空间中的位置关系

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空间位置关系了解物体在空间中的位置关系

空间位置关系了解物体在空间中的位置关系物体在空间中的位置关系是我们在日常生活中经常接触到的概念。

了解和认识物体之间的空间位置关系对于我们的思维发展和实际操作都非常重要。

在本文中，我们将探讨物体在空间中的位置关系，并通过实例和图表来加深理解。

一、水平和垂直位置关系水平和垂直是描述物体位置的基本概念。

水平是指与地平面平行的方向，而垂直则是与地平面垂直的方向。

当我们讨论两个物体之间的位置关系时，可以使用水平和垂直的概念来描述它们之间的相对关系。

例如，在一个房间中，有一张桌子和一把椅子。

我们可以说桌子位于地平面上的水平位置，而椅子则位于地平面上的垂直位置。

这种描述可以帮助我们准确定位物体在空间中的位置关系。

二、前后和左右位置关系除了水平和垂直位置关系外，物体之间还存在前后和左右的位置关系。

当我们描述一个物体在另一个物体的前面或后面时，我们可以使用前后的概念。

同样，当我们描述一个物体在另一个物体的左边或右边时，我们可以使用左右的概念。

例如，在一个果盘中有几个水果，我们可以说一个苹果在梨的前面，一个橘子在梨的后面。

这种描述可以帮助我们更清楚地理解物体在空间中的前后和左右位置关系。

三、上下位置关系除了水平、垂直、前后和左右位置关系外，物体之间还存在上下的位置关系。

当我们讨论一个物体在另一个物体的上方或下方时，我们可以使用上下的概念。

例如，在一个书架上有几本书，我们可以说一本字典在一本小说的上方，一本杂志在一本报纸的下方。

这种描述可以帮助我们更好地理解物体在空间中的上下位置关系。

四、分析和解决问题了解物体在空间中的位置关系对于我们解决实际问题非常重要。

当我们面临一些需要处理空间位置关系的情况时，可以通过以下步骤来分析和解决问题：1.观察：仔细观察物体之间的位置关系，注意它们的相对方向和位置。

2.描述：使用适当的术语和概念来描述物体之间的位置关系，例如水平、垂直、前后、左右、上下等。

3.图表：可以使用图表、示意图或示例来帮助理解和表达物体的位置关系。

教案(空间中点、线、面的位置关系)

空间中点、线、面的位置关系教案3.点与平面空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合.位置关系符号表示图形表示点A在平面α内α∈A点A不是平面α内的点α∉A4.直线与平面（1）直线l在平面α内（或平面α过直线l）：直线l上的所有点都在平面α内，记作α⊂l.（2）直线l在平面α外：直线l上至少有一个点不在平面α内，记作α⊄l . ①直线l 与平面α相交：直线l 与平面α有且只有一个公共点A ，记作A l =α .①直线l 与平面α平行：直线l 与平面α没有公共点，记作α//l .5. 平面与平面位置关系符号表示图形表示平面βα与相交 l =βα平面βα与平行 βα//三、直线与平面垂直1. 直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α相交于点A ，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有ml⊥，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作α⊥l.其中点A称为垂足.2.点与面的距离：给定空间中的一个平面α及一个点A，过点A作只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.3.直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；4.两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.例 2 在正方体1111D C B A ABCD -中，（1）与直线1AA 异面的棱有条；（2）与直线B A 1相交的棱有条；（3）直线B A 1与直线C B 1的位置关系是；（4）直线B A 1与直线C D 1的位置关系是 .【答案】(1)排除相交和平行的情况，4条； (2)从一个顶点出发的棱有3条，所以共有6条；(3)异面，通过找到衬托平面来判断； (4)平行.例 3 已知1111D C B A ABCD -是长方体，且2,3,41===AA AD AB .（1）求点A 到平面11B BCC 的距离；（2）求直线AB 到平面1111D C B A 的距不在平面内，这与直线上无数个点都不在平面上不同.两条直线的平行依赖于在同一平面内没有公共点，所以仅由直线与平面平行不可得到.在正方体内，判断两条直线的位置关系，通过对图形的观察，熟练掌握位置关系描述和判断的方法.。

高中数学必修2立体几何常考题型：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。

空间几何中的点直线平面的位置关系

空间几何中的点直线平面的位置关系在我们的日常生活中，空间几何的概念无处不在。

从我们居住的房屋结构，到道路的布局，再到各种建筑的设计，都离不开空间几何的知识。

而在空间几何中，点、直线和平面是最基本的元素，它们之间的位置关系也是我们理解和解决空间几何问题的关键。

首先，让我们来认识一下点。

点，是空间中最基本的单位，它没有大小，只有位置。

可以把点想象成是宇宙中的一颗星星，在浩瀚的空间中有着自己独特的坐标。

在数学中，我们通常用一个坐标来表示一个点的位置，比如在二维空间中，点可以用（x，y）来表示；在三维空间中，点则用（x，y，z）来表示。

接下来是直线。

直线是由无数个点组成的，它可以向两端无限延伸。

想象一下，在晴朗的夜晚，我们看到的笔直的星光，那就是一种近似于直线的存在。

直线在空间几何中有着重要的地位，它的特点是没有弯曲，没有尽头。

我们可以用一个点和直线的方向向量来确定一条直线，也可以用两个不同的点来确定一条直线。

然后是平面。

平面就像是一张无限延展的平坦的纸，它没有厚度。

比如我们脚下的大地，如果忽略其起伏和凹凸不平，就可以近似地看作一个平面。

平面可以用一个点以及平面的法向量来表示，也可以用三个不共线的点来确定一个平面。

了解了点、直线和平面的基本概念后，接下来我们看看它们之间的位置关系。

点与直线的位置关系相对简单，点要么在直线上，要么不在直线上。

如果点在直线上，那么这个点的坐标满足直线的方程；如果点不在直线上，那么它的坐标就不满足直线的方程。

点与平面的位置关系也是类似，点要么在平面内，要么在平面外。

如果点在平面内，那么这个点的坐标满足平面的方程；如果点在平面外，那么它的坐标就不满足平面的方程。

直线与直线的位置关系就稍微复杂一些。

两条直线可能平行，也就是它们的方向向量相同，但位置不同，它们永远不会相交；两条直线也可能相交，即它们在空间中有一个共同的交点；还有一种特殊情况，就是两条直线重合，此时它们的方程完全相同，所有的点都相同。

空间点、直线、平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎨⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l⊄α.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．二、常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．考点一平面的基本性质及应用B1C1D1中，E，F分[典例]如图所示，在正方体ABCD-A别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈DA，∴CE，D1F，DA三线共点．[变透练清]1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．2.(变结论)若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1共线．证明：连接BD1(图略)，因为BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线，故BD1与A1C相交，则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1共线，因为BD1⊂平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，与M重合，故B，M，D1共线．考点二空间两直线的位置关系[典例](1)(优质试题·郑州模拟)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a ⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是() A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面(2)G，N，M，H分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填序号)[解析](1)如图，取平面ABCD为α，平面ABFE为β.若直线CH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，BE，此时CD，BE异面，即b，c异面，排除A；若直线GH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，EF，此时CD，EF平行，即b，c平行，排除B；若直线BH为a，则a在α，β内的射影分别为BD，BE，此时BD，BE相交，即b，c 相交，排除C.综上所述选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．[答案](1)D(2)②④[题组训练]1．下列结论中正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选B①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.2.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的序号为________．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④[课时跟踪检测]1．(优质试题·衡阳模拟)若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交解析：选A当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A由BC綊AD，AD綊A1D1，知BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，故A1B与EF相交．3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.4.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解析：选D设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．5．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外解析：选A如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH 相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P 必在直线AC上．6.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：57．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面P AD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD 的交线是________．解析：由题易知EF ∥BC ，BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，故EF ∥平面P AD ，因为EF ∥AD ，所以E ，F ，A ，D 四点共面，所以AD 为平面AEF 与平面ABCD 的交线．答案：平行 AD8.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，有以下四个结论．①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．其中正确结论的序号为________．解析：如图所示．连接EH ，FG ，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：④9.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．(1)AM 和CN 是否共面？说明理由；。

空间关系知识点总结

空间关系知识点总结一、空间概念空间是指周围的环境由物质实体所构成的三维空间。

在这个空间中，物体可以相对移动，相对位置也会发生变化。

在空间中，我们可以观察到物体的位置、形状和大小等属性。

空间关系是指事物在空间中的相对位置关系。

空间关系有三种形式，即相对位置、方位和距离。

1.相对位置：相对位置是指两个物体在空间中的相对位置关系。

当我们描述一个事物所处的位置时，一定要以另一事物为基准来描述，这就是相对位置。

例如，A在B的左边，B在A的右边，这是相对位置的描述。

2.方位：方位是指事物在空间中的朝向关系。

方位由四个基本方向组成，即东、西、南、北。

在地理空间中还有东北、东南、西北、西南等方位。

方位是空间中非常重要的关系，能够帮助我们更准确地描述事物在空间中的位置。

3.距离：距离是指两个事物在空间中的间隔距离。

在空间中，物体可以通过距离来描述物体的相对远近。

距离是空间关系中很重要的一个方面，它可以通过度量直线距离、曲线距离来描述物体之间的相对远近。

二、空间语言描述空间关系可以通过语言来进行描述。

语言描述可以帮助我们更加准确地了解物体在空间中的位置、方位以及距离。

在语言描述中，要注意以下几点：1.使用准确的定位词语：在描述空间关系时，要使用准确的定位词语，如“上、下、左、右、前、后”等。

这些词语可以帮助我们更加准确地描述事物在空间中的位置。

2.使用准确的方向词语：在描述方位时，要使用准确的方向词语，如“东、西、南、北”等。

这些词语可以帮助我们更加准确地描述事物在空间中的朝向关系。

3.使用准确的距离词语：在描述距离时，要使用准确的距离词语，如“远、近、远离、靠近”等。

这些词语可以帮助我们更加准确地描述事物在空间中的相对远近关系。

三、空间关系的认知发展儿童对空间关系的认知发展是一个渐进的过程。

在儿童的认知过程中，从最初的“具体视觉参照”到“图形概念”再到“抽象概念”，儿童对空间关系的认知逐渐升级。

1.具体视觉参照：儿童最开始的认知是基于具体的物体进行的。

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系课件

答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错【典例】设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那

空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点；（2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网（3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3．空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：（1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线（2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ；（2）证明∥a b ，∥b c ；（3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1）图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；（2）证明：证明作出的角就是要求的角；（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线（2）平行直线（3）异面直线二、1．（1）平行（2）a ∥c 2．（1）相等或互补三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法：（1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等；（3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ．【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形；（2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°．由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形，当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1）（2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。

空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、空间中直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有___________种： ①直线在平面内——有___________个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③___________——没有公共点. 学*科网直线与平面相交或平行的情况统称为___________. 2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．直线和平面位置关系的分类（1）按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点（2）按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内（3）按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行二、平面与平面之间的位置关系 1．两个平面之间的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有___________条公共直线. 2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示3．两个平行平面的画法画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行,且把这两个平行四边形上下放置.K 知识参考答案：一、1．三无数直线与平面平行直线在平面外二、 1．一K—重点了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系K—难点会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面与平面之间的位置关系K—易错对概念理解不透彻致误1．直线与平面的位置关系空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．【例1】若直线a α,则下列结论中成立的个数是①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a 平行的直线A．0 B．1C．2 D．3【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.2．平面与平面的位置关系判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．【例2】已知α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β【答案】D【解析】不能保证α，β无公共点．如图：故A、B选项错误.当a∥α，a∥β时，α与β可能相交．如图：故C选项错误.平面α内所有直线都与平面β平行，说明α，β一定无公共点，则α∥β.故D选项正确.【名师点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断.【例3】如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系是A．平行B．相交C．平行或相交D．不确定【答案】C【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊂平面ABCD,C1D1⊂平面A1B1C1D1,C1D1⊂平面CDD1C1,AB∥C1D1,但平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD与平面CDD1C1相交.3．对直线与平面相交的概念理解不透彻致误【例4】已知：直线a∥b，a∩平面α=P，求证：直线b与平面α相交.【错解】如图，因为a∥b，所以a，b确定一个平面，设该平面为β.因为a∩平面α=P，所以P∈a，P∈α,所以P∈β,即点P为平面α与β的一个公共点，由此可知α与β相交于过点P的一条直线，记为c，即α∩β=c.在平面β内，a∥b，a∩c=P.由平面几何知识可得b与c也相交，设b∩c=Q,则Q∈b，Q∈c.因为c⊂α，所以Q∈α,所以直线b与平面α相交.【错因分析】错解中对直线与平面相交的概念理解不透彻，误认为直线和平面相交就是直线和平面有一个公共点.【名师点睛】直线与平面相交，要求直线与平面有且只有一个公共点，即直线与平面有一个公共点且直线不在平面内，也就是直线既不与平面平行，又不在平面内.1．已知直线与直线垂直，，则与的位置关系是A．//B．C．相交D．以上都有可能2．如果空间的三个平面两两相交，那么A．不可能只有两条交线B．必相交于一点C．必相交于一条直线D．必相交于三条平行线3．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α与β重合D ．α∥β或α与β相交4．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是A ．α内的所有直线均与a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内直线均与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点 5．以下命题（其中a b ，表示直线，α表示平面）： ①若∥a b ，b α⊂，则∥a α； ②若∥a α，b α⊂，则∥a b ； ③若∥a b ，∥b α，则∥a α. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．36．若M ∈平面α，M ∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是． 7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，试判断：（1）AM 所在的直线与平面ABCD 的位置关系；（2）CN 所在的直线与平面ABCD 的位置关系；（3）AM 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系；（4）CN 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系.8．三个平面,,αβγ，如果,,∥a b αβγαγβ==,且直线,∥c c b β⊂.（1）判断c 与α的位置关系,并说明理由; （2）判断c 与a 的位置关系,并说明理由.9．若a ，b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是 A ．∥b α B ．相交C ．b α⊂D ．b α⊂、相交或平行 10．已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线lA ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都有可能11．不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号）12．如图所示，1111ABCD A B C D -是正方体，在图①中E ，F 分别是11D C ，1B B 的中点，画出图①、②中有阴影的平面与平面ABCD 的交线，并给出证明．1 2 3 4 5 9 10 DADDADB3．【答案】D【解析】如图，设α∩β＝l ，则在α内与l 平行的直线可以有无数条a 1，a 2，…，a n ，…，它们是一组平行线．这时a 1，a 2，…，a n ，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l.另外也有可能αβ∥.故选D.4．【答案】D【解析】直线a 不平行于平面α，则a 在α内或a 与α相交，故A 错；当a α⊂时，在平面α内存在与a 平行的直线，故B 错；α内的直线可能与a 平行或异面，故C 错；显然D 正确. 5．【答案】A【解析】若∥a b ，b α⊂，则∥a α或a α⊂，故①不正确；若∥a α，b α⊂，则∥a b 或,a b 异面，故②不正确；若∥a b ，∥b α，则∥a α或a α⊂，故③不正确．故选A ． 6．【答案】相交【解析】由公理3知，α与β相交．7．【解析】（1）AM 所在的直线与平面ABCD 相交．（2）CN所在的直线与平面ABCD相交．（3）AM所在的直线与平面CDD1C1平行．（4）CN所在的直线与平面CDD1C1相交．9．【答案】D【解析】三种情况如图（1）,（2）,（3）.10．【答案】B【解析】若直线l与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l平行，故A错误；若直线l∥平面α，则在平面α内不存在直线与l相交，故C错误；对于直线l与平面α相交，直线l与平面α平行，直线l在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，故选B.11．【答案】①【解析】如图，三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.证明：在图①中，因为直线EN ∥BF ，所以、、、B N E F 四点共面，又2EN BF ，因此EF 与BN 相交，设交点为M .因为M ∈EF ，且M ∈NB ，而EF ⊂平面AEF ，NB ⊂平面ABCD ，所以M 是平面ABCD 与平面AEF 的公共点．又因为点A 是平面AEF 和平面ABCD 的公共点，故AM 为两平面的交线．在图②中，C 1M 在平面11CDD C 内，因此与DC 的延长线相交，设交点为M ，则点M 为平面11A C B 与平面ABCD 的公共点，又点B 也是这两个平面的公共点，因此直线BM 是两平面的交线．学！科网。

空间点、直线、平面之间的位置关系

3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB， BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件_A_C__＝__B_D_时，四边形EFGH为菱形；
∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH， ∵EF 綉12AC，EH 綉12BD， ∴AC＝BD.
(2) 当 AC ， BD 满足条件 _A__C_＝__B_D__且__A_C_⊥__B_D__ 时，四边形 EFGH为正方形.
∴CE，D1F，DA三线共点.
教师备选
如图所示，已知在正方体 ABCD － A1B1C1D1 中， E ， F 分别为 D1C1 ， C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
∵EF是△D1B1C1的中位线， ∴EF∥B1D1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD， ∴EF∥BD. ∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
(1)E，C，D1，F四点共面；
如图所示，连接CD1，EF，A1B， ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B，且 EF＝12A1B. 又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，即E，C，D1，F四点共面.
方法一如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为 B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP. 又BP⊂平面B1BP，所以C1P⊥BP. 连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角. 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在 Rt△C1PB 中，C1P＝12B1D1＝ 2， BC1＝2 2，sin∠PBC1＝PBCC11＝12，所以∠PBC1＝π6.

高中数学(人教B版)必修第四册：空间中点、线、面的位置关系【精品课件】

AA₁=2
例已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
两平面平行，则平面ADD₁A₁与
平面BCC₁B₁ 之间的距离即为
AB=4.
小结
点在线上
点与线
共面
两条直线
点不在线上
异面
平行
相交
小结
点在面上
点与面
相交
1.点与直线
2.两条直线
3.点与平面
4.直线与平面
5.两个平面
空间中的直线可看成这条直线上所有点组成的集合.
位置关系
符号表示
图形表示
位置关系
符号表示
a // l
图形表示
空间中的两条直线既不平行也不相交，则称这
两条直线异面.
两条直线异面，则它们不同
在任何一个平面内.
用平面衬托的方法表示
两直线异面.
α//β, ∀A∈ α, 过A作AB⊥ β于B,
则线段AB的长为与的距离.
例已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（1）求点A到平面BCC₁B₁的距
离；
（2）求直线AB到平面A₁B₁C₁D₁的
距离；
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
例已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
反例：
)
例判断下列命题的正误：
(2)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
线都平行.
反例：
(
×
)
例判断下列命题的正误：
(3)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直

空间几何中的位置关系与距离计算

空间几何中的位置关系与距离计算在空间几何中，位置关系与距离计算是两个核心概念。

准确理解和应用这些概念对于解决几何问题至关重要。

本文将介绍空间几何的位置关系概念，并详细阐述距离计算方法。

一、位置关系概念在空间几何中，我们常常需要确定点或者物体之间的位置关系。

以下是一些常见的位置关系概念：1. 同一平面：当两个点或者物体处于同一平面内时，它们被称为共面。

共面的点可以在同一个平面上画出，物体可以放置在同一平面上。

2. 平行关系：两个直线或者平面在空间中不相交，且始终保持相同的距离，这时它们被称为平行的。

3. 垂直关系：两个直线、平面或者线线、线面相交的两条线段夹角为90度时，它们被称为垂直的。

垂直关系是一种特殊的相交关系。

4. 垂直平分面：垂直平分面指将一条线段垂直平分的平面。

垂直平分面使得线段上的两个点到平面的距离相等。

5. 垂直平分线：垂直平分线指将一条线段垂直平分的直线。

垂直平分线使得线段上的两个点到直线的距离相等。

以上是一些重要的位置关系概念，合理应用可以帮助我们更好地理解和分析空间几何中的问题。

二、距离计算方法在空间几何中，计算点或者物体之间的距离是解决问题的关键一步。

以下是几种常见的距离计算方法：1. 两点之间的距离：如果我们知道空间中两点的坐标，可以使用勾股定理计算它们之间的距离。

设两点的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则两点间的距离d计算公式为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)2. 点到直线的距离：点到直线的距离是指一个点到直线上一点的最短距离。

设直线的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)，则点到直线的距离d计算公式为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)3. 点到平面的距离：点到平面的距离是指一个点到平面上一点的最短距离。

空间中直线与直线之间的位置关系

与直线BA′成异面直线的有直线B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.
√ （与2直）线那直线垂B么A直′和. 这CC′的两夹角是组多少直？线所成的锐角（或直角）相等.（
）
同理，FG∥BD，且FG= BD.
理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的
2.填空： (1) 空间两条不重合的直线的位置关系有平行、
=
5+5-4 2× 5×
5
=
3 5
.
F E
5.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB=2 3 ,AD=2 3 , AE=2. (1)求BC和EG所成的角是多少度? (2)求AE和BG所成的角是多少度?
H
G
E
2 2 3D
A
23
F C
B
解答：
(1)因为GF∥BC，所以∠EGF（或其补角）为所求. H
(4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________．
相交异面
问题探究
例2在如图同，已一知正方平体A面BCD内－A′B，′C′D′.如果两条直线都与第三条直线平行，那
有且仅有一个公共点——相交直线
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直.
么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
证明：连接BD. 因为 EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD,且EH=1 BD.
21 同理，FG∥BD，且FG= BD.
2 因为EH∥FG，且EH =FG，
A
H
E
D G
B
F
C
所以四边形EFGH是平行四边形.
[拓展1] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC＝BD，则四边形EFGH为菱形 . [拓展2] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形 . [拓展3] 若E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH 为正方形 . (以上三个问题你会证明吗？不妨一试)

高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系

5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面有__0_或__1___个．
解析当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1；和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③，若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．

空间点、直线、平面之间的位置关系

2.空间中直线与平面的位置关系
直线CD与平面ABCD ——有无数个公共点；直线AA1与平面ABCD ——有只且有一个公共点A；直线D1C1与平面ABCD ——没有公共点．
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行
直线与平面的位置关系有且只有三种
直线在平面外
（1）直线在平面内——有无数个公共点；
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
数学
XXX
由上一小节“平面”的学习，我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等，空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？
点线关系线线关系面面关系点面关系线面关系
在长方体ABCD-A1B1C1D1中：
观察：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与直线之间有哪些不同的位置关系？
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
1.空间中直线与直线的位置关系
直线DC与AB在同一个平面ABCD内，它们 D1
没有公共点，它们是平行直线；
A1
直线DC与BC也是在同一个平面ABCD内，它们只有一个公共点B，它们是相交直线；
CA
G DB
HE F
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，
哪些线段所在直线是异面直线？
CA
C G
A
E G
DB HE
F
H D
BF
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，

空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系知识点一空间两条直线的位置关系1．异面直线⑴定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线;⑵特点：既不相交,也不平行;⑶理解：①“不同在任何一个平面内”,指这两条直线永不具备确定平面的条件,因此,异面直线既不相交,也不平行,要注意把握异面直线的不共面性;②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”;③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说,在两个不同平面内的直线,它们既可以是平行直线,也可以是相交直线．2．空间两条直线的位置关系⑴相交——在同一平面内,有且只有一个公共点；⑵平行——在同一平面内,没有公共点；⑶异面——不同在任何个平面内,没有公共点．例1、正方体ABCD－A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．注：把你认为正确的结论的序号都填上答案：③④例2、异面直线是指____．①空间中两条不相交的直线； ②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线；④不同在任何一个平面内的两条直线．变式1、一个正方体中共有对异面直线．知识点二平行直线例4、如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E 1、E 分别为A 1D 1、AD 的中点,求证：∠C 1E 1B 1=∠CEB ．知识点三异面直线1、异面直线的画法：为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直观性,如下图l,若画成如下图2的情形,就分不开了,千万不能画成2的图形;画平面衬托时,通常画成下图中的情形;2、异面直线的判定⑴异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．E 1E A C B D AB CD⑵判定两条直线为异面直线的常用方法有：①定义法：不同在任一平面内的两条直线．②定理法：过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线为异面直线．③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线．④反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法,证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设,从而肯定与假设相反的结论,即命题的结论成立,3、异面直线所成的角a与b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′∥a,b ′θθ将这个角放入某个三角形中计算这个角的大小,若该三角形是直角三角形、等腰三角形等特殊三角形,便易求此角的大小.3我们规定：两条平行直线所成的角为0°角,两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角或直角,因此在空间中的两条直线所成的角的范围为0°,90°；特别地,若两异面直线所成角为90°,则称两异面直线互相垂直；4求异面直线所成角的一般步骤是：①构造恰当地选择一个点,用平移法构造异面直线所成的角．②证明证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角,③计算通过解三角形常用余弦定理等知识,求①中所构造的角的大小,④结论假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求;例5、已知平面l =βα ,直线,,P l a a =⊂ α直线l b b //,β⊂,求证：直线a 和b 是异面直线．例6、如图所示,正方体ABCD －A1B1C1D1中,M 、N 分别是A1B1、B1C1的中点,问：1AM 和CN 是否是异面直线说明理由；2D1B 和CC1是否是异面直线说明理由．解：1不是异面直线．理由如下：∵M 、N 分别是A1B1、B1C1的中点,∴MN ∥A1C1.又∵A1A D1D,而D1D C1C,∴A1A C1C,A1ACC1为平行四边形,∴A1C1∥AC,得到MN ∥AC,∴A,M,N,C 在同一个平面内,故AM 和CN 不是异面直线．2是异面直线．理由如下：假设D1B 与CC1在同一个平面D1CC1内,则B ∈平面CC1D1,C ∈平面CC1D1,∴BC 平面CC1D1,这与BC 是正方体的棱相矛盾,∴假例7、如图2．1．2—18,已知不共面的三条直线a ,b ,c 相交于点P ,A ∈a ,B ∈a ,C∈b ,D ∈c ,求证：AD 和BC 是异面直线．证法一：反证法：假设AD 和BC 共面,所确定的平面为α,那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内,∴直线a 、b 、c 都在平面α内,与已知条件a 、b 、c 不共面相矛盾．∴AD 与BC 是异面直线．证法二：直接用判定定理：∵ a ∩c ＝P ,∴a 和c 确定一个平面,设为β,巳知C 平面β,B ∈平面β,AD 平面β,BAD , ∴AD 和BC 是异面直线．变式1、如图2．1．2—19,a ,b 是异面直线,A 、B ∈a ,C 、D ∈b ,E 、F 分别为线段AC 和BD 的中点,判断直线EF 和a 的位置关系,并证明你的结论．答案：EF 和a 是异面直线,可用反证法证明．例8、正方体AC l 中,E,F 分别是A 1B 1,B 1Cl 的中点,求异面直线DB 1与EF 所成角的大小;变式1、空间四边形ABCD中,E、F分别是对角线BD、AC的中点,若BC＝AD＝2EF,求直线EF与直线AD所成的角;例9、直三棱柱中,若,,则异面直线与所成的角等于A．30° B．45° C．60° D．90°解：C变式1、已知空间四边形ABCD各边长相等,求异面直线AB和CD所成的角的大小.解：∴异面直线AB、CD成90°角.巩固练习：一、判断题1. 若三条直线两两平行,则这三条直线必共面．2. 互不平行的两条直线是异面直线．二、单选题1. 关于异面直线,有下列3个命题：①分别在两个不同平面内的两直线是异面直线②平面内的一直线与平面外的一直线是异面直线③都不在某一平面内的两条直线是异面直线其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．32. 直线a、b是两条异面直线,A、B与C、D分别为直线a、b上不同的点,则直线AC与BD的关系是A．可能相交 B．可能平行 C．异面 D．相交或异面3. 两条异面直线指的是A．在空间不相交的两条直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线4. 下列命题中,真命题的是A．两两相交的三条直线共面 B．两两相交且不共点的四条直线共面C．不共面的四点中可以有三点共线 D．边长相等的四边形一定是菱形5. 空间两条互相平行的直线,指的是A．在空间没有公共点的两条直线B．分别在两个平行平面内的两条直线C．位于同一平面内且没有公共点的两条直线D．分别与第三条直线成等角的两条直线6. 平面M、N相交于EF,分别在平面M、N内作∠EAC=∠FBD,则AC和BD的关系是A．异面 B．平行 C．相交 D．不确定7. 直线a和b是异面直线,直线c∥a,那么b与cA．异面 B．不异面 C．相交 D．异面或相交8. 如果一条直线和两条异面直线都相交,那么它们可确定A．4个平面 B．3个平面C．2个平面 D．1个平面9. 若m和n是异面直线,n和l也是异面直线,则A．当m∩l=φ时,m与l异面 B．m∩l=φC．当m与l共面时,m∥l D．m与l相交、异面、平行都可能10．若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面11．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作A．1条B．2条 C．3条D．4条三、填空题1. “直线a、b异面”的否定说法是“__________”．2. 不平行的两条直线的位置关系是_________．3. “直线a、b相交”的否定说法是“__________________________”．4. 过已知直线外一点,可以作_____条直线与已知直线垂直．5. 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_____________________．6. 已知直线a和b是异面直线,直线c和a平行而不和b相交,则c和b的位置关系是_________．7. 直线a、b确定一个平面,则a、b的位置关系是________________．8. “直线a、b异面”还可以说成“直线a、b既不______,又不______”．9. 空间有三条直线a、b、c,如果b⊥a,c⊥a,那么直线b、c的位置关系是_________________．10. 和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条直线的位置关系是______________．11. 已知直线a 、b 、c 满足a ∥b,b 与c 是异面直线,则a 与c 的位置关系是____________．12. 正方体ABCD ─A1B1C1D1中,与侧面对角线AD1成异面直线的棱共有_____条,它们分别是___________________________．13. 正方体ABCD ─A1B1C1D1中,与棱AB 成异面直线的棱共有_____条,它们分别是____________________．14. 正方体的12条棱中,互为异面直线的有________对.答案一、判断题1. ×2. ×二、单选题1. A2. C3. D4. B5. C6. D7. D8. C9. D三、填空题1. a 、b 共面2. 相交或异面3. a 、b 不相交或a 、b 无公共点4. 无数5. 平行或相交或异面6. 异面7. 相交或平行8. 相交,平行9. 平行或相交或异面 10. 相交或平行或异面 11. 相交或异面12. 6；BC,B1C1,BB1,CC1,DC,A1B1 13. 4；A1D1,B1C1,CC1,DD114. 24空间两条直线的位置关系1. 已知直线b a ,都在平面α外, 则下列推断错误的是A ．αα////,//a b b a ⇒B ．αα//,a b b a ⇒⊥⊥C ．b a b a ////,//⇒ααD ．b a b a //,⇒⊥⊥αα答案C2. 已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于l的直线A．只有一条,不在平面α内B．只有一条,在平面α内C．有两条,不一定都在平面α内D．有无数条,不一定都在平面α内答案B3. 下列命题正确的是A．若两条直线与同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B．若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行答案C4. 下列四个条件中,能确定一个平面的是A. 一条直线和一个点B.空间两条直线C. 空间任意三点D.两条平行直线答案D5. 在平整的地面上任意放一根笔直的钢管,则在地面上必存在直线与钢管所在的直线A.平行B.相交C.异面D.垂直答案D6. 平行于同一平面的两条直线的位置关系A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交或异面答案D7. 下列命题中,错误的是A ．三角形的两条边平行一个平面,则第三边也平行于这个平面．B ．平面 α∥平面β,a ⊂α,过β内的一点B 有惟一的一条直线b ,使b ∥a .C ．α∥β,γ∥δ,α、β、γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ,则a ∥b ∥c ∥d .D ．一条直线与两个平面所成角相等,则这两个平面平行．答案D8. 直线m 不平行于平面α,且m α⊄,则下列结论成立的是A ．α内所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交答案B9. 正三棱锥P-ABC 的高为2,侧棱与底面所成的角为450,则点A 到侧面PBC 的距离是 A.5 B. 22 C.2 D.556 答案D10. 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是A ．23B ．1010C ．53D ．52答案D11. 已知直线,l m ,平面,αβ,且l α⊥,m β⊂,给出下列四个命题：①若α∥β,则l m ⊥；②若l m ⊥,则α∥β；③若αβ⊥,则l ∥m ；④若l ∥m ,则αβ⊥．其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案B12. 设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不重合的平面,给定下列四个命题： ①若m n ⊥,n α⊂,则m α⊥； ②若a α⊥,a β⊂,则αβ⊥；③若m α⊥,n α⊥,则//m n ； ④若m α⊂,n β⊂,//αβ则//m n ．其中真命题的是A ．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 答案B13. 如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,E F ，分别是1AB ,1BC 的中点,则以下结论中不成立．．．的是A ．EF 与1BB 垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面答案D14. 异面直线a 、b,a ⊥b,c 与a 成30°角,则c 与b 成角的范围是ABCF答案A15. 在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,AC 与B 1D 所成的角的大小A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π答案D16. 已知空间直角坐标系中,O 为原点,A 0,0,3,B 0,4,0,C 5,0,0则经过O 、A 、B 、C 四点的球的体积为A ．π50B ．π32125 C ．π321000 D ．π425答案B17. 设m,n 是两条不同直线,βα,是两个不同的平面,给出下列四个命题 ①若n m n m //,//,则αα⊂②βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m ③若,//,//,//n m n m m αβαβ⋂=则且④若βαβα//,,则⊥⊥m m 其中正确的命题是 A.① B.② C.③④ D.②④ 答案D18. 已知直线l 和平面βα,, A ．若l ∥α,βα⊥,则β⊥lB ．若l ∥α,α∥β,则l ∥βC ．若l ∥α,β⊂l ,则α∥βD ．若l ⊥α,β⊂l ,则βα⊥答案D19. 在下列条件下,可判断平面α与平面β平行的是A. α、β都垂直于平面γB. α内不共线的三个点到β的距离相等C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥βD. l,m 是异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β答案D20. 设,m n 是空间两条不同直线,,αβ是空间两个不同平面,当,m n αβ⊂⊂≠≠时,下列命题正确的是 A ．若m n ,则αβ B ．若m n ⊥,则αβ⊥C ．若m β⊥,则m n ⊥D ．若n α⊥,则m β⊥ 答案C21. 已知直线l 、m ,平面βα、,则下列命题中： ①．若βα//,α⊂l ,则β//l ②．若βα⊥,α⊥l ,则β//l③．若α//l ,α⊂m ,则m l // ④．若βα⊥,l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m ,其中真命题有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案B22. 如图1所示,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,G 是EF 的中点,现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使B 、C 、D 三点重合,重合后的点记为H ,如图2所示,那么,在四面体AEFH 中必有． A ．AH ⊥△EFH 所在平面 B ．AG ⊥△EFH 所在平面 C ．HF ⊥△AEF 所在平面 D ．HG ⊥△AEF 所在平面答案A23. 如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使面ABD⊥面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为A．1 B．2 C．3 D．4答案C24. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:①AA1⊥MN ②异面直线AB1,BC1所成的角为60°③四面体B1-D1CA的体积为13④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1,其中正确的结论的个数为A．4 B3 C．2 D．1答案A25. 已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是A．平行 B．垂直 C．斜交 D．不能确定答案B26. 已知两个不重合的平面,αβ,给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②,l m是α内的两条直线,且//,//l mββ；③,l m是两条异面直线,且//,//,//,//l l m mαβαβ；其中可以判定//αβ的是A．① B．②C．①③D．③答案D27. 如图所示,在空间四边形ABCD中,AB＝BC,CD＝DA,E、F、G分别为CD、DA和AC 的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD .答案∵AB ＝BC ,CD ＝AD ,G 是AC 的中点,∴BG ⊥AC ,DG ⊥AC .∴AC ⊥平面BGD .又EF ∥AC ,∴EF ⊥平面BGD .又EF 平面BEF ,∴平面BDG ⊥平面BEF . 28. 已知三条不重合的直线,,m n l ,两个不重合的平面,αβ,有下列命题： ①若//,//l m αβ,且//αβ,则//l m ②若,l m αβ⊥⊥,且//l m ,则//αβ ③若,m n αα⊆⊆,//,//m n ββ,则//αβ ④若,,,m n n m αβαββ⊥=⊆⊥,则n α⊥其中真命题的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案C29. 若M 、N 分别是△ABC 边AB 、AC 的中点,MN 与过直线BC 的平面β的位置关系是∥β 与β相交或MN ⊂≠βC. MN ∥β或MN ⊂≠βD. MN ∥β或MN 与β相交或MN ⊂≠β答案C30. 空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为A ．3B ．1或2C ．1或3D ．2或3答案C31. 已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,则下列四种说法正确的为A 、若m ∥n,n ⊂α,则m ∥αB 、若m ⊥n,m ⊥α,则n ∥αC 、若m ⊂α,n ⊂β,α∥β,则m,n 为异面直线D 、若α⊥β,m ⊥α,n ⊥β,则m ⊥n答案D32. 直径为32的球的内接正方体的棱长为A．2B．2 C．3D．5答案B33. 在△ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AC=1,M 为 AB 中点,将△ACM 沿 CM 折起,使A．B 间的距离为2,则 M 到面 ABC 的距离为A．12B3C．1 D．32答案A答案由已知得AB=2,AM=MB=MC=1,BC=3由△AMC为等边三角形,取CM中点,则AD⊥CM,AD交BC于E,则AD=32,DE=36,CE=33.折起后,由BC2=AC2+AB2,知∠BAC=90°,又cos∠ECA=33,∴AE2=CA2+CE2-2CACEcos∠ECA=23,于是AC2=AE2+CE2.∴∠AEC=90°.∵AD2=AE2+ED2,∴AE⊥平面BCM,即AE是三棱锥A-BCM的高,AE=63.设点M 到面ABC 的距离为h,∵S △BC M =,∴由V A-B CM =V M -AB C ,可得1313⨯121×h,∴h=12.故选A ． 34. 设m,n 是异面直线,则1一定存在平面α,使m ⊂α,且n ∥α；2一定存在平面α,使m ⊂α,且n ⊥α；3一定存在平面γ,使得m,n 到平面γ距离相等；4一定存在无数对平面α和β,使m ⊂α,n ⊂β且α⊥β;上述4个命题中正确命题的序号是 A ．123 B ．124 C ．134 D ．14 答案C45. 关于直线,,a b l 以及平面βα,,下面命题中正确的是 A ．若,//,//βαb a 则.//b a B ．若,,//a b a ⊥α则.α⊥bC ．若,//,βαa a ⊥则.βα⊥D ．若βα⊂⊂b a ,,且,//,b l a l ⊥,则.α⊥l 答案C。

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