测量与地图学3

处都呈直角相交，这表明地图上有角度
变形
• 2.投影变形的相关概念
• （1）变形椭圆
在地球球面上取一微
小圆，它在平面上的投影除在接触点位
置外，一般情况下为椭圆， 下面我们用
数学方法验证一下。
•
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• • •
设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度 （为1），M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为： x2+y2=1 A位于以经纬线为直角坐标轴X、Y的坐标系上 ，X’、Y’为投影 后坐标轴，A‘(x’，y’)是A(x，y)的投影，令经线长度比为m，纬线 长度比为n，则: x’/x=m，y’/y=n → x=x’/m，y=y’/n (x,y)为圆上一点，将其代入圆的方程，得：x’2/ m 2+y’2/ n 2=1 这是一个椭圆方程，这就证明了椭球体面上的微小圆，投影后为 椭圆。故叫做变形椭圆。
• (6)等距正割圆锥投影
• 概念:圆锥体面割于球面两条纬线。 • 变形:纬线呈同心圆弧，经线呈辐射的直线束。各经线和 两标纬无长度变形，即其它纬线均有长度变形，在两标纬 间角度、长度和面积变形为负，在两标纬外侧变形为正。 离开标纬愈远，变形的绝对值则愈大。 • 用途:用于编绘东西方向长，南北方向稍宽地区的地图， 如前苏联全图等。
• 五、常用地图投 影
（1）墨卡托投影（Mercator Projection）
墨卡托投影属于正轴等角圆柱投影。该投影设想与 地轴方向一致的圆柱与地球相切或相割，将球面上的 经纬线网按等角的条件投影到圆柱面上，然后把圆柱 面沿一条母线剪开并展成平面。经线和纬线是两组相 互垂直的平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由赤道 向两极逐渐扩大（如图）。图上无角度变形，但面积 变形较大。
长度变形有正负之分，长度变形为正，表示投影后长度增加；长度变 形为负表示投影后长度缩短；长度变形为零，则长度无变形。
• •
在主方向上，具有极大和极小长度 比。 当经纬线投影后为正交垂直，经纬 线方向就是为主方向，如高斯投影。但 也有一些投影后经纬线斜交，因此，主 方向与经纬线方向并不一致。
• 主比例尺和局部比例尺 • 平常地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地图 投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比例尺缩小， 如制1:100万地图，将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上， 则1:100万就是地图的主比例尺。由于投影后有变形，所以主比例 尺仅能保留在投影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主 比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局
第二章地图的数学基础
• 3.地图投影的定义
•
球面上任一点的位置用地理坐标（φ、λ）表示，
而平面上点的位置用直角坐标（x, y）或极坐标（r，
θ）表示，所以要将地球球面上的点转移到平面上，
必须采用一定的数学方法来确定地理坐标与平面坐标
之间的关系。
•
这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系
的数学方法，称为地图投影。
部比例尺。
• 注意长度比、长度变形与地图比例尺的区别。
• (4)面积变形
投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小 面积（微小圆面积）dF之比。 • P 表示面积比 Vp 表示面积变形
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dF ' πab P 2 a b dF πl
Vp p 1
( = 90)（主方向和经向纬向一致） ( ≠ 90)（阿波隆尼定理） 面积比是变量，随位置的不同而变化。
等角投影 按 变 形 性 质 分 类 等距投影 等积投影
任意投影
图2-19 不同性质投影上的变形椭圆
（1）等角投影（正形投影）：角度变形为0，地球面上 的微小圆经过投影后仍为相似的微小圆，其形状保持 不变，只有长度和面积变形。 等角投影的条件是：ω=0 sin(ω/2)=(a—b)/（a+b)=0 a=b，m=n 等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不 同地点长度比不一定相同。 多用于编制航海图、洋流图、风向图等地形图。
P = a²b = m ² n P = m ² n ² sin
•(5)角度变形 • 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方 向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。
a b sin 2 ab
•

b tan(45 )度比)
四、 地图投影的分类
• （ 2 ）主方向（底索定律） • 无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有
一对正交方向线，在投影平面上仍然保持其正交关 系”。在投影后仍保持正交的一对线的方向成为主方 向。取主方向为作为微分椭圆的坐标
• （3）长度比和长度变形：设地球球面上有一微小线
段ds,投影到平面上为ds’，投影面上微小线段与球面
• (4)等角正切方位投影
•
概念:球面极地投影：以极为投影中心。纬线为同心 圆，经线为辐射的直线，纬距田中心向外扩大。 变形:投影中央部分的长度和面积变形小，向外变形逐渐 增大。
用途:主要用于编绘两极地区国际1∶100万地形图。
• (5)等积斜切方位投影
• 概念:投影中心点位随需要而定 • 变形:中央经线为直线，其余经线和纬线均为曲线。自投 影中心点向外，长度和角度变形逐渐增大。用途:编制亚 洲、欧洲、北美等大区域地图。 • 中国政区全图:其投影中心点位于30°N，105°E； 长度变形在广大地区为±2％，局部地区为±35％；最 大角度变形，广大地区为2.5°，局部地区为4°
• (8)等角正割圆锥投影
• 概念: 满足ｍ＝ｎ条件，两标纬间经线长度与纬线长度 同程度的缩小，两标纬外同程度的放大。 • 变形:在标纬上无变形，两标纬间变形为负，标纬外变 形为正，离标纬愈远，变形绝对值则愈大。 • 用途:用于要求方向正确的自然地图、风向图、洋流图、 航空图，以及要求形状相似的区域地图；并广泛用于 制作各种比例尺的地形图的数学基础。 如我国在1949年前测制的1∶5万地形图，法国、比利 时、西班牙等国家亦曾用它作地形图数学基础，二次 大战后美国用它编制1∶100万航空图。
（2）等积投影：投影后图形保持面积大小相等，没有面
积误差。也就是球面上的不同地点微小圆投影后为面积相
等的各个椭圆，但椭圆的形状不一样。因此有角度和长度 变形。 等积投影条件：Vp=P―1＝0；P=1（P=ab，所以a=1/b或 b=1/a ） 由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图 上进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自
这种对应关系，就可把球面上的经纬网交点表示到平面上了。
•
球面上任意一点的位置决定于它的经纬度，实 际投影时是先将一些经纬线的交点展绘在平面上， 再将相同经度的点连成经线，相同纬度的点连成纬 线，构成经纬线网。
• 地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬网按一 定的数学法则转移到平面上。经纬线网是绘制地 图的“基础”，是地图的主要数学要素。
三、地图投影的变形
• 1.地图投影变形的概念 由于球面是一个不可直接展成 平面的曲面，无论采用什么投影，投影后经纬网形状 与球面上的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的 经纬网发生了变形，而根据地理坐标展绘在地图上的
各种地面事物也必然发生了变形。为正确使用地图，
必须了解投影后产生的变形，所以变形问题是地图投 影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布
地球球面和地图平面矛盾的方法。
• 2.数学解析法：随着科学的发展，几何透视法远不能满足编制各
类地图的需要，出现了解析法。解析法是不借助于几何投影光源
（而仅仅借助于几何投影的方式），按照某些条件用数学分析法 确定球面与平面点与点之间一一对应的函数关系。
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• •
X=f1(φ、λ)
Y=f2(φ、λ) 函数f1、f2的具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了
（3）摩尔维特投影（Mollweide Projection）
摩尔维特投影是一种经线为椭圆曲线的正轴等积伪
圆柱投影。该投影的的中央经线为直线，离中央经线
经差±90°的经线为一个圆，圆的面积等于地球面积的 一半，其余的经线为椭圆曲线。赤道长度是中央经线 的两倍。纬线是间隔不等的平行直线，其间隔从赤道 向两极逐渐减小。同一纬线上的经线间隔相等。
规律，具有重大的实际应用价值。
• 地球仪上的经纬线网格面积的特点： • 1、在同一纬度带内，经差相同的球面网 格面积相等 • 2、在同一经度带内，纬度愈高，网格面 积愈小
• 地球仪上的经纬线角度的特点：
•
在下图中，只有中央经线和各纬线
相交成直角，其余的经线和纬线均不呈
直角相交，而在地球仪上经线和纬线处
• •
研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，说明
变形性质和数量。
椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。 很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长 短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长短半径 方向之间，长度比μ，为b<μ<a;
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椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变形;
椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方 向线夹角之差为角度变形。
墨卡托投影中，面积变形最大，在纬度60度地区，经纬线比 都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈接近两 极，经纬线扩大的越多，在φ=80度时，经纬线都扩大了近6倍，
面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高纬通常不绘。
该投影被广泛应用于航海和航空方面，因为等角航线（或称 斜航线），在此投影中表现为直线，等角航线是地球表面上与
（2）彭纳投影（Bonne Projection）
彭纳投影是法国水利工程师彭纳（Rigobert Bonne） 1752年设计的一种等积伪圆锥投影。 彭纳投影常用于中纬度地区小比例尺地图，如我国出 版的《世界地图集》中的亚洲政区图，英国《泰晤士世 界地图集》中的澳大利亚与西南太平洋地图，都采用的