水资源短缺风险评价
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大小来确定客观权重。一般来说，某个指标的信息熵 Ej 越小，表明指标的变异
程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所起的作用越大，其权重也越大。 反之则小。把数据进行标准化处理后转化为标准化数据 dij 后，依据以下公式计 算的第 j 项指标的信息熵：
m
Ej= -（ln m ）-1 pij ln pij i 1
5. 结果的分析
问题一的分析： 由于问题一中影响北京水资源短缺的主要因子会影响下面问题的求解，为了
确定结果的正确性，我们又采用变异系数法来检验。具体做法如下：
由于评价指标体系中的各项指标的量纲不同，不宜直接比较其差别程度。为
了消除各项评价指标的量纲不同的影响，需要用各项指标的变异系数来衡量各项
指标取值的差异程度。各项指标的变异系数公式如下：
3.2 符号说明
IK Ej Wj
U V
B, B xi (k )
符号说明
第 k 类指标在某年份的具体量 信息熵 影响水资源短缺各因子的权重 模糊综合评价法中因素论域的集合 模糊综合评价法中评定等级论域集合 水资源短缺的风险度量值 第 i 个指标在第 k 年的用水量或降水量
4. 模型的建立与求解
模型一： 基于以上分析和假设，以农业用水、工业用水、第三产业及生活等其他用水、
E4 =9.65067 , E5 =9.78244. 从而可得影响水资源短缺各个因素：农业用水、工业 用水、第三产业及生活等其他用水、水资源总量、降水总量的权重分别为 W1 =0.202154 , W2 =0.188457 , W3 =0.200741 , W4 =0.20278 , W5 =0.205868.由此 可知，影响北京水资源短缺的主要因子是：降雨量和水资源总量。
关键字 熵权法 变异系数法 模糊综合评价法 灰色预测
1. 问题的重述
水资源短缺危险泛指在特定的时空环境下，由于来水和用水的不确定性，使 区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及有此产生的损失。近年来我国水资源 短缺问题日趋严重，以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一， 属严重缺水地区。虽然政府采取了一些列措施，如南水北调工程建设, 建立污水 处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风 险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进 行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这 对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。我们可以利用资料 分析并解决给出的下列问题
北京水资源短缺风险评价
中原工学院信息商务学院 吕品 聂学鹏 王莹
摘要
本问题是一个对北京水资源短缺主要因子的确定、对北京水资源综合评价 和水资源短缺风险的预测问题。首先对各项数据做标准化处理，在利用熵 权法对各因子进行加权，通过比较个因子的权重，最终确定降雨量为主要 风险因子。又用变异系数法进行检验，两次结果基本吻合，说明了结果的 正确性。其次用模糊综合评价法，确定北京相对与其他地区的水资源短缺 风险等级为较高风险。然后通过构建灰色预测模型，以原始数据表中的时 间为准, 确定未来五年内各因素水资源的具体量，然后运用模型二中的确 定风险的方法确定这段时间内水资源的风险等级。最后我们综合上述分析 再查阅相关资料给北京市水行政主管部门做了一份建议报告。
其中 m 为被评价对象的数目，n 为评价指标数目，并且 pij=
dij
m
，如果 pij=0 ，
dij
i 1
则定义
lim
pij 0
pij
ln
p
ij
=0
。
利用熵计算各指标客观权重公式为:
Wj=
1-E j
n
n- Ej
j1
j=1, 2, 3n
由 实 际 数 据 计 算 可 得 ： E1 =9.62398 , E2 =9.03965 , E3 =9.56371 ,
可得 B =(0.147 , 0.346 ，0.210 , 0.178 , ,0.120) . 通过对比评定等级和归一化处理
后的数据可知,北京相对于其他城市在水资源短缺方面的危险等级为:较高危险.
模型三： 灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行预测，同
时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内 发生事件的未来时间分布情况做出研究。
Vi
i xi
i 1,2,,n
式中：Vi 是第 i 项指标的变异系数、也称为标准差系数； i 是第 i 项指标的
标准差； xi 是第 i 项指标的平均数。
各项指标的权重为：
Wi
Vi
n
Vi
i 1
由 实 际 数 据 计 算 可 得 ， V1 =0.2712, V2 =0.1454, V3 =0.2366 , V4 =0.2430 ,
问题一：评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？
影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、 农业用水、管理制度，人口规模等。
问题二：建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出 风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风 险降低？
问题三：对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。
问题三：
灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”“贫信息” 不确定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的 信息，实现对系统运行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实 验观测数据没什么特别要求和限制，因此应用领域十分广阔。
由此我们建立灰色预测模型，推到出第 i 个因子在 k 年与 k+1 的函数关系。 由这个关系计算出未来五年内的各个因子的具体函数值，再把计算出的函数值用 模型一的加权方法赋权，再用模型二处理后，确定这五年内的各个因素的导致水 资源短缺的风险等级。
设已知参考数据列 x（0）=（x（0（） 1），x（0（） 2），，x（0（）n ）），做一次累加生
成数列
x（1）=（x (1)(1),x(1)(2),,x(1)(n)） =(x(1)(1),x(1)(1)+x(0)(2),,x(1)(n-1)+x(0)(n))
k
其中 x(1) (k ) X (0) (i) i 1
评定等级论域 V , V=( v1 , v2 , , v5 ) .通常评语有 V=（很危险，较危险，危险，
较低危险 , 不危险） 由附录中的各因素在不同年份的具体量的图像，进行单因素评判，建立模糊
关系矩阵 R
0.106
0.090
1
J (u) (Y Du)T (Y Du) 达到最小值 u (a,b)T (DT D)1DTY
于是求解上述中的白化微分方程得：
x(1) (k 1) (x(0) (1) b)e ak b , k=1，2， ，n-1。
a
a
xˆ(0) (k 1) xˆ(1) (k 1) xˆ(1) (k ), k 1, 2, , n 1.
3. 模型的假设和符号说明
3.1 模型的假设 （1）南水北调工程在最近几年内对北京水资源短缺的局势没有明显的缓解。 （2）假设模型中所使用的数据都真实有效，能反映出水资源的供需情况。 （3）不考虑突然袭来的自然灾害（如干旱、洪涝灾害等）对北京水资源的影响。 （4）假设政府政策对水资源的管理影响忽略不计。 （5）北京没有大规模的人口迁徙，人口数量基本保持动态平衡。
模型二: 对北京市水资源短缺风险进行综合评价，就需要综合从多个因素角度出发对
水资源短缺做出尽可能客观的评价。为此我们建立模糊综合评价模型来解决这个 问题。模糊综合评价方法是应用模糊关系合成的远离，从多个因素（指标）对被 评价事物隶属等级状况进行综合评价的一种方法。
被评判对象，如农业用水、工业用水、第三产业及生活等其他用水、降水量、 水资源总量为因素论域 U，U=（U1 ,U2 ,U3 ,U5 ）；
（k=1，2， ，n）。求均值数列
z(1) (k ) 0.5x(1) (k ) 0.5x(1) (k 1), k=2，3， ，n
则 z(1) (z(1) (2), z(1) (3),, z(1) (n)) 。于是建立灰微分方程为
x(0) (k ) az(1) (k ) b ，k=2，3， ，n
V5 =0.2934,从而可得农业用水，工业用水，第三产业及生活等去他用水，降水量 总量，水资源总量这五个指标对北京市水资源短缺影响的权重分别为： W1 =0.2190， W2 =0.1085 , W3 =0.1016 , W4 =0.2024 , W5 = 0.2886。由此可知影响
相应的白化微分方程为 dx(1) ax(1) (t) b ， dt
记 u (a,b)T ,Y (x (0)(2), x (0)(3), , x (0)(n))T
z(1) (2)
D
z(1) (3) z(1) (n)
1 1 ，则由最小二乘法，求得使
具体地，对于“越大越好”的指标，已知进行评价的 k 类指标中，其极差标 准化的公式为
max I Ik
max{I} min{I}
对于“值越小越好”的指标，已知进行评价的 k 类指标中，其极差标准化 公式为
IK max I
max{I} min{I}
然后采用熵权法来确定各个指标的的权重，其基本思想是根据指标变异性的
W5 =0.205868 运用模糊算法,将 W 与 R 合成得到 B=( b1 , b2 , , b5 ).计算公式如下:
r11 r15
来自百度文库
B
W
R
（W1,W2, W5）
r51
r55
经计算可得 B=(0.297 , 0.699 , 0.424 , 0.360 , 0.243).将数据进行归一化处理后
问题四：以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。
2. 问题的分析
问题一：
众所周知影响水资源短缺的因素有很多，例如：气候条件、水利工程设施、 工业污染、农业用水、人口规模、水资源总量。由于熵权法是一种比较客观分析 数据内部规律，，因此利用该方法计算出影响水资源短缺各个因素的权重。根据 计算结果就可以判断出水资源短缺风险的主要因子。为了验证结果的正确性，我 们又用变异系数法再次对其各个影响因子进行赋权，判断出其影响水资源短缺的 主要因子。对两种方法计算出的结果进行比较，如果在误差允许范围之内，结果 可以较好的符合，则说明建立的模型比较真实。
水资源总量、降雨量为评价指标，通过对各个评价指标进行赋权建立评价模型。 通过该模型求出影响北京水资源短缺的各个因子的权重。进而确定影响水资源短 缺的主要因子。
在建立模型时，考虑了五个指标，其中 2 个指标是越大越好，3 个指标越小 越好。由于不同指标性质不同，量纲不同。其之间不具有可比性。为了得到一个 实用性更强的综合评价模型，我们将各指标进行标准化处理。
问题二：
模糊决策是研究模糊环境下或者模糊系统中进行决策的数学理论与方法。模 糊决策的目标是把决策论域中的对象在模糊环境下进行排序，或按某些模糊限制 条件从决策域中择出最优对象，然后对该系统进行评价。模糊综合评价方法，是 应用模糊关系合成的原理，从多个因素（指标）对被评事物隶属等级状况进行综 合评价的方法，由此我们可以针对单因素论域建立模糊矩阵，再将其与各因素的 权重进行模糊运算。将运算结果与评定等级中的标准进行比较，从而确定北京水 资源短缺的风险等级。
其中 rij 为 U 中因素 ui 对于 v 中等级 v j 的隶属关系；
又由问题一结果可知，各因素最终的权重 W=(W1 ,W2 .W5 )，W 是 U 中各因素对评价
事物的隶属系数，它取决于人们进行模糊综合评判时的着眼点，即根据评判时各因素的重要
性 分 配 权 重 ； W1 =0.202154 , W2 =0.188457 , W3 =0.200741 , W4 =0.20278 ,
R 0.1080.1730.2270.133 ，
0.0700.2080.1050.077
0.300
0 rij 1
程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所起的作用越大，其权重也越大。 反之则小。把数据进行标准化处理后转化为标准化数据 dij 后，依据以下公式计 算的第 j 项指标的信息熵：
m
Ej= -（ln m ）-1 pij ln pij i 1
5. 结果的分析
问题一的分析： 由于问题一中影响北京水资源短缺的主要因子会影响下面问题的求解，为了
确定结果的正确性，我们又采用变异系数法来检验。具体做法如下：
由于评价指标体系中的各项指标的量纲不同，不宜直接比较其差别程度。为
了消除各项评价指标的量纲不同的影响，需要用各项指标的变异系数来衡量各项
指标取值的差异程度。各项指标的变异系数公式如下：
3.2 符号说明
IK Ej Wj
U V
B, B xi (k )
符号说明
第 k 类指标在某年份的具体量 信息熵 影响水资源短缺各因子的权重 模糊综合评价法中因素论域的集合 模糊综合评价法中评定等级论域集合 水资源短缺的风险度量值 第 i 个指标在第 k 年的用水量或降水量
4. 模型的建立与求解
模型一： 基于以上分析和假设，以农业用水、工业用水、第三产业及生活等其他用水、
E4 =9.65067 , E5 =9.78244. 从而可得影响水资源短缺各个因素：农业用水、工业 用水、第三产业及生活等其他用水、水资源总量、降水总量的权重分别为 W1 =0.202154 , W2 =0.188457 , W3 =0.200741 , W4 =0.20278 , W5 =0.205868.由此 可知，影响北京水资源短缺的主要因子是：降雨量和水资源总量。
关键字 熵权法 变异系数法 模糊综合评价法 灰色预测
1. 问题的重述
水资源短缺危险泛指在特定的时空环境下，由于来水和用水的不确定性，使 区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及有此产生的损失。近年来我国水资源 短缺问题日趋严重，以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一， 属严重缺水地区。虽然政府采取了一些列措施，如南水北调工程建设, 建立污水 处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风 险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进 行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这 对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。我们可以利用资料 分析并解决给出的下列问题
北京水资源短缺风险评价
中原工学院信息商务学院 吕品 聂学鹏 王莹
摘要
本问题是一个对北京水资源短缺主要因子的确定、对北京水资源综合评价 和水资源短缺风险的预测问题。首先对各项数据做标准化处理，在利用熵 权法对各因子进行加权，通过比较个因子的权重，最终确定降雨量为主要 风险因子。又用变异系数法进行检验，两次结果基本吻合，说明了结果的 正确性。其次用模糊综合评价法，确定北京相对与其他地区的水资源短缺 风险等级为较高风险。然后通过构建灰色预测模型，以原始数据表中的时 间为准, 确定未来五年内各因素水资源的具体量，然后运用模型二中的确 定风险的方法确定这段时间内水资源的风险等级。最后我们综合上述分析 再查阅相关资料给北京市水行政主管部门做了一份建议报告。
其中 m 为被评价对象的数目，n 为评价指标数目，并且 pij=
dij
m
，如果 pij=0 ，
dij
i 1
则定义
lim
pij 0
pij
ln
p
ij
=0
。
利用熵计算各指标客观权重公式为:
Wj=
1-E j
n
n- Ej
j1
j=1, 2, 3n
由 实 际 数 据 计 算 可 得 ： E1 =9.62398 , E2 =9.03965 , E3 =9.56371 ,
可得 B =(0.147 , 0.346 ，0.210 , 0.178 , ,0.120) . 通过对比评定等级和归一化处理
后的数据可知,北京相对于其他城市在水资源短缺方面的危险等级为:较高危险.
模型三： 灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行预测，同
时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内 发生事件的未来时间分布情况做出研究。
Vi
i xi
i 1,2,,n
式中：Vi 是第 i 项指标的变异系数、也称为标准差系数； i 是第 i 项指标的
标准差； xi 是第 i 项指标的平均数。
各项指标的权重为：
Wi
Vi
n
Vi
i 1
由 实 际 数 据 计 算 可 得 ， V1 =0.2712, V2 =0.1454, V3 =0.2366 , V4 =0.2430 ,
问题一：评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？
影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、 农业用水、管理制度，人口规模等。
问题二：建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出 风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风 险降低？
问题三：对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。
问题三：
灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”“贫信息” 不确定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的 信息，实现对系统运行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实 验观测数据没什么特别要求和限制，因此应用领域十分广阔。
由此我们建立灰色预测模型，推到出第 i 个因子在 k 年与 k+1 的函数关系。 由这个关系计算出未来五年内的各个因子的具体函数值，再把计算出的函数值用 模型一的加权方法赋权，再用模型二处理后，确定这五年内的各个因素的导致水 资源短缺的风险等级。
设已知参考数据列 x（0）=（x（0（） 1），x（0（） 2），，x（0（）n ）），做一次累加生
成数列
x（1）=（x (1)(1),x(1)(2),,x(1)(n)） =(x(1)(1),x(1)(1)+x(0)(2),,x(1)(n-1)+x(0)(n))
k
其中 x(1) (k ) X (0) (i) i 1
评定等级论域 V , V=( v1 , v2 , , v5 ) .通常评语有 V=（很危险，较危险，危险，
较低危险 , 不危险） 由附录中的各因素在不同年份的具体量的图像，进行单因素评判，建立模糊
关系矩阵 R
0.106
0.090
1
J (u) (Y Du)T (Y Du) 达到最小值 u (a,b)T (DT D)1DTY
于是求解上述中的白化微分方程得：
x(1) (k 1) (x(0) (1) b)e ak b , k=1，2， ，n-1。
a
a
xˆ(0) (k 1) xˆ(1) (k 1) xˆ(1) (k ), k 1, 2, , n 1.
3. 模型的假设和符号说明
3.1 模型的假设 （1）南水北调工程在最近几年内对北京水资源短缺的局势没有明显的缓解。 （2）假设模型中所使用的数据都真实有效，能反映出水资源的供需情况。 （3）不考虑突然袭来的自然灾害（如干旱、洪涝灾害等）对北京水资源的影响。 （4）假设政府政策对水资源的管理影响忽略不计。 （5）北京没有大规模的人口迁徙，人口数量基本保持动态平衡。
模型二: 对北京市水资源短缺风险进行综合评价，就需要综合从多个因素角度出发对
水资源短缺做出尽可能客观的评价。为此我们建立模糊综合评价模型来解决这个 问题。模糊综合评价方法是应用模糊关系合成的远离，从多个因素（指标）对被 评价事物隶属等级状况进行综合评价的一种方法。
被评判对象，如农业用水、工业用水、第三产业及生活等其他用水、降水量、 水资源总量为因素论域 U，U=（U1 ,U2 ,U3 ,U5 ）；
（k=1，2， ，n）。求均值数列
z(1) (k ) 0.5x(1) (k ) 0.5x(1) (k 1), k=2，3， ，n
则 z(1) (z(1) (2), z(1) (3),, z(1) (n)) 。于是建立灰微分方程为
x(0) (k ) az(1) (k ) b ，k=2，3， ，n
V5 =0.2934,从而可得农业用水，工业用水，第三产业及生活等去他用水，降水量 总量，水资源总量这五个指标对北京市水资源短缺影响的权重分别为： W1 =0.2190， W2 =0.1085 , W3 =0.1016 , W4 =0.2024 , W5 = 0.2886。由此可知影响
相应的白化微分方程为 dx(1) ax(1) (t) b ， dt
记 u (a,b)T ,Y (x (0)(2), x (0)(3), , x (0)(n))T
z(1) (2)
D
z(1) (3) z(1) (n)
1 1 ，则由最小二乘法，求得使
具体地，对于“越大越好”的指标，已知进行评价的 k 类指标中，其极差标 准化的公式为
max I Ik
max{I} min{I}
对于“值越小越好”的指标，已知进行评价的 k 类指标中，其极差标准化 公式为
IK max I
max{I} min{I}
然后采用熵权法来确定各个指标的的权重，其基本思想是根据指标变异性的
W5 =0.205868 运用模糊算法,将 W 与 R 合成得到 B=( b1 , b2 , , b5 ).计算公式如下:
r11 r15
来自百度文库
B
W
R
（W1,W2, W5）
r51
r55
经计算可得 B=(0.297 , 0.699 , 0.424 , 0.360 , 0.243).将数据进行归一化处理后
问题四：以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。
2. 问题的分析
问题一：
众所周知影响水资源短缺的因素有很多，例如：气候条件、水利工程设施、 工业污染、农业用水、人口规模、水资源总量。由于熵权法是一种比较客观分析 数据内部规律，，因此利用该方法计算出影响水资源短缺各个因素的权重。根据 计算结果就可以判断出水资源短缺风险的主要因子。为了验证结果的正确性，我 们又用变异系数法再次对其各个影响因子进行赋权，判断出其影响水资源短缺的 主要因子。对两种方法计算出的结果进行比较，如果在误差允许范围之内，结果 可以较好的符合，则说明建立的模型比较真实。
水资源总量、降雨量为评价指标，通过对各个评价指标进行赋权建立评价模型。 通过该模型求出影响北京水资源短缺的各个因子的权重。进而确定影响水资源短 缺的主要因子。
在建立模型时，考虑了五个指标，其中 2 个指标是越大越好，3 个指标越小 越好。由于不同指标性质不同，量纲不同。其之间不具有可比性。为了得到一个 实用性更强的综合评价模型，我们将各指标进行标准化处理。
问题二：
模糊决策是研究模糊环境下或者模糊系统中进行决策的数学理论与方法。模 糊决策的目标是把决策论域中的对象在模糊环境下进行排序，或按某些模糊限制 条件从决策域中择出最优对象，然后对该系统进行评价。模糊综合评价方法，是 应用模糊关系合成的原理，从多个因素（指标）对被评事物隶属等级状况进行综 合评价的方法，由此我们可以针对单因素论域建立模糊矩阵，再将其与各因素的 权重进行模糊运算。将运算结果与评定等级中的标准进行比较，从而确定北京水 资源短缺的风险等级。
其中 rij 为 U 中因素 ui 对于 v 中等级 v j 的隶属关系；
又由问题一结果可知，各因素最终的权重 W=(W1 ,W2 .W5 )，W 是 U 中各因素对评价
事物的隶属系数，它取决于人们进行模糊综合评判时的着眼点，即根据评判时各因素的重要
性 分 配 权 重 ； W1 =0.202154 , W2 =0.188457 , W3 =0.200741 , W4 =0.20278 ,
R 0.1080.1730.2270.133 ，
0.0700.2080.1050.077
0.300
0 rij 1