复变函数与积分变换_第一章.
合集下载
复变函数与积分变换第一章习题解答
— . . —.. '—
。
n
2) R(
3) 事实上
罕 P(z) =X+iY=X- i Y; 可 ＝ 霄芦 （因)
P(z)
立 +a,, P( 司=a。了"+a1 产+···+a,
4
l 3. 如果 z =e;r, 试证明
1 (1) z" +— = 2cosnt ; n z
II
·+anz n = 页 =a +a1 z+a产 +··
习题 一 解答
1. 求下列复数的实部与虚部 、 共辄复数 、 模与辐角 。
(l)
解 所以
(1)
3+2i
1
(2)
-:--—
1
3+2i
1
3�2i
言， 叫卢｝飞， 2 =�(言) +(-卢『 = =卢
(3+2i), ImL : 2J
=-
1 =—(32i) (3+2iX3-2i) 13
3-2i
1
1- 1
3i
(2)
(1+i)6;
J�(2e一气 �32e一l坛"
( 3) 划 ；
1 一3
l I 、 i
=32[cos(-子 ）+isin(-子）]=-16"3-16i
(2)
(I+i)'= [ �(i+i )J
＝（高冗/4)6 = 8e31ri12 = -8i。 .J3
2
） 4 （
(3)
卢= (ei1t+2k于= eirr (2k+l)/6,k = 0,1,2,3,4,5 。
。
n
2) R(
3) 事实上
罕 P(z) =X+iY=X- i Y; 可 ＝ 霄芦 （因)
P(z)
立 +a,, P( 司=a。了"+a1 产+···+a,
4
l 3. 如果 z =e;r, 试证明
1 (1) z" +— = 2cosnt ; n z
II
·+anz n = 页 =a +a1 z+a产 +··
习题 一 解答
1. 求下列复数的实部与虚部 、 共辄复数 、 模与辐角 。
(l)
解 所以
(1)
3+2i
1
(2)
-:--—
1
3+2i
1
3�2i
言， 叫卢｝飞， 2 =�(言) +(-卢『 = =卢
(3+2i), ImL : 2J
=-
1 =—(32i) (3+2iX3-2i) 13
3-2i
1
1- 1
3i
(2)
(1+i)6;
J�(2e一气 �32e一l坛"
( 3) 划 ；
1 一3
l I 、 i
=32[cos(-子 ）+isin(-子）]=-16"3-16i
(2)
(I+i)'= [ �(i+i )J
＝（高冗/4)6 = 8e31ri12 = -8i。 .J3
2
） 4 （
(3)
卢= (ei1t+2k于= eirr (2k+l)/6,k = 0,1,2,3,4,5 。
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数与积分变换
C f ( z )dz lim 1 f ( k ) zk . n k
n
3.积分的性质
g 设 f ( z ) ， ( z ) 在曲线 C 上可积，则 C 1) C f ( z )dz C f ( z )dz ， 与 C 反向； 2) C Kf ( z )dz K C f ( z )dz，K 为常数；
习题：
1.设C是正向圆周z 1, 计算下列各积分的值。 dz dz dz 1 ） ; 2) ; 3) ; i z2 cos z c c c ( z )( z 2) 2 解：
dz 1) 0; z2 c dz 2) 0; cos z c 4i 3) 2i ; i i c ( z )( z 2) 2 i4 2 2 dz 1
z re i
z x iy
(5)代数表示:
5.运算 1)相等; 2)四则运算,及运算规律; 3)共轭运算,及运算规律; 4) z z r r [cos( ) i sin( )]
1 2 1 2 1 2 1 2
5)
z1 r 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2 r i (1 2 ) 1e ． r2
2i
3.沿指定曲线计算下列各积分.
ez 1 ） z 2 dz, C : z 2 1; c ez 3) C ( z 1)( z 2) dz, C : z 3; eiz 3 2) 2 dz, C : z 2i ; z 1 2 c ez 4) 3 dz, C : z 2; C z
2 2
在区域x 0内连续，且 u v v u , 在区域x 0上成立时， 1, 2a x y x y 1 即，当a 时，函数f ( z )在区域x 0内是解析的。 2
复变函数与积分变换第一章习题课.
解：
1）（1 i 3）10 [2(cos2 i sin 2 )]10
3
3
210 (cos20 i sin 20 )
3
3
1024(cos2 i sin 2 )
3
3
512 i512 3.
2)3
27
2k i
3e 3 , k
0,1,2.
13
13
w0
3( 2
i
2
), w1
3,
w2
3( 2
x2
x
y2
i
x2
y
y2
u iv,
u2 v2 1 . 4
13.已知映射 z3,求： 2）区域0 arg z 在平面上的像。
3
解：
2）映射 z3将区域0 arg z 映成
3
0 arg z .
15.设f (z) 1 ( z z ),(z 0),试证：当 2i z z
22
2
2 22
z 34 , Argz arctan5 2k , k 0,1,.
2
3
2.当x, y等于什么实数时，等式
x 1 i( y 3) 1 i 5 3i
成立。
解：
原式等价于x 1 i( y 3) 2 8i, 根据复数
相等的概念，有
x y
1 3
28,即
x 1 .
y 11
13. 三角函数
1）定义：
sin z eiz eiz , cos z eiz eiz
2i
2
2）性质： 在复平面内是解析的，且 (sin z) cosz ，(cosz) sin z ．
14. 对数函数
定义: 若 ew z ，则称 w 为复变函数 z 的对数 函数，记为 Lnz ．
复变函数-总结
所 以 vx,y1y22xy-1x2c. 于是
2
2
27
fzx2-y2xy i 1 2y22 xy-1 2x2 c
由f00( x y 0 0) c0 从而
fz x 2- y 2 x y i 1 2 y 2 2 x y - 1 2 x 2 1 - 2 i z 2
即为所求解析函数。
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 ,
那么
lim f (z)
zz0
运算性质：
limu(x, Axyxyl im xxyy0000 v(x,
y) y)
u0 v0
.
( 1 ) li (f m ( z ) g ( z ) ) lifm ( z ) lig ( m z )
例题1 一调和函数 ux,yx2-y2xy,
求一解析函数 fzuiv使 f00.
解：〔法一〕 ux2xy,uy-2yx
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v 2 x y d y
由 v x - u y 2x2 yy 12c y2x c 2 xy - x v x c2xyc-12xx2,c,
9
对复平面内任一
x3
点z, 用直线将z
除了复数的平面表 示方法外, 还可以
与N相连, 与球面
N(0,0,2r) 用球面上的点来表
相交于P点, 那么
示复数.
球面上除N点外
x3
的所有点和复平
面上的所有点有
P(x1,x2,x3)
一一对应的关系,
而N点本身可代
表无穷远点, 记 作 .这样的球面
复变-积分变换课件第一章 第3节 二元实函数与复变函数
Re( z ) 当 z 0 时的极限 例2 证明函数 f ( z ) z 不存在.
证
令 z x iy, 则 f ( z )
u( x , y )
x , 2 2 x y
x , v ( x , y ) 0, 2 2 x y
当 z 沿直线 y kx 趋于零时, x x lim u( x , y ) lim 2 lim 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x y x ( kx ) y kx y kx
例3 证：argz在原点及负实轴上不连续
y
证
t 0 t R t 0 t R
对z0=0,
o
lim arg( it ) / 2
x
lim arg( it ) / 2
arg z 不存在，故在z=0不连续 极限 lim z0
例3 证：argz在原点及负实轴上不连续
z z0 z z0
(1) lim[ f ( z ) g ( z )] A B;
z z0 z z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] AB; f (z) A (3) lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似.
z z0
说明 该定理将求复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
x x0 y y0
lim u( x , y ) u0 ,
x x0 y y0
lim v ( x , y ) v0 .
的极限问题, 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题.
{z x iy | 2 y xy c2 }
吴华复变函数与积分变换第一章
一、复数的几何表示
1. 复平面 在复平面上，从原点到点 z x i y 所引的向量与该复数 z 也构成一一 对应关系(复数零对应零向量)。
O x 实轴 y
虚轴
z x yi
引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。
比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。
一、复数的几何表示
i
4 n 2
1,
i 4 n 3 i ,
§1.2 复数的几种表示
一、复数的几何表示 二、复数的三角表示和指数表示
三、复数的乘幂与方根
四、几个关系
一、复数的几何表示
1. 复平面
P4
定义 在平面上建立一个直角坐标系，用坐标为 ( x , y ) 的点来
表示复数 z x i y , 从而将全体复数和平面上的全部点 一一对应起来，这样表示复数 z 的平面称为复平面或者 z 平面。 此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。
Arg ( z1 z2 ) Arg z1 Arg z2 .
两个复数乘积的 模等于它们的模的乘积； 幅角等于它们幅角的和。
二、复数的三角表示和指数表示
3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算
i 2 i1 z r e , z r e , 设 1 1 2 2
y
z1 z2
z2
除法
z1 r1 e iθ1 r1 i (θ1 θ2 ) e . i θ2 z2 r2 r2 e
(3) 当 x 0 时，z 0 i y i y 称为纯虚数； 当 y 0 时，z x i 0 x 就是实数。 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。
一、复数及其运算
1. 复数的基本概念 相等 设 z1 x1 i y1 与 z2 x2 i y2 是两个复数， 如果 x1 x2 , y1 y2 , 则称 z1 与 z 2 相等。 特别地，z x i y 0 当且仅当 x y 0 . 注 复数与实数不同，两个复数(虚部不为零)不能比较大小， 它们之间只有相等与不相等的关系。
高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
复变函数与积分变换
f (z) A
那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作
lim f (z) A
zz0
z平面
w f (z)
w平面
几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的 象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。
注意：z趋于z0的方式是任意的
关于极限的计算，有下面的定理。
4 )
n
wn1
r
1 n
(cos
2(n 1)
n
i sin
2(n 1) )
n
例： 3 8
8 23 (cos i sin )
3 8 2(cos 2k i sin 2k )
3
3 k 0,1,2
即
1 i 3 k 0
简单曲线： t1 t2 , z(t1 ) z(t2 ) （方向）
简单闭曲线： 没有交叉点。
光滑曲线： x(t), y(t)存在、连续且不全为零
（12）单连通区域 设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部 仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。
平面图形的复数表示
复数的三角形式与指数形式
利用极坐标来表示复数z， 则复数 z 可表示为：
三角式： z rcos i sin
x r cos
y
r
sin
r
x2 y2
A
rctan
y
x
指数式： z rei
复数的四则运算
规定： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作
lim f (z) A
zz0
z平面
w f (z)
w平面
几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的 象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。
注意：z趋于z0的方式是任意的
关于极限的计算，有下面的定理。
4 )
n
wn1
r
1 n
(cos
2(n 1)
n
i sin
2(n 1) )
n
例： 3 8
8 23 (cos i sin )
3 8 2(cos 2k i sin 2k )
3
3 k 0,1,2
即
1 i 3 k 0
简单曲线： t1 t2 , z(t1 ) z(t2 ) （方向）
简单闭曲线： 没有交叉点。
光滑曲线： x(t), y(t)存在、连续且不全为零
（12）单连通区域 设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部 仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。
平面图形的复数表示
复数的三角形式与指数形式
利用极坐标来表示复数z， 则复数 z 可表示为：
三角式： z rcos i sin
x r cos
y
r
sin
r
x2 y2
A
rctan
y
x
指数式： z rei
复数的四则运算
规定： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
复变函数与积分变换(第一章)
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
两个复数相乘，积的模等于各复 数的模的积，积的幅角等于这两 个复数的幅角的和.
z1z2 rr 1 2 z1 z2
(6)简单曲线、光滑曲线
设x(t)和y(t)是实变量t的两个实函数，它们在闭区 间[,]上连续，则由方程组 x x(t ) y y(t ) 或由复值函数 z (t ) x(t ) iy(t ) 定义的集合称为复平面上的一条曲线，上述方程称为 曲线的参数方程.点A=z() 和B=z()分别称为曲线的 起点和终点.如果当 t1 , t2 [ , ], t1 t2 时，有 z(t1 ) z(t2 ) ， 称曲线为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线. z ( ) z ( ) 的简单曲线称为简单闭曲线.
3 i 2eiπ / 6
复数乘法的几何意义
z1 r1 (cos1 i sin 1 ), z2 r2 (cos2 i sin 2 ).
z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 ((cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )) r1r2 (cos(1 2 ) i sin(2 2 ))
a 0, ； (3) a ，则 a
a (4) a 0 ，则 ； 0
(5) , 的实部、虚部、幅角都无意义； (6)为了避免和算术定律相矛盾，对
0 , 0 , , 0
复变函数与积分变换课件1.1-复数
a2 b2 c2
毕达哥拉斯定理 （勾股定理）
15
无
理 传说学派成员希帕苏斯在考虑了一 数个问题：边长为1的正方形，其对角线 的长度是多少呢？
发 他发现这一长度既不能用整数或者
重 大
现分数表示，而只能用一个新数来表示.
突
破
—
16
第一次数学危机
希帕苏斯的发现导致了数学史上第 一个无理数 2 的诞生.后来，人们又陆 续发现了许多无理数.
工作经历： 中国矿业大学，物理实验教师 佛山市国星光电股份有限公司，LED研发工程师 湖北省宜昌市，公务员 佛山科学技术学院自动化学院，青年特聘研究员
获得荣誉：
2017年5月，获得第四届全国激光雷达大会青年优秀论文奖 2017年11月，获得 2017 年博士研究生国家奖学金 2018年5月，获得深圳大学优秀毕业研究生奖学金（全校10%） 2018年6月，获得广东省优秀学生（研究生阶段）荣誉称号（全省0.25%） 2018年8月，获得 “深创杯”国际大学生创新创业大赛 “突出双创项目奖”（指导老师）
复数领域的推广和发展 。
(虚数史话) 49
第 一
第一章 复数与复变函数
章
复 §1.1 复数
数 与
§1.2 复数的三角表示
复 变
§1.3 平面点集的一般概念
函 §1.4 无穷大与复球面
数
§1.5 复变函数
50
§1.1 复数
第 一
§1.1
复数
章 一、复数及其运算
复 数
二、共轭复数
与
复 变
函
数
51
§1.1 复数
复变函数
与积分变换
1
一、教学及考核方式
课01-第一章(复变函数1)
3
• 复变函数论不但在其他学科得到了广泛 的应用，而且在数学领域的许多分支也 都应用了它的理论。它已经深入到微分 方程、积分方程、概率论和数论等学科， 对它们的发展很有影响。
4
• 从柯西算起，复变函数论已有170多年的 历史了。它以其完美的理论与精湛的技 巧成为数学的一个重要组成部分。它曾 经推动过一些学科的发展，并且常常作 为一个有力的工具被应用在实际问题中， 它的基础内容已成为理工科很多专业的 必修课程。现在，复变函数论中仍然有 不少尚待研究的课题，所以它将继续向 前发展，并将取得更多应用。
说明
任何一个复数 z ≠ 0有无穷多个辐角 , 有无穷多个辐角
那么 z 的全部辐角为
如果 θ 1 是其中一个辐角,
Argz = θ 1 + 2kπ ( k为任意整数 ).
特殊地 , 当 z = 0 时, z = 0,
辐角不确定. 辐角不确定
28
辐角主值的定义: 辐角主值的定义
在 z ( ≠ 0) 的辐角中, 把满足 − π < θ 0 ≤ π 的 θ 0 称为 Argz 的主值 , 记作 θ 0 = arg z . arctan y , x > 0, z ≠ 0 辐角的主值 x π x = 0, y ≠ 0, ± 2, arg z = arctan y ± π , x < 0, y ≠ 0, x π, x < 0, y = 0.
6
第一章 复数与复变函数 1.1 复数
• 向量与复数
7
实数 x 复数｛ 复数｛ 纯虚数 yi 虚数 ｛ 非纯虚数 x+yi
x+yi （虚数似乎不可理解）
<=> 有序数组(x,y) <=> 平面上的点 <=> 矢量或向量
复变函数与积分变换第1章
（1）乘积与商的几何意义
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。
证明
设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)
若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有|z|<R，则D是
有界区域；否则无界。
r2
(1) 圆环域: r1zz0r2;
r1z0
(2) 上半平面: Im z0;
y
(3) 角形域: arzg;
(4) 带形域: a Im z b .
o
x
zz0 r 表示以 z0 为圆,点 以r为半径的圆内所. 有的
Rze,Im z表示分y别 轴x平 和 轴行 的. 于
2
x 0, y R
x 0, y 0
的公式
arctayn
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
2
x2
当z落于一,四象限时，不变。
当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。
由向量表示法知
y
(z)
z2z1 —点z1与z2之间的距离
由 此 得:
z1
例 1 .设 z 1 1 ,z 2 i,则 z 1 z 2 i
A 1 r 2 m gm z 0 , 1 , 2 ,
Ar2 g 2z 2n n0,1,2,
A(z r1z2 g )22 k
k0 , 1 ,2 ,
代 入 3 2 上 m n 式 2 k
2
复变函数与积分变换重要公式集锦(第一篇1、2章)
第一篇 第一章 复数第一节 复数及其表示法 实部、虚部：x=Re z; y=Im z.辐角：θ=Arg z ； x=│z │cos θ；y=│z │sin θ，tg θ=y/x 数0是惟一的模为零而辐角没有定义的复数。
Arg z= arg z+2n π(n=0,±1, ±2,…)1 三角表示：⎩⎨⎧==θθsin rcos x r y z=r(cos θ+i sin θ)欧拉公式：e i θ=cos θ+isin θ 指数表示：z=re i θ,第二节 复数的运算及几何意义加法：z 1+z 2=(x 1+x 2)+i （y 1+y 2） 减法：z 1+z 2=(x 1-x 2)+i （y 1-y 2） 乘法：z 1z 2=(x 1x 2-y 1y 2)+i(x 1y 2+x 2y 1) 除法：)0(2222221122222212121≠+-+++=z y x y x iy y x x z zyxyx两个复数乘积的模等于它们模的乘积，两个复数乘积的辐角等于他们辐角的和。
2121212121)(ArgzArgz z z Arg z z r r z z +=⋅==复数z 的n 次幂2121212121)(ArgzArgz z z Arg z z r r z z -===z n =r n (cos n θ+isin n θ)(n 为正整数) 棣莫佛公式：（cos θ+isin θ）n=cos n θ+isin n θ两个复数商的模等于他们模的商，两个复数商的辐角等于分子与分母辐角的差。
复数的方根。
，的算术根，为其中1-n ,2,1,0k r r )2sin2(cosr z nnn=+++==nk i nk πθπθω共轭复数及其运算性质 iy -x z iy,x z =+= z=z 1）（rgz -z rg 2A A =）（z z 3=）（ 2zz z 4=）（2121z z z z 5±=±）（2121z z z z 6⋅=）（2121z z z z 7=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛）（.2,2x 8z z y z z -=+=）（关于复数模的重要公式)Re(2);Re(2212221221212221221z z z z z z z z z z z z -+=-++=+第三节 平面点集和区域邻域：在平面上以z0为中心，正数ρ为半径的圆内部的点集，称为点z0的ρ邻域。
复变函数与积分变换第一章(2)
由几段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.
dy y ' (t ) 导数（斜率） 不存在 dx x' (t )
假设x' (t ), y' (t )同时为零，则
3. 复变函数 1) 复变函数的概念(实变函数在复数范围内的推广) 对于非空集 E C 中的每一个 z , 都有一个或 多个确定的复数 u iv 与之对应，称 为 E
。
z0
U ( z0 , )
2)
内点：z1
z3 边界点：
z2 按位置对点分类（通过邻域定义） 外点：
E
z1
z3
z2
3)
开集：集合中的点都是内点的集合。
4) 连通集： D中任何两点都可以用完全属于D 的一 条折线连起来。
D B A B
5) (开)区域： 连通的开集。
圆环： r1 z z0 r2
2
2
, v( x, y) 0，
令 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有
x 0 ( y kx )
lim u( x, y) lim
x (1 k ) x
2 2
x x2 y 2
1 1 k
2
x 0 ( y kx )
lim
x 0
， 故极限不存在。
(4) 复变函数的连续性
f ( z)在点z0连续 u( x, y), v( x, y)在点( x0 , y0 )连续。
z
的有理函数在复平面内除使分母为0的点处处连续。
例6：讨论函数 arg z的连续性。
2 2
arg z在区域 arg z 内连续，
dy y ' (t ) 导数（斜率） 不存在 dx x' (t )
假设x' (t ), y' (t )同时为零，则
3. 复变函数 1) 复变函数的概念(实变函数在复数范围内的推广) 对于非空集 E C 中的每一个 z , 都有一个或 多个确定的复数 u iv 与之对应，称 为 E
。
z0
U ( z0 , )
2)
内点：z1
z3 边界点：
z2 按位置对点分类（通过邻域定义） 外点：
E
z1
z3
z2
3)
开集：集合中的点都是内点的集合。
4) 连通集： D中任何两点都可以用完全属于D 的一 条折线连起来。
D B A B
5) (开)区域： 连通的开集。
圆环： r1 z z0 r2
2
2
, v( x, y) 0，
令 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有
x 0 ( y kx )
lim u( x, y) lim
x (1 k ) x
2 2
x x2 y 2
1 1 k
2
x 0 ( y kx )
lim
x 0
， 故极限不存在。
(4) 复变函数的连续性
f ( z)在点z0连续 u( x, y), v( x, y)在点( x0 , y0 )连续。
z
的有理函数在复平面内除使分母为0的点处处连续。
例6：讨论函数 arg z的连续性。
2 2
arg z在区域 arg z 内连续，
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
ℱ f nx ( j)n F()
4、积分性质
ℱ
x x0
f
xdx
1 F () j
ℱ
(
j
xn)
f
x
d
n F () d n
由 Fourier 变换的微分和积分性质，我们可以利用 Fourier 变换求解微积分方程。
四、卷积和卷积定理
f1(x) * f2 (x) f1( ) f2 (x )d
2、闭路积分： a) f zdz c
利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。
b) [u(x, y) iv(x, y)]dz c
三、柯西积分定理：
c f zdz 0
推论 1：积分与路径无关
f zdz z2 f (z)dz
c
z1
推论 2：利用原函数计算积分
z2 z1
f
(z)dz
F(z2 ) F(z1)
第四章 解析函数的级数
一、幂级数及收敛半径：
an (z b)n
n0
1、一个收敛半径为 R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数 f (z) 是解析函数，在这个收敛圆内，这
个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：
f 'z nan z bn n1
zb R
z f
0
z dz
n0
z
l an
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
第一章 复变函数 一、复变数和复变函数
w f z ux, y ivx, y
二、复变函数的极限与连续
极限 lim f (z) A zz0
连续
lim f (z)
zz0
f (z0)
第二章 解析函数
一、复变函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 可导与解析的概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.复数的概念
对于任意两实数 x , y, 我们称形如 z x yi 或 z x iy 的数为复数.
其中实数 x , y 分别称为 z 的实部和虚部,
记作 x Re( z ),
y Im( z ).
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i , 我们把它看作实数 x. 当 x 0, y 0时, z 0.
§1.1-1.2 复数及其表示式
1 复数的概念
2 复数的四则运算
3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
1. 虚数单位
简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍
理论，引入等式
i 2 1.
由该等式所定义的数i称为 虚数单位
虚数单位为i=j=sqrt(-1)
解
z1 3 4i (3 4i )( 1 i ) z2 1 i ( 1 i )( 1 i )
( 3 4) (4 3)i 7 1 i. 2 2 2 7 1 z1 i . 2 2 z2
例 1.2
i i,
1.1.2 复数的四则运算
1. 复数相等 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数, 如果x1=x2, y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2.
注意
复数不能比较大小.
2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
1) 两复数的和 z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2) 两复数的积 z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3)两复数的商 z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2
复数 z x iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.
y
z x iy
( x, y)
y
o
x
x
（2）向量表示法
在复平面上, 复数 z 与从原点指向点z x iy 的 平面向量成一一对应 ,因此, 复数z也可用向量OP 来表示.
这时复数加、减法满
足向量加、减法中的平行
4)共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.
与 z 共轭的复数记为z , 若 z x iy, 则 z x iy.
复数的商
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 z1 z2 2 2 i 2 2 z2 z2 z2 x 2 y2 x 2 y2
第一章 复数与复变函数
复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八 世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人
的长期努力，复数的地位才被确立下来。
复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面
发展。 为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗
贝尔、拉普拉斯等。 为这门学科的发展作了大量奠基工作的 则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。 复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在 复数领域的推广和发展 。
o
z r
x
x
x z,
y z , z x y , z z z z2 .
2
三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
y
复数的辐角
z x iy
P( x, y)
y
z r
o
x
x
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
1
i 4 n 1, i
4 n 1
i 2 1,
i,
i i i i ,
3 2
i
4 n 2
1,
i i i 1,
4 2 2
i 4 n 3 i ,
i 4 n 4 1.
……
1.1.3 复平面与复数的表示法
（1）几何表示法
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应 . 因此 , 一个建立了直角坐标系的平面可以 用来表示复数z, 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数z的平面叫复平 面 .有时简称为z平面.
y y
Pz x iy
o
x
x
四边形法则.
把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
的绝对值, 并记做|z|.
使用函数命令abs() 可
复数的模(或绝对值)
向量的长度称为 z 的模或绝对值,
y
y
z x iy
P( x, y)
记为 z r x 2 y 2 .
模的性质
复数运算的性质
1. 交换律 2. 结合律
z1 z2 z2 z1 ; z1 z2 z2 z1 . ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ); z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 .
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 . z1 z1 4. z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; . z2 z2 5. z z .
3. 分配律
6. z z Re( z ) Im( z ) .
2 2
7. z z 2Re( z ), z z 2i Im( z ).
z1 z1 z 3 4 i , z 1 i , 求 与 . 例 1.1 设 1 2 z2 z2
二、内容提要算 极限 连续性
复数
代 数 运 算 乘 幂 与 方 根 复 数 表 示 法
复变函数
几何表示法 向量表示法
判别定理
三角及指数表示法
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1.5 复变函数的极限与连续