常微分方程第五章微分方程组总结

一．线性微分方程组的一般理论

1. 线性微分方程组一般形式为：

1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,

()()()(),n n n n n

n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩ （） 记：

1112121

22212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦

非齐次线性方程组表示为：

()() x A t x f t '=+

齐次线性方程组表示为：

()x A t x '= 2.齐次线性方程组的一般理论

(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯ 是齐次方程组()x A t x '= 的k 个

解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+ 也是齐次方程组的解，这里

12,,,n c c c ⋯是任意常数

(2)向量函数线性相关性

定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯ ，如果存在不全为零的常数

k c c c ,,,21⋯使得

1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡

在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。

(3)Wronsky 行列式

由定义在],[b a 上n 个向量函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯ 所作成的行列式

1112121

2221212()

()()()()()[(),(),()],()()()n n k n n nn x t x t x t x t x t x t W x t x t x t x t x t x t ⋯≡

称为该向量函数组的Wronskiy 行列式，也写作W(t).

(4)定理3 若向量函数组12(),(),,()n x t x t x t ⋯ 在区间b t a ≤≤上线性相关，则

在],[b a 上它们的Wronskiy 行列式0)(≡t W 。

(5)定理 4 如果齐次线性微分方程组的解12(),(),,()n x t x t x t ⋯ 在区间

b t a ≤≤上线性无关，则12[(),()()]n W x t x t x t ⋯ 在这个区间的任何点上都不等于零，

即0)(0≠t W (b t a ≤≤).

由方程(4.2)的n 个解构成的Wronskian 行列式或者恒为零或者在方程的系数连续区间上处处不等于零。

(6)定理5 齐次线性微分方程组一定存在n 个线性无关的解12(),(),,()n x t x t x t ⋯ 。

(7)通解的结构

如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯ 是齐次微分方程组的n 个线性无关的解，则方程的任

意一个解可表为

1122()()()(). n n x t c x t c x t c x t =+++

其中n c c c ,,,21⋯是任意常数。

（8）以上的结果写成矩阵形式：

a.如果矩阵()t Φ的每一列都是齐次方程组的解，则称()t Φ为解矩阵。

b. 如果解矩阵的列线性无关,称为基解矩阵.

定理：齐次方程组一定有基解矩阵()t Φ，如果()t ϕ

是方程组的解，则有

定理：一个解矩阵式基解矩阵的充分必要条件是det ()0,()t a t b Φ≠≤≤，而且如果某个00[,],det ()0t a b t ∈Φ≠，则有det ()0,()t a t b Φ≠≤≤。

推论:如果()t Φ是微分方程在区间[a,b]上的基解矩阵，C 是一个非奇异的常数矩阵，那么()t C Φ也是基解矩阵。

推论:如果(),()t t Φψ是微分方程在区间[a,b]上的基解矩阵，则存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()(),t t C ψ=Φ。

3.非齐次微分方程组的一般理论

非齐次线性方程组 ()() x A t x f t '=+

(1) 解的性质

()().t t c ϕ=Φ

性质1 如果()t ϕ 是非齐次方程组的解，而()t ψ

是对应的齐线性方程组的解，则()()t t ϕψ+ 是非齐次方程组的解.

性质2 非齐次方程组的任意两个解()t ϕ ()t ψ 之差()()t t ϕψ- 是对应齐次方程组的解。

（2）非齐次方程组解的结构：

设()t Φ是基解矩阵，()t ϕ 是非齐次方程一个特解，则非齐次方程组的任意解()t ψ 都可以表示为：()()()t t c t ψϕ=Φ+

(3) 解的求法(常数变易法)

定理: 若()t Φ为齐次方程基解矩阵，则

01

()()()()t t t t s f s ds ϕ-=ΦΦ⎰ 对应的非齐次方程的解，且满足初始条件

0()0t ϕ=

如果要求满足一般的初始条件0()t ϕη= 的解()t ϕ

则， 0

11

0()()()()()(),t t t t t t s f s ds ϕη--=ΦΦ+ΦΦ⎰ 二．矩阵指数的定义及性质

1.矩阵指数的定义：A 是n 阶方阵

20exp .!2!!k k

k A A A A E A k k ∞

===+++++∑ 2.矩阵()exp()t At Φ=是方程x Ax '= 的基解矩阵，且(0)E Φ=

三．基解矩阵的计算公式

定理：A 有n 个线性无关的特征向量12,,,.n v v v 他们对应的特征值分别为12,,,,n λλλ ，那么矩阵