函数的对称性与周期性

0
(3, 0)
函数f ( x )满足f ( 2 x ) f ( 4 x ) 10, 则f ( x )的图象 有何特征？
(2 x) (4 x) 3 2
f 2 x f 4 x 2
5
(3, 5)
区分：
应用——数：
4
4
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
-5
5
-5
5
-2
-2
-4
-4
y f ( x)与y f ( x 1)
例.关于y f ( x )，给出下列五个命题： 1.若f ( x 1) f ( x 1), 则y f ( x )是周期函数 2.若f (1 - x ) - f (1 x ), 则y f ( x )为奇函数 3.若函数y f ( x - 1)的图象关于x 1对称， 则y f ( x )为偶函数 4.函数y f (1 x )与函数y f (1 - x )的图象关于 直线x 1对称 5.若f (1 - x ) f (1 x ), 则y f x )的图象关于点 （ （1， 0）对称 写出正确命题的序号 _____
1, 3
周期性与对称性的综合应用
f ( x )为R上的偶函数，且f ( x )的图象关于 x 1对称，求证：f ( x )为周期函数
结论：f ( x )的定义域为R，且有两条对称轴 x a , x （b a），则 f ( x )是周期为 b 2(b - a )的周期函数
例已知定义在R上的函数y f ( x）满足 . 对于任意x1 , x2有 f ( x1 x2 ) f ( x1 x2 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) 且f ( 0) 0 1.求f (0) 2.求证f ( x )为偶函数 3.若f ( 2) 0, 求证f ( x )为周期函数
函数的对称性（奇偶性） 与周期性
•关注数与形的特征
代数特征：自变量互为
相反数，其对应函数 值也互为相反数.
几何特征：点(x,f(x))与点（-x,-f(x)）同时在
函数的图像上.故函数图象关于原点对称.
代数特征：自变量
互为相反数，其 对应函数值相等， 定义域关于原点 对称
几何特征：点(x,f(x))与点（-x,f(-x)）同
-6
-6
()
f ( x) f ( x T )
函数的周期性所反映的是在自变量 的变化下函数值变化的一种状态！
定义在R上的函数f ( x )既是奇函数又是 周期函数，T 是一个正周期，若将方程 f ( x） 0在闭区间[-T , T ]上的根的个数记为 n, 则n可能的取值为 （ A.0 B . 1 C . 3 D .5 ）
时在函数的图像上.函数图象关于y轴 对称.
应用——形：
通过点的特征判定
( a x) ( a x) a 2
函数f ( x )满足f ( 2 x ) f ( 4 x ) 0, 则f ( x )的图象 有何特征？
(2 x) (4 x) 3 2
f 2 x f 4 x 2