大学物理静电场(高斯定理)
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
大学物理常用公式(电场磁场 热力学)
第四章 电 场一、常见带电体的场强、电势分布2）均匀带电球面（球面半径 ）的电场：3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为）: E = ，方向：垂直于带电直线。
2r( rR ) 4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为）:E =2r (rR )5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为）的电场: E =/20 ，方向：垂直于平面。
二、静电场定理 1、高斯定理：e = ÑE v dS v = q 静电场是有源场。
Sq 指高斯面内所包含电量的代数和；E 指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全 部电荷产生； Ñ E vdS v 指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。
2、环路定理： Ñ E v dl v =0 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能三、求场强两种方法1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统： E v = E v i ；连续电荷系统： E v = dE v i =12、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法n1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：U =U i ；连续电荷系统： U = dU i =1电势零点v v 2、利用电势的定义求电势 U =电势零点Edl五、应用vv b点电荷受力： F = qE电势差： U ab =U a -U b = b EdraE =1 qU =q4r 24r1）点电荷：E =0 (rR ) q2 (rR ) 4r 2U =q (r R ) 4r q (r R ) 4Ra 点电势能：W a = qU a由 a 到 b 电场力做功等于电势能增量的负值 A ab = -W = -（W b -W a ）六、导体周围的电场1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为 0，导体是一个等势体。
2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。
E v ⊥表面。
导体表面是等势面。
2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。
大学物理电场高斯定理
(2) 库仑力满足牛顿第三定律；
F12
1 4πε0
q1q2 r2
rˆ21
(3) F电 F万 e.g. 两个粒子
m 6.64 1027 kg q 3.2 1019 C
F电 F万
kq2 / r 2 Gm2 / r 2
9 109 （3.2 1019 )2 6.67 1011 (6.64 1027 )2
E
2p
4πε0r3
例10.2 均匀带电细直棒，与棒垂直距离为 a 的P点的
场强。已知电荷线密度为，棒两端到P点的连线与X
轴的夹角分别为1和 2
dE dE
y
Y
dE x P
ar 1
解场：强建为立：坐解 标轴： d如E图, x41x+0ddrx2电qe荷r1元dλx产d生x的
2
dE xdE coθs4π0εr2 coθs
②改为均匀带电的半圆环，线电荷密度
为0，结果？
Y
O
X
[例] 均匀带电(Q)直线段延长线上一点的场强．
L O x x+dx
a X
p
解：建立坐标轴如图
xx+dx电荷元在P点产生的场强：
dE
dq
4 0r2
i
QL dx
40(Lax)2
i
P点的总场强：
E dE i4Q 0L0 L(Ld ax x)2
q2
q1
r2 q0 r1
F1
F2
10.2 静电场 电场强度
早期：电磁理论是超距作用理论 电荷
电荷
后来: 法拉第提出近距作用，并提出力线和场的概念
电荷 电场 电荷
一、电场 (electric field)
大学物理 第七章 高斯定理
。 解：电荷及场分布：柱对称性，场方向沿径向。
高斯面：与带电圆柱同轴的圆柱形
R
闭 合面,高为l,半径为r
sE dS 侧面 E dS E 2 rl
qin
0
由高斯定理知 E qin
2 0lr
r
l
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（1）当r<R 时，高斯面内电荷量为：
半径R,电荷量为q
高斯面
E
问题关键：高斯面的选取
+ +P+
+
+q
+
A:球壳内任意一点P的场强如何求？
+ +
+ +
e E dS
0
+
+
+++ +
S
径向
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e EdS EdS
S
s
E dS E 4 r2 0 S
E 0 (r R)
高斯面
E
+ +P+
+
+q
+
+
+
+ +
qin
q
4 R3
4r3
3
q
r
3
R
3
e EdS EdS E dS
S
S
S
E 4 r2 qin
0
E
高斯面
P+
+ +r +
+
E
qr
4 0 R 3
(r R)
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大学物理_高斯定理
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直， n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到 积分号外面；
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和， 最后由高斯定理求出场强。
高斯定理的应用
高斯定理的应用举例
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电球体的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场 4.均匀带电无限长直线的电场 5. 均匀带电无限长圆柱面的电场 6. 均匀带电球体空腔部分的电场
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面，圆柱壳等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
•当闭合曲面上各点 E =时0，通过闭合曲面的电通量 反之e , 0
不一定成立. •高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。
电通量计算
四、高斯定律应用举例
当场强分布具有某种特殊的对称性时，应用高斯定 理能比较方便求出场强。求解的关键是选取适当的 高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布：包括 均匀带电的球面， 球体和多层同心球 壳等
强分布
S
解：以带电直导线为轴，作一个通过P
点，高为h的圆筒形封闭面为高斯面 S。
eSEdS
h
O
E
rp
侧 面 E d S 上 E d S 下 E d S
其中上、下底面的电场强度方向与面平行，
大学物理常用公式(电场磁场-热力学)
第四章 电 场一、常见带电体的场强、电势分布 1）点电荷：2014q E r πε=04q U rπε=2）均匀带电球面（球面半径R ）的电场：200()()4r R E qr R r πε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩00()4()4qr R r U q r R R πεπε⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩3）无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）:02E rλπε=，方向：垂直于带电直线。
4）无限长均匀带电圆柱面（电荷线密度为λ）: 00()()2r R E r R rλπε≤⎧⎪=⎨>⎪⎩5）无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）的电场:0/2E σε=，方向：垂直于平面。
二、静电场定理 1、高斯定理：0e Sq E dS φε=⋅=∑⎰静电场是有源场。
q ∑指高斯面内所包含电量的代数和；E指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全部电荷产生；SE dS ⋅⎰指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。
2、环路定理：0lE dl⋅=⎰ 静电场是保守场、电场力是保守力，可引入电势能三、求场强两种方法1、利用场强势叠加原理求场强 分离电荷系统：1ni i E E ==∑；连续电荷系统：E dE =⎰2、利用高斯定理求场强 四、求电势的两种方法1、利用电势叠加原理求电势 分离电荷系统：1nii U U==∑；连续电荷系统： U dU =⎰2、利用电势的定义求电势 rU E dl =⋅⎰电势零点五、应用点电荷受力：F qE = 电势差： bab a b aU U U E dr =-=⋅⎰a由a 到b六、导体周围的电场1、静电平衡的充要条件： 1）、导体内的合场强为0，导体是一个等势体。
2）、导体表面的场强处处垂直于导体表面。
E ⊥表表面。
导体表面是等势面。
2、静电平衡时导体上电荷分布： 1）实心导体： 净电荷都分布在导体外表面上。
2）导体腔内无电荷： 电荷都分布在导体外表面，空腔内表面无电荷。
3）导体腔内有电荷+q ，导体电量为Q ：静电平衡时，腔内表面有感应电荷-q ，外表面有电荷Q ＋q 。
大学物理 静电场总结
5. 电势定义:
a
Wpa q0
ur r E dl
a
静电场力作的功与电势差、电势能之间的关系：
b ur r
Aab qE dl q(a b ) (Wpb Wpa ) a
6. 电势分布的典型结论
1) 点电荷: q 4 0r
2) 均匀带电圆环轴线上:
4 0
q R2 x2
3) 均匀带电球面的电势分布:
1)平行板电容器 C 0S
d
2) 电容器的串并联:
串联 1 1 1 1
C C1 C2
Cn
并联 C C1 C2 Cn
4. 电场能量
电容器的静电能: W Q2
2C
电场能量密度:
w
1 2
0E2
各向同性的电介质：
电介质 电位移
D ε0E P
D ε0εr E εE
Gauss定理
2. 静电平衡时导体上的电荷分布 1) 实心导体: 电荷只分布在表面，导体内部没有净电荷.
2) 空腔导体: • 腔内无电荷 电荷分布在外表面,内表面无电荷. •：腔内有电荷: 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带 的电量等量异号。 • 接地空腔导体 外表面不带电, 静电屏蔽 :
3. 电容 C Q
q
4
q
0R
L L rR L L rR
40r
4) 无限长均匀带电直线: ln rB 20 r
(B 0)
7. 电势的计算 叠加法 定义法
第6章 静电场中的导体与电介质
1. 导体的静电平衡条件：
电场描述: ⑴ 导体内部任意一点的场强为零。 ⑵ 导体表面处的场强方向与该处表面垂直.
电势描述: 导体是一等势体,表面是一等势面.
大学物理静电场的高斯定理
n
过P点作高斯面
eSE dS
P
侧 E d S 上 E 底 d S 下 E 底 d S
侧 E d S E 侧 d S E 2 r l
根据高斯定理得
r
l n E n
E2rl 1l 0
E 2 0 r
例题2 已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为
求 电场强度分布
解 电场强度分布具有面对称性
§4.2 静电场的高斯定理
一、电通量
电场线：形象描写电场强度的假想曲线
规定: 起始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处）
电场线上的任一点的切线方向为该点电场强度的方向；
通点过E电的场大中小某，点即，垂E直于dEN的单位面积的电场线等于该 dS
ds
E
电场线
电场线的特点:
• 起始于正电荷，终止于负电荷（或
(3) 通过闭合曲面的电通量
e de S E d S
穿出、穿入闭合面电力线条数之差
dS2 E
二、静电场的高斯定理
高斯定理的推导
1.点电荷q处在任一球面的球心，则通过此球面的电通量为
eE ds 4 q 0R 2d sq 0
q
则穿过球面的电力线条数为 0
ds
2.由于电力线在空间不能中断，当以
q1 q2 q3
高斯定理
e SE dS10q内
(不连续分布的源电荷)
Φe SE dSV10dV
(连续分布的源电荷)
E
是高斯面内外所有电荷产生的;
e
只与内部电荷有关。
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，
等于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以
1 0
讨论 静电场的高斯定理适用于一切对称分布的静电场；反映电场 是有源场；
大学物理 —— 第四章2 电通量 电场中的高斯定理
E • ds
s
0 r
qi
当场源分布具有高度对称性时求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定
E
的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 qi
３.利用高斯定理求解
例1．均匀带电球面
已知R、 q>0 求均匀带电球面的场强分布
解: 对称性分析
E
具有球对称
❖ 作高斯面 过P点的球面
R
r
P
通量
rR
e
E1 • ds E1
ds E14 r 2
rR r
通量
e
E2 • ds E2
P
ds E24 r2
s
s1
电量
qi 0
s
电量
s2
qi q
用高斯定理求解
E1 4r 2 0
E2 4r 2
q
0
E1 0
E2
q
4 0r 2
课 球体
堂
练 计算均匀带电球体内外的场强分布，已知q,R
电通量 电场中的高斯定理
一．电场线（电场的图示法）
方向 ：切线
E 大小：E dN =电场线密度
Ea
Eb
b
dS Ec
c
E
a
dS
E
性质： 静电场中，
不闭合；不相交 起于正电荷、 止于负电荷。
E
点电荷的电场线
负电荷
正电荷
+
一对等量异号电荷的电场线 +
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对异号不等量点电荷的电场线
)
等于这个闭合
曲面所包围的电荷的代数和除以 0 ，与闭合曲面外 的电荷无关。
大学物理静电学总结
大学物理静电学总结静电学是物理学中的一个重要分支，主要研究静止电荷之间的相互作用和电荷分布规律。
在大学物理课程中，静电学通常是一个重要的章节，涵盖了基本概念、定理、公式和应用。
本文将简要总结大学物理静电学的主要内容。
一、基本概念1、电荷：电荷是物质的基本属性，可以分为正电荷和负电荷。
电荷的量称为电荷量，用符号Q表示，单位为库仑（C）。
2、电场：电场是电荷周围存在的一种特殊物质，它可以对放入其中的电荷施加作用力。
电场强度E是描述电场性质的一个物理量，单位为牛/库仑（N/C）。
3、电势：电势是描述电场中某一点电场强度大小的物理量，用符号V表示，单位为伏特（V）。
4、电容：电容是描述电容器储存电荷能力的物理量，用符号C表示，单位为法拉（F）。
5、静电荷分布：静电荷分布是指电荷在空间中的分布情况，可以用电荷密度、电荷线密度和电荷面密度来描述。
二、基本定理和公式1、高斯定理：高斯定理表明，穿过一个封闭曲面的电场强度通量等于该曲面内电荷量的代数和除以真空介电常数。
2、静电场基本方程：静电场基本方程表明，电势V和电场强度E之间存在关系▽·E=ρ/ε0和▽×E=0，其中ρ表示电荷密度，ε0表示真空介电常数。
3、静电场中的能量：静电场中的能量可以用电势能EP和电场能量WE来表示。
其中，电势能EP=QV，电场能量WE=1/2ε0E²。
4、电容器的充电和放电：电容器的充电过程是指将电荷加到电容器两极板上，放电过程是指将电荷从电容器两极板上移走。
充电和放电过程中，电流I与电压U之间存在关系I=dQ/dt=U/R和U=dQ/dt=I×R，其中R表示电阻。
5、静电感应：当一个导体置于电场中时，由于静电感应，导体内部会产生相反的电荷分布，使得导体表面出现电荷。
静电感应的原理可以用安培环路定律和法拉第电磁感应定律来解释。
6、静电屏蔽：静电屏蔽是指将一个导体置于电场中时，由于静电感应，导体表面会产生相反的电荷分布，使得外部电场对导体内部的影响减弱。
大学物理Ⅱ 高斯定理
P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
大学物理之高斯定理
的代数和除以 0，而与闭合曲面（高斯面）外的
电荷无关。
•
其数学表达式为 e
s
E dS
1
0
qi
• 注意： E是高斯面上任一点的电场强度，该E与所 有产生电场的场源有关。
2、高斯定理的验证---以点电荷为例
• 已知 E q ------q为场源点电荷的带电量
S
S/
E
e E S
e ES cos
• 非匀强电场中（曲面）的电通量求法
E
de E dS
S
e
E dS
S
• 电场中的任意闭合曲面S、非均匀电场强度E的通量：
e E cosdS
SE dS
2、有关电通量的注意点
场源电荷为点电荷系或电荷连续分布的带电体qjs?dsie?e??niiee1??????jjiieee???s内s外???ssdee??sdeesjjii????????????????????sjjsiisesedd??????????????ijsjsisese????dd00??iiq0?内q结论?在真空静电场中穿过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以而与闭合曲面高斯面外的电荷无关
• 2、（静电场中）电场线不是闭合曲线，在静电场中，电场线起 始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处），不 形成闭合曲线。
• 3、电场线的每一点的切线方向都跟该点的场强方向一致。 • 4、电场线的疏密与电场强弱的关系：电场线的疏密程度与场强
大小有关，电场线密处电场强，电场线疏处电场弱。 • 5、电场线在空间不相交、不相切、不闭合。
《大学物理》高斯定理知识点
(2)库仑定律只适用于静电场，高斯定理不 但适用于静电场, 对变化电场也是适用的。
第六章 静电场
6 - 2 高斯定理
四 高斯定理应用举例
面内例部1和外设部有任一意半点径的为电R场, 均强匀度带E 电。为Q
分析：
的球面。求球
E
解： r R q 0
R S1 Q
E d S E 4 r2 0 S E 0 (r R)
第六章 静电场
6 - 2 高斯定理
高斯定理的应用
能用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性。 其步骤为
对称性分析：轴对称、面对称、球对称。
根据对称性选择合适的高斯面：
·高斯面上所有点的场强都相等；
·高斯面上的部分面上各点的场强都相等，另一 些面上场强与该面的法线相垂直；
应用高斯定理计算：
一般高斯面会分为几部分，要分别计算出各面上 的电通量；求出高斯面内包围的净电荷量；计算待求 电场强度。
拓展：若为一半径为R的均匀带电球体，所带电荷量为Q。 则其球内外的电场如何分布？
第六章 静电场
6 - 2 高斯定理
例2 设有一无限大的均匀带电平面，单位面积上所
带的电荷即电荷面密度为 。求距离该平面为 r 处某点
的电场强度。
分析：
E
E E
E
S
解：根据高斯定理
2ES S 0
第六章 静电场
E
e E cos dS E cos dS E cos dS
S
底面1
底面2
E cos dS 0 0 E 2 rl 2 Rl
侧面
0
l
所以场强：E R
令圆柱面每单位长度的电0r量为λ，则有λ =σ2πR･1。
则： 2R
大学物理作业2.高斯定理
《大学物理》作业 No .2 静电场中的高斯定理班级 ___________ 学号 ___________ 姓名 ___________ 成绩 ________ 说明：字母为黑体者表示矢量内容提要1.电通量⎰⋅=Φs d S E 电场强度穿过任意曲面的电通量在数值上等于穿过该面的电场线条数；对于封闭曲面，电场线穿出规定电通量为正。
2.真空中高斯定理∑⎰=⋅内q d s 01εS E（1）.高斯定理表明穿过封闭曲面的电通量仅与面内电荷有关，面外电荷分布对该通量无贡献；(2).空间任意一点（包括高斯面上各点）的电场由高斯面内外所有场源电荷共同决定；（3）.高斯定理是静电学的一条重要基本定理，反映了静电场的有源性，同时该定理又是从库仑定律导出的，反映了库仑平方反比律的正确性；（4）.运用高斯定理可以方便地求解具有某些对称性分布的电场，根据电场的对称性分布特点，选取恰当的高斯面，从而简化积分，求出电场。
基本要求1.理解电通量概念，掌握电通量计算2.理解并掌握真空中高斯定理3.会用高斯定理计算几种典型对称电荷分布的电场一、 选择题1. 将一个点电荷（忽略重力）无初速地放入静电场中，关于电荷的运动情况，正确的是：[ ] （A ）电荷一定顺着电场线加速运动；（B ）电荷一定逆着电场线加速运动；（C ）到底是顺着还是逆着电场线运动，由电荷的正负决定；（D ）以上说法均不正确。
2.关于电场线，以下说法正确的是[ ] (A) 电场线上各点的电场强度大小相等；(B) 电场线是一条曲线，曲线上的每一点的切线方向都与该点的电场强度方向平行；(C) 电场线是电场空间实际存在的系列曲线；(D) 在无电荷的电场空间，电场线可以相交.3.如图2.1，一半球面的底面圆所在的平面与均强电场E 的夹角为30° ，球面的半径为R ，球面的法线向外，则通过此半球面的电通量为 [ ] (A) π R 2E/2 . (B) -π R 2E/2.(C) π R 2E .(D) -π R 2E .4.关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的是[ ] (A) 如高斯面上E 处处为零,则该面内必无电荷；(B) 如高斯面内无电荷,则高斯面上E 处处为零；(C) 如高斯面上E 处处不为零,则高斯面内必有电荷；(D) 如高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零；(E) 高斯定理仅适用于具有高度对称的电场5. 两个同心均匀带电球面，半径分别为a R 和b R (b a R R <) , 所带电量分别为a Q 和b Q ，设某点与球心相距r , 当b a R r R <<时， 该点的电场强度的大小为：[ ] (A) 2b a 041r Q Q +⋅πε (B) 2b a 041r Q Q -⋅πε (C))(412bb 2a 0R Q r Q +⋅πε (D) 2a 041r Q ⋅πε 6. 如图2.2所示，两个“无限长”的、半径分别为R 1和R 2的共轴圆柱面均匀带电，轴线方向单位长度上的带电量分别为1λ 和2λ， 则在内圆柱面里面、距离轴线为r 处的P 点的电场强度大小 [ ] (A) r0212πελλ+ (B) 20210122R R πελπελ+ (C) 1014R πελ (D) 0 二、 填空题1.将一电量为q 的点电荷置于一正方体盒子的中心，则穿过盒子六个面的电通量是多少 ,如果将点电荷置于盒子的一个顶点处，穿过盒子各个面的电通量又是多少 .2.如图2.3所示,真空中两个正点电荷,带电量都为Q ,相距2R ,若以其中一点电荷所在处O 点为中心,以R 为半径作高斯球面S ,则通过该球面的电场强度通量Φ= ;若以r 0表示高斯面外法线方向的单位矢量,则高斯面上a 、b 两点的电场强度的矢量式分别为 ， .三、计算题 1. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为⎩⎨⎧><=)(0)(R r R r Ar ρ , 其中A 为一常数，试求球体内、外的场强分布。
大学物理静电场的高斯定理
高斯定理的数学表达形式简洁明了，是解决静电场问题的重要
03
工具。
高斯定理在物理中的重要性
高斯定理在物理学中具有广泛 的应用，不仅限于静电场。
它可用于分析恒定磁场、时 变电磁场以及相对论性电磁
场中的问题。
高斯定理是电磁学理论体系中 的重要基石，对于深入理解电 磁场的本质和规律具有不可替
代的作用。
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高斯定理的重要性
总结词
高斯定理是静电场理论中的基本定理之一，它揭示了电场与电荷之间的内在联 系。
详细描述
高斯定理的重要性在于它提供了一种计算电场分布的方法，特别是对于电荷分 布未知的情况。同时，它也揭示了电场线总是从正电荷出发，终止于负电荷， 或者穿过不带电的区域。
高斯定理的历史背景
总结词
高斯定理的发现和证明经历了漫长而曲折的历史过程。
VS
按空间位置分类
静电场可分为点电荷产生的电场、线电荷 产生的电场、面电荷产生的电场等类型。 这些不同类型的电场具有不同的分布规律 和性质。
05
高斯定理的推导过程
利用高斯定理推导电场强度与电通量的关系
总结词
通过高斯定理，我们可以推导出电场强度与 电通量之间的关系，即电场线穿过任意闭合 曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷 量与真空电容率的乘积。
静电场的电场强度与电势具有相对独立性
电场强度与电势之间没有直接关系，改变电场中某点的电势，不会影响该点的电场强度。
静电场的分类
按产生方式分类
静电场可分为感应起电和接触起电两种 方式。感应起电是由于带电体在接近导 体时，导体内部电荷重新分布而产生电 场；接触起电是两个不同物体相互接触 时，由于电子的转移而产生电场。
6.2静电场的高斯定理
三、高斯定理
在真空中， 在真空中，通过任一闭合曲面的电通量等于 该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/ 该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/εo倍。
φe = ∫ E⋅ dS = S
1
ε0
∑q
i
i
验证高斯定理： 验证高斯定理：
1、点电荷在球形高斯面的圆心处 球面上场强: 球面上场强: E =
E
dS
+ +
q 4 0R πε
2
dΦe = E⋅ dS = EdS =
Φe = ∫ q 4 0R πε
2
q 4 0R πε
q
2
dS
q
0
S
dS =
4 0R πε
2 S
∫dS = ε
2、点电荷在任意形状的高斯面内
Φe = ∫ E⋅ dS = ∫ E⋅ dS =
S S'
q
ε0
S
S’
+
3、点电荷在闭合曲面以外
Φ = ∫ E⋅ dS =0 e
R
dE
x
P
解：利用细圆环解得结果
dE=
4 0 x +r πε
2
(
xdq
2 3/ 2
)
dr r
R
dq =σ2 rdr π
dE = 4 0 ( x +r πε
2
R 0
dE
x
P
x⋅σ 2 rdr π
2 32
)
E =∫ dE = ∫
σ x = 1 − 2 32 2 2 2 0 (x + R2)1 2 ε 4 0 ( x +r ) πε
S
+ +
大学物理静电场(高斯定理)课件
大学物理静电场(高斯定理)课件一、教学内容本节课的教学内容来自于大学物理的静电场部分，具体涉及高斯定理。
高斯定理是描述电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的电荷量之间的关系。
数学表达式为：\[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} =\frac{Q}{\varepsilon_0} \]其中，\( \mathbf{E} \) 表示电场强度，\( d\mathbf{A} \) 表示曲面元素，\( Q \) 表示闭合曲面内部的电荷量，\( \varepsilon_0 \) 表示真空中的电常数。
二、教学目标1. 理解高斯定理的数学表达和物理意义。
2. 学会运用高斯定理计算闭合曲面内的电荷量。
3. 掌握高斯定理在实际问题中的应用。
三、教学难点与重点重点：高斯定理的数学表达和物理意义。
难点：如何运用高斯定理计算闭合曲面内的电荷量，以及高斯定理在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：投影仪、黑板、粉笔。
学具：笔记本、笔、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：以雷电现象为例，介绍静电场中的电荷分布和电场强度。
引导学生思考如何计算一个闭合曲面内的电荷量。
2. 理论知识讲解：讲解高斯定理的数学表达和物理意义。
通过示例，解释高斯定理如何描述电场通过闭合曲面的电通量与内部电荷量之间的关系。
3. 例题讲解：给出一个具体的题目，指导学生如何运用高斯定理计算闭合曲面内的电荷量。
题目如下：一个半径为 \( R \) 的球体，在其表面分布着电荷，求球体内的电荷量。
4. 随堂练习：让学生独立完成上述题目的计算。
在课堂上选取几位学生的答案进行讲解和讨论。
5. 作业布置：布置一道类似的题目，要求学生课后完成。
题目如下：一个长方体导体，其两个相对面上分别分布着电荷 \( Q_1 \) 和\( Q_2 \)，求长方体内部的电荷量。
6. 板书设计：板书高斯定理的数学表达式和物理意义，以及解题步骤和关键点。
浙江省大学物理试题库302-静电场的高斯定理
－ 选择题题号：30212001 分值：3分难度系数等级：2如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变；()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变；()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变；()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。
〔 〕答案：()C题号：30213002 分值：3分难度系数等级：3关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：()A 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷；()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零；()C 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷；()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。
〔 〕 答案：()D题号：30213003 分值：3分难度系数等级：3如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为()A 0/q ε ； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。
〔 〕答案：()D题号：30212004 分值：3分难度系数等级：2 如图所示，闭合面S 内有一点电荷Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至B 点，则；()A S 面的总通量改变，P 点场强不变；()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变；()D S 面的总通量和P 点场强都改变。
〔 〕 答案：()B题号：30214005 分值：3分难度系数等级：4在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ，2φ，3φ，则()A 1230E b c E bc φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==；()C123Eac Ebc φφφ=-=-=-；()D123Eac Ebc φφφ===。
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Eds
例3 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0
求证: 体内处处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
E dS 0 由高斯定理
S
qi dV 0
i
V
体积元任取
0
证毕
d
1
立体角 d
也对应面元dS2
两d面元E处1 对ds1应的E2点 d电s2荷的4电q0r场12 ^强r1 度ds1分 别4为q0r22Er^21， dsE2 2
qds1 cos1 qds2 cos2 0
4 0r12
4 0r22
d1 d2 0
SE ds 0
此种情况下 仍得证 3) 源和面均 任意
4.微分形式
1
E
0
四. 高斯定理在解场方面的应用
对 Q 的分布具有某种对称性的情况下 利用高斯定理解 E 较为方便
常见的电量分布的对称性：
球对称
均
匀 带
球体
电 球面
的 (点电荷)
柱对称 无限长 柱体 柱面 带电线
面对称 无限大 平板 平面
例1 均匀带电球面 总电量为 Q 半径为 R 求：电场强度分布
r
dS
qds cos 4 0r 2
q d
4 0
E dS
q d q
d q
S
S 4 0
4 0 S
0
在所设的情况下得证
E ds
i
q内i
S
0
2)源电荷仍是点电荷
取一闭合面不包围点电荷(如图示)
在闭合面上任取面元 dS1
q
dS
r2
2
S
r1 r^1
E2
E1
dS1
该面元对点电荷张的
r0
球面面元 ds1
定义式
d
dS1 r12
dS0 r02
dS
d r 2 cos
单位 球面度
计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
d dl cos dl0 2 弧度
l
lr
r l0 0
平面
r0 r
l0
l
计算闭合曲面对面内一点所张的立体角
d
S
S
dS0 r02
4
球面度
2.高斯定理的证明 库仑定律 + 叠加原理
S
dS
qi
E
i
4 0r 2
过场点的高斯面内电量代数和?
r<R qi 0
i
r>R qi Q
i
r< R E 0
r>R
Q
E 40r 2
如何理解面内场强为0 ?
P
过P点作圆锥
dq1
则在球面上截出两电荷元
dq1 dS1 dq2 dS2
dq1 在P点场强
dE1
dS1 4 0 r12
d
§3 高斯定理
一.电力线
用一族空间曲线形象描述场强分布
通常把这些曲线称为电场线(electric field line)或电力线 (electric line of force)
1.规定
方向：力线上每一点的切线方向；
大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场强 方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目， 等于该点场强的量值。
q
dS
r2
2
S
r1
r^1
E2
E1
dS1
d
1
qi
E ds i
S
0
根据叠加原理可得
E dS Ei dS
S
Si
qi
i
0
讨论
1.闭合面内、外电荷的贡献
对 E 都有贡献
对电通量 E dS 的贡献有差别
只有闭合面S 内的电量对电通量有贡献
2.静电场性质的基本方程 有源场
3.源于库仑定律 高于库仑定律
解: 根据电荷分布的对称性， 选取合适的高斯面(闭合面)
Q
Ro
r
P E
S
dS
取过场点的 以球心 o 为心的球面 先从高斯定理等式的左方入手
先计算高斯面的电通量
E dS
EdS E dS E4 r 2
S
S
S
E dS E4 r 2
S
再根据高斯定理解方程
qi
E4r i 0
Q
Ro
r
P E
之所以具有这些基本性质， 由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。
dS 匀强电场
二.电通量 (electric flux)
E
藉助电力线认识电通量 通过任一面的电力线条数
dS
dsE
通过任意面积元的电通量 d E dS
通过任意曲面的电通量怎么计算？
把曲面分成许多个面积元
思路：先证明点电荷的场
然后推广至一般电荷分布的场
1) 源电荷是点电荷
在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示)
在闭合面S上任取面元
ds
q
E
该面元对点电荷所张
的立体角 d
S d
dS
点电荷在面元处的场强为 E
点电荷在面元处的场强为
E
q
4 0r 2
r^
qr S d
Hale Waihona Puke r^EdS
d
E dS
q
4 0r 2
dlr1 0dl0
dl
当然 也
dl0 r0
r 射线长为
r1
d
dl1
一般的定义：线段元dl 对某点所张的平面角
d
dl0
dl
cos
rr
单位：弧度
r 平面角
d
dl0
dl
cos
rr
立体角
d
面元dS 对某点所张的立体角：
r1 drlr1 0dl0
dl
dS
锥体的“顶角”
d
dS1 dS0
对比平面角，取半径为 r1 r1
每一面元处视为匀强电场
d E dS
S
S
E dS
S
讨论
正与负
E dS
d E dS 取决于面元的法
S
线方向的选取
如前图 知 E
若如红箭头所示
ds >0
则E
ds
<0
通过闭合面的电通量
S
SE dS
规定：面元方向
由闭合面内指向面外
E dS 确定的值 S
E
ds
<0
4 0
dq2
在P点场强
dE2
dS2 4 0 r22
d
4 0
dE1 dE2
dq2
方向 如图 方向 如图
例2 均匀带电的无限长的直线 线密度
对称性的分析
取合适的高斯
面 计E 算ds电 通量 E
ds
E ds
S
侧面
两底面
r P
dE
E2rl
利用高斯定理解出E
E2rl l 0
E
2 0r
ds r
d
E dS
d Eds
若面积元不垂直电场强度，
匀强电场 E
ds
E
dS dS
电场强度与电力线条数、面积元的
关系怎样？
由图 可知 通过 ds和 ds 电力线条数相同
ds dsn^
d Eds Edscos
d E dS
2.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2)两条电场线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。
电力线穿入
E
E ds>0
电力线穿出
dS
S
dS
三.静电场的高斯定理 Gauss theorem 1.表述 在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量
等于这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。
qi内
E dS i
S
0
补充：立体角的概念
平面角：
r 由一点发出的两条射线之间的夹角
取 r1为半径的弧长 dl1 d r1