第一章 先验分布与后验分布
贝叶斯统计-习题答案)
第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(63631171463163631533853381<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x e x x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<-（实质是新解当n=1的情形）】 （2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。
贝叶斯统计习题答案
第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。
先验分布与后验分布
(
x1,
, xn )
h(x1, , m(x1,
xn , )
, xn )
p(x1, , xn ) ( ) p(x1, , xn ) ( )d
这就是贝叶斯公式的密度函数形式，其中 ( x1, , xn )
称为θ的后验密度函数，或后验分布。而 ：
m(x1, , xn ) p(x1, , xn ) ( )d
j
假如总体X也是离散的，则只须将p(x|θ)
换成P(X=x|θ)即可。
10
二、后验分布是三种信息的综合
前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数
θ已有一个认识，这个认识就是先验分布π(θ)。通
过试验，获得样本。从而对θ的先验分布进行调整，
调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结果
就是后验分布 ( x1, , xn) 。后验分布是三种信息的 综合。获得后验分布使人们对θ的认识又前进一步，
P( 0.5/ x)
(n 2)
0.5
x
(1
)n
x
d
1.15 1042
( x 1)(n x 1) 0
故他断言男婴诞生的概率大于0.5。
13
注：1.伽玛分布与贝塔分布简介：
(s) xs1e xdx, s 0, (n 1) n! 0
B( p,q) 1 x p1(1 x)q1dx, p 0,q 0 0
26
例1.9 对例1.7中后验分布的均值和方差的解释。 分析：后验分布Be(α+x, β+n-x)的均值和方差可写为：
27
28
29
四、 常用的一些共轭先验分布
共轭先验分布选取的一般原则： 是由似然函数L(θ)=p(x|θ)中所含的因式所 决定的，即选与似然函数具有相同核的分布作 为先验分布。
贝叶斯统计第二版茆诗松汤银才编著
贝叶斯统计第⼆版茆诗松汤银才编著第⼀章先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从⽽有1111122()()()0.4582()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+2221122()()()0.5418()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为⼀卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从⽽有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1）由题意知 ()1,01πθθ=<< 从⽽有 351()()()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ（2）361()()()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<1.5 解：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==?从⽽有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<<1.6 证明：设随机变量()X P λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则 (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝?∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++ 1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=?=-?因此 2=<<- （2）由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=?=?因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝?∝--=- 由上可知 (5,297)A Be θ1.9 解：设X 为某集团中⼈的⾼度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XN θ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=⼜由于X 是θ的充分统计量，从⽽有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝?2(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------∝?∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知⼜由于X 是θ的充分统计量，从⽽有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝?222222251()()11252()11225252u x x u e eeσθθθσσσ+----+?--+∝∝因此 222251(,)11⼜由于21112525σ≤+ 所以θ的后验标准差⼀定⼩于151.11 解：设X 为某⼈每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==?从⽽有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从⽽有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝?00111++++∝?∝因此θ的后验分布仍是Pareto 分布。
(完整版)贝叶斯统计-习题答案)
第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有5418.03.02936.07.01488.07.01488.0)()|()()|()()|()|(2211111=⨯+⨯⨯=+=θπθθπθθπθθπA P A P A P A 4582.0)|(1)|(4582.03.02936.07.01488.03.02936.0)()|()()|()()|()|(122211222=-==⨯+⨯⨯=+=A A or A P A P A P A θπθπθπθθπθθπθθπ1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==R 语言求：)4(/)exp(*)3(^gamma λλ-1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有.10,)1(504)|(504)6,4(/1)6,4(1)6,4()1()1()1()1()1()1()1()()|()()|()|(535311614531535315338533810<<-==-=--=--=--==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求（2）.10,)1(840)|(840)7,4(/1)7,4(1)7,4()1()1()1()1()1()1(2)1()1(2)1()()|()()|()|(636311714631636315338533810<<-==-=--=--=----==⎰⎰⎰⎰--θθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθπθθπθθπA beta B R B d d d C C d A P A P A ：语言求1.5 解：（1）由已知可得.5.125.11,110110/1)()|()()|()|(,2010,101)(5.125.111)|(2112211)|(12,2121,1)|(5.125.11201011111111<<===<<=<<=+<<-==+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθd d x p x p x x p x p x x x p ，，即，时，当（2）由已知可得.6.115.11,1010110/1)()|,,()()|,,(),,|(,2010,101)(6.115.111)|,,(,219.1121,214.1121,211.1121,217.1121215.11212112211)|,,(9.11,4.11,1.11,7.11,5.11,0.12,6,2,1,2121,1)|,,(6.115.112010621621621621621654321621<<===<<=<<=+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-+<<-========+<<-=⎰⎰θθθθπθθπθθπθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθd d x x x p x x x p x x x x x x p x x x p x x x x x x i x x x x p i ，即，，时，当【原答案：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<< 】1.6 证明：设随机变量()XP λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则即得证！),(~),,|()()|,,(),,|(,0,)()(,!!)|,,(121)(121211112111βαλπλλπλλπλλαβλπλλλλβαβλααλλ++∑∑∝•∝>Γ=∑===+--+--=-=-==∏∏n x Ga x x x ex x x p x x x e x e x ex x x p ni i n n x n n ni in x ni i x n ni i ni ii【原答案： (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++】 1.7 解：（1）由题意可知.1},max{,1)/(1)/(122)()|,,()()|,,(),,|(,10,1)(,,2,1,10,22)|,,(121},max{221},max{2121121212112122111<<∝===<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθπθθπθθπθθπθθθθn nx x nn x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （实质是新解当n=1的情形）】（2） 由题意可知.1},max{,1)/(1)/(13232)()|,,()()|,,(),,|(,10,3)(,,2,1,10,22)|,,(12-21},max{2-22-21},max{2212211212121212122111<<∝=⨯⨯==<<==<<<==⎰⎰∏∏⎰∏∏====θθθθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθn n x x n n x x nni in nni inn n n ni i nni inin x x d d x xd x x x p x x x p x x x n i x xx x x x p n n【原答案：由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<】 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知)297,5(~)|(Be A θπ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u eeeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ.8,861)/(1192192)()|,,()()|,,(),,|(,4,192)(.81)|,,(8,8,5.3,2,1,0,1)|,,(768778774321321321433213213321>⨯====≥=>=====<<=⎰⎰⎰∞∞∞θθθθθθθθθθπθθπθθπθθθπθθθθθθd d d x x x p x x x p x x x x x x p x x x i x x x x p i ，时，当【原答案：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==, 计算错误】1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。
贝叶斯讲义 先验分布与后验分布知识讲解
P( Ai )P(B / Ai )
i 1
5
2.贝叶斯公式的密度函数形式： 在给出贝叶斯公式的密度函数形式之前，先介绍 以下贝叶斯学派的一些具体思想或者叫着基本假设 ：
假设Ⅰ 随机变量X有一个密度函数p(x;θ)，其中θ是一 个参数，不同的θ对应不同的密度函数，故从贝叶斯 观点看，p(x;θ)是在给定θ后的一个条件密度函数，因 此记为p(x│θ)更恰当一些。这个条件密度能提供我们 的有关的θ信息就是总体信息。
10
例1.4 设事件A的概率为 ，即 (A) 。为了估计 而作n次 独立观察，其中事件A出现次数为X，则有X服从二项分布b(n, )
即P(X x ) Cnx x (1 )nx, x 0,1, , n. 如何求出后验分布？
解题步骤：1.作贝叶斯假设。如果此时我们对事件A的发生
没有任何了解，对 的大小也没有任何信息。在这种情况下，
是样本的边际分布，或称样本 X1, , X n 的无条件分布， 它的积分区域就是参数θ的取值范围，随具体情况而定。
8
3.贝叶斯公式的离散形式：
当 是离散随机变量时，先验分布可用
先验分布列π(θi)，这时后验分布也是离
散形式：
( i | x)
p(x | i ) ( i ) ，i 1,2, p(x | j ) ( j )
假设Ⅱ 当给定θ后，从总体p(x│θ)中随机抽取一个样 本X1，…，Xn，该样本中含有θ的有关信息。这种信 息就是样本信息。
6
假设Ⅲ 从贝叶斯观点来看，未知参数θ是一个随机变量。而描 述这个随机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这个分布称 为先验分布，其密度函数用π(θ)表示。
（1） 先验分布 定义1 将总体中的未知参数θ∈Θ看成一取值于Θ的随机变量，它 有一概率分布，记为π(θ)，称为参数θ的先验分布。
(完整版)贝叶斯统计第二版茆诗松汤银才编著
第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有1111122()()()0.4582()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+2221122()()()0.5418()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351()()()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰（2）361()()()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰1.5 解：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<<1.6 证明：设随机变量()X P λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则 (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （2） 由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知 (5,297)A Be θ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XN θ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u e eeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。
一先验分布和后验分布
i 1
i 1
第二种方法 设总体X的分布密度为p(x|),统计量
T ( X ) T ( X1X2 , , X n )是参数的充分统计量，则有
定理3.1 设f ( )为任一固定的函数，满足条件
(1) f ( ) 0, ,
(2) 0 gn(t | ) f ( )d
则
D f
{
gn (t | ) f ( ) gn (t | ) f ( )d
由第一小节内容可知，给定损失函数以后，风险函数定 义为
R( , d ) E (L( , d( X ))
L( , d( x))q( x | )dx
此积分仍为的函数，在给定的先验分布()时，定义
R(d ) E (R( , d ))
R( , d )π( )d
为决策函数d在给定先验分布()下的贝叶斯风险，简 称为d的贝叶斯风险.
X N (9.80, 0.12 )
这个信息就是重力加速度的先验信息.
在统计学中，先验信息可以更好的帮助人们解决 统计决策问题. 贝叶斯将此思想应用于统计决策中，形成了 完整的贝叶斯统计方法.
2、先验分布
对未知参数的先验信息用一个分布形式()来 表示，此分布()称为未知参数的先验分布.
例如 例1中重力加速度的先验分布为
则的贝叶斯估计为
d*( x) E(( ) | x) E(( ) | x)
证明略，此证明定理3.2的证明类似.
定理3.4 设参数为随机向量，先验分布为()
和损失函数为二次损失函数
L( , d ) (d )T Q(d )
1：改进生产设备后，高质量产品可占90%,
：改进生产设备后，高质量产品可占70%,
2
经理根据以往的经验，两个顾问建议可信度分别为
贝叶斯讲义 先验分布与后验分布
第一章 先验分布与后验分布
经济学院统计系:陈耀辉
1
1
第一章 先验分布与后验分布
一、统计推断中可用的三种信息
二、贝叶斯公式
三、共轭先验分布
四、超参数及其确定
五、多参数模型
六、充分统计量
2
§1.1 统计推断中可用的三种信息
1.总体信息：总体分布或所属分布族提供给我们的 信息 2.样本信息：从总体抽取的样本提供给我们的信息 3.先验信息：在抽样之前有关统计推断的一些信息。
p 0, q 0
定义：定义在[0，1]上，且用密度函数：
( p q) p 1 p( ; p, q) (1 )q 1 ,0 1, p 0, q 0 ( p ) ( q )
表示的概率分布称为β β e(p,q)。
Ⅰ型分布，记为β Ⅰ(p,q)或者
24
三、共轭先验分布的优缺点
共轭先验分布在很多场合被采用，因为它有 两个优点： （1）计算方便。 （2）后验分布的一些参数可得到很好的解释。 不足：怎样找到合适的先验分布？
25例1.8 例1.6中后源自均值与后验方差的合理解释。
由例1.6知
2 2 B x 0 1 2 A 0 2
x x 即P( X x ) Cn (1 )nx , x 0,1,, n. 如何求出后验分布？
解题步骤：1.作贝叶斯假设。如果此时我们对事件A的发生 没有任何了解，对 的大小也没有任何信息。在这种情况下， 贝叶斯建议用区间（0，1）上的均匀分布作为θ 的先验分布。 因为它在（0，1）上每一点都是机会均等的。因此：
9
二、后验分布是三种信息的综合
前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数
第1章先验分布与后验分布复习过程
课程考核：闭卷考试
成绩评定 平时(20分)
=作业+考勤+课堂表现
期末(80分)
=卷面(100分) ×
一、统计推断中可用的三种信息 二、贝叶斯公式 三、共轭先验分布 四、超参数及其确定 五、多参数模型 六、充分统计量
13
第一章 先验分布与后验分布
统计学中有两个主要学派：频率学派与贝叶斯 学派。下面从统计推断的三种信息来说明他们之 间的区别与联系。
§1.1 三种信息
• 一、总体信息，即总体分布或总体所属分布给我 们的信息。
这个对先验信息进行加工获得的分布今后称为先验分布。
这个先验分布是综合了该厂过去产品的质量情况。 如果这个分布的概率大部分集中在θ=0附近，那么该产 品可认为是“信得过产品”。假如以后的多次抽检结果 与历史资料提供的先验分布是一致的。使用单位就可以 对它做出“免检产品”的决定，或者每月抽检一、二次 就足够了，这就省去了大量的人力和物力。
例1.1 英国统计学家Savage曾考察如下2个统计实验：
A。（品茶试验）一位常饮牛奶加茶的妇女声称，她 能辨别先倒进杯子里的是茶还是牛奶。对此做了10次 试验，她都正确地说出了。
B。一位音乐家声称，他能从一页乐谱辨别出是海顿 还是莫扎特的作品。在10次这样的试验中，他都能正 确辨别。
在这两个统计试验中，假如认为被试验者是在猜测， 每次成功的概率为0.5，那么10次都猜中的概率为210=0.0009766，这是一个很小的概率，是几乎不可 能发生的，所以 “每次成功概率为0.5”的假设应该被 拒绝。
贝叶斯估计中的先验分布与后验分布
贝叶斯估计中的先验分布与后验分布贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它通过联合考虑观测数据和先验知识来获得参数的后验分布。
在贝叶斯估计中，先验分布和后验分布起着关键的作用，它们在确定估计结果的同时也反映了我们对参数的先验假设和对观测数据的不确定性的考虑。
一、先验分布的作用先验分布是根据我们对参数的先验知识或经验进行设定的概率分布。
在贝叶斯估计中，先验分布起到了约束模型估计结果的作用，它的设定往往基于以往的观测数据、领域知识、专家经验等。
先验分布可以使得估计结果更加合理和可靠，能够有效利用领域知识来约束参数的取值范围。
举例来说，假设我们要估计一种新药的治疗效果，而我们已经有了一些相关的研究结果和经验知识。
这时，我们可以使用先验分布来表达我们对这种新药疗效的先验认识。
如果我们认为这种新药的疗效应该比较好，我们可以设置一个均值较高的正态分布作为先验分布；反之，如果我们认为疗效可能较差，我们可以设置一个均值较低的正态分布作为先验分布。
通过设定合适的先验分布，我们可以将对疗效的先验认识纳入到估计过程中，提高了估计结果的准确性。
二、后验分布的计算通过贝叶斯定理，我们可以计算出参数的后验分布。
后验分布是在给定观测数据的情况下，对参数未知的概率分布进行更新得到的。
它代表了在已知观测数据的情况下，对参数取值不确定性的量化结果。
贝叶斯估计中的后验分布计算通常采用马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法，其中最为常见的方法是Gibbs抽样算法和Metropolis-Hastings算法。
这些方法可以通过迭代计算参数的联合分布，从而得到参数的后验分布。
使用后验分布可以为我们提供关于参数的更多信息，例如参数的均值、方差以及置信区间等。
这些信息可以帮助我们更好地理解参数的不确定性，并为后续的决策提供参考。
三、先验分布的选择在选择先验分布时，需要根据实际问题的背景和需要合理选择。
一般而言，先验分布应该能够反映我们对参数的先验认识，但又不能过于主观或缺乏基础。
贝叶斯统计知识整理
贝叶斯统计知识整理第⼀章先验分布和后验分布统计学有两个主要学派，频率学派与贝叶斯学派。
频率学派的观点：统计推断是根据样本信息对总体分布或总体的特征数进⾏推断，这⾥⽤到两种信息：总体信息和样本信息；贝叶斯学派的观点：除了上述两种信息以外，统计推断还应该使⽤第三种信息：先验信息。
贝叶斯统计就是利⽤先验信息、总体信息和样本信息进⾏相应的统计推断。
1.1三种信息（1）总体信息：总体分布或所属分布族提供给我们的信息（2）样本信息：从总体抽取的样本提供给我们的信息（3）先验信息：在抽样之前有关统计推断的⼀些信息1.2贝叶斯公式⼀、贝叶斯公式的三种形式(⼀）贝叶斯公式的事件形式假定k A A ,,1 是互不相容的事件，它们之和i ki A 1= 包含事件B ，即i ki A B 1=? 则有：∑==ki ii i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()(（⼆）贝叶斯公式的密度函数形式1.贝叶斯学派的⼀些具体思想假设I ：随机变量X 有⼀个密度函数);(θx p ，其中θ是⼀个参数，不同的θ对应不同的密度函数，故从贝叶斯观点看，);(θx p 是在给定θ后的⼀个条件密度函数，因此记为)(θx p 更恰当⼀些。
在贝叶斯统计中记为)(θx p 它表⽰在随机变量θ给定某个值时，总体指标X 的条件分布。
这个条件密度能提供我们的有关的θ信息就是总体信息。
假设II ：当给定θ后，从总体)(θx p 中随机抽取⼀个样本X1，…，Xn ，该样本中含有θ的有关信息。
这种信息就是样本信息。
假设III ：从贝叶斯观点来看，未知参数θ是⼀个随机变量。
⽽描述这个随机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这个分布称为先验分布，其密度函数⽤)(θπ表⽰。
2.先验分布定义1：将总体中的未知参数Θ∈θ看成⼀取值于Θ的随机变量，它有⼀概率分布，记为)(θπ，称为参数θ的先验分布。
3.后验分布（1）从贝叶斯观点看，样本x =(1x ,…,n x )的产⽣要分两步进⾏。
贝叶斯分析汇总讲解
第一章先验分布与后验分布§1.1三种信息统计学中有二个主要学派：频率学派和贝叶斯学派。
一、总体信息即总体分布或总体所属分不足给我们的信息，譬如，“总体是正态分布”这一句话就带给我们很多信息：它的密度函数是一条钟形曲线；它的一切距都存在；有关正态变量（服从正态分布的变量）的一些事件的概率可以计算，有正态分布可以导出2χ分布、t分布和F分布等重要分布；还有许多成熟的点估计、区间估计和假设检验方法可供我们选用。
二、样本信息即从总体抽取的样本给我们提供的信息。
这是最“新鲜”的信息，并且越多越好。
我们希望通过对样本信息的加工和处理对总体的某些特征作出较为精确的统计推断。
没有样本就没有统计学而言。
基于上述信息进行的统计推断被称为经典统计学，它的基本观点是把数据（样本）看成是来自具体一定概率分布的总体，所研究的对象是这个总体而不是局限于数据本身。
三、先验信息即在抽样之前有关统计问题的一些信息，一般说来，先验信息主要来源于经验和历史资料。
例如，英国统计学家(1961)Savage曾考察如下实验，一位常饮牛奶加茶的妇女称，她能辨别先倒进杯子里的是茶还是牛奶。
对此作了十次试验，她都正确地说出了。
假如被实验者是在猜测，每次成功的概率为0.5，那么十次-=，这是一个很小的概率，是几乎不可能发生的，都猜中的概率为1020.0009766所以“每次成功的概率为0.5”的假设应被拒绝。
被实验者每次成功的概率要比0.5大很多，这正是她的经验帮了她的忙活，所以先验信息在推断中不可忽视。
基于上述三种信息进行的统计推断被称为贝叶斯统计学。
它与经典统计学的最主要的差别在于是否利用先验信息。
在使用样本信息上也是有差异的。
贝叶斯学派很重视已出现的样本观察值，而对尚未发生的样本观察值不予考虑，贝叶斯学派很重视先验信息的收集、挖掘和加工，使它数量化，形成先验分布，参加到统计推断中来，以提高统计推断的质量。
贝叶斯学派最基本的观点是：任何一个未知量θ都可看作一个随机变量，应用一个概率分布去描述对θ的未知状况。
先验分布和后验分布的比较研究
先验分布和后验分布的比较研究一、引言在贝叶斯统计推断中，先验分布和后验分布是两个重要的概念，其作用在于帮助我们利用先验知识来更新推断结论。
先验分布指在考虑样本信息之前所假设的分布，而后验分布则指在考虑样本信息后得到的分布。
两种分布都是贝叶斯统计学中推断结论的关键。
本文将着重探讨先验分布与后验分布之间的比较研究，并详细介绍在不同情况下它们的意义、作用和优缺点。
二、正文1. 先验分布与后验分布的定义先验分布是指在推断结果之前，我们对假设的随机变量的概率分布所进行的假设，它通常是由主观或客观的先验经验所建立的，因此也被称为先验知识。
先验分布常常是一个简单的概率分布，而且往往是由一个或几个参数来描述的。
后验分布是指在考虑了样本信息后在先验分布上得到的分布，它通常是更贴近真实概率分布的一个更新版的概率分布。
在贝叶斯推断中，我们会把先验权重和样本信息反应在后验分布中。
2. 先验分布与后验分布的应用场景先验分布的选择并不像后验分布那么高要求，因为先验分布很大程度上是由我们个人主观判断决定的。
通常，我们会选择一个简单的分布作为先验，例如Beta分布、Gamma分布、正态分布等。
在贝叶斯分析过程中，先验分布起到了约束和规定后验分布的重要作用。
后验分布则是由先验分布及样本信息的考虑而得到的。
相当于我们把自己先前对随机变量的主观想法与样本数据作了一个结合，形成了一个更可信、更合理的可视化概率分布。
在经济预测、科学分析和金融产品等领域中，后验分布非常重要。
3. 先验分布与后验分布的比较就分布的形态来说，前者大多数情况下是平滑、单峰分布，甚至有些分布既可以是随机变量的概率分布，也可以是某些问题上的信息分布。
而后者则相对比较灵活，更适应于样本信息的变化。
在选择先验分布的过程中，需要根据具体任务的需求来确定，例如要求先验均值尽可能接近后验均值，需要选择一种适当的先验分布。
就作用而言，先验分布相当于清除了一些不太可能的情况，让后验分布更加稳定；而后验分布则是更加贴合实际情况的一种分布，更大程度上说明了与样本数据相关的知识。
【贝叶斯统计】第一章 先验分布与后验分布
p( x ) ( )d
（1.1）
这就是贝叶斯公式密度函数形式。这个在样本 x 给定下， 的条件分 布被称为 的后验分布。它是集中了总体、样本和先验等三种信息中 有关 的一切信息，而又是排除一切与 无关信息之后所得到的结果。 故基于后验分布 ( x) 对 进行统计推断是更为有效，也是最合理的。
n x n x h( x, ) ( 1 ) , x 0,1,..., n.0 1. x
此式在定义域上与二项分布有差别。再计算 X 的边缘分布
n1 x n ( x 1)(n x 1) 1 n x m( x) h( x,0)d ( 1 ) d , x x ( n 2 ) n 1 0 0 x 0,1,..., n.
在这两个统计试验中，假如认为被实验者 是在猜测，每次成功的概率为0.5，那么十 次都猜中的概率为 2 10 0.0009766 ，这是一 个很小的概率，是几乎不可能发生的，所 以“每次成功概率为0.5”的假设应被拒绝。 被实验者每次成功概率要比0.5大得多。这 就不是猜测，而是他们的经验在帮他们的 忙。可见经验（先验信息的一种）在推断 中不可忽视，应加以利用。
例 1.2“免检产品”是怎样决定的？某厂的产品每天都要抽检几件，获得 不合格率 的估计。经过一段时间后就积累大量的资料，根据这些历史资料 （先验信息的一种）对过去产品的不合格率可构造一个分布：
i P( ) i , n
i 0，1，„ n
这个对先验信息进行加工获得的分布今后称为先验分布。这个先验分布是 综合了该厂过去产品的质量情况。如果这个分布的该率绝大部分集中在 =0 附近，那该产品可认为是“信得过产品” 。假如以后的多次抽检结果与历史资 料提供的先验分布是一致的。使用单位就可以对它做出“免检产品”的决定，或 者每月抽检一、二次就足够了，这就省去了大量的人力与物力。可见历史资料 在统计推断中应加以利用。
第1章先验分布与后验分布完整版本
最新课件
22
贝叶斯学派的基本观点：任一未知量 都可看作一个随
机变量，应该用一个概率分布去描述，这个分布称为先 验分布；在获得样本之后，总体分布、样本与先验分布
通过贝叶斯公式结合起来得到一个关于未知量 新的分 布—后验分布；任何关于 的统计推断都应该基于 的
后验分布进行。
因为任一未知量都有不确定性，而在表述不确 定性程度时，概率与概率分布是最好的语言。
最新课件
39
4.0 是未知的，它是按先验分布( )产生的。为把先 验信息综合进去，不能只考虑0，对的其它值发生 的可能性也要加以考虑，故要用( )进行综合。这 样一来，样本x=（x1 , …, xn）和参数 的联合分布为: h(x, ) = p(x )( )，
3.从贝叶斯观点看，样本 x=（x1, x2 , …, xn ）的产
生分两步进行:首先从先验分布( )产生一个样本
0，然后从P (x |0)中产生一个样本x=（x1, x2 , …,
xn
）
。这时样本的联合条件密度函数为 n
p(x|0) p(xi |0)
i1
这个分布综合了总体信息和样本信息，常称为似然函数。
可见历史资料在统计推断最中新课应件 加以利用
21
贝叶斯统计与经典统计学的差别：是否利用先验信息。
贝叶斯统计在重视使用总体信息和样本信息的同时， 还注意先验信息的收集、挖掘和加工，使它数量化，形 成先验分布，参加到统计推断中来，以提高统计推断的 质量。
在使用样本信息上也是有差异的.贝叶斯学派重视已出现 的样本观察值,而对尚未发生的样本观察值不予考虑.
Byaes统计学派与经典统计学派虽然有很大区 别，但是它们各有优缺点，各有其适用的范围，作 为研究者一定要博采众长，以获得一种更适合解决 实际问题的方法。而且，在不少情况下，二者得出 的结论在形式上是相同的。
先验分布与后验分布
解题步骤：1.作贝叶斯假设。如果此时我们对事件A的发生
没有任何了解，对 的大小也没有任何信息。在这种情况下，
贝叶斯建议用区间（0，1）上的均匀分布作为θ的先验分布。 因为它在（0，1）上每一点都是机会均等的。因此：
()10,,
0 1
others
2.计算样本X与参数的联合分布：
h(x,)C n x x ( 1 ) n x , x 0 , 1 , , n ,0 1
即：X~B(xe 1 ,n x 1 )
5.具体算例。拉普拉斯计算过这个概率,研究男婴的诞生比例
是否大于0.5?如抽了251527个男婴,女婴241945个。他选用U(0，
1)作为θ的先验分布，于是可得θ的后验分布Be(x+1,n-x+1), 其
中n=251527+241945=493472，x=251527。由此拉普拉斯计算
换成P(X=x|θ)即可。
10
二、后验分布是三种信息的综合
前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数
θ已有一个认识，这个认识就是先验分布π(θ)。通
过试验，获得样本。从而对θ的先验分布进行调整，
调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结果
就是后验分布 (x1,,xn) 。后验分布是三种信息的 综合。获得后验分布使人们对θ的认识又前进一步，
二、估计方法：共轭先验分布是一种有信息的先验分 布，故其中所含的超参数应充分利用各种先验信息来 确定它，下面用一个例子来介绍目前国内外文献中对 超参数的估计方法：
26
例1.9 对例1.7中后验分布的均值和方差的解释。 分析：后验分布Be(α+x, β+n-x)的均值和方差可写为：
27
28
一先验分布和后验分布
B：试制10个产品，9个是正品，
π(1) 0.7
π(2 ) 0.3
P(B |1) 10(0.9)5(0.1) 0.387,
P(B |2 ) 10(0.7)5(0.3) 0.121 P(B) P(B |1)π(1) P(B |2 )π(2 ) 0.307
t (1 )nt
Df
{
1
t
:
(1 )ntd
n 1, 2,
, t 0,1, 2,
}
0
显然此共轭分布族为分布的子族，因而，两点 分布的共轭先验分布族为分布.
常见共轭先验分布
总体分布
参数
共轭先验分布
二项分布
成功概率p
分布(,)
泊松分布
均值
分布()
பைடு நூலகம்
f ( x, ) q( x | ) ( ) m( x)h( | x)
由此可以得到
h( | x) q( x | )π( ) ,
m( x)
(m( x) q( x | ) ( )d )
则称 h( | x)为的后验分布.即加入新的信息以后，
对原有分布进行修正.由此可见，后验分布综合用
N( , 2 )的一个样本，其中已知，现寻求 2的共
轭先验分布，由于该样本的似然函数为
n
q(x | ) i 1
1 e (
(
xi 2 2
)2
2π
1
) e n
1 2
2
n
( xi )2
i 1
2π
n
1 2
1
2
2
n
( xi )2
贝叶斯统计第二版第一章答案
第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有1111122()()()0.4582()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+2221122()()()0.5418()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351()()()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰（2）361()()()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰1.5 解：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<<1.6 证明：设随机变量()X P λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则 (),0!x e P x x λλλλ-=> 1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝∙∝=所以 (,1)xG a x λαβ++ 1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=∙=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （2） 由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=∙=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<< 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝∙∝--=- 由上可知 (5,297)A Be θ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XNθ ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝∙222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝∙∝因此 (174.64,1.26)xN θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝∙22222251()()11252()1225252u x x u e eeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝∙00111n n n ααααθθθθθ++++∝∙∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 先验分布与后验分布
1.1 解：令120.1,0.2θθ==
设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则
2
2618()0.10.90.1488P A C θ==
22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有
1111122()()
()0.4582()()()()
P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+
2221122()()
()0.5418()()()()
P A A P A P A θπθπθθπθθπθ=
=+
1.2 解：令121, 1.5λλ==
设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ
∴3(3)3!
e P X λ
λλ-==
1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有
111222(3)()
(3)0.2457
(3)(3)()
(3)0.7543
(3)
P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========
1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则
33
58()(1)P A C θθθ=-
（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351
()()
()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ
=
=-<<⎰
（2）361
()()
()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ
=
=-<<⎰
1.5 解：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+
1
(),102010πθθ=
<< 11.611.51()0.0110
m x d θ==⎰
从而有
()()()10,11.511.6()
P x x m x θπθπθθ==<<
1.6 证明：设随机变量()X P λ ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则 (),0
!
x e P x x λ
λλλ-=
> 1(),0
()
e ααβλ
βπλλλα--=>Γ 因此 11(1)
()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝∙∝=
所以 (,1)
x G a x λαβ++ 1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此
1
2
2()12(1)x
x
m x d x θθ
=∙=-⎰
因此 2()()1(),1
()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （2） 由题意可知 1
22
2()36x
m x d x θθθ=∙=⎰
因此 ()()
()1,01
()
P x x m x θπθπθθ=
=<< 1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则
3
397100()(1)P A C θθθ=-
由题意可知 199(202)
()(1),01(200)
πθθθθΓ=
-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝∙∝--=- 由上可知 (5,297)A Be θ
1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)X N θ
∴2
5(,)10X N θ
∴2
(176.53)5
()p x θθ--
=
由题意可知
2
(172.72)5.08()θπθ--=
又由于X 是θ的充分统计量，从而有
()()()()x x p x πθπθθπθ=∝∙
2
2
2
(176.53)(172.72)(174.64)5
5.08
21.26
e
e
e
θθθ----
-
-
⨯∝∙∝
因此 (174.64,1.26)x N θ
1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ 其中为已知 又由于X 是θ的充分统计量，从而有
()()()()x x p x πθπθθπθ=∝∙
2222
2
251()
()11
252()1
22525
2u x x u e
e
e
σθθθσσσ+-
-
--
+⨯--
⨯+⨯∝∝
因此 22
2
251(
,
)11
2525u x x N σθσσ+++
又由于
2
111
25
25σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于1
5
1.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)X U θ
∴1
(),0p x x θθθ
=
<<
当8θ>时，31()p x θθ
=
43819211()8192
m x d θθθ+∞==⎰
从而有 7
()()3()()128p x x m x θπθπθθ==
1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i n p x x i n θθθ
=<<=
从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝∙
00111
n n n αα
ααθθθθθ
++++∝∙∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。
1.13 解：由题意可知
()()2
13
31645
1ααβααββαβαβ⎧=⎪+=⎧⎪
⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪+++⎩ 1.15 解：
（1）设λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知
由题意可知 11
()(),0,1,2,...,
n
i
i n
x n
i i i p x p x
e x i n λ
λλλ=-=∑==>=∏ 从而有 ()()()x p x πλλπλ∝∙
1
1
()11
n
n
i
i i i x x n n e
e e
λ
βλ
αβλ
αλλ
λ
==--+
--+-∑∑∝∙=
因此 1
(,)
n
i
i x G a n x λαβ=++∑
所以 (,)Ga αβ是参数λ的共轭先验分布 （3） 由题意可知
20.00020.000420.0001α
αβαββ
⎧=⎪=⎧⎪
⇒⎨⎨
=⎩⎪=⎪⎩ 1.16 解：设2112
1
(,)(,
)2X N N θσθθ= ，则
2
21()12(,)x p x θθθθ--=
∴2
2
11
()2
122(,)n
i i n x p x e θθθθθ=--∑∝
由题意可知 122
1
(0,
)2N θθθ 2(,)Ga θαλ 从而有 ()()()211
1()
2
121222,()
e α
αθ
θλλπθθπθθπθθα+--+=∝Γ
因此 ()()22211111(1)212
1212122
,(,),n n i i i i n n x x x p x e
θθθλαπθθθθπθθθ==⎡⎤
+-+-++⎢⎥
+-⎢⎥⎣⎦∑∑
∝∝
1.19 证明：设λ的先验分布为()πλ，()X P λ ，则
(),0!
x e P x x λ
λλλ-=>
∴11
1
()()!
n
i
i x n n
i n
i i i e p x p x x λλλλ=-==∑==∏∏
从而有 ()()()1()n
i i x n x p x e λπλλπλλπλ=-∑∝∙∝∙
令1
n
i i T x ==∑，则。