第十一讲 有余数除法中周期问题
余数和周期问题
（1）□÷7=6…3，□=（ ） （2）51÷△=6…3，△=（ ） （3）18÷☆=☆…2，☆=（ ） （4）◇÷△=4…5，△最小是（ ），◇是（ ） （5）○÷8=3…□，□最大是（ ），○是（ ） （6）□÷4=◎…◎，◎可以分别是（ ），对应的 □分别是（ ）
已知2012年12月25号圣诞节这 天是星期二，问：2013年12月 25号这天圣诞节是星期几？
数学黑洞 6174
从1-9中任意选出4个不同的 数字，组成最大数减最小数， 最后总能得到6174.
哪些数除以7，商和余数相 等？请你找出这些数。
7×1+1=8 7×2+2=16 7×3+3=24 7×4+4=32 7×5+5=40 7×6+6=48
在有余数的除法算式（ ） ÷（ ）=（ ）· · · · · · 5中， 除数和商相等，被除数最小 是几？
1
2
3
4
圣诞节这天，一个精品店正在搞免费赠送扑克 的活动，凡是在本店买了商品的顾客都能凭小 票参与活动，游戏规则是这样的：4个人参与， 一共有一副扑克牌一共54张，发牌的顺序是从 一色的2到A，最后两张分别是小王，大王。谁 如果发到了一副牌当中的大王的人就获胜能获 得10副扑克牌。小宇顿时对这个游戏很感兴趣， 你认为他如果要获胜，应该坐在第几个位置上？
圣
节 诞
之
夜
黄冈文立方教育（集团）小学教育研究中心
圣诞节这天，商场里一服装店 正在举行猜位置活动。店里老 板让四位时装模特先坐在各自 的四张凳子上，然后逆时针让 模特走到其他的凳子，这样一 直走了100次，如果谁能最快 猜到每位模特走了100次后在 什么位置，就能免费获得模特 身上的这一套衣服。小宇来到 了服装店门口，你能帮助他猜 中模特所在位置吗？
第11讲 余数的性质和计算
第11讲余数的性质和计算本讲知识点汇总：一、替换求余利用余数的可加性、可减性以及可乘性，将算式中的每个数都用相应的余数替换。
二、特性求余：利用特殊数（例如2、3、4、5、8、9、11、13、99等）的整除特性来求余数。
三、利用周期规律求余数：对于乘方和一些复杂的具有规律性的算式，可以先找到周期规律，再计算。
为了更好地了解余数的性质规律，我们先来做几个计算：（1）21除以17的余数是（2）135除以17的余数是（3）211+135的和除以17的余数是（4）211-135的差除以17的余数是（5）211×135的积除以17的余数是（6）2112除以17的余数是比较上面的结果，我们发现余数有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积。
这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性。
在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性质进行简算。
需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：（1）如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数。
例如：在计算423+317除以6的余数时。
利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3+5=8，8>6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2，オ是423+317除以6最后的余数。
再比如：在计算423×317除以6的余数时，也会遇到3×5=15>6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果。
（2）在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数即可。
例如：在计算428-317除以6的余数时，会发现结果变成了3-5不够减。
此时，只要再加上6，用6+3-5=4来计算即可。
范例解密例题1、一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个。
请问：最后一包有多少个零件？练习1（1）123+456+789除以111的余数是多少？（2）123⨯456⨯789的结果除以23的余数是多少？我们学过特殊数（2、3、5、4、7、11、13、25、27、37、99、999）的整除特性。
二年级上册数学青岛版五四学制《有余数的除法》《图形排列的周期问题》教学设计
4.学生在小组合作中表现出较强的交流欲望，但合作意识尚需培养，教师应关注学生在合作学习中的表现，引导他们学会倾听、尊重他人意见。
5.部分学生在面对数学问题时可能存在恐惧心理，教师需要关注学生的心理变化，给予鼓励和支持，帮助他们建立自信心，勇于克服困难。
4.设计富有挑战性的数学游戏和练习题，激发学生的学习兴趣，提高他们的动手操作能力和解决问题的能力。
5.教师及时给予反馈和指导，帮助学生总结规律，形成自己的思考方法。
（三）情感态度与价值观
在本章节的学习过程中，教师将关注学生情感态度与价值观的培养：
1.培养学生对数学学科的兴趣，使他们能够积极参与课堂讨论，主动探索数学问题。
（2）在图形排列的周期性规律教学中，先引导学生观察简单的图形排列，发现规律，再逐步增加难度，让学生在探索中发现周期性规律。
3.小组合作，互动交流：组织学生进行小组合作，共同探讨有余数的除法运算和图形排列的周期性规律，培养学生的合作意识和团队精神。
4.激发思考，鼓励创新：在教学过程中，教师应鼓励学生积极思考，提出不同的观点和解决问题的方法，培养学生的创新思维。
1.采用情境教学法，创设生活情境，让学生在实际问题中感知有余数的除法，培养他们的数学应用意识。
2.运用直观演示法，通过实物、图片等直观教具，帮助学生理解除法各部分之间的关系，提高他们的抽象思维能力。
3.引导学生通过小组合作、讨论交流等方式，发现并掌握图形排列的周期性规律，培养他们的合作意识和团队精神。
3.教师通过提问方式，检查学生对有余数除法运算的掌握程度，针对学生的疑问给予解答和指导。
数学阅读-用有余数的除法解决“周期问题”
（三年级上册第四单元有余数的除法）
用有余数的除法解决“周期问题”
埔头小学：林爱珍
事物在运动变化过程中，某些特征循环反复出现，我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题，这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在解答本类型题时，要判断不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，循环的固定数的个数为一个周期。
看所求的数中含有几个周期，余数是多少，余数1、2、3……分别和周期的第一个数、第二个数、第三个数……相对应，从而可找出问题的答案。
例如：水东大桥上安装了一串彩灯，按照2黄、4红、2绿的顺序排列，第96盏彩灯是什么颜色？第97盏、第99盏分别是什么颜色？
分析：从题意可知，彩灯以8盏为一个周期不断重复，要知道第96盏彩灯是什么颜色，就要计算96盏彩灯里包含几个这样的周期。
如果正好是周期，说明第96盏彩灯正好是一个周期中的最后一盏，即绿色，如果有余数，多出的再按2黄、4红、2绿的顺序往下数。
解答：2+4+2=8（盏）96 ÷8=12 所以第96盏彩灯是绿色。
2+4+2=8（盏）99 ÷8=12……3（盏）所以第97盏彩灯是红色。
2+4+2=8（盏）103 ÷8=12……7（盏）所以第99盏彩灯是绿色。
小朋友们，生活中像这样用的例子很多，快去找几个试一试吧！。
用有余数的除法解决“周期问题”
人教版数学三年级下册-打印版
用有余数的除法解决“周期问题”
事物在运动变化的过程中，某些特征循环往复出现，我们把这种特殊的规律性问趱称为周期问题，这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在解答本类型题时，要判断不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，循环的固定数的个数为一个周期。
看所求的数中合有几个周期，余数是多少，余数1、2、3…分别和周期的第一个数、第二个数、第三个数……相对应，从而可找出问题的答案。
例题：商场楼前安装了一串彩灯，按照2黄、4红、2绿的顺序排列，第96盏彩灯是什么颜色？
分析从题意可知，彩灯以8盏为一个周期不断重复，要知道第96盏彩灯是什么颜色，就要计算96盏彩灯里包含几个这样的周期。
如果正好是整周期，说明第96盏彩灯正好是一个周期中的最后一盏，即绿色，如果有余数，多出的再按2黄、4红、2绿的顺序往下数。
解答2+4+2=8（盏）96÷8=12所以第96盏彩灯是绿色。
二年级有余数的除法(简单的周期现象)
例题精学 例1 一串珠子如图排列
照这样排列下去，第20颗是蓝珠子还 是红珠子？第27颗呢？ 思路点拨：这一串珠子从左边七，是按照“ห้องสมุดไป่ตู้蓝
1红”的规律排列的，每3颗珠子是一组，这3颗
思路点拨：从左边起这群小猫是按照2蓝1红的规律
排列的，每3只兔子为一组的规律排列，27÷3=9 （组），每组2只蓝猫1只红猫。所以， 蓝猫：2×9=18（只） 红猫：1×9=9（只）
例3
有一列数：3,1,2,3,1,2,3,1,2…… （1）第20个数是几？
思路点拨（2）前20个数的和是几？
这一列数，从左边起是按照“3,1,2”这三个数为一 组来排列的。20÷3=6（组）……2（个） （1）余数2表示第20个数是第7组的第2个数，相 当于第1组的第2个数是1. （2）在前20个数中，每组数的和教是学小标3题+2+1=6， 有7组差一个2，所以算出7组的和减去3即可： 7×6=42,42-2=40.
01 珠子不断地出现，所以周期是是3。20÷3=6
（组）……2（颗），而每组第二颗正好是蓝色， 所以第20颗珠子是蓝色。27÷3=9（组）没有 剩下，每一组的最后一颗都是红色，所以第2颗 红色
例 2 一群小猫按下面的规律排成一排
……
第27只猫是什么颜色？在从左边起的前27只猫中， 有多少只蓝猫？有多少只红猫？
例4 小丽有一本故事书，每两页 文字之间有1页插图，那么低、 第37页是文字还是插图？
思路点拨：按照题意，可以表示
成“文字，图，文字，图，文字……” 可以发现从左边起，每2页为一组没别 是文字和图。37÷2=18（组）……1 （页），第37页是第19组的第1页， 相当于第一组的第1页是文字。 还可以这样想：单数页是文字，双数页
用有余数的除法解决周期问题课件
周期问题涉及时间、数量、频率 等要素，通常需要找出周期的长 度和起始点。
周期问题的分类
按照周期长度分类
有长周期和短周期问题。
按照周期类型分类
有等差数列周期、等比数列周期、多项式周期等。
周期问题实例
日历的转换
将公历日期转换为农历日期，需要找出公历和农历之间的周 期关系。
股票价格波动
股票价格在一定时间内呈现周期性波动，需要分析其周期规 律。
详细描述
日历的周期性是由地球绕太阳公转的周期决定的。在一年中，月份和天数会按照 一定的顺序重复出现，形成了一个固定的周期。通过有余数的除法，我们可以计 算出某一天在一年中的位置，以及某个月的天数。
实例二：时钟的周期性
总结词
时钟的周期性是指在一个小时内，时钟的指针会按照一定的规律重复出现。
详细描述
时钟的周期性是由地球的自转运动决定的。在一个小时内，时针、分针和秒针会按照一定的速度和方向移动，形 成了一个固定的周期。通过有余数的除法，我们可以计算出某个时刻在小时内的位置，以及时针、分针和秒针的 相对位置。
谢谢您的聆听
THANKS
决周期性问题，并总结其中的数学原理和技巧。
有余数除法在解决周期问题中的挑战与展望
挑战
在实际应用中，周期性问题和有余数除 法可能会遇到一些复杂情况，如多周期 、不规则周期等，需要更深入地研究和 探索。
VS
展望
随着数学和相关领域的发展，有余数除法 在解决周期性问题中的应用将更加广泛和 深入，有望为解决更复杂的问题提供新的 思路和方法。同时，有余数除法在其他领 域的应用也有很大的潜力，值得进一步挖 掘和研究。
02
有余数除法的概念
定义与性质
定义
【第11讲】三年级应用题周期问题教师版
知识要点图形周期1. 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：●●○●●○●●○……你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？【解析】 仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为90330÷=，正好有30个周期，第90个是白球．100333÷=…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．2. 黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下图。
这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的,这种颜色的珠子在这串中共有【解析】 观察图形可知从第二个珠子开始每隔3个出现一个黑色的，即4个一循环。
所以：（101－1）÷4=25，判定最后一个为黑色，共有25颗。
3. ★○○○★★○○○★★○○○……这样的一排图形中第87个是什么图形，在87个图形中一共有多少个五角星？【解析】 87(23) 17÷+=…2．第87个图形是圆形．172135⨯+=（个）．周期问题4. 小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．⑴第73颗是什么颜色的？⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？【解析】 ⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗．73514÷=(组)……3(颗)，第73颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的．⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有5945⨯=(颗)珠子．第10颗黄珠子是第l 0组的第2颗，所以它是从头数的第47颗．列式：592⨯+452=+47=(颗)⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组)，共l 0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗．列式：524⨯+10414=+=(颗)．5. 在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第50颗，那么其中白珠有多少颗？【解析】 50(225) 5÷++=…5．52212⨯+=（个）．6. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？【解析】 从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1．734181=⨯+，即73被4除的余数是1，因此第73盏灯是白灯．7. 流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？【解析】 小木球的涂色顺序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次，给小木球涂色的一个周期是5432115++++=，因此只要用2003除以15，200315133÷=…8根据余数是8就可以判断：第2003个小木球出现在上面所列一个周期中第8个，所以第2003个小球是涂黄色．8. 桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？【解析】 1963÷=…1,1462÷=…2,所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的．9. 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？【解析】 这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有591327++=（朵）花．因为249279÷=……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花．按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？有两种解法：（方法1）249(5913)9÷++= (6)红花有：59550⨯+=（朵）绿花有：139117⨯=（朵）红花比绿花少：1175067-=（朵）（方法2）249(5913)9÷++=……6，一个周期少的：1358-=（朵），9872⨯=（朵），余下的6朵中还有5朵红花，所以72567-=（朵）.10. 奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？【解析】 这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期．因为2855÷=…3，所以28个字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第28个字是“欢”字．11. 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），那么第奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……【解析】50个字分别应该是什么．第一行“新北京新奥运”是6个字一个周期，5068÷=…2，第50个字就是北．再看第二行“奥林匹克运动会”是7个字一个周期，5077÷=…1，第50个字就是奥．把第一行和第二行合在一起，第50组就是“北奥”．12. 如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A ”，第二组是“们，B ”……我 们 爱 科 学 我 们 爱 科 学 我 ……A B C D E F G A B C D ……⑴写出第62⑵如果“爱，C ”代表1991年，那么“科，D ”代表1992年……问2008年对应怎样的组？【解析】 ⑴要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ABCDEFG ”七个字母为一个周期62512÷=……2 ,6278÷=……6，所以第62组是“们，F ”⑵2008是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按“DEFGABC ” 七个字母为一个周期：2008199117-=（组），1753÷= (2)1772÷=……3，所以2008年对应的组为“学，F ”．13. 从A 点出发沿顺时针方向绕五角星的边走，到B 点拐第一个弯，拐第95个弯在____点？J IG E AB C D HF【分析】 从A 点出发，每10个拐点为一个周期，算出95个弯有几个周期，看余数就可以确定在哪点。
小升初数学复习讲义11.探索规律教案讲义及练习
11.探索规律知识要点梳理探索规律一般分为重复的规律(周期问题)和变换的规律，其中变换的规律又分为数字排列律，计算式规律，图形排列规律，图形变换规律。
数字排列规律:数列填空，要在数列中相邻两个数的和、差、积、商中发现共同点，寻找规律。
数组填空，一般先看到每组第一个数与组数的关系，再分别看每组中后几个数与本组中的第一个数的关系。
数阵或数表填空，要分析数的横行或竖列中各数的关系，找出规律。
图形的变化规律:先确定有儿种图形，然后观察每种图形在不同组的位置变化，最后找出图形的排列规律。
颜色交替规律:通过发现两组颜色的变化来找出规律。
间隔排列物体个数之问的变化规律:两种物体间隔着排成一行，排在两端的物体个数比中间多1个。
或者说排在中问的物体个数比两端的少1个。
解决周期问题主要是找到循环重复的部分，用有余除法进行解答，而探索变换的规律时要注意观察，比较和归纳总结，对学生的综合能力要求较高，学生要多加练习不同的题型。
考点精讲分析典例精讲考点1 数字排列规律【例1】找规律填空。
(1)1，5，9，13，17，( )，（）……(2)10，11，13，16，( )，25……(3)1，3，7，15，31，( )……(4)1，1，2，3，5，8，( )，（）……(5)4，9，16，25，( )，（）……【精析】本题先比较相邻两个数的差，发现规律，(1)的差都相等是4,(2)的差是1 ,2,3,4……的有序自然数，(3)的差是2,4,8,16……的倍数关系数列，(4)的差是0,1,1,2,3又重复本来的数列，再总结下可以发现从第三个数开始每个数等于前两个数的和，(5)的差是5,7,9...…奇数列，再总结下发现每个数是自然数的平方。
然后根据规律填空即可。
【答案】(1)1,5,9,13,17,( 21),(25)……(2)10，11，13，16，(20),25……(3)1，3，7，15，31，(63)……(4)1，1，2，3，5，8，(13)，(21)……(5)4，9，16，25，(36)，(49)……【归纳总结】此类题是数列找规律题目，解决时可以先观察数字之间的联系，如果直接看不出来的话通常可以算出数列相邻两个数字的差，然后再观察差的规律，根据规律推出差，进行加法计算，算出空的数字，此题中的(I)是小学比较重要的等差数列，(2)和(3)可以称为二阶数列(相邻两数差构成基本数列),(4)是著名的兔子数列(也叫斐波那切数列),(5)是平方数列，总结这些数列的特点，可以帮助我们更好的解答数列找规律的题目。
余数之性质与周期
有趣余数之性质与周期一、基本概念余数：我们在做除法运算的时候，被除数不能被除数整除，有剩余，这个剩余部分的数我们把它叫做余数。
被除数÷除数=商…余数注：当余数大于0时也可称为不完全商被除数=除数⨯商+余数除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数二、余数的性质余数的几个重要性质：性质1：在带余除式中，余数总是比除数小。
性质2：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。
性质3：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积被这个除数除所得的余数。
三、余数与周期常考题型：1.图形中的周期问题；2.数列中的周期问题；3.年月日中的周期问题。
做题是需要注意几点：1.观察：数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。
2.确定：每几个数循环一次，周期长度是多少。
3.分析：每个循环节是按什么次序排列的。
4.注意：解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应。
例如：余数为3，就找循环节里面的第3个状态。
【例1】在算式( )÷15=12……( )中，被除数最大是几？最小是几？【巩固】哪些数除以6，能使商与余数相等。
【例2】一个数除以7余3，另一个数除以7余4，这两个数的和除以7余几？【巩固】求478⨯296⨯351除以17的余数。
【例3】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？【巩固】流水线上生产小木球涂色的次序是:先5个红，再4个黄,再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，…继续下去第1993个小珠的颜色是色。
【例4】2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？【巩固】2002年的6月1日是星期六，问这一年的10月1日是星期几？【例5】有一个数列：1，2，3，5，8，13，……。
有余数的除法(解决问题)
有余数的除法-------------解决问题教学目标：1、通过对熟悉的生活事例的探讨和研究，进一步学会用有余数的除法解决生活中的简单实际问题。
2、在解决较复杂问题中，感知余数在生活中的灵活运应用，获得运用知识解决问题的成功体验。
教学重点：运用恰当的方法和策略解决和余数有关的实际问题。
教学难点：将实际问题转化为有余数的除法计算问题。
教学过程：一、激趣导入师：小朋友们，六一儿童节快到了，老师准备把我们教室布置得漂漂亮亮的，你们愿意和老师一起布置吗？生:愿意。
师：老师想在窗户上贴一些窗花，我想这样贴，一朵蓝的，一朵紫的，一朵蓝的，一朵紫的，一朵蓝的，一朵紫的，一朵？有谁知道下一朵我该贴什么花？（学生能按照规律说出是按照一朵蓝的、一朵紫来贴的，当学生说出是什么人花后要学生说出规律）师:我们班的小朋友真是太聪明了。
到时候我们的窗花一定会贴的非常漂亮。
老师还想摆一些小旗，我已经准备好了。
你们想看看吗？生：想。
二、探究新知1、教学例6，展示图片。
（1）提出问题师：仔细观察图片，你们发现了什么？生：有13面小旗，他们摆的很规律。
师：知道是按什么规律摆的吗？生：按照··的规律摆的。
师：按照这样的规律摆小旗，你知道第16面小旗是什么颜色？（2）解决问题。
大家开动脑筋想一想，可以画一画也可以用你们手中的你小棒摆一摆，看看谁能很快知道第16面小旗是什么颜色。
小组内讨论、交流，然后反馈。
生：是黄色。
师：你是怎么知道的的呢，说说你们的方法。
生1：最后一面小旗是13面，我接着往下画，画到第16面是黄色。
生2：我按照规律摆下去，第16面是黄色。
生3：小旗每3面是一组是一样的，每组里面的小旗都是按同样的顺序顺序排列。
16个小旗3面3面一圈，圈了5组，剩余1面，这一个就是第16面小旗，它是第6组里面的第一个，按照排列的顺序，可以知道是黄色。
这里解决问题的方法并不是固定的，老师引导学生明白这种圈一圈的方法可以用除法来表示。
周期问题教案
周期问题教案教学目标：1、引导学生发现周期问题的规律，探索求第几个问题的多种解决策略，初步理解运用有余数除法解决求第几个问题的方法。
2、让学生掌握运用有余数除法解决求第几个问题的方法。
3、培养学生的思维能力和语言表达能力。
教学重点：引导学生发现周期问题的规律，探索周期问题中求第几个问题的多种解决策略，初步理解运用有余数除法解决求第几个问题的方法。
教学难点：初步理解运用有余数除法解决求第几个问题的方法。
教学过程：一、情境引入：老师出示蝴蝶和蜜蜂的问题，引导学生通过规律发现周期问题的规律。
再出示学生发现下一个数字是3，让同学们找出哪些部分是依次重复不断的出现的，我们把这些部分的重复出现叫做循环。
二、新课授受一）通过引入，博士爷爷带领同学们研究周期现象以及周期的概念。
周期现象是按照一定的规律、依次不断重复出现的现象，而重复出现的一节的个数叫做周期。
例如8.……，我们可以找出循环节和周期。
二）求第几个问题的解决策略老师通过XXX家里招待客人的例子，引导学生通过周期和组数来求第几个问题。
例如，XXX拿出来的第四篮水果是怎么排的？学生可以通过周期和组数来计算，即第四篮的第一个是葡萄，葡萄又是老师拿出来的所有水果中间的第16个。
学生可以列出计算式子3×5+1=16（个）。
三）运用有余数除法解决求第几个问题的方法老师通过求第100个水果的例子，引导学生运用有余数除法解决求第几个问题的方法。
学生可以列出计算式子100÷5=20（组），第20组的最后一个水果是XXX。
四）归纳步骤博士爷爷为学生归纳了做这种题目的步骤，让学生更好地掌握运用有余数除法解决求第几个问题的方法。
通过本节课的研究，学生不仅掌握了周期问题的规律，还学会了多种解决策略和运用有余数除法解决求第几个问题的方法，培养了他们的思维能力和语言表达能力。
1.画展示：教师问学生几个是一组，有几组，还剩几个，剩下的一个是第几组的第几个，第13个是第几组的第几个。
用余数来解决周期星期问题
用余数来解决周期星期问题）在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，小学数学就已经学过了。
那在公考中，常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。
解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。
下面我简单谈谈这四类问题：一、基本知识点总结㈠带余除法。
一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q 和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。
当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。
出题者常常会在这里设置陷阱。
㈡余数周期。
这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。
例如，求3130÷13的余数。
例如尖子班作业1。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”？整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c 同余。
记作：α ≡b （mod c）例如：15÷4＝3 (3)23÷4＝5 (3)15和23对于除数4同余。
记作：15 ≡23 （mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常用性质是什么？同余性质1：如果α ≡ b (mod m)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 ≡23 (mod 10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果α ≡ b (mod m)，c ≡d (mod m),则α ± c ≡ b ± d (mod m)两数和的余数等于余数的和。
第十一讲 有余数除法中周期问题
可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2 人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次。 （100-1）÷4＝24„„3， 所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D盒中依 次有4，6，3，5个球。
•
整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的 平方，记作a2，即a2 ＝a×a；同样，三个a的乘 积叫做a的三次方，记作a3，即a3＝a×a×a。一 般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作an，即
• 6．将1，2，3，4，„„除以3的余数依次 排列起来，得到一个数列。求这个数列前 100个数的和。 • 分析与解答：这个数列前100个数的和是 100。 提示：数列是1，2，0，1，2，0，1， 2，0，„„，以1，2，0三个数为周期循环 出现。 • 100÷3=33„„1 所以这个数列的和是 （1＋2＋0）×33＋1=100
小结
• 这一讲重点学习借助有余数的除法解 决一些具有“周期性”变化规律的问题。 • 解这类题的关键是先找到周期，然后 借助有余数除法的计算方法可以推算出最 后的结果。
• 练习题 • 1．流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红的，再4 个黄的，再3个绿的，再2个黑的，再1个白的，然后又依 次是5红、4黄、3绿、2黑、1白„„如此继续涂下去，到 第2008个小球该涂什么颜色？ • 分析：根据题意，小木球涂色的次序是：“5红、4黄、3 绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、 1白”循环一次。这里，给小木球涂色的周期是：5＋4＋3 ＋2＋1=15。 • 解： 2008÷15=133„„13 • 这就是说，第2008个小球出现在上面所列一个周期 中第13个，所以第2008个小球是涂黑色。 • 想一想：如果问题改为“在前2008个小球中，涂黑色的小 球有多少个？”，该怎样解答？
小学数学_《周期问题》教学设计学情分析教材分析课后反思
⼩学数学_《周期问题》教学设计学情分析教材分析课后反思《周期问题》教学设计【教学内容】教材第11页和第12页，图形排列的周期问题。
【教学⽬标】知识与能⼒:探索并发现简单周期现象中的排列规律，能根据规律解决简单的问题。
过程与⽅法:经历⾃主探索、合作交流的过程，体会画图、数数、计算等解决问题的不同策略。
情感、态度与价值观:在探索规律的过程中体会数学与⽇常⽣活的联系，获得成功的感受。
【教学重点、难点】教学重点：发现简单周期问题的规律并能解决问题。
教学难点：确定⼏个物体为⼀组，怎样根据余数来解决问题。
【教学准备】教师准备：课件彩⾊粉笔彩旗学⽣准备：导学单，学习⽤品练习纸【教学过程】⼀、新课导⼊：1、谈话导⼊：最近万⽼师喜欢上了变魔术，今天呢，就迫不及待来给同学们变⼀个，咱看看谁的眼睛亮，能看出⾥⾯的奥秘。
教师慢慢地从魔术箱中扯出⼀串按照“红、黄、绿”规律的彩旗。
彩旗有⼀部分在箱内没有扯出来，⽼师假装扯不出来了，你猜猜下⼀⾯彩旗会是什么颜⾊呢？⽣：你说2、你发现了？⽣：⽓球是按“红、黄、绿”的顺序排列的。
⽣：它们的排放是有规律的，“红、黄、绿”3个⼀组，重复出现。
3、⽣活中你还遇到过这种问题吗？（⼿指⿊板）⽣：周⼀到周⽇，7天为⼀组，不断重复出现。
⽣：1⽉到12⽉，12个⽉为⼀组，不断重复出现。
⽣：路⼝上的红灯、绿灯和黄灯，3个为⼀组，不断重复出现。
⽣：⼀年有4个季节，春夏秋冬4个季节为⼀组，不断重复出现。
……（学⽣交流，互相评价）4、我们就把这种⼏个为⼀组不断重复出现的问题，叫周期问题。
今天我们就要研究这类问题。
（板书课题）【设计意图：⽤同学们喜欢的⽓球吸引学⽣注意⼒，激发兴趣，学⽣初步感受彩旗颜⾊的排列规律，引⼊对周期现象的学习。
】⼆、师：⽼师这⾥有⼏组图形，同学们看看是周期问题吗？（幻灯⽚出⽰）1.题⽬⼀：⽣：是，因为这些⽓球是按照红黄蓝3个为⼀组，重复出现，所以这组图形是周期问题。
题⽬⼆：⽣1：是⽣2：不是师：为什么？你能把它改成周期问题吗？师：⽼师考考你。
数学北师大版二年级下册利用有余数的除法解决周期问题
课题：利用除法解决周期现象康定市东大街小学--袁娜教材分析：利用除法解决周期规律的现象，引导学生经历发现具体现象里的周期规律、对现象的后续发展情况作出判断、解决简单的实际问题等教学活动，发展数感和符号感，获得应用技能，激发学习兴趣，培养探索精神。
让学生感悟生活中的周期现象，并能根据所发现的规律确定某个序号所代表的是什么物体或图形，帮助学生通过眼前预料以后，通过部分把握整体，通过有限想象无限，在研究周期问题的过程中体会它的确定性，从而发现规律，应用规律。
教学目标：1、结合具体情境，探索并发现简单周期现象中的排列规律，能根据规律确定某个序号所代表的是什么物体或图形。
2、主动经历探索发现、合作交流的过程，体会画图、列举、计算等解决问题的不同策略，能根据实际情况，选择合适的解决问题的策略。
3、在探索规律的过程中体会数学与日常生活的联系，获得运用所学知识解决问题的成功体验，建立自信心。
教学重点：探索并发现简单周期现象中的排列规律（找规律），选择合适的策略解决这类问题。
教学难点：确定几个物体为一组，如何根据余数来确定某个序号所代表的是什么物体或图形。
教具准备：磁扣、两张数字卡片学具准备：4人一组，每组准备一副棋子；文具盒；自练本。
教学过程：一、游戏激趣，导入新课1、师：我们先来玩一个游戏，好吗？男、女生按性别自然分成两组，比一比谁的记忆力更强！（出示两张卡片：162536496481，123412341234）师：老师给你们8秒钟，快速记忆，开始！（学生记忆。
）师：时间到。
谁能复述刚才所看卡片上的数字？（男、女生分别汇报。
）师：好，我宣布女生获胜！（观察男生表情）师：有疑问吗？生：不公平，女生记的数字有规律，只要记住1234，然后重复3次就行了。
师：你们也这样认为吗？其实，这是一次不公平的比赛，女生之所以获胜，是因为她们记的数字有规律，记起来非常容易。
像这样有规律的现象在我们身边还有很多。
2、（在投影仪上出示一些围棋子）师：我们再来做一个摆棋子的游戏，老师这里有一些围棋子。
有余数的除法-周期问题
1、知识与技能目标：学会用有余数除法的知识解决与按规律排列有关的问题。通过观察、推理、讨论、归纳，提高解决问题的能力。
2、方法与过程目标：经历解决问题的全过程，学会观察思考，体会解决问题方法的多样化，开展应用意识。
3、情感与态度目标：感受数学与实际生活的联系，积累解决问题的根本经验。
重难点和关键
△○☆△○☆△○☆△○☆.....
全班汇报交流：每3个为一组，不断重复出现。
师：珠子按红黄绿蓝红黄绿蓝......的顺序排列，它的规律是〔〕个图形重复出现？即〔〕个图形为一组。
〔1〕交流再探。
师：那么第34粒珠子是什么颜色呢？
引导学生进一步思考或动手，让学生进行小组合作探究。
〔2〕交流反应。
每4个图形为一组，也就是求34里面有几个4？
课教学设计有余数的除法-周期问题
课题
有余数的除法-周期问题
丁琪
来源
二年级
设计时间
录制方式
PPT演示
时长
6分钟
设计理念
有余数的除法的周期问题是二年级下学期第六单元的重难点，解决此类问题还需要借助找规律的知识点，学生刚开始接触。会感到茫然。让学生借助微课程更有利于学生对规律和周期的理解和掌握，弥补操作与想象的缺乏，让学生真切地理解并找出有规律的事物排列中具体的位置。
3．重点看余数，余数是几，就是每组的第几个；没有余数时，那么为每组的最后一个。
课后反思
1、在教学方法上采用探索引导式。先让孩子观察出规律再通过引领的方式启发学生一步步找到解决问题的方法。
2、在制作方式上我选择采用PPT演示并配上适宜的解说。微视频的每一个环节我都做了精心得准备，给学生清楚明了的展示。
34/4=8〔组〕......2〔个〕
用有余数的除法解决“周期问题”
人教版数学三年级下册-打印版
用有余数的除法解决“周期问题”
事物在运动变化的过程中，某些特征循环往复出现，我们把这种特殊的规律性问趱称为周期问题，这类问题一般要利用余数的知识来解答。
在解答本类型题时，要判断不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，循环的固定数的个数为一个周期。
看所求的数中合有几个周期，余数是多少，余数1、2、3…分别和周期的第一个数、第二个数、第三个数……相对应，从而可找出问题的答案。
例题：商场楼前安装了一串彩灯，按照2黄、4红、2绿的顺序排列，第96盏彩灯是什么颜色？
分析从题意可知，彩灯以8盏为一个周期不断重复，要知道第96盏彩灯是什么颜色，就要计算96盏彩灯里包含几个这样的周期。
如果正好是整周期，说明第96盏彩灯正好是一个周期中的最后一盏，即绿色，如果有余数，多出的再按2黄、4红、2绿的顺序往下数。
解答2+4+2=8（盏）96÷8=12所以第96盏彩灯是绿色。
有余数的除法
有余数的除法在我们的数学世界里，除法是一项非常重要的运算。
而有余数的除法，则是除法运算中的一个特殊情况。
今天，就让我们一起来深入了解一下有余数的除法。
当我们分东西的时候，如果不能正好平均分完，就会出现余数。
比如说，有7 个苹果要平均分给3 个人，我们来算一算：7÷3 ＝2……1，这里的2 表示每个人能分到2 个苹果，而1 就是剩下的，也就是余数。
这就意味着，分完 2 个给每个人后，还剩下 1 个苹果。
那余数有什么特点呢？余数一定是比除数小的。
为什么呢？假设除数是 5，如果余数是 5 或者比 5 大，那就说明还能继续分，这就不叫余数了。
比如说 11÷5 ＝2……1，如果余数是 5 或者更大，比如说是 6，那就变成 11÷5 ＝1……6，但是 6 还比 5 大，还能再分，所以这种情况是不对的。
有余数的除法在我们的生活中有很多实际的应用。
比如，我们去买东西，一个书包 25 元，你有 60 元，那能买几个书包呢？60÷25 ＝2……10，这说明能买 2 个书包，还剩下 10 元钱。
再比如，小朋友们排队，每行站 4 个人，一共有 17 个小朋友，能排几行呢？17÷4 ＝4……1，也就是说能排 4 行，还剩下 1 个小朋友。
在解决有余数的除法问题时，我们要认真读题，理解题意，确定是用有余数的除法来解决问题。
然后根据题目中的数量关系，列出算式进行计算。
有时候，我们还需要根据余数来解决问题。
比如说，在一些周期问题中，像按规律排列的图形或者数字，我们可以通过计算余数来确定某个位置的图形或者数字是什么。
举个例子，有一组图形按照“三角形、正方形、圆形、五角星”的顺序依次排列，第 18 个图形是什么？我们先看一组有 4 个图形，18÷4 ＝4……2，余数是 2，说明第 18 个图形是一组中的第二个，也就是正方形。
再比如，在一些坐船或者坐车的问题中，也要考虑余数。
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• 7．有一串数，前两个数是9和7，从第三个数起， 每个数是它前面两个数乘积的个位数。这串数中 第100个数是几？前100个数之和是多少？ • 分析与解答：这串数是9、7、3、1、3、3、9、7、 3、1、3、3„，可以看出一个周期为9、7、3、1、 3、3这样6个数，所以100÷6=16„„4，这串数中 第100个数是1；（ 9＋7＋3＋1＋3＋3 ）×16＋ （ 9＋7＋3＋1 ）= 436，前100个数之和是436。
•
当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现， 它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期 循环出现。由88÷20=4„„8知，第88个数与第8个数相 同，所以第88个数是4。 • 周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋。
• 例5 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前 面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相 邻的四个数是“2008”？ • 135761939237134„
• 6．将1，2，3，4，„„除以3的余数依次 排列起来，得到一个数列。求这个数列前 100个数的和。 • 分析与解答：这个数列前100个数的和是 100。 提示：数列是1，2，0，1，2，0，1， 2，0，„„，以1，2，0三个数为周期循环 出现。 • 100÷3=33„„1 所以这个数列的和是 （1＋2＋0）×33＋1=100
• 例2
3月19日是周二，4月5日是周几？
• 解：一个星期有7天,3月份是大月，所以要 先想从3月19日到4月5日共有多少天？经过 计算共有18天。7天一周期，是从周二、三、 四、五、六、日、一。为一个周期。 18÷7=2„„4，所以4月5日是周五。
• 例3 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第 1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第 24个数是几？前77个数的和是多少？ • 分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5 个数的和，所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知， 第1，5，9，13，„个数都相同。 • 同理，第2，6，10，14，„个数都相同，第3，7，11， 15，„个数都相同，第4，8，12，16„个数都相同。 • 也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。 所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数， 是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是25-（3+6+7） =9。 • 这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4 个数相同，是9。由77÷4＝19„„1知，前77个数是19个 周期零1个数，其和为25×19+3=478。
• 例7、 求67999的个位数字。 • 分析与解：因为67的个位数是7，所以 67n的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四 个数的顺序循环出现。 • 999÷4＝249„„3， • 所以67999的个位数字与73的个位数字相 291+3291的个位数字。 • 分析与解：因为2n的个位数字按2，4，8，6四个 数的顺序循环出现，91÷4＝22„„3，所以，291 的个位数字与23的个位数字相同，等于8。 • 类似地，3n的个位数字按3，9，7，1四个数 的顺序循环出现， • 291÷4＝72„„3， • 所以3291与33的个位数相同，等于7。 • 最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数 字相同，等于5。
• 5．有一个一千位数，它的各个数位上的数字都是1，问这 个数被7除的余数是几？ • 分析：一千位数太大了，我们要把它变小一点进行分析。 • 1÷7=0„„1 • 11÷7=1 „„ 4 • 111÷7=15 „„ 6 • 1111÷7=158 „„ 5 • 11111÷7=1587 „„ 1 • 111111÷7=15873 • 1111111÷7=158730 „„ 1 • 从而看出：每六位数一循环。 • 解：1000÷6=166余4 • ∴所有数字都为1的一千位数除以7的余数等于四位数 1111除以7的余数，等于5。
a a aa a
n n个a
下面主要讲an的个位数的变化规律，以及an除以某数所得余数 的变化规律。 因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关， 所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1， 2，…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。 为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律， 我们列出下页的表格，看看a，a2，a3，a4，…的个位数字各是什 么。
小结
• 这一讲重点学习借助有余数的除法解 决一些具有“周期性”变化规律的问题。 • 解这类题的关键是先找到周期，然后 借助有余数除法的计算方法可以推算出最 后的结果。
• 练习题 • 1．流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红的，再4 个黄的，再3个绿的，再2个黑的，再1个白的，然后又依 次是5红、4黄、3绿、2黑、1白„„如此继续涂下去，到 第2008个小球该涂什么颜色？ • 分析：根据题意，小木球涂色的次序是：“5红、4黄、3 绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、 1白”循环一次。这里，给小木球涂色的周期是：5＋4＋3 ＋2＋1=15。 • 解： 2008÷15=133„„13 • 这就是说，第2008个小球出现在上面所列一个周期 中第13个，所以第2008个小球是涂黑色。 • 想一想：如果问题改为“在前2008个小球中，涂黑色的小 球有多少个？”，该怎样解答？
•
（1）当a的个位数是0，1，5，6时，an的个位数 仍然是0，1，5，6。 • （2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，an 的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的 个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数 是9时，按9，1的顺序循环出现。 • （3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增 大，an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其 中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现； a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现； 当a的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现； 当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。
• 3． 求下列各数的个位数字： • （1）3838； （2）2930； • 解：（1）3838和838的个位数字是相 同的。而8n的个位数字的规律是8、4、2、 6排列的，38÷4=9„„2，所以3838的个 位数字是4 。（2）2930和930的个位数字 是相同的。而9n的个位数字的规律9、1排 列的，30÷2=15，所以2930的个位数字 是1。
• 例1 小军发现过街天桥上的彩灯很漂亮，这些彩灯按照5 盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、 4盏蓝灯、3盏黄灯、„„这样排下去。问： • （1）第100盏灯是什么颜色？ • （2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？ • 分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、 3黄，每12盏灯一个周期循环出现。 • （1）100÷12＝8„„4，所以第100盏灯是第9个周期的第 4盏灯，是红灯。 • （2）150÷12=12„„6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯， 12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1 盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）。 • 答：第100盏灯是红色，前150盏彩灯中有49盏蓝灯.
第十一讲
有余数除法中的周期问题
•
我们学过了有余数的除法，利用余数 可以解决很多有趣的问题。有一些规律成 周期性变化，像这种题目我们就可以借助 有余数的除法来解决。
•
我们已经见过“找规律”这个问题，学习了 如何发现图形、数表和数列的变化规律。什么是 周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季， 百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季 过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天， 白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，总 是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性 变化规律。再比如，数列0，1，2，0，1，2，0， 1，2，0，1，2，„„是按照0，1，2三个数重复 出现的，这也是周期性变化问题。一些数、图形 和事物的变化是周而复始地循环出现的，我们把 这种特殊的规律性问题称为周期问题。下面，我 们通过一些例题作进一步讲解。
• 分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做 法。按照例3的方法找到一周期，因为这个周期很长，所 以也不是好方法。那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串 数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数 之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性， 那么将这串数依次写出来，得到 • 奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇„„ • 可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循 环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不 会出现“2008”。
• 例6 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友 找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子； 第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个 球放入这个盒子„„当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中 各放有几个球？ • 分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中 的球数如下表
• 2．如图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1 号开始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进 485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进 485个位置„„如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1 号位置？ •
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分析与解答：根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时 针„„两天一个周期循环变换方向。每一个周期中，小球实际上是按 逆时针方向前进485-329=156（个）位置。156÷8=19„„4。就是说， 每个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置。 要使小球回到原来的1号位，至少应逆时针前进8个位置。8÷4=2（个） 周期，2×2=4（天），所以至少要用4天，小球才又回到原来“1”号 位置。
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4．求下列各式运算结果的个位数字： （1）9222＋5731； （2）469-6211； 解：（1）9222和5731的个位数字分别与222和731的 的个位数字是相同的。而2n的个位数字的规律是2、 4、8、6排列的，22÷4=5„„2，所以9222的个位 数字是4 。而7n的个位数字的规律是7、9、3、1 排列的，31÷4=7„„3，所以5731的个位数字是3。 所以9222＋5731和的个位数字是7 • （2）469和6211的个位数字分别与69和211的 的个位数字是相同的。而6n的个位数字的规律都 是6，所以469的个位数字是6。而2n的个位数字的 规律是2、4、8、6排列的， 11÷4=2„„3，所以 6211的个位数字是8。所以469-6211差的个位数字 是8；