图论-图的基本概念

若 i, j 中有奇数，比如 i 是奇数，则路 P 上 v0 到 vi 的一段与边 v0vi 构成一个偶圈； 若 i, j 都是偶数，则路 P 上 vi 到 v j 的一段与边 v0vi 及 v0v j 构成一个偶圈。证毕。 例 1.1.4 设 G 是简单图，若δ (G) ≥ 3 ,则 G 中各个圈长的最大公因数是 1 或 2。 证明：由上例知，G 中有长分别为 i + 1, j + 1和 j − i + 2 的圈。若 i + 1, j + 1， j − i + 2 三 数有公因数 m > 2 ，则 m | ( j − i) ，于是 m | 2 ，这是不可能的。因此 i + 1, j + 1， j − i + 2
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
注： （1）途径（闭途径）、迹（闭迹）、路（圈）上所含的边的个数称为它的长度。 （2）简单图 G 中长度为奇数和偶数的圈分别称为奇圈(odd cycle)和偶圈(even cycle)。
（3）对任意 x, y ∈V (G) ，从 x 到 y 的具有最小长度的路称为 x 到 y 的最短路（shortest path）， 其长度称为 x 到 y 的距离(distance)，记为 dG ( x, y) 。 （4）图 G 的直径(diameter): D = max{dG ( x, y) |∀x, y ∈V (G)} .
5. 路和圈
途径(walk)：图 G 中一个点边交替出现的序列 w = v e v e i0 i1 i1 i2 ⋯eik vik 。
迹(trail)：边不重的途径。 路(path): 顶点不重复的迹。
（注：简单图中的路可以完全用顶点来表示， P = v vi0 i1 ⋯vik ）
闭途径（closed walk）：起点和终点相同的途径。 闭迹(closed trail)：起点和终点相同的迹，也称为回路（circuit）. 圈(cycle): 起点和终点相同的路。
点导出子图(induced subgraph)：设V ′ ⊆ V (G) ，以V ′ 为顶点集，以两端点均在V ′ 中的边 的全体为边集所组成的子图，称为 G 的由顶点集V ′ 导出的子图，简称为 G 的点导出子图， 记为 G[V ′] .
边导出子图(edge-induced subgraph)：设 E′ ⊆ E(G) ，以 E′ 为顶点集，以两端点均在 E′ 中 的边的全体为边集所组成的子图，称为 G 的由边集 E′ 导出的子图，简称为 G 的边导出子图， 记为 G[E′].
图论与网络流理论
（Graph Theory and Network Flow Theory）
主要讲授图论与网络流理论的基本概念、方法和定理，介绍该领域重要的问 题以及典型的算法，展示图论与网络流模型及方法的广泛应用。
内容提要
第一章 图的基本概念
图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩阵与邻接矩阵。 路、圈与连通图；最短路问题。 树及其基本性质；生成树；最小生成树。
第六章 图的着色问题
点着色；边着色；平面图；四色猜想；色多项式；色数的应用。
第七章 网络流理论
有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割定理；求最大流的标号算法；最小费 用流问题；最小费用最大流；网络流理论的应用。
主要参考书
[1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph theory with applications, 1976, 有中译本（吴望名等译）。 [2] B.Bollobas, Modern graph theory (现代图论)，科学出版社，2001。 [3] 蒋长浩，图论与网络流，中国林业出版社，2001。 [4] 田丰，马仲蕃，图与网络流理论，科学出版社，1987。 [5] 徐俊明，图论及其应用，中国科技大学出版社，1998。 [6] 王树禾，图论及其算法，中国科技大学出版社，1994。 [7] 殷剑宏，吴开亚，图论及其算法，中国科技大学出版社，2003。 考核方式：平时成绩＋期末闭卷笔试
和 Y。
（2）否则，设 u′ 是 P 与 Q 的最后一个公共顶点，因 P 的 (u, u′) 段和 Q 的 (u, u′) 段都是 u 到 u′ 的最短路，故这两段长度相等。
假如 P，Q 的奇偶性相同，则 P 的 (u′, v1) 段和 Q 的 (u′, v2 ) 段奇偶性相同，这两段与边 e 构成一个奇圈，与定理条件矛盾。可见 P，Q 的奇偶性不同，从而 v1, v2 分属于 X 和 Y。
完全二部图(complete bipartite graph)：在二部图 G = ( X ∪ Y , E) 中，若 X 的每个顶点与 Y 的每个顶点有边连接，则称 G 为完全二部图；若 | X |= m ， | Y |= n ，则记此完全二部图为 Km,n 。
定理 1.1.2 一个图是二部图当且仅当它不含奇圈。
8. 图的同构
由前已知，同一个图有不同形状的图示。反过来，两个不同的图也可以有形状相同的图
第二章 图的连通性
割点、割边和块；边连通与点连通；连通度；Whitney 定理；可靠通信网络的设计。
第三章 匹配问题
匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配；指派问题与最大权匹配。
第四章 欧拉图与哈密尔顿图
欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问题。
第五章 支配集、独立集、覆盖集与团
支配集、点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念及其求法。
X = {v ∈V (G) | d (u, v)＝odd} ，Y = {v ∈V (G) | d (u, v)＝even}。 任取一条边 e = v1v2 ，欲证 v1, v2 分属于 X 和 Y。设 P，Q 分别是 u 到 v1, v2 的最短路。 （1）如果 P = Q + v2v1 或 Q = P + v1v2 ，则 v1, v2 到 u 的距离奇偶性相反， v1, v2 分属于 X这便证明了 G 是一个二 Nhomakorabea图。 证毕。
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
圈。证毕。
例 1.1.3 设 G 是简单图，若δ (G) ≥ 3 ,则 G 必有偶圈。
证明：设 P = v0v1 ⋯vk 是 G 的最长路。 因为 d (v0 ) ≥ 3 ， 所以存在两个与 v1 相异的顶点 v′, v′′ 与 v0 相邻。 v′, v′′ 必都在路 P 上，
否则会得到比 P 更长的路。无妨设 v′ = vi , v′′ = v j , (i < j) 。
证明： 必要性：设 C = v0v1 ⋯vk v0 是二部图 G = ( X ∪ Y , E) 的一个圈。无妨设 v0 ∈ X ， 由二部图的定义知， v1 ∈ Y ， v2 ∈ X ， ⋯，一般地， v2i ∈ X ， v2i+1 ∈Y ，（ i = 0,1,⋯）。 又因 v0 ∈ X ，故 vk ∈Y ，因而 k 是奇数。注意到圈 C 上共有 k + 1 条边，因此是偶圈。 充分性：设 G 不含奇圈。取 u ∈V (G) ，令
V1,V2 ,⋯,Vω ，使得两顶点属于同一子集当且仅当它们在 G 中连通，则称每个子图 G[Vi ] 为 图 G 的一个连通分支（ i = 1,2,⋯,ω ）。
注：（1）图 G 的连通分支是 G 的一个极大连通子图。
（2）图 G 连通当且仅当ω＝1。
例 1.1.5 设有 2n 个电话交换台，每个台与至少 n 个台有直通线路，则该交换系统中任二台均 可实现通话。 证明：构造图 G 如下：以交换台作为顶点，两顶点间连边当且仅当对应的两台间有直通线
路。问题化为：已知图 G 有 2n 个顶点，且δ (G) ≥ n ，求证 G 连通。
事实上，假如 G 不连通，则至少有一个连通分支的顶点数不超过 n。在此连通分支中，
顶点的度至多是 n − 1 。这与δ (G) ≥ n 矛盾。证毕。
例 1.1.6 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。 证明：用反证法。假如 u 与 v 不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将每个分支看成一 个图时，其中只有一个奇度顶点。这与推论 1.1.1 矛盾。证毕。
三数的公因数必不超过 2。从而各个圈长的最大公因数是 1 或 2。证毕。
6. 二部图 二部图 (bipartite graph)：若图 G 的顶点集可划分为两个非空子集 X 和 Y，使得任一条边都
有一个端点在 X 中，另一个端点在 Y 中，则称 G 为二部图（或偶图），记为 G＝ ( X ∪ Y , E) ， ( X ,Y ) 称为 G 的一个划分。
（12）正则图(regular graph)：每个顶点的度都相等的图。
（13）图的补图(complement)：设 G 是一个图，以V (G) 为顶点集，以{(x, y) | (x, y) ∉ E(G)} 为边集的图称为 G 的补图，记为 G 。