常微分方程第五章微分方程组总结
常微分方程小结
常微分方程小结常微分:常微分方程： 只含一个自变量的微分方程. 方程22()d y dybcy f t dt dt++= （1.11） 20dy dy t y dt dt ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（1.12） 22sin 0d y gy dt l+= （1.13）是常微分方程的例子，y 是未知函数，仅含一个自变量t .微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数.例如，方程（1.12）、（1.13）是二阶的常微分方程，一般的n 阶微分方程具有形式(,,,,)0n n dy d yF x y dx dx = （1.14） 这里(,,,,)n n dy d y F x y dx dx 是x 、y 、dy dx 、…、n nd ydx 的已知函数，而且一定含有n nd ydx；y 是未知函数，x 是自变量. 第二章 初等积分法§1 变量分离方程与变量变换1、 变量分离方程1) 变量分离方程 形如()()dyf xg y dx= （2.1） 的一阶微分方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 在区间（a,b ）上连续，()g y 在区间（c,d ）上连续且不等于0. 2) 求解方法如果()0g y ≠，方程(2.1)可化为，()()dyf x dxg y =这样变量就分离开了,两边积分,得到()()dyf x dx cg y =+⎰⎰ （2.2）把,()()dy f x dx g y ⎰⎰分别理解为1,()()f x y ϕ的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ϕ=满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在0y 使0()0g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解方程dy x dx y=- 解 将变量分离，得到ydy xdx =- 两边积分，即得22222y x c=-+ 因而，通解为22x y c += 这里的c 是任意的正常数. 或解出显式形式y =例2 解方程2cos dyy x dx= 解 将变量分离，得到 2cos dyxdx y = 两边积分，即得1sin x c y-=+ 因而，通解为1sin y x c=-+这里的c 是任意的常数.此外，方程还有解0y =.注: 1.常数c 的选取保证(2.2)式有意义.2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件00()y x y =的一个解，表示的是一条过点00(,)x y 的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）.形如 dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2.5）的方程，称为齐次方程，这里的()g u 是u 的连续函数.另外,ⅰ)对于方程(,)(,)dy M x y dx N x y = 其中函数(,)M x y 和(,)N x y 都是x 和y 的m 次齐次函数，即对0t >有(,)(,)m M tx ty t M x y ≡ (,)(,)mN t x t y t N x y≡事实上，取1t x=，则方程可改写成形如(2.5)的方程. (1,)(1,)(1,)(1,)m m y yx M M dy x x y y dx x N N x x== ⅱ)对方程 (,)dyf x y dx= 其中右端函数(,)f x y 是x 和y 的零次齐次函数，即对0t >有(,)(,)f tx ty f x y =则方程也可改写成形如(2.5)的方程(1,)dy y f dx x= 对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令yu x=（2.6）即y ux =，于是dy du x u dx dx=+ （2.7）将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为 ()dux u g u dx+= 整理后，得到()du g u u dx x-= （2.8）方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4 求解方程dy y y tg dx x x=+ 解 这是齐次方程，以,y dy duu x u x dx dx ==+代入，则原方程变为 dux u u tgu dx+=+ 即du tgu dx x= （2.9）分离变量，即有dxctgudu x= 两边积分，得到ln sin ln u x c =+ 这里的c是任意的常数，整理后，得到 sin u cx =（2.10）此外，方程（2.9）还有解0tgu =,即sin 0u =. 如果（2.10）中允许0c =，则sin 0u =就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方程的通解为sin ycx x= 例如 求解方程13d y x y d x x y -+=+- （2.11） 解 解方程组 1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ 得1, 2.x y ==令12x X y Y =+⎧⎨=+⎩代入方程（2.11），则有 dY X YdX X Y -=+ （2.12） 再令Yu X= 即 Y u X = 则（2.12）化为2112dX udu X u u+=-- 两边积分，得22ln ln 21X u u c=-+-+ 因此22(21)c X u u e +-=±记1,c e c ±=并代回原变量，就得2212Y XY X c +-= 221(2)2(1)(2)(1)y x y x c -+----= 此外，易验证2210u u +-= 即2220Y XY X +-= 也就是（2.12）的解.因此方程（2.11）的通解为22262y xy x y x c +---= 其中c 为任意的常数.注：1.对于齐次方程dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的求解方法关键的一步是令y u x =后，解出y ux =，再对两边求关于x 的导数得dy du u x dx dx=+，再将其代入齐次方程使方程变为关于,u x 的可分离方程.2.齐次方程也可以通过变换xv y=而化为变量分离方程.这时x vy =，再对两边求关于y 的导数得dx dv v y dy dy =+，将其代入齐次方程dxx f dy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭使方程变为,v y 的可分离方程小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的dy y g dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法.2）形如111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ （2.13） 的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的121212,,,,,a a b b c c 均为常数.分三种情况来讨论 （1）120c c ==情形. 这时方程（2.11）属齐次方程，有1122a x b y dy y g dx a x b y x +⎛⎫== ⎪+⎝⎭此时，令yu x=，即可化为变量可分离方程. （2）11220a b a b =，即1122a ba b =的情形. 设1122a b k a b ==，则方程可写成22122222()()()k a x b y c dy f a x b y dx a x b y c ++==+++ 令22a x b y u +=，则方程化为 22()dua b f u dx=+ 这是一变量分离方程.（3）1112220,a b c c a b ≠及不全为零的情形.这时方程（2.11）右端的分子、分母都是,x y 的一次式，因此 1112220a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ （2.14）代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为(,)αβ.显然，0α≠或0β≠，否则必有120c c ==，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点(0,0)移至(,)αβ就行了，若令X x Y y αβ=-⎧⎨=-⎩ （2.15）则（2.14）化为11220a X b Y a X b y +=⎧⎨+=⎩从而（2.13）变为1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2.16） 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程（2.16），设其解为,x y αβ==； (2)作变换（2.17）将方程化为齐次方程（2.18）； (3)再经变换Yu X=将（2.18）化为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.15）的解. 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.15）更一般的方程类型 111222a x b y c dy f dx a x b y c⎛⎫+== ⎪++⎝⎭此外，诸如()dyf ax by c dx++ ()()0y xy dx xg xy dy += 2()dyxf xy dx=2dy y xf dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及(,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=（其中,M N 为,x y 的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.§2 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义 将一阶微分方程 (,)dyf x y dx= 写成微分的形式(,)0f x y dx dy -= 把,x y 平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为(,)(,)0M x y dx N x y dy += （2.21） 假设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内是,x y 的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数(,)u x y ,使得(,)(,)du M x y dx N x y dy =+ (2.22)即(,), (,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂ (2.23) 则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成(,)0du x y ≡,于是 (,)u x y C ≡就是方程(2.21)的隐式通解,这里C 是任意常数(应使函数有意义).2、 恰当方程的判定准则定理1设(,),(,)M x y N x y 在某区域G 内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是, (,)M Nx y G y x∂∂=∈∂∂ (2.24) 而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为0(,)(,)(,)xyx y u x y M s y ds N x t dt =+⎰⎰ (2.25)或者也可取为0(,)(,)(,)yxy x u x y N x t dt M s y ds =+⎰⎰ (2.26)其中00(,)x y G ∈是任意取定的一点.证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数(,)u x y 满足(2.23), 又知(,),(,)M x y N x y 是连续可微的,从而有22M u u Ny y x x y x∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂ 下面证明定理的充分性,即由条件(2.23),寻找函数(,)u x y ,使其适合方程(2.22).从(2.25)可知(,)uN x y y∂=∂ 000000(,)(,) =(,)(,) =(,)(,)(,)yy y x y yy y u M x y N x t dt x x M x y N x t dtM x y M x t dt M x y ∂∂=+∂∂++=⎰⎰⎰即(2.23)成立,同理也可从(2.25)推出(2.23).例1. 解方程21()02x xydx dy y++=(2.27)解 这里21, =()2x M xy N y=+,则y x M x N ==,所以(2.27)是恰当方程.因为N 于0y =处无意义,所以应分别在0y >和0y <区域上应用定理,可按任意一条途径去求相应的原函数(,)u x y .先选取00(,)(0,1)x y =,代入公式(2.25)有 22011()ln 22xyx x u xdx dy y y y =++=+⎰⎰再选取00(,)(0,1)x y =-,代入公式(2.47)有22011()()ln()22xyx x u x dx dy y y y -=-++=+-⎰⎰可见不论0y >和0y <,都有2ln ||2x u y y =+ 故方程的通解为2ln ||2x y y C +=. 3、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=（2.21）如果方程（2.21）不是恰当方程，而存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得(,)(,)0M x y dx N x y dy μμ+= (2.31)为一恰当方程，即存在函数(,)v x y ，使(,)(,)M x y dx N x y dy dv μμ+≡则称(,)x y μ是方程（2.21）的积分因子.此时(,)v x y C =是(2.51)的通解，因而也就是（2.21）的通解.如果函数(,),(,)M x y N x y 和(,)x y μ都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道,(,)x y μ为(2.21)积分因子的充要条件是M Ny xμμ∂∂=∂∂ 即 ()M NNM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ (2.32) 4、积分因子的求法方程(2.32)的非零解总是存在的，但这是一个以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设(,),(,)M M x y N N x y ==和(,)x y ϕϕ=在某区域内都是连续可微的，则方程（2.32）有形如((,))x y μμϕ=的积分因子的充要条件是：函数(,)(,)(,)(,)(,)(,)y x x y M x y N x y N x y x y M x y x y ϕϕ-- （2.41）仅是(,)x y φ的函数，此外，如果（2.53）仅是(,)x y φ的函数((,))f f x y ϕ=，而()()G u f u du =⎰，则函数((,))G x y e ϕμ=（2.42）就是方程（2.21）的积分因子.例3. 解方程2()(1)0xy y dx xy y dy ++++=解 这里2,1M xy y N xy y =+=++方程不是恰当的.但是 1y xM N My -=-- 它有仅依赖于y 的积分因子 11dy y e yμ-⎰≡= 方程两边乘以积分因子1y μ=得到 1()(1)0x y dx x dy y++++= 从而可得到隐式通解 21ln ||2u x xy y y C ≡+++= 另外，还有特解0y =.它是用积分因子乘方程时丢失的解.§3隐式方程1、一阶隐方程一阶隐式微分方程的一般形式可表示为:(,,)0F x y y '=如果能解出(,)y f x y '=,则可化为显式形式,根据前面的知识求解.例如方程2()()0y x y y x y ''-++=,可化为y x '=或y y '=但难以从方程中解出y ',或即使解出y ',而其形式比较复杂,则宜采用引进参数的方法求解.一般隐式方程分为以下四种类型:1) (,)y f x y '= 2) (,)x f y y '= 3) (,)0F x y '= 4)(,)0F y y '=2、求解方法Ⅰ）可以解出y （或）x 的方程1) 讨论形如(,)y f x y '= （2.31） 的方程的解法，假设函数(,)f x y '有连续的偏导数,引进参数y p '=,则方程(2.57)变为(,)y f x p = (2.32) 将(2.32) 的两边对x 求导数,得到f f dp p x y dx∂∂=+∂∂ (2.33) 方程(2.33)是关于,x p 的一阶微分方程,而且属于显式形式.若求得(2.33)的通解形式为(,)p x c ϕ=,将其代入(2.32),于是得到(2.31)通解为(,(,))y f x x c ϕ=若求得(2.33)的通解形式为(,)x p c ψ=,于是得到(2.31)的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩其中p 为参数, c 是任意常数.若求得(2.33)的通解形式为(,,)0x p c Φ=,于是得到(2.57)的参数形式的通解为(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩ 其中p 为参数, c 是任意常数.例1 求方程3()20dy dy x y dx dx +-= 的解 解：令dy p dx=，于是有 32y p x p =+ (2.34) 两边对x 求导数,得到 2322dp dp p px p dx dx =++ 即 2320p dp xdp pdx ++=当0p ≠时,上式有积分因子p μ=,从而32320p dp xpdp p dx ++=由此可知4234p xp c += 得到42223344c p c x p p p -==- 将其代入(2.60),即得 43342()c p y p p -=+ 故参数形式的通解为22334 (0) 212c x p p p c y p p ⎧=-⎪⎪≠⎨⎪=-⎪⎩ 当0p =时,由(2.60)可知0y =也是方程的解.第三章 线性方程§1 存在性与唯一性1．存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程),(y x f dx dy = （3.1）这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）上连续。
常系数线性微分方程组
基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B
i0
Ai i!
j0
Aj j!
k
k0 l0
Al l!
Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !
k 0
l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!
5
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u
u1 u2
5
3
2
6
34
0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
常微分方程--第五章 线性微分方程组(5.1-5.2节)
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5.1微分实例及有关概念 多回路的电路问题 考虑多个回路的电路，
E (t )
L
C
R1
R2
E (t ) 是电源电压， L 是电感，C 是电容器电容,
R1 , R2 是电阻， i1 是通过 L 的电流， i2 是通过
T
A (aij ) nn
满足初始条件 x(t0 ) x0 , y(t0 ) y0 , z (t0 ) z0 的解 x(t ), y (t ), z (t ).
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事实上, 在第4 章中的高阶微分方程
y
( n)
( n 1) f ( x, y, y , y ).
令 y y1 , y y2 , y ( n1) yn1 , 则上式可以化为方程组
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通解及通积分 含有n个任意常数 c1 , cn 的解
x1 1 (t , c1 , cn ) x (t , c , c ) n 1 n n 为方程组的通解 . 这里 c1 , c2 ,, cn 相互独立.
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如果通解满足方程组
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上面方程组第二式两边对t求导得
di1 L R1 (i1 i2 ) E (t ) dt R ( di2 di1 ) R di2 1 i 0 1 2 2 dt dt dt c
解得
微积分应用基础第五章常微分方程
微分方程。
例如 dy 2xy ，ysec x y ， (1 x2 ) ydy arctan xdx 0
dx
等等都是可分离变量的微分方程。
形如 y f ( y) 的微分方程称为齐次微分方程。
例如 y yx tan y ，y 2dx (x 2 xy)dy 0 为齐次微
为微分方程。 未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。 方程中未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程
的阶。
第五章 常微分方程
例如 y x2 1 ，2 y 3xy x2 0 是一阶微分方程 d 2s 1 ，y py q f (x) 是二阶微分方程 。
案例1【跳伞规律】 求高空跳伞者的速度随时间的变化规律。（设阻力与
降落速度成比）
解 假设质量为m的物体在降落伞张开后降落时所受的空气
阻力与速度成正比，开始降落时速度为零。
当降落伞降落速度为ν (t )时，降落伞所受重力mg的 方向与ν (t )的方向一致，并受阻力-kν （k为比例系数，
与降落伞的受风面积有关，且大于0），负号表示阻力的
第五章 常微分方程
解 设w表示 圆桶重量，这里为239.456千克，V表示圆桶 体积,这里为0.208立方米，B表示海水浮力，这里为 1025.94V=213.396千克，k表示圆桶下沉时的阻力系数， 这里为0.12，v表示圆桶下沉时的速度，D表示圆桶下沉时 的阻力，这里为kv，t表示圆桶离开海平面下沉的时间，单 位为秒，y(t)表示圆桶在t时刻下沉的深度，单位为米。
dt2 2
阶微分方程的一般形式为：
F (x, y, y, y,, y(n) ) 0
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。
-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。
-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》知识点整理
一、定义与特点
常微分方程(ordinary differential equation)是数学中描述物理、
化学、生物等过程的重要工具，它描述物体状态及其变化的模型，可以用
来研究物体的动力、动力学、物理现象等问题。
它可以从几何角度、分析
角度以及物理角度这三个角度来看待，它是一个研究条件下物体状态和变
化的数学方程。
常微分方程有以下几个特点：
1.常微分方程是一类特殊的未知函数问题，它由一个函数及它的一阶
或多阶导数组成。
2.未知函数有可能是多元函数，也可能是单元函数，可以是实函数也
可以是复函数。
3.常微分方程的形式因微分函数种类而各异，有非线性方程、线性方程、常系数方程、变系数方程等类型。
4.常微分方程的解可以是定状态的、非定状态的、稳定的或不稳定的，它可以有解或得不到解。
5.常微分方程具有很深的理论性，可用来求解物理、化学、力学等问题，可以修正原来结论，使现象更加接近实际情况。
二、种类
1.线性常微分方程：线性微分方程是常微分方程中最简单的类型，它
的特点是多重未知函数的阶和系数形式都是定值，而不依赖于其他函数，
它的解可以直接用几何方法求解（比如可以用函数级数的展开形式求解）。
2.二次可积常微分方程：这类方程中。
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】常微分方程的大致知识点（一）初等积分法1、线素场与等倾线2、可分离变量方程3、齐次方程（一般含有xy y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程常数变易法，或])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x b e y dx x a dx x a5、伯努力方程令n y z -=1，则dxdy y n dx dz n--=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若xN y M ∂∂=∂∂，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若x N y M ∂∂≠∂∂，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dxy d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dxy d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族（二）毕卡序列⎰+=xx dx y x f y y 0),(001，⎰+=x x dx y x f y y 0),(102，⎰+=xx dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程1、常系数齐次0)(=y D L方法：特征方程单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+=单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+=重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+=重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=2、常系数非齐次)()(x f y D L =方法：三部曲。
第一步求0)(=y D L 的通解Y第二步求)()(x f y D L =的特解*y第三步求)()(x f y D L =的通解*y Y y +=如何求*y当x m e x P x f α)()(=时，=*y x m k e x Q x α)(当vx e x Q vx e x P x f ux m ux m sin )(cos )()(+=时，=*y )sin )(cos )((vx x S vx x R e x m m ux k + 当)(x f 是一般形式时，=*y ξξξξd f W x W xx )()(),(0⎰，其中W(.)是郎斯基行列式 （四）常系数方程组方法：三部曲。
常微分方程第五章微分方程组总结
一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（） 记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。
常微分方程知识点
第一章 绪论什么是线性微分方程：形如)()()()(y 1)1(1)(x f y x a y x a y x a n n n n =+'+++--Λ的微分方程，即y 及y 的各阶导数都是一次有理整式，即不含y 及y 的各阶导数的乘积的微分方程叫：线性微分方程。
第二章 一阶微分方程的初等解法§ 2.1 变量分离方程1、形式：)()(y x f dxdy ϕ= 做题步骤：① 0)(≠y ϕ 可将方程改写为：dx x f y dy )()(=ϕ，这样对两边积分：⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ，得出方程的通解，但c 要保证积分式有意义 ② 0)(=y ϕ时，求出0y y = 也是方程的解2、y x P dxdy )(=得dx x P ce y ⎰=)( (2.4) 而0=y 也是方程的解，而若(2.4)允许c=0，则y=0也在(2.4)中，故(2.4)是原方程的通解，其中c=0。
3、齐次方程：)(xy g dx dy = (2.5) 做变量变换x y u =，即ux y =，则u dx du x dx dy +=，整理后为：x u u g dx du -=)(，即为变量分离方程。
同时要注意：将一个方程转化为齐次方程求解时，两个方程是否同解（c 的范围是否相同）4、222111c y b x a c y b x a dx dy ++++= (2.13) 做题步骤：①k c c b b a a ===212121（常数），通解：c kx y += (c 为任意常数) ② 212121c c k b b a a ≠==，令y b x a u 22+=，有212222c u c ku b a dx dy b a dx du ++++=+=，为变量分离方程 ③ 2121b b a a ≠，如果没有常数21c c 、，则很容易变成齐次方程做，（体会：）让分子分母都为零，则为两条曲线⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a (2.14)，两条曲线相交的交点为),(βα，而没有那两个常数时方程为都过原点的形式，因此过原点的这两直线可视为原坐标系平移后原直线在新坐标系下的坐标，令⎩⎨⎧-=-=βαy Y x X ，(2.14) 变为⎩⎨⎧=+=+002211Y b X a Y b X a ，从而 (2.13) 变为)(2211X Y g Y b X a Y b X a dX dY =++=，§ 2.2 线性微分方程与常数变易法1、)()(x Q y x P dxdy += (2.28) 做题步骤：① 考虑y x P dxdy )(=，求出它的通解为：⎰=dx x P ce y )(；② 常数变易变为：⎰=dx x P e x c y )()((2.29) ③ 求微分得：⎰+⎰=dx x P dx x P e x P x c e dxx dc dx dy )()()()()( (2.30) ，④ 将(2.29)和(2.30)代入(2.28)，得到： ⎰=-dx x P e x Q dx x dc )()()(，⑤ 积分后得到⎰'+⎰=-c dx e x Q x c dx x P )()()(，于是得到方程(2.28)的通解为： ))(()()(⎰'+⎰⎰=-c dx e x Q e y dx x P dx x P2、伯努利微分方程n y x Q y x P dxdy )()(+= 做题步骤：① 两边同除以n y ，得到)()(1x Q x P y dx dy yn n +=--，② 设n y z -=1，得dx dy y n dx dz n --=)1( ③ 于是原方程变为：)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -+-=，即为线性微分方程 § 2.3 恰当微分方程与积分因子1、恰当方程形式：0),(),(=+dy y x N dx y x M （M 、N 在已知区域上连续且具有一阶连续偏导数）推理过程：① 若已知此微分方程是恰当方程能推出什么？先设原函数为),(y x u yx u y N x y u y M ∂∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂22、 由条件得：yx u x y u ∂∂∂=∂∂∂22即x N y M ∂∂=∂∂ ② 那么反过来若由它俩相等能否推出方程是恰当方程？ 从x u M ∂∂=出发，两边同时求积分：⎰⎰∂∂==x u Mdx u +c ，但c 若是常数那么？则应为：⎰⎰+=∂∂=)(y Mdx dx x u u ϕ ③ 对u 关于y 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰ϕ，如何证明等式左边等于右边（方程有意义），即右边也与x 无关即只与y 有关？ 对右边关于x 求偏导0=∂∂-∂∂=∂∂∂∂-∂∂⎰y M x N dx y M x x N （因为证充分，则y M x N ∂∂=∂∂为已知）④ 两端积分：dy Mdx y N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，于是⎰⎰⎰∂∂-+=)(dy y M N Mdx u 做题步骤：① 先设u(x,y)，② 证明xN y M ∂∂=∂∂，③ 从M 出发对方程两端同时求积分得)(),(),(y dx y x M y x u ϕ+=⎰，④ 对u 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰ϕ，⑤ 两边积分得dy dx y M N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，⑥ 得⎰⎰⎰∂∂-+=dy dx y M N Mdx u )(。
常微分方程考研讲义第五章 线性微分方程组共32页
第五章线性微分方程组[教学目标]1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。
方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3） 这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。
第5章_常微分方程
将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程: dx 1 1 − x= y P( y ) = − , Q( y ) = y dy y y
∴x = e
1 − − dy y
∫
[ ∫ ye
−
∫
1 dy y
dy + C ]
= y( y + C )
由 y | x =3 = 1 得: C = 2 故所求特解为: x = y ( y + 2)
解方程(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0. 例 解方程
a b 2 解： = a1 b1 2 -5
2 x - 5 y + 3 = 0, ≠ 0 令 4 2 x + 4 y - 6 = 0,
解得x 解得 0=1, y0=1
dy 2 X − 5Y 2 − 5 Y x = X + 1, X 则 = = 令 dx 2 X + 4Y 2 + 4 Y y = Y + 1, X Y dY du 令u = , 有 =u+ X X dX dX du 2 − 5u 4u + 2 1 方程变为u + X = ,即 2 du = − dX dX 2 + 4u 4u + 7u − 2 X 4u + 2 2 1 4 1 1 du = ∫ ( ⋅ + ⋅ )du = ln | (u + 2) 2 (4u − 1) | +c ' ∫ 4u 2 + 7u − 2 3 u + 2 3 4u − 1 3
二.齐次方程 齐次方程 如果方程(1)可化成: 令u=
y 解法: 化成可分离变量方程. x dy du y = xu =u+x dx dx du 1 du = dx ∴u + x = ϕ (u ) ϕ (u ) − u x u) dx
常微分方程总结
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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二、y f (x, y) 型的微分方程 即含自变量x,
不含未知函数y
设 y p (x) ,
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证: 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得
[C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
Q(x)[C1y1 C2 y2 ] C1[ y1 P(x) y1 Q(x) y1]
dx
令z
y1
n
,则
dz dx
(1 n)yn
dy dx
dz (1 n) P(x) z (1 n)Q(x) (线性方程)
dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
伯努利 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
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微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
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一、一阶线性微分方程
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结1. 常微分方程的定义：常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：dy/dx=f(x,y)。
其中，y为未知函数，x为自变量，f为已知函数。
2.常微分方程的分类：常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程包含未知函数的一阶导数，高阶常微分方程则包含未知函数的高阶导数。
3.一阶常微分方程的解法：一阶常微分方程的解法有几种常见的方法。
一种是分离变量法，即将方程两边进行变量分离，然后进行积分。
另一种是齐次方程法，将方程进行变量替换后化为齐次方程，然后进行求解。
还有一种是线性方程法，将方程化为线性方程，然后进行求解。
4.高阶常微分方程的解法：对于高阶常微分方程，常用的方法是特征根法。
通过求解其特征方程得到特征根，然后根据特征根的个数和重数，确定齐次线性微分方程的通解形式。
再根据待定系数法确定非齐次线性微分方程的一个特解，进而得到非齐次线性微分方程的通解。
5.常微分方程的初值问题：常微分方程的初值问题指的是给定一个初始条件，求解满足该条件的函数。
在求解过程中，需要将初始条件代入方程，得到特定的常数，从而确定唯一的解。
6.常微分方程的数值解法：对于一些难以求解的常微分方程，可以采用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、亚当斯法等。
这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后进行迭代计算，逼近微分方程的解。
7.常微分方程的稳定性分析：稳定性分析是研究常微分方程解的长期行为。
可以通过线性化理论、相图等方法进行稳定性分析。
线性化理论通过线性化方程，判断非线性常微分方程解的稳定性。
相图是一种可视化的方法，通过绘制解的轨迹图，观察解的长期行为。
8.常微分方程的应用：常微分方程在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，常微分方程可以描述运动学问题、电路问题等。
在工程学中，可以应用于控制系统、电力系统等。
在生物学中，可以用于建立生物模型、研究生物过程等。
总结起来，常微分方程是数学中的一门重要学科，研究的是包含未知函数及其导数的方程。
江苏省专转本高等数学第五章常微分方程核心知识点例题讲解(含答案)
第五章 常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点● 可分离变量的ODE● 一阶线性非齐次常微分方程及推广● 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程● 一些特殊类方程一、可分离变量的ODE1．基本型的解法 基本型：()()dy G x H y dx= 基本解法： ()()dy G x dx H y = ()()dy G x dx H y =⎰⎰例5.1．1)0(,==-y e dx dy y x 解：dx e dy e x y =⎰⎰=dx e dy e x y通解为：c e e x y += 将1,0==y x 得：1-=e c 得 1-+=e e e x y例5.2．(1)ln y y y xdx '+= 解：(1)ln y dy xdx y+= 1(1)ln dy xdx y +=⎰⎰，得：ln ||ln y y x x x C +=-+例5.3．dx y x dy y x )1()1(122+=+-解：dx x x y dy y 2211)1(-=++，2(1)1y dy y +=+⎰ 得：()21arctan ln 12y y C ++= 例5.4．已知()f x 满足0()(1)()1x f t dt x f x +-=⎰，求()f x 。
解：由0()(1)()1xf t dt x f x +-=⎰知(0)1f =-。
方程两边对x 求导得()()(1)()0f x f x x f x '++-=，分离变量求得2()(1)c f x x =-， 将(0)1f =-代入得1c =-，21()(1)f x x =--。
2．可转化的可分离变量的齐次方程 ()x y f y'= 方法：令()y p y p x x y p xp x''=⇒=⇒=+ xdx p p f dp p f dx dp x p =-⇒=+⇒)()(。
例5.5．y x y x dx dy +-= 解：xyx ydx dy +-=11 令p p dx dp x p xp p y px y x y p +-=+⇒+=⇒=⇒=11'', pp p p p p dx dp x +--=-+-=⇒121112 xdx p p dp p =--+⇒221)1( x dx p dp p =+-+⇒⎰2)1(2)1( C x p p +=---⇒ln 21ln 212，将xy p =代入即可。
常微分方程课件
n 阶隐式方程的一般形式为 n 阶显式方程的一般形式为
（1.11）
(1.12)
在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数 y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为 非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性 微分方程具有如下形式：
而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹. 产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个 自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初 始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何 一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的 高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹. 为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个 初始值条件，即 初始位置 x(0)= H 初始速度 代入到通解中，推得 于是，得到满足上述初值条件的特解为 (1.14)
上式两端同时积分，得到方程(1.19)的通积分
本节要点：
1．变量可分离方程的特征． 2．分离变量法的原理：微分方程（1.18） 与分离变量后的积分方程（1.26）当 时 是同解方程． 3．变量可分离方程一定存在常数解 y=y_0, 并且满足 ．
第3讲 齐次微分方程 1．什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们 形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后， 就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离 的方程. 如果一阶显式方程 （1.9） 的右端函数可以改写为的函数，那么称方程(1.9)为一阶齐次 微分方程.
回通解，即得所求初值问题的 例2 求方程 的满足初值条件 解 方程通解为 求导数后得
常微分方程总结
（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2yy y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y '=。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。
注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在0x 点连续⇔()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
常微分方程§5.2 线性微分方程组的一般理论5.2 线性微分方程组的一般理论
X (t) ( x1(t), x2 (t),, xn (t)) ( x1(t), x2 (t),, xn (t)) ( A(t) x1, A(t) x2 ,, A(t) xn ) A(t)( x1, x2 ,, xn ) A(t) X (t)
A(t)u(t) A(t) v(t) A(t)[ u(t) v(t)]
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
如果 x1(t), x2 (t),, xn (t) 是(5.15)的解，则
c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
(t) (t)C A(t)(t)C A(t)(t) (t) 是解矩阵。
det (t) det (t) det C 0 a t b
(t)即(t)C 是(5.15)的基解矩阵。
证毕
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
1
0
x1(t0 ) 0 ,
x2
(t0
)
1,
0
0
x1(t), x2 (t),
0
xn
(t0
)
0
1
xn (t)
W (t0 ) 1 0, x1(t), x2 (t),, xn (t) 线性无关
定理得证。
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
设有 n 个定义在区间 a t b 上的向量函数
x11(t)
x1 (t )
x21
(t
),
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一．线性微分方程组的一般理论
1. 线性微分方程组一般形式为：
1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,
()()()(),n n n n n
n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩ （） 记：
1112121
22212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦
非齐次线性方程组表示为：
()() x A t x f t '=+
齐次线性方程组表示为：
()x A t x '= 2.齐次线性方程组的一般理论
(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯ 是齐次方程组()x A t x '= 的k 个
解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+ 也是齐次方程组的解，这里
12,,,n c c c ⋯是任意常数
(2)向量函数线性相关性
定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯ ，如果存在不全为零的常数
k c c c ,,,21⋯使得
1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡
在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。
(3)Wronsky 行列式
由定义在],[b a 上n 个向量函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯ 所作成的行列式
1112121
2221212()
()()()()()[(),(),()],()()()n n k n n nn x t x t x t x t x t x t W x t x t x t x t x t x t ⋯≡
称为该向量函数组的Wronskiy 行列式，也写作W(t).
(4)定理3 若向量函数组12(),(),,()n x t x t x t ⋯ 在区间b t a ≤≤上线性相关，则
在],[b a 上它们的Wronskiy 行列式0)(≡t W 。
(5)定理 4 如果齐次线性微分方程组的解12(),(),,()n x t x t x t ⋯ 在区间
b t a ≤≤上线性无关，则12[(),()()]n W x t x t x t ⋯ 在这个区间的任何点上都不等于零，
即0)(0≠t W (b t a ≤≤).
由方程(4.2)的n 个解构成的Wronskian 行列式或者恒为零或者在方程的系数连续区间上处处不等于零。
(6)定理5 齐次线性微分方程组一定存在n 个线性无关的解12(),(),,()n x t x t x t ⋯ 。
(7)通解的结构
如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯ 是齐次微分方程组的n 个线性无关的解，则方程的任
意一个解可表为
1122()()()(). n n x t c x t c x t c x t =+++
其中n c c c ,,,21⋯是任意常数。
（8）以上的结果写成矩阵形式：
a.如果矩阵()t Φ的每一列都是齐次方程组的解，则称()t Φ为解矩阵。
b. 如果解矩阵的列线性无关,称为基解矩阵.
定理：齐次方程组一定有基解矩阵()t Φ，如果()t ϕ
是方程组的解，则有
定理：一个解矩阵式基解矩阵的充分必要条件是det ()0,()t a t b Φ≠≤≤，而且如果某个00[,],det ()0t a b t ∈Φ≠，则有det ()0,()t a t b Φ≠≤≤。
推论:如果()t Φ是微分方程在区间[a,b]上的基解矩阵，C 是一个非奇异的常数矩阵，那么()t C Φ也是基解矩阵。
推论:如果(),()t t Φψ是微分方程在区间[a,b]上的基解矩阵，则存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()(),t t C ψ=Φ。
3.非齐次微分方程组的一般理论
非齐次线性方程组 ()() x A t x f t '=+
(1) 解的性质
()().t t c ϕ=Φ
性质1 如果()t ϕ 是非齐次方程组的解，而()t ψ
是对应的齐线性方程组的解，则()()t t ϕψ+ 是非齐次方程组的解.
性质2 非齐次方程组的任意两个解()t ϕ ()t ψ 之差()()t t ϕψ- 是对应齐次方程组的解。
（2）非齐次方程组解的结构：
设()t Φ是基解矩阵，()t ϕ 是非齐次方程一个特解，则非齐次方程组的任意解()t ψ 都可以表示为：()()()t t c t ψϕ=Φ+
(3) 解的求法(常数变易法)
定理: 若()t Φ为齐次方程基解矩阵，则
01
()()()()t t t t s f s ds ϕ-=ΦΦ⎰ 对应的非齐次方程的解，且满足初始条件
0()0t ϕ=
如果要求满足一般的初始条件0()t ϕη= 的解()t ϕ
则， 0
11
0()()()()()(),t t t t t t s f s ds ϕη--=ΦΦ+ΦΦ⎰ 二．矩阵指数的定义及性质
1.矩阵指数的定义：A 是n 阶方阵
20exp .!2!!k k
k A A A A E A k k ∞
===+++++∑ 2.矩阵()exp()t At Φ=是方程x Ax '= 的基解矩阵，且(0)E Φ=
三．基解矩阵的计算公式
定理：A 有n 个线性无关的特征向量12,,,.n v v v 他们对应的特征值分别为12,,,,n λλλ ，那么矩阵
1212()[,,,]
n t t t n t e v e v e v t λλλΦ=-∞<<+∞
是常系数微分方程组x Ax '= 的基解矩阵 定理：如果j λ是j k 重特征根，则方程组有j k 个形如
1011()()j j j k x k y x x x e λ--=+++R R R
的线性无关解，其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程 0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A E R 所确定。