11[1].1.3等腰三角形.题库学生版

中考要求 内容基本要求略高要求 较高要求等腰三角形和直角三角形 了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题板块一 等腰三角形1． 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 2． 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形． 3． 等腰三角形的性质： (1)两腰相等． (2)两底角相等．(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． (4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．4． 等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形． (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．5． 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60． 6． 等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形． (2)三个角都相等的三角形是等边三角形．(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．7． 等腰直角三角形的性质：顶角等于90︒，底角等于45︒，两直角边相等． 等腰直角三角形的判定： (1)顶角为90︒的等腰三角形． (2)底角为45︒的等腰三角形．8． 含30︒角的直角三角形的重要结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．一、等腰三角形的认识【例1】 下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60︒，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．则以下结论正确的是( )例题精讲等腰三角形A ．只有命题①正确B ．只有命题②正确C ．命题①、②都正确D ．命题①、②都不正确【例2】 如图，MON ∠是一个钢架，10MON ∠=︒，在其内部添加一些钢管BC CD DE EF FG ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，添加的钢管都与OB 相等．（1）当添加到第五根钢管时，求FGM ∠的度数． （2）假设OM ON ，足够长，能无限地添加下去吗？如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根？【例3】 如图，在ABC ∆ 中，AD BC ⊥于D ．请你再添加一个条件，就可以确定ABC ∆是等腰三角形．你添加的条件是 ．DCBA【例4】 如图，在ABC △中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件：①EBO DOC ∠=∠；②BEO CDO ∠=∠；③BE CD =；④OB OC =．(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC △是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第⑴小题中的一种情形，证明ABC △是等腰三角形．OE D CBA【例5】 如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转α°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？ODCB A【例6】 如图，D 是ABC ∆的边AB 的延长线上一点，过D 作DF AC ⊥于点F ，交BC 于E ，BE BD =．求证：ABC ∆是等腰三角形．FEDCBA【例7】 如图，ABC ∆中，AM AN CN CP AB AQ CB CG ====，，，．试比较MNP ∠与GBQ ∠的大小．RPM NQGCBA【例8】 如图，等边三角形ABD ∆和等边CBD ∆的长均为1，E 是AD 上异于A D ，的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=．当E F ，移动时，试判断BEF ∆的形状．FE DCBA【例9】 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法正确的个数有( )①DC '平分BDE ∠； ②BC长为2)a ；③△BC D '是等腰三角形； ④△CED 的周长等于BC 的长．A ． 1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个CBAEDCBAC'EDCBA【例10】 如图⑴，AB AC =，BD ，CD 分别平分ABC ∠，ACB ∠．问：⑴图中有几个等腰三角形？⑵过D 点作EF ∥BC ，如图⑵，交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？⑶如图⑶，若将题中的ABC ∆改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段EF 与BE 、CF 有什么关系？⑷如图⑷，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠．DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系？⑸如图⑸，BD 、CD 为外角CBM ∠、BCN ∠的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于E ，交AC 延长线于F ，线段EF 与BE 、CF 有什么关系？(1)CD BA(5)(4)(3)(2)MDDDCCCBBBAA AAB CDEE E EF FF F GNN二、等腰三角形的性质【例11】 某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( )A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm【例12】 等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ．【例13】 已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( ) A ．4.8cm B ．9.6cm C ．2.4cm D ．1.2cm【例14】 若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒【例15】 ABC ∆的一个内角的大小是40︒，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒【例16】 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为( )A ．20B ．120 C ．20或120 D ．36【例17】 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25︒，则该三角形的一个底角为( )A ．32.5︒B ．57.5︒C ．65︒或57.5︒D ．32.5︒或57.5︒【例18】 从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的( )A ．两腰长的和 Ｂ．周长一半Ｃ．周长 Ｄ．一腰长与底边长的和【例19】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底长．【例20】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长．【例21】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边的长为( )A．17cm B．5cm C．17cm或5cm D．无法确定【例22】等腰三角形的周长是50，一腰上的中线分得两个三角形的周长是32和22，求腰长．【例23】已知等腰三角形的周长为12，腰长为x，求x的取值范围．【例24】已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，求x的取值范围．【例25】已知等腰三角形的周长为16，三边长为整数，求底边长．【例26】已知等腰三角形的周长为20，三边长为整数，求底边长．【例27】等腰三角形中一角是另一角的2倍，求各内角的度数．【例28】已知BD是等腰ABC∆三个内角的度数．∠=︒，求ABC∆一腰上的高，且50ABD【例29】在ABC=，BC BD ED EA===．求A∆中，AB AC∠．【例30】如图所示，AB AC==，求A=，BD BC AD∠的度数．ADBC 【例31】在ABC=，AD ED EB=，BC BD∆中，AB AC∠．==．求AADEBCα>︒，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它分成两个等腰三角形，求α．【例32】等腰三角形的顶角90AB C【例33】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．E D CB A【例34】 如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=，在AC 上取一点E ，使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．AB C D E【例35】 如下图所示，ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=︒，AE AD =，求EDC ∠的度数．50︒EDCBA【例36】 如图所示，已知ABC ∆中，D 、E 为BC 边上的点，且AD AE =，BD EC =，求证：AB AC =．AB CD E【例37】 如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =，连接,CE DE ，求证：CDE∆为等腰三角形．EDC BA【例38】 如图，在ABC ∆中，B ∠，C ∠为锐角，,,M N D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．ABCD MN三、等边三角形【例39】 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，BD AE =，AD 与CE 交于点F ．（1）求证：AD CE =；（2）求DFC ∠的度数． FE DCBA【例40】 如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的．F EDCBA【例41】 已知，如图，延长ABC △的各边，使得BF AC =，AE =CD AB =，顺次连接D E F ，，，得到DEF△为等边三角形．求证：(1)AEF CDE △≌△；(2)ABC △为等边三角形．FDECBA【例42】如下图，ABC∆是等边三角形，122CBF ACD BAE∠∠∠=∶∶∶∶，38DEF DFE∠-∠=︒．求出DEF∆的每个内角度数．FEDCBA【例43】如图所示，已知ABC∆，延长CA、AB、BC到D、E、F，连接DE、EF、FD，使得AED BFE CDF∠=∠=∠，若60ABC∠=，50DFE∠=，求BAC∠及EDF∠的度数．AB CDEF【例44】右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是．【例45】如图，六边形ABCDEF中，A B∠=∠C=∠=D∠E F=∠=∠，且AB+BC11=，FA-CD3=．求BC DE+．F EDCBA【例46】如图，分别以Rt ABC∆的直角边AC，BC为边，在Rt ABC∆外作两个等边三角形ACE∆和BCF∆，连结BE，AF．求证：BE AF=．FECBA【例47】 如图，ABC ∆和BDE ∆都是等边三角形，AB BD <，若ABC ∆不 动，将BDE ∆绕点B 旋转，则在旋转过程中，AE 与CD 的大小关系为( )． A ． AE CD = B ． AE CD > C ． AE CD < D ． 无法确定EDCBA【例48】 已知：等边ABC ∆中，如图，E 为AB 上任意一点，以CE 为斜边作等边CDE ∆，连结AD ，则有//AD BC ．上述结论成立吗？答： ．E DCBA【例49】 如图，DAC ∆和EBC ∆均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①ACE DCB ∆∆≌；②CM CN =；③AC DN =．其中正确结论的个数是A ． 3个B ．2个C ．1个D ．0个NM ED C BA【例50】 如图，三角形ABC 中，AB BC CA ==，AE CD =，AD ，BE 相交于P ，BQ 垂直AD 于Q ，求证：2BP PQ =．P QA BCDE【例51】 如图，已知四边形ABCD 中，,60AB AD BAD =∠=，120BCD ∠=，证明：BC DC AC +=．DCBA【例52】 如图，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M N ，分别在AB AC ，上，则AMN ∆的周长是 ． NM DBCA【例53】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是ABC ∆外的一点，且60ABD ∠=，60ACD ∠=．求证：BD DC AB +=．DBA【例54】 如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1902ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC ∆是等腰三角形．DCBA【例55】 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=，CA BA =，15DAC DCA ∠=∠=，求证：BA BD =．DACB四、直角三角形与等腰直角三角形【例56】 在Rt ABC ∆中，90306cm C A BC AB ∠=︒∠=︒+=，，，则AB = cm ．【例57】 如图，在Rt ABC ∆中，9060B ACB D ∠=︒∠=︒，，是BC 延长线上一点，且AC CD =，则:BC CD = ．DCBA【例58】 若AD 为ABC ∆的高，且11AD BD DC ===，，，则BAC ∠= ．【例59】 如图，在Rt ABC △中，90,30,C A CD AB ∠=∠=⊥，垂足为D ，求DBAD的值． DCBA【例60】 如图所示，在ABC ∆中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知3EH EB ==，4AE =，则CH 的长是 ．HED BAG ABCD EH【例61】 已知，如图所示，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连结AE 、EF 和CF ，30CAE ∠=︒，则EFC ∠= ．EFCBAN MABC FE【例62】 已知，如图，AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边，AD 是A ∠的平分线．求证：AC CD AB +=．DCBA【例63】 已知90AC BC C A =∠=︒∠，，的平分线AD 交BC 于D ，过B 作BE 垂直AD 于E ．则BE 与 12AD 的关系为 ．E DCBA【例64】 已知：如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90．F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE = BF ，连接AE 、EF 和CF ． （1）求证：AE CF =；（2）若∠CAE =30，求∠EFC 的度数．FECBA【例65】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由．MED CBA【例66】 如图，在Rt ABC △中，AB ＝AC ，A ∠＝90，D 为BC 上任意一点，且DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC于E ，M 为BC 的中点，试判断MEF △是什么形状的三角形，并证明你的结论．F ED CBA【例67】 已知：三角形ABC 中，A ∠=90，AB AC =，D 为BC 的中点，(1)如图，,E F 分别是,AB AC 上的点，且BE AF =，求证：DEF ∆为等腰直角三角形．(2)若,E F 分别为,AB CA 延长线上的点，仍有BE AF =，其他条件不变，那么，DEF ∆是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．FE DCBA【例68】 如图，1AB BC CD ===，2CE =，B C E 、、三点共线，BE AB CD BE ⊥⊥，，则AED ∠= ．EDCBA【例69】 如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD 平分C ∠，E 为AB 中点，PE AB ⊥交CD 延长线于P ，那么PAC PBC ∠+∠的大小是 ．ABC DEP【例70】 如图，ABC ∆为等腰直角三角形，90C ∠=︒，点,M N 分别为边AC 和BC 的中点，点D 在射线BM上，且2BD BM =，点E 在射线NA 上，且2NE NA =，求证：BD DE ⊥．MNABCDE【例71】 若三角形ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足：44422a b c b c =+-，44422b c a c a =+-，44422c a b a b =+-，则ABC ∆是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【例72】 如图，Rt ABC ∆中，90C D ∠=︒，是AC 中点，DE AB ⊥于E ，求证222BE AE BC -=．ED CBA【例73】 如图，在ABC ∆中，BF AC ⊥于F ，CG AB ⊥于G D E ，，分别是BC FG ，的中点．求证：DE GF ⊥．GFE D CB A。