数值分析——分段低次插值法
《分段低次插值法》课件
分段二次插值适用于需要更高精度插值的情况，但计 算相对复杂。
分段三次插值
三次插值
三次插值使用三次多项式进行插值，比二次插值 更为精确。
分段三次插值
分段三次插值是将数据点分成若干段，每一段使 用三次多项式进行插值。
适用场景
分段三次插值适用于需要更高精度插值的情况， 但计算相对复杂。
04
分段低次插值法的优势与局限性
分段低次插值法
• 引言 • 分段低次插值法的基本原理 • 分段低次插值法的数学模型 • 分段低次插值法的优势与局限性
• 分段低次插值法的应用实例 • 分段低次插值法的未来展望
01
引言
插值法的定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的离散数据点来构造一个连续函数，以便在 整个定义域内进行预测或逼近。
分段低次插值法可以与机器学习算法结合，利用插值结果作 为特征输入，提高机器学习模型的预测精度。
与优化算法结合，通过优化算法对插值结果进行优化，提高 插值的精度和效率。
在大数据处理中的应用前景
在大数据时代，分段低次插值法可以应用于大规模数据的插值处理，提高数据处 理效率。
在数据挖掘和机器学习领域，分段低次插值法可以作为特征提取和数据预处理的 一种有效方法。
多项式插值
使用多项式函数逼近已知数据点，通 过求解多项式来找到未知点的坐标。
分段低次插值的定义
分段低次插值法是一种数学方法，它 将整个数据集分成若干个小的分段， 并在每个分段上使用低次多项式进行 插值。
分段低次插值法的特点是每个分段上 的多项式次数较低，从而减少了计算 复杂度，提高了计算效率。
分段低次插值的实现方式
分段低次插值法的提出，为解决实际 问题提供了一种新的思路和方法，具 有重要的理论和应用价值。
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
分段线性插值法
《数值分析》实验报告实验序号：实验五 实验名称: 分段线性插值法1、 实验目的：随着插值节点的增加，插值多项式的插值多项式的次数也增加，而对于高次的插值容易带来剧烈的震荡，带来数值的不稳定（Runge 现象）。
为了既要增加插值的节点，减小插值的区间，以便更好的逼近插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可采用分段线性插值。
2、 实验内容：求一个函数ϕ(x )用来近似函数f (x )，用分段线性插值的方法来求解近似函数ϕ(x )并画出近似函数图像及原函数图像。
设在区间[a,b]上，给定n+1个插值节点b x x x x a n =<<<<=...210和相应的函数值n y y y ,...,,10，求一个插值函数)(x ϕ，满足以下条件：（1）),...,2,1,0()(n j y x j j ==ϕ; （2） )(x ϕ在每一个小区间[1,+j j x x ]上是线性函数。
对于给定函数11-,2511)(2≤≤+=x x x f 。
在区间[]11-，上画出f (x )和分段线性插值函数)(x ϕ的函数图像。
1. 分段线性插值的算法思想：分段线性插值需要在每个插值节点上构造分段线性插值基函数)(x l j ，然后再作它们的线性组合。
分段线性插值基函数的特点是在对应的插值节点上函数值取 1，其它节点上函数值取0。
插值基函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它 ,0,)(101010x x x x x x x x l ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤--=+++---其它 ,0,,)(111111j j j j j j j j j j j x x x x x x x x x x x x x x x l⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=---其它 ,0,)(111n n n n n n x x x x x x x x l 设在节点a ≤x0<x1<…≤b=f(xi),(i=0,1,2,…,n)求折线函数L （x ）满足：（1） L(x)∈C[a,b]（2） L(x[i]=y[i])（3） L(x)在每个小区间（x[i],x[i+1]）上是线性插值函数￠（x ）叫做区间[a,b]上对数据（x[j],y[j]）(j=0,1,2,…,n)的分段区间函数。
数值分析分段低次插值
二次插值
01
二次插值是通过构造一个二次多项式在两个已知数据点之间，并利用这个多项 式来估计其他点的值。
02
二次插值的公式为：$y = a(x - x_0)(x - x_1) + b(x - x_0) + c$，其中$a, b, c$是 待求解的系数，$(x_0, y_0)$和$(x_1, y_1)$是已知数据点，$x$是待估计的点的横 坐标。
分段低次插值的缺点
逼近精度有限
由于插值次数较低，分段低次插值在逼近复杂函数时的精度可能有 限，可能无法满足某些高精度应用的需求。
对数据敏感
对于数据中的噪声和异常值，分段低次插值方法可能较为敏感，可 能导致插值结果失真。
连续性不足
由于分段处理的方式，分段低次插值可能无法保证函数在分段点处的 连续性，这在某些应用中可能是一个问题。
分段低次插值的基本步骤
数据分段
将给定数据点按照某种规则进 行分段，每一段对应一个低次
多项式。
确定多项式
对于每一段数据，选择一个低 次多项式进行插值。
求解插值多项式
利用给定数据点和选择的低次 多项式，求解插值多项式的系 数。
逼近未知函数
将所有分段上的插值多项式组 合起来，形成对未知函数的逼在求解微分方程中的应用
总结词
分段低次插值在求解微分方程中能够提 供稳定和高效的数值解。
VS
详细描述
在求解微分方程时，分段低次插值可以作 为数值方法的基底，提供稳定和高效的数 值解。这种方法在处理非线性微分方程时 具有较好的适应性，能够有效地解决微分 方程的数值求解问题。
06
分段低次插值的优缺点和未来发展方
02
分段低次插值的基本原理
分段低次插值的数学模型
数值分析中常用的插值方法
数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。
插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。
接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。
具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。
然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
最终得到的多项式函数就是插值函数。
优点：简单易懂，使用较为广泛。
缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。
二、牛顿插值法牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。
具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。
牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。
三、分段插值法分段插值法是一种将插值区间划分为多个子区间的插值方法，在每个子区间内使用插值方法进行插值，然后将所有子区间内的插值函数拼接起来，得到最终的插值函数。
分段插值法主要分为两种：线性分段插值和三次样条插值。
1.线性分段插值线性分段插值的思路很简单，即在每个数据点处构造两条直线，在数据点之间的区间内使用一条直线作为插值函数。
数值分析-插值法的讲解
称P(x)为f(x)的插值函数，x为插值节 点，[a,b]为插值区间，求插值函数P(x)的 方法为插值法。
若P(x)=a0+a1x+▪▪▪+anxn，称 P(x)为插值多项式。 若P(x)为分段多项式，就称 之为分段插值。
若P(x)为三角多项式，就 称之为三角插值。
枪管膛线－－－－→
1.插值多项式的存在唯一性 P(x)=a0+a1x+▪▪▪+anxn, P(x) ∈Hn a0+a1x0+…+anx0n=y0 a0+a1x1+…+anx1n=y1
. . .
a0+a1xn+…+anxnn=yn
1 x x ... x Vn(x0,x1,…,xn)= 1 x x ... x ... 1 x x ... x
k 1 k 1 k 1 k 1
y
( x xk 1)( x xk 1)
k
( xk xk 1)( xk xk 1)
T H A N K Y O U !
( x xk 1)( x xk ) ( xk 1 xk 1)( xk 1 xk )
k k k 1
l
l
2
k
k 1
( x xk )( x xk 1) ( x x )( x x ) y ( )( ) L ( x) yk 1 x x x x ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1)
k 1
x
x xk
k 1
k ห้องสมุดไป่ตู้1
k
xk
L1(x)=
x x y x x y x x x x
数值分析--第2章 插值法
数值分析--第2章插值法第2章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数)(x f 的一些样点，选定一个便于计算的函数)(x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数)(x ϕ作为)(x f 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
设已知函数f 在区间],[b a 上的1+n 个相异点ix 处的函数值(),0,,iif f x i n ==，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈，使得()(),0,1,,iiix f x f i n ϕ=== (2-1) 这类问题称为插值问题。
称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；nx x ,,0 为插值节点；(2-1)为插值条件。
若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。
若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。
若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f 在1+n 个相异点01,,,nx x x 上的值n i x f f ii ,,1,0),( ==是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()nL x 使得(),0,1,,n i iL x f n n == (2-2) 定理2.1 存在惟一的多项式nn P L ∈满足插值条件(2-2)。
《分段低次插值》课件
02
分段低次插值的定义
分段插值
定义
分段插值是一种数学方法，通过在数据点之间建立分 段多项式来逼近函数。
特点
分段插值能够保证整体平滑性，同时能够适应数据点 的局部变化。
应用场景
分段插值在数值分析、图像处理、信号处理等领域有 广泛应用。
低次插值
01
02
03
定义
低次插值是指使用次数较 低的多项式进行插值的方 法。
03
插值计算的结果可以用于数据预测、函数逼近等领 域。
04
分段低次插值的优缺点
优点
简单易行
分段低次插值方法原理简单，计算过程相对容易，适合于解决实 际问题。
精度可调
可以通过调整分段次数来控制插值的精度，满足不同精度的需求 。
灵活多变
可以根据数据的特点和分布，灵活选择不同的分段方式和低次多 项式进行插值。
分段低次插值
将数据点分段，每段使用低次多项 式进行插值。
插值的应用场景
数据拟合
通过已知数据点，拟合一个连续函数，用于 预测未知数据点的趋势。
图像处理
在图像处理中，可以使用插值方法放大图像 、修复图像等。
数值分析
在数值分析中，插值方法用于求解微分方程 、积分方程等数学问题。
工程应用
在工程领域，插值方法用于测量数据的处理 、物理实验数据的分析等。
数值分析
分段低次插值在数值分析中用于解决微分方程和积分方程。
在数值分析中，分段低次插值可以用于近似求解微分方程和积分方程的解。通过将方程的解表示为分 段低次多项式的组合，可以降低计算复杂度并提高数值稳定性。这种方法在科学计算和工程领域有广 泛的应用。
06
分段低次插值的未来发展
数值分析(14)分段低次插值
x
e
6
3
( x x i 1 )( x x i )( x x i 1 )
4 x 4
e
4
e
t ( t 1) h
2
m ax e 6
x
m a x t ( t 1) h
2 1 t 1
3
6 4 e 6
3
2 3 9
数值分析
数值分析
例 ： 考 虑 构 造 一 个 函 数 f ( x ) co s x的 等 距 节 点 函 数 表 ， 要使分段线性插值的误差不大于 长 h应 取 多 大 ？ 1 2 10 ， 最 大 步
4
解 ：R
''
h
2
m ax f ( x )
a xb
''
8
f ( x ) cos x ,
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数(x)满足条件 (1) (x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是线 性插值多项式;
(2) (xi )= yi ,
| R | h
2
| f ( x ) | 1
''
1 2
10
4
h 2 10
2
8
最 大 步 长 h 应 取 0.02.
数值分析
数值分析
二.分段二次插值与分段三次插值
例 :已 知 等 距 节 点 数 据 表 xi x0 yi y0 x1 y1 ... ... xn yn
分段低次插值法5
x xk 1 xk xk 1
2
(k 1
)
(
x
)
1
2
x xk
xk 1 xk 1
x xk xk 1 xk
2
( 0
k
)
(
x)
x
xk
x xk
xk 1 xk 1
2
( 1
k
)
(
x
)
x xk1
x xk xk 1 xk
2
我们称
H3(x)
H
(k 3
)
(
x
)
,
x [xk , xk1] k 0,1,L , n 1
2.5 0.13793 0.13750 0.12500
3.5 0.07547 0.07537 0.07206
4.8 0.04160 0.04159 0.04087
L3(x) 0.80000 0.32500 0.13382 0.07443 0.04269
R3(x)=f(x)-H3(x) -0.01250000000000 0.00019230769231 0.00043103448276 0.00009972579487 0.00001047427455
lim max
n 5 x 5
f
( x)
Ln ( x)
即随着n的增长Ln(x)在两端点附近的振荡会越来越大.高次 代数插值所发生的这种现象称为Runge现象.在上个世纪初 由Runge发现.
这表明: 并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好, 精度也不一定是随次数的提高而升高.
结论: 不适宜在大范围使用高次代数插值.
h0
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
数值分析中的插值方法
数值分析中的插值方法在数值分析中，插值是一种通过在已知数据点之间估计未知数据点的方法。
它是一种常见的数据处理技术，用于填补数据间的空白，揭示数据间的关联性，或者建立数据模型。
在本文中，我们将讨论数值分析中的几种常见的插值方法。
一、拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
假设有n个离散数据点，我们想要在这些点之间插值得到未知数据点的值。
拉格朗日插值可以通过构建一个n次多项式来实现。
例如，给定三个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，我们可以假定插值多项式为：P(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + y2 * L2(x)其中，L0(x)，L1(x)，L2(x)是拉格朗日插值多项式的基函数，由以下公式得到：L0(x) = (x - x1) * (x - x2) / ((x0 - x1) * (x0 - x2))L1(x) = (x - x0) * (x - x2) / ((x1 - x0) * (x1 - x2))L2(x) = (x - x0) * (x - x1) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))利用这些基函数，我们可以得到插值多项式P(x)，从而计算出未知点的值。
二、牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，也是基于多项式的。
与拉格朗日插值不同的是，牛顿插值使用了差商的概念来构建插值多项式。
差商是一种表示数据间差异的指标，它可以用于计算插值多项式的系数。
对于n个数据点，差商可以由以下递归公式计算得到：f[x0] = f(x0)f[x0, x1] = (f[x1] - f[x0]) / (x1 - x0)f[x0, x1, ..., xn] = (f[x1, x2, ..., xn] - f[x0, x1, ..., xn-1]) / (xn - x0)基于差商，我们可以得到牛顿插值多项式的表达式：P(x) = f[x0] + f[x0, x1] * (x - x0) + f[x0, x1, x2] * (x - x0) * (x - x1) + ...利用牛顿插值，我们可以通过已知数据点构建插值多项式，进而估计未知点的值。
分段低次插值
二、分段多项式插值
在大范围且节点较多的情况下，常采用分段低次多项式插值， 大致可分为两类，一类为局部化分段插值，即把插值区间分段后， 在每个小区间上直接构造低次插值多项式，也叫简单分段插值； 另一类是非局部化分段插值，即在整个区间上构造分段插值多项 式，如样条插值。 1、分段线性插值 y 所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).
,x j 1 x x j ( j 0 略去 ), ,x x x j j 1 ( j n 略去 ),
2
2
x [ x j 1 , x j 1 ].
2 x x j1 ,x ( x x j ) j 1 x x j ( j 0 略去 ), x x j1 j 2 x x j1 ,x x x j ( x ) ( x x j ) j j 1 ( j n 略去 ), x x j1 j x [ x j 1 , x j 1 ]. 0,
jk
, ( j , k 0 ,1 , , n ), 表示为 , x j 1 x x j ( j 0 略去 ), , x j x x j 1 ( j n 略去 ), x [ x j 1 , x j 1 ].
x x j1 x j x j1 x x j1 x j x j1 0,
x xk f k ( x x k 1 ) x k 1 xk
若在整个区间
[ a , b ]上定义一组分段三次插
值基函数 j ( x )
及 j ( x ) ( j 0 ,1 , , n ), 则 I h ( x ) 可表示为 I h ( x ) f j j ( x ) f j j ( x ) ,
数值分析-计算方法-插值b精品文档
f [x0, …, xn] f [x1, …, xn+1]
f [x0, …, xn+1]
例：已知 si6 n1 2,si4 n1 2,si3 n2 3
3.2 Newton’s Interpolation
分别利用 1次、2次 Newton 插值公式计算 sin 50。
解一：取 x 0 /6 ,x 1 /4 ,x 2 /3 构造差商表
? 注： 由唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故其
余f项[x 也,x 相0,同.，.,Nx .即nn (]x)k ＝1(x L) n(xf()(n n 1 )1 ()! x) k 1(x)
f[x0,..,x .k]f(k k)(!), (xm,ix n m)ax
xi
f (xi)
f [xi, xj]
f [xi, xj , xk]
500 5
18
π/6
1/2
π/ 4
1/√2 0.79110
π/ 3
√3/2 0.60703
Байду номын сангаас
…
…
…
N 1 (x ) f (x 0 ) f [ x 0 ,x 1 ] (x x 0 )
-0.35155
x 0
x1
x2
sin 50 = 0.7660444…
差商(亦称均差) /* divided difference */
f[x i,xj]f(x x i) i x fj(xj) (ij,x ixj)
1阶差商 /* the 1st
divided difference of f w.r.t. xi and xj */
f[x i,x j,x k]f[x i,x x ji] x fk [x j,x k](i k ) 2阶差商
数值分析常用的插值方法
数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。
下面将对这些插值方法进行详细介绍。
一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。
线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。
二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。
通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。
分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。
四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。
利用差商的概念来构造插值多项式。
Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。
分段低次插值及应用
分段低次插值及应用分段低次插值是指将一段区间内的已知数据点用低次多项式来逼近，从而得到整个区间内的近似函数。
这种插值方法在实际应用中非常广泛，比如数值计算、图像处理、信号处理等多个领域。
分段低次插值的步骤如下：1. 将已知数据点按照顺序排列。
2. 将整个插值区间分为多个小区间，每个小区间内有若干个已知数据点。
3. 在每个小区间内，通过已知数据点构造低次多项式，如线性函数、二次函数等。
4. 在每个小区间内用构造出的多项式来逼近数据点。
这种插值方法的主要优点是简单易懂，计算速度快。
然而，低次多项式可能无法完美拟合数据点，导致插值函数和实际函数存在误差。
因此，分段低次插值常常作为一种近似方法，用来求解一些不太复杂的问题。
分段低次插值在实际应用中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 数据处理：在数据处理中，我们常常需要用已知数据点来估计其他位置上的数据。
分段低次插值可以通过已知数据点来构造近似函数，并用它来预测其他位置上的数据。
2. 图像处理：在图像处理中，我们经常需要对图像进行去噪、平滑或者边缘检测。
分段低次插值可以用来对图像进行插值处理，从而得到平滑的图像或者进行图像边缘检测。
3. 信号处理：在信号处理中，我们常常需要从离散信号中还原连续信号。
分段低次插值可以用来从已知的离散信号点中还原连续信号。
4. 数值计算：在数值计算中，我们常常需要对函数进行数值积分或者微分。
分段低次插值可以用来近似替代函数，从而进行数值积分或者微分运算。
5. 数据可视化：在数据可视化中，我们常常需要将数据以图形的形式展示。
分段低次插值可以用来将数据以平滑的曲线或者曲面的形式展示出来，更好地展示数据的变化趋势。
总之，分段低次插值作为一种近似方法，在实际应用中发挥着重要的作用。
它可以用来处理各种类型的数据，并提供快速、简单的解决方案。
当然，对于更复杂的问题，可能需要使用更高阶的插值方法来获得更精确的结果。
数值分析各算法流程图
01,,n1,,n1,,)n x及数值分析各算法流程图一、插值1、 拉格朗日插值流程图：( 相应程序：lagrintp(x,y,xx))2,,n ,,j n 1,2,,n 1,,)n 2、 牛顿插值流程图(1)产生差商表的算法流程图(相应程序：divdiff(x,y))注：1、另一程序divdiff1(x,y)，输出的矩阵包含了节点向量。
而divdiff(x,y)不含节点向量。
2、另一程序tableofdd(x,y,m)，输出的是表格形式，添加了表头。
1,,),,n m 及1,,m (2)非等距节点的牛顿插值流程图(相应程序：newtint11(x,y,xx,m)) 、注：1、虽然程序newtint11(x,y,xx,m)考虑了多种情形，看上去很复杂，但基本流程结构还是如上图所示。
2、程序中调用的子程序是divdiff 。
若调用的子程序是divdiff1的话，流程图中的第三，第四，第五步要相应的改一下数字。
2,3,,1m +1,,j1,2,,n=1,2,,)n m 及(3)求差分表的流程图(相应程序：difference(y,m))注：1、difference 输出的是矩阵D 。
而另一程序tableofd(y,m)，输出的是带有表头的差分表。
n x m1,,),,1,,m注：1、程序newtforward1(x,y,xx,m))的结构与上述流程图一致，xx可以是数组。
2、另一程序newtforward(x,y,xx,m))先求出插值多项式，再求插值多项式在插值点的函数值。
基本结构还是和上面的流程图一样。
n x m1,,),,-x x1,,m注：1、程序newtbackward1(x,y,xx,m))的结构与上述流程图一致，xx可以是数组。
2、另一程序newtbackward(x,y,xx,m))先求出插值多项式，再求插值多项式在插值点的函数值。
基本结构还是和上面的流程图一样。
1,2,,n1,2,,n ,2,,)n x及3、Hermite 插值流程图(1) 已知条件中一阶导数的个数与插值节点的个数相等时的Hermite 插值流程图。
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(
xi
xi 1 )
三、分段三次Hermite插值
设函数f (x)在[a,b]上的节点xi上的函数值为fi ,i 0,1, , n 在节点xi上的导数值为fi,i 0,1, , n
对任意两个相邻的节点 xk , xk 1 , k 0,1,, n 1 可构造两点三次Hermite插值多项式
H
( 3
xk )2(x
xk 1 )2
例2.
设函数f
(x)
1
1 x2
在节点处的函数值及导数值,
比较几种插值.
解: 我们分别用分段二次、三次Lagrange插值和 分段两点三次Hermite插值作比较
x
f(x) H3(x) L2(x)
0.5 0.80000 0.81250 0.87500
1.5 0.30769 0.30750 0.32500
(插值过程的收敛性问题)
利用高次插值多项式的危险性,在20世纪初被Runge发现.
例子.
设函数
f
(x)
1
1 x2
,
x
[5,5]
将[5,5]n等份取n
1个节点xi
5
ih, h
10 n
,i
0,1,, n
试就n 2,4,6,8,10作f (x)的n次Lagrange插值多项式
并作图比较.
解:
fi
f
(
k
)
(
x)
fk0(k ) ( x)
f
k
(
1 1
k
)
(
x)
fk0(k ) ( x)
fk11(k ) ( x)
x [xk , xk 1 ]
k 0,1,,n 1
(k 0
)
(
x),
(k 1
)
(
x),
(k 0
)
(
x
),
(k 1
)
(
x)为Hermite
插值基函数
其中
(k 0
)
(
x
)
1
2
x xk xk 1 xk
M 2h2
定理
定理 设f(x) C2[a, b],且f ( xi ) yi , (i 0,1, , n),
n
（x） yili (x) (a x b), 则对任意x [a,b]有
i 1
|f(x)- (x)| h2 max | f '' (x) |
8 1in
(6.5.1)
其中
h
max
1i n
(n 1)!
n 1
(
x)
那么分段线性插值 ( x)的余项为
R1(x) f (x) (x)
f
(
2
)
(
x
xk
)(
x
xk
1
)
, x [xk , xk 1 ],且与x有关
|R1 ( x)|
1 2
max| a xb
f
( x)| max|( x a xb
xk
)(x
xk 1 )|
k
1 2
M2
1 4
h2
1 8
xi
)
1
1 xi2
作n次Lagrange插值多项式
Ln(x)
n 1
j
0
1
x
2 j
n
i0 i j
(x xi )
(xj
xi
)
n 2,4,6,8,10
不同次数的Lagrange插值多项式的比较图
2
1.5
1
Runge 现象 0.5
f(x)=1/(1+x2) n=2 n=4
n=10
0
n=6
这表明: 并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好, 精度也不一定是随次数的提高而升高.
结论: 不适宜在大范围使用高次代数插值.
考虑
f (n) ( )
Rn ( x) f ( x) Ln ( x) (n 1)! wn ( x)
可知, Runge现象是由f(x)的高阶导数无界所致.
若从舍入误差分析,知当n>7时,舍入误差亦会增大.
构造Lagrange线性插值
显然,当 x k [xk , xk1]时
(x) k (x)
fk
x xk1 xk xk 1
fk 1
x xk xk1 xk
k 0,1,,n 1
--------(1)
或者通过分段插值基函数 {li ( x)}in0 的线性组合来
表示(x) :
n
(x) li (x) fi , x [a,b]
则
lim(x) f (x)
h0
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2. 分段线性插值的误差估计
由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为
Rn (x) f (x) Pn (x)
f (n1) ( )
2.5 0.13793 0.13750 0.12500
3.5 0.07547 0.07537 0.07206
4.8 0.04160 0.04159 0.04087
L3(x) 0.80000 0.32500 0.13382 0.07443 0.04269
R3(x)=f(x)-H3(x) -0.01250000000000 0.00019230769231 0.00043103448276 0.00009972579487 0.00001047427455
x xk 1 xk xk 1
2
(k 1
)
(
x
)
1
2
x xk
xk 1 xk 1
x xk xk 1 xk
2
( 0
k
)
(
x)
x
xk
x xk
xk 1 xk 1
2
( 1
k
)
(
x
)
x xk1
x xk xk 1 xk
2
我们称
H3(x)
H
(k 3
)
(
x
)
,
x [xk , xk1] k 0,1,
解决办法: 分段低次插值;分段光滑插值;
二、分段线性Lagrange插值
1. 分段线性插值的构造
设插值节点为 xi , 函数值为 fi , i 0,1, , n
hi xi1 xi , i 0,1,2,, n 1
h
max i
hi
任取两个相邻的节点 xk , xk 1 ,形成一个插值区间 [xk , xk 1 ]
x [xn1, xn ]
x [xn1, xn ]
n
且 li (x) 1
i0
分段线性插值y (x)的图象
实际上是连接点(xi , yi ) , i 0,1, ,n的一条折线
也称折线插值,如右图 曲线的光滑性较差
在节点处有尖点
但如果增加节点的数量
减小步长,会改善插值效果
因此 若f (x)在[a,b]上连续
•分段低次插值的特点:
优点:
计算较容易 可以解决Runge现象,可保证收敛性
缺点:
但插值多项式分段 插值曲线在节点处会出现尖点,不可导
第二章 函数近似计算的插值法
§ 2.5 分段低次插值法
§ 2.5 分段低次插值法
一、高次插值的龙格(Runge)现象
问题:
所构造的插值多项式Ln(x) 作为f (x) C[a,b]
近似函数,是否 Ln(x) 的次数愈高,逼近 f (x) 的效果 愈好,即
Ln (x)
n
f
( x),
x
[a, b]
,n 1
为分段三次Hermite插值多项式，其余项为
R3 ( x)
max
0k n1
R3( k
)
(
x)
max [ 0k n1
f
( 4 ) (
4!
)
(x
xk
)2
(
x
xk
1
)2
]
M4 4!
max (x
xk xxk1
xk )2 (x
xk 1 ) 2
0k n1
即
R3 ( x)
M4 4!
max (x
0k n1
-0.5
n=8
-1
-1.5
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
在-2,2上L10(x)对f(x)逼近较好,但在端点附近很差.可 以证明
lim max
n 5 x 5
f
( x)
Ln ( x)
即随着n的增长Ln(x)在两端点附近的振荡会越来越大.高次 代数插值所发生的这种现象称为Runge现象.在上个世纪初 由Runge发现.
i0
--------(2)
其中
l0 ( x)
xபைடு நூலகம் x1 , x0 x1
0,
li (x)
x xi1 , xi xi1
x xi1 , xi xi1
0,
x [x0, x1]
x [x0, x1]
x [xi1, xi ] x [xi , xi1] x [xi1, xi1]
ln ( x)
0,
x xn1 , xn xn1