2019年高考数学压轴题专题11隐圆问题(原卷版)
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为 __________ ．
类型三 两定点 A、 B，动点 P 满足 PA ( 0, 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） PB
典例 3 一缉私艇巡航至距领海边界线 l （一条南北方向的直线） 3.8 海里的 A 处，发现在其北偏东 30°
方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大 航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （ 1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参
9. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M：(x － a)2 ＋ (y ＋a－ 3)2 ＝1(a ＞ 0) ，点 N为圆 M上任意一点．若以 N 为圆心， ON为半径的圆与圆 M至多有一个公共点，则 a 的最小值为 __________ ．
10. 已知线段
AB的长为 2，动点 C 满足 C→A·C→B＝λ ( λ为常数 ) ，且点 C 总不在以点
考数据： sin17
3 , 33 5.7446 ）
6
（ 2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
1．已知 ABC 中， AB AC 3 ， ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB 2 PC2 3PA2 3 ，则
ABC 面积的最大值为 __________ ． 2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B， C 为圆 x2 y 2 4 上两点， 点 A(1,1) ，且 AB⊥ AC，则线段
如果圆 ( x 2a )2 ( y a 3)2 4 上总存在两个点到原点的距离为
1，则实数 a的取值范围是
________
类型二 由圆周角的性质确定隐形圆
典例 2 已知圆 O : x2 y2 5, A, B 为圆 O 上的两个动点，且 AB 2, M 为弦 AB 的中点， C 2 2, a , D 2 2, a 2 . 当 A, B 在圆 O 上运动时，始终有 CMD 为锐角，则实数 a 的取值范围
xOy 中，已知点 A（ 1， 0）， B（ 1， 0）均在圆 C ：
2
x3
2
2
y4 r
外，且圆 C 上存在唯一一点 P 满足 AP BP ，则半径 r 的值为 ____．
5．已知等边 ABC 的边长为 2，点 P 在线段 AC 上，若满足等式 PA ?PB 的点 P 有两个，则实数
的取值范围是 _____． 6. 已知圆 O：x2＋ y2＝1，圆 M： (x － a)2 ＋ (y － a＋ 4)2 ＝ 1. 若圆 M上存在点 P，过点 P 作圆 O的两条切 线，切点为 A， B，使得∠ APB＝ 60°，则实数 a 的取值范围为 ____________． 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过原点 O的动直线 l 与圆 C：x2＋ y2－ 6x＋ 5＝ 0 相交于不同的两点 A，
1 B 为圆心， 为半径
2
的圆内，则实数λ的最大值是 __________．
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 y＝－ x＋2 与圆 x2＋ y2＝ r2(r ＞ 0) 交于 A， B 两点．若圆上存在
一点 C，满足 O→C＝ 54O→A＋ 34O→B，则 r 的值为 ________． 12. 已知圆 M：(x － 1)2 ＋ (y － 1)2 ＝ 4，直线 l ：x＋ y－6＝ 0，A 为直线 l 上一点． 若圆 M上存在两点 B， C，使得∠ BAC＝ 60°，则点 A 横坐标的取值范围是 __________． 13. 已知点 A(0 ， 2) 为圆 M： x2＋ y2－ 2ax－ 2ay＝ 0(a ＞ 0) 外一点，圆 M上存在点 T 使得∠ MAT＝ 45°， 则实数 a 的取值范围是 ________________ ． 14. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O1，圆 O2 均与 x 轴相切且圆心 O1， O2 与原点 O 共线， O1，O2 两点的横坐标之积为 6，设圆 O1 与圆 O2 相交于 P，Q两点，直线 l ：2x－ y－ 8＝ 0，则点 P与直线 l 上 任意一点 M之间的距离的最小值为 ____________． 15. 已知直线 l 过点 P(1 ，2) 且与圆 C：x2＋ y2＝ 2 相交于 A，B 两点，△ ABC的面积为 1，则直线 l 的方 程为 ________________ ． 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋ (y －1)2 ＝ 5，A 为圆 C与 x 轴负半轴的交点，过 A 作圆 C 的弦 AB，记线段 AB的中点为 M.若 OA＝ OM，则直线 AB 的斜率为 ________． 17. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1： (x ＋ 1)2 ＋ (y － 6)2 ＝ 25，圆 C2：(x － 17)2 ＋ (y － 30)2 ＝ r2. 若圆 C2 上存在一点 P，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A、 B，满足 PA＝ 2AB，则半径 r 的取值 范围是 ______________． 18. 直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x － 1)2 ＋ (y － 1)2 ＝ 9，直线 l ： y＝ kx＋ 3 与圆 C 相交于 A、 B 两 点，M为弦 AB上一动点，以 M为圆心，2 为半径的圆与圆 C总有公共点， 则实数 k 的取值范围为 ________． 19 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： (x －a)2 ＋ (y － a＋ 2)2 ＝1，点 A(0 ， 2) ，若圆 C 上存在点 M，满 足 MA2＋ MO＝2 10，则实数 a 的取值范围是 ________． 20. 平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x － 1)2 ＋ y2＝ 4，P 为圆 C上一点．若存在一个定圆 M，过 P 作圆 M的两条切线 PA、 PB，切点分别为 A、B，当 P 在圆 C上运动时，使得∠ APB恒为 60°，则圆 M的 方程为 ______________．
B，若点 A恰为线段 OB的中点，则圆心 C到直线 l 的距离为 ____________ ．
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P( －2，0) 的直线与圆 x2 ＋ y2＝ 1 相切于点 T，与圆 (x － a)2 ＋(y － 3)2
＝ 3 相交于点 R， S，且 PT＝RS，则正数 a 的值为 ____________ ．
专题 11 隐圆问题
直线与圆是高中数学的 C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件 中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程）， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题
Hale Waihona Puke Baidu
类型一 典例 1
利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
BC 的长的取值范围为 _______
2
2
3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : x 1 y 2 6 1和两点 A a,2 a , B a, a 2 ，
且 a 1 ，若圆 C 上存在两个不同的点 P, Q ，使得 APB AQB 90 ，则实数 a 的取值范围为
__________ ． 4．在平面直角坐标系
类型三 两定点 A、 B，动点 P 满足 PA ( 0, 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） PB
典例 3 一缉私艇巡航至距领海边界线 l （一条南北方向的直线） 3.8 海里的 A 处，发现在其北偏东 30°
方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大 航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （ 1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参
9. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M：(x － a)2 ＋ (y ＋a－ 3)2 ＝1(a ＞ 0) ，点 N为圆 M上任意一点．若以 N 为圆心， ON为半径的圆与圆 M至多有一个公共点，则 a 的最小值为 __________ ．
10. 已知线段
AB的长为 2，动点 C 满足 C→A·C→B＝λ ( λ为常数 ) ，且点 C 总不在以点
考数据： sin17
3 , 33 5.7446 ）
6
（ 2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
1．已知 ABC 中， AB AC 3 ， ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB 2 PC2 3PA2 3 ，则
ABC 面积的最大值为 __________ ． 2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B， C 为圆 x2 y 2 4 上两点， 点 A(1,1) ，且 AB⊥ AC，则线段
如果圆 ( x 2a )2 ( y a 3)2 4 上总存在两个点到原点的距离为
1，则实数 a的取值范围是
________
类型二 由圆周角的性质确定隐形圆
典例 2 已知圆 O : x2 y2 5, A, B 为圆 O 上的两个动点，且 AB 2, M 为弦 AB 的中点， C 2 2, a , D 2 2, a 2 . 当 A, B 在圆 O 上运动时，始终有 CMD 为锐角，则实数 a 的取值范围
xOy 中，已知点 A（ 1， 0）， B（ 1， 0）均在圆 C ：
2
x3
2
2
y4 r
外，且圆 C 上存在唯一一点 P 满足 AP BP ，则半径 r 的值为 ____．
5．已知等边 ABC 的边长为 2，点 P 在线段 AC 上，若满足等式 PA ?PB 的点 P 有两个，则实数
的取值范围是 _____． 6. 已知圆 O：x2＋ y2＝1，圆 M： (x － a)2 ＋ (y － a＋ 4)2 ＝ 1. 若圆 M上存在点 P，过点 P 作圆 O的两条切 线，切点为 A， B，使得∠ APB＝ 60°，则实数 a 的取值范围为 ____________． 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过原点 O的动直线 l 与圆 C：x2＋ y2－ 6x＋ 5＝ 0 相交于不同的两点 A，
1 B 为圆心， 为半径
2
的圆内，则实数λ的最大值是 __________．
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 y＝－ x＋2 与圆 x2＋ y2＝ r2(r ＞ 0) 交于 A， B 两点．若圆上存在
一点 C，满足 O→C＝ 54O→A＋ 34O→B，则 r 的值为 ________． 12. 已知圆 M：(x － 1)2 ＋ (y － 1)2 ＝ 4，直线 l ：x＋ y－6＝ 0，A 为直线 l 上一点． 若圆 M上存在两点 B， C，使得∠ BAC＝ 60°，则点 A 横坐标的取值范围是 __________． 13. 已知点 A(0 ， 2) 为圆 M： x2＋ y2－ 2ax－ 2ay＝ 0(a ＞ 0) 外一点，圆 M上存在点 T 使得∠ MAT＝ 45°， 则实数 a 的取值范围是 ________________ ． 14. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O1，圆 O2 均与 x 轴相切且圆心 O1， O2 与原点 O 共线， O1，O2 两点的横坐标之积为 6，设圆 O1 与圆 O2 相交于 P，Q两点，直线 l ：2x－ y－ 8＝ 0，则点 P与直线 l 上 任意一点 M之间的距离的最小值为 ____________． 15. 已知直线 l 过点 P(1 ，2) 且与圆 C：x2＋ y2＝ 2 相交于 A，B 两点，△ ABC的面积为 1，则直线 l 的方 程为 ________________ ． 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋ (y －1)2 ＝ 5，A 为圆 C与 x 轴负半轴的交点，过 A 作圆 C 的弦 AB，记线段 AB的中点为 M.若 OA＝ OM，则直线 AB 的斜率为 ________． 17. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1： (x ＋ 1)2 ＋ (y － 6)2 ＝ 25，圆 C2：(x － 17)2 ＋ (y － 30)2 ＝ r2. 若圆 C2 上存在一点 P，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A、 B，满足 PA＝ 2AB，则半径 r 的取值 范围是 ______________． 18. 直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x － 1)2 ＋ (y － 1)2 ＝ 9，直线 l ： y＝ kx＋ 3 与圆 C 相交于 A、 B 两 点，M为弦 AB上一动点，以 M为圆心，2 为半径的圆与圆 C总有公共点， 则实数 k 的取值范围为 ________． 19 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： (x －a)2 ＋ (y － a＋ 2)2 ＝1，点 A(0 ， 2) ，若圆 C 上存在点 M，满 足 MA2＋ MO＝2 10，则实数 a 的取值范围是 ________． 20. 平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x － 1)2 ＋ y2＝ 4，P 为圆 C上一点．若存在一个定圆 M，过 P 作圆 M的两条切线 PA、 PB，切点分别为 A、B，当 P 在圆 C上运动时，使得∠ APB恒为 60°，则圆 M的 方程为 ______________．
B，若点 A恰为线段 OB的中点，则圆心 C到直线 l 的距离为 ____________ ．
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P( －2，0) 的直线与圆 x2 ＋ y2＝ 1 相切于点 T，与圆 (x － a)2 ＋(y － 3)2
＝ 3 相交于点 R， S，且 PT＝RS，则正数 a 的值为 ____________ ．
专题 11 隐圆问题
直线与圆是高中数学的 C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件 中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程）， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题
Hale Waihona Puke Baidu
类型一 典例 1
利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
BC 的长的取值范围为 _______
2
2
3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : x 1 y 2 6 1和两点 A a,2 a , B a, a 2 ，
且 a 1 ，若圆 C 上存在两个不同的点 P, Q ，使得 APB AQB 90 ，则实数 a 的取值范围为
__________ ． 4．在平面直角坐标系