2018北师大版高中数学必修四学案：第三章 3 二倍角的三角函数(二)

学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．

知识点一半角公式

思考1我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？

思考2根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α

2，cos

α

2，tan

α

2.

思考3利用tan α＝sin α

cos α和倍角公式又能得到tan

α

2与sin α，cos α有怎样的关系？

梳理正弦、余弦、正切的半角公式

知识点二 辅助角公式

思考1 a sin x ＋b cos x 化简的步骤有哪些？

思考2 在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？

梳理 辅助角公式

a sin x ＋

b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)．(其中tan θ＝b

a )

类型一 应用半角公式求值

例1 已知sin θ＝45，5π

2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.

反思与感悟 (1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论． (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子；

②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)． 跟踪训练1 已知sin α＝－817，且π<α<3π

2，求sin α2，cos α2和tan α2

.

类型二 三角恒等式的证明

例2 求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ

1－tan 2θ.

反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练2 证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝1

2

tan α2＋12.

类型三 利用辅助角公式研究函数性质

例3 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π

12 (x ∈R)． (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．

反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．

(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．

跟踪训练3 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合．

类型四 三角函数在实际问题中的应用

例4 如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ 、CR 正好落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．

反思与感悟 此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围． 跟踪训练4

某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．

1．若cos α＝1

3，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )

A.

63 B ．－63 C ．±63 D ．±3

3

2．已知tan θ

2＝3，则cos θ等于( )

A.45 B ．－45 C.415 D ．－35

3．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( ) A ．1 B ．2 C.3

2

D ．3

4．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π

2的最小值为________． 5．化简：(1＋sin α＋cos α)⎝

⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α.(180°<α<360°)

1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b

a (或sin φ＝

b a 2＋b 2，cos φ＝a

a 2＋

b 2

)． 3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握， 例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π

4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x ±π

3等．