压轴题五：二次函数中的直角三角形问题

育才实验学校九年级数学压轴题库（五）

二次函数中的直角三角形问题

解决此类问题，有一把万能钥匙，你知道吗？

例1 如图，已知直线

1

1

2

y x

=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2

1

2

y x bx c

=++与

直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标。

例2 已知关于x 的二次函数y ＝22

(21)1x k x k +-+-．

（1）若关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两根的平方和等于9，求k 的值，并在直角坐标系（如图）中画出函数y ＝2

2

(21)1x k x k +-+-的大致图象；

（2）在（1）的条件下，设这个二次函数的图象与x 轴从左至右交于A 、B 两点．问函数对称轴右边的图象上，是否存在点M ，使锐角△AMB 的面积等于3．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）、（2）条件下，若P 点是二次函图象上的点，且∠PAM ＝90°，求△APM 的面积．

O

y

x

1

1

例3 已知一个二次函数的图像经过A（4，－3），B（2，1）和C（－l，－8）三点．

（1）求这个二次函数的解析式以及它的图像与x轴的交点M，N（M在N的左边）的坐标．（2）若以线段M，N为直径作⊙C，过坐标原点O作⊙C的切线OD，切点为D，求OD的长．（3）求直线OD的解析式．

（4）在直线OD上是否存在点P，使得△MNP是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标（只需写出结果，不必写出解答过程）；如果不存在，请说明理由．

例4 抛物线y＝ax2＋bx＋c (a<0)交x轴于A（－1，0）、B（3，0），交y轴于C，顶点为D，

以BD为直径的⊙M恰好经过点C.

⑴求顶点D的坐标（用a的代数式表示）；

⑵求抛物线的解析式；

⑶抛物线上是否存在点P，使△PBD为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

例1 A O

C

D

B

M

·

x y

例2

例3