初二数学期末复习

至善教育

讲义

学生姓名：曹柯

授课老师：付老师

科目：初二数学

授课时间：13:00 —15:00

课次：第 4 次

教研组长：

教务主任签字：

实际时间： 6 月 16 日

报名地点：萧山区北干街道工人路897号（新白马公寓旁）

咨询热线：0571- 82811302

网址：

期末复习

第一章 二次根式

1. 二次根式的定义：非负数a 算术平方根，叫做二次根式，即a .

2. 二次根式的二个非负特征：在a 中； a ≥0, a ≥0.

3. 二次根式的性质：

♦ a a =2)( ( a ≥0)；一个非负数算术平方根的平方等于这个非负数. ♦ a a =2一个数平方的算术平方根等于这个数的绝对值.

♦

b a ab ⨯= ( a ≥0，b ≥0)；两个非负数积的算术平方根等于这两个非负数算术平方

根的积. ♦

b

a b

a = ( a ≥0，

b ＞0)；商的算术平方根等于算术平方根的商.

4. 最简二次根式：被开方数中不含完全平方因式与分母的二次根式，叫做最简二次根式.

5. 同类二次根式：把被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式.

6. 二次根式的加减可以归结为：① 先把各二次根式化简成最简二次根式；

② 合并同类二次根式（把系数相加，根式不变）.

7. 二次根式相乘,只要把被开方数相乘，根式不变.

即ab b a =⨯ ( a ≥0，b ≥0)

8. 二次根式相除,只要把被开方数相除，根式不变.

即

b

a

b

a =

( a ≥0，b ＞0) 9．斜坡的铅直高h 与水平长度l 的比叫做坡比即：坡比 i=h

l

10．分母有理化：通过适当的变形化去代数式分母中根号的运算.

分母有理化的依据：平方差公式. 分母有理化有如下两种基本类型：

（1）

a

a b a

a a

b a

b =

•= 或

b

a b a c b

a b a b a c b

a c ±±=

±•±±•=±

（2）

b

a b a c b a b a b a c b

a c ±=

±•=

±2)()

)(()( 或

b

a b a c b a b a b a c b

a c -=

±•=

±)()

)(()(

★本章重点：

1、二次根式的混合运算、化简求值

2、二次根式的应用：勾股定理（折叠问题）、坡比问题.

第二章 一元二次方程 1. 基本知识、解法：

(1)定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程.

(2) 一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a ≠0).其中，a 称为二次项系数，ax 2称为二次项；b 称为一次项系数，bx 称为一次项；c 称为常数项.（确定a,b ，c 必须先化为一般式）

（3）四种解法 ：

直接开平方法两个类型：

()()()

2

200x b b x a b b =≥-=≥和

（如果b < 0，方程就没有实数解.）

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”.

用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方.

用公式法的关键在于：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式.

一元二次方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0)的求根公式：).04(242

2≥--±-=

ac b a

ac b b x 2. 一元二次方程根的判别式：

关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . （1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，

即2,1x .

（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x . （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 3．一元二次方程根与系数的关系：

若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ， 那么=+1x x ，=⋅x x . （1）若方程的两根互为相反数，则 . （2）若方程的两根互为倒数，则 . （3）若方程其中一个根为0，则 .

（4）若方程有两个正实根，则 . （5）若方程有两个负实根，则 . （6）若方程有两根异号，则 . 推论1：如果方程x 2+px+q=0的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q. 推论2：以x ，x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-( x +x )x+ x x =0

4．补充知识：

(1)二次三项式因式分解公式：ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2). 其中x 1，x 2是一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根.

(2)求一元二次方程两根x 1，x 2的对称式的值，常用公式： ①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2； ②(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2

5．易错知识辨析：

（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上“二次项系数0a ≠”

这个限制条件.

（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意两个前提：

① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠.

即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.

6（1）握手、送礼、流感问题

例：参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x 人参加同学聚会.列方程得 .

例：某初中毕业班的每一名同学都将自己的相片向其他同学各送一张作为留念，全班共送了2550张相片，设全班有x 名同学，则列出方程： ；

例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，若每轮传染中平均一个人传染了x 个人？则列出方程： .

（2）增长率问题

例：某厂一月份生产化肥500吨，接下去每各月的增长率相同，到三月份生产化肥为720吨，那么该厂第一季度平均月增长率为多少？

例：某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则有题意列方程为（ ） （3）面积问题

例：用长为35的篱笆围成一个一边靠墙，面积为150的长方形养鸡场，求这个长方形的长和宽.

例：用一块长为60，宽为40的长方形铁板，在四个角上截去四个相同的小正方形，

然后做成底面是1000的没有盖子的长方体盒子，求小正方形的边长.