2019年高考数学压轴题专题11隐圆问题(原卷版)
专题11定语从句(原卷版)2

第11章 定语从句Part1 中考考点导图定语从句结构图解定语从句 引导词特殊情况 注意事项 先行词是人,用who 先行词非人,用which 宾格whom用that 不用which 的条件 用which 不用that 的条件无引导词:先行词在定从中作宾语,引导词可省略 先行词在定从中作主语,定从谓动单复数由先行词决定 one of+复数名词,作先行词,谓动用复数 the (only) one of, the very/right+复数名词,作先行词,谓动用单数作定语的句子,即“…的”可以作名词或代词的定语 万能钥匙that 定语形容词 介词短语 非谓语动词短语 前置I have a good friend. 后置I want to do something interesting. 后置The boy in white is my friend. 后置I don’t have a house to live in. 修饰名词或代词的成分 常译为“…的” 句子 后置I like students who like English.人主 who 关系代词 引导词人宾 whom 物主/宾 which 人/物主/宾 that 人/物定 whose=of whom 人 =of which 物 时间状 when=in which/ on which=at which 关系副词 地点状 where=in which/ at which 原因 状 why=for which 引导词用that ,不用which 的条件 ①先行词前有最高级修饰;或先行词就是最高级; ②先行词前有序数词修饰;或先行词就是序数词; ③先行词前有the only, the right, the last, just, the same, the very 等词修饰; ④先行词是不定代词all, everything, one 等词;或先行词前有不定代词修饰时; ⑤先行词中既有人又有物; ⑥主句是which 或who 引导的特殊疑问句;⑦There be 句型中 引导词用which ,不用 that 的条件 ①引导词前有介词,如:in which;on which;with whom ②先行词是that, those 不用that 的条件介词后用whom ,which ,不用thatPart2 中考真题精选1.(2021·辽宁营口市·中考真题)I’ll never forget the place ________ we visited together last year.A.which B.what C.who D.whom 2.(2021·黑龙江大庆市·中考真题)I’d like to express my thanks to everyone ________ served the munity.A.which B.who C.where D.when 3.(2021·山东滨州市·中考真题)In my opinion, of all the books, this is the only one ______ is well worth reading.A.who B.that C.whom D.what 4.(2021·湖北黄冈市·中考真题)— What can we do for the lefthome children in the village ________ need help?— We could help them with their study online on weekends.A.which B.whom C.whose D.who 5.(2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题)On December 31, 2020, the New Year speech ________ President Xi Jinping made encouraged us Chinese to work harder for our motherland. A.who B.whose C.which D.what 6.(2021·贵州铜仁市·中考真题)—Do you know the boy ________ hand writing won the first in the petition?—Oh, he is Wang Wei, our monitor.A.who B.whose C.whom D.which 7.(2021·黑龙江绥化市·中考真题)I like smart clothes ________ are made of silk.A.who B.which C.what8.(2021·贵州贵阳市·中考真题)Abing’s Erquan Yingyue is a piece of music _________ has bee one of China’s national treasures.A.who B.which C.whose9.(2021·福建中考真题)We all miss Wu Mengchao ________ saved thousands of lives in his medical work.A.which B.what C.who10.(2021·湖北十堰市·中考真题)This is the first birthday gift _________ I received. I’ve kept it many years.A.which B.that C.who D.what 11.(2021·青海中考真题)Chaka Salt Lake ________ is known as Mirror of the Sky interests more and more tourists.A.where B.which C.who12.(2021·湖南怀化市·中考真题)—Do you know the woman ______ wears a blue skirt? —Oh, she’s my aunt.A.which B.who C.what13.(2021·四川乐山市·中考真题)—Do you like the weekly talk show, The Reader, on CCTV? —Sure. It’s a great TV programme _________ brings the habit of reading back into the public. A.who B.that C.what14.(2021·湖南岳阳市·中考真题)All of the classmates prefer the song Shao Nian ________. A.that they can sing along withB.which can they sing along withC.who they can sing along with15.(2021·四川达州市·中考真题)—Could you tell me ________ kind of movies you like best? —Umm…. I like the movies ________ make me laugh.A.what; which B.what; what C.which; what D.which; where 16.(2021·云南中考真题)Yuan Longping is a great scientist ________ was honored as “The Fathe r of Hybrid Rice”.A.when B.who C.which D.whose 17.(2021·四川成都市·中考真题)Zhang Hong, a Chinese, is the first Asian blind climber________ has reached the top of Qomolangma.A.who B.whose C.which18.(2021·甘肃天水市·中考真题)A true friend is a person ________ reaches for your hand and touches your heart.A.whom B.whose C.who D.which【2020年】1.【2020 •青海省】We’ ll never forget those ________ lost their lives for our country.A. whoB. whichC. whom2.【2020 •福建省】Du Fu is a great Chinese poet ________ has bee popular with many people around the world.A.which B.whom C.who3.【2020 •黑龙江绥化】We all like edies __________ make us relaxed.A. whoB. thatC. whom4.【2020 •吉林省】This is the CD_____________ I bought last year.A. whoB. thatC. whom5.【2020 •盐城市】What our society is like is decided by everyone chooses to behave.A. whereB. whenC. howD. why6.【2020•湖北省恩施州】Mary is my English teacher ________ not only teaches me knowledge but also how to be a good person.A.She B.which C.who7..【2020•湖北省十堰市】—We teenagers should look up to the people ______ have made great achievements to our country, like Yuan Longping.—I think so.A.who B.what C.which D.whose8.【2020•鄂州市】I will remember the important people in my life ________ helped and supported me.A. whoB. whichC. whatD. how9.【2020•黄冈市】—Do you know the girl__ is giving the speech?—Of course. She is my best friend, Meimei.A. whichB. whoC. whomD. what10.【2020•怀化市】—Do you like the song Shao Nian?—Yes. I like the songs ______ I can sing along with.A. thatB. whoC. what11.【2020 •广西北部湾经济区】Our teacher told us a funny story ________ made us laugh.A. whenB. whichC. whoD. whom12.【2020 •黑龙江牡丹江、鸡西地区】The house in ________ Lu Xun used to live is now a museum.A. whichB. whereC. that13.【2020 •黑龙江哈尔滨市中考】—What are they talking about?—They are talking about the greatest inventions ________ have made a big difference to our daily life.A. whichB. whoC. that14.【2020 •山东滨州市中考】—Do you know Li Ziqi?—Of course. She is a beautiful girl________has made many videos to show a traditional Chinese way of life.A. whoseB. whereC. whichD. who15.【2020 •四川省成都市中考】The book ________cover has a beautiful picture is Lily's.A. whichB. whoseC. that16【2020 •甘孜州中考】The nurse _____________ is looking after the old man is Tom’s sister.A. whichB. whoC. what17.【2020 •贵州省安顺市中考】In difficult times, there are always national heroes ________ step up and bring people hope.A. whomB. whichC. who18.【2020 •贵州黔东南州中考】Li Wenliang is a brave doctor ________ is known to millions of Chinese people.A. whoB. whichC. whatD. when【2019年】1. 【2019 • 黑龙江省大庆市】The book __________ I read last night was fantastic.A. thatB. whatC. whoseD. who2. 【2019 • 吉林省中考】Mr. Brown is a teacher __________ is strict with all is students.A. whichB. whoC. where3. 【2019 • 甘肃省天水市】—Have you seen the film The Wandering Earth(流浪地球) ?—Yes. It’s the best one __________ I have ever seen.A. thatB. whichC. whatD. it4. 【2019 • 贵州省贵阳市】Wang Yangming is a great educationalist __________ developedmost of his thoughts in Xiuwen.A. whichB. whatC. who5.【2019 • 四川省内江市】The book __________ was written by him is very interesting.A. whoB. whomC. whichD. /6.【2019 • 四川省遂宁市】My mother doesn’t like stories __________ have sad endings.A. thatB. whoC. whereD. those7. 【2019 • 四川省达州市】—Frank, look! Who are the children under the tree __________waiting in a line?—They are the students from No. 1 Primary School.A. that areB. where areC. which isD. who is8.【2019 • 内蒙古呼和浩特市】Sitting down after a walk is relaxing. But would you like to siton a seat __________ tell you your weight?A. /B. whoC. whomD. that9.【2019 • 湖南省湘潭市】On Monday April 15,2019,the fire __________ broke out in NotreDame Cathedral in Paris shocked the world.A. thatB. whoC. where10.【2019 • 广西玉林市】—Hey, Anna, Would you like to see The White Storm with me?—You mean, the new police story __________ was filmed by Chen Musheng.A. whoB. whatC. whoseD. which11. 【2019 • 甘肃省兰州市】The movie ___________ I have seen twice is The Wandering Earth.A. whoB. whichC. whereD. when12. 【2019 • 四川省乐山市】—What are you looking for?—I’m looking for the storybook ___________ you lent to me last week.A. whoB. whichC. when13.【2019 • 山东省临沂市】Peppa Pig (《小猪佩奇》) is a British cartoon ___________ has beenpopular in China and is much loved by little children and their parents.A. whoB. whichC. /14.【2019 • 四川省眉山市】Success always belongs to those ___________ have tried their bestto make their dreams e true.A. whoB. whomC. whoseD. which15. 【2019 • 湖北省随州市】—What kind of movies do you like?—I prefer movies ___________ give me something to think about.A. whichB. whoC. whatD. when16.【2019 • 甘肃省武威市】I prefer music ___________ has great lyrics.A. whoB. whoseC. thatD. /17.【2019 • 湖南省长沙市】China is getting better at making hitech products ___________ canbe bought in all parts of the world.A. whoB. whichC. what18. 【2019 • 广东省中考】Not all children ___________ watch this video will bee a scientist, butsome may bee interested in science.A. whomB. whichC. whoD. whose19. 【2019 • 湖北省鄂州市】—Do you like the weekly talk show The Readers on CCTV?—Sure. It’s a great TV program ___________ can develop the habit of reading.A. whoB. thatC. whatD. whose20. 【2019 • 福建省中考】Du Fuguo is a hero ___________ is known to millions of Chinese people.A. whoB. whichC. what21. 【2019 • 河南省中考】—Do you know the boy over there?—The one ___________ is holding a ball? Oh, that’s my neighbor Phil.A. whatB. whichC. whoD.不填22.【2019 • 黑龙江省哈尔滨市】—Have you got ready for the soccer game?—Yes. I’ve done everything ___________ I can to win the game.A. whoB. thatC. which【答案】B【解析】本题考查定语从句,不定代词everything作先行词,故定语从句引导词用that。
圆中的重要几何模型-隐圆模型(解析版)精选全文完整版

圆中的重要几何模型-隐圆模型隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题,题目常以动态问题出现,有点、线的运动,或者图形的折叠、旋转等,大部分学生拿到题基本没有思路,更谈不上如何解答。
隐圆常见的有以下四种形式,动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆(对角互补或等弦对等角),上述四种动态问题的轨迹是圆。
题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等,此类问题综合性强,隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。
本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1、动点定长模型(圆的定义)若P为动点,但AB=AC=AP,则B、C、P三点共圆,A圆心,AB半径圆的定义:平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.寻找隐圆技巧:若动点到平面内某定点的距离始终为定值,则其轨迹是圆或圆弧.例1.(2020·四川中考真题)已知:等腰直角三角形ABC的腰长为4,点M在斜边AB上,点P为该平面内一动点,且满足PC=2,则PM的最小值为()A.2B.22-2C.22+2D.22【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB=42,由已知条件得到点P在以C为圆心,PC为半径的圆上,当点P在斜边AB的中线上时,PM的值最小,于是得到结论.【详解】解:∵等腰直角三角形ABC的腰长为4,∴斜边AB=42,∵点P为该平面内一动点,且满足PC=2,∴点P在以C为圆心,PC为半径的圆上,当点P在斜边AB的中线上时,PM的值最小,∵△ABC是等腰直角三角形,∴CM=12AB=22,∵PC=2,∴PM=CM-CP=22-2,故选:B.【点睛】本题考查线段最小值问题,涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离,解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解.例2.(2020·江苏连云港市·中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的eO与x轴的正半轴交于点A,点B是eO上一动点,点C为弦AB的中点,直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E,则△CDE面积的最小值为.【答案】2【分析】如图,连接OB,取OA的中点M,连接CM,过点M作MN⊥DE于N.先证明点C的运动轨迹是以M为圆心,1为半径的⊙M,设⊙M交MN于C′.求出MN,当点C与C′重合时,△C′DE 的面积最小.【详解】解:如图,连接OB,取OA的中点M,连接CM,过点M作MN⊥DE于N.∵AC=CB,AM=OM,∴MC=12OB=1,∴点C的运动轨迹是以M为圆心,1为半径的⊙M,设⊙M交MN于C′.∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E,∴D(4,0),E(0,-3),∴OD=4,OE=3,∴DE=OE2+OD2=32+42=5,∵∠MDN=∠ODE,∠MND=∠DOE,∴△DNM∽△DOE,∴MNOE=DMDE,∴MN3=35,∴MN=95,当点C与C′重合时,△C′DE的面积最小,△C′DE的面积最小值=12×5×95-1,故答案为2.【点睛】本题考查三角形的中位线定理,三角形的面积,一次函数的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造三角形的中位线解决问题,属于中考常考题型.例3.(2022·北京市·九年级专题练习)如图,四边形ABCD中,AE、AF分别是BC,CD的中垂线,∠EAF=80°,∠CBD=30°,则∠ABC=,∠ADC=.【答案】 40°; 60°【分析】连接AC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC=AD,从而得到B、C、D在以A为圆心,AB为半径的圆上,根据圆周角定理可得∠DAC=2∠DBC=60°,再由等腰三角形的性质可得∠DAF=∠CAF=30°,即可求解.【详解】解:连接AC,∵AE、AF分别是BC、CD的中垂线,∴AB=AC=AD,∴B、C、D在以A为圆心,AB为半径的圆上,∵∠CBD=30°,∴∠DAC=2∠DBC=60°,∵AF⊥CD,CF=DF,∴∠DAF=∠CAF=30°,∴∠ADC=60°,∵AB=AC,BE=CE,∴∠BAE=∠CAE,又∵∠EAC=∠EAF-∠CAF=80°-30°=50°,∴∠ABC=∠ACE=90°-50°=40°.故答案为:40°,60°.【点睛】本题主要考查了圆周角定理,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,根据题意得到B、C、D在以A为圆心,AB为半径的圆上是解题的关键.例4.(2022·广东·汕头市一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,D是AC上一点,且CD =3,E是BC边上一点,将△DCE沿DE折叠,使点C落在点F处,连接BF,则BF的最小值为.【答案】35-3##-3+35【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心,CD的长度为半径的圆,当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小,根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可.【详解】解:由折叠知,F点的运动轨迹为:以D为圆心,CD的长度为半径的圆,如图所示,可知,当点B、D、F共线,且F在B、D之间时,BF取最小值,∵∠C=90°,AC=8,AB=10,∴BC=6,在Rt△BCD中,由勾股定理得:BD=CD2+BC2=32+62=35,∴BF=BD-DF=35-3,故答案为:35-3.【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识,该题涉及的最值问题属于中考常考题型,根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键.模型2、定边对直角模型(直角对直径)固定线段AB 所对动角∠C 恒为90°,则A 、B 、C 三点共圆,AB 为直径寻找隐圆技巧:一条定边所对的角始终为直角,则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.例1.(2022·湖北·武汉九年级阶段练习)如图,AB 是⊙O 的直径,AB =4,C 为AB的三等分点(更靠近A 点),点P 是⊙O 上一个动点,取弦AP 的中点D ,则线段CD 的最大值为.【答案】3+1【分析】如图,连接OD ,OC ,首先证明点D 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ,连接CK ,当点D 在CK 的延长线上时,CD 的值最大,利用勾股定理求出CK 即可解决问题.【详解】解:如图,连接OD ,OC ,∵AD =DP ,∴OD ⊥PA ,∴∠ADO =90°,∴点D 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ,连接CK ,AC ,当点D 在CK 的延长线上时,CD 的值最大,∵C 为AB的三等分点,∴∠AOC =60°,∴△AOC 是等边三角形,∴CK ⊥OA ,在Rt △OCK 中,∵∠COA =60°,OC =2,OK =1,∴CK =OC 2-OK 2=3,∵DK =12OA =1,∴CD =3+1,∴CD 的最大值为3+1,故答案为:3+1.【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识,解题的关键是正确寻找点D 的运动轨迹,学会构造辅助圆解决问题.例2.(2022·山东泰安·中考真题)如图,四边形ABCD 为矩形,AB =3,BC =4.点P 是线段BC 上一动点,点M 为线段AP 上一点.∠ADM =∠BAP ,则BM 的最小值为()A.52B.125C.13-32D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°,得出点M 在O 点为圆心,以AO 为半径的园上,从而计算出答案.【详解】设AD 的中点为O ,以O 点为圆心,AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心,以AO 为半径的园上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时,BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2,AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选:D .【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质,解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识.例3.(2022·内蒙古·中考真题)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AC 为直径,若AB =23,BC =3,点P 从B 点出发,在△ABC 内运动且始终保持∠CBP =∠BAP ,当C ,P 两点距离最小时,动点P 的运动路径长为.【答案】33π.【分析】根据题中的条件可先确定点P 的运动轨迹,然后根据三角形三边关系确定CP 的长最小时点P 的位置,进而求出点P 的运动路径长.【详解】解:∵AC 为⊙O 的直径,∴∠ABC =90°.∴∠ABP +∠PBC =90°.∵∠PAB =∠PBC ,∴∠PAB +∠ABP =90°.∴∠APB =90°.∴点P 在以AB 为直径的圆上运动,且在△ABC 的内部,如图,记以AB 为直径的圆的圆心为O 1,连接O 1C 交⊙O 1于点P ,连接O 1P ,CP .∵CP ≥O 1C -O 1P ,∴当点O 1,P ,C 三点共线时,即点P 在点P 处时,CP 有最小值,∵AB =23∴O 1B =3在Rt ΔBCO 1中,tan ∠BO 1C =BC O 1B =33= 3.∴∠BO1C =60°.∴BP =60π×3180=33π.∴.C ,P 两点距离最小时,点P 的运动路径长为33π.【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角,弧长公式,由锐角正切值求角度,确定点P 的路径是解答本题的关键.模型3、定边对定角模型(定弦定角模型)固定线段AB 所对同侧动角∠P =∠C ,则A 、B 、C 、P 四点共圆根据圆周角定理:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都相.寻找隐圆技巧:AB 为定值,∠P 为定角,则P 点轨迹是一个圆.例1.(2021·广东·中考真题)在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =3.点D 为平面上一个动点,∠ADB =45°,则线段CD 长度的最小值为.【答案】5-2【分析】由已知∠ADB =45°,AB =2,根据定角定弦,可作出辅助圆,由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知,点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上,线段CD 长度的最小值为CO -OD .【详解】如图:以12AB 为半径作圆,过圆心O 作ON ⊥AB ,OM⊥BC ,以O 为圆心OB 为半径作圆,则点D 在圆O 上,∵∠ADB =45°∴∠AOB =90°∵AB =2AN =BN =1∴AO =12+12=2∵ON =OM =12AB =1,BC =3∴OC =12+(3-1)2=5∴CO -OD =5-2线段CD 长度的最小值为:5-2.故答案为:5-2.【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系,圆外一点到圆上的线段最短距离,勾股定理,正确的作出图形是解题的关键.例2.(2022·浙江湖州·中考真题)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点.如图,在6×6的正方形网格图形ABCD 中,M ,N 分别是AB ,BC 上的格点,BM =4,BN =2.若点P 是这个网格图形中的格点,连接PM ,PN ,则所有满足∠MPN =45°的△PMN 中,边PM 的长的最大值是()A.42B.6C.210D.35【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半,过点M 、N 作以点O 为圆心,∠MON =90°的圆,则点P 在所作的圆上,观察圆O 所经过的格点,找出到点M 距离最大的点即可求出.【详解】作线段MN 中点Q ,作MN 的垂直平分线OQ ,并使OQ =12MN ,以O 为圆心,OM 为半径作圆,如图,因为OQ 为MN 垂直平分线且OQ =12MN ,所以OQ =MQ =NQ ,∴∠OMQ =∠ONQ =45°,∴∠MON =90°,所以弦MN 所对的圆O 的圆周角为45°,所以点P 在圆O 上,PM 为圆O 的弦,通过图像可知,当点P 在P 位置时,恰好过格点且P M 经过圆心O ,所以此时P M 最大,等于圆O 的直径,∵BM =4,BN =2,∴MN =22+42=25,∴MQ =OQ =5,∴OM =2MQ =2×5=10,∴P M =2OM =210,故选C .【点睛】此题考查了圆的相关知识,熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦,会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键.例3.(2022·广西贵港·中考真题)如图,在边长为1的菱形ABCD 中,∠ABC =60°,动点E 在AB 边上(与点A 、B 均不重合),点F 在对角线AC 上,CE 与BF 相交于点G ,连接AG ,DF ,若AF =BE ,则下列结论错误的是()A.DF =CEB.∠BGC =120°C.AF 2=EG ⋅ECD.AG 的最小值为223【答案】D 【分析】先证明△BAF ≌△DAF ≌CBE ,△ABC 是等边三角形,得DF =CE ,判断A 项答案正确,由∠GCB +∠GBC =60゜,得∠BGC =120゜,判断B 项答案正确,证△BEG ∽△CEB 得BE GE=CE BE ,即可判断C 项答案正确,由∠BGC =120°,BC =1,得点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上,易得当点G 在等边△ABC 的内心处时,AG 取最小值,由勾股定理求得AG =33,即可判断D 项错误.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,∠ABC =60°,∴AB =AD =BC =CD ,∠BAC =∠DAC =12∠BAD =12×(180°-∠ABC )=60°=∠ABC ,∴△BAF ≌△DAF ≌CBE ,△ABC 是等边三角形,∴DF =CE ,故A 项答案正确,∠ABF =∠BCE ,∵∠ABC =∠ABF +∠CBF =60゜,∴∠GCB +∠GBC =60゜,∴∠BGC =180゜-60゜=180゜-(∠GCB +∠GBC )=120゜,故B 项答案正确,∵∠ABF =∠BCE ,∠BEG =∠CEB ,∴△BEG ∽△CEB ,∴BE GE=CE BE ,∴BE 2=GE ∙CE ,∵AF =BE ,∴AF 2=GE ∙CE ,故C 项答案正确,∵∠BGC =120°,BC =1,点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上,∴当点G 在等边△ABC 的内心处时,AG 取最小值,如下图,∵△ABC 是等边三角形,BC =1,∴BF ⊥AC ,AF =12AC =12,∠GAF =30゜,∴AG =2GF ,AG 2=GF 2+AF 2,∴AG 2=12AG 2+12 2,解得AG =33,故D 项错误,故应选:D 【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理,熟练掌握菱形的性质是解题的关键.模型4、四点共圆模型(对角互补模型与等弦对等角)1)若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足∠ABC +∠ADC =180°,则A 、B 、C 、D 四点共圆.条件:1)四边形对角互补;2)四边形外角等于内对角.2)若平面上A、B、C、D四个点满足∠ADB=∠ACB,则A、B、C、D四点共圆.条件:线段同侧张角相等.例1.(2022·广东·九年级专题练习)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ACD=30°,AD =2,E是AC的中点,连接DE,则线段DE长度的最小值为.【答案】3-1【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形,得到∠ACD=∠ABD=30°,根据题意知点E在以FG为直径的⊙P上,连接PD交⊙P于点E,此时DE长度取得最小值,证明∠APD=90°,利用含30度角的直角三角形的性质求解即可.【详解】解:∵∠BAD=∠BCD=90°,∴四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ACD=∠ABD=30°,∴∠ADB=60°,∵AD=2,∴BD=2AD=4,分别取AB、AD的中点F、G,并连接FG,EF,EG,∵E是AC的中点,∴EF∥BC,EG∥CD,∴∠AEF=∠ACB,∠AEG=∠ACD,∴∠AEF+∠AEG=∠ACB+∠ACD=90°,即∠FEG=90°,∴点E在以FG为直径的⊙P上,如图:当点E恰好在线段PD上,此时DE的长度取得最小值,连接PA,BD=2,∴∵F、G分别是AB、AD的中点∴FG∥BD,FG=12∠ADB=∠AGF=60°,∵PA=PG,∴△APG是等边三角形,∴∠APG=60°,∵PG=GD=GA,且∠AGF=60°,∴∠GPD=∠GDP=30°,∴∠APD=90°,∴PD=AD2-PA2=22-12=3,∴DE长度的最小值为(3-1).故答案为:(3-1).【点睛】本题考查了圆周角定理,圆内接四边形的性质,等边三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质,得到点E 在以FG 为直径的⊙P 上是解题的关键.例2.(2022陕西中考模拟)如图,在等边△ABC 中,AB =6,点P 为AB 上一动点,PD ⊥BC 于点D ,PE ⊥AC 于点E ,则DE 的最小值为.【答案】92【详解】如解图,∵∠PEC =∠PDC =90°,故四边形PDCE 对角互补,故P 、D 、C 、E 四点共圆,∠EOD =2∠ECD =120°,故ED =3R ,要使得DE 最小,则要使圆的半径R 最小,故直径PC 最小,当CP ⊥AB 时,PC 最短为33,故R =332,故DE =3R =3×332=92.例3.(2022江苏九年级期末)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC =3,AC =4,点P 为平面内一点,且∠CPB =∠A ,过C 作CQ ⊥CP 交PB 的延长线于点Q ,则CQ 的最大值为()A.175B.154C.455D.655【答案】B【分析】根据题意可得A 、B 、C 、P 四点共圆,由AA 定理判定三角形相似,由此得到CQ 的值与PC 有关,当PC 最大时CQ 即取最大值.【详解】解:∵在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠CPB =∠A ,BC =3,AC =4∴A 、B 、C 、P 四点共圆,AB 为圆的直径,AB =BC 2+AC 2=5∵CQ ⊥CP ∴∠ACB =∠PCQ =90°∴△ABC ∽△PQC∴AC BC =PC CQ ,43=PC CQ,即CQ =34PC ∴当PC 取得最大值时,CQ 即为最大值∴当PC =AB =5时,CQ 取得最大值为154故选:B .【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆,掌握同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等确定四点共圆,利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键.课后专项训练例4.(2022·江苏无锡·中考真题)△ABC是边长为5的等边三角形,△DCE是边长为3的等边三角形,直线BD与直线AE交于点F.如图,若点D在△ABC内,∠DBC=20°,则∠BAF=°;现将△DCE绕点C旋转1周,在这个旋转过程中,线段AF长度的最小值是.【答案】 80 4-3##-3+4【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC,得到∠DBC=∠EAC=20°,据此可求得∠BAF的度数;利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°,推出A、B、C、F四个点在同一个圆上,当BF是圆C的切线时,即当CD⊥BF时,∠FBC最大,则∠FBA最小,此时线段AF长度有最小值,据此求解即可.【详解】解:∵△ABC和△DCE都是等边三角形,∴AC=BC,DC=EC,∠BAC=∠ACB=∠DCE =60°,∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°,即∠DCB=∠ECA,在△BCD和△ACE中,CD=CE∠BCD=∠ACE BC=AC,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠EAC=∠DBC,∵∠DBC=20°,∴∠EAC=20°,∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°;设BF与AC相交于点H,如图:∵△ACE≌△BCD∴AE=BD,∠EAC=∠DBC,且∠AHF=∠BHC,∴∠AFB=∠ACB=60°,∴A、B、C、F四个点在同一个圆上,∵点D在以C为圆心,3为半径的圆上,当BF是圆C的切线时,即当CD⊥BF时,∠FBC最大,则∠FBA最小,∴此时线段AF长度有最小值,在Rt△BCD中,BC=5,CD=3,∴BD=52-32=4,即AE=4,∴∠FDE=180°-90°-60°=30°,∵∠AFB=60°,∴∠FDE=∠FED=30°,∴FD=FE,过点F作FG⊥DE于点G,∴DG=GE=32,∴FE=DF=DGcos30°=3,∴AF=AE-FE=4-3,故答案为:80;4-3.【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,圆周角定理,切线的性质,解直角三角形,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.例5.(2021·湖北鄂州·中考真题)如图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =23,BC =3.点P 为ΔABC 内一点,且满足PA 2+PC 2=AC 2.当PB 的长度最小时,ΔACP 的面积是()A.3B.33C.334D.332【答案】D 【分析】由题意知∠APC =90°,又AC 长度一定,则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心,12AC 长为半径的圆弧,所以当B 、P 、O 三点共线时,BP 最短;在Rt ΔBCO 中,利用勾股定理可求BO 的长,并得到点P 是BO 的中点,由线段长度即可得到ΔPCO 是等边三角形,利用特殊Rt ΔAPC 三边关系即可求解.【详解】解:∵PA 2+PC 2=AC 2∴∠APC =90°取AC 中点O ,∴AO =PO =CO =12AC 点P 的轨迹为以O 为圆心,12AC 长为半径的圆弧上由题意知:当B 、P 、O 三点共线时,BP 最短∵CO =12AC =12×23=3,BC =3∴BO =BC 2+CO 2=23∴BP =BO -PO =3∴点P 是BO 的中点∴在Rt ΔBCO 中,CP =12BO =3=PO ∴ΔPCO 是等边三角形∴∠ACP =60°∴在Rt ΔAPC 中,AP =CP ×tan60°=3∴S ΔAPC =12AP ×CP =3×32=332.【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题,属于动态几何综合题型,中档难度.解题的关键是找到动点P 的运动轨迹,即隐形圆.例6.(2020·西藏中考真题)如图,在矩形ABCD 中,E 为AB 的中点,P 为BC 边上的任意一点,把沿PE 折叠,得到,连接CF .若AB =10,BC =12,则CF 的最小值为.【答案】8【分析】点F 在以E 为圆心、EA 为半径的圆上运动,当E 、F 、C 共线时时,此时FC 的值最小,根据勾股定理求出CE ,再根据折叠的性质得到BE =EF =5即可.【详解】如图所示,点F 在以E 为圆心EA 为半径的圆上运动,当E 、F 、C 共线时时,此时CF 的值最小,根据折叠的性质,△EBP ≌△EFP ,∴EF ⊥PF ,EB =EF ,∵E 是AB 边的中点,AB =10,∴AE =EF =5,∵AD =BC =12,∴CE ===13,∴CF =CE -EF =13-5=8.故答案为8.【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用,灵活应用相关知识是解答本题的关键.例7.(2022·北京·清华附中九年级阶段练习)如图,四边形ABCD 中,DA =DB =DC ,∠BDC =72°,则∠BAC 的度数为.【答案】36°##36度【分析】根据题意可得A ,B ,C 三点在以D 为圆心DA 为半径的圆上,根据圆周角定理即可求解.【详解】解:如图,∵DA =DB =DC ,∴A ,B ,C 三点在以D 为圆心DA 为半径的圆上,∵∠BDC =72°,CB =CB ∴∠BAC =12∠BDC =36°.故答案为:36°.【点睛】本题考查了圆周角定理,掌握圆周角定理是解题的关键.例8.(2022·河北·唐山九年级阶段练习)如图所示,在四边形ABCD 中,AB =AC =AD ,∠BAC =26°,∠CAD =74°,则∠BCD =°,∠DBC °.【答案】 130 37【分析】根据题意可得点B,C,D在以A为圆心的圆上,根据圆周角定理求得∠BDC,∠DBC,根据三角形内角和定理求得∠BCD.【详解】∵AB=AC=AD,∴点B,C,D在以A为圆心的圆上,∵∠BAC=26°∴∠BDC=12∠BAC=13°,∵∠CAD=74°,∴∠DBC=12∠CAD=37°.∴∠BCD=180-∠DBC-∠BDC=180°-13°-37°=130°故答案为:130,37【点睛】此题考查了圆周角定理,三角形内角和定理,综合运用以上知识是解题的关键.例9.(2022·安徽蚌埠·一模)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=8,BC=6,P是△ABC内部的一个动点,满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为()A.325B.2C.213-6D.213-4【答案】D【分析】结合题意推导得∠APB=90°,取AB的中点O,以点O为圆心,AB为直径作圆,连接OP;根据直角三角形斜边中线的性质,得OP=OA=OB=12AB=4;根据圆的对称性,得点P在以AB为直径的⊙O上,根据两点之间直线段最短的性质,得当点O、点P、点C三点共线时,PC最小;根据勾股定理的性质计算得OC,通过线段和差计算即可得到答案.【详解】∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°,∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,取AB的中点O,以点O为圆心,AB为直径作圆,连接OP,∴OP=OA=OB=12AB=4∴点P在以AB为直径的⊙O上,连接OC交⊙O于点P,当点O、点P、点C三点共线时,PC最小在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=6,OB=4,∴OC=BO2+BC2=42+62=213,∴PC=OC-OP=213-4∴PC最小值为213-4故选:D.【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识;解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质,从而完成求解.例10.(2022·成都市·九年级专题练习)如图,在Rt ΔABC 中,∠ACB =Rt ∠,AC =8cm ,BC =3cm .D 是BC 边上的一个动点,连接AD ,过点C 作CE ⊥AD 于E ,连接BE ,在点D 变化的过程中,线段BE 的最小值是()A.1B.3C.2D.5【答案】A 【分析】由∠AEC =90°知,点E 在以AC 为直径的⊙M 的CN 上(不含点C 、可含点N ),从而得BE最短时,即为连接BM 与⊙M 的交点(图中点E ′点),BE 长度的最小值BE ′=BM -ME ′.【详解】如图,由题意知,∠AEC =90°,∴E 在以AC 为直径的⊙M 的CN上(不含点C 、可含点N ),∴BE 最短时,即为连接BM 与⊙M 的交点(图中点E ′点),在Rt ΔBCM 中,BC =3cm ,CM =12AC =4cm ,则BM =BC 2+CM 2=5cm .∵ME ′=MC =4cm ,∴BE 长度的最小值BE ′=BM -ME ′=1cm ,故选:A .【点睛】本题主要考查了勾股定理,圆周角定理,三角形的三边关系等知识点,难度偏大,解题时,注意辅助线的作法.例11.(2022·广东·九年级课时练习)如图,△ACB 中,CA =CB =4,∠ACB =90°,点P 为CA 上的动点,连BP ,过点A 作AM ⊥BP 于M .当点P 从点C 运动到点A 时,线段BM 的中点N 运动的路径长为()A.22πB.2πC.3πD.2π【答案】A【详解】解:设AB 的中点为Q ,连接NQ ,如图所示:∵N 为BM 的中点,Q 为AB 的中点,∴NQ 为△BAM 的中位线,∵AM ⊥BP ,∴QN ⊥BN ,∴∠QNB =90°,∴点N 的路径是以QB 的中点O 为圆心,14AB 长为半径的圆交CB 于D 的QD,∵CA =CB =4,∠ACB =90°,∴AB =2CA =42,∠QBD =45°,∴∠DOQ =90°,∴QD 为⊙O 的14周长,∴线段BM 的中点N 运动的路径长为:90π×14×42180=22π,故选:A .例12.(2022·全国·九年级专题练习)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,AB =4cm ,CD 是中线,点E 、F 同时从点D 出发,以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动,当点E 到达点C 时,运动停止,直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ,则在点E 、F 移动过程中,点G 移动路线的长度为()A.2B.πC.2πD.22π【答案】D【详解】解:如图,∵CA =CB ,∠ACB =90°,AD =DB ,∴CD ⊥AB ,∴∠ADE =∠CDF =90°,CD =AD =DB ,在△ADE 和△CDF 中AD =CD∠ADE =∠CDF DE =DF,∴△ADE ≌△CDF (SAS ),∴∠DAE =∠DCF ,∵∠AED =∠CEG ,∴∠ADE =∠CGE =90°,∴A 、C 、G 、D 四点共圆,∴点G 的运动轨迹为弧CD ,∵AB =4,AB =2AC ,∴AC =22,∴OA =OC =2,∵DA =DC ,OA =OC ,∴DO ⊥AC ,∴∠DOC =90°,∴点G 的运动轨迹的长为90π×2180=22π.故选:D .例13.(2022·山西·九年级课时练习)如图,在等腰Rt ∆ABC 中,AC =BC =42,点P 在以斜边AB 为直径的半圆上,M 为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时,点M 运动的路径长是()A.22π+4B.2πC.42+2D.4π【答案】B 【详解】分析:取AB 的中点O 、AC 的中点E 、BC 的中点F ,连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ,如图,利用等腰直角三角形的性质得到AB =2BC =8,则OC =12AB =4,OP =12AB =4,再根据等腰三角形的性质得OM ⊥PC ,则∠CMO =90°,于是根据圆周角定理得到点M 在以OC 为直径的圆上,由于点P 点在A 点时,M 点在E 点;点P 点在B 点时,M 点在F 点,则利用四边形CEOF 为正方得到EF =OC =4,所以M 点的路径为以EF 为直径的半圆,然后根据圆的周长公式计算点M 运动的路径长.详解:取AB 的中点O 、AC 的中点E 、BC 的中点F ,连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ,如图,∵在等腰Rt △ABC 中,AC =BC =42,∴AB =2BC =8,∴OC =12AB =4,OP =12AB =4. ∵M 为PC 的中点,∴OM ⊥PC ,∴∠CMO =90°,∴点M 在以OC为直径的圆上,点P 点在A 点时,M 点在E 点;点P 点在B 点时,M 点在F 点,易得四边形CEOF 为正方形,EF =OC =4,∴M 点运动的路径为以EF 为直径的半圆,∴点M 运动的路径长=12•4π=2π. 故选B .点睛:本题考查了轨迹:点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹.解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M 点的轨迹为以EF 为直径的半圆.例14.(2022·山东·烟台九年级期中)如图,平面直角坐标系中,点A 、B 坐标分别为(3,0)、(0,4),点C 是x 轴正半轴上一点,连接BC .过点A 垂直于AB 的直线与过点C 垂直于BC 的直线交于点D ,连接BD ,则sin ∠BDC 的值是.【答案】45【分析】根据图形的特点证明∠BDC =∠BAO ,故可出sin ∠BDC 的值.【详解】∵BA ⊥AD ,BC ⊥CD ∴∠BAD =∠BCD =90°∴A 、B 、C 、D 四点共圆∴∠BDA =∠BCA∵∠BDA +∠DBA =∠BCA +∠CBO =90°∴∠DBA =∠CBO∴∠DBA -∠CBA =∠CBO -∠CBA 即∠DBC =∠ABO又∠DBC +∠BDC =∠ABO +∠BAO =90°∴∠BDC =∠BAO∵点A 、B 坐标分别为(3,0)、(0,4),∴BO =4,OA =3,AB =42+32=5∴sin ∠BAO =BO AB=45∴sin ∠BDC =45故答案为:45.【点睛】此题主要考查三角函数的求解,解题的关键是熟知四点共圆的性质、勾股定理及三角函数的求解方法.例15.(2022·湖北·九年级期中)如图,△ABC 中,AC =BC =6,∠ACB =90°,若D 是与点C 在直线AB 异侧的一个动点,且∠ADB =45°,则CD 的最大值为.【答案】62+6##6+62【分析】以AB 为底边,在AB 的下方作等腰三角形AOB ,则OA =AC =6,根据∠ADB =45°,点与圆的位置关系可知,点D 在以O 为圆心,6为半径的圆上运动,当CD 过圆心时,CD 最大,根据OA =AC =6,∠CAO =90°,利用勾股定理可求出CO 的长,即可得.【详解】解:如图所示,以AB 为底边,在AB 的下方作等腰三角形AOB ,则OA =AC =6,∵∠ADB =45°,∴点D 在以O 为圆心,6为半径的圆上运动,当CD 过圆心时,CD 最大,∵OA =AC =6,∠CAO =90°,∴CO =62+62=62,∴CD 的最大值为:62+6,故答案为:62+6.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,圆周角定理,勾股定理,解题的关键是理解题意,掌握这些知识点.例16.(2022·浙江·九年级专题练习)如图,AB 是Rt △ABC 和Rt △ABD 的公共斜边,AC =BC ,∠BAD =32°,E 是AB 的中点,联结DE 、CE 、CD ,那么∠ECD =°.【答案】13【分析】先证明A 、C 、B 、D 四点共圆,得到∠DCB 与∠BAD 的是同弧所对的圆周角的关系,得到∠DCB 的度数,再证∠ECB =45°,得出结论.【详解】解:∵AB 是Rt △ABC 和Rt △ABD 的公共斜边,E 是AB 中点,∴AE =EB =EC =ED ,∴A 、C 、B 、D 在以E 为圆心的圆上,∵∠BAD =32°,∴∠DCB =∠BAD =32°,又∵AC =BC ,E 是Rt △ABC 的中点,∴∠ECB =45°,∴∠ECD =∠ECB -∠DCB =13°.故答案为:13.【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题,综合性较强.例17.(2022·黑龙江·九年级阶段练习)如图,等边△ABC 中,D 在BC 上,E 在AC 上,BD =CE ,连BE 、AD 交于F ,T 在EF 上,且DT =CE ,AF =50,TE =16,则FT =.【答案】17【分析】用“SAS ”可判定△ABD ≌△BCE ,得到∠AFE =60°,延长FE 至点G ,使得FG =FA ,连AG ,AT ,得到△AFG 是等边三角形,证明A 、B 、D 、T 四点共圆,设法证明△FAT ≌△GAE (ASA ),即可求得答案.【详解】∵△ABC 为等边三角形,∴AB =AC =BC ,∠ABD =∠BCE =60°,在△ABD 和△BCE 中,AB =BC∠ABD =∠BCE =60°BD =CE,∴△ABD ≌△BCE (SAS ),∴∠BAD =∠CBE ,∵∠ADC =∠CBE +∠BFD =∠BAD +∠B ,∴∠BFD =∠B =∠AFE =60°;延长FE 至点G ,使得FG =FA ,连AG ,AT ,∵∠AFE =60°,∴△AFG 是等边三角形,∴AG =AF =FG =50,∠AGF =∠FAG =60°,∵∠BAF +∠EAF =∠CAG +∠EAF =60°,∴∠BAF =∠CAG ,∵DT =CE ,∴∠DBT =∠BTD ,∵∠BAD =∠CBE ,∴∠BAD =∠BTD ,∴A 、B 、D 、T 四点共圆,∴∠BAD =∠DAT ,∴∠FAT =∠GAE ,在△FAT 和△GAE 中,∠FAT =∠GAEAF =AG ∠AFG =∠AGF =60°,∴△FAT ≌△GAE (ASA ),∴FT =GE ,∵FG =50,TE =16,∴FT =12(FG -TE )=17.故答案为:17.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,圆周角定理等,作出辅助线,判断出△FAT ≌△GAE 是解本题的关键.例18.(2020·四川成都·二模)如图,在矩形ABCD 中,AB =9,AD =6,点O 为对角线AC 的中点,点E 在DC 的延长线上且CE =1.5,连接OE ,过点O 作OF ⊥OE 交CB 延长线于点F ,连接FE 并延长交AC 的延长线于点G ,则FG OG=.【答案】455【分析】作OM ⊥CD 于M ,ON ⊥BC 于N ,根据三角形中位线定理分别求出OM 、ON ,根据勾股定理求出OE ,根据相似三角形的性质求出FN ,得到FC 的长,证明△GFC ∽△GOE ,根据相似三角形的性质列出比例式,代入计算得到答案.【详解】解:作OM ⊥CD 于M ,ON ⊥BC 于N ,∵四边形ABCD 为矩形,∴∠D =90°,∠ABC =90°,∴OM ∥AD ,ON ∥AB ,∵点O 为AC 的中点∴OM =12AD =3,ON =12AB =4.5,CM =4.5,CN =3,∵CE =1.5,∴ME =CM +CE =6在Rt △OME 中,OE =OM 2+ME 2=32+62=35,∵∠MON =90°,∠EOF =90°,∴∠MOE +∠NOE =∠NOF +∠NOE =90°,∴∠MOE =∠NOF ,又∠OME =∠ONF =90°,∴△OME ∽△ONF ,∴OM ON=ME FN ,即34.5=6FN ,解得,FN =9,∴FC =FN +NC =12,∵∠FOE =∠FCE =90°,∴F 、O 、C 、E 四点共圆,∴∠GFC =∠GOE ,又∠G =∠G ,∴△GFC ∽△GOE ,∴FG OG =FC OE =1235=455,故答案为:455.【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.例19.(2022·成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级阶段练习)如图,在△ABC 中,AC =6,BC =83,∠ACB =60°,过点A 作BC 的平行线l ,P 为直线l 上一动点,⊙O 为△APC 的外接圆,直线BP 交⊙O 于E 点,则AE 的最小值为.【答案】2【分析】如图,连接CE .首先证明∠BEC =120°,根据定弦定角,可得点E 在以M 为圆心,MB 为半径的BC 上运动,连接MA 交BC 于E ′,此时AE ′的值最小.【详解】解:如图,连接CE .∵AP ∥BC ,∴∠PAC =∠ACB =60°,∴∠CEP =∠CAP=60°,∴∠BEC =120°,∵BC =83,为定值,则点E 的运动轨迹为一段圆弧如图,点E 在以M 为圆心,MB 为半径的BC 上运动,过点M 作MN ⊥BC∴⊙M 中优弧BC 度数为2∠BEC =240°,则劣弧BC 度数为120°∴△BMC 是等腰三角形,∠BMC =120°,∵∠BCM =30°,BC =83,MB =MC∴BN =BM 2-MN 2==3MN =12BC =43∴MB =MC =8,∴连接MA 交BC 于E ′,此时AE ′的值。
隐圆模型(解析版)

隐圆模型(解析版)隐圆模型触发隐圆模型的类型1.动点定长模型:如果P是动点,但AB=AC=AP,则B、C、P三点共圆,以A为圆心,AB为半径。
2.直角圆周角模型:固定线段AB所对动角∠XXX为90°,则A、B、C三点共圆,以AB为直径。
3.定弦定角模型:固定线段AB所对动角∠P为定值,则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆。
原理:在圆A中,AB=AC=AP。
常常通过全等或相似证明出定长。
4.四点共圆模型①:如果动角∠A+动角∠C=180°,则A、B、C、D四点共圆。
原理:圆内接四边形对角互补。
注意:点A与点C在线段AB异侧。
5.四点共圆模型②:固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C,则A、B、C、P四点共圆。
原理:弦AB所对同侧圆XXX相等。
注意:点P与点C需在线段AB同侧。
圆中旋转最值问题条件:线段AB绕点O旋转一周,点M是线段AB上的一动点,点C是定点。
1.求CM最小值与最大值。
2.求线段AB扫过的面积。
3.求△XXX的最大值与最小值。
作法:建立三个同心圆,作OM⊥AB,B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆。
结论:① CM1最小,CM3最大。
②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积。
③△ABC最小值以AB为底,CM1为高;最大值以AB 为底,CM2为高。
典题探究例题1:在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△XXX沿MN所在直线翻折得到△A`MN,连接A`C,则A`C长度的最小值是多少?分析:考虑△XXX沿MN所在直线翻折得到△A’MN,可得MA’=MA=1,所以A’轨迹是以M点为圆心,MA为半径的圆弧。
连接CM,与圆的交点即为所求的A’,此时A’C的值最小。
构造直角△MHC,勾股定理求CM,再减去A’M即可,答案为7-1.注:删除了明显有问题的段落,对每段话进行了小幅度改写,使其更加简洁明了。
题目格式已经整理好了,以下是改写后的文章:在直角三角形ABC中,角C为90度,AC等于6,BC等于8.点F在边AC上,且CF等于2.点E为边BC上的动点。
专题11 多面手问题(原卷版)

专题11 多面手问题【方法技巧与总结】解含有约束条件的排列组合问题,即多面手问题,可元素的性质进行分类,接事件发生的连续过程分步,做到标准明确.分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定,要贯穿于解题过程的始终.【典型例题】例1.(2023·全国·高三专题练习)我校去年11月份,高二年级有10人参加了赴日本交流访问团,其中3人只会唱歌,2人只会跳舞,其余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演,3人唱歌,3人跳舞,有()种不同的选法.A.675B.575C.512D.545例2.(2023·全国·高三专题练习)某国际旅行社现有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人既会英语又会法语,现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则共有()种不同的选法A.225B.185C.145D.110例3.(2023·全国·高三专题练习)“赛龙舟”是端午节的习俗之一,也是端午节最重要的节日民俗活动之一,在我国南方普遍存在端午节临近,某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛,参加训练的8名队员中有3人只会划左桨,3人只会划右桨,2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有()A.26种B.30种C.37种D.42种例4.(2023·全国·高三专题练习)某龙舟队有9名队员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有()A.56种B.68种C.74种D.92种例5.(2023春·湖北十堰·高二统考期末)某龙舟队有8名队员,其中3人只会划左桨,3人只会划右桨,2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有()A.26种B.30种C.37种D.42种例6.(2023春·安徽六安·高二六安一中阶段练习)在11名工人中,有5人只当钳工, 4人只当车工,另外2人既会钳工又会车工,现从11人中选出4人当钳工, 4人当车工,则共有()种不同的选法.A.120B.125C.180D.185例7.(2023春·宁夏·高二宁夏长庆高级中学校考期中)某公园有P,Q,R三只小船,P船最多可乘3人,Q船最多可乘2人,R船只能乘1人,现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船,规定有小孩的船必须有大人,共有不同的乘船方法为A.36种B.33种C.27种D.21种例8.(2023·全国·高三专题练习)有6 名学生,其中有3 名会唱歌,2 名会跳舞,1名既会唱歌又会跳舞,现从中选出2 名会唱歌的,1名会跳舞的,去参加文艺演出,求所有不同的选法种数为A.18B.15C.16D.25例9.(2023秋·河南南阳·高二校考阶段练习)我校去年11月份,高二年级有9人参加了赴日本交流访问团,其中3人只会唱歌,2人只会跳舞,其余4人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演,3人唱歌,3人跳舞,有______种不同的选法例10.(2023春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末)“赛龙舟”是端午节的习俗之一,也是端午节最重要的节日民俗活动之一,某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛,参加训练的8名队员中有3人只会划左桨,3人只会划右桨,2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有__________种.例11.(2023秋·辽宁朝阳·高三校考期中)现有7名志愿者,其中只会俄语的有3人,既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作,2人担任英语翻译,2人担任俄语翻译,共有_______种不同的选法.例12.(2023·上海·高三专题练习)6名男生4名女生共10人,要从这10个人中选出3人共同去完成某项任务,要求这3人中至少要有1个女生,则不同的选法有_________种.例13.(2023秋·海南·高二海南华侨中学校考期末)6名学生,其中3人只会唱歌,2人只会跳舞,剩下1人既会唱歌又会跳舞,选出2人唱歌2人跳舞,共有______种不同的选法.(请用数学作答)例14.(2023春·四川广安·高二四川省武胜烈面中学校校考期中)6名工人,其中2人只会电工,3人只会木工,还有1人既会电工又会木工,选出电工2人木工2人,共有______种不同的选法.例15.(2023春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中)在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有___________种选派方法(填数字).例16.(2023春·山西·高二临汾第一中学校校考期中)某公园现有甲、乙、丙三只小船,甲船可乘3人,乙船可乘2人,丙船可乘1人,今有三个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人),为安全起见,儿童必须由成人陪同方可乘船,则分乘这些船只的方法有______种(用数字作答).例17.(2023·高二课时练习)有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,其他5人既会划左舷又会划右舷,现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?例18.(2023·二年级单元测试)某公园有P,Q,R三只小艇,P艇最多可乘3人,Q艇最多可乘2人,R艇只能乘1人,现在3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小艇,规定有小孩的艇必须有大人,共有多少种不同的乘艇方法?例19.(2023春·上海闵行·高二闵行中学校考期中)在一次演唱会上共10 名演员(每名演员都会唱歌或跳舞),其中7人能唱歌,6人会跳舞.(1)问既能唱歌又会跳舞的有几人?(2)现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少种选派方法?例20.(2023·全国·高三专题练习)有11名翻译人员,其中5名是英语翻译人员,4名是日语翻译人员,另2人英、日语均精通.现从中选出8人组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,则有多少种不同的选派方式?例21.(2023春·山东烟台·高二烟台二中校考阶段练习)有11名外语翻译人员,其中5名英语翻译员,4名日语翻译员,另两名英,日语都精通,从中找出8人,使他们可以组成两个翻译小组,其中4人翻译英文,另4人翻译日文,这两个小组能同时工作,问这样的8人名单共可开出几张?。
高考数学 小专题2---隐圆问题

隐圆问题一【问题背景】有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里,隐晦地考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系.解题时,需要我们通过分析探索,发现这些隐藏的圆(简称隐圆),再利用和圆有关的一些知识进行求解.二、【范例】1.点和隐圆例1 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :22650x y x +-+=,点,A B 在圆C 上,且AB =OA OB +的最大值是 .分析与解:圆C 即22(3)4x y -+=,圆心为(3,0),半径为2如图,取AB 中点D ,连结CD ,则结合垂径定理和勾股定理 易得1CD =.因此动点D 在以(3,0)C 为圆心,1为半径的圆上运 动,此圆方程为:22(3)1x y -+=.另一方面,由于D 为AB 的中点,所以2OA OB OD +=,则2OA OB OD +=,因而只要求圆22(3)1x y -+=上一动点D 到定点O 距离的最大值,易知此最大值为14OC +=,故OA OB +的最大值是8. 说明:OA OB +的最小值是2(1)4OC -=.例2 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:16O x y +=,点(1,2)P ,,M N 为圆O 上的不同的两点,且0PM PN ⋅=,若PQ PM PN =+,则PQ 的最小值为 .解:如图,取MN 中点A ,连结OA ,ON , 则2PQ PM PN PA =+=,设(,)A x y ,因为A 为MN 的中点,所以OA MN ⊥, 则2222216()AN ON OA x y =-=-+,又因为0PM PN ⋅=,所以PA AN =,即2222(1)(2)16()x y x y -+-=-+,所以 22127()(1)24x y -+-=, 故点A 在以1(,1)2B为圆心,半径R = 显然定点(1,2)P 在此圆内,因而求PA 的最小值即为求定点(1,2)P 与圆B :22127()(1)24x y -+-=上一点距离的最2BP =,故PQ的最小值为- 说明:PQ的最大值为.2.直线和隐圆例3 已知动点M 与两个定点)0,3(),0,0(A O 的距离之比为21,那么直线AM 的斜率的取值范围是 .解:先求动点M 的轨迹方程.设),(y x M ,由21=MA MO 得21)3(2222=+-+y x y x , 整理得4)1(22=++y x ,即动点M 在以(1,0)B -为圆心,2为半径的圆上运动. 当直线AM 与圆B 相切时,设斜率为k ,则其方程为(3)y k x =-,根据2=得3k =±,结合图形可知,直线AM 的斜率的取值范围是[. 说明:到两定点距离之比(不为1)等于已知数的动点轨迹为圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.例4在平面直角坐标系xOy 中,设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)A B C a D a +,若存在点P ,使得,PA PC PD ==,则实数a 的取值范围是 .解:设(,)P x y=,整理得22(5)8x y -+=,即动点P 在以(5,0)为圆心,为半径的圆上运动. 另一方面,由PC PD =知动点P 在线段CD 的垂直平分线1y a =+上运动,因而问题就转化为直线1y a =+与圆22(5)8x y -+=有交点,所以1a +≤a的取值范围是[1,1]-.3.圆和隐圆例5在平面直角坐标系xOy 中,点()03A ,,直线24l y x =-:.设圆的半径为1 ,圆心在l 上.若圆C 上存在点M ,使2MA MO =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解: 设(),24C a a -,则圆方程为()()22241x a y a -+-+= 又设00(,)M x y ,2MA MO = ()22220000344x y x y ∴+-=+, 即()220014x y ++=这说明M 既在圆()()22241x a y a -+-+=上,又在圆()2214x y ++=上,因而这两个圆必有交点,即两圆相交或相切,2121∴-≤≤+,解得1205a ≤≤,即a 的取值范围是12[0,]5. 例6 已知22(1)(4)4M x y -+-=:,若过x 轴上的一点(0)P a ,可以作一直线与M相交于,A B 两点,且满足PA BA =,求a 的取值范围. 解法1:如图3,过点B 作M 的直径BD ,连结,DA DP , 要存在满足条件的点P ,只要M 存在点D 即可.由于90BAD ∠=,PA BA =,所以4DP DB ==, 因而点D 在以(0)P a ,为圆心,4为半径的:P 22()16x a y -+=上运动,这说明点D 同时在M 和P 上,因而两个圆必有交点,042∴≤+,解得a的取值范围是1⎡-+⎣. 解法2:设(,)A x y ,则(2,2)B x a y -. 因为点B在M上,所以22(21)(24)4x a y --+-=,即221()(2)12a x y +-+-=(*), 这表明点A 在方程(*)表示的圆上,又点A 在M 上,因此这两个圆有公共点,2112∴-≤≤+,解得a 的取值范围是1⎡-+⎣.三、【练习】1.在平面直角坐标系xOy 中,若满足)()(y k y k x x -≤-的点),(y x 都在以坐标原点为圆心,2 为半径的圆及其内部,则实数k 的取值范围是________答案:[2.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为,则直线l 斜率的取值范围是___________.答案:[223. 在平面直角坐标系xOy 中,若与点)2,2(A 的距离为1且与点)0,(m B 的距离为3的直线恰有两条,则实数m 的取值范围为__________答案:()322,2)2,322(+-4. 若实数,,a b c 成等差数列,点(1,0)P -到动直线0=++c by ax 上的射影为M ,已知点(3,3)N ,则线段MN 长度的最大值为____________答案:105. 已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线,它们的交点是A ,动点C B ,分别在1l 和2l 上,且23=BC ,过C B A ,,三点的动圆所形成的区域的面积为__________ 答案:π18解析:,,A B C 三点的动圆在以BC 为直径的圆上,以AB 的中点M 为圆心,M 点的轨迹是以A 为圆心,223为半径的圆,所以动圆所形成的区域是是以A 为圆心,23为半径的圆.。
高考数学《隐圆问题》

高考数学 “隐圆”问题
5. 已知△ABC 中,M 为线段 BC 上一点,AM=BM,A→M·A→B=2,AC2+3BC2=4,
则△ABC 的最大值为________.
1 2
解析:解法一:由 AM=BM,设 AM=BM=t,则 cos∠BAM=c2+2tc2t-t2.又A→M·A→B
=2,tc2cc2t=2,得 c=2,设点 C(x,y),A(-1,0),B(1,0),由 AC2+3BC2=4,
高考数学 “隐圆”问题
4. 已知两定点 A(-3,0),B(1,0),如果直线 l:x+ay-2=0 上一点 M 满足 MA2+ MB2=16,那么实数 a 的取值范围是________.
-∞,- 25∪ 25,+∞
解析:设 M(x,y),则(x+3)2+y2+(x-1)2+y2=16,
即(x+1)2+y2=4,所以 1+3 a2≤2,解得 a≤- 25或 a≥ 25.
高考数学 “隐圆”问题
解法 2 因为 P 在直线 x+ 3y-b=0 上,所以 3y=-x+b,代入 3x2+3y2+8x -16=0,得 4x2+(8-2b)x+b2-16=0.因为点 P 有且只有两个,所以方程有两个 不相等的根,即 Δ>0,整理得 3b2+8b-80<0,解得 b∈-230,4.
d<R,
<0,所以 d<
22R,
即 d< 22R.因为圆心 C 到直线 x=-y+a 的距离为 d=|1-22-a|
=|a+21|,所以|a+21|<
2 2·
5-a,解得-4<a<1.
高考数学 “隐圆”问题
8. 已知 A,B 为圆 O:x2+y2=5 上的两个动点,AB=4,M 为线段 AB 的中点,点 P 为直线 l:x+y-6=0 上一动点,则P→M·P→B的最小值为________. 7 解析:取 BM 的中点为 N,则P→M+P→B=2P→N,即P→M2+P→B2+2P→M·P→B=4P→N2, P→M-P→B=2A→M,即P→M2+P→B2-2P→M·P→B=4B→M2=4,两式相减,得P→M·P→B=|P→N|2 -1.
专题11 二元一次方程实际应用的三种考法(原卷版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)

专题11二元一次方程实际应用的三种考法类型一、方案问题
类型二、销售利润问题
例.某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机,若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机,共需要资金6000元;若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机,共需要资金4600元.
(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元;
(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部,请问有多少种进货方案?
(3)若甲型号手机的售价为1500元,乙型号手机的售价为1450元,为了促销,公司决定每售出一台乙型号手机.返还顾客现金a元,甲型号手机售价不变,要使(2)中购进的手机全部售完,每种方案获利相同,求a的值.
【变式训练1】某商店出售普通练习本和精装练习本,150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元;200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元.
(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少?
(2)该商店计划再次购进500本练习本,普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍,已知普通练习本的进价为2元/个,精装练习本的进价为7元/个,设购买普通练习本x个,获得的利润为W元;
①求W关于x的函数关系式
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大?并求出最大利润.
类型三、小题压轴
课后训练。
专题——隐圆问题

隐圆专题( 1)一、问题概括江苏省高考考试说明中圆的方程是C 级知识点,每年都考,但有些时候,在条件中没有直接给出圆方面的信息,而是隐蔽在题目中的,要经过剖析和转变、发现圆(或圆的方程),进而最后能够利用圆的知识来求解,我们称这种问题为“隐形圆”问题.二、求解策略题型一、利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确立隐形圆2 y a21.假如圆( 2 ) ( 3) 4x a 上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是.2.已知圆O : x2 y2 1,圆: 4 12 y a 2M x a .若圆M 上存在点P ,过点P 作圆O 的两条切线,切点为A、B ,使得0APB 60 ,则a的取值范围为.2 23.已知A、B 是圆: 1C1 x y 上的动点,AB 3 ,P 是圆2C2 :( x 3) ( y 4)21上动点,则PA PB 的取值范围是 _____________ .4.在平面直角坐标系xoy 中,已知B,C 为圆x2 y2 4 上两点,点A( 1,1) ,且AB AC ,则线段BC 的长的取值范围为 ______________.题型二、动点对两定点A、B 的张角是090 (k PA k PB 1或PA PB 0)确立隐形圆1.已知圆C :( x 3)2 ( y 4)2 1和两点A( m ,0) ,B(m,0) ,若圆C 上存在点P ,使得0APB 90 ,则m 的取值范围是 ______________ .2.已知直线l :x 2 y m 0 上存在点M 知足与两点A( 2,0) ,B ( 2,0) 连线的斜率之积为1,则m 的取值范围是______________.3.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 1:kx y 2 0 与直线l2 : x ky 2 0订交于点P ,则当实数k 变化时,点P 到直线x y 4 0 的最大值为 ____________.4.在平面直角坐标系xOy 中,已知点P( 1,0),点Q(2,1),直线l :ax by c 0,(其中a,b,c 成等差数列),点P 在直线l 上的射影为H ,则线段QH 的取值范围是 ________.题型三、两定点A、B ,动点P 知足PA PB 确立隐形圆1.已知圆C :( x 3)2 ( y 4)2 1和两点A( m ,0) ,B(m,0) (m 0),若圆C 上存在点P ,使得PA PB 1,则m 的取值范围是___________.2.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A( t ,0) (t 0 ),B(t,0),点C 知足AC BC 8 ,9且点C 到直线l :3x 4 y 24 0 的最小距离为,则实数t 的值为___________.53.已知点A( 2,3) ,点B(6, 3) ,点P 在直线3x 4 y 3 0 上,若知足等式AP BP 20 的点P 有两个,则实数的取值范围是 ___________ .题型四两定点A、B ,动点P 知足PA2 PB2 是定值确立隐形圆2 y a 21.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :( ) ( 2) 1x a ,点A(0,2),若圆C2 PO 2 上存在点P ,知足10PA ,则实数a 的取值范围是 ___________ .2.已知A, B 为直线l : y x 上两动点,且AB 4,圆C:x2 y2 6x 6y 2 0,2 PB 2圆C 上存在点P ,知足10PA ,则线段AB 中点M 的横坐标取值范围为___________.2 b2 c23.在ABC 中,A, B,C 所对的边分别为a, b,c ,若2 8a ,则ABC 面积的最大值为___________.三、加强练习1.已知线段AB 的长为2 , 动点C 知足CA CB (0 ),且点C 总不在以点B 为圆心 , 1为半径的圆内,则负数的最大值是 ___________.22 y 22.在平面中,A( 12,0) ,B (0,6) ,点P 在圆O : 50x 上.若PA PB 20 ,则点P 的横坐标的取值范围是 ________.2 y23.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (0, 2) ,点B (1, 1) ,P 为圆2x 上一动点,P B的最大值是 _________.则PA隐圆专题( 2)PA策略五两定点A、B 动点P 知足(0 且1)确立隐形圆(阿波罗尼斯圆)PB1.已知O (0,0) ,A( 0,3) ,假如圆C :( x a)2 ( y 2a 4)2 1上总存在点M 使得MA 2 MO ,则圆心C 的横坐标a 的取值范围是 ___________ .2 y22.在平面直角坐标系xOy 中,圆1x 交x 轴于A, B 两点,且点A 在点B 左侧,若直线x 3 y m 0 上存在P 使得PA 2 PB ,则实数m 的取值范围为_________.3.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (1,0) ,B(4,0) ,若直线x y m 0上存在点P 1,则实数m 的取值范围是 ___________ .使得PA PB224.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O : x2 y2 1,4 2 4O1:x y ,动点P 在直线x 3y b 0 上,过点P 作圆O,OA, B ,若知足的两条切线,切点分别为1PB 2 PA 的点P 有且仅有两个,则实数b 的取值范围为 ___________ .5.在ABC 中,若AB 2 ,AC 2BC ,则S ABC 的最大值为 ___________.6.在ABC 中,BC 2 ,AC 1,以AB 为边作等腰直角三角形ABD (B 为直角极点,C, D 两点在直线AB 的双侧).当C 变化时,线段CD 长的最大值为 ________ .7.已知点A (0,1) ,B (1,0) ,C( t,0) ,点D 是直线AC 上的动点,若AD 2 BD 恒建立,则t 的值为_______.最小正整数题型六、有关点法确立隐形圆2 y 2 1.在平面直角坐标系xOy 中,若直线y k( x3 3) 上存在一点P ,圆( 1) 1x 上存在一点Q ,知足OP 3OQ ,则实数k 的最小值为 ___________ .2 AC22.已知A, B ,C, D 四点共面,BC 2 , AB 20 , CD 3 CA ,则| BD |的最大值为_________.3.已知ABC 是边长为3 的等边三角形 , 点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点,点Q 知足AQ2 3 AP 1 3AC ,则 | BQ | 的最小值是 __________ . 4.在平面直角坐标系xoy 中,已知圆O : x2y 2 16,点P (1,2) ,M , N 为圆O 上两个不一样的点,且PM PN 0, 若PQ PM PN , 则| PQ|的最小值为___________.加强练习1.已知圆2 2 92 2C 1:x y ,与圆C 2:x y 4,定点P (1,0 ) ,动点A, B 分别在圆C 1与圆 C 上,知足2APB 90 ,则线段 AB 的取值范围 ______________ .2y 2 y a 222.已知圆O :1 x ( a 为实数 ) .若圆O 与圆Mx ,圆M :( a 3) ( 2 ) 1上分别存在点 P,Q ,使得OQP 30 ,则 a 的取值范围是 __________ .3.设m R ,直线l 1 : x my 0与直线l 2 : mx y 2m 4 0交于P(x 0 , y 0) ,则2 2x0 y 2x 的取值范围 _______.0 04.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :( x 1)2 y2 2,点A(2,0),若圆C 上存在点M 知足MA 2 MO 2 10 ,则点M 的纵坐标的取值范围是 ______________ .2 y a2 5.在平面直角坐标系xOy 中,已知A, B 为圆C :( 4) ( ) 16x 上两个动点,且AB 2 11.若直线l :y 2x 上存在独一的一个点P ,使得PA PB OC ,则实数a 的值为 ______________ .6.在平面四边形ABCD 中,AB 4 ,AD 2,最小值为______________.DAB 60 ,CA 3CB ,则边CD 长的7.在平面直角坐标系xOy 中,圆 2 2C1 : x 1 y 2,圆2 2 2C1 : x m y m m ,若圆C 上存在点P 知足:过点P 向圆2 C 作两条切线PA, PB, 切点为A, B ,ABP 的面积为11,则正数m 的取值范围是.。
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1 B 为圆心, 为半径
2
的圆内,则实数λ的最大值是 __________.
11. 在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y=- x+2 与圆 x2+ y2= r2(r > 0) 交于 A, B 两点.若圆上存在
一点 C,满足 O→C= 54O→A+ 34O→B,则 r 的值为 ________. 12. 已知圆 M:(x - 1)2 + (y - 1)2 = 4,直线 l :x+ y-6= 0,A 为直线 l 上一点. 若圆 M上存在两点 B, C,使得∠ BAC= 60°,则点 A 横坐标的取值范围是 __________. 13. 已知点 A(0 , 2) 为圆 M: x2+ y2- 2ax- 2ay= 0(a > 0) 外一点,圆 M上存在点 T 使得∠ MAT= 45°, 则实数 a 的取值范围是 ________________ . 14. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O1,圆 O2 均与 x 轴相切且圆心 O1, O2 与原点 O 共线, O1,O2 两点的横坐标之积为 6,设圆 O1 与圆 O2 相交于 P,Q两点,直线 l :2x- y- 8= 0,则点 P与直线 l 上 任意一点 M之间的距离的最小值为 ____________. 15. 已知直线 l 过点 P(1 ,2) 且与圆 C:x2+ y2= 2 相交于 A,B 两点,△ ABC的面积为 1,则直线 l 的方 程为 ________________ . 16. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+ (y -1)2 = 5,A 为圆 C与 x 轴负半轴的交点,过 A 作圆 C 的弦 AB,记线段 AB的中点为 M.若 OA= OM,则直线 AB 的斜率为 ________. 17. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1: (x + 1)2 + (y - 6)2 = 25,圆 C2:(x - 17)2 + (y - 30)2 = r2. 若圆 C2 上存在一点 P,使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A、 B,满足 PA= 2AB,则半径 r 的取值 范围是 ______________. 18. 直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 (x - 1)2 + (y - 1)2 = 9,直线 l : y= kx+ 3 与圆 C 相交于 A、 B 两 点,M为弦 AB上一动点,以 M为圆心,2 为半径的圆与圆 C总有公共点, 则实数 k 的取值范围为 ________. 19 平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C: (x -a)2 + (y - a+ 2)2 =1,点 A(0 , 2) ,若圆 C 上存在点 M,满 足 MA2+ MO=2 10,则实数 a 的取值范围是 ________. 20. 平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 (x - 1)2 + y2= 4,P 为圆 C上一点.若存在一个定圆 M,过 P 作圆 M的两条切线 PA、 PB,切点分别为 A、B,当 P 在圆 C上运动时,使得∠ APB恒为 60°,则圆 M的 方程为 ______________.
专题 11 隐圆问题
直线与圆是高中数学的 C级知识点,是高中数学中数形结合思想的典型体现.但有些时候,在条件 中没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题目中的,要通过分析和转化,发现圆(或圆的方程), 从而最终可以利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐形圆”问题
类型一 典例 1
利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆
BC 的长的取值范围为 _______
2
2
3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : x 1 y 2 6 1和两点 A a,2 a , B a, a 2 ,
且 a 1 ,若圆 C 上存在两个不同的点 P, Q ,使得 APB AQB 90 ,则实数 a 的取值范围为
__________ . 4.在平面直角坐标系
B,若点 A恰为线段 OB的中点,则圆心 C到直线 l 的距离为 ____________ .
8. 在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P( -2,0) 的直线与圆 x2 + y2= 1 相切于点 T,与圆 (x - a)2 +(y - 3)2
= 3 相交于点 R, S,且 PT=RS,则正数 a 的值为 ____________ .
如果圆 ( x 2a )2 ( y a 3)2 4 上总存在两个点到原点的距离为
1,则实数 a的取值范围是
________
类型二 由圆周角的性质确定隐形圆
典例 2 已知圆 O : x2 y2 5, A, B 为圆 O 上的两个动点,且 AB 2, M 为弦 AB 的中点, C 2 2, a , D 2 2, a 2 . 当 A, B 在圆 O 上运动时,始终有 CMD 为锐角,则实数 a 的取值范围
xOy 中,已知点 A( 1, 0), B( 1, 0)均在圆 C :
2
x3
2
2
y4 r
外,且圆 C 上存在唯一一点 P 满足 AP BP ,则半径 r 的值为 ____.
5.已知等边 ABC 的边长为 2,点 P 在线段 AC 上,若满足等式 PA ?PB 的点 P 有两个,则实数
的取值范围是 _____. 6. 已知圆 O:x2+ y2=1,圆 M: (x - a)2 + (y - a+ 4)2 = 1. 若圆 M上存在点 P,过点 P 作圆 O的两条切 线,切点为 A, B,使得∠ APB= 60°,则实数 a 的取值范围为 ____________. 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知过原点 O的动直线 l 与圆 C:x2+ y2- 6x+ 5= 0 相交于不同的两点 A,
9. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M:(x - a)2 + (y +a- 3)2 =1(a > 0) ,点 N为圆 M上任意一点.若以 N 为圆心, ON为半径的圆与圆 M至多有一个公共点,则 a 的最小值为 __________ .
10. 已知线段
AB的长为 2,动点 C 满足 C→A·C→B=λ ( λ为常数 ) ,且点 C 总不在以点
为 __________ .
类型三 两定点 A、 B,动点 P 满足 PA ( 0, 1) 确定隐形圆(阿波罗尼斯圆) PB
典例 3 一缉私艇巡航至距领海边界线 l (一条南北方向的直线) 3.8 海里的 A 处,发现在其北偏东 30°
方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大 航速的 3 倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行. ( 1截成功;(参
考数据: sin17
3 , 33 5.7446 )
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( 2)问:无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由.
1.已知 ABC 中, AB AC 3 , ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB 2 PC2 3PA2 3 ,则
ABC 面积的最大值为 __________ . 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 B, C 为圆 x2 y 2 4 上两点, 点 A(1,1) ,且 AB⊥ AC,则线段