函数的对称性与周期性
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函数的对称性与周期性
一、相关结论
1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同）
① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 ④ 若)
(1
)(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 3．自对称性（内反）
①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2
b
a x +=
对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。
②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2
(
b
a +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。
③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2
,2(c
b a +对称。 4．互对称性
①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a
b x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2
(a
b -对称；
③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5． 对称性与周期性的关系
①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，
||2a b -为一个周期。
②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数，
||2a b -为一个周期。
若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函
数，||4a b -为一个周期。
二、基础练习
1．已知定义在}0|{≠x x 上的奇函数)(x f ，在区间)0(∞+，上单调递增，且0)2
1
(=f ，若ABC ∆的内角A 满足0)(cos ππ B ．），（23ππ C ．），（323ππ D ．),3 2()2,3(ππ ππ 2．定义在R 上偶函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当43≤≤x 时，2)(-=x x f ，则（ ） A )(cos )(sin 21 21f f C )1(cos )1(sin f f