8-3-4静电场高斯定理、环路定理
§8-4-磁场的高斯定理和安培环路定理-(2)
由叠加原理，整个电流回路的磁
场中任意闭合曲面的磁通量必定都
等于零，这就是磁场的高斯定理。
S B dS = 0
Idl
B
1
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1. 安培环路定理的表述：
恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路
的积分等于此环路所包围的电流代数和的
2π
围绕单根载流导线的任一回路 L：
L2
对L，每个 线元
dl
以过垂直导线平面作参考，分
解为分量dl//和垂直于 该平面的分 量 dl，有
L B dl
L//
B dl//
L
B
dl
dl B 0
B dl
L
L// B dl//
0I
证明步骤同上 4
围绕多根载流导线的任一回路 L：
设
I1,
I
§8-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 根据毕奥-萨伐尔定律，电流元的磁场以其为轴对
称分布，垂直于电流元的平面内的磁感线是头尾相 接的闭合同心圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线
的净条数必等于零，任意闭合曲面的都为零。
L
B
dl
L
0I rd
2π r
0I
在围绕单根载流导线的
垂直平面内的任一回路：
Ldl dBFra bibliotekB dl Brd
I
L
B
dl
L
0I rd
2π r
0I
r d
3
闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路：
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
毕奥—萨伐尔定律,安培环路定理
长直线
长
内
直
圆
柱外
面
长 直
内
圆
柱 体
外
B 0I 2r
B0
第八章
B 0I 2r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
练习：求同轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
B • dl 0
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
安培环路定理
在稳恒磁场中，磁感应强度
B
在闭合曲线
上的环流，等于该闭合曲线所包围的电流的代
数和与真 空中的磁导率的乘积。即
B • dl 0 Ii
说明：
I4
I1 I2 I3
电流取正时与环路成右旋关系
l
B • dl 0 Ii
.. . . .
R1 R2
.. . .
..r...............
q
v
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
一、 安培环路定理
静电场 E dl 0
l
磁 场 B dl ?
1、圆形积分回路
B
dl
0I 2r
dl
0I
2r
dl
0I 2r
2r
B dl 0I
I
r
B
B
0I
2r
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
I
静电场的环路定理
q
j
V V V 1 2 k q q q 1 2 n 4 r r 4 r 0 1 4 0 2 0 n
q i
电势叠加原理
V V P i r 0 i i i 4
任意带电体场中的电势
VP q
4 0r
dq
a b
即：a、b两点的电势差 = A/q0
将单位正电荷 从ab电场力作的功 与路径无关
6
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ，半径分别为 R1、 R2 。 求：负极上静止电子到正极时的速度？ 解：由电势差的定义可得
A q ( V V )
( e)( U )
R
R
2
1
F
c
dl
q0
dr
b
r +dr
r
a
rb
+
积分
1 1 q q q q 0 0 A d r 2 a4 r 4 r 0 0 a r b
b
ra
q
——点电荷的电场力作功 只与被移动电荷距离场源电荷的距离相关 与路径无关
2
2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场)
结论
b b b A q E d l q E d l q E d l 0 1 0 2 0 n a a a
电场强度的线积分与路径无关
电场力是保守力，静电场是保守力场。
3
二、环路定理
在任意电场中, 将q0从a
b L2 经L1
经L2
b电场力作功：
A q E d l 0 L
第24次课第8章真空中的静电场
S E (r )
+ + + q r q + + + + +
0(0 r R ) E q r0 ( R r ) 4 r 2 0
例2.求半径为R带电量为q的均匀带电球体 内外任一点的电场强度
+ + + R + + + + + + + +q +
侧
3)以轴线为中心，作半径为r的圆柱形高斯面S 依高斯定理： (0 r R) E( r ) 1 + + S E dS qi +++S 上 0 S内 +++ S E dS S上 E dS S侧 r l E dS E dS S +++ S下 S下 E 2 rl ˆ r 1 +++ 2 r r l 2 E er 0 R 2
四.电势和电势差 1.电势
Va Wa q0
参考点
E dl
单位：伏特（V）
a
量纲：ML2I-1T-3
讨论：
.电势只与电场有关，可描述电场的性质 .电势是标量，没有方向但有正负 .对点电荷及有限的带电系统来说，取
V 0 ，实用中，取
V地 0
2.电势差
Va Vb
E( r )
q 4 r 2 er ...( R r ) 0 E( r ) qr .... ( 0 r R ) 3 4 0 R
3q 4 R
8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
B 0I 2r
由几何关系得：
B
o I d r
L
B r P dl
dl • cos rd
B • dl B cosdl Br d
L
L
L
2 0 0 2
I r d 0I
r
2
2
d
0
0I
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如果沿同一路径但改变绕
行方向积分：
B • dl B cos( ) d l
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三、安培环路定理的应用
应用安培环路定理的解题步骤： (1)分析磁场的对称性；
(分2)易过于场计点算选：择B适的当量的值路恒径定，，使B与得dlB的沿夹此角环处路处的积相
等,一般为900或00 ； (3)求出环路积分；
(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的 正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
B
B
B
0 2
Ir R2
在圆柱形载流导线内部， 磁感应强度和离开轴线
的距离r成正比！
o
R
r
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2.载流长直螺线管内的磁场
设螺线管（密绕）长度为l,共有N匝。
管内中间部分的磁场可以看 成是无限长螺线管内的磁场，因 此是均匀磁场。
管内磁感应线是一系列与轴 线平行的直线。
I
管外磁场很弱，可以忽略不计。
B d l Bdl cos 0
B dl B 2r 0I
当ｒ>Ｒ时
B 0 I 2 r
I I
I R r
B
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1.长直圆柱形载流导线内外的磁场
I
设圆柱电流呈轴对称分布， 导线可看作是无限长的，磁场对 圆柱形轴线具有对称性。
静电场的环路定理
§8-1 电场强度
解: (1)延长线上:
q
O
q
r
E P
E
q E 2 4 0 r l 2
q E 2 4 0 r l 2
r l
q 2rl 1 EP E E 4 0 r 4 1 l 2 4r 2
2
2018/12/12
q2
1 q1q2 F 大小： 2 4 0 r 方向： q1和q2同号 : 沿r ；q1和q2异号 : 沿 r
0 8.851012 ( N1m2C2 ) －－真空中的介电常数
2018/12/12
7
-《大学物理》University Physics
§8-1 电场强度
40 x r
2
xdq
2 3/ 2
dq 2 rdr
dE 4 0 x r
2
R 0
dr r
R
dE
x 2 rdr
2 32
x
P
E dE
4 0 x r
2
x 2 rdr
2 32
2 0
x 1 2 2 12 ( x R )
i 1
q1
q2
11
F2
P q0
F1
F
2018/12/12
-《大学物理》University Physics
§8-1 电场强度
五、电场强度的计算
1、点电荷的场强
F
F E q0
qq0 ˆ r 2 4 0 r
q0
F
q
r
E
2018/12/12
静电场的环路定理表达式
静电场的环路定理表达式
静电场的环路定理公式：D=pL/S。
在稳恒磁场中，磁感应强度B沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流的代数和乘以磁导率。
这个结论称为安培环路定理。
静电场，指的是观察者与电荷量不随时间生变化的电荷相对静止时所观察到的电场。
静电场性质
根据静电场的高斯定理
静电场的电场线起于正电荷或无穷远，终止于负电荷或无穷远，故静电场是有源场。
从安培环路定理来说它是一个无旋场。
根据环量定理，静电场中环量恒等于零，表明静电场中沿任意闭合路径移动电荷，电场力所做的功都为零，因此静电场是保守场。
根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上，即F=(kq1q2)/r2；，其中q1、q2为两电荷的电荷量(不计正负性)、k为静电力常量，约为9.0e+09(N·m2)/(C2；)，r为两电荷中心点连线的距离。
注意，点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体。
是实际带电体的理想化模型。
当带电体的距离比它们的大小大得多时，带电体的形状和大小可以忽略不计的点电荷。
静电场的环路定理
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
静电场环路定理
方法二 定义法 先由高斯定理求出场强分布
q
再由定义 u E dl
rR
P
E
4 0 r 2
rR
0
rR
rR
u E dl E dl
R r R
R
O
r＜ R
P
r＞ R
0
q
2
4 0 r q 4 0 R
R
dr
u
2 2
方法二 定义法 已知轴线上的场强分布函数
E qx
2
4 0
R x
u Edx
4 0 ( x R ) qxdx
2
3
2
q
xp
xp
4 0 ( x R )
2 2
3
2
4 0 r
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q 解: 方法一 叠加法 (微元法) 球面上任取一圆环
q
r1 r2 r
2
r2
l cos u 2 4 0 r
其中
q
O
r r 1
q
X
r x y
2 2
2
l
u 1 4 0
2
cos
x x y
2 2
px (x y )
3 2 2
课堂练习： 已知正方形顶点有四个等量的电点荷 q1 q 4.0 10 9 C r=5cm
静电场环路定理得
对任意大小面积S都成立。环路定理的微分形式。
( E ) dS 0
s
E 0; 或者rotE 0
旋度处处为零的矢量场，称为无旋场。静电场是无旋场。 高斯定理的微分形式。
静电场的环路定理讲座
例3：求一均匀带电球面的电势分布。
解：由高斯定理知，电场分布为
E
0
rR
1q
4o r 2
rR
当r<R 时
V
r
E
dr
R
E dr
r
E dr
R
1 q
R 4 0 r 2 dr
1
4 0
q R
R
r
.P
当r> R 时
V
r
E
dr
处,VP为正值。这个例题的结果再次表明，在静电
场中只有两点的电势差有绝对的意义，而各点的电
势值却只有相对的意义。
小结： 1.叠加法 (1) 将带电体划分为电荷元 dq。
(2) 选零势点，写出 dq 在场点的电势 dv 。
(3) 由叠加原理得 V Vi 或V dV。
2. 场强积分法(由定义求)
电势能不是点函数只能说电荷q在某位置的势能为多少电势静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势能或将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力所做的功
同 学 们 好
§8-4 静电场的环路定理 电势
静电场对移动带电体要做功，说明静电场具有能量。 一、 静电场力的功
1.点电荷电场中
试探电荷q0从A点经任意路径到达B点。
r
2π R P
x
x
+
+
z +++
dVP
1
4π 0r
qd l 2π R
VP
1
4π 0r
qdl q
q
静电场的高斯定理和环路定理
静电场的高斯定理和环路定理
静电场是指电荷分布静止不动的情况下所产生的电场。
在静电场中，高斯定理和环路定理是两个非常重要的定理。
高斯定理是描述电场通量的定理，它表明：在任何闭合曲面内，电场的通量等于该曲面内的电荷总量除以介质常数。
即：ΦE = ∫E · dS = Q/ε0
其中，ΦE表示电场的通量，E表示电场强度，dS表示曲面元素的面积，Q表示该曲面内的电荷总量，ε0表示真空中的介电常数。
环路定理则是描述电场中电势的变化的定理，它表明：沿着任意闭合回路的线积分等于该回路内的电荷的代数和除以电容。
即：∮Edl = 0
其中，∮Edl表示沿着回路的电场强度的线积分，E表示电场强度，dl表示回路的微元长度，如果回路内有电荷则其代数和为Q。
电容则是电荷和电势之间的比值。
高斯定理和环路定理是静电学中的基本定理，对于研究静电场的性质和计算电场强度、电势等都具有重要的意义。
- 1 -。
08.3静电场的环路定理、电势
b
a
u 3
u 2 u 1
2.电势梯度 电势梯度 单位正电荷从 a到 b电场力的功 到 电场力的功
u+d +u
E•d = Ec sθ l =u−(u+d ) l o d u Ec sθ l =− u o d d
在 l E d 方向上的分量 电场强度沿某 一方向的分量 一般
u
E l
n
a
b
l 由电势定义得 u =∫ E•d =∫ P
r
∞
4 ε0r π
d = r
q 4 ε0r π
讨论 大小
q>0 u>0 r ↑ u↓ r → u 小 ∞ 最 q<0 u<0 r ↑ u↑ r → u 大 ∞ 最
为球心的同一球面上的点电势相等 对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
点电荷系的电势 由电势叠加原理， 的电势为 由电势叠加原理，P的电势为
单位正电荷在该点 所具有的电势能
∞
W = ∫q E•d l a 0
a
∞
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
定义电势差 a b 定义电势差 u −u 电场中任意两点 的 电势之差（电压） 电势之差（电压）
u =u −u =∫ E•d −∫ E•d =∫ E•d l l l ab a b
d q −q A =u −u =0−( ) + oc o c 4 03R 4 0R a πε πε b c q +q 0 −q = 6 0R πε R R R
② 将单位负电荷由 ∞ O电场力所作的功
A O =u −u =0 o ∞ ∞
功、电势差、电势能之间的关系 电势差、
电场的高斯定理和环路定理
电场的高斯定理和环路定理
静电场的高斯定理和环路定理分别说明电场是有源场和保守场。
在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
高斯定律（Gauss'
law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
扩展资料
安培环路定理反映了磁场的基本规律。
和静电场的环路定理相比较，稳恒磁场中B的环流，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。
安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。
B的环流与仅与闭合路径内电流代数和有关，而与电流在其中的分布位置无关，但路径上磁感应强度B是闭合路径内外的电流共同产生。
安培环路定理的物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。
环路定理
∑
i
U =
∫
dQ 4 πε 0 r
Q
r E =
∫
Q
r r dQ （连续） 3 4πε 0 r
r Qi r 3 （分立） 4πε 0 ri
2、根据电势的定义
r E ⇒U
2、是否可
U =
∫
0势
r
r r E ⋅ dr
r U ⇒E
？
L = x +r
2
p
2
x
P点电势： 点电势： 点电势
O r
R
dr
1 dq U =∫ 4πε0 r
= 1 4πε
0
⋅ 2πσ ∫
R
0
σ rdr 2 2 = ( R + x − x) x +r 2ε0
2 2
电势的计算例题
求一均匀带电球面的电势分布。 例3. 求一均匀带电球面的电势分布。
解：由高斯定理知，电场分布为 E = 由高斯定理知，
v r b v r b v v v r Aab = ∫ F ⋅ d r =∫ q0 E ⋅ dr = ∫ q0 ( E1 + E 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + E n ) ⋅ dr
a
a
b
a
=∫
b
a
v b v r b v s v q0 E1 ⋅ dr + ∫a q0 E 2 ⋅ dr + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫a q0 E n ⋅ dr
半径为R的均匀带电圆环轴线上的电势分布 例1.半径为 的均匀带电圆环轴线上的电势分布。 半径为 的均匀带电圆环轴线上的电势分布。
讨论：
(1)x = 0 处
U =
P
q 4πε R
高斯定理和安培环路定理
r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例 无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地 流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单 位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿 过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强 度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
l
I
R R
L
r
2 π rB 0 I
0 r R
2 π rB
B
0I
2π r
B
2 π r l B d l 0 π R 2 I
I
.
dI
dB
0r
R
2
2
I
B
0 Ir
2π R
2
B
B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B
0 Ir
B dl μ 0 Ii
L
内
—— 安培环路定律
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分 等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 μ 0 倍
安培环路定理
n B dl 0 Ii i 1
一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.
回路绕向化为逆时针时则对任意形状的回路设闭合回路l为圆形回路l与i不成右螺旋安培环路定律恒定电流的磁场中磁感应强度沿一闭合路径l的线积分等于路径l包围的电流强度的代数和的环路上各点的磁场为所有电流的贡献安培环路定理一闭合路径的积分的值等于乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和
电磁场公式总结
电荷守恒定律：电荷既不能被创造,也不能被消灭,它们只能从一个物体转移到另一个物体,或从物体的一部分转移到另一部分,在任何物理过程中电荷的代数和总是守恒的．名称电场力 磁场力库伦力 安培力 洛仑兹力 涡旋电场力定义式12021F 4q q r rπε=d d F I l B =⨯（微分式）d L F I l B =⨯⎰（积分式）F qv B =⨯ 洛仑兹力永远不对粒子做功 涡旋电场对导体中电荷的作用力名称 电场强度（场强）电极化强度矢量 磁场感应强度矢量 磁化强度定义单位电荷在空间某处所受电场力的大小,与电荷在该点所受电场力方向一致的一个矢量．即：FE q=．库伦定理：12021F 4q q r r πε=某点处单位体积内因极化而产生的分子电矩之和.即：i V =∆∑i p P单位运动正电荷qv在磁场中受到的最大力m F .即：mF B qv= 毕奥-萨法尔定律：112212L Idl r B 4r μπ⨯=⎰单位体积内所有分子固有磁矩的矢量和m p ∑加上附加磁矩的矢量和.用m p ∆∑表示. 均匀磁化：mmp pM V+∆=∆∑∑不均匀磁化：limmmV P p M V∆→+∆=∆∑∑电偶极距：e P l =q 力矩：P E ⨯L=磁矩：m P ISn = L IS n B =⨯（）电力线 磁力线 静电场的等势面定义就是一簇假想的曲线,其曲线上任一点的切线方向都与该点处的E 方向一致. 就是一簇假想的曲线,其曲线上任一点的切线方向与该点B 的方向相同.就是电势相等的点集合而成的曲面. 性质(1) 电力线的方向即电场强度的方向,电力线的疏密程度表示电场的强弱． (2)电力线起始于正电荷,终止于负电荷,有头有尾,所以静电场是有源(散)场； (3) 电力线不闭合,在没有电荷的地方,任意两条电力线永不相交,所以静电场是无旋场． 静电场是保守场,静电场力是保守力． (1)磁力线是无头无尾的闭合曲线,不像电力线那样有头有尾,起于正电荷,终于负电荷,所以稳恒磁场是无源场． (2)磁力线总是与电流互相套合,所以稳恒磁场是有旋场． (3)磁力线的方向即磁感应强度的方向,磁力线的疏密即磁场的强弱． (1)沿等势面移动电荷时静电力不作功； (2)等势面的电势沿电力线的方向降低； (3)等势面与电力线处处正交； (4)等势面密处电场强,等势面疏处电场弱.名称 静电场的环路定理 磁场中的高斯定理 定义 静电场中场强沿任意闭合环路的线积分通过任意闭合曲面S 的磁通量恒等于0.人生在搏，不索何获渭南师院08级物理学班刘占利 2009-9-221(称作环量)恒等于零．即：d 0LE l ⋅=⎰． 即：SB dS 0⋅=⎰⎰说明的问题电场的无旋性磁场的无源性电位差（电压）：单位正电荷的电位能差．即：B AB ABABA W A U Edl q q===⎰．磁介质：在磁场中影响原磁场的物质称为磁介质．名称 电通量 磁通量定义 电通量就是垂直通过某一面积的电力线的条数,用 e Φ表示.即：SSe E dS EdScos θΦ==⎰⎰⎰⎰垂直通过某曲面磁力线的条数叫磁通量,用m Φ表示.即：SSm B dS BdScos θΦ==⎰⎰⎰⎰名称 静电感应 磁化定义 电场对电场中的物质的作用 磁场对磁场中的物质的作用在介质中求电（磁）场感应强度:方法 利用电介质时电场的高斯定理求电场感应强度利用磁介质中的安培环路定理求磁场感应强度 原理通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和．0d SS q ⋅=∑⎰D S 内0ε=+D E PP n δ=⋅e 0P E χε=（各向同性介质）e 1r εχ=+0r εεε==D E E磁场强度沿任意闭合路径的线积分(环量)等于穿过以该路径为边界的面的所有传导电流的代数和,而与磁化电流无关．d H l I ⋅=∑⎰BH M μ=-M j n =⋅m M H χ=（各向同性介质）1r m μχ=+0H r B H μμμ==解题步骤（1）分析自由电荷分布的对称性,选择适当的高斯面,求出电位移矢量D ．（2）根据电位移矢量D 与电场E 的关系,求出电场E ． （3）根据电极化强度P 与电场E 的关系,求出（1）分析传导电流分布的对称性,选择适当的环路,求出磁场强度H ．（2）根据磁场强度H 与磁场感应强度矢量B 的关系,求出磁场感应强度矢量B ．（3）根据磁化强度M 与磁场感应强度矢量B 的2电极化强度P ． （4）根据束缚电荷e δ与电极化强度P 关系,求出束缚电荷e δ．关系,求出磁场强度M ．（4）根据磁化电流0I 与磁化强度M 关系,求出磁化电流0I ．电（磁）场能量： 电场 磁场 电磁波能量密度 e 1D E 2ω=⋅ m 1B H 2ω=⋅ 22221()2e m w w w E H E H εμεμ=+=+==能量 2e 11W D EdV=CU 22=⋅⎰⎰⎰ 2m 11W B HdV=LI 22=⋅⎰⎰⎰ m W D EdV=B HdV =⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰位移电流与传导电流比较静电场 涡旋电场 传导电流 位移电流不同点电荷 变化的磁场 自由电荷运动 变化的电场电力线不闭和 电力线闭和 产生焦耳热 不产生焦耳热相同点 对电荷都有力的作用 产生等效的磁效应四种电动势的比较： 电动势 产生原因 计算公式 动生 洛仑兹力：q F v B =⨯d i Lv B l ε=⨯⋅⎰感生涡旋电场力：F qE =涡i d d d d L SB E l S t ε=⋅=-⋅⎰⎰⎰自感自身电流变化：m N LI Φ= i d d ILt ε=- 互感 相互电流变化：211MI φ= 122MI φ= 121d d I M t ε=- 212d d IM tε=- 关系：12L L M k = 楞次定律：闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。
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（3）无限大带电平面电场中的电场线
+
+ + + + + + + +
+
+
+++++++++
3、电场线（E）线的特点: （1）曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向相一致； （2）电场线起始于正电荷，终止于负电荷，不形成闭合曲线； （3）任何两条电场线不会相交。 按照电场线的规定所作出的电场线只能定性描述电场的分布，而无法 反映场强的大小。 为了反映场强大小分布，可利用电场线的疏密程度来反映 。密、强； 疏、弱。 4、电场线数密度：垂直穿过单位面积的电场线数 N 均匀电场： 电场线数密度 S E dN N 非均匀电场： 电场线数密度 ds S 规定： 电场线数密度等于场强大小 即 均匀电场： E 非均匀电场：
S
＋
8.3.3 真空中的高斯定理 １、求几种情况下的电场强度通量
（１）包围点电荷球面的电场强度通量 通过
R S
球面上取面元 ds ,
∵球面上： E
ds 的电场强度通量为
d e E ds
q 方向：沿半径向外。 40 R 2 1 q d e E ds ds 2 40 R 1 通过球面的电场强度通量 e E ds
ra
r q0 q a 0
dl θ F q0 E
q0 q q0 q 1 q0 q 1 ( ) 4 0 ra rb 4 0 rb 4 0 ra
（2）任意静电场 元功： 总功：
dA F dl q0 E dl
（２）包围点电荷，任意闭合曲面Ｓ的电场强度通量
e E ds ?
q E ds
S2 S
S
在S内、外取球面S1 、S2
S
q
＋
q E ds
0
q E ds
S1
0
S1
S2
0
说明：φｅ与S的形状无关。
（3）不包围电荷，任意闭合曲面的电场强度通量 E ds 0
qi
结论：真空中穿过任意闭合曲面Ｓ的电场强度通量等于该闭合曲面内电 荷代数和的1/ε0倍。
即
1 E ds
S
0 i ( s内）
q
记 真空中高斯定理的 数学表达式
i
若电荷连续分布，
注意： （1）式中 E
1 则 E ds
S
0 V
dV
∵q0≠0 ,
E dl 0
l
F dl q0 E dl 0
l l
说明静电场是保守 场，是无旋场。
结论：静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（环流）等于零。 该结论称为静电场的环路定理（环流定理）。 或者说将单位正电荷绕任意闭合路径一周静电场力所作的功等于零。
(S所围的带电体)
，是所有电荷所产生。S内、S外。
（2）式中电荷求和（积分），只对s内的电荷求和（积分）。 （3）高斯定理是电磁场的基本定理之一。说明静电场是有源场，发散场。
8.3.4
高斯定理的应用（求场强）
分析：
1、巧取高斯面（充分利用对称性）。 2、能方便的求出s内的电荷。
1 E ds
解： ∵ 电场分布具有球对称性。
o ∴ 取以r为半径的球面S为高斯面 1 根据高斯定理 S E dS q
4 R 3 3
r
R
S
1 E ds E dS E 4r 2
S S
q
均匀带电球体内 场强与半径 r 成正比
1 q E 4 r 2
b a
E E1 E2 En
A dA q0
b b E1 dl q0 E2 dl q0 En dl
a a
A1 A2 An
结论：静电力作功与路径无关。说明静电场力是保守力，静电场是保守场。 2、静电场的环路定理 ∵静电场力是保守力
§8-3 静电场中的高斯定理
8.3.1、电场线（E线、电力线）
1、电场的分布
（1）点电荷； （2）电偶极子； （3）无限大带电平面
2、电场线：为了形象地描述电场的分布而引入的一系列 曲线，曲线上各点的切线方向与该点的场强方向相同。 Eb Ea （1）点电荷电场中的电场线
a b
+
（2）电偶极子电场中的电场线
E R 3
O R
R 3 0
4 3 当0< r < R时， q r 3
当R< r < ∞时，∑q=q
R . 3 0
E
0
r R时，E
r 3
r
讨论： r→0时，E→0
q R 3 E 2 40 r 3 0 r 2 1
r R时， E
E r 2
（2）当r > R时，
高斯面S
R
q R 2 h
0
h S
S
R 2 h E 2 0 rh 2 0 r
讨论： r→0时，E→0
R r R时(r R)，E . 2 R r R时(r R)，E . 2 0
r→∞时，E→0 均匀带电圆柱体电场强度分布曲线
2、在非均匀电场中，通过任意曲面S的电场强度通量。 E (1) 取面元ds，通过ds的电场强度通量为
de E cosds
(2) 通过任意曲面S的电场强度通量为
ds
S
E
n
e d e E cos ds
S S
E
ds
A B C
若曲面S为闭合曲面,
则
e E cos ds
R . 3
r→∞时，E→0
例8-6 半径为R,无限长均匀带电直圆柱体，电荷体密度为ρ ，求其内外的电场。 解：∵ 电场分布具有柱对称性。
∴ 以柱体轴线为轴线，取以r为半径，高为h的闭合柱面S为高斯面。
1 根据高斯定理 S E dS q E dS E ds E ds
A点处，场线穿进，
３、电场强度通量的常用表示 大小：ds ds ds n 引入面元矢量 方向： 为面元法线方向 n 则 de E cosds E ds ds e E ds S E n e E ds q
记
-σ
+σ
两板之间： E 方向：正板指向负板 0 作业：8-2 8-3 8- 6 8-7
§8-4 静电场的环路定理 电势
8.4.1 静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作功，说明静电 场具有能量。环路定理就是从能量的角度来讨论静电场的性质。 1、静电场力作功的特点 （1）点电荷的电场
S S
0
q
E
1
4 0 r 2
q
均匀带电球面内 场强处处为零
0
R
r
当0< r < R时，∑q=0 ∴ E = 0
与点电荷的电 场分布相同
1 q 当R< r < ∞时，∑q=q E 40 r 2
讨论：点电荷的电场 r →∞ E→0; r →0 E→ ∞。
例题 半径为R 的介质球，均匀带电q (q > 0 ),电容率为ε， 求：此带电球的电场。 q
σ
E
E dS E dS E dS E dS E S 左底 侧 右底
ES 0 ES 2 ES
E
2 0
S 0
无限大均匀带电平面的电场是均匀场 求：两无限大均匀带电平面，带等量异号的电荷，平行放置时的电场。 两板之外： E = 0
S 上底面
E ds
r S h
/2
侧面
0
下底面 / 2
0 E 2r h 0 E 2r h
E 2rh
q
（1）当r < R时，
q r h
2
均匀带电直圆柱体内的场强与半径 r 成正比。
r 2 h E r 2rh 2
S
q S 4 0 R 2 ds
通过球面的电场强度通量
S
e E ds
1 q q q 2 4R ds 2 S 4 R 2 4 0 R 0 0
1
即
q E ds
S
静电场是有源场
0
结果表明： e与R无关， 若q＞0,φｅ＞０，电场线穿出。 若q＜0,φｅ＜０，电场线穿进。 表明静电场线起始于正电荷，终止于负电荷。不形成闭合曲线。表 明静电场是有源场。
8.4.2 电势能
静电场力作功与路径无关，仅与始末位置有关，位置确定 做功本领确定，因此可以引入势能的概念，称为电势能。 1、电势能 电场中，将q0由a→b,电场力的功为
dl q0
b
E
F q0 E
A
b
a
b F dl q0 E dl
a
a
∵静电场力是保守力，保守力的功等于势能增量的负值。 若 Wa ―――q0 在a点的电势能; Wb ―――q0 在b点的电势能。
S
S
２、真空中的高斯定理
说明：闭合曲面外的电荷对通过闭合曲面的 φｅ无贡献。 q
+