函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .
(完整版)函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结,推荐文档
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得()f x x T ()()f x T f x +=恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（()f x T ()f x kT ）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
,0k Z k ∈≠()f x ()f x 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:)(x f y =),(x f y =。
把个单位即按向量[]a b T b a x -=∈,,)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿在其他周期的图像：)()0,(x f y kT a ==平移，即得。
[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若。
为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全-.换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
1、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
2、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。
3、)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2ba x +=对称。
4、 函数的轴对称：定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2b a x +=对称.推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.5、 函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、总规律：定义在Ｒ上的函数()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系
函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间的关系1、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线)(,,b a b x a x ≠==对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。
证：根据题意有：)()2();()2(x f x b f x f x a f -=+-=+令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+——————————①)2()(b x f x f +-=—————————————②将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。
2、若函数)(x f 在R 上满足图像关于点))(0,(),0,(b a b a ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(2b a T -=是它的一个周期。
证：根据题意有：0)()2(,0)()2(=-++=-++x f x b f x f x a f令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +--=-+————————① )2()(b x f x f +--=————————————②将②式代入①式得：)()](2[x f b a x f =-+∴函数)(x f 是周期函数，且)(2b a T -=是它的一个周期。
3、若函数)(x f 在R 上满足图像关于直线a x =和点))(0,(b a b ≠对称，则函数)(x f 为周期函数，)(4b a T -=是它的一个周期。
证：根据题意有：0)()2(),()2(=-++-=+x f x b f x f x a f令b x x 2-=，代入上式得：)2()22(b x f b x a f +-=-+，)2()(b x f x f +--=则)()22(x f b a x f -=-+，又令b a x x 22-+=，得)22()](4[b a x f b a x f -+-=-+ )()](4[x f b a x f =-+∴∴函数)(x f 是周期函数，且)(4b a T -=是它的一个周期。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称，∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称。
注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y -换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
()(())()g x f x f x -=--=3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y -∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称，∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称。
注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =，所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y -∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称，∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称.注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
函数奇偶性、对称性与周期性有关结论
函数奇偶性、对称性与周期性奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称（三）函数的周期性1、)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T2、)()(b x b f a x f ++=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为a T 3= 7、1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -=11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y =周期)(2a b T -=12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y =周期)(4a b T -=13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
时，
.
..
w
.
..
..
解： 时，
∴ [例 4] 求下列函数的增区间
（1） （2）
答案：（1）
，
∴
（2）作图
∴
[例 5]若 答案：分类讨论
（1）① 当
②当
时，要在区间
在区间 在区间
，则有
，求 取值范围。 ，符合题意
∴
[例 6]
，
关系。
解：∵
为偶函数 ∴
则函数关于直线 x=2 对称
∵
在（0，2）
为偶函数，试比较
（1）若 f (x a) f (x b) ，则 f (x) 是周期函数， b a 是它的一个周期（自己证明）
（2）若定义在 R 上的函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 （a ≠b），则 y = f (x)是周期函数，且 2| a－b|是其一个周期。（自己证明）
常用性质：
1． f (x) 0 是既奇又偶函数； 2．奇函数若在 x 0处有定义，则必有 f (0) 0 ；
3．偶函数满足 f (x) f (x) f ( x ) ；
4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y 轴对称；
5． f (x) 0 除外的所有函数的奇偶性满足：
（1）奇函数±奇函数=奇函数
两位学生分别构造了一个函数（
）：
①
②
请你判断，正确的结论是（ ）
A. ①②都对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①②都错
2. 函数
与
A. y 轴对称
C. 直线 x=1 对称
的图像关于（ ）
B. 原点对称 D. 关于 y 轴对称且关于直线 x=1 对称
2020届高中数学：函数的奇偶性与周期性、对称性知识点总结
2020届高中数学：函数的奇偶性与周期性、对称性知识点总结1．奇、偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．(2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称．3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于 ，即“定义域关于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 条件．4．周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个___的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ；(2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ．6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ .7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b 2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)．(3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.答案1．(1)f(－x)＝f(x)(2)f(－x)＝－f(x)2．y轴原点3．原点对称原点对称必要不充分4．(1)非零常数每一个f(x＋T)＝f(x)(2)最小5．(1)增(减)函数(2)减(增)函数6．奇偶偶偶奇。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
高中数学-函数周期性奇偶性对称性
课题:函数的周期性、奇偶性、对称性规律总结一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
函数的奇偶性对称性与周期性总结史上最全
函数的奇偶性对称性与周期性总结史上最全1.函数的奇偶性在介绍函数的奇偶性之前，我们先来回顾一下函数的定义。
函数是一种映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在数学中，常用的函数表示方法是y=f(x)，其中x表示自变量，y表示因变量。
一个函数被称为奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)成立。
换句话说，奇函数关于y轴对称。
例如，y=x^3就是一个奇函数，因为f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。
一个函数被称为偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)成立。
换句话说，偶函数关于y轴对称。
例如，y=x^2就是一个偶函数，因为f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。
有些函数既不是奇函数也不是偶函数，它们被称为非奇非偶函数。
例如，y=x是一个非奇非偶函数，因为f(-x)=-x=-f(x)不成立，f(-x)也不等于f(x)。
2.函数的对称性函数的对称性是指函数图像在其中一种变换下保持不变。
常见的对称性有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称。
关于y轴对称是指函数图像关于y轴对称，即对于任意的x，f(-x)=f(x)。
这时函数的奇偶性可以被判断出来，如果f(-x)=f(x)，则函数是一个偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则函数是一个奇函数。
关于x轴对称是指函数图像关于x轴对称，即对于任意的x，f(x)=f(-x)。
这时函数可以被看作是一个非奇非偶函数。
关于原点对称是指函数图像关于原点对称，即对于任意的x，f(x)=-f(-x)。
这时函数可以被看作是一个非奇非偶函数。
3.函数的周期性一个函数被称为周期函数，当且仅当存在一个正数T，对于任意的x，f(x+T)=f(x)成立。
换句话说，函数的值在周期T内不发生变化。
周期函数的最小正周期被称为函数的周期。
周期函数是一类特殊的函数，它在一些范围内不断重复。
我们可以通过观察函数的图像来判断函数是否具有周期性。
如果函数的图像在一个范围内不断重复，则函数是一个周期函数；如果函数的图像没有重复的部分，则函数是一个非周期函数。
函数的奇偶性、周期性、对称性
【知识梳理】 一、函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义：函数 f (x) 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个 x 都满足
① f (x) f (x) 函数 f (x) 为偶函数；
② f (x) f (x) f (x) f (x) 0 函数 f (x) 为奇函数. 2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，
②函数 y f (x) 的图像关于点 (a,0) 对称 f (x) f (2ax) f (a x) f (a x) .
③函数 y f (x) 满足 f (a x) f (b x) ，则 y f (x) 的图像关于直线 x ba 对称. 2
④若函数 y f (x) 对定义域中任意 x 均有 f (a x) f (b x) c 0 ，则函 b](0 a b) 上单调递增（减），则 f (x) 在区间[b, a] 上也是单调递增（减）；
③偶 函数 在 关于 原 点 对称 的 区间 上 若有 单 调 性， 则 其单 调 性恰 恰 相反 .即 偶函 数 f (x) 在 区间
[a, b](0 a b) 上单调递增（减），则 f (x) 在区间[b, a] 上也是单调递减（增）；
( a b , c ) 成中心对称图形. 22
5．高中涉及对称性问题的几个基本函数的对称轴、对称中心的问题 ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直 线均为它的对称轴. ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直 线均为它的对称轴.
④ 任 意 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 都 可 以 唯 一 地 表 示 成 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 的 和 . 即
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
（2）轴对称：对称轴方程为： Ax By C 0 。
① 点A(x, y)与B(x/ , y / ) B(x 2A(Ax By C) , y 2B(Ax By C)) 关 于
A2 B2
A2 B2
直线 Ax By C 0成轴对称；
②函数 y f (x)与y 2B(Ax By C) f (x 2A(Ax By C)) 关于直线
推论 2、 f (x) f (2a x) 2b y f (x) 的图象关于点 (a, b) 对称
推论 3、 f (x) f (2a x) 2b y f (x) 的图象关于点 (a, b) 对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数 y f (x) 与 y f (x) 图象关于 Y 轴对称
1、周期函数的定义：
对于 f (x) 定义域内的每一个 x ，都存在非零常数T ，使得 f (x T ) f (x) 恒成立，
则称函数 f (x) 具有周期性，T 叫做 f (x) 的一个周期，则 kT （ k Z, k 0 ）也是 f (x) 的
周期，所有周期中的最小正数叫 f (x) 的最小正周期。
f
(x)
f f
(x) (x
kT)
xa, b xkT a, kT b
2、奇偶函数：
设 y f (x), x a,b或x b,a a,b
①若 f (x) f (x), 则称y f (x)为奇函数； ②若 f (x) f (x)则称y f (x)为偶函数 。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a＝0 时的特例。
函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总
函数奇偶性、对称性与周期性结论汇总奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质，下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。
一、几个重要的结论（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称。
4、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
5、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
6、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
7、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。
8、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。
2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称，即直线2a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。
6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。
函数周期性、对称性与奇偶性的关系
函数周期性、对称性与奇偶性的关系一、函数图象的对称性(一)一个函数图象自身的对称性性质1：对于函数，若存在常数使得函数定义域内的任意，都有的图象关于直线对称.【注】： 亦然.【特例】当时，的图象关于直线对称.【注】亦然.性质2：对于函数，若存在常数使得函数定义域内的任意，都有的图象关于点对称.【特例】当时，的图象关于点对称.【注】 亦然.事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质. 性质3：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图象关于直线对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.性质4：设函数，如果对于定义域内任意的，都有，则的图象关于点对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.【小结】函数对称性的充要条件()y f x =,,a b x 2a bx +=()()(0)f a mx f b mx m +=-≠a b =()()()f a x f a x f x +=-⇔x a =()(2)f x f a x =-()y f x =,,a b x ()()f a x f b x +=-()f x ⇔(,0)2a b+a b =()()()f a x f a x f x +=--⇔(,0)a ()(2)f x f a x =--()y f x =x ()()f a mx f b mx +=-(,,,0)a b m R m ∈≠且()y f x =2a bx +=()y f x =x ()()f a mx f b mx +=--(,,,0)a b m R m ∈≠且()y f x =(2a b+,0)【注】：这里代数关系式中两个“”（对应法则）内的“”（变量）前的正负号相异，如果把两个“”放在“”的两边，则“”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.(二)两个函数图象之间的对称性1.函数与的图象关于直线对称.2.函数与的图象关于直线对称.3.函数与的图象关于原点对称.4.函数与它的反函数的图象关于直线对称.5.函数与的图象关于直线对称. 特别地，函数与的图象关于直线对称.二、几个函数方程的周期 1.若，或，则的周期； f x f =f ()y f x =()y f x =-0y =()y f x =()y f x =-0x =()y f x =()y f x =--(0,0)()y f x =1()y f x -=y x =()y f a mx =+()y f b mx =-,,,0a b m R m ∈≠()2b a x m -=()y f a x =+()y f b x =-2b ax -=()()f x f x a =+()()22a f x f x a +=-()f x T a =2.若，或，或 ，或，或，或，或， 或，或，则的周期；3.若，则的周期；4.若，或，或，或，或，或且，则的周期；5.若，则的周期；6.若，则的周期.【说明】函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.三、对称性与周期性的关系定理1：若定义在上的函数的图象关于直线和对称，则是周期函数，且是它的一个周期.推论1：若函数满足及，则是()()0f x f x a ++=1()()1()f x f x a f x -+=+()()22f f a a x x =-+-()()f x a f x a +=-()()1f x a f x +=±(()0)f x ≠()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为偶函数()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为奇函数()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为偶函数[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈()f x 2T a =1()1(()0)()f x f x f x a =-≠+()f x 3T a =()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为偶函数()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为奇函数()()f x a f x a +=--1()()1()f x f x a f x -+=-+1()()1()f x f x a f x ++=-121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-⋅1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<()f x 4T a =()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ⋅+++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ⋅⋅⋅⋅=++++()f x 5T a =()()()f x a f x f x a +=-+()f x 6T a =()y f x =x a R ()f x x a =x b =()a b ≠()f x 2a b -()f x ()()f a x f a x +=-()()f b x f b x +=-()a b ≠()f x以为周期的周期函数.定理2：若定义在上的函数的图象关于点和直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期.推论2：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.定理3：若定义在上的函数的图象关于点和对称，是周期函数，且是它的一个周期.推论3：若函数满足及，则是以为周期的周期函数.四、函数图象的对称轴和对称中心举例2a b -R ()f x (,0)a x b =()a b ≠()f x 4a b -()f x ()()f a x f a x +=--()()f b x f b x +=--()a b ≠()f x 4a b -R ()f x 0(,)a y 0(,)b y ()a b ≠()f x 2a b -()f x 0()()2f a x f a x y -++=0()()2f b x f b x y -++=()a b ≠()f x 2a b -五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系 1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在上的函数,若同时关于点和直线对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足R ()f x x a =2x a =x ()f x ()()f a x f a x -=+(2)(2)f a x f a x -=+()f x 2T a =R ()f x x a =(2,0)a x ()f x ()()f a x f a x -=+(2)(2)f a x f a x -=-+()f x 4T a =R ()f x (,0)a 2x a =x ()f x ()()f a x f a x -=-+(2)(2)f a x f a x -=+()f x 4T a =R ()f x (,0)a (2,0)a x ()f x ()()f a x f a x -=-+(2)(2)f a x f a x -=-+()f x 2T a =()f x x a =x ()f x ()()f a x f a x -=+()f x 2T a =()f x (,0)a x ()f x ()()f a x f a x -=-+()f x 4T a =()f x x a =x ()f x，则是以为周期的周期函数.8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.【拓展】：1、若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称.2、若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称.3、定义在上的函数满足，且方程恰有个实根，则这个实根的和为.4、定义在上的函数满足，则函数的图象关于点对称. ()()f a x f a x -=+()f x 4T a =()f x (,0)a x ()f x ()()f a x f a x -=-+()f x 2T a =()y f x a =+)(x f y =x a =()y f x a =+)(x f y =(,0)a R ()f x ()()f a x f a x -=+()0f x =2n 2n 2na R )(x f y =()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数)(x f y =(,)22a b c +。
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
一、函数的对称性
1、定义：
函数的对称性是指函数在满足一些特定条件时，其图像在其中一特定
轴对称的特性。
例如：函数y=f(x)当满足f(-x)=f(x)时，则说函数具有
x轴对称性；若满足f(x)=f(-x)时，则说函数具有y轴对称性。
2、简单的函数对称性推理：
（1）当函数只含有常数项时，看其系数即可判断它是否具有对称性，如果系数都为正，则函数具有x轴对称性，即f(-x)=f(x)；如果系数都
为负，则函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)。
（2）当函数含有一项x的乘方因子时，只要满足乘方因子的指数为
偶数，则说明函数具有x轴对称性；当乘方因子的指数为奇数时，则说明
函数具有y轴对称性。
（3）函数中有分母时，我们可以将分母的部分分开考虑，如果分母
部分满足前面所列出的三种情况，且分子与分母都具有同一种对称性，则
说明函数也具有相同的对称性。
3、函数具有的对称性类型：
（1）函数具有特殊的对称性，比如偶函数、奇函数和极坐标函数等，它们在特定的轴上有着特殊的对称性特点。
（2）除此之外，函数还可以具有一般性的对称性，在满足一定条件时，函数会具有一般的对称性。
二、函数的周期性
1、定义：。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
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函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
得证。
若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(cb a + 对称（3）函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。
但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y xc 它会关于y=0对称。
4、 周期性： （1）函数)(x f y =满足如下关系系，则Tx f 2)(的周期为A 、)()(x f T x f -=+ B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）D 、其他情形 （2）函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则可推出)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以得到)(x f y =的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为kT Tx 22+=)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T）如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为)0,22(kT T+)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）（4）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。
如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. 定理4：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. 定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.二、 两个函数的图象对称性1、)(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。
2、)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
3、)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。
4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。
5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。
6、)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2ba x +=对称。
7、 函数的轴对称：定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2b a x +=对称.推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.8、 函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、总规律：定义在Ｒ上的函数()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。
四、试题1．已知定义为R 的函数()x f 满足()()4+-=-x f x f ，且函数()x f 在区间()+∞,2上单调递增.如果212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（A ）.A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负.分析：()()4+-=-x f x f 形似周期函数()()4+=x f x f ，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用2-x 代替x ，使()()4+-=-x f x f 变形为()()22+-=-x f x f .它的特征就是推论3.因此图象关于点()0,2对称.()x f 在区间()+∞,2上单调递增，在区间()2,∞-上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.1242x x -<< ，且函数在()+∞,2上单调递增，所以 ()()124x f x f -<，又由()()4+-=-x f x f ，有()[]()()1111444)4(x f x f x f x f -=+-=--=-，∴()()<+21x f x f ()()114x f x f -+()()011=-=x f x f .选A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.2：在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( B )A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数分析：由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称，即推论1的应用.又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称，可得到()f x 为周期函数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上是减函数，可得如右()f x 草图.故选B3.定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ D ）A.0B.1C.3D.5分析：()()0f T f T =-=，()()()()2222T T T Tf f f T f -=-=-+=，∴()()022T Tf f -==，则n 可能为5，选D.4．已知函数()x f 的图象关于直线2=x 和4=x 都对称，且当10≤≤x 时，()x x f =.求()5.19f 的值.分析：由推论1可知，()x f 的图象关于直线2=x 对称，即()()x f x f -=+22，同样，()x f 满足()()x f x f -=+44，现由上述的定理3知()x f 是以4为周期的函数.()()5.3445.19+⨯=∴f f ()5.3f =()[]()5.05.04-=-+=f f ，同时还知()x f 是偶函数，所以()()5.05.05.0==-f f .5．()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-，则()0f ，()1f ，()2f ，…，()999f 中最多有（ B ）个不同的值.A.165B.177C.183D.199分析：由已知()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-()1056f x =+()()()1760704352f x f x f x =+=+=+.又有()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-()1056f x =+()21581056f x =-+⎡⎤⎣⎦()()()11021102105646f x f x f x =-=--=-，于是)(x f 有周期352，于是()()(){}0,1,,999f f f 能在()()(){}0,1,,351f f f 中找到.又)(x f 的图像关于直线23x =对称，故这些值可以在()()(){}23,24,,351f f f 中找到.又)(x f 的图像关于直线199x =对称，故这些值可以在()()(){}23,24,,199f f f 中找到.共有177个.选B.6：已知()113xf x x+=-，()()1f x f f x =⎡⎤⎣⎦，()()21f x f f x =⎡⎤⎣⎦，…，()()1n n f x f f x +=⎡⎤⎣⎦，则()20042f -=（ A ）.A.17-B.17C. 35-D.3分析：由()113x f x x +=-，知()1131x f x x -=+，()2131x f x f x x -⎛⎫== ⎪+⎝⎭，()()3f x f x =.)(x f 为迭代周期函数，故()()3n f x f x =，()()2004f x f x =，()()20041227f f -=-=-. 选A.7：函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2005f 的值为 .解：()()()()11g x f x g x f x -=--=-=--，()()11f x f x --=--，令1y x =+，则()()2f y f y -=--，即有()()20f x f x +-=，令()n a f x =，则20n n a a -+=，其中02005a =，10a =，()20052n n n a i i ⎡⎤=+-⎣⎦，()20052005f a ==()2005200520052i i ⎡⎤+-⎣⎦0=. 或有()()2f x f x =--，得()()()()2005200320011999f f f f =-==-=()10f ==.8．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ c ） A ．0B ．1C ．25 D ．5分析：答案为B 。