高考数学考前3个月知识方法专题训练第二部分技巧规范篇第一篇快速解答选择填空题第2讲四种策略搞定填空题

第2讲 四种策略搞定填空题

[题型分析·高考展望] 填空题的基本特点是：(1)题目小巧灵活，结构简单；(2)答案简短明确，不反映过程，只要结果；(3)填空题根据填写内容，可分为定量型(填写数值，数集或数量关系)和定性型(填写某种性质或是有某种性质的对象)．

根据填空题的特点，在解答时要做到四个字——“快”“稳”“全”“细”．

快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；细——审题要细，不能粗心大意．

高考必会题型

方法一 直接法

根据题目中给出的条件，通过数学计算找出正确答案．解决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算过程．解题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件．

例1 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，则角B 的值为

________． 答案

2π

3

解析 方法一 由正弦定理， 即

a sin A ＝

b sin B ＝c

sin C

＝2R ， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得cos B cos C ＝－sin B 2sin A ＋sin C ，

即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0. 在△ABC 中，sin(B ＋C )＝sin A ， 所以2sin A cos B ＋sin A ＝0， 又sin A ≠0，所以cos B ＝－12.

又角B 为△ABC 的内角，所以B ＝2π

3

.

方法二 由余弦定理，即cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac

，

cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入cos B cos C ＝－b

2a ＋c ，

得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－

b

2a ＋c

， 整理，得a 2

＋c 2

－b 2

＝－ac ，

所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12

，

又角B 为△ABC 的内角，所以B ＝2π

3

.

点评 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．

变式训练1 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n

，则S 2 016＝____________. 答案 3·2

1 008

－3

解析 由题意得a n ·a n ＋1＝2n

，a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1

⇒

a n ＋2

a n

＝2， 因此a 1，a 3，a 5，…构成一个以1为首项，2为公比的等比数列；

a 2，a 4，a 6，…构成一个以2为首项，2为公比的等比数列；

从而S 2 016＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1－21 008

1－2＋2×1－21 008

1－2＝3(21 008

－1)．

方法二 特例法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．

例2 (1)若函数f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π

8对称，则a ＝________.

(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2

＋6，C ＝π3，则△ABC

的面积是________． 答案 (1)－1 (2)3

2

3

解析 (1)由题意，对任意的x ∈R ， 有f (－π8＋x )＝f (－π

8

－x )，

令x ＝π8，得f (0)＝f (－π

4

)，得a ＝－1.

(2)方法一 △ABC 为等边三角形时满足条件， 则S △ABC ＝33

2

.

方法二 ∵c 2

＝(a －b )2

＋6，∴c 2

＝a 2

＋b 2

－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2

－ab .②

由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332

.

点评 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．

变式训练2 (1)若f (x )＝ln(e 3x

＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.

(2)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，

N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →

，则m ＋n 的值为________．

答案 (1)－3

2

(2)2

解析 (1)由题意知，函数f (x )的定义域为R ， 又因为函数为偶函数，所以f (－13)－f (1

3)＝0，

即ln(e －1

＋1)－a 3－ln(e ＋1)－a

3＝0，

ln e －1

－23

a ＝0，

解得a ＝－32，将a ＝－3

2代入原函数，

检验知f (x )是偶函数， 故a ＝－3

2

.

(2)用特殊值法，可设AB ＝AC ＝BM ＝1， 因为AB →＝mAM →，

所以m ＝1

2，过点C 引AM 的平行线，并延长MN ，

两线相交于点E ，

则AE ＝BC ＝2OC ，易得AN ＝2

3

AC ，