静电场中的高斯定理

静电场中的高斯定理

[摘要] 高斯定理是静电学的重要定理，它可以通过数学证明方法得到，同时

要注意高斯面的选择和对高斯定理的理解。

[关键字] 高斯定理 高斯面 证明 注意事项

[内容] 高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源就是电荷。可以将其表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0 分之一，而与闭合曲面外的电荷无关。高斯定理的表达式如下：

⎰

⎰=

⋅=ΦV

e dq 1

d εS

S E

其中，E 表示在闭合曲面上任一dS 面处的电场强度，而EdS 则表示通过面元dS 的电场强度通量，

就表示通过整个闭合曲面S 的电场强度通量，

习惯上称闭合曲面S 为高斯面。由高斯定理可知：静电场是有源的，发散的，源头在电荷所在处，由此确定的电场线起于正电荷，终于负电荷。

下面对于静电场中的高斯定理进行证明： （a ）点电荷在球面中心 点电荷q 的电场强度为

r r

q

41

30⋅⋅=πεE

球面的电通量为

2

20S

2

030q

r 4r 4q d r 4q d r r q

41

d εππεπεπε=

⋅⋅==⋅⋅⋅=⋅⎰⎰⎰S

S S E S S （1）

（b ）点电荷在任意闭曲面外

闭曲面S 的电通量为

()⎰⎰⎰

⎰++=

++=⋅⋅⋅

=⋅S S

S

S S E zdxdy r

1ydxdz r 1xdydz r 14q

zdxdy ydxdz xdydz r 1

4q d r r

q

41d 3330S 3030

πεπεπε （2）

根据高斯公式

⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛∂∂+∂∂+∂∂S

V R Q P R Q P dxdy dzdx dydz dxdydz

z y x

（3）

并考虑到3

33r z

r y ,r x ===

R Q P ，在S 内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用高斯公式计算。

将式（2）代入式（3）中得

()⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰

=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢

⎢⎢⎣⎡∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂⎪⎭⎫

⎝⎛∂+∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂=

++=

++=⋅⋅⋅

=⋅V 33303330

S 3030

0dxdydz z

r z y

r y x r x 4q zdxdy r

1

ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1

4q d r r

q

41d πεπεπεπεS

S

S

S S E

（c ）点电荷在任意闭曲面内

在任意闭曲面S 内以点电荷q 为球心作一辅助球面S 1，其法向朝内，根据（1）式可知点电荷q 在闭曲面S+S 1的电通量为零，即：

q

d d d 0

d d 2

1

1

ε=

⋅-=⋅-=⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰S S S

S S

S E S E S E S E S E （4）

其中式（4）中S 1和S 2的大小相等，法向相反。 （d ）点电荷系在闭曲面内外

设闭曲面内的点电荷为q 1,q 2,q 3…q n ；闭曲面外的点电荷为q n+1…则根据上述讨论可得

∑∑⎰⎰∑⎰====

⋅=⋅=⋅n

1

i i

n

1

i i n

1

i i

q

1

d d d εS

S S

S

E S

E

S E

这就是高斯定理。

要说明的是，在选择高斯面时注意这几点： 1. 需求场强的场点要在高斯面上；

2. 高斯面上各部分或者与场强E 垂直，或者与场强E 平行，或者与场强E

有恒定的夹角；

3. 各部分高斯上垂直于高斯面的场强的大小应各自为一常值；

4. 高斯面的形状应比较简单。

另外，对于高斯定理还有几点注意：

1. 定理中的E 是指空间某处的总电场强度。若用E 外，E 内 分别表示高斯

面外，内的电荷在高斯面上产生的场，则在该处的总场强E=E 外+E 内； 2. 注意高斯定理表达式中E 和dS 的矢量性； 3.

是高斯面内正、负电荷电量的代数和，不能因为为零就认为闭

合曲面内没有电荷；

4. 由于高斯定理是由点电荷间的相互作用的平方反比定理（2

0r

4πεQ E =

）

得到的，所以高斯定理平方反比定律的必然结果。

高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。虽然高斯定理的适用范围很广，但用它求带电体的电场分布时有很大的局限性，只对那些电荷分布高度对称的带电体，才能使用高斯定理求场强。

[参考文献]

[1] 张丹海、宏小达，简明大学物理（第二版）[M],北京：科学出版社，2008年第2版

[2] 成都物理晚报（2002）

[3] 籍延坤，大连铁道学院学报[J]，2004年9月第25卷第3期：13～15

[4] 袁艳红，新疆教育学院学报[J],2000年12月第16卷第4期：84～85