函数奇偶性对称性与周期性有关结论

函数奇偶性对称性与周期性有关结论

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

函数奇偶性、对称性与周期性

奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论

（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）

2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。

4、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线2

2)()(b

a x

b x a x +=-++=对称。

5、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

6、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

7、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。

8、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2

(c b a +对称。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。

2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称

3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=

对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。

6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。

7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称

（三）函数的周期性

1、)()(x f T x f =+ ⇔)(x f y =的周期为T

2、)()(b x b f a x f ++=+ )(b a < ⇔)(x f y =的周期为a b T -=

3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=

4、)

(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -

=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)

(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1)(+-

=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)

(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=

9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a < ⇔)(x f y = 周期

)(2a b T -=

11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -=

12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y = 周期

)(4a b T -=

13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期

a T 4=。

14、偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期

a T 2=。

二、例题讲授

例题1

（1）已知)(x f y =是定义在实数集R 上奇函数，0

（2）已知)(x f y =满足)1()1(x f x f -=+，1

（3）已知奇函数)(x f y =满足)1()1(x f x f -=+，02<<-x 时，

12)(+=x x f ，求)18(log 2f

（4）已知)(x f y =满足0)1()1(=-++x f x f ，1

例题2

（1）已知2sin )(++=x b ax x f ，1)2(=f 求)2(-f

（2）已知偶函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+，若

方程0)(=x f 在[]4,0上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(]10,8-中的根．

（3）已知1

22)(+=x x

x f ，求)6()5()4()5(f f f f +++-+- 的值 例题3

（１）设函数)(x f y =的定义域为R ，若)(x f y =的图象关于1=x 对称，则函数满足

A 、)1()(x f x f +=

B 、0)2()(=-+x f x f

C 、)1()1(x f x f -=-

D 、)1()1(x f x f -=+

（２）函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称

（３）函数)1(+=x f y 和函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称