SXA184高考数学必修_函数题中常见陷阱设置分析

函数题中常见陷阱设置分析

在函数试题中，命题人会利用学生对函数知识和方法的掌握情况等各方面设置相关的陷阱，如在推理转化过程中，忽视或混淆条件充分性、必要性或充要性，进行非等价转化，或者由于概念、性质、定理不清、运算方法不当等.如果考生考生没有识破陷阱，就会走入歧途.本文就函数试题中的常见陷阱进行分析.

一、围绕整式型函数首项系数设置陷阱

在函数的表达式形如f(x)＝a x ＋b 与f(x)＝a x 2＋bx ＋c 中，如果首项系数a 中含有参数，对应的函数就不一定为一次函数或二次函数，如果对参数不加以讨论，直接处理为一次函数与二次函数，这当然就走入命题人设置的陷阱中.

例1已知函数f(x)＝(m －1)x 2－2(m －1)x －1，若f(x)＜0恒成立，求实数m 的取值范围.

错解：由条件知⎩⎨⎧ m －1＜0△＝4(m －1)2＋4(m －1)＜0，即⎩⎨⎧ m ＜10＜m ＜1

，∴0＜m ＜1. 错因分析：本题忽视了二次项系数m －1＝0的情况，因为当m －1＝0，即m ＝1时，f(x)＝－1≤0恒成立，所以正确答案是0＜m ≤1.

二、围绕具有奇偶性的函数的对称性设置陷阱

具有奇偶性的函数的对称性主要体现在两个方面：一是定义域关于原点对称；二是图象之间的对称性如果学生的“定义域优先”意识不强或没有牢固掌握函数的奇偶性与单调性、反函数等之间的有关系，就无法识破命题人在此设置的陷阱.

例2若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x 的取值范围是 （ D ）

A ．(－∞，2)

B ．(2，＋∞)

C ．(－∞，－2)∪(2，+∞)

D ．（－2，2）

错解1：由于f(x)是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f(x)在[0，+∞)上是增函数， 由f(2)＝0与f(x)＜0，得f(x)＜f(2)，∴x ＜2，故选A

错解2：∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝0，则由f(x)＜0知f(x)＜f(－2).

又函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，∴x ＞－2，选择支中没有选项，故为错题.

错因分析：由于对具有奇偶性的函数的对称性没有整体认识，只用到了考虑函数单调性的一面，而忽视了另一面：函数奇偶性与单调性的关系，以致上面两种解法犯了同样的错误.正确的解法：

法1：∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，∴f(－2)=0，在(－∞，0]上f(x)＜0的x 的取值范围是(－2，0]，又由对称性[0，+∞)，∴在R 上f(x)＜0的x 的取值范围为(－2，

2)，选(D).

法2：∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，

∴f(x)＜0等价于f(|x|)＜0，∴f(|x|)＜2，

又f(x)在(－∞，0]上是减函数，∴f(x)在[0，+∞)上是增函数，|x|＜2，即－2＜x ＜2，故选D.

三、围绕分段函数的单调性设置陷阱

判断分段函数的单调性，要注意两个方面的判断：一是判断每段函数在各自x 的取值范围的单调性；二是要判断两段在衔接点的函数值的大小比较.因此命题人会利用考生易忽视第二个判断而设置障碍.

例3已知f(x)＝⎩⎨⎧ (3a －1)x ＋4a x ＜1log a x x ＞1

是(－∞,＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是 A.(0，0) B.(0，13) C.[17，13) D.[17

，0) 错解：由题意知，⎩⎨⎧ 3a －1＜00＜a ＜1

，解得0＜a ＜13，故选B. 错因分析：上面的解法只保证了函数分别在区间(－∞，1)与(1，＋∞)为减函数，不能保证函数(－∞,＋∞)上是减函数.正确的解法是：

依题意，有⎩⎨⎧ 3a －1＜00＜a ＜1

，解得0＜a ＜13，

又当x ＜1时，（3a －1）x ＋4a ＞7a －1，当x ＞1时，log a x ＜0，所以7a －1≥0，解得x ≥17

， 综上知，17≤a ＜13

，故选C. 四、围绕对数真数的条件限制设置陷阱

对对数函数一直是高考的热点，一个重要的原因就是考生容易忽视对数的真数与底数要求的条件，而特别是忽视真数大于零，命题人就是看准了这一点，在命题会设置相关的陷阱，因此，解题时要小心.

例4方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为_________________.

错解：log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)⇔log 2(x －1)＝log 24x ＋1，即x －1＝4x ＋1

，解得x ＝± 5. 错因分析：上述解法忽视了对数的真数大于零，以致产生了增解.因为由⎩⎨⎧ x －1＞0x ＋1＞0

，得x ＞1，因此上述结果中x ＝－5应舍去，即原方程的解为x ＝ 5

例5函数y=log 0.5(4x 2-3x)的定义域为_________________.

错解：由题意得：log 0.5(4x 2-3x)≥0，则由对数函数性质得：4x 2－3x ≤1，－14

≤x ≤1，即为所求. 错因分析：上述解法忽视了对数的真数大于零，即4x 2－3x ＞0，因此正确的解法是：

由题意得：log 0.5(4x 2-3x)≥0,则由对数函数性质得：0＜4x 2－3x ≤1，解得－14≤x ＜0)或34

＜x ≤1. ∴函数的定义域为：[－14，0)∪(34

，1]. 五、围绕对数函数值域为R 设置陷阱

对于处理函数f(x)＝lg a g(x)的值域为R 的相关问题时，容易处理为定义域为R 的情形，而要使f(x)的值域为R ，必须且只须在真数g(x)取遍所有(0，＋∞)内的所有值.对于定义域为R 与值域为R 是两个易混淆的两个概念，有较多的考生在这一点上是模糊的.命题人在此处设置陷阱也就不足为奇了.

例6 函数y=lg(x 2＋2x ＋a 2)的值域为R ，求实数a 的取值范围.

错解：因y=lg(x 2＋2x ＋a 2)的值域为R ，故x 2＋2x ＋a 2＞0，由△＜0，得a ∈(－∞,－1)∪(1,＋∞). 错因分析：当△＜0时，方程x 2＋2x ＋a 2=0无实根，函数u=x 2＋2x ＋a 2的值域是(0,＋∞)的一个子集，此时函数y=lg(x 2＋2x ＋a 2)的值域一定不为R.

形如y=log a f(x)的函数，若f(x)是关于x 的二次函数，当且仅当f(x)的二次项系数为正且判别式△≥时，f(x)的值域才能取满(0,＋∞)，从而使得y=log a f(x)的值域为R.

因此，本题正确的解答为：由△=4－4a 2≥0,得a ∈[－1,1].

六、围绕值域与范围设置陷阱

已知函数值域为(a ，b)，求参数的取值范围，学生在处理此问题时易处理为求参数关于x ∈(a ，b)的取值范围或处理为关于x ∈(a ，b)恒成立问题.对于这个陷阱稍不注意就易出错.

例7如果函数y=x 2－(2m ＋4)x ＋m ＋2的值域为(0，＋∞)，则 ( )

A.m=－2或m=－1

B.－2＜m ＜－1

C.m ＞－1或m ＜－2

D.m 无解

错解：由题意知y ＞0恒成立，则△=(2m ＋4)2－4(m ＋2)＜0，得－2＜m ＜－1，故选B.

错因分析：y=x 2－(2m ＋4)x ＋m ＋2=[x －(m ＋2)]2－(m 2＋3m ＋2)≥－(m 2＋3m ＋2).上式表明值域应为左闭右开区间，不可能为(0,＋∞)，所以，此题选D.如果将“值域为(0，＋∞)”改为“值恒为正数”，上述解法就正确了.其实，“值域为(0，＋∞)”指的是能且只能取大于0的一切正数；“值恒为正数”是指一定的x 范围内，y 的每一个值都是正数，至于y 能否取得大于0的一切实数，则不一定.

七、围绕对定义域的等价转化设置陷阱

转化的思想在解答题中无处不在，而转化的基本原则就是转化过程体现等价性.在函数中涉及定义域、值域、取值范围时，如果考生的价转化意识不强，就会出现各种各样的错误，命题人也会利用这点设置相关的陷阱.

例8已知函数f(x)=log a (－x 2＋log 2a x)的定义域为(0,12

)，则实数a 的取值范围是________.