图论基本概念
图论及其应用
图论及其应用简介图论是计算机科学中的一个重要分支，研究的对象是由边与顶点组成的图形结构以及与其相关的问题和算法。
图论的应用广泛，涵盖了计算机科学、网络科学、物理学、社会学、生物学等多个领域。
本文将介绍图论的基本概念、常用算法以及一些实际的应用案例。
图的基本概念图由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，记作G=(V, E)，其中V为顶点的集合，E为边的集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图有向图中的边具有方向性，即从一个顶点到另一个顶点的边有明确的起点和终点。
有向图可以表示一种有序的关系，比如A到B有一条边，但B到A可能没有边。
有向图的表示可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
无向图无向图中的边没有方向性，任意两个顶点之间都有相互连接的边。
无向图可以表示一种无序的关系，比如A与B有一条边，那么B与A之间也有一条边。
无向图的表示通常使用邻接矩阵或邻接表。
常用图论算法图论中有许多经典的算法，其中一些常用的算法包括：深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
通过从起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入图中的顶点，直到无法再继续前进时，返回上一个顶点并尝试下一条路径的方式。
DFS可以用于判断图是否连通，寻找路径以及检测环等。
广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历或搜索图的算法。
不同于深度优先搜索，广度优先搜索逐层遍历顶点，先访问离起始顶点最近的顶点，然后依次访问与起始顶点距离为2的顶点，以此类推。
BFS可以用于寻找最短路径、搜索最近的节点等。
最短路径算法最短路径算法用于计算图中两个顶点之间的最短路径。
其中最著名的算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra’s A lgorithm）和弗洛伊德算法（Floyd’s Algorithm）。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，而弗洛伊德算法可以处理带有负权边的图。
最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小的生成树。
其中最常用的算法是普里姆算法（Prim’s Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal’s Algorithm）。
数学中的图论与网络知识点
数学中的图论与网络知识点图论是数学中一个重要的分支领域，研究图的结构、性质以及与实际问题的应用。
而网络则是现代社会中的重要组成部分，图论在网络上的应用也日益广泛。
本文将介绍数学中的图论基本概念和网络知识点，以及它们在现实中的应用。
一、图论基本概念1. 图的定义与表示图是由节点（顶点）和边组成的一种数学结构。
节点表示对象，边表示节点之间的连接关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示与存储。
2. 图的分类图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边有方向，无向图中的边没有方向。
根据边是否具有权重，图又可以分为带权图和无权图。
3. 图的性质图具有很多重要的性质，例如连通性、度、路径等。
连通性表示图中任意两个节点之间存在一条路径，度表示节点的相邻节点个数，路径是连接节点的边的序列。
二、图论中的常见算法1. 最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法适用于边权重为非负的图，而Floyd-Warshall算法适用于任意带权图。
2. 深度优先搜索与广度优先搜索深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是图的遍历算法。
DFS以深度优先的方式探索图中的节点，BFS以广度优先的方式探索。
这两种算法在解决连通性、拓扑排序等问题中有广泛应用。
3. 最小生成树算法最小生成树算法用于在带权图中找到权重和最小的生成树。
其中Prim算法和Kruskal算法是两种常用的最小生成树算法。
三、网络中的图论应用1. 社交网络与关系分析社交网络是图的一种应用，其中节点表示人，边表示人与人之间的社交关系。
基于图论的算法可以分析社交网络中的社区结构、关键人物等信息。
2. 网络流与最大流问题网络流是指在图中模拟流动的过程，最大流问题是求解从源节点到汇节点的最大流量。
网络流算法可以用于优化问题的求解，如分配问题、进程调度等。
3. 路由算法与网络优化路由算法是网络中常用的算法之一，用于确定数据从源节点到目的节点的传输路径。
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
图论的基本概念和应用
图论的基本概念和应用图论，顾名思义，是研究图的一门数学分支。
在计算机科学、网络科学、物理学等领域都有广泛的应用。
本文将从图的基本概念入手，介绍图论的基础知识和常见应用。
一、图的基本概念1.1 图的定义图是由若干点和若干边构成的。
点也被称为顶点，边也被称为弧或者线。
一个点可以与任意个点相连，而边则是连接两个点的线性对象。
一些有向边可以构成一棵树，而一些无向边则形成了一个回路。
1.2 图的表示图可以用一张二维平面图像表示。
这张图像由若干个点和连接这些点的线组成。
这种表示方式被称为图的平面表示。
图还可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等数据结构进行表示。
1.3 图的类型根据图的性质，可以将图分为有向图、无向图、完全图、连通图、欧拉图、哈密顿图等。
有向图：边有方向，表示从一个点到另一个点的某种关系。
无向图：边没有方向，表示两个点之间的某种关系。
完全图：任意两个点之间都有一条边，不存在自环。
\连通图：任意两个点之间都有至少一条通路，没有孤立的点。
欧拉图：一条欧拉通路是一条从一点开始经过所有边恰好一次后回到该点的通路。
哈密顿图：经过所有点恰好一次的通路被称为哈密顿通路。
二、图的应用2.1 最短路径问题图论在计算机算法中最常见的应用之一就是最短路径问题。
在一个有向图中，从一个点到另一个点可能有多条不同的路径，每条路径的长度也可能不同。
最短路径问题就是找到两个点之间长度最短的路径。
最短路径问题可以通过深度优先搜索、广度优先搜索等方法来解决，但是时间复杂度通常较高。
另外，使用Dijkstra算法、Floyd算法等优化算法可以大大缩短计算时间。
2.2 社交网络社交网络是图论应用的一个重要领域。
在社交网络中，人们之间的关系可以用图的形式表示。
例如，在微博网络中，每个用户和他/她所关注的人就可以形成一个有向图。
在这种图中，点表示用户，边表示一个人关注另一个人的关系。
通过对社交网络进行图论分析，可以研究用户之间的互动模式，了解到哪些用户之间联系较为紧密，哪些用户是网络中的“大咖”等。
(图论)图的基本概念--第一章
证明 设G＝<V，E>为任意一图，令
V1＝{v|v∈V∧d(v)为奇数} V2＝{v|v∈V∧d(v)为偶数} 则V1∪V2＝V，V1∩V2＝ ，由握手定理可知
2m d (v) d (v) d (v)
vV
vV1
vV2
由于2m和 d (v) ，所以 d (v) 为偶数，
举例
NG(v1) ＝ {v2，v5} NG(v1) ＝ {v1，v2，v5} IG(v1) ＝ {e1，e2，e3}
Г+D(d ) ＝ {c} Г-D(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c，d}
简单图与多重图
定义1.3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则 称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些 边的始点和终点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边 为平行边。 含平行边的图称为多重图。 既不含平行边也不含环的图称为简单图。
无向图和有向图
定义1 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>,记作G，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E称为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向 边，简称边。
定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集，其元素称为有向 边，简称边。
vV2
vV1
但因V1中顶点度数为奇数， 所以|V1|必为偶数。
问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能每 个人恰好与其他5个人意见一致？
图论基础知识的名词解释
图论基础知识的名词解释图论是数学的一个分支，研究图的属性和关系。
图是由节点和节点之间的边组成的抽象模型，被广泛应用于计算机科学、网络分析、医学和社会科学等领域。
下面，我们将解释一些图论中常用的基础概念和术语。
1. 图 (Graph)图是图论研究的基本对象，由一组节点和连接这些节点的边组成。
节点也被称为顶点 (Vertex)，边则是节点之间的连接线。
图可以分为有向图 (Directed Graph) 和无向图 (Undirected Graph) 两种类型。
在有向图中，边有方向，从一个节点指向另一个节点；而在无向图中，边没有方向，节点之间的关系是双向的。
2. 顶点度数 (Degree of a Vertex)顶点度数指的是一个顶点与其他顶点相邻的边的数量。
在无向图中，顶点度数即与该顶点相连的边的数量；在有向图中，则分为入度 (In-degree) 和出度 (Out-degree)。
入度表示指向该节点的边的数量，而出度表示从该节点出发的边的数量。
3. 路径 (Path)路径指的是通过边连接的一系列节点，形成的顺序序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径 (Shortest Path) 是指连接两个节点的最短长度的路径。
最短路径算法被广泛应用于计算机网络中的路由选择和地图导航系统中的路径规划。
4. 连通图 (Connected Graph)连通图是指图中的任意两个节点之间都存在路径的图。
如果一个图不是连通图，那么它可以被分割为多个连通分量 (Connected Component)。
连通图在社交网络分析和传感器网络等领域中具有重要的应用。
5. 完全图 (Complete Graph)完全图是指任意两个节点之间都存在边的图。
在完全图中，每对节点之间都有一条边相连。
n个节点的完全图有n(n-1)/2条边。
完全图经常用于描述需要互相交流的问题，如计算机网络中的通信。
6. 树 (Tree)树是一种无环连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径相连。
图论常考知识点总结
图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。
顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。
若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。
图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。
2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。
强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。
弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。
3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。
广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。
4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。
5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。
6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。
以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。
当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。
图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。
图论的基本概念与应用
图论的基本概念与应用图论作为一门理论研究和应用探索的数学学科，不仅在学术和工程领域发挥着巨大作用，而且在现代科技和日常生活中也处处体现。
本文将简单介绍图论的基本概念、应用领域，以及一些相关案例。
一、基本概念图论的研究对象是图。
图是由一些点和连接这些点的线组成的，表示事物之间的某种关系，如网络中的路由、社交网络中的朋友等等。
根据点与线的不同特征，图被分为有向图和无向图。
有向图中的边是有方向的，表示两个节点之间是起点和终点的关系。
无向图中的边没有方向，表示两个节点之间是双向的。
图的另一个重要概念是网络，网络是在边上赋予权值用以表示边的强度或距离的图。
在图论中，我们常用的还有度数和路径的概念。
度数是一个点相邻边的数量，路径是由若干个顶点和它们之间的边所构成的序列，且顶点之间按照连接的顺序排列。
二、应用领域图论被广泛应用于计算机科学、运筹学、生物学、化学、经济学等领域。
在计算机科学中，图论被用于构建搜索引擎、路由算法等多个方面。
在运筹学中，最短路径算法、匹配算法、流量分配算法等问题可通过图论求解。
生物学中，图以蛋白质相互作用网、基因调控网等方式表现生物体内的复杂关系。
在化学中，图被用于描述分子之间的行为和作用。
在经济学中，图常常被用于解决网络流量调度和供应链计算。
三、相关案例1. 社交网络在社交网络中，我们可以将人视为节点，人与人之间的关系视为边，从而构建出一个网络模型。
通过对网络模型的分析，可以发现一些有趣的现象或规律，比如弱连接理论、六度分离理论等，这些理论不仅仅能被应用于社交网络，还可以用于其他领域的研究。
2. 铁路路径优化一个问题是如何生成铁路的最短路径，它既可以被看作是一个有向图问题，也可以看作是一个网络流问题。
由于铁路上存在许多互联的节点，因此在这种情况下，图论技术可以用于优化路径，解决径路选择和路径总长度最小化等问题。
3. 分子结构预测化学家常常利用图论的相关技术来模拟和预测分子的结构。
在这种情况下，节点表示原子，边表示原子之间的化学键。
图论的基本概念和应用
图论的基本概念和应用图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论的基本概念包括图的类型、图的表示方法、图的遍历算法等。
图论在计算机科学、网络分析、社交网络等领域有着广泛的应用。
一、图的类型图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边有方向，表示从一个节点到另一个节点的关系；无向图中的边没有方向，表示两个节点之间的关系是相互的。
有向图和无向图都可以有权重，表示边的权值。
二、图的表示方法图可以用邻接矩阵和邻接表两种方式来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，数组的行和列分别表示图中的节点，数组中的元素表示节点之间的边；邻接表是一个链表数组，数组的每个元素表示一个节点，链表中的每个节点表示与该节点相连的边。
三、图的遍历算法图的遍历算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
深度优先搜索从一个节点开始，沿着一条路径一直遍历到最后一个节点，然后回溯到上一个节点，再继续遍历其他路径；广度优先搜索从一个节点开始，先遍历与该节点相邻的所有节点，然后再遍历与这些节点相邻的节点，依次类推。
四、图论的应用1. 计算机科学：图论在计算机科学中有着广泛的应用。
例如，图可以用来表示计算机网络中的节点和连接关系，通过图的遍历算法可以实现网络路由和路径规划；图可以用来表示程序中的依赖关系，通过图的遍历算法可以实现代码的分析和优化。
2. 网络分析：图论在网络分析中有着重要的应用。
例如，社交网络可以用图来表示，节点表示用户，边表示用户之间的关系，通过图的遍历算法可以实现社交网络的分析和预测；互联网中的网页可以用图来表示，节点表示网页，边表示网页之间的链接关系，通过图的遍历算法可以实现搜索引擎的排名和推荐算法。
3. 运筹学：图论在运筹学中有着重要的应用。
例如，图可以用来表示物流网络中的节点和路径，通过图的遍历算法可以实现最短路径和最小生成树的计算；图可以用来表示任务调度中的依赖关系，通过图的遍历算法可以实现任务的优化和调度。
图论—基本概念
3) 两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj) 或<vi，vj>的重数；
4) 含有平行边的图称为多重图； 5) 非多重图称为线图； 6) 无自回路的线图称为简单图。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
G3＝<V3,E3>＝<{1,2,3,4,5},{<1,2>,(1,4),<4,3>,
<3,5>,<4,5>}>
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第9页
几个基本概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的 还是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和 vj称为邻接点，否则称为不邻接的；
设V＝{v1, v2,…,vn}为图G的结点集，称 (deg(v1),deg(v2),…,deg(vn))为G的度数序列。
上图的度数序列为（3,3,5,1,0）。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第18页
例
1) （3,3,2,3），（5,2,3,1,4）能成为图的度数序列吗？ 为什么？
2) 已知图G中有10条边，4个度数为3的结点，其余结点 的度数均小于等于2，问G中至少有多少个结点？为什 么？
对任意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者
(u,v)∈V&V相对应。
2020年3月14日
计算机科学与技术学院
第6页
图的分类(按边的方向)
1) 若边e与无序结点对(u，v)相对应，则称边e为无向边, 记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
离散数学第十四章图论基本概念
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
20
几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
25
点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
图论一：基本概念
图论⼀：基本概念
⼀、图的基本概念
（⼀）图的点和边
1、图的定义：⼀个图G=（V,E）由顶点集V和边集E组成。
2、边：⼀个点对（v,w），分为有向边，和⽆向边；
3、图的分类：有向图（点对是有序的），⽆向图（点对是⽆向的）
4、点与边的关系：顶点v与w邻接，当且仅当（v,w）属于E
5、权：每条边除了有顶点（v,w）有时还有⾃⼰的值或权。
（⼆）图的路径
1、路径定义：图的路径是⼀个顶点序列w1,w2,w3,……,wn，使得（wi，wi+1）属于E，（1<=i<n）
2、路径的长：
（1）⽆权路的路径的长度是该路径上的长度
（2）有权路径的路径的长度是该路径上所有边的权值之和
3、环：⼀个从顶点到它⾃⾝的边（v,v），环的长度是1
4、简单路径：⼀条路径上所有顶点都是互异的，（但第⼀个和最后⼀个可能相同）。
（三）圈
1、有向图的圈满⾜w1=wn且长度⾄少为1的⼀条路径，且每条边都是互异的
（eg：⽆向图的（u，v，u）不是圈，因为（u，v）和（v,u）是同⼀条边）
2、⼀个⽆圈图称为DAG
（四）连通图
1、（⽆向图）连通：如果⼀个⽆向图图的每⼀个顶点到其他顶点都有⼀条路径，就称这个图是连通图
2、有向图：
（1）强连通图：⼀个有向图的每⼀个顶点到其他顶点都有⼀条路径，这个图就是强连通的
（2）弱连通图：⼀个有向图不是强连通涂，但是去掉⽅向的这个⽆向图是连通图。
图论知识点总结笔记
图论知识点总结笔记一、图的基本概念1. 图的定义图是由节点（顶点）和连接节点的边构成的一种数据结构。
图可以用来表示各种关系和网络，在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。
在图论中，通常将图记为G=(V, E)，其中V表示图中所有的节点的集合，E表示图中所有的边的集合。
2. 节点和边节点是图中的基本单位，通常用来表示实体或者对象。
边是节点之间的连接关系，用来表示节点之间的关联性。
根据边的方向，可以将图分为有向图和无向图，有向图的边是有方向的，而无向图的边是没有方向的。
3. 度度是图中节点的一个重要度量指标，表示与该节点相连的边的数量。
对于有向图来说，可以分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示由该节点指向其他节点的边的数量。
4. 路径路径是图中连接节点的顺序序列，根据路径的性质，可以将路径分为简单路径、环路等。
在图论中，一些问题的解决可以归结为寻找合适的路径，如最短路径问题、汉密尔顿路径问题等。
5. 连通性图的连通性是描述图中节点之间是否存在路径连接的一个重要特征。
若图中每一对节点都存在路径连接，则称图是连通的，否则称图是非连通的。
基于图的连通性，可以将图分为连通图和非连通图。
6. 子图子图是由图中一部分节点和边组成的图，通常用来描述图的某个特定属性。
子图可以是原图的结构副本，也可以是原图的子集。
二、图的表示1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图表示方法，通过矩阵来表示节点之间的连接关系。
对于无向图来说，邻接矩阵是对称的，而对于有向图来说，邻接矩阵则不一定对称。
2. 邻接表邻接表是另一种常用的图表示方法，它通过数组和链表的组合来表示图的节点和边。
对于每一个节点，都维护一个邻接点的链表，通过链表来表示节点之间的连接关系。
3. 关联矩阵关联矩阵是另一种图的表示方法，通过矩阵来表示节点和边的关联关系。
关联矩阵可以用来表示有向图和无向图，是一种比较灵活的表示方法。
三、常见的图算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常见的图遍历算法，通过递归或者栈的方式来遍历图中所有的节点。
数学中的图论与应用
数学中的图论与应用数学中的图论是近年来受到广泛关注的研究领域。
在现代社会中，图论已经成为解决各种实际问题的有力工具，尤其在网络、通讯、计算机科学、运筹学等领域得到了广泛应用。
本文将介绍图论的基本概念和算法，并讨论其在实际中的应用。
一、图论的基本概念图论是一种研究边和点之间关系的数学工具。
图由顶点集和边集两个基本组成部分构成。
顶点是图中的基本元素，边连接两个顶点，表示它们之间的关系。
如果两个顶点之间有边相连，那么它们就是相邻的。
在图论中，有两种基本的图：有向图和无向图。
有向图中的边有方向，表示从一个顶点到另一个顶点的方向，而无向图中的边没有方向，表示两个顶点之间的关系是双向的。
图的表示方式有两种：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维矩阵，其中每一行和每一列表示一个顶点，矩阵中的元素表示相应的两个顶点之间是否有边相连。
邻接表是一种链表结构，每个顶点对应一个链表，在链表中存储该点的所有邻接点。
邻接表适用于表示稀疏图，而邻接矩阵适用于表示稠密图。
二、图的遍历算法在图中，从一个顶点出发，访问到这个图中所有的顶点，就称为图的遍历，其中包括深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历的实现方案为：从图中的一个顶点开始，将其标记为已访问，然后访问其邻接点，对每个未访问的邻接点进行递归遍历。
直到所有与该顶点相邻的顶点都被访问完毕，才回溯到上一个未被访问的节点。
广度优先遍历的实现方案为：从图中的一个顶点开始，做宽度优先遍历，即先将该顶点所有的未被访问的邻接点全部入队，然后从队列中取出一个元素，标记为已经访问，访问其所有未被访问的邻接点，并将这些邻接点入队。
重复这个过程，直到队列为空。
三、最短路径算法在图论中，最短路径算法可以用来解决许多实际问题。
其中，最为经典的算法是 Dijkstra 算法和 Floyd-Warshall 算法。
Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，用于计算有向图或者无向图的最短路径。
算法的基本思想是，通过每一次“松弛”操作，在已访问的顶点集和未访问的顶点集之间，尽可能地减小各个顶点到起点之间的距离。
图论基础：图的基本概念和应用
图论基础：图的基本概念和应用图论是数学中的一个分支领域，研究的是图的性质和图上的问题。
图被广泛应用于计算机科学、电子工程、运筹学、社交网络分析等领域。
本文将介绍图论的基本概念和一些常见的应用。
一、图的基本概念1. 顶点和边图是由顶点和边组成的，顶点代表图中的元素，边则代表元素之间的关系。
通常顶点表示为V，边表示为E。
2. 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图。
在无向图中，边是没有方向的，顶点之间的关系是双向的；而在有向图中，边是有方向的，顶点之间的关系是单向的。
3. 权重在一些应用中，边可能具有权重。
权重可以表示顶点之间的距离、成本、时间等概念。
有权图是指带有边权重的图，而无权图则是指边没有权重的图。
4. 路径和环路径是指由一系列边连接的顶点序列，路径的长度是指路径上边的数量。
环是一种特殊的路径，它的起点和终点相同。
5. 度数在无向图中，顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。
在有向图中分为出度和入度，出度是指从该顶点出去的边的数量，入度是指指向该顶点的边的数量。
二、图的应用1. 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，它研究如何在图中找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题有许多实际应用，例如在导航系统中寻找最短驾驶路径，或者在电信网络中找到最短的通信路径。
2. 最小生成树最小生成树是指一个连接图中所有顶点的无环子图，并且具有最小的边权重之和。
这个概念在电力网络规划、通信网络优化等领域有广泛的应用。
3. 路由算法在计算机网络中，路由算法用于确定数据包在网络中的传输路径。
图论提供了许多解决路由问题的算法，如最短路径算法、Bellman-Ford 算法、Dijkstra算法等。
4. 社交网络分析图论在社交网络分析中起着重要的作用。
通过构建社交网络图，可以分析用户之间的关系、信息传播、社区发现等问题。
这些分析对于推荐系统、舆情监测等领域具有重要意义。
5. 电路设计图论在电路设计中也有应用。
通过将电路设计问题转化为图论问题，可以使用图论算法解决电路布线、最佳布局等问题。
图论 第1章 图的基本概念
G
G[{e1 , e4 , e5 , e6 }]
G − {e5 , e7 }
G + {e8 }
图G1，G2的关系
设 G1 ⊆ G, G2 ⊆ G. 若 V (G1 ) V (G2 ) = φ x-disjoint） 若 E (G1 ) E (G2 ) = φ ,则称G1和G2是边不交的 （edge-disjoint） G1和G2的并, G1 G2 其中 V (G1 G2 ) = V (G1 ) V (G2 )
连通性
设 u, v 是图G的两个顶点，若G中存在一条 (u, v)
≡ v表示顶点 u 和v是连通的。 如果图G中每对不同的顶点 u , v都有一条 (u , v)
以 u
道路，则称顶点 u和 v是连通的(connected)。
道路，则称图G是连通的。
连通图
连通图
图G的每个连通子图称为G的连通分支，简
证明：G中含奇数个 1 (n − 1) 度点。 2 | Vo | 为 证明 V (G ) = Vo Ve 由推论1.3.2知， 偶数。因为 n ≡ 1(mod 4) ，所以n为奇数个。 因此，| Ve | 为奇数个。 n ≡ 1(mod 4) ， 1 2 ( n − 1) 为偶数。 1 1 d ( x ) = n − 1 − d ( x ) ≠ (n − 1) 设 x ∈Ve。若 d ( x) ≠ 2 (n − 1)，则 且 2 为偶数。由 G ≅ G c ，存在y，使得 d ( y) = d ( x) 为偶数。即 y ∈Ve 且 d ( y) ≠ 1 (n − 1) 。Ve 中度不为 2 1 (n − 1) 的点是成对的出现的。 2
G
G[{v1 , v2 , v3 }]
图论的基本概念及其应用
图论的基本概念及其应用图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和连接节点的边组成，以解决现实生活中的许多问题。
本文将介绍图论的基本概念，并探讨它在不同领域中的应用。
一、图的基本概念1. 节点和边图由节点（顶点）和边组成，节点代表某个实体或概念，边表示节点之间的关系。
节点和边可以有不同的属性，如权重、方向等。
2. 有向图和无向图有向图中，边有固定的方向，表示节点之间的单向关系；无向图中，边没有方向，节点之间的关系是相互的。
3. 连通图和非连通图连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径；非连通图则存在至少一个节点无法到达其它节点。
4. 网络流每条边上有一个容量限制，网络流通过边传输，满足容量限制的条件下尽可能多地进行。
二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径通过图论中的最短路径算法，可以计算出两个节点之间的最短路径。
最短路径在无人驾驶、物流配送等领域中具有重要的应用价值。
2. 最小生成树最小生成树算法用于寻找连接图中所有节点的最小总权重的树形结构。
在通信网络、电力输送等领域中，最小生成树被广泛应用。
3. 网络流问题图论中的网络流算法可以用于解决诸如分配问题、路径规划等优化问题。
例如，在医疗资源调度中，网络流算法可以帮助医院优化资源分配。
三、图论在社交网络分析中的应用1. 社交网络社交网络可以用图模型来表示，节点代表个体，边表示个体之间的联系。
利用图论分析社交网络，可以发现用户群体、影响力传播等信息。
2. 中心性分析中心性分析用于评估节点在网络中的重要性，衡量指标包括度中心性、接近中心性等。
中心节点的识别对于广告投放、信息传播等决策具有指导意义。
3. 社团检测社团检测可以发现社交网络中具有紧密联系的节点群体，进一步分析社交群体的行为模式、用户偏好等。
四、图论在物流优化中的应用1. 供应链管理供应链中的各个环节可以用图模型表示，通过图论算法优化物流路径，提高物流效率。
2. 仓库位置问题通过图论中的最短路径算法和最小生成树算法，可以找到最佳的仓库位置，使物流成本最小化。
图论的基本定义和应用
图论的基本定义和应用图论是一门数学分支，它以图这一数学结构为基础，研究各种图上的问题。
图是一种结构，包括顶点和边，顶点代表图中的元素，边描述元素之间的关系。
图论是研究图这一数学结构的性质和应用的学科。
图的基本定义在图论中，一个图由顶点集合V和边集合E组成，一般记为G = (V, E)。
其中，V是图中所有顶点的集合，E是图中所有边的集合。
如果边是由独立的顶点对构成的，就称这种图为无向图；如果边是由有序的顶点对构成的，就称这种图为有向图。
每条边都可以表示为(e,u,v)，其中e是边的标识，u和v是与边相连的两个顶点。
图的结构在图论中，有些图具有特定的结构，这些结构可以被用于解决各种各样的问题。
下面是一些常见的图结构。
树型结构：树是一种无环连接的图，其中有一个特殊的顶点称为根。
在树中，从根到任意一个顶点所经过的边所构成的路径都是唯一的。
树是一种重要的数据结构，被广泛应用于计算机科学和其他领域。
环型结构：环也是一种无向图，但是它具有特定的环形结构，其中每个顶点都与它相邻的两个顶点相连。
环型结构被广泛应用于通信网络和其他领域的设计中。
网状结构：网状结构是由多个环型结构和其他结构组合而成的图，其中有多个顶点是连接到其他顶点上的。
网状结构在物流和电力等领域中被广泛应用。
图的应用图论被广泛应用于计算机科学、工程和管理学等领域。
下面是一些常见的图论应用。
路由算法：在通信网络中，路由算法被用来确定包从源节点到目标节点的最佳路径。
路由算法可以利用图的结构来计算最短路径或其他优化路径。
最优化问题：许多最优化问题可以被转换为图的形式，例如最短路径问题和最小生成树问题。
通过使用图的模型来解决这些问题可以提高效率和可靠性。
社交网络分析：社交网络可以用图的形式进行建模，每个人都是一个顶点，他们之间的关系可以表示为边。
通过社交网络分析，可以了解网络中的信息流动模式和社交结构。
总结图论是一门广泛应用于各种学科的数学分支，其基本定义包括顶点和边。
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许多优化问题都等价于在一个图中寻 找最短路。例如，管道的铺设、线路的安 排、厂址的选取和布局、设备的更新等。 最短路问题一般归为两类：一类是求 从某个顶点到其他顶点的最短路径，可用 Dijkstra算法求解; 另一类是求图中每一对 顶点间的最短路径，可用Floyd算法求解。 Dijkstra 算法和Floyd 算法既适用于无 向图，也适用于有向图。
例1 已知图Leabharlann 的邻接矩阵为0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
求图G的关联矩阵。 结果为
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1
0 0 1 1
例2 已知图G的关联矩阵为
间的区别？ 14. 如何利用程序判定Euler图以及Hamilton 图？ 15. 如何理解网络流、网络最大流、最小费 用最大流？ 16. 如何应用Ford - Fulkerson算法、Dinic算 法及 Busacker- Gowan算法求解最大流、最 小费用最大流？
图论模型及其Matlab程序
3.3 用程序incToadj.m 和 diincToadj.m实现 上题中邻接矩阵和关联矩阵的相互转化。
3.4 写出下列网络的邻接矩阵：
二、最短路问题
最短路问题是计算机、运筹学、地理 信息科学等领域的研究热点之一。在数学 建模中，时常出现各类最短路问题。 最短路问题是指：若从图中的某一顶 点(源点) 到达另一顶点 (终点) 的路径不止 一条，如何寻找一条路径，使得沿此路径 各边上的权值总和 (源点到终点的距离) 最 小，这条路径称为最短路径。
1.5 路径 路径是图论中一个很重要的概念。 在图G(V,E)中, 若从vi出发，沿着一些 边经过顶点vp1,vp2,…,vpm，到达顶点vj，则 称顶点序列(vi,vp1,vp2,…, vpm,vj)为从顶点vi 到vj的一条路径或通路。 路径中边的数量称为路径的长度。 若路径中各顶点vi,vp1,vp2,…,vpm,vj均互 相不重复，则称之为简单路径。
容
8. Dijkstra算法和Floyd算法各适用于哪一类 最短路问题？ 9. 如何应用程序实现Dijkstra算法和Floyd算 法，怎样理解、改进输出结果？ 10. 如何理解树、生成树、最小生成树？ 11. 如何应用程序求解最小生成树？ 12. 什么叫环游、最优环游、Euler环游、 Hamilton环游、Euler图、Hamilton图？ 13. 如何理解中国邮递员问题和旅行商问题
若路径中第一个顶点 vi 与最后一个顶 点vj重合，则称此路径为回路。 除第一个和最后一个顶点外，没有顶 点重复的路径称为简单回路。 例如，
在G1中，(0,1,4,3)为0到3的一条路径， 且为简单路径, 长度为3；在G2中, (2,4,1,5) 为2到5的一条路径, 长度也为3, 而(4,3,2,4) 为一简单回路。
图论是数学的一个分支，以图为研究 对象。图论中的图是由若干个给定顶点及 若干条连接两个顶点的边所构成的图形， 这种图形通常用来描述某些事物之间的某 种特定关系，用顶点代表事物，用连接两 个顶点的边表示相应两个事物间具有这种 关系。这种图提供了一个很自然的数据结 构，可以对自然科学和社会科学中许多领 域的问题进行恰当的描述或建模，因此图
2.3 网络的邻接矩阵 对于网络G(V,E)，邻接矩阵A=(aij)n的 定义为
w i, j , i ! j i , j or (i , j ) E , aij , i ! j i , j or (i , j ) E , 0, i j,
1.6 权值与网络 某些图的边具有与之相关的数，称为 权值。这些权值可以表示从一个顶点到另 一个顶点的距离、时间、代价等。 若一个图的所有边都具有权值，则称 之为加权图或网络。 根据图中的边是否有向，网络又可以 分为有向网和无向网。 网络也可以用G(V,E)表示，其中边集
E中的每个元素有3个分量：边的两个顶点 和权值。 例如，下面两图分别为无向网和有向 网：
论研究越来越得到这些领域的专家和学者 的重视。 图论最早的研究起源于瑞士数学家欧 拉，他在1736年成功地解决了哥尼斯堡七 桥问题，从而开创了图论的先河。
在此后的200多年时间内, 图论的研究 从萌芽阶段，逐渐发展成为数学的一个新 分支。20世纪70年代以后，由于高性能计 算机的出现，使大规模图论问题的求解成 为可能。目前，图论理论已广泛应用于运 筹学、计算机科学、电子学、信息论、控 制论、网络理论、经济管理等领域。
由于图论有着丰富的算法和广泛的应 用，所以一直以来图论问题在信息类竞赛 中占有较大比重。例如，在著名的ACM/ ICPC程序设计竞赛中, 图的遍历、最小生 成树、最短路径、网络流、匹配问题、图 的连通性、图着色等都是常见问题。 数学建模竞赛中的图论问题不及ICPC 中的普遍，难度也不大。
本讲主要介绍图的一些基本概念及存 储方法、最短路问题、最小生成树问题、 可行遍性问题、网络流问题及其Matlab程 序。 本讲要求学生理解图论的基本概念； 掌握图的邻接矩阵表示方法；能较为熟练 地根据实际问题正确地建立图论模型，并 利用相应的Matlab程序求解；不要求理解 算法，编写程序。
1, vi 是e j的始点, mij 1, vi 是e j的终点, 0, vi 与e j 不关联,
1 1 0 A 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1
求图G的邻接矩阵。 结果为
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 1 0
3. 作业与上机练习
3.1 理解图的基本概念及存储方法； 3.2 写出下列两图的邻接矩阵和关联矩阵：
2012数学建模培训
第6讲 图论模型及Matlab程序
“图论模型及其Matlab程序”学习内
1. 如何理解图、无向图、有向图？ 2. 如何理解顶点与顶点及边的关系？ 3. 如何理解加权图？ 4. 如何确定图的邻接矩阵和关联矩阵？ 5. 如何确定网络的邻接矩阵？ 6. 如何应用程序实现邻接矩阵和关联矩阵 的转化？ 7.什么是最短路径问题，通常有几类？
例如，左图为完全图，右图为完全有 向图。
1.4 顶点与顶点、顶点与边的关系 在图论中，顶点与顶点、顶点与边的
关系是通过“邻接(Adjacency)”这个概念来 表示的。 在无向图G(V,E)中，若(u,v)是图中的 一条边，则称u和v互为邻接顶点，边(u,v) 依附于u,v，或称(u,v)与u,v相关联。 在有向图G(V,E)中, 若<u,v>是图中的 一条边，则称u邻接到v，v邻接自u，(u,v) 与u,v相关联。
(1) 设置两个顶点集合T和S； ① S中存放已找到最短路径的顶点， 初始时，S中只有u0； ② T中存放当前尚未找到最短路径的 顶点； (2) 在T中选取当前长度最短的一条最 短路径(u0,…,uk)，从而将uk加入S，并修改 u0到T中各顶点的最短路径长度。重复这一 步骤，直到所有顶点都加入到S中。
1 1 0 A 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0
对有向图G(V,E)，类似地定义
2. 图的存储方法
图的存储方法有多种，最常用的存储 方法是邻接矩阵和关联矩阵。 2.1 邻接矩阵 设无向或有向图G(V,E)，V={v1,v2,…, vn}，E={e1,e2,…, em}。用aij表示vi,vj间的边 数，即
1, v , v E 或 v , v E , i j i j aij 否则, 0,
一、图的基本概念与图的存储
1. 图的基本概念
图论的一个特点就是概念特别多。 这里只介绍一些基本的概念，其它概 念在后面用到时再补充介绍。
1.1 图 图是由顶点集合和边的集合组成的数 据结构，通常用G(V,E)来表示，其顶点集 合和边的集合分别用V(G)和E(G)表示。
例如，右图所示的图 可表示为G(V,E)。其中， V(G)={0,1,2,3,4,5}， E(G)={(0,1),(0,2),(1,2),(1,3), (1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(3,4)}。 1.2 无向图与有向图 所有边都没有方向的图称为无向图， 如1.1中的图；每条边都有方向的图称为有 向图，通常用<u,v>表示从u到v的有向边。
当顶点数较大时, 经典Dijkstra算法的 运行效率较低。为此，研究人员陆续提出 了两个改进算法：DijkstraI和DijkstraII。 1.3 Dijkstra算法程序及实例 Dijkstra算法及其两个改进算法的程序 分别见Dijkf.m，dij1.m和dij2.m。 在Dijkf 中，输入为问题的邻接矩阵， 输出为3个向量：d, index1, index2。其中di 为由源点到第i个顶点的最短距离；index1
例如，对于右图所示 的有向图G(V,E)，V(G)= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, E(G)= {<0,1>,<1,2>,<1,4>,<1,5>, <2,4>,<3,2>,<4,1>,<4,3>,<5,6>}。 1.3 完全图 任何一对顶点都有一条边的图称为完 全图；任何一对顶点u,v都有<u,v>和<v,u> 两条有向边的图称为完全有向图。