8-3-4静电场高斯定理、环路定理

N S
ds
dN
dN E ds
E
8.3.2
电场强度通量（电通量）：
电场中，通过某面积的电场线数称为通过该面积的电场强度通 量，用 e 表示。
1、均匀电场中，通过面积S的电场强度通量 （1）面积S与场强E垂直 S N
E
N E 因为电场均匀， S
（2）面积S与场强E不垂直，成
N ES e ES
8.4.2 电势能
静电场力作功与路径无关，仅与始末位置有关，位置确定 做功本领确定，因此可以引入势能的概念，称为电势能。 1、电势能 电场中，将q0由a→b,电场力的功为
dl q0
b
E
F q0 E
A
b
a
b F dl q0 E dl
a
a
∵静电场力是保守力，保守力的功等于势能增量的负值。 若 Wa ―――q0 在a点的电势能; Wb ―――q0 在b点的电势能。
σ
E
E dS E dS E dS E dS E S 左底 侧 右底
ES 0 ES 2 ES
E
2 0
S 0
无限大均匀带电平面的电场是均匀场 求：两无限大均匀带电平面，带等量异号的电荷，平行放置时的电场。 两板之外： E = 0
(S所围的带电体)
，是所有电荷所产生。S内、S外。
（2）式中电荷求和（积分），只对s内的电荷求和（积分）。 （3）高斯定理是电磁场的基本定理之一。说明静电场是有源场，发散场。
8.3.4
高斯定理的应用（求场强）
分析：
1、巧取高斯面（充分利用对称性）。 2、能方便的求出s内的电荷。
1 E ds

S
q S 4 0 R 2 ds
通过球面的电场强度通量
S
e E ds
1 q q q 2 4R ds 2 S 4 R 2 4 0 R 0 0
1
即
q E ds
S
静电场是有源场
0
结果表明： e与R无关， 若q＞0,φｅ＞０，电场线穿出。 若q＜0,φｅ＜０，电场线穿进。 表明静电场线起始于正电荷，终止于负电荷。不形成闭合曲线。表 明静电场是有源场。
S 上底面

E ds
r S h
/2
侧面
0
下底面 / 2
0 E 2r h 0 E 2r h
E 2rh
q
（1）当r < R时，
q r h
2
均匀带电直圆柱体内的场强与半径 r 成正比。
r 2 h E r 2rh 2
S
0 i ( s内）
q
i
例8-5 求：均匀带电球面的电场。 解： ∵ 电场分布具有球对称性。 ∴ 取以r为半径的球面S为高斯面 根据高斯定理
1 S E dS 0 q
q+ + + + R + + or S + + + + ++ +
E
+ + +
高斯面 S
1 E ds E dS E 4r 2
E R 3
O R
R 3 0
4 3 当0< r < R时， q r 3
当R< r < ∞时，∑q=q

R . 3 0
E
0
r R时，E
r 3
r
讨论： r→0时，E→0
q R 3 E 2 40 r 3 0 r 2 1
r R时， E
记
-σ
+σ
两板之间： E 方向：正板指向负板 0 作业：8-2 8-3 8- 6 8-7
§8-4 静电场的环路定理 电势
8.4.1 静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作功，说明静电 场具有能量。环路定理就是从能量的角度来讨论静电场的性质。 1、静电场力作功的特点 （1）点电荷的电场
§8-3 静电场中的高斯定理
8.3.1、电场线（E线、电力线）
1、电场的分布
（1）点电荷； （2）电偶极子； （3）无限大带电平面
2、电场线：为了形象地描述电场的分布而引入的一系列 曲线，曲线上各点的切线方向与该点的场强方向相同。 Eb Ea （1）点电荷电场中的电场线
a b
+
（2）电偶极子电场中的电场线
S
＋
8.3.3 真空中的高斯定理 １、求几种情况下的电场强度通量
（１）包围点电荷Baidu Nhomakorabea面的电场强度通量 通过
R S
球面上取面元 ds ,
∵球面上： E
ds 的电场强度通量为
d e E ds
q 方向：沿半径向外。 40 R 2 1 q d e E ds ds 2 40 R 1 通过球面的电场强度通量 e E ds
h
高斯面S
R 2
E
R 2 0
r
O
R
例8-7 求电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面的电场。
解：∵ 电场分布具有面对称性。
∴ 垂直穿过带电平面底面为△S高为2r的闭 合柱面S为高斯面。
+ ++ + + + + + + + + ++ ++ + ++ + + + + + ++ + + + + +ΔS + + + + +
S
S
２、真空中的高斯定理
说明：闭合曲面外的电荷对通过闭合曲面的 φｅ无贡献。 q
+
设 点电荷系有Ｋ个点电荷所组成。 在点电荷系的电场中，取闭合曲面Ｓ（高斯面）。 其中有ｎ个点电荷在Ｓ内，有（Ｋ－ｎ）个点电荷在Ｓ外。 ｑｎ＋１ 取面元 ds , d e E ds ｑ１
n ds
（２）包围点电荷，任意闭合曲面Ｓ的电场强度通量
e E ds ?

q E ds
S2 S
S
在S内、外取球面S1 、S2
S
q
＋
q E ds
0
q E ds
S1
0
S1
S2
0
说明：φｅ与S的形状无关。
（3）不包围电荷，任意闭合曲面的电场强度通量 E ds 0

qi
结论：真空中穿过任意闭合曲面Ｓ的电场强度通量等于该闭合曲面内电 荷代数和的1/ε0倍。
即
1 E ds
S
0 i ( s内）
q
记 真空中高斯定理的 数学表达式
i
若电荷连续分布，
注意： （1）式中 E
1 则 E ds
S
0 V
dV
S S
0
q
E
1
4 0 r 2
q
均匀带电球面内 场强处处为零
0
R
r
当0< r < R时，∑q=0 ∴ E = 0
与点电荷的电 场分布相同
1 q 当R< r < ∞时，∑q=q E 40 r 2
讨论：点电荷的电场 r →∞ E→0; r →0 E→ ∞。
例题 半径为R 的介质球，均匀带电q (q > 0 ),电容率为ε， 求：此带电球的电场。 q
ra
r q0 q a 0
dl θ F q0 E
q0 q q0 q 1 q0 q 1 ( ) 4 0 ra rb 4 0 rb 4 0 ra
（2）任意静电场 元功： 总功：
dA F dl q0 E dl

角
因为通过面积S和通过面积S’的电场线数相等,
所以通过面积S电场强度通量为

n
S' S
E
e ES E S cos E cos S
说明: 通过s的电场强度通量等于s在垂直于场强方向上的投影面s’与场强的乘积。 或者说，通过s的电场强度通量等于场强在s法线方向上的分量与s的乘积。
b a
E E1 E2 En
A dA q0
b b E1 dl q0 E2 dl q0 En dl
a a
A1 A2 An
结论：静电力作功与路径无关。说明静电场力是保守力，静电场是保守场。 2、静电场的环路定理 ∵静电场力是保守力
（3）无限大带电平面电场中的电场线
+
+ + + + + + + +
+
+
+++++++++
3、电场线（E）线的特点: （1）曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向相一致； （2）电场线起始于正电荷，终止于负电荷，不形成闭合曲线； （3）任何两条电场线不会相交。 按照电场线的规定所作出的电场线只能定性描述电场的分布，而无法 反映场强的大小。 为了反映场强大小分布，可利用电场线的疏密程度来反映 。密、强； 疏、弱。 4、电场线数密度：垂直穿过单位面积的电场线数 N 均匀电场： 电场线数密度 S E dN N 非均匀电场： 电场线数密度 ds S 规定： 电场线数密度等于场强大小 即 均匀电场： E 非均匀电场：
S
法线方向的规定：闭合曲面上各点的法线方向 垂直向外为正方向。
分析：
/ 2, cos 0, de 0为负值。 B点处，场线穿出， / 2, cos 0, de 0为正值。 C点处，场线与表面向切， / 2, cos 0, de 0.

解： ∵ 电场分布具有球对称性。
o ∴ 取以r为半径的球面S为高斯面 1 根据高斯定理 S E dS q
4 R 3 3
r
R
S

1 E ds E dS E 4r 2
S S

q
均匀带电球体内 场强与半径 r 成正比
1 q E 4 r 2
∵q0≠0 ,
E dl 0
l
F dl q0 E dl 0
l l
说明静电场是保守 场，是无旋场。
结论：静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（环流）等于零。 该结论称为静电场的环路定理（环流定理）。 或者说将单位正电荷绕任意闭合路径一周静电场力所作的功等于零。
元功：
dA F dl q0 E dl q0 Edl cos
q E 4 0 r 2 1
+ q
rb
b
dl cos dr
1
qq0 dA dr 2 4 0 r rb q qdr 0 A dA 当q0由a→b, 总功为 2 ra 4 r 0
A点处，场线穿进，
３、电场强度通量的常用表示 大小：ds ds ds n 引入面元矢量 方向： 为面元法线方向 n 则 de E cosds E ds ds e E ds S E n e E ds q
R . 3
r→∞时，E→0
例8-6 半径为R,无限长均匀带电直圆柱体，电荷体密度为ρ ，求其内外的电场。 解：∵ 电场分布具有柱对称性。
∴ 以柱体轴线为轴线，取以r为半径，高为h的闭合柱面S为高斯面。

1 根据高斯定理 S E dS q E dS E ds E ds
E r 2
（2）当r > R时，
高斯面S
R
q R 2 h
0
h S
S
R 2 h E 2 0 rh 2 0 r
讨论： r→0时，E→0
R r R时(r R)，E . 2 R r R时(r R)，E . 2 0
r→∞时，E→0 均匀带电圆柱体电场强度分布曲线
2、在非均匀电场中，通过任意曲面S的电场强度通量。 E (1) 取面元ds，通过ds的电场强度通量为
de E cosds
(2) 通过任意曲面S的电场强度通量为
ds
S
E
n
e d e E cos ds
S S
E
ds
A B C
若曲面S为闭合曲面,
则
e E cos ds
E
e E ds
S
ｑk ( E1 E2 Ei En En1 Ek ) ds
s
ｑｎ ｑ i ｑ２ Ｓ

0
q1

0
q2

0
qi
q n 0 0
0
i ( s内） 0