圆的知识点概念公式大全

圆知识点概念公式大全

一．圆定义

1．在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成图形叫圆．这个固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心圆记作⊙O，读作圆O．

2．圆是在一个平面内，所有到一个定点距离等于定长点组成图形．3．确定圆条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆位置，半径长确定圆大小．

二．同圆、同心圆、等圆

1．圆心一样且半径相等圆叫做同圆；

2．圆心一样，半径不相等两个圆叫做同心圆；

3．半径相等圆叫做等圆．

三．弦与弧

1．连结圆上任意两点线段叫做弦．经过圆心弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长弦，直径等于半径2倍．

2．圆上任意两点间局部叫做圆弧，简称弧．以A B

、为端点弧记作AB，读作弧AB．

在同圆或等圆中，能够重合弧叫做等弧．

3．圆任意一条直径两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆弧叫做优弧，小于半圆弧叫做劣弧．4．从圆心到弦距离叫做弦心距．

5．由弦及其所对弧组成图形叫做弓形．

四．与圆有关角及相关定理

1．顶点在圆心角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份弧对应1︒圆心角，我们也称这样弧为1︒弧．圆心角度数与它所对弧度数相等．

2．顶点在圆上，并且两边都与圆相交角叫做圆周角．

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角一半．

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．

推论2：半圆〔或直径〕所对圆周角是直角，90︒圆周角所对弦是直径．

〔在同圆中，半弧所对圆心角等于全弧所对圆周角〕

3．顶点在圆内，两边与圆相交角叫圆内角．

圆内角定理：圆内角度数等于圆内角所对两条弧度数与一半．

4．顶点在圆外，两边与圆相交角叫圆外角．

圆外角定理：圆外角度数等于圆外角所对长弧度数与短弧度数差一半．

5．圆内接四边形对角互补，一个外角等于其内对角．

6．如果三角形一边上中线等于这边一半，那么这个三角形是直角三角形．

7．圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理：在同圆或等圆中，相等圆心角所对弧相等，所对弦相等，所对弦弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦弦心距中有一组量相等，那么它们所对应其余各组量分别相等．

五．垂径定理

1．垂径定理：垂直于弦直径平分这条弦，并且平分弦所对两条弧．平分弦〔不是直径〕直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧；

2．其它正确结论：

⑴弦垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对两条弧；

⑵平分弦所对一条弧直径，垂直平分弦，并且平分弦所对另一条弧．

⑶圆两条平行弦所夹弧相等．

3．知二推三：

⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分弦非直径．

4．常见辅助线做法：

⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；

⑵有弧中点，连中点与圆心，得垂直平分．

相关题目：

1．平面内有一点到圆上最大距离是6，最小距离是2，求该圆半径2．〔08郴州〕在O

r=，AB CD

⊙中，半径5

，是两条平行弦，且

，，那么弦AC长为__________．．==

AB CD

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六．点与圆位置关系

1．点与圆位置有三种：

⑴点在圆外⇔d r>；⑵点在圆上⇔d r=；⑶点在圆内⇔d r<.

如下表所示：

2．过点作圆

⑴经过点A圆：以点A以外任意一点O为圆心，以OA长为半径，

即可作出过点A圆，这样圆有无数个．

⑵经过两点A B

、圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以

、圆，这样圆也有无数个．OA长为半径，即可作出过点A B

⑶过三点圆：假设这三点A B C

、、共线时，过三点圆不存在；假设、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC中垂线交点，而这

A B C

个交点O是唯一存在，这样圆有唯一一个．

⑷过n()4

n≥个点圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定圆圆心．

3．定理：不在同一直线上三点确定一个圆．

注意：⑴“不在同一直线上〞这个条件不可无视，换句话说，在同一直线上三点不能作圆；

⑵“确定〞一词含义是“有且只有〞，即“唯一存在〞．4．三角形外接圆

⑴经过三角形三个顶点圆叫做三角形外接圆，外接圆圆心是三角形

三条边垂直平分线交点，叫做三角形外心，这个三角形叫做这个圆内接三角形．

⑵三角形外心性质：

①三角形外心是指外接圆圆心，它是三角形三边垂直平分线交

点，它到三角形各顶点距离相等；

②三角形外接圆有且只有一个，即对于给定三角形，其外心是唯

一，但一个圆内接三角形却有无数个，这些三角形外心重合.

⑶锐角三角形外接圆圆心在它内部〔如图1〕；直角三角形外接

圆圆心在斜边中点

处〔即直角三角形外接圆半径等于斜边一半，如图2〕；钝角三

角形外接圆圆心在

它外部〔如图3〕.

五．直线与圆位置关系定义、性质及判定

设O

⊙半径为r，圆心O到直线l距离为d，那么直线与圆位置关系如下表：

从另一个角度，直线与圆位置关系还可以如下表示：

四．切线性质及判定

1. 切线性质：

定理：圆切线垂直于过切点半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线直线必经过圆心．

2. 切线判定

定义法：与圆只有一个公共点直线是圆切线；

距离法：与圆心距离等于半径直线是圆切线；

定理：经过半径外端并且垂直于这条半径直线是圆切线．

3. 切线长与切线长定理：

⑴在经过圆外一点圆切线上，这点与切点之间线段长，叫做这点到圆切线长．

⑵从圆外一点引圆两条切线，它们切线长相等，圆心与这一点连

线平分两条切线夹角．

五．三角形内切圆

1. 定义：与三角形各边都相切圆叫做三角形内切圆，内切圆圆心叫

做三角形内心，