发现问题,提出有价值的结论
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（1）如果函数 y x 函数的特例. 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明） ，并求函数
1 1 1 F ( x) x 2 2 x （ n 是正整数）在区间 , 2 上的最大值和最小值（可利 x x 2
1 xn1 xn ； 2
3
xn 计算
100 的近似值，要求 xn xn1 104 ，
a , 上是增函数.
a 有如下性质：如果常数 a 0 ，那么该函数在 0, x
a 上是减函数,
2b ( x 0) 的值域为 [ 6 , ) ，求 b 的值； x c （2）研究函数 y x 2 2 （常数 c 0 ）在定义域内的单调性，并说明理由； x a a （3）对函数 y x 和 y x 2 2 （常数 a 0 ）作出推广，使它们都是你所推广的 x x
பைடு நூலகம்
n
n
a n 1 bn ，并说明理由； an
（3）若 a1 5, d 4, b1 q 3 ，试确定所有的 p ，使数列 a n 中存在某个连续 p 项的
和是数列 bn 中的一项，请证明. 2010 年秋理第 22 题 若实数 x、y、m 满足 | x m | | y m | ，则称 x 比 y 远离 m . （1）若 x 2 1 比 1 远离 0，求 x 的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数 a、b ，证明： a 3 b 3 比 a 2 b ab 2 远离 2ab ab ；
（2）写出一个函数 f ( x) ，使得 f ( x) M ，并说明理由； （3）写出一个函数 f ( x) M ，使得数列极限 lim 2011 年春第 23 题 对于给定首项 x0 3 a ( a 0 ) ，由递推式 x n 1
n
f ( n) f ( n) 1, lim 1. 2 n n n
x x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f 1 2 2
的所有函数 f ( x) 组成的集合记为 M . 例如，函数 f ( x) kx b M .
x x 0, （1）已知函数 f ( x) 1 证明： f ( x) M ； x x 0. 2
1 xn 2 ( n N ) 得到数列
a xn
xn ，且对于任意的 n N ，都有 xn
3 a . 用数列 x n 可以计算 3 a 的近似值.
（1） 取 x0 5 ，a 100 ， 计算 x1、x 2、x3 的值(精确到 0.01） ； 归纳出 x n、x n 1 的大小关系； （2）当 n 1 时，证明： x n x n 1 （3）当 x0 [ 5, 10 ] 时，用数列 请你估计 n ，并说明理由.
用你的研究结论）. 2009 年秋理第 23 题 已知 a n 是公差为 d 的等差数列， bn 是公比为 q 的等比数列. （1）若 a n 3n 1 ，是否存在 m、k N * ，有 a m a m1 a k ？说明理由； （2）找出所有数列 a n 和 bn ，使对一切 n N * ，
1 PA ，求二面角 D BC A 的大小； 2
（结果用反三角函数值表示） （3）设棱台 DEF ABC 的体积为 V ，是否存在体 积为 V 且各棱长均相等的平行六面体，使得它与棱台 DEF ABC 有相同的棱长和？若存 在，请具体构造出这样的一个平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由. 2006 年秋理第 22 题 已知函数 y x 在
k , （3）已知函数 f ( x) 的定义域 D x x 2 4
k Z,
x R . 任取 x D ， f ( x) 等
于 sin x 和 cos x 中远离 0 的那个值. 写出函数 f ( x) 的解析式，并指出它的基本性质（结论不 要求证明）. 2011 年春第 22 题 22. 定义域为 R ，且对任意实数 x1、x 2 都满足不等式
发现问题，提出有价值的结论
2004 年秋理第 21 题 如图， P ABC 是底面边长为 1 的正三棱锥， D、E、F 分别为棱 PA、PB、PC 上 的点，截面 DEF // 底面 ABC ，且棱台 DEF ABC 与棱 锥 P ABC 的棱长和相等. （棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） （1）证明： P ABC 为正四面体； （2）若 PD
1 1 1 F ( x) x 2 2 x （ n 是正整数）在区间 , 2 上的最大值和最小值（可利 x x 2
1 xn1 xn ； 2
3
xn 计算
100 的近似值，要求 xn xn1 104 ，
a , 上是增函数.
a 有如下性质：如果常数 a 0 ，那么该函数在 0, x
a 上是减函数,
2b ( x 0) 的值域为 [ 6 , ) ，求 b 的值； x c （2）研究函数 y x 2 2 （常数 c 0 ）在定义域内的单调性，并说明理由； x a a （3）对函数 y x 和 y x 2 2 （常数 a 0 ）作出推广，使它们都是你所推广的 x x
பைடு நூலகம்
n
n
a n 1 bn ，并说明理由； an
（3）若 a1 5, d 4, b1 q 3 ，试确定所有的 p ，使数列 a n 中存在某个连续 p 项的
和是数列 bn 中的一项，请证明. 2010 年秋理第 22 题 若实数 x、y、m 满足 | x m | | y m | ，则称 x 比 y 远离 m . （1）若 x 2 1 比 1 远离 0，求 x 的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数 a、b ，证明： a 3 b 3 比 a 2 b ab 2 远离 2ab ab ；
（2）写出一个函数 f ( x) ，使得 f ( x) M ，并说明理由； （3）写出一个函数 f ( x) M ，使得数列极限 lim 2011 年春第 23 题 对于给定首项 x0 3 a ( a 0 ) ，由递推式 x n 1
n
f ( n) f ( n) 1, lim 1. 2 n n n
x x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f 1 2 2
的所有函数 f ( x) 组成的集合记为 M . 例如，函数 f ( x) kx b M .
x x 0, （1）已知函数 f ( x) 1 证明： f ( x) M ； x x 0. 2
1 xn 2 ( n N ) 得到数列
a xn
xn ，且对于任意的 n N ，都有 xn
3 a . 用数列 x n 可以计算 3 a 的近似值.
（1） 取 x0 5 ，a 100 ， 计算 x1、x 2、x3 的值(精确到 0.01） ； 归纳出 x n、x n 1 的大小关系； （2）当 n 1 时，证明： x n x n 1 （3）当 x0 [ 5, 10 ] 时，用数列 请你估计 n ，并说明理由.
用你的研究结论）. 2009 年秋理第 23 题 已知 a n 是公差为 d 的等差数列， bn 是公比为 q 的等比数列. （1）若 a n 3n 1 ，是否存在 m、k N * ，有 a m a m1 a k ？说明理由； （2）找出所有数列 a n 和 bn ，使对一切 n N * ，
1 PA ，求二面角 D BC A 的大小； 2
（结果用反三角函数值表示） （3）设棱台 DEF ABC 的体积为 V ，是否存在体 积为 V 且各棱长均相等的平行六面体，使得它与棱台 DEF ABC 有相同的棱长和？若存 在，请具体构造出这样的一个平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由. 2006 年秋理第 22 题 已知函数 y x 在
k , （3）已知函数 f ( x) 的定义域 D x x 2 4
k Z,
x R . 任取 x D ， f ( x) 等
于 sin x 和 cos x 中远离 0 的那个值. 写出函数 f ( x) 的解析式，并指出它的基本性质（结论不 要求证明）. 2011 年春第 22 题 22. 定义域为 R ，且对任意实数 x1、x 2 都满足不等式
发现问题，提出有价值的结论
2004 年秋理第 21 题 如图， P ABC 是底面边长为 1 的正三棱锥， D、E、F 分别为棱 PA、PB、PC 上 的点，截面 DEF // 底面 ABC ，且棱台 DEF ABC 与棱 锥 P ABC 的棱长和相等. （棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） （1）证明： P ABC 为正四面体； （2）若 PD