2012年迎春杯小中组复赛详解

【解析】如下图，图 1 中每点所标的数代表跳 1 步到达这个点的跳法总数， 共 36 种； 图 2 中每点所标的数代表跳 2 步到达这个点的跳法总数 （由 图 1 中与此点相邻点上所标数相加而得） ，共 144 种；不难发现每多
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跳一步，跳法就增加为原来的 4 倍，所以跳 3 步有 144 4=576 种，
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8．如右图，蕾蕾用 12 根小木棍摆成一个 3× 3 的正方形，凡凡摆了 9 根小木棍将它切割成 3 个 1× 2 的小长 方形和 3 个 1× 1 的小正方形．如果蕾蕾用 40 根小木棍摆成一个 8× 12 的矩形，那么凡凡再摆________根 小木棍，才能将它切割成 40 个小长方形，使得每个小长方形要么是 1× 2 的，要么是 1× 3 的． 【考点】图形问题；鸡兔同笼 【难度】☆☆☆☆ 【答案】116 【解析】假设 40 个小长方形均是 1 3 的，则总面积为 40 3=120 ，而长方形面积 为 8 12=96 ，所以 1 2 的小长方形有 (120 96) (3 2) 24 个， 1 3 的
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13．将给定的所有数字串填入方格内，每个数字串恰好用一次，每个格内恰好填一个数字，同一个数字串 中的数字不能被阴影断开，数字串的方向都是从上到下或者从左到右的．下图中给出了一个例子，图 2 是图 1 的唯一填法．请根据以上的规则，将图 3 填写完整，那么 ABCDE 是____________．
C 下方只能填 1．如下图：
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第 3 列，以 22 结尾的四位数只有 1022 和 0022，两个五位数第三位 只能是 0 或 2，所以第一行的五位数中间数只能为 0，第三列的四位 数为 0022；所以 B 为 2；以 0 为首、2 结尾的四位数只剩 0102，所 以第五列下方的四位数可以确定；进而以 01 为首的四位数只剩下 0110，所以 D 只能为 0．如下图：
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们会发现，这四个数字正好是四个连续数字，类似的日期还有 02 月 13 日，03 月 12 日等．那么 2012 年
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【考点】整数问题 【难度】☆☆ 【答案】4 【解析】因为 20120204 各位数字中最大的数字为 4，因此最少要用 4 个数相加，例如： 20120204=10110101+10010101+1+1．
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值________元． 子价值 92 元．
【考点】等差数列 【难度】☆☆☆ 【答案】92 【解析】假设正中间珠子价值 a 元．则前 15 个珠子的总价值为 (a 3 8) 15 元；后 15 个珠子的总价值为
(a 4 8) 15 元，所以 (a 3 8) 15 (a 4 8) 15 a 2012 ，解得 a 92 ，因此中间的一颗珠
【解析】蜈蚣有 40 只脚，总脚数为 220，所以蜈蚣的头数不大于 5；总头数为 50，且龙的头数是 9 的倍数， 所以蜈蚣只能有 5 只，龙有 5 条．则每条龙有 (220 40 5) 5 4 只脚．
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4．在右面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，使得算式成立．那么四位 数“望子成龙”是__________． 【考点】数字谜 【难度】☆☆ 【答案】1468 【解析】因为和为 2012 ，所以个、十、百位均发生了进位．“子+子+进位”个位 为 0， 进位只能为 2， “子”为 4， “望”为 1； 所以“成+成+成+进位=21”， “成”只能为 6，进位为 3；则“龙+龙+龙+龙=32”．“龙”为 8．综上四位 数“望子成龙”为 1468． 5．有一个奇妙的国家，叫“一〇国”．他们只有 1 和 0 两个数字．所以，当遇到比较大的数时，他们就要用 好多个 1 和 0 组合相加来表示．比如说：12 可以表示成三个数的和 10+1+1，也可以表示成两个数的和 11+1．那么在“一〇国”，20120204 最少要用__________个数相加来表示．
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【考点】数列 【难度】☆☆☆ 【答案】8
数， 直到最后一位同学报的数是 5． 那么第 100 位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了________．
【解析】按照规则将前面几位同学所报数写出：1，2，4，8，16，11，6，12，7，14，9，18，13，8，16…… 可以发现从第 5 位同学开始，每 10 位同学为一个周期，所以第 99 位同学报的数为 7；由于最后一 位同学报的数是 5， 则倒数第 2 位只能报 10， 倒数第 3 位只能报 5 或 15……以此类推可知， 第 100 位同学报的数只能为 15，是把前一位同学报的数加上了 8．
跳 4 步有 576 4=2304 种．
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二、填空题（每题 10 分，共 50 分） 6．农历龙年的第一天（即大年初一）是 01 月 23 日，如果用四个数字来表示这天的日期，应该是 0123．我
最后一个用四个连续数字表示的日期是农历龙年的第______天． 【考点】计数问题 【难度】☆☆ 【答案】343 【解析】 2012 年最后一个用四个连续数字表示的日期应为 12 月 30 日， 而农历龙年的第一天是 01 月 23 日， 所以 12 月 30 日式农历龙年的第 365 22=343 天． 7．一串珠子共 31 个，正中间一个最贵．从一端算起，后一个比前一个贵 3 元，到中间那个为止．从另一 端算起，后一个比前一个贵 4 元，到中间那个为止．这串珠子总价值 2012 元，那么中间的一颗珠子价
矩形最外一周，每条边均位于两个小长方形中，所以矩形内部增加的总 长为 (272 40) 2 116 ．即需要摆 116 根木棍．
9．某次考试，得分不超过 30 分的有 153 人，平均 24 分；得分不低于 80 分的有 59 人，平均 92 分；得分
【考点】平均数 【难度】☆☆☆ 【答案】1007
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2012 年迎春杯小中组复赛
参考答案
1 189 8 116 2 9 9 1007 3 4 10 8 4 1468 11 34 5 4 12 1615 6 343 13 12204 7 92 14 2304
一、填空题（每题 8 分，共 40 分） 1．计算： (2012 28 135) 7 69= _______．
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【考点】速算巧算 【难度】☆ 【答案】189 【解析】原式 =(2012 107) 69 7=27 7=189 ． _______号． 【考点】等差数列 【难度】☆ 【答案】9 每条龙有_______只脚． 【考点】估算 【难度】☆☆ 【答案】4
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【考点】逻辑推理 【难度】☆☆☆☆ 【答案】12204
【解析】两个五位数只有中间的数不同，因此可以确定 4 个数；每个三位 数末位均为 0，均可以确定填出；末位为 0 的两位数只有 40，所 以 E 只能为 4；首位为 4 的两位数只有 40 和 42，40 已出现，因
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此 C 左侧只能为 2，如下图：
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【解析】每 4 个球中有 1 个红球、1 个黄球，那么左数第 100 个红球应在（397，398，399，400）中；右数 第 100 个黄球应在（1613，1614，1615，1616）中，由于两球之间的距离是 1213 厘米只能是 400
和 1613，即第 400 个为红球，第 1613 个为黄球．所以从第一个球起，球的颜色按照“黄，蓝，蓝， 红”循环．左数第 100 个篮球应为（197，198，199，200）中的第 199 个，右数第 100 个蓝球应为
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超过 30 分的平均 62 分，得分低于 80 分的平均 54 分．那么这次考试共有_______人参加．
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小长方形有 40 24=16 ．这些小长方形的总周长为 8 16+6 24=272 ，除
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三、填空题（每题 12 分，共 60 分） 11．桌面上放有四张大小不同的正方形纸片，边长分别为 2、3、4、5．若分别取走边长为 2、3、4、5 的 正方形纸片中的一个，则剩下的三张纸片覆盖的面积分别减少 2、3、4、5．那么四张纸片覆盖的面积 为____________． 【考点】图形问题-正方形面积 【难度】☆☆☆☆ 【答案】34 【解析】四张纸片的面积分别为 4，9，16，25；每张纸片与其他纸片重叠部分的面积分别为 2，6，12，20，
以 1 为首的四位数只有两个，且前三位均为 102，所以第一列可
确定“1，0，2”；以 2 为首的四位数只有一个，所以 2224 可以确 定；以 4 为首的三位数只有 410，1 可以确定；以 10 结尾的三位 数只剩下 210，所以 2 可以确定；以 2 为首，0 为尾的三位数只 剩 220，所以 C 可以确定为 2；以 2 为首的两位数只有 21，所以
三位数 220、410、210 均出现过，所以倒数第二行的三位数只能是
120，剩下的两个两位数 12 和 11，12 只能在第二列下方，所以 A 为 1．至此可确定这个五位数为 12204．
14．池塘中 10 片莲叶如右图排列．青蛙在莲叶间跳跃，每次只能从一片莲叶跳到相邻的另一片莲叶．一只 青蛙盘算着从其中一片莲叶上起跳，连跳 4 步，那么它有____________种不同的跳法． 【考点】计数问题 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】2304
2．小明发现在 2012 年 3 月的日历某一列上的 5 个日期的数字之和是 80，那么这一列上的第二个日期是
【解析】由等差数列性质可知，这一列上中间的日期为 80 5=16 号，因此第二个日期应为 16 7=9 号．
3．40 只脚的蜈蚣与 9 个头的龙同在一个笼子中，共有 50 个头和 220 只脚，如果每只蜈蚣有 1 个头，那么
分的面积为 20．所以总的覆盖面积为 4+9+16+25 20=34 ． 下图给出一种重叠方式：
12．红、黄、蓝三种颜色的球共 2012 个排成一排，相邻 2 球之间的距离为 1 厘米．每相邻的 4 个球中都有 Biblioteka Baidu 个红球、1 个黄球和 2 个蓝球．左数第 100 个红球和右数第 100 个黄球之间的距离是 1213 厘米．那 么左数第 100 个蓝球和右数第 100 个蓝球之间的距离是____________厘米． 【考点】周期问题 【难度】☆☆☆☆ 【答案】1615
（1813，1814，1815，1816）中的第 1814 个，之间的距离是 1814 199=1615 厘米．
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由于 2+6+12=20 ，所以只能前 3 张纸片与第 4 张分别重叠，没有三张重叠在一起的部分，重叠部
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【解析】得分超过 30 分且低于 80 分的有 153 (54 24) 59 (92 62) (62 54) 795 人，所以这次考试 共有 153+795+59=1007 人．
10．2012 位同学排成一列依次报数．若某位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的 2 倍；若某位同 学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与 5 的和．已知第一位同学报 1，到了第 100 位同学，他 却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报