静电场及高斯定理

Fe ＝ 8.2 108 Fg 3.6 1047
2.3 1039
结论：库仑力比万有引力大得多。
所以在原子中，作用在电子上的力，主要是电场力，万 有引力完全可以忽略不计。
三、 电场强度
1、静电场
(1)电场的概念 电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说 电荷周围存在有电场。
在该电场的任何带电体，都受到电场的作用力， 这就是所谓的近距作用。
附： (1+x)m的泰勒级数展开为：
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 m(m 1)(m 2) x3 ......
2!
3!
...... m(m 1)(m 2)......(m n 1) xn n!
小结
• 电荷的量子化 • 电荷守恒定律 • 库仑定律 • 静电场的概念 • 电场强度 • 电场强度叠加原理 • 电场强度的计算
电子电量 e 带电体电量 q=ne, n=1,2,3,...
密立根测定电子电荷的实验
1909年密立根测量电子电荷；1923年获得诺贝尔物理奖。 方法：观察均匀电场中带电油滴的运动。
不加电场时：油滴在重力
和阻力的作用下，最后得到 收尾速度。
mg 6 rv1 0
v 1＝
mg
6
r
由此式可从实验中测量油滴的质量。
最早是由狄拉克从理论上预言的。1932年8月2日，美国加州 理工学院的安德森等人向全世界庄严宣告，他们发现了正电 子。
正电子的发现是利用云雾室来观测的。正电子的发现开辟了 反物质领域的研究。
(2) 电荷量子化
1913年，密立根用液滴法从实验中测出所有电子都 具有相同的电荷，而且带电体的电荷是电子电荷的 整数倍。
加电场时
油滴在重力、阻力和 电场力的作用下，最 后也得到收尾速度。
mg 6 rv2－qE 0
v
＝
2
mg qE
6 r
因而可得油滴的电荷为 q 6rv1 v2
E
密立根油滴实验的结果
•油滴的电荷总是等于同一基元电荷的整数倍
q=ne, n=1,2,…., •电子电荷的值为e=1.603×10-19C，称为基元电荷； 即电荷是量子化的。
电荷体分布，dq=ρdV
E＝
V
er 4 0r
2
dV
＝ dQ
dl
线密度
＝ dQ
dS
面密度
＝ dQ
dV
体密度
（3）电场强度的计算方法
离散型
E＝
E
＝
i
Qi
4 0
r
2
er
连续型
E＝ dE
dq
4 0r 2 er
E＝ dE
dq
4 0r 2 er
计算的步骤大致如下： •取电荷元dq，写出dq在待求点的场强的表达式； •选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表 示式； •进行积分计算； •写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度 的大小和方向；
（2）实验 在静止的电荷Q周围的静电场中，放 入试验电荷q0 ，讨论试验电荷q0 的 受力情况。
F＝
Qq 0
4 0r
2
r
F与r 有关，而且还与试验电荷q0 有关。
（3）电场强度
试验电荷将受到源电荷的作用力与试验 电荷电量的比值F/q0 则与试验电荷无关， 可以反映电场本身的性质，用这个物理 量作为描写电场的场量，称为电场强度 （简称场强）。
F12
k
q1q2 r122
e12
r12 r1 r2
e12 表示单位矢量
F12
r1
q1
r12
r2
q2 F21
O
k 1
4 0
F12
1
4 0
q1q2 r122
e12
F12
r1
q1
r12
r2
q2 F21
0 8.85 1012 C2 N1m2 O
真空介电 常数
• 库仑力满足牛顿第三定律
3、电场力 电荷q在电场E中的电场力
F＝qE
当q>0时，电场力方向与电场强度方向相同； 当q<0时，电场力方向与电场强度方向相反。
4、点电荷电场强度
在真空中，点电荷Q 放在坐标原点，试
验电荷放在r 处，由库仑定律可知试验电
荷受到的电场力为
F
Qq 0
4 0r 2
er
+
点电荷场强公式
E＝
F
q0
Q
4 0r 2
er
-
Q>0，电场强度E与er同向 Q<0，电场强度E与er反向。
点电荷场强公式
E＝
F
q0
Q
4 0r 2
er
+
说明：
(1)点电荷电场是非均匀电场； (2)点电荷电场具有球对称性。
-
5、电场强度叠加原理
（1）电荷离散分布
在点电荷系Q1,Q2,…,Qn 的电场中，在P点放
一试验电荷q0，根据库仑力的叠加原理，可
F
E
q0
＝Q
4 0r2
r
F
E
q0
＝Q
4 0r2
r
电场中某点的电场强度在数值上等于位于 该点的单位正试验电荷所受的电场力。 电场强度的方向与电场力的方向一致（当 q0为正值时）。
单位：N.C-1或V.m-1
电场强度是电场的属性，与试验电荷的 存在与否无关，并不因无试验电荷而不 存在，只是由试验电荷反映。
任一点p 的电场强度。
dE
X
P
r
R dq
L
例2、 均匀带电圆环轴线上一点x处的场强。
设正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线
任一点p 的电场强度。
解：由对称性可知，p点场强只有X分量
q cos
qx
E 4 0r 2 4 0 (R2 x2 )32
X
dE P
xr
讨论：当求场点远大于环的半径时，
解：氢原子核与电子可看作点电荷，
库仑力为：
Fe＝
1
4
0
e r
2 2
9
109
(1.6 (5.3
1019 1011
)2 )2
8.2108 N
万有引力为：
Fg＝G
mM r2
6.67
1011
9.1
1031 1.67 (5.3 1011 )2
10
27
3.6 1047 N
例：在氢原子中，电子与质子之间的距离约为5.3×10-11m，求 它们之间的库仑力与万有引力，并比较它们的大小。
习题P77 5-10
E
1
40
q
x r0 /
22
q O
q
E A E
E
1
40
x
q r0
/
22
r0
x
1 q
q
E
E
E
4 0
x
r0
/
22
x
r0
/
22
E
q
4 0
2 xr0 x2 r02 / 4
2
例2、 均匀带电圆环轴线上一点的场强。 设正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线
2 0 [1 ( R2 x2 )12 ]
讨论： 1.当x<<R
E
2 0
R o rd
dr q
2.当x>>R
E R2 40 x2
p
x·
d E
x
相当于无限大带电平面附近的 电场，可看成是均匀场，场强
R2 q 40 x2 40 x2
垂直于板面，正负由电荷的符 号决定。
习题P76 5-9
在远离带电圆面处， 相当于点电荷的场强。
E
q
4 0 x 2
方向在X轴上，正负由q的正负决定。 说明远离环心的场强相当于点电荷的场。
R dq
L
习题P76 5-6（1）
例3、均匀带电圆盘轴线上一点x处的场强。
设圆盘带电量为q，半径为R。
解：带电圆盘可看成许多同心的圆环
R
组成，取一半径为r，宽度为dr 的细 圆环带电量
o rd
dr
p
x·
d E
第5章 静电场
本章主要内容研究真空中静电场的基本特性：
第1节 静电场基本定律： 库仑定律、电场强度、叠加定律 第2节 静电场基本定理： 高斯定理及应用 第3节 电场力做功、电势、电势能 第4节 静电场中的电解质
一、 电荷的量子化 电荷守恒定律
1、电荷的量子化
(1) 电荷
摩擦起电：用木块摩擦过的琥珀能 吸引碎草等轻小物体的现象。许多 物体经过毛皮或丝绸等摩擦后，都 能够吸引轻小的物体。人们就说它 们带了电，或者说它们有了电荷。
＝Q 线密度
l
E＝ dE
dl 4 0r 2 er
电荷面分布，dq=σdS
＝Q
S
面密度
E＝
S
er 4 0r
2
dS
电荷体分布，dq=ρdV
＝ dQ
dV
体密度
E＝
V
er 4 0r
2
dV
电荷线E分＝布，dq=λedrl dl
4 0 r 2
电荷面分E布＝，dq=σdeSr
S 4 0r
2
dS
在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。
（4）电场强度的计算
例1、电偶极子的电场强度
电偶极子：等量异号电荷+q、-q，相距为r0，它相 对于求场点很小，称该带电体系为电偶极子。
电偶极子的轴：从-q 指向+q 的矢 量r0称为电偶极子的轴