6.4《万有引力理论的成就》

万有引力理论的成就
教材分析:
万有引力定律在天文学上应用广泛,它与牛顿第二定律、圆周运动的知识相结合，可用来求解天体的质量和密度，分析天体的运动规律.万有引力定律与实际问题、现代科技相联系,可以用来发现新问题,开拓新领域.
把万有引力定律应用在天文学上的基本方法是:将天体的运动近似看作匀速圆周运动处理,运动天体所需要的向心力来自于天体间的万有引力.因此,处理本节问题时要注意把万有引力公式与匀速圆周运动的一系列向心力公式相结合,就可推导出适用于天体问题的公式,并且在应用这些公式时,一定要正确认识公式中各物理量的意义.具体应用时根据题目中所给的实际情况,选择适当公式进行分析和求解.
三维目标
知识与技能
1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.
2.会用万有引力定律计算天体的质量.
过程与方法
1.理解运用万有引力定律处理天体问题的思路、方法,体会科学定律的意义.
2.了解万有引力定律在天文学上的重要应用,理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路方法.
情感态度与价值观
1.通过测量天体的质量、预测未知天体的学习活动,体会科学研究方法对人类认识自然的重要作用,体会万有引力定律对人类探索和认识未知世界的作用.
2.通过对天体运动规律的认识,了解科学发展的曲折性,感悟科学是人类进步不竭的动力.
教学重点
运用万有引力定律计算天体的质量.
教学难点
在具体的天体运动中应用万有引力定律解决问题.
教学过程
一、“科学真是迷人”
教师：引导学生阅读教材“科学真是迷人”部分的内容，思考问题. 课件展示问题:
1、卡文迪许在实验室里测量几个铅球之间的作用力，测出了引力常量G 的值，从而“称量”出了地球的质量.测出G 后,是怎样“称量”地球的质量的呢？
2、设地面附近的重力加速度g=9.8 m/s 2,地球半径R=6.4×106 m ，引力常量G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2,试估算地球的质量. 学生活动：
阅读课文，推导出地球质量的表达式，在练习本上进行定量计算.
教师活动：让学生回答上述三个问题,投影学生的推导、计算过程,归纳、总结问题的答案,对学生进行情感态度教育.
总结：1.自然界中万物是有规律可循的,我们要敢于探索,大胆猜想,一旦发现一个规律,我们将有意想不到的收获. 2.在地球表面,mg=G
gR M R GMm 2
2
=⇒,只要测出G 来，便可“称量”地球的质量.
3.M=
11
2
62
10
67.6)104.6(8.9-⨯⨯⨯=
G
gR kg=6.0×1024 kg.
通过用万有引力定律“称”出地球的质量，让学生体会到科学研究方法对人类认识自然的重要作用，体会万有引力定律对人类探索和认识未知世界的作用. 我们知道了地球的质量,自然也想知道其他天体的质量,下面我们探究太阳的质量.
二、计算天体的质量
引导学生阅读教材“天体质量的计算”部分的内容，同时考虑下列问题. 课件展示问题：
1.应用万有引力定律求解天体的质量基本思路是什么?
2.求解天体质量的方程依据是什么? 学生阅读课文,从课文中找出相应的答案. 1.应用万有引力求解天体质量的基本思路是：
根据环绕天体的运动情况，求出向心加速度，然后根据万有引力充当心力，进而列方程求解.
2.从前面的学习知道,天体之间存在着相互作用的万有引力,而行星(或卫星)都在绕恒星(或行星)做近似圆周的运动,而物体做圆周运动时合力充当向心力,这也是求解中心天体质量时列方程的根源所在.
教师引导学生深入探究,结合课文知识以及前面所学匀速圆周运动的知识,加以讨论、综合,然后思考下列问题. 问题探究
1.天体实际做什么运动？而我们通常可以认为做什么运动？
2.描述匀速圆周运动的物理量有哪些？
3.根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法？
4.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，求出的天体质量有几种表达式？各是什么？各有什么特点？
5.应用此方法能否求出环绕天体的质量？ 学生活动：分组讨论，得出答案.学生代表发言.
1.天体实际是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动.
2.在研究匀速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度v 、角速度ω、周期T 三个物理量.
3.根据环绕天体的运动状况，求解向心加速度有三种求法，即 （1）a=
r
v
2
(2)a=ω2
r (3)a=
2
2
4T
π·r
4.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表达方式可得三种形式的方程，即（以月球绕地球运行为例） （1）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r,根据万有引力等于向心力，即
2
2
)2(
T
r m r
m GM
π月月
地
=∙,可求得地球质量M 地=
2
3
24GT
r π.
（2）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运行的线速度v ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
r
v
m r
m M
G 2
2
月
月
地
=∙.
解得地球的质量为M 地=rv 2/G.
（3）若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
2
r
m M G 月地∙=m 月·v·
T
π2.
2r
m M G
月
地∙=m 月v 2
/r.
以上两式消去r,解得M 地=v 3
T/(2πG).
5.从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉. 师生互动：听取学生代表发言，一起点评.
综上所述，应用万有引力计算某个天体的质量，有两种方法：一种是知道这个天体的表面的重力加速度，根据公式M=
G
gR 2
求解；另一种方法必须知道这个天体的
一颗行星（或卫星）运动的周期T 和半径r.利用公式M=23
2
4GT
r π求解.
知识拓展
天体的质量求出来了，能否求天体的平均密度？如何求？写出其计算表达式. 展示学生的求解过程，作出点评、总结： 1.利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度 由mg=2
R
Mm G
和M=33
4R π·ρ 得：ρ=
GR
g π43
其中g 为天体表面重力加速度，R 为天体半径. 2.利用天体的卫星来求天体的密度.
设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程：
r T
m r
Mm G 2
22
4π= M=ρ·3
3
4R π
得ρ=
3
2
33
2
3
2
3
334
/434
R
GT r
R
GT
r R M ππππ=
=
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度为：ρ=
2
3GT
π.
例1 地球绕太阳公转的轨道半径为1.49×1011 m ，公转的周期是3.16×107 s ，太阳的质量是多少？
解析：根据牛顿第二定律，可知：F 向=ma 向=m·(T
π2)2r
①
又因为F 向是由万有引力提供的所以F 向=F 万=G·2
r
Mm
②
所以由①②式联立可得 M=
kg
r 2
7
11
311
223
2
)
1049.1(14.344⨯⨯⨯=
-π=1.96×1030
kg.
答案：1.96×1030 kg
说明：（1）同理，根据月球绕地球运行的轨道半径和周期，可以算出地球的质量是5.98×1024
kg ，其他行星的质量也可以用此法计算.
（2）有时题干不给出地球绕太阳的运动周期、月球绕地球运转的周期，但日常生活常识告诉我们：地球绕太阳一周为365天，月球绕地球一周为27.3天. 课堂训练
三、发现未知天体
让学生阅读课文“发现未知天体”部分的内容，考虑以下问题：
课件展示问题：1.应用万有引力定律除可计算天体的质量外，在天文学上还有何应用？
2.应用万有引力定律发现了哪个行星？ 学生阅读课文，从课文中找出相应的答案. 1.应用万有引力定律还可以用来发现未知天体. 2.海王星就是应用万有引力定律发现的.
小结:
1.本节学习了万有引力定律在天文学上的成就，计算天体质量的方法是F 引=F 向.
2.解题思路： （1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=⇒=⇒===⇒=⇒=3
2
222
323
23
222
243)(3344GR r v G r v M r v m R r GT
R GT r
GT r
M T mr r GMm πρπ
πρππ
（2）GR g G gR M mg R
GMm πρ4322
=⇒=⇒=. 布置作业
1.教材“问题与练习”第1、2、3、4题.
2.查阅发现未知天体的有关资料.。