图论第二次作业

图论第二次作业Newly compiled on November 23, 2020

图论第二次作业

一、 第四章

（1）画一个有Euler 闭迹和Hamilton 圈的图；

（2）画一个有Euler 闭迹但没有Hamilton 圈的图；

（3）画一个有Hamilton 圈但没有Euler 闭迹的图；

（4）画一个既没有Euler 闭迹也没有Hamilton 圈的图；

解：（1）一个有Euler 闭迹和Hamilton 圈的图形如下：

（2）一个有Euler 闭迹但没有Hamilton 圈的图形如下：

（3）一个有Hamilton 圈但没有Euler 闭迹的图形如下：

（4）一个既没有Euler 闭迹也没有Hamilton 圈的图形如下：

证明：若G 没有奇点，则存在边不重的圈C 1,C 1,···,C m ,使得

)()()()(21m C E C E C E G E •••=。

证明：将G 中孤立点除去后的图记为1G ，则1G 也没有奇点，且2)(1≥G δ，则1G 含圈1C ，在去掉)(11C E G -的孤立点后，得图2G ，显然2G 仍无奇度点，且2)(2≥G δ，从而2G 含圈2C ，如此重复下去，直到圈m C ，且)(m m C E G -全为孤立点为止，于是得到)()()()(21m C E C E C E G E ⋅⋅⋅=。

证明：若

（1）G 不是二连通图，或者

（2）G 是具有二分类),(Y X 的偶图，这里Y X ≠，

则G 是非Hamilton 图。

证明：（1）因为G 不是二连通图，则G 不连通或者存在割点v ，有2)(≥-v G w ，由相关定理得：若G 是Hamilton 图，则对于v(G)的任意非空顶点集S ，有：S S G w ≤-)(，则该定理得逆否命题也成立，所以可得：若G 不是二连通图，则G 是非Hamilton 图。

（2）因为G 是具有二分类),(Y X 的偶图，又因为Y X ≠，在这里假设Y X ≤，则有X Y X G w >=-)(，也就是说：对于v(G)的非空顶点集S ，有：S S G w >-)(成立，则可以得出G 是非Hamilton 图。

设G 是有度序列),,,(21n d d d ⋅⋅⋅的非平凡简单图，这里n d d d ≤⋅⋅⋅≤≤21，证明：若不存在小于2

)1(+n 的正整数m ，使得m d m <且m n d m n -<+-1，则G 有Hamliton 路。

证明：在G 之外加上一个新点v ，把它和G 的其余各点连接，得图G 1：

G 1的度序列为：),1,,1,1(21n d d d n +⋅⋅⋅++，由已知：不存在小于2

)1(+n 的正整数m ，使得m d m ≤+1且m n m n d m n -+=+-<++-)1(111。于是由度序列判定定理知：G 1是Hamilton 路，则G 有Hamliton 路。

二、 第五章作业

5.1 （1）证明：每个k 方体都有完美匹配（2≥k ）;

（2）求K 2n 和K n,n 中不同的完美匹配的个数。

证明：（1）证明每个k 方体都是k 正则偶图即可。

事实上，由k 方体的构造：k 方体有2k 个顶点，每个顶点可以用长度为k 的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。如果我们划分k 方体的2k 个顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X ，其余归入Y 。显然，X 中顶点互不邻接，Y 中顶点也如此。所以k 方体是偶图。又不难知道k 方体的每个顶点度数为k ，所以k 方体是k 正则偶图。

由推论得：k 方体存在完美匹配。

解：（2）利用归纳法求K 2n 和K n,n 中不同的完美匹配的个数。

K 2n 的任意一个顶点有2n-1中不同的方法被匹配。所以K 2n 的不同完美匹配个数等于(2n-

1)K 2n-2，如此递推下去，可以归纳出K 2n 的不同完美匹配个数为：(2n-1)!!；利用同样的方法可归纳出K n,n 的不同完美匹配个数为：n!。

证明：一棵树最多只有一个完美匹配。

证明：若不然，设M 1和M 2是树T 的两个不同的完美匹配，那么φ≠∆21M M ，容易知道：][21M M T ∆每个非空部分顶点度数为2，即它存在圈，于是推出T 中有圈，矛盾。所以一棵树最多只有一个完美匹配。

证明：K 2n 的1-因子分解的数目为

!2)!2(n n n •。 证明：由结论知：K 2n 不同完美匹配的个数为(2n-1)!!。所以，K 2n 的1-因子分解数目为

(2n-1)!!个。即： 将K 9表示为四个生成圈之和。

解：K 4n+1=K 2(2n)+1，所以，可以分解成2n 个边不重的2因子之和。而K 9=K 2*4+1。所以K 9可以表示为四个边不重的2因子之和，对于每个分解出的因子的路径为：

则K 9的四条路径为：

则生成圈H i 是V 2n+1与P i 的两个端点连线生成的。所以可将K 9表示为四个生成圈之和。

所谓n

n 矩阵的一条对角线是指两两不同行不同列的n个矩阵元素组成的集。对角线的权是指它的n个元素的和。找出下列矩阵具有最小权的对角线：

解：首先从第一行第一列开始，找出矩阵中的最小元素，发现为坐标是(1,1)的4，将其所在的行和列删除，得到的矩阵为

再从此矩阵的第一行第一列开始，找出矩阵中的最小元素，发现为原坐标是(2,5)的4。依次类推，继续得到坐标是(3,2)的5，(5,3)的7，(4,4)的10。

所以最小权为：4+4+5+7+10=30。