用________估计总体．
样本
• (3)误差 • 估 ___计__一__般__是__有_时__，__估_误_计_差_的的误．差但很是小，的大可数能定性律将可越以来保越证大，．当样本的容量 • 思考越：来用越样大本估计总体出现误差的原因有哪些？ • 提示：样本抽取的随机性；样本抽取的方法不合适，导致代表性差；样
• 乙：99 100 102 99 100 100
• (1)分别计算两组数据的平均数及方差；
[解析] (1)－x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
－x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100．
s
2
甲
＝
1 6
[(99
－
100)2
＋
(100
－
100)2
知识点 二 用样本的数字特征来估计总体的数字特征
• (1)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的 ____________即可．
• (数2)字样特本征是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特 征．以分两层抽样的情况为例.
假设第一层有 m 个数，分别为 x1，x2，…，xm，平均数为－x ， 条件 方差为 s2；第二层有 n 个数，分别为 y1，y2，…，yn，平均数
s2＝23×[s2x＋－x －－a 223]＋＋2277×[s2y＋－y －－a 2] ＝23×[12.59＋170.6－165.22]5＋0 27×[38.62＋160.6－165.22] ＝51.486 2， 即样本的方差为 51.486 2． 因此估计高一年级全体学生身高的方差为 51.486 2．
• 规律方法：(1)利用样本的原始数据求得的样本数字特征是准确值，可用 以估计总体．
• (2)此类问题需计算样本的平均值和方差来估计总体．
对点训练
1．为了快速了解某学校学生体重(单位：kg)的大致情况，随机抽取了 10 名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示．估计这个学校学生体 重的平均数和方差．
＋
(98
－
100)2
＋
(100
－
100)2
＋
(100
－
100)2＋(103－100)2]＝73，
s
2
乙
＝
1 6
[(99
－
100)2
＋
(100
－
100)2
Baidu Nhomakorabea
＋
(102
－
100)2
＋
(99
－
100)2
＋
(100
－
100)2＋(100－100)2]＝1．
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又 s2甲＞s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
• 角度2 分层抽样的数字特征
典例剖析
•
在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用
分层抽典样例的2 方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和
12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，你能由
这些数据计算出样本的方差，并对高一年级全体学生身高的方差作出估
为－y ，方差为 t2
结论 如果记样本的平均值为 a，样本方差为 b，则－a ＝m－mx ＋＋nn－y ， b2＝m＋1 n×ms2＋nt2＋mm＋nn－x －－y 2
知识点 三
用样本的分布来估计总体的分布
如果总体在每一个分组的频率记为 π1，π2，…，πn，样本在第一组对
应的频率记为 p1，p2，…，pn，一般来说，1ni＝n1 (πi－pi)2 不等于零．当样本
4 597966 5 189 60
[解析] 将样本中的每一个数都减去 50，可得 －5，－1，－3，－1，－4，－4,1,8,9,10， 这组数的平均数为－5－1－3－1－41－0 4＋1＋8＋9＋10＝1， 方差为62＋22＋42＋22＋52＋ 1052＋02＋72＋82＋92＝30.4， 因此可估计这个学校学生体重的平均数为 51，方差为 30.4．
第五章 统计与概率
5.1 统计
5.1.4 用样本估计总体
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
素养目标·定方向
课程标准
1.能用样本的数字特征估计总体的数字特征． 2．能用样本的分布估计总体的分布．
学法解读
通过用样本估计总体，提升学生的数据分析、数学 运算和逻辑推理素养．
的容量___越__来__越__大___时，上式很小的可能性将越来越大．
关键能力·攻重难
题型 一
题型探究
用样本的特征数估计总体的特征数
典例剖析
• 角度1 简单随机抽样的数字特征
•
典例甲1 、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各
从中抽取6件测量，数据为
• 甲：99 100 98 100 100 103
• 规律方法：1.求分层随机抽样的平均数的步骤 • (1)求样本中不同层的平均数； • (2)应用分层随机抽样的平均数公式进行求解． • 2．求分层随机抽样的方差的步骤 • (1)求样本中不同层的平均数； • (2)求样本中不同层的方差； • (3)应用分层随机抽样的方差公式进行求解．
对点训练 • 2．为了解某公司员工的身体情况，利用分层抽样的方法抽取了9名男员
计吗？
[解析] 把样本中男生的身高记为 x1，x2，…，x23，其平均数记为－x ， 方差记为 s2x；把样本中女生的身高记为 y1，y2，…，y27，其平均数记为－y ， 方差记为 s2y，把样本的平均数记为－a ，方差记为 s2．
则－a ＝23×1702.63＋＋2277×160.6＝165.2，
题型 二
用样本的分布估计总体的分布
典例剖析
• 用水，典计例划3 调我整国居是民世生界活上用严水重收缺费水方的案国，家拟，确某定市一政个府合为理了的鼓月励用居水民量节标约 准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分 按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居 民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5] 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
工的身高和体重数据，计算得到他们的体质指数的平均数为25.1，方差 为6，抽取了5名女员工的身高和体重数据，计算得到她们的体质指数的 平均数为20.3，方差为3.求样本平均数与方差．
[解析] 样本平均数－x ＝9×25.91＋＋55×20.3≈23.4， 方差 s2＝9×[6＋25.1－23.429]＋＋55×[3＋20.3－23.42]≈10.2．
必备知识·探新知
知识点 一
用样本估计总体 • (1)前提 • 样本的容量恰当，抽样方法合理． • (2)必要性 • ①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人
力和物力． • ②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用________估计总体．
样本
• (3)误差 • 估 ___计__一__般__是__有_时__，__估_误_计_差_的的误．差但很是小，的大可数能定性律将可越以来保越证大，．当样本的容量 • 思考越：来用越样大本估计总体出现误差的原因有哪些？ • 提示：样本抽取的随机性；样本抽取的方法不合适，导致代表性差；样
• 乙：99 100 102 99 100 100
• (1)分别计算两组数据的平均数及方差；
[解析] (1)－x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
－x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100．
s
2
甲
＝
1 6
[(99
－
100)2
＋
(100
－
100)2