初中八年级数学第十三章轴对称单元检测试卷复习题五(含答案) (88)
2021-2022学年八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷(人教版)与答案
第13章<轴对称>单元测试卷 班级 姓名 座号 成绩 一、单选题(共30分)1.疫情发生以来,各地根据教育部“停课不停教,停课不停学”的相关通知精神,积极开展线上教学.下列在线学习平台的图标中,是轴对称图形的是( )A .B .C .D .2. 在平面直角坐标系中,点M(3, −6)关于y 轴对称点的坐标为()A.(−3, −6)B.(−3, 6)C.(3, 6)D.(−6, −3)3. 如图,镜子中号码的实际号码是()A.2653B.3562C.3265D.56234.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,AD 平分∠A 交BC 于点D ,若BD =2,则点D到AB 的距离为( )A .1B .2C .3D .25.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AB 的垂直平分线交BC 于点D ,交AB 于点E ,已知∠CAD :∠DAB =1:2,则∠B =( )A .34°B .36°C .60°D .72°6.如图,等边ABC ∆中,BD CE =,AD 与BE 相交于点P ,则APE ∠的度数是( )A .45︒B .55︒C .60︒D .75︒7.如图,有A 、B 、C 三个居民小区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )A .AC 、BC 两边高线的交点处B .AC 、BC 两边垂直平分线的交点处 C .AC 、BC 两边中线的交点处D .∠A 、∠B 两内角平分线的交点8.如图,AC =AD ,BC =BD ,则有( )A .AB 垂直平分CD B .CD 垂直平分ABC .AB 与CD 互相垂直平分D .CD 平分∠ACB9.如图,在△ABC 中,AB =AC ,AB 的垂直平分线交边AB 于D 点,交边AC 于E 点,若△ABC 与△EBC 的周长分别是40,24,则AB 为( )A .8B .12C .16D .2010.如图,点P 为∠AOB 内一点,分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1,P 2,连接P 1P 2交OA 于M ,交OB 于N ,若∠AOB =40°,则∠MPN 的度数是( )A .90°B .100°C .120°D .140°二、填空题(共18分)11. 若点A(1−m, 6)与B(2+n, 6)关于某坐标轴对称,则m −n =________.12. 等腰三角形有一个角为50∘,则它的顶角度数是________13.已知等腰三角形的两边长分别为2cm ,4cm ,则其周长为 .14.在Rt △ABC 中,∠A =30°,∠C =90°,AB +BC =12cm ,AB = .15.如图,B ,D ,F 在AN 上,C ,E 在AG 上,且AB =BC =CD ,EC =ED =EF ,∠A =20°,则∠FEG 的度数是 度.16.如图,已知∠AOB =30°,OC 平分∠AOB ,在OA 上有一点M ,OM =12cm ,现要在OC ,OA 上分别找点Q ,N ,使QM +QN 最小,则其最小值为 .三、解答题(共52分)17.(本题8分).如图,在平面直角坐标系中,已知A (1,2),B(3,1),C (﹣2,﹣1).(1)在图中作出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1;(2分)(2)在同一平面直角坐标系中画出△A 1B 1C 1关于直线m (直线m 上各点的横坐标都是1)对称的△A 2B 2C 2 ,并直接写出点C 2的坐标;(4分)(3)直接写出△ABC 边上一点M(x,y),经过上述两次图形变换后得到△A 2B 2C 2上的对应点M 2的坐标.(2分)18.(本题8分)如图,M 、P 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点,在AC 上找一点N ,使PMN ∆的周长最小,19.在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC 为钝角,点D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F .试判断线段DE与DF 的数量关系并说明理由(8分)20. (本题10分)如图,在△ABC 中,AB AC =,点D ,E ,F 分别在,,AB BC AC 边上,且BE CF =,BD CE =.(1)求证:DEF 是等腰三角形(4分);(2)当40A ∠=︒时,求DEF ∠的度数(4分).21.(本题10分)△ABC 中,∠ABC 的平分线与三角形外角∠ACD 的平分线CO 交于O ,过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ,交AC 于F .试写出EF 与BE 、CF 之间的关系,并说明理由。
人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷(含答案解析)
2018年秋八年级上学期第十三章轴对称单元测试卷数学试卷考试时间:120分钟;满分:150分学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)1.(4分)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD为()A.50°B.70°C.75°D.80°2.(4分)如图,△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称,P为MN上任一点(P不与AA′共线),下列结论中错误的是()A.△AA′P是等腰三角形B.MN垂直平分AA′,CC′C.△ABC与△A′B′C′面积相等D.直线AB、A′B′的交点不一定在MN上3.(4分)誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”,摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文,其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值,下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是()A B C D4.(4分)小狗皮皮看到镜子里的自己,觉得很奇怪,此时他所看到的全身像是()A B C D5.(4分)如图,点A的坐标(﹣1,2),则点A关于y轴的对称点的坐标为()A.(1,2) B.(﹣1,﹣2)C.(1,﹣2)D.(2,﹣1)6.(4分)平面直角坐标系中,点P (﹣2,1 )关于直线x=1的对称点P'的坐标是()A.(2,1) B.(4,1) C.(﹣2,﹣1)D.(﹣2,﹣3)7.(4分)如图,在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形(不与△ABC重合),这样的三角形能画出()A.1个B.2个C.3个D.4个8.(4分)如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=65°,则∠2的度数是()A.50°B.60°C.65°D.70°9.(4分)如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=2,ON=4,点P是边OB上的点,则能使点P,M,N构成等腰三角形的点P的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个10.(4分)如图O是边长为9的等边三角形ABC内的任意一点,且OD∥BC,交AB于点D,OF∥AB,交AC于点F,OE∥AC,交BC于点E,则OD+OE+OF的值为()A.3 B.6 C.8 D.9二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)11.(5分)数学在我们的生活中无处不在,就连小小的台球桌上都有数学问题.如图所示,∠1=∠2,若∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1等于.12.(5分)已知:在△ABC中,AH⊥BC,垂足为点H,若AB+BH=CH,∠ABH=70°,则∠BAC=°.13.(5分)如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD=.14.(5分)如图,把面积为1的正三角形ABC的各边依次循环延长一倍,顺次连接这三条线段的外端点,这样操作后,可以得到一个新的正三角形DEF;对新三角形重复上述过程,经过2017次操作后,所得正三角形的面积是.三.解答题(共9小题,满分90分)15.(8分)如图,在四边形ABCD中,E为AB的中点,DE⊥AB于点E,∠A=66°,∠ABC=90°,BC=AD,求∠C的度数.16.(8分)证明定理.与一条线段两个端点距高相等的点,在这条线及的垂直平分线上.已知:如图,A为线段BC外任意一点,且AB=AC.求证:点A在BC的垂直平分线上.17.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,请你按要求在该坐标系中在图中作出:(1)把△ABC向右平移4个单位长度得到的△A1B1C1;(2)再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2.18.(8分)如图,在平面直角坐标系中,线段AB的两个端点坐标分别为A(2,3),B (2,﹣1).(1)作出线段AB关于y轴对称的线段CD.(2)怎样表示线段CD上任意一点P的坐标?19.(10分)在3×3的正方形格点图中,有格点△ABC和△DEF,且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称,请在如图给出的图中画出4个这样的△DEF.(每个3×3正方形个点图中限画一种,若两个图形中的对称轴是平行的,则视为一种)20.(10分)如图,已知在平面直角坐标系中,点P从原点O以每秒1个单位速度沿x 轴正方向运动,运动时间为t秒,作点P关于直线y=tx的对称点Q,过点Q作x轴的垂线,垂足为点A.(1)当t=2时,求AO的长.(2)当t=3时,求AQ的长.(3)在点P的运动过程中,用含t的代数式表示线段AP的长.21.(12分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在CB边上,∠DAB=∠B,点E在AB边上且满足∠CAB=∠BDE.求证:AE=BE.22.(12分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE∥AB交AC 于点E.求证:AE=DE.23.(14分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=3,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.2018年秋八年级上学期第十三章轴对称单元测试卷参考答案与试题解析一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)1.【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC,根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C,根据三角形内角和定理求出∠BAC,计算即可.【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线,∴DA=DC,∴∠DAC=∠C=25°,∵∠B=60°,∠C=25°,∴∠BAC=95°,∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=70°,故选:B.【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.2.【分析】据对称轴的定义,△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称,P为MN上任意一点,可以判断出图中各点或线段之间的关系.【解答】解:∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称,P为MN上任意一点,∴△AA′P是等腰三角形,MN垂直平分AA′,CC′,这两个三角形的面积相等,A、B、C 选项正确;直线AB,A′B′关于直线MN对称,因此交点一定在MN上.D错误;故选:D.【点评】本题考查轴对称的性质与运用,对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相等.3.【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.【解答】解:A、是轴对称图形,故此选项错误;B、是轴对称图形,故此选项错误;C、不是轴对称图形,故此选项正确;D、是轴对称图形,故此选项错误;故选:C.【点评】本题考查的是轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.4.【分析】直接利用镜面对称的特点分析得出答案.【解答】解:根据图中所示,镜面对称后,应该为第一个图象.故选:A.【点评】此题考查了镜面反射对称的特点,注意与实际生活结合.5.【分析】直接利用关于y轴对称点的性质分析得出答案.【解答】解:点A的坐标(﹣1,2),点A关于y轴的对称点的坐标为:(1,2).故选:A.【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质,正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.6.【分析】先求出点P到直线x=1的距离,再根据对称性求出对称点P′到直线x=1的距离,从而得到点P′的横坐标,即可得解.【解答】解:∵点P(﹣2,1),∴点P到直线x=1的距离为1﹣(﹣2)=3,∴点P关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为3,∴点P′的横坐标为3+1=4,∴对称点P′的坐标为(4,1).故选:B.【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称,根据轴对称性求出对称点到直线x=1的距离,从而得到横坐标是解题的关键.7.【分析】根据轴对称图形的性质得出符合题意的答案.【解答】解:如下图所示:符合题意的有3个三角形.故选:C.【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的性质是解题关键.8.【分析】直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠2的度数.【解答】解:∵AB∥CD,∴∠1=∠ACD=65°,∵AD=CD,∴∠DCA=∠CAD=65°,∴∠2的度数是:180°﹣65°﹣65°=50°.故选:A.【点评】此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的性质,正确得出∠CAD的度数是解题关键.9.【分析】根据题意,画出相应的图形,利用分类讨论的数学思想可以解答本题.【解答】解:如右图1所示,当点P在线段MN的垂直平分线上时,PM=PN,此时点P,M,N构成等腰三角形;如右图2所示,当MN=MP时,此时点P,M,N构成等腰三角形;∵∠AOB=45°,OM=2,ON=4,∴点N到OB的距离是4×sin45°=22>2,∴不存在NM=NP的情况,故选B.【点评】本题考查等腰三角形的判定,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.10.【分析】根据等边三角形,平行线的性质,和平行四边形的判定,并根据等腰梯形性质求解.【解答】解:延长OD交AC于点G,∵OE∥CG,OG∥CE,∴四边形OGCE是平行四边形,有OE=CG,∠OGF=∠C=60°,∵OF∥AB,∴∠OFG=∠A=60°,∴OF=OG,∴△OGF是等边三角形,∴OF=FG,∵OD∥BC,∴∠ADO=∠B=60°∴梯形OFAD是等腰梯形,有OD=AF,即OD+OE+OF=AF+FG+CG=AC=9.故选:D.【点评】本题考查了等边三角形的性质,关键是利用了:1、等腰三角形的性质和判定:三边相等,三角均为60度,有两角相等且为60度的三角形是等边三角形;2、平行四边形的判定的性质;3、等腰梯形的判定和性质.二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)11.【分析】利用∠2+∠3=90°,进而求出∠2的度数,再利用∠1=∠2即可得出答案.【解答】解:∵由题意可得:∠2+∠3=90°,∠3=30°,∴∠2=60°,∵∠1=∠2,∴∠1=60°.故答案为:60°.【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象,得出∠2的度数是解题关键.【分析】当∠ABC 为锐角时,过点A 作AD=AB ,交BC 于点D ,根据等腰三角形的性质可得出∠ADB=∠ABH=70°、BH=DH ,结合AB +BH=CH 、CH=CD +DH 可得出CD=AB=AD ,由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出∠C 的度数,再根据三角形内角为180°即可求出∠BAC 的度数;当∠ABC 为钝角时,由AB +BH=CH 可得出AB=BC ,利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求出∠BAC 的度数.综上即可得出结论.【解答】解:当∠ABC 为锐角时,过点A 作AD=AB ,交BC 于点D ,如图1所示. ∵AB=AD ,∴∠ADB=∠ABH=70°,BH=DH .∵AB +BH=CH ,CH=CD +DH ,∴CD=AB=AD ,∴∠C=21∠ADB=35°, ∴∠BAC=180°﹣∠ABH ﹣∠C=75°.当∠ABC 为钝角时,如图2所示.∵AB +BH=CH ,∴AB=BC ,∴∠BAC=∠ACB=21∠ABH=35°. 故答案为:75°或35°.【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质,分∠ABC 为锐角及∠ABC 为钝角两种情况考虑是解题的关键.【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空.【解答】解:∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC .又点D 是边BC 的中点,∴∠BAD=21∠BAC=30°. 故答案是:30°.【点评】考查了等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴.14.【分析】连接CD 、AE 、BF ,利用同底等高的三角形面积相等,可得S △ABC =S △BDC =S △CDE =43,同理:S △ABC =S △ACE =S △AEF =a 、S △ABC =S △ABF =S △BDF =43,再利用S △DEF 等于7个三角形面积之和,即可求得第一次操作后所得正三角形面积,同理即可得经过2017次操作后,所得正三角形的面积【解答】解如图,连接AE ,BF ,CD∵等边三角形ABC 的边长为1∴S △ABC=43 ∵AB=BD ,又∵BC=CE ,∴S △BCD =S △CDE ,∴S △ABC =S △BDC =S △CDE =43, 同理:S △ABC =S △ACE =S △AEF =43, S △ABC =S △ABF =S △BDF =43, ∴第一次操作后,S △DEF =7×43, ∴同理,经过2017次操作后,所得正三角形的面积是72017×43, 【点评】本题考查了等边三角形的性质,三角形面积、同底等高的三角形面积相等.关键是作辅助线,构造同底等高的三角形.三.解答题(共9小题,满分90分)15.【分析】连接BD ,根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB ,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.【解答】解:连接BD ,∵E 为AB 的中点,DE ⊥AB 于点E ,∴AD=BD ,∴∠DBA=∠A ,∵∠A=66°,∴∠DBA=66°,∵∠ABC=90°,∴∠DBC=∠ABC ﹣∠ABD=24°∵AD=BC ,∴BD=BC ,∴∠C=2180DBC ∠- =24°.【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.16.【分析】作AD ⊥BC 于D ,根据等腰三角形的三线合一证明.【解答】证明:作AD ⊥BC 于D ,∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=DC ,∴直线AD 是线段BC 的垂直平分线,∴点A 在BC 的垂直平分线上.【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定,掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键.17.【分析】首先利用平移的性质得到△A 1B 1C 1,进而利用关于x 轴对称点的性质得到△A 2B 2C 2,即可得出答案.【解答】解:(1)如图所示:△A 1B 1C 1即为所求:(2)如图所示:△A2B2C2即为所求:【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换,正确掌握变换规律是解题关键.18.【分析】(1)据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点C、D的位置,然后连接CD即可;(2)线段CD上所有点的横坐标都是﹣2;【解答】解:(1)如图线段CD;(2)P(﹣2,y)(﹣1≤y≤3).【点评】考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标.关于y轴的对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变.即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(﹣x,y).19.【分析】根据对称图形关于某直线对称,找出不同的对称轴,画出不同的图形即可.【解答】解:如图,△DEF即为所求.(答案不唯一)【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案,熟知轴对称的性质是解答此题的关键.解题时注意:若两个图形中的对称轴是平行的,则视为一种.20.【分析】(1)作辅助线,构建点D ,根据正比例函数y=2x ,可得D 的坐标(2,4),证明△OPD ∽△QAP ,得AQ 与AP 的关系,设AO=a ,最后利用勾股定理列方程可得结论;(2)(3)同理可得AQ 和AP 的长.【解答】解:过P 作PD ⊥x 轴,交直线y=tx 于D ,连接OQ ,(1)当t=2时,y=PD=2x=4,∵∠BDP +∠DPB=∠DPB +∠APQ=90°,∴∠BDP=∠APQ ,∴△OPD ∽△QAP , ∴2142===AP QA PD OP , ∴AP=2AQ ,设AQ=a ,Rt △AQO 中,OQ=OP=2,由勾股定理得:OQ 2=AQ 2+AO 2, ∴()2222212⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=a a , 5a 2+4a ﹣12=0,a 1=﹣2(舍),a 2=56,∴AO=56;(4分) ②当t=3时,OP=3,PD=9,设AQ=a ,Rt △AQO 中,OQ=OP=3,由勾股定理得:OQ 2=AQ 2+AO 2,()2223313⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=a a , 5a 2+3a ﹣36=0,(a +3)(5a ﹣12)=0,a 1=﹣3(舍),a 2=512, ∴AQ=31AP=31(512+3)=59;(4分) (3)同理OP=t ,PD=t 2,∴△OPD ∽△QAP , ∴tt t AP AQ PD OP 12===, ∴AP=tAQ ,Rt △AQO 中,OQ=OP=t ,由勾股定理得:OQ 2=AQ 2+AO 2,∴()222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=t AP t AP t , AP=1223+t t .(2分)【点评】本题考查点成轴对称问题,考查了正比例函数图象上点的关系、三角形相似的性质和判定、轴对称的性质等知识,解题的关键是求得点D的坐标,学会利用方程解决问题,属于中考常考题型.21.【分析】由∠C=90°结合三角形内角和定理可得出∠CAB+∠B=90°,由∠CAB=∠BDE可得出∠BDE+∠B=90°,进而可得出∠DEB=90°,由∠DAB=∠B可得出DA=DB,再利用等腰三角形的三线合一可证出AE=BE.【解答】证明:∵∠C=90°,∴∠CAB+∠B=90°.∵∠CAB=∠BDE,∴∠BDE+∠B=90°,∴∠DEB=90°.∵∠DAB=∠B,∴DA=DB,∴AE=BE.【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理,牢记等腰三角形的三线合一解题的关键.22.【分析】先利用角平分线得到∠BAD=∠EAD,再有DE∥AB,得到∠BAD=∠ADE,利用等量代换得到∠EAD=∠ADE,根据“等角对等边”即可得到AE=DE.【解答】解:∵AD平分∠BAC交BC于点D,∴∠BAD=∠EAD,∵DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE,∴∠EAD=∠ADE,∴AE=DE.【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质,解决本题的关键是熟记“等角对等边”.23.【分析】(1)只要证明△DEB 是等边三角形,再根据SAS 即可证明;(2)如图,作点E 关于直线AC 对称点E',连接BE'交AC 于点H .则点H 即为符合条件的点.【解答】(1)证明:在Rt △ABC 中,∠BAC=30°,E 为AB 边的中点,∴BC=EA ,∠ABC=60°.∵△DEB 为等边三角形,∴DB=DE ,∠DEB=∠DBE=60°,∴∠DEA=120°,∠DBC=120°,∴∠DEA=∠DBC∴△ADE ≌△CDB .(2)解:如图,作点E 关于直线AC 对称点E',连接BE'交AC 于点H .则点H 即为符合条件的点.由作图可知:EH=HE',AE'=AE ,∠E'AC=∠BAC=30°.∴∠EAE'=60°,∴△EAE'为等边三角形, ∴AB EA E E 21==', ∴∠AE'B=90°,在Rt △ABC 中,∠BAC=30°,3=BC , ∴32=AB ,3=='AE E A , ∴()()33322222=-='-='E A AB E B ,∴BH +EH 的最小值为3.【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.。
【】八年级上册数学:第13章《轴对称》单元测试(含答案)
第十三章轴对称单元测试一、单选题(共10题;共30分)1、下列图形中一定是轴对称图形的是 ()A 、梯形B 、直角三角形C 、角D 、平行四边形4、已知两角及夹边作三角形,所用的基本作图方法是() A 、 作已知角的平分线B 、 作已知线段的垂直平分线C 、过一点作已知直线的高D 、作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段长为( )6、如图,直线I: y=- x+b ,点M (3, 2)关于直线I 的对称点M1落在y 轴上,则b 的值等于()3、点A ( 3,4)关于x 轴对称的点B 的坐标为( )。
A (6,4)B 、(-3,5) C(-3,-4) D 、(3,-4)5、已知等腰三角形的一边长为5,另两边的长是方程 x 2-6x+m=0的两根,则此等腰三角形的周A 、10B 、11C 、10 或 11D 、 11 或12锌话棉序7、把经过点(-1, 1 )和(1, 3 )的直线向右移动2个单位后过点(3, a ),则a 的值为()A 、1B 、2C 、3D 、4&点N (a ,- b )关于y 轴的对称点是坐标是() A 、 (- a , b ) B 、( - a , - b ) C 、( a , b ) D 、( - b , a )9、 若等腰三角形的两边长分别是 3和6,则这个三角形的周长是( )A 12B 、15C 、12 或 15D 、910、 下列几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A 、等腰三角形B 、正三角形C 、平行四边形D 、正方形二、填空题(共8题;共24分)11、 一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形,则该大等腰三角形顶角的度数是12、 已知等腰三角形的一边长等于4cm ,另一边长等于 9cm ,则此三角形的周长为 cm 。
13、 如图,矩形 ABCD 中, AB=2, BC=3对角线AC 的垂直平分线分别交 AD BC 于点E 、F ,连接 CE 贝U CE 的长为 _________14、如图,在厶 ABC 中,AB 的垂直平分线分别交 AB, AC 于D, E 两点,若 AC=9cm BC=5cm 则 △ BCE 的周长为 ________ emoA 、3B 、2C 、1 或 2D 、2 或315、如图,在△ ABC 中,/ BAC=90°, AB=3, AC=4, BC=5, EF 垂直平分 BC,点P 为直线 EF 上的 任一点,则△ ABP 周长的最小值是 ____________ 。
八年级数学第13章《轴对称》测试题(附参考答案)
八年级数学第13章《轴对称》测试题〔附参考答案〕一、填空题1、几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的,再这些对应点,就可得到原图形的轴对称图形;对于一些由直线、•线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些〔如线段端点〕的对应点,连结这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形.2、点M(-2,3)关于直线x=1的对称点M'的坐标为.3、已知点P1(a-1,5)与点P2(2,b+2)关于x 轴对称,则a-b =。
4、已知两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),如果x 1+x 2=0,y 1-y 2=0,那么以A 和B 关于对称。
5、如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90º,D 是BC 边的中点, E 是AB 边上一动点,则EC+ED 的最小值是。
6、如图:点P 为∠AOB 内一点,分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1,P 2,连接P 1P 2交OA 于M ,交OB 于N ,P 1P 2=15,则△PMN 的周长为。
7、如图,Rt △ABC ,∠C =90°,∠B =30°,BC =8,D 为AB 中点,P 为BC 上一动点,连接AP 、DP,则AP +DP 的最小值是 8、如图,∠BAC =30°,P 是∠BAC 平分线上一点,PM ∥AC ,PD ⊥AC ,PD =30 , 则AM =9、如图,AB =AC ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,∠BAC =120o ,BC =6,则DE +DF =10、点(x ,y)关于x 轴对称的点的坐标为,即横坐标相等,纵坐标互为相反数;点(x ,y)关于y 轴对称的点的坐标为,即横坐标互为相反数,纵坐标相等.利用点关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律,我们可以很容易地在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x 轴、y 轴对称的图形.11、〔1〕在图3所示编号为①、②、③、④的四个三角形中,关于y 轴对称的两个三角形的编号为;关于坐标原点O 对称的两个三角形的编号为;〔(4)(3)(2)(1)yx -1-2-4-3-1-2-4-5-31243512435O y x-1-2-4-3-1-2-4-5-31243512435BAOD ECBAP 2P 1N MOPB AMDP B CA(B)〔B图 1DCB A 折叠2〕在图4中,画出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1二、选择题:1、右边图形中,是轴对称图形的有〔 〕 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个2、下列图形中,为轴对称图形的是〔 〕3、如图1,将矩形沿对称轴折叠,在对称轴处剪下一块,余下部分的展开图为 ( )4、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是〔〕.A .75°或15°B .75°C .15°D .75°和30°5、将一矩形纸片按如图方式折叠,BC 、BD 为折痕,折叠后B E B A ''与与在同一条直线上,则∠CBD 的度数〔 〕A. 大于90°B.等于90°C. 小于90°D.不能确定6、在直角坐标系中,A 〔1,2〕点的横坐标乘以-1,纵坐标不变,得到A ’点,则A 与A ′的关系是〔 〕A 、关于x 轴对称B 、关于y 轴对称C 、关于原点对称D 、将A 点向x 轴负方向平移一个单位7、如图,在矩形ABCD 中,68AB BC ==,,若将矩形折叠,使B 点与D 点重合,则折痕EF 的长为〔 〕A .152B .154C .5D .6(A)(C)x(D)EF8、下列说法正确的是〔 〕.A .轴对称涉与两个图形,轴对称图形涉与一个图形B .如果两条线段互相垂直平分,那么这两条线段互为对称轴C .所有直角三角形都不是轴对称图形D .有两个内角相等的三角形不是轴对称图形 9、下列图形中对称轴最多的是( ) .A .等腰三角形B .正方形C .圆D .线段10、若等腰三角形的周长为26cm ,一边为11cm ,则腰长为〔〕.A .11cmB .7.5cmC .11cm 或7.5cmD .以上都不对11、如图:DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10厘米,则△EBC 的周长为〔〕厘米.A .16B .18C .26D .28 三、求证题1、某班举行文艺晚会,桌子摆成两直条〔如图中的AO ,BO 〕,AO 桌面上摆满了桔子,OB 桌面上摆满了糖果,坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?〔尺规作图,并写出作法〕2、如图5,AC 、BC 是两条交叉的街道,P 为邮局,现在要在AC ,BC 街上各安装一个邮筒,使得邮递员从邮局出发,先去AC 街取信件,再到BC 街取信件后,最后回到邮局P 所走的路径最短,试确定安装的地点.·PCAE DCBABCA3、某地有两所大学和两条相交叉的公路,如图12-32所示〔点M ,N 表示大学,AO ,BO 表示公路〕.现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离也相等.〔1〕你能确定仓库应该建在什么位置吗?在所给的图形中画出你的设计方案;〔2〕阐述你设计的理由.4、一面镜子MN 竖直悬挂在墙壁上,人眼O 的位置.如图所示,•有三个物体A 、B 、C 放在镜子前面,人眼能从镜子看见哪个物体?5、已知:如图,已知△ABC ,〔1〕分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2 ; 〔2〕写出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2各顶点坐标; 〔3〕求△ABC 的面积.ADEF BCF6、如图,已知点M 、N 和∠AOB ,求作一点P ,使P 到点M 、N 的距离相等,•且到∠AOB 的两边的距离相等.7、已知:△ABC 中,∠B 、∠C 的角平分线相交于点D ,过D 作EF//BC 交AB 于点E ,交AC 于点F .求证:BE+CF=EF .8、在ABC △中,120AB AC A =∠=︒,,AB 的垂直平分线交BC 于点D ,交AB 于点E .如果1DE =,求BC 的长9、如图,已知:在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交AB 于E ,交BC 于F. 求证:CF =2BF.OEDCBA10如图,点P 是等边△ABC 内一点,点P 到三边的距离分别为PE 、PF 、PG ,等边△ABC 的高为AD ,求证:PE +PF +PG =AD11、如图,等边三角形ABC 中,D 是AC 的中点,E 为BC 延长线上一点,且CE =CD ,DM ⊥BC ,垂足为M 。
人教版八年级数学上册第13章《轴对称》单元练习题(含答案)
人教版八年级数学上册第13章《轴对称》单元练习题(含答案)一、单选题1.下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是( )A .B .C .D . 2.在平面直角坐标系中,点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为( )A .(3,2)-B .(2,3)-C .(2,3)-D .(3,2)-3.下列黑体字中,属于轴对称图形的是( )A .善B .勤C .健D .朴4.如图,在已知的ABC 中,按以下步骤作图:①分别以B ,C 为圆心,以大于12BC 的长为半径作弧,两弧相交于两点M ,N ; ②作直线MN 交AB 于点D ,连接CD .若4AC =,10AB =,则ACD 的周长为( )A .8B .9C .10D .145.图1是光的反射规律示意图.其中,PO 是入射光线,OQ 是反射光线,法线KO ⊥MN ,∠POK 是入射角,∠KOQ 是反射角,∠KOQ =∠POK .图2中,光线自点P 射入,经镜面EF 反射后经过的点是( )A .A 点B .B 点C .C 点D .D 点6.如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D ,C 分别落在D ′,C ′的位置.若∠AED '=50°,则∠EFC 等于( )A .65°B .110°C .115°D .130°7.如图,在ABC 中,分别以点B 和点C 为圆心,大于12BC 长为半径画弧,两弧相交于点M ,N .作直线MN ,交AC 于点D ,交BC 于点E ,连接BD .若7AB =,12AC =,6BC =,则ABD △的周长为( )A .25B .22C .19D .188.如图,在ABC 中,AB AC =,40A ︒∠=,//CD AB ,则BCD ∠=( )A .40︒B .50︒C .60︒D .70︒9.如图是A ,B ,C 三岛的平面图,C 岛在A 岛的北偏东35度方向,B 岛在A 岛的北偏东80度方向,C 岛在B 岛的北偏西55度方向,则A ,B ,C 三岛组成一个( )A .等腰直角三角形B .等腰三角形C .直角三角形D .等边三角形10.如图,在等边ABC 中,BC 边上的高6AD =,E 是高AD 上的一个动点,F 是边AB 的中点,在点E 运动的过程中,EB EF +存在最小值,则这个最小值是( )A .5B .6C .7D .811.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,∠BAF =∠CAG =90°,AB =AF ,AC =AG ,连接FG ,交DA 的延长线于点E ,连接BG ,CF , 则下列结论:①BG =CF ;②BG ⊥CF ;③∠EAF =∠ABC ;④EF =EG ,其中正确的有( )A .①②③B .①②④C .①③④D .①②③④ 12.如图,在ABC 中,45,ABC AD BE ∠=︒,分别为,BC AC 边上的高,,AD BE 相交于点F ,连接CF ,则下列结论:①BF AC =;②FCD DAC ∠=∠;③CF AB ⊥;④若2BF EC =,则FDC △周长等于AB 的长.其中正确的有( )A .①②B .①③④C .①③D .②③④二、填空题13.已知△ABC 是等腰三角形.若∠A =40°,则△ABC 的顶角度数是____.14.如图,,AC BD 在AB 的同侧,2,8,8AC BD AB ===,点M 为AB 的中点,若120CMD ∠=,则CD 的最大值是_____.15.如图,△ABC 的边CB 关于CA 的对称线段是CB ',边CA 关于CB 的对称线段是CA ',连结BB ',若点A '落在BB '所在的直线上,∠ABB '=56°,则∠ACB =___度.16.如图,在ABC 中,BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F .若AFC △是等边三角形,则B ∠=_________°.17.如图,在等边△ABC 中,点E 是边AC 上一点,AD 为BC 边上的中线,AD 、BE 相交于点F ,若∠AEB =100°,则∠AFB 的度数为_____.18.如图,在Rt ABC 中,90C ∠=︒,20B ∠=︒,PQ 垂直平分AB ,垂足为Q ,交BC 于点P .按以下步骤作图:①以点A 为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交边,AC AB 于点D ,E ;②分别以点D ,E 为圆心,以大于12DE 的长为半径作弧,两弧相交于点F ;⑤作射线AF .若AF 与PQ 的夹角为α,则α=________°.三、解答题19.已知ABC 的三边长分别为a ,b ,c .(1)若2a =,3b =,求c 的取值范围;(2)在(1)的条件下,若c 为奇数,试判断ABC 的形状,并说明理由.20.如图,在ABC 和ADE 中,AB AC =,AD AE =,90BAC DAE ∠=∠=︒.(1)当点D 在AC 上时,如图①,线段BD ,CE 有怎样的数量关系和位置关系?请证明你的猜想;(2)将图①中的ADE 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<<︒,如图②,线段BD ,CE 有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.(3)拓展应用:已知等边ABC 和等边ADE 如图③所示,求线段BD 的延长线和线段CE 所夹锐角的度数.21.如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,E 为CD 的中点,连接AE 、BE ,BE AE ⊥,延长AE 交BC 的延长线于点F .(1)请判断FC 与AD 的数量关系,并说明理由;(2)若AB =6,AD =2,求BC 的长度.22.已知△ABC 和△DEF 为等腰三角形,AB =AC ,DE =DF ,∠BAC =∠EDF ,点E 在AB 上,点F 在射线AC 上.(1)如图1,若∠BAC =60°,点F 与点C 重合,求证:AF =AE +AD ;(2)如图2,若AD =AB ,求证:AF =AE +BC .23.(1)如图1,在等边三角形ABC 中,AD ⊥BC 于D ,CE ⊥AB 于E ,AD 与CE 相交于点O .求证:OA =2DO ;(2)如图2,若点G 是线段AD 上一点,CG 平分∠BCE ,∠BGF =60°,GF 交CE 所在直线于点F .求证:GB =GF .(3)如图3,若点G 是线段OA 上一点(不与点O 重合),连接BG ,在BG 下方作∠BGF =60°边GF 交CE 所在直线于点F .猜想:OG 、OF 、OA 三条线段之间的数量关系,并证明.24.如图,在ABC 中,AD BC ⊥,AD BD =;点F 在AD 上,DF DC =.连接BF 并延长交AC 于E .(1)求证:BF AC =;(2)求证:BE AC ⊥;(3)若AB BC =,BF 与AE 有什么数量关系?请说明理由.25.如图,在Rt ABC 中,9030C A ∠=︒∠=︒,.点D 是AB 中点,点E 为边AC 上一点,连接CD DE ,,以DE 为边在DE 的左侧作等边三角形DEF ,连接BF .△的形状为______;(1)BCD(2)随着点E位置的变化,DBF∠的度数是否变化?并结合图说明你的理由;AC=,请直接写出DE的长.(3)当点F落在边AC上时,若626.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:△ABE≌△CBF;(2)若∠CAE=30°,求∠ACF度数.27.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D,E.(1)求证:AE=2CE;(2)连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.28.已知,如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P.(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)求∠BPQ的度数;(3)若BQ⊥AD于Q,PQ=6,PE=2,求AD的长。
八年级数学上册《第十三章轴对称》单元试题(人教版含答案)
第十三章《轴对称》单元练习题一、选择题1.如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行,则这个三角形一定是()A.锐角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=70°,顶点B在直线DE上,且DE∥AC,则∠CBE等于()A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°3.若A(2a﹣b,a+b)关于y轴对称点是A1(3,﹣3),则P(a,b)关于x轴对称点P1的坐标是()A.(﹣2,﹣1)B.(2,﹣1)C.(﹣2,1)D.(2,1)4.如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AC于D,则△BCD的周长为()A. 13B. 15C. 18D. 215.如图,等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上的一点,当PA=CQ 时,连接PQ交AC于点D,下列结论中不一定正确的是()A.PD=DQB.DE=ACC.AE=CQD.PQ⊥AB6.已知a,b,c是三角形的三边长,如果满足(a﹣b)2++|c2﹣64|=0,则三角形的形状是()A.底和腰不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形7.以下列各组数据为边长,可以构成等腰三角形的是()A. 2,3,4B. 5,5,10C. 2,2,1D. 1,2,38.要使得△ABC是等腰三角形,则需要满足下列条件中的()A.∠A=50°,∠B=60°B.∠A=50°,∠B=100°C.∠A+∠B=90°D.∠A+∠B=90°二、填空题(9.如图,等边△ABC周长是12,AD是∠BAC的平分线,则BD=.10.如图的4×4的正方形网格中,有A、B、C、D四点,直线a上求一点P,使PA+PB最短,则点P应选点(C或D).11.在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,若三角形ABC 的边长为1,AE=2,则CD的长为.12.如图,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,则∠C′的度数为.13.如图,在△ABC中,D为AB上的一点,且DE垂直平分AC,∠B=115°,且∠ACD:∠BCD=5:3,则∠ACB=__________度.14.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=8,AD平分∠BAC,则BD=____________.15.如图,△ABC是等边三角形,则∠ABD=度.16.如图将边长为5cm的等边△ABC,沿BC向右平移3cm,得到△DEF,DE交AC于M,则△MEC是三角形,DM=cm.三、解答题17.如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,延长BC到E,使得CE=CD.求证:BD=DE.18.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和点M.(1)在给出图上画出一个格点△MB1C1,并使它与△ABC全等且A与M是对应点;(2)画出点B关于直线AC的对称点D.19.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(2,3),B(3,1),C(-2,-2).(1)请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′(A,B,C的对称点分别是A′,B′,C′),并直接写出A′,B′,C′的坐标.(2)求△A′B′C′的面积.20.如图,已知五边形ABCDE是轴对称图形,点B,E是一对对称点,请用无刻度的直尺画出该图形的对称轴.(保留作图痕迹,不要求写作法)21.在△ABC中,AB=AC,AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分,求三角形的三边长.第十三章《轴对称》单元练习题答案解析1.【答案】B【解析】可依据题意线作出简单的图形,结合图形可得∠B=∠A,进而可得其为等腰三角形.解:如图,DC平分∠ACE,且AB∥CD,∴∠ACD=∠DCE,∠A=∠ACD,∠B=∠DCE∴∠B=∠A,∴△ABC为等腰三角形.故选B2.【答案】C【解析】由已知AB=AC,∠ABC=70°,根据等腰三角形的性质,得出∠C的度数,再利用DE∥AC,可得∠CBE=70°,答案可得.解:∵AB=AC(已知),∴∠C=∠ABC=70°(等边对等角),又∵DE∥AC(已知),∴∠CBE=∠C=70°(两直线平行,内错角相等)故选C.3.【答案】C【解析】根据关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数,可得方程组,根据解方程组,可得P点坐标,根据关于关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,可得答案.解:由A(2a﹣b,a+b)关于y轴对称点是A1(3,﹣3),得2a-b=-3,a+b=-3,所以a=-2,b=-1,∴P(﹣2,﹣1).P(a,b)关于x轴对称点P1的坐标是(﹣2,1),故选:C.4.【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD,进而得出△BCD的周长为:CD+BD+BC=AC+BC求出即可.解:∵AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AC于D,∴AD=BD,∴△BCD的周长为:CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13.故选A.5.【答案】D【解析】过P作PF∥CQ交AC于F,∴∠FPD=∠Q,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ACB=60°,∴∠A=∠AFP=60°,∴AP=PF,∵PA=CQ,∴PF=CQ,在△PFD与△DCQ中,∠FPD=∠Q,∠FDE=∠CDQ,PF=CQ∴△PFD≌△QCD,∴PD=DQ,DF=CE,∴A选项正确,∵AE=EF,∴DE=AC,∴B选项正确,∵PE⊥AC,∠A=60°,∴AE=AP=CQ,∴C选项正确,故选D.6.【答案】B【解析】首先根据绝对值,平方数与算术平方根的非负性,求出a,b,c的值,再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形.解:由(a﹣b)2++|c2﹣64|=0得:a﹣b=0,b﹣8=0,c2﹣64=0,又a,b,c是三角形的三边长,∴a=8,b=8,c=8,所以三角形的形状是等边三角形,故选:B.7.【答案】C【解析】根据三角形的三边关系对以下选项进行一一分析、判断.解:A.∵2≠3≠4,∴本组数据不可以构成等腰三角形;故本选项错误;B.∵5+5=10,∴本组数据不可以构成三角形;故本选项错误;C.∵1+2>2,∴本组数据可以构成等腰三角形;故本选项正确;D.∵1+2=3,∴本组数据不可以构成三角形;故本选项错误.故选C.8.【答案】D【解析】等腰三角形有两个底角相等,根据三角形的内角和是180°,进行判断即可.解:A、若∠A是顶角时,则50°+120°<180°,所以此种情况组不成等腰三角形;若∠B是顶角时,在50°+50°+160°<180°,所以此种情况组不成等腰三角形;总之,本组数据不能使得△ABC是等腰三角形;故本选项错误;B、若∠A是顶角时,则50°+200°>180°,所以此种情况组不成等腰三角形;若∠B是顶角时,在100°+100°>180°,所以此种情况组不成等腰三角形;总之,本组数据不能使得△ABC是等腰三角形;故本选项错误;C、当∠A+∠B=90°时,∠C=90°;但∠A=10°,∠B=80°时,三角形ABC的三个内角没有那两个相等,所以构不成等腰三角形;故本选项错误;D、当∠B是顶角时,则2∠A+∠B=180°,∴∠A+∠B=90°;故本选项正确;故选D.9.【答案】2【解析】根据等边三角形的性质求得BD=CD,并且求得边BC的长度,进而即可求得BD的长.解:∵△ABC是等边三角形,AD是∠BAC的平分线,∴AB=BC=CA,BD=CD,∵等边△ABC周长是12,∴BC=4,∴BD=2.故答案为2.10.【答案】C【解析】首先求得点A关于直线a的对称点A′,连接A′B,即可求得答案.解:如图,点A′是点A关于直线a的对称点,连接A′B,则A′B与直线a的交点,即为点P,此时PA+PB最短,∵A′B与直线a交于点C,∴点P应选C点.故答案为:C.11.【答案】1或3【解析】当E在线段BA的延长线上,D在线段BC的延长线上时,如图1所示,过E作EF⊥BD,垂足为F点,由EC=ED,利用三线合一得到F为CD的中点,再由三角形ABC为等边三角形,利用等边三角形的性质得到∠ABC=60°,可得出∠BEF=30°,利用30°所对的直角边等于斜边的一半,根据EB的长求出BF的长,由BF﹣BC求出CF的长,即可得到CD的长;当E在线段AB的延长线上,D在线段CB的延长线上时,如图2所示,过E作EF⊥BD,垂足为F点,由EC=ED,利用三线合一得到F为CD的中点,再由三角形ABC为等边三角形,利用等边三角形的性质得到∠ABC=∠EBF=60°,可得出∠BEF=30°,利用30°所对的直角边等于斜边的一半,根据EB的长求出BF的长,由BF+BC求出CF的长,即可得到CD的长.解:当E在线段BA的延长线上,D在线段BC的延长线上时,如图1所示,过E作EF⊥BD,垂足为F点,可得∠EFB=90°,∵EC=ED,∴F为CD的中点,即CF=DF=12CD,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°,∴∠BEF=30°,∵BE=AB+AE=1+2=3,∴FB=12EB=32,∴CF=FB﹣BC=12,则CD=2CF=1;当E在线段AB的延长线上,D在线段CB的延长线上时,如图2所示,过E作EF⊥BD,垂足为F点,可得∠EFC=90°,∵EC=ED,∴F为CD的中点,即CF=DF=12CD,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠EBF=60°,∴∠BEF=30°,∵BE=AE﹣AB=2﹣1=1,∴FB=12BE=12,∴CF=BC+FB=32,则CD=2CF=3,综上,CD的值为1或3.故答案为:1或3.12.【答案】20°【解析】根据轴对称的性质求出∠A′,再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解.解:∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,∴∠A′=∠A=50°,在△A′B′C′中,∠C′=180°﹣∠A′﹣∠B′=180°﹣50°﹣110°=20°.故答案为:20°.13.【答案】40【解析】根据垂直平分线的性质与三角形的全等可以得出∠A=∠ACD,再根据三角形的内角和和角的比计算.解:∵DE垂直平分AC,∴EA=EC,AD=CD,∠ADE=∠CDE=90°∴Rt△ADE≌Rt△CDE∴∠A=∠ACD又∵∠ACD:∠BCD=5:3,∴∠ACD:∠ACB=5:8∴∠A:∠ACB=5:8又∵∠B=115°∴∠A+∠ACB=65°∴∠ACB=(65×8)÷13=40°.14.【答案】4【解析】根据三线合一定理即可求解.解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴BD=BC=4.故答案是:4.15.【答案】120【解析】根据△ABC是等边三角形,得出∠ABC的度数,进而求出∠ABD的度数即可.解:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,则∠ABD=120°.故答案为:120.16.【答案】等边 3【解析】本题考查平移的性质,经过平移,对应线段平行(或共线)且相等,对应角相等,对应点所连接的线段平行且相等.解:∵AB∥DE,∴∠MEC=∠B,∠CME=∠A,∵△ABC是等边三角形,∴∠MEC=∠EMC=∠ACB,∴△MEC是等边三角形,沿BC向右平移3cm,∴BE=3cm,EC=2cm,∴DM=DE﹣EM=5﹣2=3cm.17.【答案】证明:∵△ABC是等边三角形,BD是中线,∴∠ABC=∠ACB=60°.∠DBC=30°(等腰三角形三线合一).又∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.又∵∠BCD=∠CDE+∠CED,∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°.∴∠DBC=∠DEC.∴DB=DE(等角对等边).【解析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°,再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED,根据等角对等边即可得到DB=DE.18.【答案】解:(1)△MB1C1即为所求;(2)如图所示,点D即为所求点.【解析】(1)把△ABC向右平移,使点A与点M重合即可;(2)画出点B关于直线AC的对称点D即可.19.【答案】解:(1)如图:(2)△A′B′C′的面积=5×5-×5×3-=6.5.【解析】(1)分别作出点A,B,C的对称点A′,B′,C′,然后顺次连接各点即可,根据图形然后直接写出A′,B′,C′的坐标;(2)利用图形的面积的和差关系可计算出△A′B′C′的面积.20.【答案】如图所示,直线AK即为所求的一条对称轴(解答不唯一).【解析】方法不唯一,至少可以有以上两种方法.如左图所示,因为五边形ABCDE是轴对称图形,点B,E是一对对称点,则C,D为一对对称点,故连接BD,CE,可以利用三角形全等说明K即为所求.第二幅图,因为五边形ABCDE是轴对称图形,点B,E是一对对称点,故延长BC,延长ED,则两线的交点必然为对称轴上一点,故连接AK即可.21.【答案】解:设三角形的腰AB=AC=x cm若AB+AD=24cm,则:x+x=24∴x=16三角形的周长为24+30=54(cm)所以三边长分别为16cm,16cm,22cm;若AB+AD=30cm,则:x+x=30∴x=20∵三角形的周长为24+30=54(cm)∴三边长分别为20cm,20cm,14cm;因此,三角形的三边长为16cm,16cm,22cm或20cm,20cm,14cm.【解析】两种情况讨论:当AB+AD=30 cm,BC+DC=24 cm或AB+AD=24 cm,BC+DC=30 cm,所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得,三边长为16cm,16cm,22cm或20cm,20cm,14cm.。
人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷(附带答案)
人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、单选题 1.如图,ABC 与A B C '''关于直线l 对称,若78A ∠=︒,48C '∠=︒则B ∠的度数为( )A .48︒B .54︒C .74︒D .78︒2.如图,ABC 中36A ∠=︒,AB=AC , BD 平分ABC ∠, DE BC ∥则图中等腰三角形有( )个A .4个B .5个C .6个D .7个3.如图,在ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ,交AB 于点E ,下列结论错误的是( )A .DB 平分CDE ∠ B .DE 平分ADB ∠C .AD BD BC == D .BD 平分ABC ∠ 4.已知ABC 中6BC AB =,、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点M 、N ,若2MN =,则AMN 的周长是( )A .4B .6C .4或8D .6或105.如图AB AC BD CD ==,,若70B ∠=︒,则DAC ∠=( )A .15︒B .20︒C .25︒D .30︒6.若点A 和点B ()2,3-关于y 轴对称,则点A 与点B 的距离为( )A .4B .5C .6D .107.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20︒,则它的底角为( ) A .35︒ B .55︒ C .55︒或35︒ D .70︒或35︒ 8.下列说法错误的有( )个①三角形的高不在三角形内就在三角形外;①多边形的内角和必小于它的外角和; ①周长和面积相等的两个三角形全等;①周长相等的两个等边三角形全等; ①两边和一角分别对应相等的两个三角形全等;①等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个等腰三角形的底A .2个B .3个C .4个D .5个二、填空题9.在ABC 中,AB=AC ,=60B ∠︒则A ∠的度数是 .10.在ABC 中,AB=AC ,DE 垂直平分AB ,若10cm 6cm AB AC BC ===,,则BCE 的周长是 .11.如图,在ABC 中90ACB ∠=︒与30B ∠=︒,CD 是AB 边上的中线,则ACD 是 三角形.12.如图ABC 中,AB AC DE AB D =⊥,,是AB 的中点,DE 交AC 于E 点,连接10BE BC =,,BEC 的周长是21,那么AB 的长是 .13.如图,ABC 中70C ∠=︒,AC 边上有一点D ,使得A ABD ∠=∠,将ABC 沿BD 翻折得A BD ',此时∥A D BC ',则ABC ∠= 度.14.点()1,5P -关于x 轴的对称点P '的坐标是 .15.把一张长方形纸条按如图所示的方式折叠,则1∠= .16.如图,Rt ABC △中,906810ACB AC BC AB BD ∠=︒===,,,,平分①ABC ,如果点M ,N 分别为BD BC ,上的动点,那么CM MN +的最小值是 .三、解答题17.如图,ABC 是等边三角形,BD 是中线,延长BC 至E ,使CE CD =,连接DE .求证:DB DE =.18.如图,在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题.(1)画出格点ABC (顶点均在格点上)关于直线l 对称的111A B C △;(2)在直线l 上画出点P ,使得PB PC +最短;19.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9和12两部分,请你画出示意图,并结合图形,求这个等腰三角形的各边长20.如图,在直角坐标系中,ABC 的三个顶点坐标分别为()()()144235A B C ,,,,,,请回答下列问题.(1)作ABC 的关于y 轴的对称图形, A 、B 、C 对应点坐标分别为A B C '''、、.(2)分别写出A B C '''的坐标:A ' ;B ' ;C ' ;(3)求ABC 的面积.21.如图,BA AF ⊥于点A ,ED DC ⊥于点D ,点E 、F 在线段BC 上,DE 与AF 交于点O ,且AB DC =,BE=CF .(1)求证:AF DE =;(2)若OP 平分EOF ∠,求证:OP 垂直平分EF .22.在ABC 中,AB 边的垂直平分线1l 交BC 于D ,AC 边的垂直平分线2l 交BC 于E ,1l 与2l 相交于点O .ADE 的周长为12cm =110BAC ∠︒(1)求BC 的长和DAE ∠的度数;(2)分别连接OA 、OB 、OC ,若OBC △的周长为29cm ,求OA 的长.23.如图,在ABC 中,AB AC AB =,的垂直平分线交AB 于M ,交AC 于N(1)若70ABC ∠=︒,求MNA ∠的度数.(2)连接NB ,若8AB cm BC =,的长6cm ,求NBC 的周长.24.如图,在等腰ABC 中CA CB =,点D 是AB 边上一点,连接DC ,且DA DC =.(1)如图1,CH AB ⊥若78ACB ∠=︒,求HCD ∠的度数.(2)如图2,若点E 在BC 边上且DE DB =,连接AE .点M 为线段CE 的中点,过M 点作MN DE ∥交AB 于点N ,求证:CD BN DN =+.第 1 页 共 7 页 参考答案: 1.B2.B3.A4.D5.B6.A7.C8.C9.60度10.16cm11.等边12.1113.82.514.()1,5--15.65︒16.4.819.这个等腰三角形的底为9或5,这个等腰三角形的腰为6或820. (2)()()()144235-,,-,,-,(3)7222.(1)12cm BC = 40︒(2)8.5cm OA =23.(1)50︒(2)14cm24.(1)12︒。
人教版八年级数学上测第十三章《轴对称》检测题(含答案)
人教版八年级数学上测第十三章《轴对称》检测题(含答案)一、选择题(每小题3分,共30分)1. 现实世界中,对称现象无处不在,下列汉字是轴对称图形的是()A. 爱B. 我C. 中D. 华【答案】C.2.点M(1,2)关于x轴对称点的坐标为()A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(2,-1)【答案】C.3. 如图,△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°【答案】B.4.下列每个网格中均有两个图形,其中一个图形可由另一个轴对称变换得到的是()A. B. C. D.【答案】B.5. 如图,∠MON内有一点P,点P关于OM、ON的对称点分别是G、H,连GH分别交OM、ON于A、B点,若GH=10cm,则△P AB的周长为()A. 5cmB.10cmC. 20cmD.15cm【答案】B. 提示:根据对称性,AG=AP,BH=GP,∴AP+AB+BP=AG+AB+BH=GH=10.6.等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是()A. 55° ,55°B. 70°,40或70°,55°C.70°,40°D. 55°,55°或70°,40°【答案】D.7. 如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△CDE,连接AE交CD于点F,则∠DF A的度数为()A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°【答案】D. 提示:∠ADE=90°+60°=150°,∠DAF=∠DEA=15°,则∠DF A=75°.8. 如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=36cm2,AB=18cm,BC=12cm,则DE的长度为()A. 5cmB. 5.4cmC. 2.4cmD. 3cm【答案】C. 提示:作DF⊥BC于F,∵BD平分∠ABC,故设DE=DF=h,由S△ABD+S△CBD=S△ABC,得:12(AB+BC)h=36,代入数值,解得h=2.4,故选C.9. 如图,在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=()A.2ba+B.2ba-C. a-b D. b-a【答案】C. 提示:AD=BD=BC=b,CD=AC-AD=a-b.10. 如图OE是等边△AOB的中线,OB=4,C是直线OE上一动点,以AC为边在直线AC下方作等边△ACD,连接ED,下列说法正确的是()A. ED的最小值是2B. ED的最小值是1C. ED有最大值D. ED没有最大值也没有最小值【答案】B. 提示:连BD,则易得△AOC≌△ABD(SAS),∴∠ABD=∠AOC=30°,当∠BDE=90°时,ED最小,此时ED=12BE=1,故选B.二、填空题(每小题3分,共18分)11. 点P(m,n)和点Q(n-1,2m)关于x轴对称,则m+n的值为__________.【答案】13. 提示:m=n-1,2m+n=0,联立解得m=-13,n=23,∴m+n=13.12. 如图,在△ABC中,∠C=90°,DE是AB的垂直平分线,AD恰好平分∠BAC,若DE=1,则BC的长是__________.【答案】3. 提示:由条件得AD=BD,∠CAD=∠BAD,∴∠CAD=∠BAD=∠B=30°,CD=DE=1,BD=2DE=2,∴BC=CD+BD=3.13. 如图,在△ABC中,DE垂直平分AC,若AE=3,△ABD周长为13,则△ABC周长为________.【答案】19. 提示:由题知AC=2AE=6,AD=CD,∴BC=BD+AD,∵AB+BD+AD=13,∴AB+BC=13,∴AB+BC+AC=13+6=19.14. 如图,一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的力向被击出(球可以经过多次反射),那么该球最后将落入的球袋是________.【答案】1号袋. 提示:如图所示.15. 如图,在△ABC中,∠C=46°,将△ABC沿直线l折叠,点C落在点D的位置,则∠1-∠2的度数是___________ .【答案】92°. 提示:由飞镖模型,∠DNC=∠C+∠D+∠DMC,即:180°-∠2=46°+46°+(180°-∠1),∴∠1-∠2=92°.16 .已知A(1,2)、B(7,4),点M、N是x轴上的动点(M在N左边),MN=3,当AM+MN+NB最小时,直接写出点M的坐标为___________.【答案】(2,0). 提示:作点A关于x轴的对称点A′,将点B向左平移3个单位得点B′,连接A′B′,交x轴于点M.三、解答题(共8小题,共72分)17. (8分)如图,已知点M、N和∠AOB,用尺规作图作一点P,使P到点M、N的距离相等,且到∠AOB两边的距离相等.(保留作图痕迹,不写作法)【答案】1.作∠AOB的平分线OC;2.连MN,作MN的垂直平分线EF;则射线OC与直线EF的交点P即为所求.18. (8分)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线,E、G分别为垂足.(1)直接写出∠BAC的度数;(2)求∠DAF的度数;(3)若△DAF的周长为20,求BC的长.【答案】(1)∠BAC=100°;(2)∵DE、FG分别垂直平分AB、AC,∴AD=BD,AF=CF,∴∠BAD=∠B=30°,∠CAF=∠C=50°,∴∠DAF=∠BAC-∠BAD-∠CAF=100°-30°-50°=20°;(3) ∵△DAF的周长为20,∴AD+DF+AF=20,∴BC=BD+DF+CF=AD+DF+AF=20.19. (8分)(1)如图,已知△ABC,请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'(其中A'、B'、C'分别是A、B、C的对应点);(2)直接写出点A'、B'、C'点的坐标;(3)求△ABC的面积是多少?(4)用无刻度的直尺在y轴上找一点Q,使得QA+QB之和最小.(用虚线表示画图过程)【答案】(1) A'(2,3)、B'(3,1)、C'(-1,-2);(2)S△ABC=5×4-12×1×2-12×3×4-12×3×5=5.5;(3) 连接A′B(或AB′)交y轴于Q,即可.20. (8分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,请添加一个条件,使DE=DF,并说明理由.【答案】添加的条件是:D为BC的中点. 理由如下:方法1:连接AD.∵AB=AC,D为BC中点,∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.方法2:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵D为BC中点,∴BD=CD.在△BDE与△CDF中,∵∠B=∠C,∠BED=∠CFD=90°,BD=CD,∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF.21. (8分)如图,△ABC 是等边三角形,点D 在BC 延长线上,DE ⊥AB 于点E ,交AC 于G ,EF ⊥BC 于点F ,若CD =3AE ,CF =6,求AC 的长. 【答案】设AE =x ,则CD =3x .在等边△ABC 中,∠A =∠B =∠ACB =60°, 又DE ⊥AB ,∴∠D =∠AGE =∠CGD =30°. ∴AG =2AE =2x ,CG =CD =3x , ∴AB =BC =AC =2x +3x =5x . 则BE =5x -x =4x ,又∵EF ⊥BC ,∠B =60°,∴BF =12BE =2x ,∴BC =BF +CF =2x +6.∵BC =AC ,∴2x +6=5x ,∴x =2. ∴AC =5x =10.22. (10分)如图,在△ABC 中,∠ABC =∠ACB ,E 为BC 边上一点,以E 为顶点作∠AEF ,∠AEF 的边交AC 于点F ,使∠AEF =∠B . (1)如果∠ABC =40°,则∠BAC =________; (2)判断∠BAE 与∠CEF 的大小关系,并说明理由;(3)当△AEF 为直角三角形时,求∠AEF 与∠BAE 的数量关系.【答案】(1)100°; …………… 2分 (2)∠BAE =∠CEF ,理由如下: ∵∠AEC 是△ABE 的外角, ∴∠AEF +∠CEF =∠B +∠BAE . 又∵∠AEF =∠B ,∴∠CEF =∠BAE . …………… 5分(3)由(2),设∠CEF =∠BAE =α,设∠AEF =∠B =∠C =β.则∠AFE =∠CEF +∠C =α+β.∵∠AEF =∠B <90°,故分两种情况考虑:1°当∠EAF 为直角时,如图1,由∠AEF +∠AFE =90°,CBAFECBA备用图1CBA备用图2得β+(α+β)=90°,∴α+2β=90°,故有:∠BAE+2∠AEF=90°.2°当∠AFE为直角时,如图2,得α+β=90°,即:∠BAE+∠AEF=90°.综上,当△AEF为直角三角形时,∠BAE+2∠AEF=90°或∠BAE+∠AEF=90°. …………… 10分23. (10分)已知Rt△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°,点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合),以AD为边在AD的右侧作Rt△ADE,AD=AE,∠ADE=∠AED =45°,连接CE.(1)〖发现问题〗如图1,当点D在边BC上时,①请写出BD和CE之间的数量关系为_____________,位置关系为____________;②求证:CE+CD=BC;(2)尝试探究:如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,(1)中BC、CE、CD 之间存在的数量关系是否成立? 若成立,请证明;若不成立,请写出新的数量关系(不必证明);(3)拓展延伸:如图3,当点D在CB的延长线上且其他条件不变时,若BC=6,CE=2,求线段CD的长.【答案】(1)①BD=CE,BD⊥CE,…………… 2分②由条件得∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE.又∵AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE,∠ACE=∠ABD=45°,∴CE+CD=BD+CD=BC. …………… 5分(2) 不成立,此时关系式为BC+CD=CE. …………… 7分提示:同上,证明△BAD≌△CAE(SAS),得BD=CE,即BC+CD=CE.(3) 由条件得∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE.又∵AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE. ∵BD+BC=CD,∴CD =CE +BC =2+6=8. …………… 10分24. (12分)等腰Rt △ACB 中,∠ACB =90°,AC =BC ,点A 在x 轴正半轴上,C 在y 轴负半轴上.(1)如图1,求证:∠BCO =∠CAO ;(2)如图2,若OA =4,OC =2,M 是AB 与y 轴交点,求△AOM 的面积;(3)如图3,点C (0,2),点Q 、A 均在x 轴上,且S △ACQ =6a (a 为已知数). 分别以AC 、CQ 为腰在第一、第二象限作等腰Rt △CAN 、等腰Rt △QCM ,连接MN 交y 轴于P 点,间:S △MON 是否发生改变?若不变,求出S △MON 的值;若变化,求S △MON 的取值范围.【答案】(1) ∵∠ACB =90°,∴∠BCO +∠ACO =90°. 又∵∠AOC =90°,∴∠CAO +∠ACO =90°. ∴ ∠BCO =∠CAO . …………… 3分(2) 过B 作BD ⊥y 轴于D ,则△BCD ≌△CAO (AAS ), ∴BD =CO =2,CD =AO =4,OD =CD -OC =2,∴B (-2,2). 又∵A (4,0),C (0,-2),由割补法,得S △ABC =4×6-12×2×4-12×2×4-12×2×6=10, 又2142△△BCM ACM S BD S OA ===,∴S △ACM =23S △ABC =203. ∵S △AOC =12×2×4=4,∴S △AOM =S △ACM -S △AOC =203-4=83. (3) 过N 作NE ∥CM 交y 轴于E ,则∠CNE +∠MCN =180°,∵∠MCQ +∠ACN =90°+90°=180°, ∴∠ACQ +∠MCN =180°, ∴∠CNE =∠ACQ . 又∵∠ECN +∠ACO =90°,∠QAC +∠ACO =90°, ∴∠ECN =∠QAC . 在△ECN 和△QAC 中,∵∠CNE =∠ACQ ,CN =AC ,∠ECN =∠QAC , ∴△ECN ≌△QAC (ASA ),∴CE=AQ,EN=QC=MC.又NE∥CM,∴△PEN≌△PCM(ASA),∴PE=PC.∵点C(0,2),S△ACQ=6a,∴AQ=6a.∴CE=AQ=6a,∴CP=PE=3a.∴OP=OC+CP=2+3a.过M作MF⊥y轴于F,过N作NG⊥y轴于G,∵△MCQ为等腰直角三角形,∴△MCF≌△CQO(AAS),∴MF=CO=2,同理,NG=OC=2.则S△MON=S△MOP+S△NOP=12OP·MF+12OP·NG=2OP=6a+4.。
人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷含答案
人教版八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷含答案一.选择题(共10小题)1.下列图形中,不是轴对称图形的是()A.B.C.D.2.如图,△ABC中,AB=AE,且AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,若△ABC周长为16,AC =6,则DC为()A.5B.8C.9D.103.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠B=60°,则下列关系正确的是()A.B.C.D.4.如图,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB,交AB于点D,若∠BAC=100°,则∠ADC的度数为()A.60°B.50°C.65°D.70°5.下列命题中:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等;②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;③若△ABC与△A′B′C′成轴对称,则△ABC一定与△A′B′C′全等;④有一个角是60度的三角形是等边三角形;⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线.正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.46.已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+(y﹣4)2=0,则三角形周长为()A.10B.11C.12D.10或117.如图,在等边三角形ABC中,BC边上的中线AD=6,E是AD上的一个动点,F是边AB上的一个动点,在点E,F运动的过程中,EB+EF的最小值是()A.6B.4C.3D.28.如图,在正方形网格中,A,B两点都在小方格的顶点上,如果点C也是图中小方格的顶点,且△ABC是等腰三角形,那么点C的个数为()A.1B.2C.3D.49.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC是钝角.点D在底边BC上,连接AD,恰好把△ABC分割成两个等腰三角形,则∠B的度数是()A.30°B.36°C.45°D.60°10.若二元一次方程组的解x,y的值恰好是一个等腰三角形两边的长,且这个等腰三角形的周长为7,则m的值为()A.4B.1.5或2C.2D.4或2二.填空题(共8小题)11.等边三角形的两条中线所成的锐角的度数是度.12.已知点P(1﹣a,3+2a)关于x轴的对称点落在第三象限,则a的取值范围是.13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°,则顶角为.14.如图,等腰三角形ABC中,CA=CB,∠C=40°,若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2的度数为度.15.如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是.16.如图,∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点M,且过点M的直线DE∥BC,分别交AB、AC于D、E两点,若AB =12,AC=10,则△ADE的周长为.17.如图,在△ABC中,AB=20cm,AC=12cm,点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动,点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动,其中一个动点到达端点,另一个动点也随之停止,当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时,运动的时间是秒.18.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=4,△ABC的面积为20,AB的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则BM+DM的最小值为.三.解答题(共7小题)19.△ABC在直角坐标系内的位置如图所示:(1)分别写出点A,C的坐标:A的坐标:,C的坐标:;(2)请在这个坐标系内画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标;(3)求△A1B1C1的面积.20.已知一个三角形的两条边长分别为4cm,8cm.设第三条边长为x cm.(1)求x的取值范围.(2)若此三角形为等腰三角形,求该等腰三角形的周长.21.如图所示,△ABC是等边三角形,AD为中线,AD=AE.(1)求∠EDC的度数;(2)若AD=2,求△AED的面积.22.如图,DC平分∠ACE,且AB∥CD,求证:△ABC为等腰三角形.23.如图,在等边三角形ABC中,D是BC边上一点,以AD为边作等腰三角形ADE,使AD=AE,∠DAE=80°,DE交AC于点F,∠BAD=15°.(Ⅰ)求∠CAE的度数;(Ⅱ)求∠FDC的度数.24.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,过点D作DE⊥BC于点E,延长ED和CA,交于点F.(1)求证:△ADF是等腰三角形;(2)若∠F=30°,BD=4,EC=6,求AC的长.25.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC 于F,交BC于M.(1)求∠BDE的度数;(2)证明△ADF是等边三角形;(3)若MF的长为2,求AB的边长.参考答案一.选择题(共10小题)1.B.2.A.3.:D.4.A.5.B.6.D.7.A.8.C.9.B.10.C.二.填空题(共8小题)11.60.12.a>1.13.48°或132°.14.250.15.15.16.22.17.4.18.10.三.解答题(共7小题)19.解:(1)A(0,3),C(﹣2,1);(2)如图所示,△A1B1C1即为所求;点B1(﹣4,﹣4);故答案为:(﹣4,﹣4);(3)△A1B1C1的面积=.20.解:(1)根据三角形三边关系得,8﹣4<x<8+4即4<x<12;(2)∵三角形是等腰三角形,等腰三角形两条边长分别为4cm,8cm,且4<x<12∴等腰三角形第三边只能是8cm∴等腰三角形周长为4+8+8=20cm.21.(1)解:∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°AB=AC=BC∵AD为中线∴AD⊥CD∵AD=AE∴∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=15°;(2)解:过D作DH⊥AC于H∴∠AHD=90°∵∠CAD=30°∴∵AD=AE=2∴.22.证明:∵AB∥CD∴∠A=∠ACD,∠B=∠DCE.∵DC平分∠ACE∴∠ACD=∠DCE∴∠B=∠A∴AC=BC∴△ABC为等腰三角形.23.解:(Ⅰ)∵三角形ABC为等边三角形∴∠BAE=60°∵∠BAD=15°∴∠DAC=60°﹣15°=45°∵∠DAE=80°∴∠CAE=80°﹣45°=35°;(Ⅱ)∵∠DAE=80°,AD=AE∴∠ADE=(180°﹣80°)=50°∠ADC=∠BAD+∠B=15°+60°=75°又∵∠ADE=50°∴∠FDC=∠ADC﹣∠ADE=75°﹣50°=25°.24.(1)证明:∵AB=AC∴∠B=∠C∵FE⊥BC∴∠F+∠C=90°,∠B+∠BDE=90°∴∠F=∠BDE∵∠BDE=∠FDA∴∠F=∠FDA∴AF=AD∴△ADF是等腰三角形;(2)解:∵DE⊥BC∴∠DEB=90°∵∠F=30°∴∠BDE=30°∵BD=4∴∵AB=AC∴△ABC是等边三角形∴AC=AB=BE+EC=825.(1)解:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°∴∠B=∠C=×(180°﹣∠BAC)=30°在△BDE中,BD=BE∴∠BDE=∠BED=×(180°﹣∠B)=75°;(2)证明:∵CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M ∴DF=CF,∠FMC=90°∴∠FDC=∠C=30°∴∠AFD=∠FDC+∠C=60°在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°∴∠CAD=∠AFD=60°∴△ADF是等边三角形;(3)在Rt△FMC中,∠C=30°,MF=2∴CF=2MF=4∴DF=CF=4由(2)可知:△ADF是等边三角形∴AF=DF=4∴AB=AC=AF+CF=4+4=8.。
八年级数学上册《第十三章 轴对称》单元测试卷-含答案(人教版)
八年级数学上册《第十三章轴对称》单元测试卷-含答案(人教版)一、选择题(共8题)1.下列图形中不一定是轴对称图形的是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.角D.线段2.点M(2,−3)关于y轴的对称点坐标为( )A.(−2,3)B.(2,3)C.(−3,2)D.(−2,−3)3.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形( )A.三边的垂直平分线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条中线的交点4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=38∘,AB的垂直平分线MN交AC于D点,则∠DBC的度数是( )A.33∘B.38∘C.43∘D.48∘5.如图,△ABC中∠B=60∘,AB=AC,BC=3则△ABC的周长为( )A.12B.8C.6D.96.如图,在Rt△ABC中∠BAC=90∘,AB=AC点A,点C分别在直线a,b上,且a∥b若∠1=60∘则∠2的度数为( )A.75∘B.105∘C.135∘D.155∘7.如图AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于M,N两点,将一个含有45∘角的直角三角尺按如图所示的方式摆放,若∠EMB=75∘,则∠PNM等于( )A.15∘B.25∘C.30∘D.45∘8.如图,△ABC中∠ACB=90∘,BA的垂直平分线交CB边于D,若AC=6,BC=8则△ACD的周长是( )A.10B.12C.14D.16二、填空题(共5题)9.若等腰三角形有两边长为2cm,5cm,则第三边长为cm.10.在△ABC中∠A=100∘,当∠B=∘时,△ABC是等腰三角形.11.已知点M(1−2m,m−1)关于x轴的对称点在第二象限,则m的取值范围是.12.如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD,∠B=40∘,∠C=36∘则∠DAC的度数是.13.如图,已知∠AOB=60∘,点P在OA上,OP=8点M,N在边OB上PM=PN,若MN=2则OM=.三、解答题(共6题)14.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,点A,B,C在小正方形的顶点上.(1) 在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△ABʹCʹ.(2) △ABC的面积为.(3) 在如图所示的方格纸中,以AC为一边作与△ABC全等的三角形,则可作出个三角形与△ABC 全等.15.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.(1) 求证:BC=AD;(2) 求证:△OAB是等腰三角形.16.已知:如图∠ACB=90∘,AC=BC,D是边BC上一动点(与点B,C不重合),连接AD,延长BC至点E,使得CE=CD,过点E作EG⊥AD于点G,交AB于点F.(1) 若∠CAD=20∘,求∠AFE的大小.(2) 若∠CAD=α,过点F作FH⊥BC于点H,试写出线段BH与DE之间的数量关系,并说明理由.17.如图,点D是等边三角形ABC的边AC上一点,DE∥BC交AB于E,延长CB至F,使BF=AD连接DF交BE于G.(1) 求证:△ADE是等边三角形;(2) 求证:BG=EG.18.如图,在△ABC中AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC上,且BE=CFAD+EC=AB.(1) 求证:△DEF是等腰三角形;(2) 当∠A=40∘时,求∠DEF的度数;(3) △DEF可能是等腰直角三角形吗?为什么?19.如图,已知△ABC,∠BAC=90∘.(1) 尺规作图:作∠ABC的平分线交AC于D点(保留作图痕迹,不写作法);(2) 若∠C=30∘求证:DC=DB.参考答案1. B2. D3. A4. A5. D6. B7. C8. C9. 510. 4011. 12<m <112. 34∘13. 314. (1) 略(2) 3(3) 215. (1) ∵ AC ⊥BC ,BD ⊥AD∴ ∠ADB =∠ACB =90∘在 Rt △ABC 和 Rt △BAD 中∵ {AB =AB,AC =BD,∴ Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL )∴ BC =AD .(2) ∵ Rt △ABC ≌Rt △BAD∴ ∠CAB =∠DBA∴ OA =OB∴ △OAB 是等腰三角形.16. (1) 在Rt△ACD中∠ADC=90∘−∠CAD=70∘∵CA=CB,∠ACB=90∘∴∠B=45∘∵∠ADC=∠B+∠DAB∴∠DAB=25∘∵AD⊥EF∴∠AGF=90∘∴∠AFE=90∘−25∘=65∘.(2) 结论:DE=2BH.理由:∵EC=DC,AC⊥DE∴AE=AD∴∠CAE=∠CAD=α∵∠DEG+∠ADC=90∘,∠CAD+∠ADC=90∘∴∠DEG=∠CAD=α∵∠AFE=∠DEF+∠B=α+45∘,∠EAF=∠AEC+∠CAB=α+45∘∴∠EFA=∠EAF∴AE=EF=AD∵∠ACD=∠EHF,∠CAD=∠FEH,AD=EF∴△ACD≌△EHF(AAS)∴CD=FH∵△FHB是等腰直角三角形∴FH=BH∴ED=2CD=2B=FH=2BH.17. (1) △ADE是等边三角形.理由如下:∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60∘.∵DE∥BC∴∠AED=∠ABC=60∘,∠ADE=∠C=60∘.∴∠A=∠AED=∠ADE.∴△ADE是等边三角形.(2) ∵△ADE是等边三角形∴AD=DE=BF.∵BF=AD∴BF=DE.∵DE∥BC∴∠EDG=∠F,∠DEG=∠FBG.在△DEG和△GFB中∴△DEG≌△GFB.∴BG=EG.18. (1) ∵AD+EC=AB=AD+DB∴EC=DB .又AB=AC∴∠B=∠C .又BE=CF∴△BED≌△ECF .∴DE=EF .∴△DEF是等腰三角形.(2) ∵∠A=40∘∴∠B=∠C=70∘ .由(1)知∠BDE=∠FEC .∴∠DEF=∠B=70∘ .(3) 若△DEF是等腰直角三角形,则∠DEF=90∘ . ∴∠DEB+∠BDE=90∘ .∴∠B=∠C=90∘ .∴△DEF不可能是等腰直角三角形.19. (1) 射线BD即为所求.(2) ∵∠A=90∘,∠C=30∘∴∠ABC=90∘−30∘=60∘∵BD平分∠ABC∠ABC=30∘∴∠CBD=12∴∠C=∠CBD=30∘∴DC=DB.。
人教版八年级数学上第十三章轴对称单元测试(含答案)
数学人教版八年级上第十三章轴对称练习令狐采学一、选择题1.下列由数字组成的图形中,是轴对称图形的是( ).2.下列语句中正确的个数是( ).①关于一条直线对称的两个图形一定能重合;②两个能重合的图形一定关于某条直线对称;③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴;④轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.A.1 B.2 C.3 D.43.已知等腰△ABC的周长为18 cm,BC=8 cm,若△ABC与△A′B′C′全等,则△A′B′C′的腰长等于( ).A.8 cmB.2 cm或8 cmC.5 cmD.8 cm或5 cm4.已知等腰三角形的一个角等于42°,则它的底角为( ).A.42° B.69°C.69°或84° D.42°或69°5.已知A、B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论中正确的有 ( ).①A、B关于x轴对称;②A、B关于y轴对称;③A、B不轴对称;④A、B之间的距离为4.A.1个 B.2个C.3个 D.4个二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.把正确答案填在题中横线上)9.观察规律并填空:10.点E(a,-5)与点F(-2,b)关于y轴对称,则a=__________,b=__________.11.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,AB=5 cm,则DC的长为__________.(第11题图) (第12题图)12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,若BD=10,则CD=__________. 13.如图,∠BAC=110°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是__________.14.如图,在△ABC中,点D是BC上一点,∠BAD=80°,AB=AD=DC,则∠C=__________.(第13题图) (第14题图)15.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为__________.16.如图,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=8 m,∠A=30°,则DE长为__________.三、解答题(本大题共5小题,共52分) 17.(本题满分10分)如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的两条中线BD、CE交于O点,求证:OB=OC. 19.(本题满分10分)如图,已知△ABC中,AH⊥BC 于H,∠C=35°,且AB+BH=HC,求∠B的度数.20.(本题满分10分)如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.(过D作DG∥AC交BC于G).21.(本题满分12分)如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BC相交于点P,BE与CD相交于点Q,连接PQ.求证:△PCQ为等边三角形.参考答案1.A点拨:数字图案一般是沿中间竖直线或水平线折叠,看是否是轴对称图形,只有A选项是轴对称图形.2.B点拨:①③正确,②④不正确,其中④对应点还可能在对称轴上.3.D点拨:因为BC是腰是底不确定,因而有两种可能,当BC是底时,△ABC的腰长是5 cm,当BC是腰时,腰长就是8 cm,且均能构成三角形,因为△A′B′C′与△ABC全等,所以△A′B′C′的腰长也有两种相同的情况:8cm或5 cm. 4.D点拨:在等腰三角形中,当一个锐角在未指明为顶角还是底角时,一定要分类讨论.①42°的角为等腰三角形底角;②42°的角为等腰三角形的顶角,则底角为(180°-42°)÷2=69°.所以底角存在两种情况,∴42°或69°.5.B点拨:①③不正确,②④正确.6.D点拨:DE垂直平分AB,∠B=30°,所以AD平分∠CAB,由角平分线性质和线段垂直平分线性质可知A、B、C都正确,且AC≠AD=BD,故D错误.7.C点拨:经过三次轴对称折叠,再剪切,得到的图案是C图(也可将各选项图案按原步骤折叠复原).8.B点拨:本题中的台球经过多次反射,每一次的反射就是一次轴对称变换,直到最后落入球袋,可用轴对称作图(如图),该球最后将落入2号袋.9.点拨:观察可知本题图案是两个数字相同,且轴对称,由排列可知是相同的偶数数字构成的,故此题答案为6组成的轴对称图形.10.2 -5点拨:点E、F关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标不变.11.2.5 cm点拨:△ABC为等边三角形,AB=BC=CA,AD⊥BC,所以点D平分BC.2.5 cm.==DC 所以12.5点拨:∠C =90°,∠A =30°, 则∠ABC =60°,BD 是∠ABC 的平分线,5.==CD ,所以30°=D CB 则∠ 13.40°点拨:因为MP 、NQ 分别垂直平分AB 和AC ,所以PA =PB ,QA =QC ,∠PAB =∠B ,∠QAC =∠C ,∠PAB +∠QAC =∠C +∠B =180°-110°=70°,所以∠PAQ 的度数是40°.14.25°点拨:设∠C =x ,那么∠ADB =∠B =2x , 因为∠ADB +∠B +∠BAD =180°,代入解得x =25°.15.60°或120°点拨:有两种可能,如下图(1)和图(2),AB =AC ,CD 为一腰上的高,过A 点作底边BC 的垂线,图(1)中,∠BAC =60°,图(2)中,∠BAC =120°. 16.2 m 点拨:根据30°角所对的直角边是斜边的一2 m.===DE 半,可知 17.证明:∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的中线,∴.=CD ,=BE又∵AB =AC ,∴BE =CD .中,CBD 和△BCE 在△ ∴△BCE ≌△CBD (SAS).∴∠ECB =∠DBC .∴OB =OC . .1C 1B 1A 如图所示的△(1)解:.18 .2C 2B 2A 如图所示的△(2) 19. 解:如图,在CH 上截取DH=BH ,连接AD ,∵AH ⊥BC ,∴AH 垂直平分BD.∴AB=AD.∴∠B=∠ADB.∵AB+BH=HC,∴AD+DH=HC=DH+CD.∴AD=CD.∴∠C=∠DAC=35°.∴∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=70°.20. 证明:如图,过D作DG∥AC交BC于G,则∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB,在△DFG和△EFC中,∴△DFG≌△EFC(ASA).∴CE=GD,∵BD=CE.∴BD=GD.∴∠B=∠DGB.∴∠B=∠ACB.∴△ABC为等腰三角形.21. 证明:如图,∵△ABC和△CDE为等边三角形,∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°.∴∠ACB+∠3=∠ECD+∠3,即∠ACD=∠BCE.又∵C在线段AE上,∴∠3=60°.在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE.∴∠1=∠2.在△APC和△BQC中,∴△APC≌△BQC.∴CP=CQ.∴△PCQ为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).。
人教版八年级上册数学第13章 轴对称 单元练习卷(配套练习附答案)
【解析】
【分析】
首先要进行分析题意,“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角,所以要分两种情况进行讨论.
【详解】本题可分两种情况:
①当70°角为底角时,顶角为180°−2×70°=40°;
②70°角为等腰三角形的顶角;
因此这个等腰三角形的顶角为40°或70°.
故选C
【点睛】考查等腰三角形的性质,注意分类讨论,不要漏解.
∴BM=AM,CN=AN,∴∠MAB=∠B,∠CAN=∠C,∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=30°,
∴∠BAM+∠CAN=60°,∠AMN=∠ANM=60°,∴△AMN是等边三角形,∴AM=AN=MN,∴BM=MN=NC,
∵BC=9cm,∴MN=3cm.
故答案为3cm.
考点:1.线段垂直平分线的性质;2.等腰三角形的性质;
【点睛】考查等边三角形 性质,熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.
4.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为_____.
【答案】6和4或5和5.
【解析】
当腰是6时,则另两边是4,6,且4+6>6,满足三边关系定理;
当底边是6时,另两边长是5,5,5+5>6,满足三边关系定理.
故该等腰三角形的另两边为6和4或5和5.
A. B. C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
根据轴对称性质可得出PM=MQ,PN=RN,因此先求出QN的长度,然后根据QR=QN+NR进一步计算即可.
【详解】由轴对称性质可得:PM=MQ=2.5cm,PN=RN=3cm,
∴QN=MN−MQ=1.5cm,
∴QR=QN+RN=4.5cm,
第13章 轴对称 人教版数学八年级上册单元测试卷(含答案)
第十三章 轴对称时间:60分钟 满分:100分一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.(2022·辽宁盘锦双台子区期末)下列由黑白棋子摆成的图案中,是轴对称图形的是( ) A B C D2.(2022·福建福州鼓楼区期中改编)在平面直角坐标系中,若点(2,m)与点(n,3)关于x 轴对称,则(m+n)2 023的值为( )A.0B.-1C.1D.32 0233.如图是3×3的正方形网格,其中已有2个小方格被涂成了黑色.现在要从编号为①—④的小方格中选出1个也涂成黑色,使黑色部分依然是轴对称图形,不能选择的是( )A.①B.②C.③D.④4.(2022·四川遂宁期末)若等腰三角形的一个外角等于70°,则它的底角的度数为( ) A.35° B.70° C.110° D.55°5.(2022·河南周口期末)元旦联欢会上,同学们玩抢凳子游戏,在与A,B,C三名同学距离相等的位置放一个凳子,谁先抢到凳子谁获胜.如果将A,B,C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点,那么凳子应该放在△ABC的( )A.三边中线的交点处B.三边垂直平分线的交点处C.三边上高的交点处D.三条角平分线的交点处6.(2022·山东菏泽期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,BE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ABE的度数为( ) A.20° B.35° C.40° D.70°(第6题) (第7题)7.如图,直线a,b相交形成的夹角中,锐角为52°,交点为O,点A在直线a上,直线b 上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的点B有( )A.4个B.3个C.2个D.1个8.(2022·广东广州天河区期末)在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,若按如图所示的尺规作图方法作出线段BD,则下列结论错误的是( )A.AD=BDB.∠BDC=72°C.S△ABD∶S△BCD=BC∶ACD.△BCD的周长=AB+BC9.(2022·山东烟台期末)如图,∠AOB=60°,点P在射线OA上,OP=22,点M,N在射线OB上(点M在点N的左侧),且PM=PN.若MN=4,则OM的长为( ) A.7 B.8 C.9 D.11(第9题) (第10题) 10.(2022·辽宁大连期末)如图,∠ABC=30°,点D是∠ABC内部的一点,连接BD.若BD=1m,点E,F分别是边BA,BC上的动点,则△DEF的周长的最小值为( )A.0.5mB.1mC.1.5mD.2m二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11.新风向开放性试题汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性,黑体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形,请再写出两个这样的汉字: .12.(2022·安徽合肥庐阳区期末改编)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE.若CE=3,则AE= .(第12题) (第13题)13.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,若∠BAD=24°,则∠C的度数为 .14.新风向新定义试题(2021·江苏苏州期末)定义:等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k(k>1)称为这个等腰三角形的优美比.若在等腰三角形ABC中,∠A=36°,则它的优美比为 .15.(2022·河南济期末)在平面直角坐标系中,对△ABC进行如图所示的轴对称变换.若原来点A的坐标是(a,b),则经过第2 023次变换后,点A所对应的坐标是 .16.(2021·北京西城区期末)如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于三、解答题(共6小题,共52分)17.(6分)(2022·湖北十堰期末节选)如图,△ABC的顶点A,B,C都在小正方形的格点上,利用网格线按下列要求画图.(1)画出△A1B1C1,使它与△ABC关于直线l成轴对称;(2)在直线l上找一点P,使点P到点A,B的距离之和最短.(要求:不写作法,保留作图痕迹)18.(8分)(2022·湖北十堰郧阳区期中改编)某市发生地震后,为了抢救伤员,一架救援直升机从该市A地起飞,运送一批地震伤员沿正北方向到机场N,如图.上午8时,直升机从A地出发,以200 km/h的速度向正北方向飞行,9时到达B地,此时,机场的导航站传来信息:在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80 km内能见度低,飞行时会遇到危险.经测量得∠NAC=15°,∠NBC=30°.问该直升机继续向机场N飞行是否有危险,请说明理由.19.(8分)新风向开放性试题(2022·江苏南京鼓楼区期中)证明:有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知:如图,在△ABC中, .求证: .证明:20.(8分)如图,在等边三角形ABC的外侧作直线AP,点C关于直线AP的对称点为点D,连接AD,BD,其中BD交直线AP于点E.(1)依题意补全图形;(2)若∠PAC=15°,求∠AEB的度数;21.(10分)新风向探究性试题(2022·河北石家庄裕华区期末)【问题】如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,BD=BA.EF垂直平分AC,交AC 于点E,交BC于点F,连接AD,AF.若∠B=30°,∠BAF=90°,求∠DAC的度数.【探究】如果把【问题】中的条件“∠B=30°”去掉,其他条件不变,那么∠DAC的度数会变吗?请说明理由.22.(12分)如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N 第一次到达点B时,M,N同时停止运动.(1)当点M,N运动几秒时,M,N两点重合?(2)当点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN?(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如果能,请求出此时M,N运动的时间.第十三章 轴对称选择填空题答案速查12345678910D B D A B B A C C B11.甲,本(答案不唯一)12.613.39°14.215.(-a,b)16.181.D高分锦囊判断一个图形是不是轴对称图形,关键看能否找到这样一条直线,使这个图形沿这条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合.2.B ∵点(2,m)与点(n,3)关于x轴对称,∴m=-3,n=2,∴(m+n)2 023=(2-3)2 023=-1.3.D 图示速解如图,将编号为④的小方格涂成黑色,黑色部分不是轴对称图形.4.A 由题意可得,与等腰三角形的这个外角相邻的内角等于110°.∵三角形的内×(180°-110°)=35°.角和为180°,∴底角不可能等于110°,∴底角度数为125.B ∵三角形的三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等,∴凳子应放在△ABC的三边垂直平分线的交点处.6.B ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,【关键】等腰三角形的“三线合一”∴∠CAB=2∠CAD=40°,∴∠ABC=1×(180°-40°)=70°.∵BE是△ABC的角平分线,2∴∠ABE=1∠ABC=35°.2一题多解∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,∴AD⊥BC,∴∠C=90°-20°=70°,∴∠ABC=∠C=70°.又BE是△ABC的角平分线,∴∠ABE=1∠ABC=35°.27.A 图示速解如图,要使△OAB为等腰三角形,应分三种情况讨论:①当OB=AB时,作线段OA的垂直平分线,与直线b的交点为B1;②当OA=AB时,以点A为圆心,OA 的长为半径作圆,与直线b交于点B2;③当OA=OB时,以点O为圆心,OA的长为半径作圆,与直线b交于点B3,B4.故选A.8.C ∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.由作图痕迹可知BD平分∠ABC∴∠DBC=∠ABD=∠A=36°,【关键】由尺规作图可以得出BD平分∠ABC∴AD=BD,∠BDC=72°.故A,B选项不符合题意.由以上可知∠C=∠BDC,∴BD=BC,∴AD=BC.∵S△ABD∶S△BCD=AD∶CD,∴S△ABD∶S△BCD=BC∶CD.【关键】两三角形同高不同底故C选项符合题意.∵BD=AD,△BCD的周长=BC+CD+BD,∴△BCD的周长=BC+CD+AD=BC+AC=AB+BC.故D选项不符合题意.7.C 如图,过点P作PC⊥OB于点C,∵∠AOB=60°,∴∠OPC=90°-∠AOB=30°.∵OP=22,∴OC=1OP=11.∵2MN=2,∴OM=OC-MC=11-2=9.PM=PN,MN=4,∴MC=1210.B (转化思想)如图,作点D关于AB的对称点G,作点D关于BC的对称点H,连接GH交AB于点E,交BC于点F,此时△DEF的周长有最小值,连接GB,BH.由线段垂直平分线的性质可得,GE=ED,DF=FH,由轴对称的性质得BG=BD,BD=BH,∴ED+DF+EF=GE+EF+FH=GH,此时△DEF的周长最小值为GH.∵∠GBA=∠ABD,∠DBC=∠CBH,BD=m,∴∠GBH=2∠ABC=2×30°=60°,∴△GBH是等边三角形,∴GH=BG=BD=m,∴△DEF的周长的最小值为m.【关键】发现△GBH是等边三角形11.甲,本(答案不唯一,只要是轴对称图形即可)12.6 ∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠CBA=60°.∵DE是线段AB的垂直平分线,∴BE=AE,∴∠ABE=∠A=30°,∴∠CBE=60°-30°=30°.∵∠C=90°,CE=3,∴BE=2CE=2×3=6,∴AE=6.13.39° ∵AB=AD,∠BAD=24°,∴∠B=∠ADB=1×(180°-24°)=78°.2又AD=DC ,∴∠C=∠CAD=12∠ADB=12×78°=39°.14.2 (分类讨论思想)当∠A 为顶角时,则底角∠B=∠C=72°,此时,优美比=72°36°=2;当∠A 为底角时,则顶角为108°,此时,优美比=36°108°=13(不合题意,舍去).15.(-a ,b ) 第1次变换后,点A 在第四象限;第2次变换后,点A 在第三象限;第3次变换后,点A 在第二象限;第4次变换后,点A 在第一象限,回到原始位置,…,以此类推,每4次变换为一组循环.因为2 023÷4=505……3,所以第2 023次变换后,点A 在第二象限,坐标为(-a ,b ).16.18 ∵△ABC 是等边三角形,∴∠C=∠BAC=60°.∵AD ⊥BC ,∴BD=CD ,∠DAC=12∠BAC=30°.∵AD=12,∴DE=12AD=6.∵DE ⊥AC ,∴∠EDC=90°-∠C=90°-60°=30°,∴EC=12DC ,∴BC=4EC.∵S △EDC =12ED ·EC=12×6×EC=3EC ,S △ABC =12AD×BC=12×12×BC=6BC=24EC ,∴S △EDCS △ABC =3EC24EC =18.17.【参考答案】(1)如图,△A 1B 1C 1即为所求作.(3分)(2)如图,点P 即为所求作.(6分)18.【参考答案】该直升机继续向机场N 飞行无危险.(1分)理由:如图,过点C 作CD ⊥AN 于点D ,∵∠NAC=15°, ∠NBC=30°,∴∠ACB=15°,CD=12BC ,∴∠ACB=∠NAC ,∴BC=AB.(5分)由题意可得,AB=200 km,∴BC=200 km,∴CD=100 km.∵100>80,∴该直升机继续向机场N飞行无危险.(8分)19.【参考答案】已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.(2分)求证:△ABC是等腰三角形.(4分)证明:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.(8分)20.【参考答案】(1)补全图形如图所示. (3分) (2)在等边三角形ABC中,AC=AB ,∠BAC=60°.由对称可知AD=AC ,∠PAD=∠PAC=15°,∴∠BAD=90°,AB=AD ,∴∠ABD=∠D=45°,∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°.(8分)21.思路导图【参考答案】【问题】∵AB=BD ,∠B=30°,∴∠BAD=∠ADB=180°―30°2=75°.∵∠BAF=90°,∴∠AFB=90°-30°=60°.∵EF 垂直平分AC ,∴∠CAF=∠C.∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C ,∴∠C=∠CAF=12∠AFB=30°,∴∠CAD=∠ADB-∠C=75°-30°=45°.(5分)【探究】不变.(6分)理由:∵AB=BD ,∴∠BAD=∠ADB=180°―∠B 2=90°-12∠B.∵∠BAF=90°,∴∠AFB=90°-∠B.∵EF 垂直平分AC ,∴∠CAF=∠C.∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C ,∴∠C=∠CAF=12∠AFB=45°-12∠B ,∴∠CAD=∠ADB-∠C=90°-12∠B-(45°-12∠B )=45°.(10分)22.【参考答案】(1)设当点M ,N 运动x s 时,M ,N 两点重合,由题意,可得x×1+12=2x ,解得x=12.故当点M ,N 运动12 s 时,M ,N 两点重合.(2分)(2)设当点M ,N 运动t s 时,可得到等边三角形AMN ,此时AM=t ,AN=AB-BN=12-2t ,∴t=12-2t ,解得t=4.(4分)故当点M ,N 运动4 s 时,可得到等边三角形AMN.(5分)(3)当点M ,N 在BC 边上运动时,能得到以MN 为底边的等腰三角形.(6分)若△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形,则AN=AM ,∴∠AMN=∠ANM ,∴∠AMC=∠ANB.∵在△ABC 中,AB=BC=AC ,∴△ACB 是等边三角形,∴∠C=∠B=60°.(8分)在△ACM 和△ABN 中,∠AMC =∠ANB ,∠C =∠B ,AC =AB ,∴△ACM ≌△ABN ,∴CM=BN.(10分)设当点M ,N 运动时间为y s 时,△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形,∴CM=y-12,NB=36-2y ,∴y-12=36-2y ,解得y=16.故能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ,此时M ,N 运动的时间为16 s .(12分)。
人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典复习题(含答案解析)
一、选择题1.已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角度数为( ) A .75°B .90°C .105°D .120°或20°D解析:D【分析】设两内角的度数为x 、4x ,分两种情况,列出方程,即可求解.【详解】解:设两内角的度数为x 、4x ,当等腰三角形的顶角为x 时,x +4x +4x =180°,x =20°;当等腰三角形的顶角为4x 时,4x +x +x =180°,x =30°,4x =120°;因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°.故选:D .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,掌握分类讨论思想方法是解题的关键. 2.点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称,则()2021a b +的值为( ) A .1-B .1C .0D .2021- A解析:A【分析】 关于x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,可得a ,b 的值,进一步可得答案.【详解】解:∵1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称,得a-1=2017,1-b=2020.解得a=2018,b=-2019,∴()()()202120212021=2018201911a b +-=-=- 故选:A . 【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:关于x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数. 3.如图,已知30MON ∠=︒,点1A ,2A ,3A ,…,在射线ON 上,点B ,1B ,2B ,3B ,…,在射线OM 上,112A B B ,223A B B △,334A B B △,…,均为等边三角形.若11OB =,则202020202021A B B △的边长为( )A .20192B .20202C .20212D .20222 A解析:A【分析】 先求出∠O=∠OA 1B 1=30°,从而A 1B 1=A 1B 2= OB 1=1,然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可.【详解】解:∵△A 1B 1B 2是等边三角形,∴∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O=60°,A 1B 1=A 1B 2,∵∠O=30°,∴∠A 2A 1B 2=∠O+∠A 1B 2O=90°,∵∠A 1B 1B 2=∠O+∠OA 1B 1,∴∠O=∠OA 1B 1=30°,∴OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1,在Rt △A 2A 1B 2中,∵∠A 1A 2B 2=30°,∴A 2B 2=2A 1B 2=2,同法可得A 3B 3=22,A 4B 4=23,…,A n B n =2n-1,∴202020202021A B B △的边长=22019,故选:A .【点睛】本题考查了图形类规律探究,等边三角形的性质,三角形外角的性质,含30角的直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型.4.在等腰ABC ∆中,80A ∠=︒,则B 的度数不可能是( )A .80︒B .60︒C .50︒D .20︒B解析:B【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数,即可得到答案.【详解】当∠A 是顶角时,则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°,当∠B 是顶角时,则∠A 是底角,∴∠B=180°-80°-80°=20°,当∠C 是顶角时,则∠A 和∠B 都是底角,∴∠B=∠A=80°,综上所述:∠B 的度数为:50°或20°或80°.观察各选项可知∠B 不可能是60°.故选B .【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质,掌握分类讨论思想方法,是解题的关键.5.已知点A 的坐标为()1,3,点B 的坐标为()2,1,将线段AB 沿坐标轴翻折180°后,若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-,则点B 的对应点B '的坐标为( )A .()2,2B .(2,1)-C .()2,1-D .(2,1)-- C解析:C【分析】根据点A ,点A'坐标可得点A ,点A'关于y 轴对称,即可求点B'坐标.【详解】解:∵将线段AB 沿坐标轴翻折后,点A (1,3)的对应点A′的坐标为(-1,3), ∴线段AB 沿y 轴翻折,∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为(-2,1)故选:C .【点睛】本题考查了翻折变换,坐标与图形变化,熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等,横坐标互为相反数是关键.6.如图,在△ABC 纸片中,AB=9cm ,BC=5cm ,AC=7cm ,沿过点B 的直线折叠这个三角形,使点C 落在AB 边上的点E 处,折痕为BD ,则△ADE 的周长为是( )A .9cmB .11cmC .12cmD .14cm B解析:B【分析】 根据折叠的性质得到:DE=CD ,BE=BC=5cm ,求出AE=4cm ,根据△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE 代入数值计算即可得解.【详解】由折叠得:DE=CD ,BE=BC=5cm ,∵AB=9cm ,∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm ,∴△ADE 的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm ,故选:B .【点睛】此题考查折叠的性质:折叠前后对应边相等,正确理解折叠的性质是解题的关键.7.平面直角坐标系中,已知()1,1A ,()2,0B .若在x 轴上取点C ,使ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C 的个数是( )A .2个B .3个C .4个D .5个C解析:C【分析】分三种情况:当AB=AC 时,当BA=BC 时,当AC=AB 时,根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解.【详解】当AB=AC 时,点C 与点O 重合;当BA=BC 时,以点B 为圆心,AB 长为半径画弧,与x 轴有两个交点;当AC=AB 时,作线段AB 的垂直平分线,与x 轴有一个交点,共有4个点C ,故选:C . .【点睛】此题考查等腰三角形的性质,直角坐标系中作等腰三角形的方法,熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键.8.如图,在ABC 中,87,A ABC ∠=︒∠的平分线BD 交AC 于点,D E 是BC 中点,且DE BC ⊥,那么C ∠的度数为( )A .16︒B .28︒C .31︒D .62︒C解析:C【分析】 根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠,根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ,进而得到DBC C ∠=∠,根据三角形内角和定理列式计算即可.【详解】∵BD 平分ABC ∠,∴ABD CBD ∠=∠,∵DE BC ⊥,E 是BC 中点,∴DB=DC ,∴DBC C ∠=∠,∴ABD CBD C ∠=∠=∠,∴18087ABD CBD C ∠+∠+∠=︒-︒,解得:31C ∠=︒,故选:C .【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.9.下列图案是轴对称图形的是有( )A .①②B .①③C .①④D .②③C解析:C【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.【详解】解:①是轴对称图形,②不是轴对称图形,③不是轴对称图形,④是轴对称图形. 故选:C .【点睛】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.10.如果等腰三角形两边长分别是8cm 和4cm ,那么它的周长( )A .8cmB .20cmC .16cm 或20cmD .16cm B解析:B【分析】解决本题要注意分为两种情况4cm 为底或8cm 为底,还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答.【详解】解:∵等腰三角形有两边分别分别是4cm 和8cm ,∴此题有两种情况:①4cm 为底边,那么8cm 就是腰,则等腰三角形的周长为4+8+8=20,②8底边,那么4cm 是腰,4+4=8,所以不能围成三角形应舍去.∴该等腰三角形的周长为20cm .故选:B .【点睛】本题考查了等腰三角形性质;解题时涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.二、填空题11.如图,已知∠AOB=30°,点P在射线OA上,OP=16,点E、点F在射线OB上,PE=PF,EF=6.若点D是射线OB上一动点,当∠PDE=45°时,DF的长为___________.5或11【分析】过点P作PH⊥OB于点H根据PE=PF可得EH=FH=EF=3根据∠AOB=30°OP=16可得PH=OP=8当点D运动到点F右侧或当点D运动到点F左侧时分别计算可得DF的长【详解】解析:5或11【分析】过点P作PH⊥OB于点H,根据PE=PF,可得EH=FH=12EF=3,根据∠AOB=30°,OP=16,可得PH=12OP=8,当点D运动到点F右侧或当点D运动到点F左侧时,分别计算可得DF的长.【详解】如图,过点P作PH⊥OB于点H,∵PE=PF,∴EH=FH=12EF=3,∵∠AOB=30°,OP=16,∴PH=12OP=8,当点D运动到点F右侧时,∵∠PDE=45°,∴∠DPH=45°,∴PH=DH=8,∴DF=DH-FH=8-3=5;当点D 运动到点F 左侧时,D′F=D′H+FH=8+3=11.所以DF 的长为5或11.故答案为:5或11.【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质,解决本题的关键是分两种情况画图解答.12.如图,点C 在线段AB 上(不与点A ,B 重合),在AB 的上方分别作△ACD 和△BCE ,且AC =DC ,BC=EC ,∠ACD =∠BCE =α,连接AE ,BD 交于点P .下列结论:①AE=DB ;②当α=60°时,AD =BE ;③∠APB =2∠ADC ;④连接PC ,则PC 平分∠APB .其中正确的是__________.(把你认为正确结论的序号都填上)①③④【分析】根据SAS 证明△ACE ≌△DCB 可判断①;根据△ACD 和△BCE 是等边三角形但AC 不一定等于BC 可判断②;由三角形的外角性质可判断③;由△ACE ≌△DCB 可知AE=BD 根据全等三角形的解析:①③④【分析】根据SAS 证明△ACE ≌△DCB 可判断①;根据△ACD 和△BCE 是等边三角形,但AC 不一定等于BC 可判断②;由三角形的外角性质可判断③;由△ACE ≌△DCB 可知AE=BD ,根据全等三角形的面积相等,从而证得AE 和BD 边上的高相等,即CH=CG ,最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得∠APC=∠BPC ,故可判断④.【详解】解:①∵∠ACD=∠BCE ,∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE ,∴∠ACE=∠DCB ,在△ACE 和△DCB 中CA CD ACE DCB CE CB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△ACE ≌△DCB (SAS ),∴AE=DG ,故①正确;②∵AC =DC ,BC=EC ,∠ACD =∠BCE =60°,∴△ACD 和△BCE 是等边三角形,∴AD=AC=DC,BE=BC=EC,但AC不一定等于BC,故AD不一定等于BE,所以②错误;③∵∠APB是△APD的外角,∴∠APD=∠ADP+∠DAP由①得△ACE≌△DCB∴∠CAE=∠CDB∵AC=DC∴∠CAD=∠CDA∴∠APD=∠ADC+∠DAC=2∠ADC,故③正确;④如图,分别过点C作CH⊥AE于H,CG⊥BD于G,∵△ACE≌△DCB,∴AE=BD,S△ACE=S△DCB,∴AE和BD边上的高相等,即CH=CG,∴∠APC=∠BPC,故④正确;故答案为:①③④.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定和性质,角的平分线定理及其逆定理,本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等.∠=︒,13.如图,点D、E是ABC的边BC上的点,且AED n∠∠∠=,若点D在边AC的垂直平分线上,点E在边AB的垂直CAD DAE BAE::1:3:2平分线上,则n=________.80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C∠BEA=∠B再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x再根据三角形外角的性质可得∠AED【详解】解:∵点D在边AC的垂直平分线上点解析:80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C,∠BEA=∠B,再根据比例关系设∠=∠=∠=,根据三角形内角和定理可求得x,再根据三角形外CAD x DAE x BAE x,3,2角的性质可得∠AED.【详解】解:∵点D在边AC的垂直平分线上,点E在边AB的垂直平分线上,∴AD=CD ,AE=BE ,∴∠DAC=∠C ,∠BAE=∠B ,∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=,∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=,∴,2C x B x ∠=∠=,∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∴322180x x x x x ++++=︒,解得20x =︒,∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒,即n=80,故答案为:80.【点睛】本题考查垂直平分线的性质,等边对等角,三角形内角和定理和三角形外角的性质.理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键.14.如图,长方形纸片ABCD ,点E ,F 分别在边AB ,CD 上,连接EF ,将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处,得折痕EM ;将AEF ∠对折,点A 落在直线EF 上的点'A 得折痕EN ,若6215'BEM ∠=︒,则AEN ∠=____.【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM 根据邻补角求出∠AEA′再根据折叠的性质即可求出∠AEN 【详解】解:根据折叠可知:EM 平分∠BEB′∴∠B′EM=∠BEM=62°15′∴∠AEA′=180°-解析:2745'︒【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM ,根据邻补角求出∠AEA′,再根据折叠的性质即可求出∠AEN .【详解】解:根据折叠可知:EM 平分∠BEB′,∴∠B′EM=∠BEM=62°15′,∴∠AEA′=180°-2×62°15′=55°30′,EN 平分∠AEA′,∴∠AEN=∠A′EN=12∠AEA′=12×55°30′=27°45′, 故答案为:27°45′.【点睛】本题考查了折叠的性质,邻补角的定义,以及角的计算、度分秒的换算,解决本题的关键是掌握折叠的性质.15.如图,在ABC 中,BD 平分ABC ∠交AC 于点D ,//EF BC 交BD 于点G ,若130BEG ∠=︒,则DGF ∠=______.25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明则是等腰三角形由顶角的度数算出底角的度数即可得出结果【详解】解:∵BD 平分∴∵∴∴∴是等腰三角形∵∴∴故答案是:【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定解题的解析:25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明EBG EGB ∠=∠,则BEG 是等腰三角形,由顶角的度数算出底角EGB ∠的度数,即可得出结果.【详解】解:∵BD 平分ABC ∠,∴EBG CBG ∠=∠,∵//EF BC ,∴CBG EGB ∠=∠,∴EBG EGB ∠=∠,∴BEG 是等腰三角形,∵130BEG ∠=︒, ∴180130252EGB ︒-︒∠==︒, ∴25DGF EGB ∠=∠=︒.故答案是:25︒.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定,解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定定理. 16.如图,已知30MON ∠=︒,点1A ,2A ,3A ,…在射线ON 上,1B ,2B ,3B ,…在射线OM 上,112A B A △,223A B A △,334A B A △,…均为等边三角形;若48OA =,则1n n n A B A +△的边长为______.【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA2=A2B2=OA3OA3=A3B3=OA4…再将解得OA3==OA2==OA1=找到规律进而得出答案【详解】解:∵△A1B1A2是等边解析:12n -【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA 2=A 2B 2=12OA 3,OA 3=A 3B 3=12OA 4…,再将48OA =解得OA 3=1842⨯==312-,OA 2=1422⨯==212-,OA 1=1112122-⨯==,找到规律,进而得出答案. 【详解】解:∵△A 1B 1A 2是等边三角形,∴A 1B 1=A 2B 1,∠B 1A 1A 2=∠A 1B 1A 2=60°∵∠MON=30°,∴∠OB 1A 1=30°,∠OB 1A 2=90°∴OA 1=A 1B 1=12OA 2, 同理可得OA 2=A 2B 2=12OA 3,OA 3=A 3B 3=12OA 4 ∵48OA =∴OA 3=1842⨯==312-,OA 2=1422⨯==212-,OA 1=1112122-⨯==, 以此类推△A n B n A n+1的边长为2n-1.故答案为2n-1.【点睛】本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质,根据得出的数值找到规律是解题的关键.17.若等腰三角形的一条边长为5cm ,另一条边长为10cm ,则此三角形第三条边长为__________cm .10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm 但没有明确哪是底边哪是腰所以有两种情况需要分类讨论【详解】当5cm 为底时其它两边都为10cm5cm10cm10cm 可以构成三角形;当5cm 为腰时解析:10【分析】因为等腰三角形的两边分别为5cm 和10cm ,但没有明确哪是底边,哪是腰,所以有两种情况,需要分类讨论.【详解】当5cm 为底时,其它两边都为10cm ,5cm 、10cm 、10cm 可以构成三角形;当5cm 为腰时,其它两边为5cm 和10cm ,因为5+5=10,所以不能构成三角形,故舍去.所以三角形三边长只能是5cm 、10cm 、10cm ,所以第三边是10cm .故答案为:10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系;对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论. 18.已知等边三角形ABC .如图,(1)分别以点A ,B 为圆心,大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于M ,N 两点; (2)作直线MN 交AB 于点D ;(3)分别以点A ,C 为圆心,大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于H ,L 两点; (4)作直线HL 交AC 于点E ; (5)直线MN 与直线HL 相交于点O ;(6)连接OA ,OB ,OC .根据以上作图过程及所作图形,下列结论:①2OC OD =;②2AB OA =;③OA OB OC ==;④120DOE ∠=︒,正确的是____________.①③④【分析】根据题意可得点O 是三边中垂线的交点从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可【详解】由题可得点O 为等边三角形ABC 三边中垂线的交点即:MN ⊥ABHL ⊥AC ∴根据等边三角形 解析:①③④【分析】根据题意可得点O 是三边中垂线的交点,从而结合等边三角形的性质以及中垂线的性质进行逐项分析即可.【详解】由题可得点O 为等边三角形ABC 三边中垂线的交点,即:MN ⊥AB ,HL ⊥AC , ∴根据等边三角形的性质可得:∠DAO=∠EAO=30°,AD=AE ,∴△ADO ≌△AEO ,∴OD=OE ,又根据中垂线的性质得∠EAO=∠ECO=30°,∴在Rt △COE 中,OC=2OE ,∴OC=2OD,故①正确;在Rt△ABE中,显然AB=2AE,而OA>AE,∴AB≠2OA,故②错误;根据中垂线性质可得OA=OB,OA=OC,∴OA=OB=OC,故③正确;在四边形ADOE中,∠ADO=∠AEO=90°,∠DAE=60°,∴∠DOE=360°-90°×2-60°=120°,故④正确;故答案为:①③④.【点睛】本题考查等边三角形的性质以及垂直平分线的画法和性质,以及全等三角形判定与性质,理解题意中所作图形的本质是解题关键.19.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠BAD=20°,且AE=AD,则∠CDE的度数是______.10°【分析】设∠B=∠C=x∠CDE=y分别表示出∠DAE构建方程解方程即可求解【详解】解:设∠B=∠C=x∠EDC=y∵AD=AE∴∠ADE =∠AED=x+y∵∠DAE=180°−2(x+y)=解析:10°【分析】设∠B=∠C=x,∠CDE=y,分别表示出∠DAE,构建方程解方程即可求解.【详解】解:设∠B=∠C=x,∠EDC=y,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=x+y,∵∠DAE=180 °−2(x+y)=180 °−20 °−2x,∴2y=20 °,∴y=10 °,∴∠CDE=10 °.故答案为:10°【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质,还涉及三角形内角和等知识点,需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质.20.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,AD、CE是△ABC的两条角平分线,BD=5,P 是AD 上的一个动点,则线段BP +EP 最小值的是____________.10【分析】连结CP 利用等腰三角形顶角平分线所在直线为对称轴得BP=CPBD=CD=5当点CPE 在一直线是BP +EP 最小值最小值为BP +EP=EC 由∠BAC=36°AB=AC 求出∠ABC=∠ACB=解析:10【分析】连结CP ,利用等腰三角形顶角平分线所在直线为对称轴得 BP=CP ,BD=CD=5,当点C 、P 、E 在一直线是BP +EP 最小值,最小值为BP +EP= EC ,由∠BAC=36°,AB=AC ,求出∠ABC=∠ACB=72°,又CE 是△ABC 的角平分线有∠BCE=36°,求出∠BEC=72º,得CE=BC =10即可.【详解】连结CP ,点P 在AD 上运动,∵AB=AC ,AD 平分∠BAC ,∴AD 所在直线为对称轴,∴BP=CP ,BD=CD=5,当点C 、P 、E 在一直线是BP +EP 最小值,∴BP +EP=PC+EP=EC ,∵∠BAC=36°,AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB=()1180-36=722︒︒︒, ∵CE 是△ABC 的角平分线, ∴∠BCE=1ACB=362∠︒, ∴∠BEC=180º-∠EBC-∠BCE =180º-72º-36º=72º,∴∠BEC=∠EBC ,∴CE=BC=BD+CD=10.故答案为:10.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质,角平分线性质,轴对称性质,掌握等腰三角形的判定和性质,角平分线性质,线段和最短问题经常利用轴对称性质作出对称线段,三点在一线时最短作出图形是解题关键.三、解答题21.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:(1)画出△ABC向上平移4个单位长度所得到的△A1B1C1,并写出点A1,B1的坐标;(2)画出△DEF关于x轴对称后所得到的△D1E1F1,并写出点E1,F1的坐标;(3)△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形,请画出它的对称轴.解析:(1)图见解析,A1(3,2),B1(4,1);(2)图见解析,E1(﹣2,﹣3),F1(0,﹣2);(3)见解析【分析】(1)利用点平移的坐标变换规律写出点A1,B1,C1的坐标,然后描点即可;(2)利用关于x轴对称的点的坐标特征写出点D1,E1,F1的坐标,然后描点即可;(3)直线C1F1和C1F1的垂直平分线都是△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形的对称轴.【详解】解:(1)如图,△A1B1C1为所作,A1(3,2),B1(4,1);(2)如图,△D1E1F1为所作,E1(﹣2,﹣3),F1(0,﹣2);(3)如图,直线l和直线l′为所作.【点睛】本题考查了作图-轴对称变换:几何图形都可看做是由点组成,我们在画一个图形的轴对称图形时,也是先从确定一些特殊的对称点开始的.也考查了平移变换.22.如图,,A B AE BE ∠=∠=,点D 在AC 边上,12,AE ∠=∠和BD 相交于点O . (1)求证:AEC BED ∆≅∆(2)若70BDE ︒∠=,求1∠的度数.解析:(1)见解析;(2)40°【分析】(1)由12∠=∠得到BED AEC ∠=∠,然后根据ASA 即可证明AEC BED ∆≅∆; (2)由(1)得DE=CE ,70C BDE ∠=∠=︒,由三角形内角和即可求出1∠的度数.【详解】解:()11=2∠∠,BED AEC ∠=∠∴又,A B AE BE ∠=∠=()AEC BED ASA ∴∆≅∆;()2AEC BED ∆≅∆70,BDE C DE CE ∴∠=∠=︒=70C EDC ︒∴∠=∠=118027040︒︒︒∴∠=-⨯=;【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的内角和定理,解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题.23.如图,在ABC 中,60A ∠=︒,ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ,CE 、BD 相交于点F ,连接DE .(1)若7AC BC ==,求DE 的长;(2)求证:BE CD BC +=.解析:(1) 3.5DE =;(2)见解析.【分析】(1)证明△ADE 为等边三角形,即可得结论;(2)在BC 上截取BH=BE ,证明两对三角形全等:△EBF ≌△HBF ,△CDF ≌△CHF ,可得结论.【详解】(1)∵AC=BC=7,∠A=60°,∴△ABC 为等边三角形,∴AC=AB=7,又∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线,∴D 、E 分别是AC 、AB 的中点, ∴11=3.5,=3.522==AD AC AE AB , ∴AD=AE ,∵∠A=60°,∴△ADE 为等边三角形,∴DE=AE=3.5;(2)证明:在BC 上截取BH=BE ,∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD=∠CBD ,∵BF=BF∴△EBF ≌△HBF (SAS ),∴∠EFB=∠HFB=60°.∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∵BD 平分∠ABC ,CE 平分∠ACB ,∴∠ABD=∠CBD ,∠ACE=∠BCE ,∴∠CBD+∠BCE=60°,∴∠BFE=60°,∴∠CFB=120°,∴∠CFH=60°,∵∠BFE=∠CFD=60°,∴∠CFH=∠CFD=60°,∵CF=CF ,∴△CDF ≌△CHF (ASA ).∴CD=CH ,∵CH+BH=BC ,∴BE+CD=BC .【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质.解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.24.已知,在四边形ABCD 中,AB AD =,CB CD =,连接,AC BD ,判断,AC BD 的位置关系,并加以证明.解析:AC BD ⊥,见解析【分析】根据垂直平分线的判定证明即可.【详解】解:AC BD ⊥;证明:∵AB AD =,∴点A 在BD 的垂直平分线上,∵CB CD =,∴点C 在BD 的垂直平分线上,∴AC 垂直平分BD ,即AC BD ⊥.【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质,根据与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上和两点确定一条直线证明是解题关键.25.如图,ABC 和ADE 均为等边三角形,连接BD 并延长,交AC 于点F ,连接CD 并延长,交AB 于点G ,连接CE .(1)求证:ABD ACE △≌△;(2)若ADG CED ∠=∠,求证:AG CF =.解析:(1)证明见详解;(2)证明见详解.【分析】(1)根据等边三角形的性质得,,AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠,CAD ∠为公共角得出BAD CAE ∠=∠,根据SAS 可证全等.(2)根据全等三角形的性质,,ACE ABD ADB AEC ==∠∠∠∠联立题目条件ADG CED ∠=∠可得60BDG AED ==∠∠,根据三角形外角的性质得到AGD BFC ∠=∠证明()AGC BFC AAS ≅,即可证AG CF =.【详解】(1)∵ABC 和ADE 均为等边三角形,∴,,AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠, ∵CAD ∠为公共角,∴BAD CAE ∠=∠∴()ABD ACE SAS ≅△△(2)∵ABD ACE ≅,∴,,ACE ABD ADB AEC ==∠∠∠∠ ∵ADG CED ∠=∠,∴60BDG AED ==∠∠,∴GBD GDB GBD BAF +=+∠∠∠∠,即AGD BFC ∠=∠,在AGC 与BFC △中AGD BFC GAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴()AGC BFC AAS ≅∴AG CF =【点睛】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形外角的性质等知识点;解题的关键是熟练掌握以上知识点.26.如图1,在ABC 中,AB AC =,点D 是BC 的中点,连接AD ,点E 在AD 上.(1)连接BE ,CE ,求证:BE CE =;(2)如图2,若BE 的延长线交AC 于点F ,且BF AC ⊥,45BAC ∠=︒,原题设其他条件不变.求证:AB BF EF =+.解析:(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)先根据等腰三角形的性质得出∠BAE=∠CAE ,再根据SAS 证明△ABE ≌△ACE 即可; (2)由BF ⊥AC ,∠BAC=45°就可以求出AF=BF ,在由条件证明△AEF ≌△BCF 就可以得出EF=CF ,结合已知AB=AC 即可得出结论.【详解】证明:(1)∵AB=AC ,D 是BC 的中点,∴∠BAE=∠CAE ,在△ABE 和△ACE 中,AB AC BAE CAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACE (SAS ),∴BE=CE ;(2)∵BF ⊥AF ,∴∠AFB=∠CFB=90°.∵∠BAC=45°,∴∠ABF=45°,∴∠ABF=∠BAC ,∴AF=BF .∵AB=AC ,点D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC ,∴∠EAF+∠C=90°,∵BF ⊥AC ,∴∠CBF+∠C=90°,∴∠EAF=∠CBF ,在△AEF 和△BCF 中,EAF CBF AF BFAFE BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEF ≌△BCF (ASA )∴EF=CF .∴AB=AC=AF+FC=BF+EF【点睛】本题考查了全等三角形的判定性质的运用,等腰三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.27.在ABC 中,AB AC =,点D 是直线BC 上一点(不与B 、C 重合),以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ,使AD AE =,DAE BAC ∠=∠,连接CE .(1)如图,当点D 在线段BC 上,如果90BAC ∠=︒,则BCE ∠=______度.(2)设BAC α∠=,BCE β∠=.①如图,当点D 在线段BC 上移动时,α、β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.②如图,当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时,α、β之间有怎样的数量关系?请说明理由.解析:(1)90;(2)①180αβ+=︒,理由见解析;②αβ=,理由见解析【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°,由“SAS”可证△BAD ≌△CAE ,可得∠ABC=∠ACE=45°,可求∠BCE 的度数;(2)①由“SAS”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD=∠ACE ,再用三角形的内角和即可得出结论;②由“SAS”可证△ADB ≌△AEC 得出∠ABD=∠ACE ,再用三角形外角的性质即可得出结论.【详解】(1)∵AB=AC ,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∵∠DAE=∠BAC ,∴∠BAD=∠CAE ,在△BAD 和△CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BAD ≌△CAE (SAS )∴∠ABC=∠ACE=45°,∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,故答案为:90;(2)①180αβ+=︒.理由:∵∠BAC=∠DAE ,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC .即∠BAD=∠CAE .在△ABD 与△ACE 中,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD ≌△ACE (SAS ),∴∠B=∠ACE .∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB .∵∠ACE+∠ACB=β,∴∠B+∠ACB=β,∵α+∠B+∠ACB=180°,∴α+β=180°;② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时,αβ=.理由如下:∵DAE BAC ∠=∠,∴DAB EAC ∠=∠,在△ABD 与△ACE 中,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△≌△ADB AEC(SAS), ∴ABD ACE ∠=∠,∵ABD BAC ACB ∠=∠+∠,ACE BCE ACB ∠=∠+∠,∴BAC ABD ACB ∠=∠-∠,BCE ACE ACB ∠=∠-∠,∴BAC BCE ∠=∠,即αβ=.【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,三角形的内角和定理,以及三角形外交的性质,证明△ABD ≌△ACE 是解本题的关键.28.如图,在平面直角坐标系xOy 中点(6,8)A ,点(6,0)B .(1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一个点P ,使点P 同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹,不必写出作法);①点P 到A ,B 两点的距离相等;②点P 到xOy ∠的两边的距离相等.(2)在(1)作出点P 后,直接写出点P 的坐标______.解析:(1)作图见解析;(2)(4,4)【分析】(1)作AB 的垂轴平分线和∠xOy 的角平分线,它们的交点即为P 点;(2)由于点P在AB的垂轴平分线上,则P点的纵坐标为4,再利用点P在第一象限的角平分线上,则点P的横纵坐标相同,从而得到P点坐标.【详解】(1)如图,点P为所作;(2)P点坐标为(4,4).故答案为(4,4).【点睛】本题考查了作图−复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.。
人教版八年级上册数学 第13章 轴对称 单元测试卷(含答案)
人教版八年级上册数学第13章轴对称单元测试卷一.选择题1.点A(﹣3,1)关于x轴的对称点为()A.(﹣3,1)B.(﹣3,﹣1)C.(3,1)D.(3,﹣1)2.下列图形中,是轴对称图形的是()A.B.C.D.3.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,△ADC的周长为10,且BC﹣AC=2,则BC的长为()A.4 B.6 C.8 D.104.作已知点关于某直线的对称点的第一步是()A.过已知点作一条直线与已知直线相交B.过已知点作一条直线与已知直线垂直C.过已知点作一条直线与已知直线平行D.不确定5.琪琪从镜中看到电子钟示数,则此时时间是()A.12:01 B.10:51 C.11:59 D.10:216.如图是一个台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,若一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射),则该球最后落入的球袋是()A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋7.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在格点上,如果将△ABC先沿y轴翻折,再向上平移3个单位长度,得到△A'B'C',那么点B的对应点B'的坐标为()A.(1,7)B.(0,5)C.(3,4)D.(﹣3,2)8.一个六边形的六个内角都是120°(如图),连续四条边的长依次为1,3,3,2,则这个六边形的周长是() A.13 B.14 C.15 D.169.如图,在∠MON内有一点P,点P关于OM的对称点是点G,点P关于ON的对称点是点H,连接GH分别交OM,ON 于点A,B.若GH的长是12cm,则△PAB的周长为()A.12 B.13 C.14 D.1510.等腰三角形的一边长为6,一边长为2,则该等腰三角形的周长为()A.8 B.10 C.14 D.10或14二.填空题11.已知点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称,则(m+n)2020的值为.12.如图,在△ABC中,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,DE∥AB与BC边相交于点E,若BE=3,CE=5,则△CDE的周长是.13.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=5,斜边AB的长为.14.如图,在△ABC中,D为AB上一点,AD=DC=BC,且∠A=30°,AD=5,则AB=.15.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点A(2,﹣1),在x轴上确定一点P,使得△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P有个.16.如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称变换,若原来点A坐标是(a,b),经过第1次变换后所得的A1坐标是(a,﹣b),则经过第2020次变换后所得的点A2020坐标是.17.如图,在△ABC中,AB=4,AC=6,BC=7,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的任一点,则△ABP周长的最小值是.18.如果一个三角形是轴对称图形,且有一个角为60°,那么这个三角形是,它有条对称轴.19.已知a、b、c是△ABC的三边的长,且满足a2+2b2+c2﹣2b(a+c)=0,则此三角形的形状为.20.如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n次碰到矩形的边时的点为P n,点P2019的坐标是.三.解答题21.如图所示,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于D,E,垂足分别是M,N.(1)若△ADE的周长为6,求BC的长;(2)若∠BAC=100°,求∠DAE的度数.22.已知点A(a+2b,﹣1),B(﹣2,a﹣b),若点A、B关于y轴对称,求a+b的值.23.如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=6cm,∠A=50°,DE为AB的垂直平分线,分别交AB、AC于点E、D.(1)求△BCD的周长;(2)求∠CBD的度数.24.如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形网格的边长为1个单位,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC如图所示.(1)请写出点A,B,C的坐标;(2)求△ABC的面积;(3)请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.25.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB.(1)若∠ABC=70°,则∠MNA的度数是.(2)若AB=8cm,△MBC的周长是14cm.①求BC的长度;②若点P为直线MN上一点,请你直接写出△PBC周长的最小值.26.如图,△ABC是等边三角形,DF⊥AB,DE⊥CB,EF⊥AC,求证:△DEF是等边三角形.27.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE.(1)求证:点D在BE的垂直平分线上;(2)若∠ABE=20°,请求出∠BEC的度数.答案一.选择题1.B.2.C.3.B.4.B.5.D.6.D.7.C.8.C.9.A.10.C.二.填空题11.1.12.11.13.10.14.10.15.4.16.(a,﹣b).17.10.18.等边三角形,319..等边三角形. 20.(8,3).三.解答题21.解:(1)∵DM和EN分别垂直平分AB和AC,∴AD=BD,EA=EC,∵△ADE的周长为6,∴AD+DE+EA=6.∴BD+DE+EC=6,即BC=6;(2)∵DM和EN分别垂直平分AB和AC,∴AD=BD,EA=EC,∴∠B=∠BAD=∠ADE,∠C=∠EAC=∠AED.∵∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=∠B+∠DAE+∠C=100°,∴∠B+∠C=100°﹣∠DAE,在△ADE中,∠DAE=180°﹣(∠ADE+∠AED)=180°﹣(2∠B+2∠C)∴∠DAE=180°﹣2(100°﹣∠DAE)∴∠DAE=20°.22.解:∵点A(a+2b,﹣1),B(﹣2,a﹣b)关于y轴对称,∴,解得.故a+b=0+1=1.23.(1)解:∵DE为AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴△BCD的周长=AC+BC=10+6=16(cm);(2)解:∵AB=AC,∠A=50°,∴∠ABC=∠C=65°,∵DA=DB,∠A=∠ABD=50°,∴∠CBD=65°﹣50°=15°.24.解:(1)由图知,A(﹣4,5)、B(﹣2,1)、C(﹣1,3);(2)△ABC的面积为3×4﹣×2×3﹣×1×2﹣×2×4=4;(3)如图所示,△A1B1C1即为所求.25.解:(1)∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=70°,∴∠A=40°,∵AB的垂直平分线交AB于点N,∴∠ANM=90°,∴∠NMA=50°,故答案为:50°;(2)①∵MN是AB的垂直平分线,∴AM=BM,∴△BCM的周长=BM+CM+BC=AM+MC+BC=AC+BC,∵AB=AC=8cm,△MBC的周长是14cm,∴BC=14﹣8=6(cm);②当P与M重合时,△PBC的周长最小.理由:∵PB+PC=PA+PC,PA+PC≥AC,∴当P与M重合时,PA+PC=AC,此时PB+PC最小值等于AC的长,∴△PBC的周长最小值=AC+BC=8+6=14(cm).26.证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°,∵DF⊥AB,DE⊥CB,EF⊥AC,∴∠DAB=∠ACF=∠CBE=90°,∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°,∴∠D=∠E=∠F=180°﹣90°﹣30°=60°,∴DF=DE=EF,∴△DEF是等边三角形.27.(1)证明:连接DE,∵CD是AB边上的高,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵BE是AC边上的中线,∴AE=CE,∴DE=CE,∵BD=CE,∴BD=DE,∴点D在BE的垂直平分线上;(2)解:∵DE=AE,∴∠A=∠ADE,∵∠ADE=∠DBE+∠DEB,∵BD=DE,∴∠DBE=∠DEB,∴∠A=∠ADE=2∠ABE,∵∠BEC=∠A+∠ABE,∴∠BEC=3∠ABE,∵∠ABE=20°,∴∠BEC=60°.。
人教版八年级数学上:第13章《轴对称》单元测试(含答案)(含答案)
第13章轴对称一、选择题(共9小题)1.在平面直角坐标系中,点A(﹣1,2)关于x轴对称的点B的坐标为()A.(﹣1,2)B.(1,2) C.(1,﹣2)D.(﹣1,﹣2)2.如图,△ABC与△DEF关于y轴对称,已知A(﹣4,6),B(﹣6,2),E(2,1),则点D的坐标为()A.(﹣4,6)B.(4,6) C.(﹣2,1)D.(6,2)3.在平面直角坐标系中,与点(1,2)关于y轴对称的点的坐标是()A.(﹣1,2)B.(1,﹣2)C.(﹣1,﹣2) D.(﹣2,﹣1)4.点(3,2)关于x轴的对称点为()A.(3,﹣2)B.(﹣3,2)C.(﹣3,﹣2) D.(2,﹣3)5.在平面直角坐标系中,点P(﹣3,2)关于直线y=x对称点的坐标是()A.(﹣3,﹣2) B.(3,2) C.(2,﹣3)D.(3,﹣2)6.在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),则点A关于x轴的对称点的坐标为()A.(3,2) B.(2,﹣3)C.(﹣2,3)D.(﹣2,﹣3)7.点P(2,﹣5)关于x轴对称的点的坐标为()A.(﹣2,5)B.(2,5) C.(﹣2,﹣5) D.(2,﹣5)8.点A(1,﹣2)关于x轴对称的点的坐标是()A.(1,﹣2)B.(﹣1,2)C.(﹣1,﹣2) D.(1,2)9.已知点A(a,2013)与点B(2014,b)关于x轴对称,则a+b的值为()A.﹣1 B.1 C.2 D.3二、填空题(共16小题)10.平面直角坐标系中,点A(2,0)关于y轴对称的点A′的坐标为______.11.在平面直角坐标系中,点A的坐标是(2,﹣3),作点A关于x轴的对称点,得到点A′,再作点A′关于y轴的对称点,得到点A″,则点A″的坐标是(______,______).12.在平面直角坐标系中,点(﹣3,2)关于y轴的对称点的坐标是______.13.已知点P(3,a)关于y轴的对称点为Q(b,2),则ab=______.14.若点M(3,a)关于y轴的对称点是点N(b,2),则(a+b)2014=______.15.已知点P(3,﹣1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1﹣b),则a b的值为______.16.点A(﹣3,0)关于y轴的对称点的坐标是______.17.点P(2,﹣1)关于x轴对称的点P′的坐标是______.18.在平面直角坐标系中,点A(2,﹣3)关于y轴对称的点的坐标为______.19.点P(﹣2,3)关于x轴的对称点P′的坐标为______.20.点P(3,2)关于y轴对称的点的坐标是______.21.点P(1,﹣2)关于y轴对称的点的坐标为______.22.点A(﹣3,2)关于x轴的对称点A′的坐标为______.23.若点A(m+2,3)与点B(﹣4,n+5)关于y轴对称,则m+n=______.24.点P(2,3)关于x轴的对称点的坐标为______.25.已知P(1,﹣2),则点P关于x轴的对称点的坐标是______.三、解答题26.在如图所示的直角坐标系中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的顶点均在格点上,点A的坐标是(﹣3,﹣1).(1)将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出点B1坐标;(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标.27.如图,在边长为1个单位长度的小正方形网格中,给出了△ABC (顶点是网格线的交点).(1)请画出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1;(2)将线段AC 向左平移3个单位,再向下平移5个单位,画出平移得到的线段A 2C 2,并以它为一边作一个格点△A 2B 2C 2,使A 2B 2=C 2B 2.28.在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标A (﹣4,1),B (﹣2,1),C (﹣2,3)(1)作△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1;(2)将△ABC 向下平移4个单位长度,作出平移后的△A 2B 2C 2;(3)求四边形AA 2B 2C 的面积.29.在平面直角坐标系中,已知点A (﹣3,1),B (﹣1,0),C (﹣2,﹣1),请在图中画出△ABC ,并画出与△ABC 关于y 轴对称的图形.30.如图,△ABC 与△DEF 关于直线l 对称,请仅用无刻度的直尺,在下面两个图中分别作出直线l .第13章轴对称参考答案一、选择题(共9小题)1.D;2.B;3.A;4.A;5.C;6.B;7.B;8.D;9.B;二、填空题(共16小题)10.(-2,0);11.-2;3;12.(3,2);13.-6;14.1;15.25;16.(3,0);17.(2,1);18.(-2,-3);19.(-2,-3);20.(-3,2);21.(-1,-2);22.(-3,-2);23.0;24.(2,-3);25.(1,2);三、解答题(共5小题)26.27.28.29.30.。
人教版八年级上册数学第13章《轴对称》单元测试卷(含答案解析)
人教版八年级上册数学第13章《轴对称》单元测试卷班级_________ 姓名__________ 考号_____________ 得分____________一、选择题(每小题3分,共30分)1、下列图形中一定是轴对称图形的是()A.B.C.D.2、点A(a﹣3,﹣1)与点B(2,b+2)关于x轴对称,则a,b的值分别是()A.a=1,b=﹣3 B.a=1,b=﹣1 C.a=5,b=﹣3 D.a=5,b=﹣13、如图,在△ABC中,AB=AD=DC,若∠BAD=36°,则∠C的大小为()A.36°B.38°C.40°D.42°4、等腰三角形的一个外角是140°,则其底角是()A.40°B.70°或40°C.70°D.140°5、等腰三角形的周长为15,其中一边长为3,则该等腰三角形的底边长为()A.3 B.4 C.5 D.66、如图,△ABC中,AB=AC,AD=DE,∠BAD=18°,∠EDC=12°,则∠DAE的度数为()A.58°B.56°C.62°D.60°7、如图,四边形ABCD中,AB=AD,点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上,若∠BAD=100°,则∠ACB的度数为()A.40°B.45°C.60°D.80°8、如图,在△ABC中,∠C=90°,点A关于BC边的对称点为A′,点B关于AC边的对称点为B′,点C关于AB边的对称点为C′,则△ABC与△A′B′C′的面积之比为()A.B.C.D.9、在△ABC中,AB=AC,OB=OC,点A到BC的距离是6,O到BC的距离是4,则AO为()A.2 B.10 C.2或10 D.无法测量10、如图,在Rt△ABC中(AB>2BC),∠C=90°,以BC为边作等腰△BCD,使点D落在△ABC的边上,则点D的位置有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(每小题4分,共24分)11、在平面直角坐标系中,点A的坐标是(﹣1,2),作点A关于y轴对称得到点A′,再将点A′向上平移2个单位,得到点A″,则点A″的坐标是(1,4).12、一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12和30两部分,则这个等腰三角形的腰长为20.13、如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=54°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC的度数是9°.14、如图,在△ABC中,∠C=∠ABC,BE⊥AC,垂足为点E,△BDE是等边三角形,若AD=4,则线段BE的长为.15、如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,2),B(0,1).在x轴上找一点P,使得PA+PB最小,则点P的坐标是(2,0),此时△PAB的面积是4.16、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,在直线AC或BC上取点M,使得△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有8个.。
八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷及答案
八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷及答案2019年八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷及答案把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么称这个图形是轴对称图形。
接下来大家一起来练习2019年八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷。
2019年八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷及答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、下列图形成轴对称图形的有()A.5个B.4个C.3个D.2个2、下列图形中,对称轴的条数最少的图形是()3、在4×4的正方形网格中,已将图中的四个小正方形涂上阴影(如图),若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影,使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形.那么符合条件的小正方形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个4、若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°5、若一个等腰三角形的两边长分别是2和5,则它的周长为()A.12B.9C.12或9D.9或76、如图,ABCD是矩形纸片,翻折∠B,∠D,使AD,BC边与的夹角为.14、如图,在△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线DE交AC 于点D.已知△BDC的周长为14,BC=6,则AB= .15、在等边三角形ABC中,点D在AB边上,点E在BC边上,且AD=BE.连接AE、CD交于点P,则∠APD=.16、如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA 于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为()A.6B.5C.4D.3三、解答题(共8题,共72分)17、(本题8分)如图是未完成的上海大众的汽车标志图案,该图案是以直线L为对称轴的轴对称图形,现已完成对称轴左边的部分,请你补全标志图案,画出对称轴右边的部分.(要求用尺规作图,保留痕迹,不写作法.)18、(本题8分)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC交于点E,DF⊥BC于点F,且BC=4,DE=2,则△BCD 的面积是.19、(本题8分)如图,BD是∠ABC的平分线,P为BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为cm.20、(本题8分)如图:△ABC的周长为30cm,把△ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折痕交BC边于点D,交AC 边与点E,连接AD,若AE=4cm,求△ABD的周长.21、(本题8分)如图,在△ABC中,AC=DC=DB,∠ACD=100°,求∠B的度数22、(本题10分)在平面直角坐标系中,等边三角形OAB关于x轴对称的图形是等边三角形OA′B′.若已知点A的坐标为(6,0),求点B′的横坐标.23、(本题10分)已知点A(2m+n,2),B (1,n﹣m),当m、n分别为何值时,(1)A、B关于x轴对称;(2)A、B关于y轴对称.24、(本题12分)平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4),B(2,4),C(3,﹣1).(1)试在平面直角坐标系中,标出A、B、C三点;(2)求△ABC的面积.(3)若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称,写出A1、B1、C1的坐标.参考答案一、选择题1、A2、B3、C4、D5、A6、B7、C.8、C9、B 10、D二、填空题11、两,一 12、y轴 13、20° 14、8 15、60° 16、A三、解答题17、如图18、解∵CD平分∠ACB交AB于点D,∴∠DCE=∠DCF,∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°,在△DEC和△DFC中,∠DCE=∠DCF,∠DEC=∠DFC,CD=CD,∴△DEC≌△DFC(AAS),∴DF=DE=2,∴S△BCD=BC×DF÷2=4×2÷2=419、解∵BD是∠ABC的平分线,PE⊥AB于点E,PE=4cm,∴点P到BC的距离=PE=4cm.20、解:由图形和题意可知AD=DC,AE=CE=4,AB+BC=22,△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+CD+BC﹣CD=AB+BC,即可求出周长为22.21、解∵AC=DC=DB,∠ACD=100°,∴∠CAD=(180°- 100°)÷2=40°,∵∠CDB是△ACD的外角,∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°,∵DC=DB,∴∠B=(180°- 140°)÷2=20°.22、解:如图所示,∵等边△OAB关于x轴对称的图形是等边△OA′B′,∴点A′的坐标为(6,0),∴点B′的横坐标是3.23、解:(1)∵点A(2m+n,2),B (1,n﹣m),A、B关于x轴对称,∴ 2m+n=1,n-m= -2解得:m=1,n= -1,(2)∵点A(2m+n,2),B (1,n﹣m),A、B关于y轴对称,∴2m+n= -1,n-m=2解得:m= -1,n=1,24、解:(1)如图所示:(2)由图形可得:AB=2,AB边上的高=|﹣1|+|4|=5,∴△ABC的面积= AB×5=5.(3)∵A(0,4),B(2,4),C(3,﹣1),△A1B1C1与△ABC关于x轴对称,∴A1(0,﹣4)、B1(2,﹣4)、C1.(3,1).2019年八年级数学上册第13章轴对称单元测试卷到这里就结束了,希望同学们的成绩能够更上一层楼。
八年级上册数学第十三章 轴对称 测试卷(含答案)
八年级上册数学第十三章轴对称测试卷一、选择题。
(每小题3分,共24分)1.以下四个图形中,对称轴条数最多的是()A B C D2.如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击中(球可以经过多次反弹),那么该球最后将落入的球袋是()A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋第2题图第3题图3.如图所示,△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为()A. 30°B.36°C.45°D.70°4.小亮在镜中看到身后墙上的时钟如下,你认为实际时间最接近8:00的是()A B C D5.下列说法正确的是()A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B.顶角相等的两个等腰三角形全等C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D.等腰三角形的两个底角相等6.小朋友文文把一张长方形的纸对折了两次(如图所示),使A,B都落在DC上,折痕分别是DE,DF,则∠EDF的度数为()A. 60 °B.75°C.90°D.120°第6题图第8题图7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数是()A. 60°B. 120°C. 60°或150°D.60°或120°8.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD等于()A. 3B. 2.5C. 2D. 1二、填空题(每小题3分,共24分)1.仔细观察如图所示的图案,并按规律在横线上画出合适的图形.______2,则该汽车的车牌号是______.3.已知么MON= 45°,其内部有一点P,它关于OM的对称点是A,关于ON的对称点是B,且OP =2cm,则S△AOB=______4.如图所示,DE是AB的垂直平分线,D是垂足,DE交BC于E,若BC=32cm,AC=18cm,则△AEC的周长为______cm.第4题图第6题图第7题图5.在直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标分别为(-1,3),(-2,-4),(1,3),(2,-4),则线段AB与CD的位置关系是______.6.如图,在△ABC中,∠ACB = 90°,AB=10,AC=8,P是AB边上的动点(不与点B重合),点B关于直线CP的对称点B',连接B'A,则B’A长度的最小值是______.7.如图所示,△ABD、△ACE是正三角形,BE和CD交于O点,则∠BOC =______.8.如图所示,有一块形状为等边△ABC的空地,DE,EF为空地中的两条路,且D为AB的中点,DE⊥AC于E,EF∥AB,现已知AE=5m,则地块△EFC的周长为______.三、解答题(共72分)1.如图所示,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证:BF=2CF.2.用围棋棋子可以在棋盘中摆出许多有趣的图案,如图甲,在棋盘上建立平面直角坐标系,以直线y=x为对称轴,我们可以摆出一个轴对称图形(其中A与A’是对称点),你看它像不像一条美丽的鱼?(1)请你在图乙中,也用10枚以上的棋子摆出一个以直线y=x为对称轴的轴对称图案,并在所摆的图形中找出两组对称点,分别标为B—B',C—C'(注意棋子要摆在格点上).(2)在给定的平面直角坐标系中,你标出的B,B',C,C'的坐标分别是:B( ),B'( ),C( ),C'( ).根据以上对称点的坐标规律,写出点P(a,b)关于对称轴y=x对称点p’的坐标是( ).甲乙3.如图所示,△ABC和△A’B’C’关于直线MN对称,△A’B’C'和△A’’B’’C’’关于直线EF对称.(1)画出直线EF;(2)直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB’’与直线MN, EF所夹锐角α的数量关系.4.如图所示,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,AB +BD与DE的长度有什么关系?并加以证明.5.如图所示,在等边三角形ABC中,∠B,∠C的平分线相交于点O,作BO,CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.小明说:“E,F是BC的三等分点.”你同意他的说法吗?请说明理由.6.元旦联欢会上,同学们在礼堂四周摆了一圈条桌,其中北边条桌上摆满了苹果,东边条桌上摆满了香蕉,礼堂中间放一把椅子B.游戏规则是这样的:甲、乙二人从A 处同时出发,先去拿苹果再去拿香蕉,然后回到B处,谁先坐到椅子上谁赢.小张和小李比赛,比赛一开始,只见小张直奔东北两张条桌的交点处,左手抓苹果,右手拿香蕉,回头直奔B处,可是还未跑到B处,只见小李已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了,如果小李不比小张跑得快,那他是不是有捷径呢?如果有,请把捷径画出来,并说明理由.参考答案一、1.B 2.B 3.B 4.D 5.D 6.C 7.D 8.C 二、1. 2.M645379 3.2cm ² 4. 50 5.关于y 轴对称 6.2 7. 120° 8. 45m三、1.连接AF. ∵AB=AC,∴∠B= ∠C=︒=︒-︒=∠-︒3021201802A 180.又∵EF 垂直平分AC ,∴AF = CF ∴∠CAF =∠C= 30°. ∴∠BAF= ∠BAC- ∠CAF=120°-30°=90°.在Rt △BAF 中,∵∠B=30°,∴BF =2AF.叉∵AF= CF,∴BF=2CF .2.(1)按要求摆出图形并标出两组对称点B-B ’,C-C';(2)答案不唯一,只要满足点B 的横坐标等于点B ’的纵坐标,点B 的纵坐标等于点B ’的横坐标,点C 的横坐标等于点C ’的纵坐标,点C 的纵坐标等于点C ’的横坐标即可;根据以上对称点坐标的规律,可以发现P(a ,b)关于对称轴y=x 的对称点P ’的坐标为(b ,a).3.(1)如图所示,连接B'B ’’,作线段B'B ’’的垂直平分线EF,则直线EF 是△A ’B ’C ’和△A ’’B ’’C ’’的对称轴.(2)连接BO .因为△ABC 和△A'B'C'关于MN 对称,所以∠BOM=∠B 'OM.又因为△A ’B ’C ’和△A ’’B ’’C ’’关于EF 对称,所以∠B 'OE= ∠B ''OE.所以∠BOB''=∠BOM+ ∠B 'OM+∠B'OE+ ∠B ‘’OE =2(∠B'OM+∠B 'OE) =2a .即∠BOB ’’= 2a.4. AB+BD= DE ,证明略.5.同意,连接OE ,OF.由题意可知:BE= OE,CF= OF,∠OBC=∠OCB= 30°, ∴∠BOE=∠OBC=30°,∠COF=∠OCB=30°,∴∠BOC=120°,∴∠EOF=60°, ∠OEF=60°, ∠OFE=60°.∴△OEF 是等边三角形,∴OE = OF= EF= BE=CF.∴E ,F 是BC 的三等分点.6.分别以北条桌和东条桌为对称轴,作A ,B 的对称点A ’,B ’,连接A'B ’,交两长条桌于C ,D 两点,则折线ACDB 就是捷径.连接A'M 和B'M 因为A ,A ’于CM 对称,B ,B ’关于DM 对称,所以AC=A'C ,AM=A'M ,BD=B'D,BM=B'M.所以折线ACDB 的长=AC+CD+DB=A'C+CD+DB'=A'CDB'=A'B ’,而AM+BM=A'M+B'M> A'B',所以拆线ACDB 是捷径.。
人教版八年级上册第13章《轴对称》单元测试含答案
人教版八年级上册第13章《轴对称》单元测试考试分值:120分;考试时间:100分钟;姓名:___________班级:___________考号:___________题号一二三总分得分评卷人得分一.选择题(共7小题,满分35分,每小题5分)1.(5分)下列体育运动标志中,从图案看不是轴对称图形的有()个.A.4 B.3 C.2 D.12.(5分)在平面直角坐标系中,点(1,1)关于y轴对称的点的坐标是()A.(﹣1,﹣1)B.(1,﹣1)C.(﹣1,1)D.(1,1)3.(5分)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD平分∠ABC,则∠ABD的度数为()A.30°B.40°C.20°D.25°4.(5分)已知:如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D,若△AGC的周长为31cm,AB=20cm,则△ABC的周长为()A.31cm B.41cm C.51cm D.61cm5.(5分)如图,在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC,则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形共有()个.A.3个 B.4个 C.5个 D.6个6.(5分)△ABC中,AD是中线,点D到AB,AC的距离相等,则△ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.(5分)如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC、∠ACB的平分线交于E,D是AE延长线上一点,且∠BDC=120°.下列结论:①∠BEC=120°;②DB=DE;③∠BDE=2∠BCE.其中正确结论的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3评卷人得分二.填空题(共7小题,满分35分,每小题5分)8.(5分)一个三角形可被剖成两个等腰三角形,原三角形的一个内角为36度,求原三角形最大内角的所有可能值.9.(5分)在Rt△ABC中,若∠C=90°,AB=,∠A=30°,则BC=.10.(5分)如图所示,一排数字是球衣数字在镜中的像,则原数是.11.(5分)已知点M(1﹣2m,m﹣1)关于x轴的对称点在第一象限,则m 的取值范围是.12.(5分)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5,那么这个等腰三角形的周长为.13.(5分)如下图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,垂足为E,D 在BC上,已知∠CAD=32°,则∠B=度.14.(5分)图中的正五角星有条对称轴,图中与∠A的2倍互补的角有个.评卷人得分三.解答题(共7小题,满分50分)15.(6分)用三角板和直尺作图.(不写作法,保留痕迹)如图,点A,B在直线l的同侧.(1)试在直线l上取一点M,使MA+MB的值最小.(2)试在直线l上取一点N,使NB﹣NA最大.16.(6分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(2x+y﹣3,x ﹣2y),它关于x轴的对称点A1的坐标为(x+3,y﹣4),关于y轴的对称点为A2.(1)求A1、A2的坐标;(2)证明:O为线段A1A2的中点.17.(7分)已知:如图,BD=DE=EF=FG.(1)若∠ABC=20°,∠ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线(如DE、EF、FG)共有几条?若∠ABC=10°呢?试一试,并简述理由.(2)若∠ABC=m°(0<m<90),你能找出一个折线条数n与m之间的关系吗?若有,请找出来;若无,请说明理由.18.(6分)如图所示,一个四边形纸片ABCD,∠B=∠D=90°,把纸片按如图所示折叠,使点B落在AD边上的B′点,AE是折痕.(1)试判断B′E与DC的位置关系;(2)如果∠C=130°,求∠AEB的度数.19.(7分)如图,在△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,且BD=CE,BD与CE相交于点O,连接AO.求证:AO垂直平分BC.20.(8分)如图△ABC为等边三角形,直线a∥AB,D为直线BC上一点,∠ADE交直线a于点E,且∠ADE=60°.(1)若D在BC上(如图1)求证CD+CE=CA;(2)若D在CB延长线上,CD、CE、CA存在怎样数量关系,给出你的结论并证明.21.(10分)已知:△ABC中,∠B、∠C的角平分线相交于点D,过D作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,求证:BE+CF=EF.参考答案与试题解析一.选择题(共7小题,满分35分,每小题5分)1.(5分)下列体育运动标志中,从图案看不是轴对称图形的有()个.A.4 B.3 C.2 D.1【分析】根据轴对称图形的概念:关于某条直线对称的图形叫轴对称图形.求解【解答】解:(1)(2)(4)都不是轴对称图形,只有(3)是轴对称图形.故选:B.【点评】轴对称图形的判断方法:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.2.(5分)在平面直角坐标系中,点(1,1)关于y轴对称的点的坐标是()A.(﹣1,﹣1)B.(1,﹣1)C.(﹣1,1)D.(1,1)【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变;即点(x,y)关于y轴的对称点的坐标是(﹣x,y)即可得到点(1,1)关于y轴对称的点的坐标.【解答】解:点(1,1)关于y轴的对称点的坐标是(﹣1,1),故选:C.【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律,比较容易,关键是熟记规律:(1)关于x轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数.(2)关于y轴对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变.3.(5分)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD平分∠ABC,则∠ABD的度数为()A.30°B.40°C.20°D.25°【分析】根据等腰三角形的性质就可以求出∠ABC和∠C的度数,由角平分线的性质就可以求出∠ABD的度数.【解答】解:∵AB=AC,∠A=100°,∴∠ABC=∠C=40°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=20°.故选:C.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,解题的关键是掌握角平分线的性质,此题比较简单.4.(5分)已知:如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D,若△AGC的周长为31cm,AB=20cm,则△ABC的周长为()A.31cm B.41cm C.51cm D.61cm【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到GA=GB,根据三角形的周长公式计算即可.【解答】解:∵DG是AB的垂直平分线,∴GA=GB,∵△AGC的周长为31cm,∴AG+GC+AC=BC+AC=31cm,又AB=20cm,∴△ABC的周长=AB+AC+BC=51cm,故选:C .【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.5.(5分)如图,在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC ,则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个.A .3个B .4个C .5个D .6个【分析】解答此题首先找到△ABC 的对称轴,EH 、GC 、AD ,BF 等都可以是它的对称轴,然后依据对称找出相应的三角形即可.【解答】解:与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG 、△CDF 、△AEF 、△DBH ,△BCG 共5个,故选:C .【点评】本题主要考查轴对称的性质;找着对称轴后画图是正确解答本题的关键.6.(5分)△ABC 中,AD 是中线,点D 到AB ,AC 的距离相等,则△ABC 一定是( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【分析】根据中线的性质得出S △ABD =S △ACD ,再由点D 到AB ,AC 的距离相等,得出AB=AC ,从而得出△ABC 一定是等腰三角形.【解答】解:∵AD是中线,=S△ACD,∴S△ABD∵D到AB,AC的距离相等,∴AB=AC,∴△ABC一定是等腰三角形,故选:B.【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及中线的性质,掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键.7.(5分)如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC、∠ACB的平分线交于E,D是AE延长线上一点,且∠BDC=120°.下列结论:①∠BEC=120°;②DB=DE;③∠BDE=2∠BCE.其中正确结论的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【分析】根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB,然后求出∠BEC=120°,判断①正确;过点D作DF⊥AB于F,DG⊥AC的延长线于G,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG,再求出∠BDF=∠CDG,然后利用“角边角”证明△BDF和△CDG全等,根据全等三角形对应边相等可得BD=CD,再根据等边对等角求出∠DBC=30°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB,根据等角对等边可得BD=DE,判断②正确,再求出B,C,E三点在以D 为圆心,以BD为半径的圆上,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE,判断③正确.【解答】解:∵∠BAC=60°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°,∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=×120°=60°,∴∠BEC=180°﹣(∠EBC+∠ECB)=180°﹣60°=120°,故①正确;如图,过点D作DF⊥AB于F,DG⊥AC的延长线于G,∵BE、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线,∴AD为∠BAC的平分线,∴DF=DG,∴∠FDG=360°﹣90°×2﹣60°=120°,又∵∠BDC=120°,∴∠BDF+∠CDF=120°,∠CDG+∠CDF=120°,∴∠BDF=∠CDG,∵在△BDF和△CDG中,,∴△BDF≌△CDG(ASA),∴DB=CD,∴∠DBC=(180°﹣120°)=30°,∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE,∵BE平分∠ABC,AE平分∠BAC,∴∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠BAC=30°,根据三角形的外角性质,∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°,∴∠DBE=∠DEB,∴DB=DE,故②正确;∵DB=DE=DC,∴B,C,E三点在以D为圆心,以BD为半径的圆上,∴∠BDE=2∠BCE,故③正确;综上所述,正确的结论有①②③共3个.故选:D.【点评】本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,等角对等边的性质,圆内接四边形的判定,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质,综合性较强,难度较大,特别是③的证明.二.填空题(共7小题,满分35分,每小题5分)8.(5分)一个三角形可被剖成两个等腰三角形,原三角形的一个内角为36度,求原三角形最大内角的所有可能值.【分析】分为以下情况:①原三角形是锐角三角形,最大角是72°的情况;②原三角形是直角三角形,最大角是90°的情况;③原三角形是钝角三角形,最大角是108°的情况;④原三角形是钝角三角形,最大角是126°的情况;⑤原三角形是钝角三角形,最大角是132°的情况.【解答】解:①原三角形是锐角三角形,最大角是72°的情况如图所示:∠ABC=∠ACB=72°,∠A=36°,AD=BD=BC;②原三角形是直角三角形,最大角是90°的情况如图所示:∠ABC=90°,∠A=36°,AD=CD=BD;③原三角形是钝角三角形,最大角是108°的情况如图所示:④原三角形是钝角三角形,最大角是126°的情况如图所示:∠ABC=126°,∠C=36°,AD=BD=BC;⑤原三角形是钝角三角形,最大角是132°的情况如图所示:∠C=132°,∠ABC=36°,AD=BD,CD=CB.综上,原三角形最大内角的所有可能值为72°,90°,108°,132°,126°.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理;分情况讨论是解决本题的关键,本题有一定的难度.9.(5分)在Rt△ABC中,若∠C=90°,AB=,∠A=30°,则BC=5.【分析】根据含30度角的直角三角形的性质推出BC=AB,代入求出即可.【解答】解:∵∠C=90°,∠A=30°,AB=10,∴BC=AB=×10=5,故答案为:5.【点评】本题主要考查对含30度角的直角三角形的性质的理解和掌握,能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键.10.(5分)如图所示,一排数字是球衣数字在镜中的像,则原数是251.【分析】易得所求的号码与看到的号码关于竖直的一条直线成轴对称,作出相应图形即可求解.【解答】解:由题意得:251|125.故答案为:251.【点评】考查了镜面对称,解决本题的关键是找到相应的对称轴;难点是作出相应的对称图形;注意2,5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5,2.11.(5分)已知点M(1﹣2m,m﹣1)关于x轴的对称点在第一象限,则m 的取值范围是m<.【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出M点位置,进而得出答案.【解答】解:∵点M(1﹣2m,m﹣1)关于x轴的对称点在第一象限,∴点M在第四象限,∴,解得:m<.故答案为:m<.【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质以及不等式组的解法,正确解不等式是解题关键.12.(5分)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5,那么这个等腰三角形的周长为12.【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.【解答】解:分情况讨论:①当三边是2,2,5时,2+2<5,不符合三角形的三边关系,应舍去;②当三角形的三边是2,5,5时,符合三角形的三边关系,此时周长是12.故填12.【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.13.(5分)如下图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,垂足为E,D 在BC上,已知∠CAD=32°,则∠B=29度.【分析】利用中垂线和三角形外角性质计算.【解答】解:∠C=90°,∠CAD=32°⇒∠ADC=58°,DE为AB的中垂线⇒∠BAD=∠B又∠BAD+∠B=58°⇒∠B=29°故填29°【点评】本题涉及中垂线和三角形外角性质,难度中等.14.(5分)图中的正五角星有5条对称轴,图中与∠A的2倍互补的角有10个.【分析】正五角星经过角的顶点和中心点的直线都是它的对称轴,有5条对称轴,且五角星的五个角相等,从而求得答案.【解答】解:正五角星经过角的顶点和中心点的直线都是它的对称轴,所以有5条对称轴.与∠A的2倍即是∠AIE,与该角互为补角的角有∠AIC和∠DIE共两个,同理可得出其他八个符合条件的角.故答案为:5,10.【点评】本题考查了轴对称的性质,轴对称图形的判断方法:把某个图象沿某条直线折叠,如果图形的两部分能够重合,那么这个是轴对称图形,这条直线是它的对称轴.三.解答题(共7小题,满分50分)15.(6分)用三角板和直尺作图.(不写作法,保留痕迹)如图,点A,B在直线l的同侧.(1)试在直线l上取一点M,使MA+MB的值最小.(2)试在直线l上取一点N,使NB﹣NA最大.【分析】(1)作点A关于直线l的对称点,再连接解答即可;(2)连接BA,延长BA交直线l于N,当N即为所求;【解答】解:(1)如图所示:(2)如图所示;理由:∵NB﹣NA≤AB,∴当A、B、N共线时,BN﹣NA的值最大.【点评】此题主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题中的作图步骤,是此类问题的基础,需熟练掌握.16.(6分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(2x+y﹣3,x ﹣2y),它关于x轴的对称点A1的坐标为(x+3,y﹣4),关于y轴的对称点为A2.(1)求A1、A2的坐标;(2)证明:O为线段A1A2的中点.【分析】(1)根据“关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”列方程组求出x、y的值,从而得到点A的坐标,再根据“关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”写出点A1的坐标,根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”写出点A2的坐标;(2)设经过OA1的直线解析式为y=kx,利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式,再求出点A2在直线上,然后利用勾股定理列式求出OA1=OA2,最后根据线段中点的定义证明即可.【解答】(1)解:∵点A(2x+y﹣3,x﹣2y)与A1(x+3,y﹣4)关于x轴对称,∴,解得,所以,A(8,3),所以,A1(8,﹣3),A2(﹣8,3);(2)证明:设经过O、A1的直线解析式为y=kx,易得:y OA1=﹣x,又∵A2(﹣8,3),∴A2在直线OA1上,∴A1、O、A2在同一直线上,由勾股定理知OA1=OA2==,∴O为线段A1A2的中点.【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数.17.(7分)已知:如图,BD=DE=EF=FG.(1)若∠ABC=20°,∠ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线(如DE、EF、FG)共有几条?若∠ABC=10°呢?试一试,并简述理由.(2)若∠ABC=m°(0<m<90),你能找出一个折线条数n与m之间的关系吗?若有,请找出来;若无,请说明理由.【分析】(1)由已知可得到几组相等的角,再根据三角形外角的性质可得到∠EDF,∠FEG,∠AFG,∠AMG分别与∠B的关系,再根据三角形内角和定理即可求解.(2)结合第(1)题,根据三角形内角和定理可知,需满足mn<90°,从而不难求解.【解答】解:(1)有4条,若∠ABC=10°,有8条.当∠ABC=20°,∵BD=DE=EF=FG=GM,∴∠DEB=∠B,∠EDF=∠EFD,∠FEG=∠FGE,∠GFM=∠FMG∵∠EDF=2∠B=40°,∠FEG=3∠B=60°,∠AFG=4∠B=80°,∠AMG=5∠B=100°,∴同理:∠AMG将成为下一个等腰三角形的底角∵100°+100°>180°∴不会再由下一条折线∴共有四条拆线,分别是:DE、EF、FG,GM.同理:当∠ABC=10°,有8条符合条件的折线.(2)由(1)可知∠EDF=2∠B=2m°,∠FEG=3∠B=3m°,∠AFG=4∠B=4m°,∵根据三角形内角和定理可知,需满足mn<90°,∴n<的整数.【点评】此题主要考查等腰三角形的性质,三角形外角和性质及三角形内角和定理的综合运用.18.(6分)如图所示,一个四边形纸片ABCD,∠B=∠D=90°,把纸片按如图所示折叠,使点B落在AD边上的B′点,AE是折痕.(1)试判断B′E与DC的位置关系;(2)如果∠C=130°,求∠AEB的度数.【分析】(1)由于AB′是AB的折叠后形成的,所以∠AB′E=∠B=∠D=90°,∴B′E ∥DC;(2)利用平行线的性质和全等三角形求解.【解答】解:(1)由于AB′是AB的折叠后形成的,∠AB′E=∠B=∠D=90°,∴B′E∥DC;(2)∵折叠,∴△ABE≌△AB′E,∴∠AEB′=∠AEB,即∠AEB=∠BEB′,∵B′E∥DC,∴∠BEB′=∠C=130°,∴∠AEB=∠BEB′=65°.【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质;把纸片按如图所示折叠,使点B 落在AD边上的B′点,则△ABE≌△AB′E,利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解.19.(7分)如图,在△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,且BD=CE,BD与CE相交于点O,连接AO.求证:AO垂直平分BC.【分析】欲证明AO垂直平分BC,只要证明AB=AC,BO=CO即可;【解答】证明:∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BEC=∠BDC=90°,在Rt△BEC和Rt△CDB中,∴Rt△BEC≌Rt△CDB (HL),∴∠ABC=∠ACB,∠ECB=∠DBC,∴AB=AC,BO=OC,∴点A、O在BC的垂直平分线上,∴AO垂直平分BC.【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.20.(8分)如图△ABC为等边三角形,直线a∥AB,D为直线BC上一点,∠ADE 交直线a于点E,且∠ADE=60°.(1)若D在BC上(如图1)求证CD+CE=CA;(2)若D在CB延长线上,CD、CE、CA存在怎样数量关系,给出你的结论并证明.【分析】(1)实际上也就是求两条线段相等,在AC上取一点F,使CF=CD,然后求证△ADF≌△EDC即可.(2)归根究底仍是求两条线段的问题,通过求证全等,最终得出几条边之间的关系.【解答】(1)证明:在AC上取点F,使CF=CD,连接DF.∵∠ACB=60°,∴△DCF为等边三角形.∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°.∴∠3=∠5.∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE,∴∠1=∠2.在△ADF和△EDC中,,∴△ADF≌△EDC(AAS).∴CE=AF.∴CD+CE=CF+AF=CA.(2)解:CD、CE、CA满足CE+CA=CD;证明:在CA延长线上取CF=CD,连接DF.∵△ABC为等边三角形,∴∠ACD=60°,∵CF=CD,∴△FCD为等边三角形.∵∠1+∠2=60°,∵∠ADE=∠2+∠3=60°,∴∠1=∠3.在△DFA和△DCE中,∴△DFA≌△DCE(ASA).∴AF=CE.∴CE+CA=FA+CA=CF=CD.注:证法(二)以CD为边向下作等边三角形,可证.证法(三)过点D分别向CA、CE作垂线,也可证.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质;可围绕结论寻找全等三角形,运用全等三角形的性质判定线段相等,证得三角形全等是正确解答本题的关键.21.(10分)已知:△ABC中,∠B、∠C的角平分线相交于点D,过D作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,求证:BE+CF=EF.【分析】根据角平分线定义和平行线性质求出∠EDB=∠EBD,推出DE=BE,同理得出CF=DF,即可求出答案.【解答】证明:∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC,∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∴∠EDB=∠EBD,∴DE=BE,同理CF=DF,∴EF=DE+DF=BE+CF,即BE+CF=EF.【点评】本题考查了角平分线定义,平行线性质,等腰三角形的判定的应用,注意:等角对等边.。
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初中八年级数学第十三章轴对称单元检测试卷习题五(含答
案)
如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠A =36°,BD 、CE 分别是∠ABC 、
∠BCD 的平分线,则图中的等腰三角形有( )
A .5个
B .4个
C .3个
D .2个
【答案】A
【解析】
【分析】 由等边对等角可求出∠ABC=∠ACB=72°,再根据角平分线与三角形外角性质求出图中其余角度,在图中标注出角度,根据相等的角找出等腰三角形即可得解.
【详解】
∵在△ABC 中,AB =AC ,△A =36°
∴∠ABC=∠ACB=()1180A 2
-∠=72° ∵BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的平分线
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°,∠ACE=∠BCE=12
∠ACB=36° ∴∠CDE=∠A+∠ABD=72°,∠CED=∠BCE+∠CBD=72°, 在图中标注如下:
等腰三角形有:△ABC,△ABD,△BCE,△CDE,△BCD,总共5个,故选A.
【点睛】
本题考查等腰三角形的判断,根据三角形内角和与外角性质求出角度是关键.
二、填空题
42.在平面直角坐标系中,点(,)
N-关于x轴对称,则+a b的
M a b与点(3,1)
值是_____.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据关于x轴对称的两点的横坐标相同,纵坐标互为相反数求得a、b的值即可求得答案.
【详解】
点(,)
M a b与点(3,1)
M-关于x轴对称,
b=,
∴=,1
3
a
则a+b的值是:4,
故答案为:4.
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征,熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键.
43.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=9cm,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,则MN的长为______cm.
【答案】3
【解析】
试题分析:连接AM,AN,∵AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,
∵BM=AM,CN=AN,∵∵MAB=∵B,∵CAN=∵C,∵∵BAC=120°,AB=AC,∵∵B=∵C=30°,
∵∵BAM+∵CAN=60°,∵AMN=∵ANM=60°,∵∵AMN是等边三角形,
∵AM=AN=MN,∵BM=MN=NC,
∵BC=9cm,∵MN=3cm.
故答案为3cm.
考点:1.线段垂直平分线的性质;2.等腰三角形的性质;
44.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,ABC的顶点,A C均落在格点上,点B在网格线上,且5
AB=.
3
(Ⅰ)线段AC的长等于___________;
(Ⅱ)以BC为直径的半圆与边AC相交于点D,若,P Q分别为边,
AC BC上的动点,当BP PQ
的直尺,在如图所示的网格中,+取得最小值时,请用无刻度
...
画出点,P Q,并简要说明点,P Q的位置是如何找到的(不要求证明)_______.
详见解析
【解析】
【分析】
(1)将AC放在一个直角三角形,运用勾股定理求解;
(2)取格点M,N,连接MN,连接BD并延长,与MN相交于点B';连接B C',与半圆相交于点E,连接BE,与AC相交于点P,连接B P'并延长,与BC相交于点Q,则点P,Q即为所求.
【详解】
解:(Ⅰ)如图,在Rt△AEC中,CE=3,AE=2,则由勾股定理,得AC=
=
(Ⅱ)如图,取格点M,N,连接MN,连接BD并延长,与MN相交于点B';连接B C',与半圆相交于点E,连接BE,与AC相交于点P,连接B P'并延长,与BC相交于点Q,则点P,Q即为所求.
【点睛】
本题考查作图-应用与设计,勾股定理,轴对称-最短问题,垂线段最短等知识,解题的关键是学会利用轴对称,根据垂线段最短解决最短问题,属于中考常考题型.
45.在ABC中,50
∠为_____时,ABC是等腰三角形.
∠=︒,当A
B
【答案】50°或65°或80°
【解析】
【分析】
由已知条件,根据题意,分三种情况讨论:①∠B是顶角;②∠A是顶角,③∠C是顶角,利用三角形的内角和以及等腰三角形的两个底角相等进行求解.
【详解】
解:①∠B是顶角,∠A=(180°−∠B)÷2=65°;
②∠C是顶角,∠B=∠A=50°.
③∠A是顶角,∠B=∠C=50°,则∠A=180°−50°×2=80°,
∴当∠A的度数为50°或65°或80°时,△ABC是等腰三角形.
故答案为:50°或65°或80°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理;分情况讨论是正确解答本题的关键.
46.如图,AE是∠BAC的角平线,AE的中垂线PF交BC的延长线于点F,若∠CAF=50°,则∠B=_______.
【答案】50°
【解析】
∵AE是中垂线PF交BC的延长线于点F,
∴AF=EF,
∴∠FAE=∠FEA,
∵∠FAE=∠FAC+∠CAE,∠FEA=∠B+∠BAE,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE,
∴∠FAC=∠B=50°.
故答案为50°.
47.如图,∠A=20°,∠C=40°,∠ADB=80°,则图中共有等腰三角形 个.
【答案】2
【解析】
根据三角形的内角和定理,三角形的外角的性质,得∠ADB=∠ABD ,∠DBC=∠C ,再根据等角对等边得出图中等腰三角形的个数.
解:∵∠ABD=180°﹣20°﹣80°=80°,
∠DBC=∠ADB ﹣∠C=40°.
∴∠ADB=∠ABD=80°,∠DBC=∠C=40°,
故△ABD 和△BCD 是等腰三角形.
故填2.
48.如图,ABCD 中,点P 为BC 边上一点,4AB =,5BC =,30B ∠=︒,若ABP ∆为等腰三角形,则BP =_________.
【答案】4
【解析】
【分析】
ABP ∆为等腰三角形,分三种情况:①当AB BP =时、②当BP PA =时、③当AB AP =时进一步讨论即可.
【详解】
如图:
①当AB BP =时,即点P 在1P 位置时,
∵4AB =,∴145BP =<,符合题意;
②当BP PA =时,即点P 在2P 位置时,过点2P 作2P F AB ⊥于点F , ∵4AB =,∴2AF BF ==,
在2Rt P BF ∆
中,25cos302
BF P B ︒===<,符合题意, ③当AB AP =时,即点P 在3P 的位置时,过点A 作AE BC ⊥于点E ,
在Rt ABE ∆中,1sin30422AE AB =⋅︒=⨯=
,cos304BE AB ︒=⋅==
∴325BP BE ==>,∵点P 为BC 边上一点,∴不符合题意;
综上所述,4BP =
故答案为:4
. 【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质,求出P点,根据题意正确辨析是否符合题意是解题关键.
错因分析难题.失分原因是:计算出点P坐标后,忽略了其在线段上这个隐含的条件.
49.如图,O是矩形ABCD对角线的交点,AE平分∠BAD,∠OAE=15°,则∠ADB的度数为__.
【答案】30°
【解析】
【分析】
由角平分线定义及矩形性质可得∠DAE=45°,OA=OD,再根据
∠OAD=∠OAD -∠OAD得出结果.
【详解】
解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=∠ABE=90°,OA=OD.∴
OAD ADB
∠=∠
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=1
2
DAB
∠=45°.
∵∠OAE=15°,
∴∠OAD=∠OAD -∠OAD =45°-15°=30°.
∴∠ADB=∠OAD=30°
故答案为30°.
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质,解题的关键是通过矩形性质得到等腰三角形,在等腰三角形中求解角的度数.
50.如图,一艘船在A处遇险后向相距35海里位于B处的救生船报警,请用方向和距离描述遇险船A相对于救生船B的位置__________.
【答案】南偏西60°,35海里
【解析】
【分析】
根据图形,读出A、B两点方向关系,再加上距离35海里即可.
【详解】
点B在点A的南偏西60°方向,距离为35海里
故答案为:南偏西60°,35海里
【点睛】
本题考查方位的描述,注意,描述方位需要描述方向和距离两个部分.。