分段低次插值

f (x)
的图形如图2-1。由
R L L 此可见，
(x)
10
的截断误差
f (x)
10
(x)
10
在区间[-5，5]的两端
第二章 插值与拟合
非常大。例如，
L (4.8) 1.80438 10
而 f (4.8) 0.04160 。这种现象称Runge 现象。
不管n取多大，Runge 现象依然存在。
y
实线 y L ( x) 10
1
虚线 y f ( x)
-5
0
5x
图2-1
第二章 插值与拟合
因此，对函数作插值多项式时，必须小心处理，不能认为插值节点 取得越多，插值余项就越小。此外，当节点增多时，舍入误差的影 响不能低估。为了克服高次插值的不足，采用分段插值理论将是理 论和实际应用的一个良好的插值方法。
若用插值基函数表示，则在整个区间 [a,b] 上I，n(x) 的表示式
为
n
I f m ( x) n
[
(x)
i
i
( x)]
i
i
(2.2.5)
i0
插值基函数
(x)
i
和
(x) 的形式分别为 i
第二章 插值与拟合
(1
2
x xi )(
x x
i 1iBiblioteka xxi 12
),
xi xi1
x x [
证明
根据（2.1.10），在每个小区间
x x [ , ](k 0,1, ,n 1) k k1
上有
I （x x ) f ( x) ( x) 1
n
8
k 1
2
k
max f ( x) .
x x x
k
k 1
因此，在整个区间 [a,b] 上有
第二章 插值与拟合
f
(x)
I n(x)
h2
8
M
。
2
该定理也说明分段线性插值函数I n (x)具有一致收敛性。
第二章 插值与拟合
2.2 分段低次插值
2.2.1 多项式插值的问题
2.2.2 分段线性插值 2.2.3 分段三次Hermite插值
第二章 插值与拟合
2.2 分段低次插值
学习目标： 掌握分段低次插值的意义及方法。
第二章 插值与拟合
2.2.1 多项式插值的问题
用插值多项式近似被插函数时，并不是插值多项式的次数越多越 好。下面是说明这种现象的一个典型例子。
k 1
上有
I （x x ) f 1 1
f (x) (x)
n
4! 16
k 1
4
k
max
x x x
k
k 1
(4)
(x) .
因此，在整个区间 [a,b] 上有（2.2.8）。
该定理除了可以用于误差估计外，还说明分段三次Hermite插值函 数具有一致收敛性。
(3)在每个小区间[ xk ,
x ](k k 1
0,1,2,
, n 1)
上，I n (x)
是
三次多项式。 则称 I n (x) 为分段三次Hermite插值函数。
x x 显然，在每个小区间 [
,
k
](k
k 1
0,1,2,
, n 1) 上， I n (x)
的
表示式为（2.1.38）。可以直接用它进行数值计算。
上, I n (x) 的表示式为
I f f ( x) x xk1
n
xk xk1
x xk k xk1 xk
.
k 1
(2.2.1)
若用插值基函数表示,则在整个区间 [a,b]
上,
I
(x)
n
的表示式为
n
I
( x)
n
f
l ( x ),
ii
i0
(2.2.2)
l 插值基函数 (x)(i 0,1, , n) 的形式为 i
2.2.2 分段线性插值
分段线性插值就是通过相邻两个插值点作线性插值来构成的。
设已知节点 a x0 x1 xn b 上的插值函数值
f k f ( xk ), k 0,1,2, , n。 记
hk
xk
1
xk
,
h
max
0k n1
hk。
若函数 In (x) 满足条件：
(1)In (x) C[a,b]; (2)In (xn ) fk , k 0,1, , n;
( x
l xx xx xx xx xx i ( x) ( x
) /(
i 1
i
) /(
i 1
i
), x [
i 1
), x [
i 1
， ],
i
i 1
， ], (2.2.3)
i
i 1
0， 其 他 。
第二章 插值与拟合
其中,当 i 0时,没有第一式,当i n 时,没有第二式.显然,
x 分段线性插值基函数 li (x) 只在 i 的附近不为零,在其他地方
例2.8 对平方根表作线性插值，已知 10 x 999，步
长 h 1 。试给出按插值方法求出的 x 的误差界，并估计有
效数字的位数，假定表上给出的函数值足够精确。
解 令 f ( x) x , M max f ( x) , 则由（2.2.4）知
截断误差
R( x)
1 8
M
h2 .
分两段讨论 R( x) 。
第二章 插值与拟合
x x x 设已给节点 a
0
1
b
n
上的函数值和导数值
f
k
f ( xk),mk
f ( xk),k 0,1,2,
, n.
x x 记 h max (
0k n1
k 1
).如果函数
k
I n(x)
满足条件：
(1)I n ( x)C1[a, b];
(2) I n ( xk) f k , I n ( xk) mk , k 0,1,2, , n.
（3）在每个小区间 [xk , xk1](k 0,1, , n 1) 上，In (x) 是线性多项式。则称 In (x) 为分段线性插值函数。
第二章 插值与拟合
分段线性插值函数 I n (x) 的几何意义是通过n+1个点
(xi ,
f )(i 0,1,2, i
, n)
的折线.在每个小区间
x x [ , ](k 0,1, ,n 1) k k1
,
i 1
xi],
i
(
x)
x (1 2 x x
x i
i 1
i
0,
其
他
。
)(
x
x i 1
2
)
xi xi1
,
x
[
xi
,
x ], i 1
(2.2.6)
( x
xi)(
x
xi 1
2
),
xi xi 1
x x [
,
i 1
xi],
i
(
x)
( x xi ) (
0,
其
他
。
x
xi 1
2
)
xi xi1
,
（1）当 10 x 100 时，
x f (x)
4
1
3/ 2
1
3
410 2
0.0079 M
R(x) 1 0.0079 0.00099. 8
第二章 插值与拟合
由于 3 x 10, 故 x可以具有3位有效数字。
（2）当 100 x 999时，
x f (x)
4
1
3/ 2
1
3
4100 2
0.25103
M,
R(x) 1 0.25103 0.0000313. 8
由于 10 x 32 ， 故 x 可以具有6位有效数字。
2.2.3 分段三次Hermite插值
分段线性插值函数具有良好的一致收敛性，但它不是光滑 的，它在节点处的左右导数不相等。为了克服这个缺陷，一个 自然的想法是添加一阶导数的插值条件。
均为零,这种性质称为局部非零性.
分段线性插值函数的余项可以通过线性插值多项式的余项来 估计.
C 定理2.3
如果 f (x)
M 2[a,b], 记
max f ( x) ,
2 a xb
则对任意 x [a,b], 分段线性 插值函数 I n (x) 有余项估计
f (x)
I n(x)
h2
8
M2
（2.2.4）
C M f 定理2.4 如果 f (x) 4[a,b], 记
(4)
max ( x) ,
4 axb
则对任意
x [a, b], 分段三次Hermite插值函数 I n (x) 有余项估计
证明
f ( x)
I n( x)
h4
384
M
4
.
（2.2.8）
x x 根据（2.1.39），在每个小区间 [
,
k
](k 0,1, , n 1)
x
[
xi
,
x ], i 1
(2.2.7)
其中，当 i=0时，上述两个分段函数没有第一式，当i=n时上述
两个分段函数没有第二式。显然，（2.2.6）和（2.2.7）具有局部非
零性质，这种性质使得（2.2.5）也可写成分段表示式（2.1.38）的
形式。
第二章 插值与拟合
分段三次Hermite插值函数的余项可以通过前面三次Hermite 插值多项式的余项来估计。