2016内蒙古化工职业学院数学单招试题测试版(附答案解析)

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[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．指出下列各角是第几象限角： (1)330°是第________象限角； (2)－200°是第________象限角； (3)945°是第________象限角； (4)－650°是第________象限角．
2．下列命题中正确的有________．(填序号) ①第一象限角一定不是负角； ②小于90°的角一定是锐角； ③钝角一定是第二象限角； ④第一象限角一定是锐角．
3．若角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点P (－4,3)为其终边上一点，则cos α的值为
________________________________________________________________________．
4．已知点P ⎝⎛⎭
⎫sin 34π，cos 3
4π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．
能力提升
5．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________________．
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6．设θ是第二象限角，则点P (sin θ，cos θ)在第________象限． 7．若α是第四象限的角，则π－α在第________象限．
8．设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数是________． 9．确定下列三角函数值的符号(填“>”或“<”)： (1)cos 7
12π________0； (2)sin(－465°)________0； (3)tan 11
3π________0.
10．经过一刻钟，长为10 cm 的分针所扫过的面积是________ cm 2. 11．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭
⎫sin 2π3，cos 2π
3，则角α的最小正值为
________．
12．若角α和β的终边关于直线x ＋y ＝0对称，且α＝－π
3，则角β的集合是______________________．
13．(8分)设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－7
3π. (1)将α1，α2用弧度数表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．
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14．(8分)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
15．(12分)已知扇形OAB的圆心角为4弧度，其面积为2 cm2，求扇形周长和弦AB的长．
16．(12分)利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1.
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参考答案 【基础热身】
1．(1)四 (2)二 (3)三 (4)一
2．③ [解析] 第一象限角可能是负角，①错，④错；小于90°的角可能是负角，②错．
3．－45 [解析] cos α＝x r ＝－45.
4.7π4 [解析] 根据三角函数定义可知sin θ＝cos 3π4＝sin ⎝⎛⎭
⎫2π＋π2－3π4＝sin 7π
4，∵θ∈
[0,2π]，∴θ＝7π
4
.
【能力提升】
5．{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z } [解析] 若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π＋π，k ∈Z .
6．四 [解析] θ是第二象限角，则sin θ>0，cos θ<0.
7．三 [解析] π－α＝－α＋π，若α是第四象限的角，则－α是第一象限的角，再逆时针旋转180°，得π－α是第三象限角．
8．2 [解析] S ＝1
2(8－2r )r ＝4，r 2－4r ＋4＝0，r ＝2，l ＝4， α＝l
r ＝2.
9．(1)< (2)< (3)< [解析] (1)712π是第二象限角，所以cos 7
12π<0.
(2)因为－465°＝－2×360°＋255°，即－465°是第三象限角，所以sin(－465°)<0. (3)因为113π＝2π＋53π，即11
3π是第四象限角，所以 tan 11
3π<0.
10．25π [解析] 经过一刻钟，分针转过π
2rad ，
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故所覆盖的面积是S ＝12lR ＝1
2|α|R 2.
＝12×π
2
×102＝25π(cm 2)． 11.
11π6 [解析] 该点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－12，角α是第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32，所以角α的最小正值为11π6.
12.⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫β⎪
⎪
β＝2k π－π6，k ∈Z [解析] 由对称性知，角β的终边与－π
6的终边相同，故角β的集合是⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫β⎪
⎪
β＝2k π－π6，k ∈Z .
13．[思路] 涉及角度与弧度的互化及终边相同的角的概念． [解答] (1)α1＝－570°＝－570180π＝－196π＝－2×2π＋5π
6. 同理有α2＝750°＝256π＝2×2π＋π6. 故α1是第二象限角，α2是第一象限角． (2)β1＝35π＝3
5×180°＝108°.
设θ＝k ·360°＋β1(k ∈Z )，由－720°≤θ<0°， 所以－720°≤k ·360°＋108°<0°， 所以k ＝－2或k ＝－1，
则在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.
同理β2＝－7
3×180°＝－420°，且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°. [点评] 角度制和弧度制的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功，若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常可像本例一样化为解不等式去求对应的k 值．
14．[解答] ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则
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x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝
x 2＋y 2＝
(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，
当t >0时，r ＝5t ，
sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45， tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34； 当t <0时，r ＝－5t .
sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，
tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3
4.
综上可知，t >0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－3
4；
t <0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－3
4.
15．[解答] 设AMB 长为l ，OA ＝r ，扇形OAB 的面积为S 扇形．∵S 扇形＝12lr ，∴1
2lr ＝2.①
设扇形的圆心角∠AOB 的弧度数为α，则|α|＝l
r
＝4，②
由①②解得r ＝1，l ＝4，∴扇形的周长为l ＋2r ＝4＋2×1＝6 (cm)． 如图所示，作OH ⊥AB 于H ， 则AB ＝2AH ＝2r sin 2π－4
2 ＝2r sin(π－2)＝2sin2 (cm)．
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16．[解答] 证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点；
而余弦线(正弦线)的长等于r(r＝1)．所以|sinα|＋|cosα|＝1.
当角α的终边落在四个象限时，取r＝1，即选取角α终边与单位圆的交点为P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M.利用三角形两边之和大于第三边有：
|sinα|＋|cosα|＝|MP|＋|OM|>1，
综上有|sinα|＋|cosα|≥1.
[点评] 本题除了用三角函数线证明外，还有其他证明方法，如分析法证明，也可以用左边平方的方法等等．。