中考数学试题分类汇编:正方形(含解析)
2020年中考数学必考高分考点:正方形(学生版)
专题22 正方形1.正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.正方形的性质:(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质;(2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等;(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;(4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴;(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形;(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3.正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:先证它是矩形,再证有一组邻边相等。
即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。
即有一个角是直角的菱形是正方形。
4.正方形的面积:设正方形边长为a,对角线长为b ,S正方形=222ba【例题1】(2019湖南郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是()A.√2B.2C.√3D.4专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】(2019•四川省凉山州)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接E B.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.一、选择题1.(2019内蒙古包头)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E,F分别在边BC和CD上,AE=AF,∠EAF=60°,则CF的长是()A.B.C.﹣1D.2.(2019湖南张家界)如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是()A.(,﹣)B.(1,0)C.(﹣,﹣)D.(0,﹣1)3.(2019•四川省广安市)把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为()专题典型训练题()A61()B31()C51()D414.(2019•贵州省铜仁市)如图,正方形ABCD中,AB=6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG.以下结论:①BF∥ED;②△DFG≌△DCG;③△FHB∽△EAD;④tan∠GEB=;⑤S△BFG=2.6;其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.5\5.(2019黑龙江省绥化)如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB=4,EF=2,设AE=x.当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是()①当x=0(即E、A两点重合)时,P点有6个②当0<x<42﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x=22﹣2④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A.①③B.①④C.②④D.②③二、填空题6.(2019湖南邵阳)公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”.如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.127.(2019湖南张家界)如图:正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD=.8.(2019•湖北省随州市)如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点(不与端点重合),将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.给出下列判断:①∠EAG=45°;②若DE=a,则AG∥CF;③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2;④若CF=FG,则DE=(-1)a;⑤BG•DE+AF•GE=a2.其中正确的是______.(写出所有正确判断的序号)9.(2019福建)如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)10.(2019•四川省凉山州)如图,正方形ABCD中,AB=12,AE=AB,点P在BC上运动(不与B、C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为.11. (2019•广东广州)如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF=BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论:①∠ECF=45°;②△AEG的周长为(1+)a;③BE2+DG2=EG2;④△EAF的面积的最大值a2.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)12.(2019·广西贺州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为.13.(2019•山东青岛)如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD=4cm,则CF的长为cm.14.(2019江苏镇江)将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置(如图),使得点D 落在对角线CF 上,EF 与AD 相交于点H ,则HD= .(结果保留根号)15.(2019辽宁抚顺)如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A ,B ,C 在格点上,连接AB ,BC ,则tan ∠ABC = .三、解答题16.(2019湖南湘西州)如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CD ,AD 上,且AF =CE .(1)求证:△ABF ≌△CBE ;(2)若AB =4,AF =1,求四边形BEDF 的面积.17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.第10题图HGFEDCBA(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB=PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.18.(2019湖南株洲)如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG.(1)求证:△DOG≌△COE;(2)若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM=12,求正方形OEFG的边长.19.(2019•湖北省仙桃市)如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE=CF,过点E作EG ∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF.求证:(1)AE⊥BF;(2)四边形BEGF是平行四边形.20.(2019•山东泰安)如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90°,FG ⊥AD,垂足为点C.(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明;(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.21.(2019湖北襄阳)(1)证明推断:如图(1),在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE.①求证:DQ=AE;②推断:的值为;(2)类比探究:如图(2),在矩形ABCD中,=k(k为常数).将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC 边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展应用:在(2)的条件下,连接CP,当k=时,若tan∠CGP=,GF=2,求CP的长.。
初三正方形典型题
正方形的典型题目
题目:在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF = (1/4)CD。
求证:∠EAF = 45°。
证明:
第一步,由题目信息,可知正方形ABCD中,AB=BC=CD=DA,且∠B=∠C=∠D=90°。
第二步,连接AC,取AC的中点为O,连接EO和FO。
第三步,根据正方形的性质,可知AC⊥BD,且AC、BD互相平分。
所以,EO为三角形ABC 的中位线,FO为三角形ADC的中位线。
第四步,由三角形中位线的性质,有EO=1/2AB,FO=1/2AD。
而AB=AD,所以EO=FO。
第五步,因为EO=FO,且O为AC的中点,所以∠EOF=90°。
又因为∠BAC=45°,所以∠EAF=∠EOF-∠BAC=45°。
综上,∠EAF = 45°。
这道题考察了正方形的性质、三角形中位线的性质以及角度的计算等知识点。
在解题过程中,我们巧妙地利用了正方形和三角形的性质来找到解题的突破口。
2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题44:矩形、菱形、正方形
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)专题44:矩形、菱形、正方形一、选择题1. (2012天津市3分)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M为边AD的中点,延长MD 至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为【】(A1(B)3(C(D1【答案】D。
【考点】正方形的性质,勾股定理。
【分析】利用勾股定理求出CM的长,即ME的长,有DM=DE,所以可以求出DE,从而得到DG的长:∵四边形ABCD是正方形,M为边AD的中点,∴DM=12DC=1。
∴CM=1。
∵四边形EDGF1。
故选D。
2. (2012安徽省4分)为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为【】A.22a B. 32a C. 42a D.52a【答案】A 。
【考点】正多边形和圆,等腰直角三角形的性质,正方形的性质。
【分析】图案中间的阴影部分是正方形,面积是2a ,由于原来地砖更换成正八边形,四周一个阴影部分是对角线为a 的正方形的一半,它的面积用对角线积的一半来计算:222114222a a a +⨯⨯=。
故选A 。
3. (2012山西省2分)如图,已知菱形ABCD 的对角线AC .BD 的长分别为6cm 、8cm ,AE⊥BC 于点E ,则AE 的长是【 】A .B .C .48cm 5D .24cm 5 【答案】D 。
【考点】菱形的性质,勾股定理。
【分析】∵四边形ABCD 是菱形,∴CO=12AC=3,BO=12BD=,AO⊥BO,∴5=。
∴ABCD 11S BD AC 682422=⋅=⨯⨯=菱形。
又∵ABCD S BC AE =⋅菱形,∴BC·AE=24,即()24AE cm 5=。
故选D 。
4. (2012陕西省3分)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,OE⊥AB,垂足为E ,若∠ADC=1300,则∠AOE 的大小为【 】A .75°B .65°C .55°D .50°【答案】B 。
中考数学试卷分类汇编方案设计含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校方案设计1.〔2021•A卷•10分〕如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中A D≤MN,矩形菜园的一边靠墙,另三边一一共用了100 米木栏.〔1〕假设a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;〔2〕求矩形菜园ABCD面积的最大值.【分析】〔1〕设AB=xm,那么BC=〔100﹣2x〕m,利用矩形的面积公式得到x〔100﹣2x〕=450,解方程得x1=5,x2=45,然后计算100﹣2x后与20进展大小比较即可得到AD的长;〔2〕设AD=xm,利用矩形面积得到S=12x〔100﹣x〕,配方得到S=﹣12〔x﹣50〕2+1250,讨论:当a≥50时,根据二次函数的性质得S的最大值为1250;当0<a<50时,那么当0<x≤a时,根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣12a2.【解答】解:〔1〕设AB=xm,那么BC=〔100﹣2x〕m,根据题意得x〔100﹣2x〕=450,解得x1=5,x2=45,当x=5时,100﹣2x=90>20,不合题意舍去;当x=45时,100﹣2x=10,答:AD的长为10m;〔2〕设AD=xm,∴S=12x〔100﹣x〕=﹣12〔x﹣50〕2+1250,当a≥50时,那么x=50时,S的最大值为1250;当0<a<50时,那么当0<x≤a时,S随x的增大而增大,当x=a时,S的最大值为50a﹣12a2,综上所述,当a≥50时,S的最大值为1250;当0<a<50时,S的最大值为50a﹣12a2.【点评】此题考察了二次函数的应用:解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.2.〔2021•B卷•10分〕空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,木栏总长为100米.〔1〕a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图1,求所利用旧墙AD的长;〔2〕0<α<50,且空地足够大,如图2.请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大,并求面积的最大值.图1图2【分析】〔1〕按题意设出AD,表示AB构成方程;〔2〕根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系.【解答】解:〔1〕设AD=x米,那么AB=1002x-米依题意得,(100)4502x x-=解得x1=10,x2=90∵a=20,且x≤a∴x=90舍去∴利用旧墙AD的长为10 米.〔2〕设AD=x米,矩形ABCD的面积为S平方米①假设按图一方案围成矩形菜园,依题意得: S=2(100)1(50)125022x x x -=--+,0<x <a ∵0<α<50∴x<a <50时,S 随x 的增大而增大当x=a 时,S 最大=50a ﹣213a②如按图2方案围成矩形菜园,依题意得 S=22(1002)[(25)](25)244x a x a a x +-=---++,a ≤x<50+2a当a <25+4a <50时,即0<a <1003时,那么x=25+4a 时, S 最大=〔25+4a 〕2=21000020016a a ++ 当25+4a ≤a,即100503a ≤时,S 随x 的增大而减小∴x=a 时,S 最大=(1002)2a a a +-=21502a a -综合①②,当0<a <1003时,21000020016a a ++﹣〔21502a a -〕=2(3100)016a -21000020016a a ++>21502a a -,此时,按图2方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为21000020016a a ++平方米当100503a ≤时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等. ∴当0<a <1003时,围成长和宽均为〔25+4a 〕米的矩形菜园面积最大,最大面积为21000020016a a ++平方米; 当100503a ≤时,围成长为a 米,宽为〔50﹣2a 〕米的矩形菜园面积最大,最大面积为〔21502a a 〕平方米. 【点评】此题以实际应用为背景,考察了一元二次方程与二次函数最值的讨论,解得时注意分类讨论变量大小关系.3.〔2021··10分〕某积极响应“三城同创〞的号召,绿化校园,方案购进A ,B 两种树苗,一共21棵,A 种树苗每棵90元,B 种树苗每棵70元.设购置A 种树苗x棵,购置两种树苗所需费用为y元.〔1〕求y与x的函数表达式,其中0≤x≤21;〔2〕假设购置B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请给出一种费用最的方案,并求出该方案所需费用.【分析】〔1〕根据购置两种树苗所需费用=A种树苗费用+B种树苗费用,即可解答;〔2〕根据购置B种树苗的数量少于A种树苗的数量,列出不等式,确定x的取值范围,再根据〔1〕得出的y与x之间的函数关系式,利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案.【解答】解:〔1〕根据题意,得:y=90x+70〔21﹣x〕=20x+1470,所以函数解析式为:y=20x+1470;〔2〕∵购置B种树苗的数量少于A种树苗的数量,∴21﹣x<x,解得:x>10.5,又∵y=20x+1470,且x取整数,∴当x=11时,y有最小值=1690,∴使费用最的方案是购置B种树苗10棵,A种树苗11棵,所需费用为1690元.【点评】此题考察的是一元一次不等式及一次函数的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描绘语,进而找到所求的量的等量关系和不等关系.4.〔2021年〕两种型号的垃圾处理设备一共10台.每台A型设备日处理才能为12吨;每台B型设备日处理才能为15吨;购回的设备日处理才能不低于140吨.〔1〕请你为该景区设计购置两种设备的方案;〔2〕每台A型设备价格为3万元,每台B型设备价格为万元.厂家为了促销产品,规定货款不低于40万元时,那么按9折优惠;问:采用〔1〕设计的哪种方案,使购置费用最少,为什么?【分析】〔1〕设购置A种设备x台,那么购置B种设备〔10﹣x〕台,根据购回的设备日处理才能不低于140吨列出不等式12x+15〔10﹣x〕≥140,求出解集,再根据x为正整数,得出x=1,2,3.进而求解即可;〔2〕分别求出各方案实际购置费用,比较即可求解.【解答】解:〔1〕设购置A种设备x台,那么购置B种设备〔10﹣x〕台,根据题意,得12x+15〔10﹣x〕≥140,解得x≤313,∵x为正整数,∴x=1,2,3.∴该景区有三种设计方案:方案一:购置A种设备1台,B种设备9台;方案二:购置A种设备2台,B种设备8台;方案三:购置A种设备3台,B种设备7台;〔2〕各方案购置费用分别为:方案一:3×1+×9=4>40,实际付款:4×0.9=34〔万元〕;方案二:3×2+×8=4>40,实际付款:4×0.9=37.08〔万元〕;方案三:3×3+×7=3<40,实际付款:3〔万元〕;∵37.08<34<3,∴采用〔1〕设计的第二种方案,使购置费用最少.【点评】此题考察了一次函数的应用,一元一次不等式的应用,分析题意,找到适宜的不等关系是解决问题的关键.5.〔2021湘西州12.00分〕某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店方案再一次性购进两种型号的电脑一共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.〔1〕求y关于x的函数关系式;〔2〕该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?〔3〕实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a〔0<a<200〕元,且限定商店最多购进A型电脑60台,假设商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.【分析】〔1〕根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量〞可得函数解析式;〔2〕根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数〞求得x的范围,再结合〔1〕所求函数解析式及一次函数的性质求解可得;〔3〕据题意得y=〔400+a〕x+500〔100﹣x〕,即y=〔a﹣100〕x+50000,分三种情况讨论,①当0<a<100时,y随x的增大而减小,②a=100时,y=50000,③当100<m<200时,a﹣100>0,y随x的增大而增大,分别进展求解.【解答】解:〔1〕根据题意,y=400x+500〔100﹣x〕=﹣100x+50000;〔2〕∵100﹣x≤2x,∴x≥1003,∵y=﹣100x+50000中k=﹣100<0,∴y随x的增大而减小,∵x为正数,∴x=34时,y获得最大值,最大值为46600,答:该商店购进A型34台、B型电脑66台,才能使销售总利润最大,最大利润是46600元;〔3〕据题意得,y=〔400+a〕x+500〔100﹣x〕,即y=〔a﹣100〕x+50000,1333≤x≤60①当0<a<100时,y随x的增大而减小,∴当x=34时,y取最大值,即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大.②a=100时,a﹣100=0,y=50000,即商店购进A型电脑数量满足1333≤x≤60的整数时,均获得最大利润;③当100<a<200时,a﹣100>0,y随x的增大而增大,∴当x=60时,y获得最大值.即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大.【点评】题主要考察了一次函数的应用及一元一次不等式的应用,解题的关键是根据一次函数x 值的增大而确定y值的增减情况.6.〔2021••7分〕绿水青山就是金山银山〞,为保护生态环境,A,B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱,每村参加清理人数及总开支如下表:人均支出费用各是多少元;〔2〕在人均支出费用不变的情况下,为节约开支,两村准备抽调40人一共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱,要使总支出不超过102000元,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数,那么有哪几种分配清理人员方案?【解答】解:〔1〕设清理养鱼网箱的人均费用为x元,清理捕鱼网箱的人均费用为y元,根据题意,得1595700010+1668000x yx y+=⎧⎨=⎩,解得:20003000 xy=⎧⎨=⎩,答:清理养鱼网箱的人均费用为2000元,清理捕鱼网箱的人均费用为3000元;〔2〕设m人清理养鱼网箱,那么〔40﹣m〕人清理捕鱼网箱,根据题意,得:20003000(40)1020040m mm m+-≤⎧⎨-⎩,解得:18≤m<20,∵m为整数,∴m=18或者m=19,那么分配清理人员方案有两种:方案一:18人清理养鱼网箱,22人清理捕鱼网箱;方案二:19人清理养鱼网箱,21人清理捕鱼网箱.7.〔2021··10分〕某为改善办学条件,方案采购A.B两种型号的空调,采购3台A型空调和2台B型空调,需费用39000元;4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元.〔1〕求A型空调和B型空调每台各需多少元;〔2〕假设方案采购两种型号空调一共30台,且A型空调的台数不少于B型空调的一半,两种型号空调的采购总费用不超过217000元,该校一共有哪几种采购方案?〔3〕在〔2〕的条件下,采用哪一种采购方案可使总费用最低,最低费用是多少元?【分析】〔1〕根据题意可以列出相应的方程组,从而可以解答此题;:〔2〕根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以求得有几种采购方案;〔3〕根据题意和〔2〕中的结果,可以解答此题.【解答】解:〔1〕设A型空调和B型空调每台各需x元、y元,3239000456000x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得,90006000x y =⎧⎨=⎩ ,答:A 型空调和B 型空调每台各需9000元、6000元;〔2〕设购置A 型空调a 台,那么购置B 型空调〔30﹣a 〕台,90006000(30)217001(30)2a a a a +-≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ ,解得,10≤a≤1213,∴a=10.11.12,一共有三种采购方案,方案一:采购A 型空调10台,B 型空调20台,方案二:采购A 型空调11台,B 型空调19台,方案三:采购A 型空调12台,B 型空调18台;〔3〕设总费用为w 元,w=9000a+6000〔30﹣a 〕=3000a+180000,∴当a=10时,w 获得最小值,此时w=210000,即采购A 型空调10台,B 型空调20台可使总费用最低,最低费用是210000元.【点评】此题考察一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用,解答此题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数和不等式的思想解答.8.〔2021••12分〕准备购进一批甲、乙两种办公桌假设干张,并且每买1张办公桌必须买2把椅子,椅子每把100元,假设购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌一共花费24000元;购置10张甲种办公桌比购置5张乙种办公桌多花费2000元.〔1〕求甲、乙两种办公桌每张各多少元?〔2〕假设购置甲乙两种办公桌一共40张,且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3 倍,请你给出一种费用最少的方案,并求出该方案所需费用.【分析】〔1〕设甲种办公桌每张x元,乙种办公桌每张y元,根据“甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的钱数=24000、10把甲种桌子钱数﹣5把乙种桌子钱数+多出5张桌子对应椅子的钱数=2000〞列方程组求解可得;〔2〕设甲种办公桌购置a张,那么购置乙种办公桌〔40﹣a〕张,购置的总费用为y,根据“总费用=甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的总钱数〞得出函数解析式,再由“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍〞得出自变量a的取值范围,继而利用一次函数的性质求解可得.【解答】解:〔1〕设甲种办公桌每张x元,乙种办公桌每张y元,根据题意,得:2015700024000 10510002000x yx y++=⎧⎨-+=⎩,解得:400600 xy=⎧⎨=⎩,答:甲种办公桌每张400元,乙种办公桌每张600元;〔2〕设甲种办公桌购置a张,那么购置乙种办公桌〔40﹣a〕张,购置的总费用为y,那么y=400a+600〔40﹣a〕+2×40×100=﹣200a+32000,∵a≤3〔40﹣a〕,∴a≤30,∵﹣200<0,∴y随a的增大而减小,∴当a=30时,y获得最小值,最小值为26000元.。
江苏省宿迁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类(含答案)
江苏省宿迁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类一.实数的运算(共1小题)1.(2023•宿迁)计算:.二.分式的化简求值(共1小题)2.(2023•宿迁)先化简,再求值:,其中.三.二次函数的应用(共1小题)3.(2023•宿迁)某商场销售A、B两种商品,每件进价均为20元.调查发现,如果售出A 种20件,B种10件,销售总额为840元;如果售出A种10件,B种15件,销售总额为660元.(1)求A、B两种商品的销售单价;(2)经市场调研,A种商品按原售价销售,可售出40件,原售价每降价1元,销售量可增加10件;B种商品的售价不变,A种商品售价不低于B种商品售价.设A种商品降价m元,如果A、B两种商品销售量相同,求m取何值时,商场销售A、B两种商品可获得总利润最大?最大利润是多少?四.二次函数综合题(共3小题)4.(2023•宿迁)规定:若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点,则称这两个函数互为“兄弟函数”,其公共点称为“兄弟点”.(1)下列三个函数①y=x+1;②;③y=﹣x2+1,其中与二次函数y=2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 (填写序号);(2)若函数与互为“兄弟函数”,x=1是其中一个“兄弟点”的横坐标.①求实数a的值;②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ;(3)若函数y1=|x﹣m|(m为常数)与互为“兄弟函数”,三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3,且x1<x2<x3,求的取值范围.5.(2022•宿迁)如图,二次函数y=x2+bx+c与x轴交于O(0,0),A(4,0)两点,顶点为C,连接OC、AC,若点B是线段OA上一动点,连接BC,将△ABC沿BC折叠后,点A落在点A′的位置,线段A′C与x轴交于点D,且点D与O、A点不重合.(1)求二次函数的表达式;(2)①求证:△OCD∽△A′BD;②求的最小值;(3)当S△OCD=8S△A'BD时,求直线A′B与二次函数的交点横坐标.6.(2021•宿迁)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),与y 轴交于点C.连接AC,BC,点P在抛物线上运动.(1)求抛物线的表达式;(2)如图①,若点P在第四象限,点Q在PA的延长线上,当∠CAQ=∠CBA+45°时,求点P的坐标;(3)如图②,若点P在第一象限,直线AP交BC于点F,过点P作x轴的垂线交BC 于点H,当△PFH为等腰三角形时,求线段PH的长.五.三角形综合题(共1小题)7.(2023•宿迁)【问题背景】由光的反射定律知:反射角等于入射角(如图①,即∠CEF=∠AEF).小军测量某建筑物高度的方法如下:在地面点E处平放一面镜子,经调整自己位置后,在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A.经测得,小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m,BE=20m,DE=2m,求建筑物AB的高度;【活动探究】观察小军的操作后,小明提出了一个测量广告牌高度的做法(如图②):他让小军站在点D处不动,将镜子移动至E1处,小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出DE1=2m;再将镜子移动至E2处,恰好通过镜子看到广告牌的底端A,测出DE2=3.4m.经测得,小军的眼睛离地面距离CD=1.7m,BD=10m,求这个广告牌AG的高度;【应用拓展】小军和小明讨论后,发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度.他们给出了如下测量步骤(如图③):①让小军站在斜坡的底端D处不动(小军眼睛离地面距离CD=1.7m),小明通过移动镜子(镜子平放在坡面上)位置至E处,让小军恰好能看到塔顶B;②测出DE=2.8m;③测出坡长AD=17m;④测出坡比为8:15(即).通过他们给出的方案,请你算出信号塔AB的高度(结果保留整数).六.四边形综合题(共1小题)8.(2021•宿迁)已知正方形ABCD与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.(1)如图①,连接BG、CF,求的值;(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时,连接CF、BE,分别取CF、BE的中点M、N,连接MN、试探究:MN与BE的关系,并说明理由;(3)连接BE、BF,分别取BE、BF的中点N、Q,连接QN,AE=6,请直接写出线段QN 扫过的面积.七.直线与圆的位置关系(共1小题)9.(2022•宿迁)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC 交于点D.(1)判断直线AC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=4,求图中阴影部分的面积.八.切线的判定与性质(共1小题)10.(2023•宿迁)(1)如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分∠BAC,点E在AC上,连接DE、DB, .求证: ;从①DE与⊙O相切;②DE⊥AC中选择一个作为已知条件,余下的一个作为结论,将题目补充完整(填写序号),并完成证明过程;(2)在(1)的前提下,若AB=6,∠BAD=30°,求阴影部分的面积.九.圆的综合题(共1小题)11.(2022•宿迁)如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点A、B、C、D、M均为格点.【操作探究】在数学活动课上,佳佳同学在如图①的网格中,用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD,相交于点P并给出部分说理过程,请你补充完整:解:在网格中取格点E,构建两个直角三角形,分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中,tan∠BAC=,在Rt△CDE中, ,所以tan∠BAC=tan∠DCE.所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠ACP+∠BAC=90°,所以∠APC=90°,即AB⊥CD.【拓展应用】(1)如图②是以格点O为圆心,AB为直径的圆,请你只用无刻度的直尺,在上找出一点P,使=,写出作法,并给出证明;(2)如图③是以格点O为圆心的圆,请你只用无刻度的直尺,在弦AB上找出一点P.使AM2=AP•AB,写出作法,不用证明.一十.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(共1小题)12.(2021•宿迁)一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作,在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°,面向AB方向继续飞行5米,测得该建筑物底端B的俯角为45°,已知建筑物AB的高为3米,求无人机飞行的高度(结果精确到1米,参考数据:≈1.414,≈1.732).一十一.列表法与树状图法(共1小题)13.(2021•宿迁)即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”,将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀.(1)若从中任意抽取1张,抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 .(2)若先从中任意抽取1张,记录后放回,洗匀,再从中任意抽取1张,求两次抽取的卡片图案相同的概率.(请用树状图或列表的方法求解)江苏省宿迁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类参考答案与试题解析一.实数的运算(共1小题)1.(2023•宿迁)计算:.【答案】0.【解答】解:原式=,=0.二.分式的化简求值(共1小题)2.(2023•宿迁)先化简,再求值:,其中.【答案】x﹣1;.【解答】解:===x﹣1,当时,原式=.三.二次函数的应用(共1小题)3.(2023•宿迁)某商场销售A、B两种商品,每件进价均为20元.调查发现,如果售出A 种20件,B种10件,销售总额为840元;如果售出A种10件,B种15件,销售总额为660元.(1)求A、B两种商品的销售单价;(2)经市场调研,A种商品按原售价销售,可售出40件,原售价每降价1元,销售量可增加10件;B种商品的售价不变,A种商品售价不低于B种商品售价.设A种商品降价m元,如果A、B两种商品销售量相同,求m取何值时,商场销售A、B两种商品可获得总利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)A种商品的销售单价为30元,B种商品的销售单价为24元;(2)m取5时,商场销售A、B两种商品可获得总利润最大,最大利润是810元.【解答】解:(1)设A种商品的销售单价为a元,B种商品的销售单价为b元,由题意可得:,解得,答:(2)设利润为w元,由题意可得:w=(30﹣m﹣20)(40+10m)+(24﹣20)(40+10m)=﹣10(m﹣5)2+810,∵A种商品售价不低于B种商品售价,∴30﹣m≥24,解得m≤6,∴当m=5时,w取得最大值,此时w=810,答:m取5时,商场销售A、B两种商品可获得总利润最大,最大利润是810元.四.二次函数综合题(共3小题)4.(2023•宿迁)规定:若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点,则称这两个函数互为“兄弟函数”,其公共点称为“兄弟点”.(1)下列三个函数①y=x+1;②;③y=﹣x2+1,其中与二次函数y=2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 ② (填写序号);(2)若函数与互为“兄弟函数”,x=1是其中一个“兄弟点”的横坐标.①求实数a的值;②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ;(3)若函数y1=|x﹣m|(m为常数)与互为“兄弟函数”,三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3,且x1<x2<x3,求的取值范围.【答案】(1)②;(2)①2;②,;(3)>16.【解答】解:(1)如图:由图可知,与二次函数y=2x2﹣4x﹣3有3个交点的是y=﹣,∴与二次函数y=2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是②,故答案为:②;(2)①把x=1代入得y=﹣1,把x=1,y=﹣1代入函数得,a=2;②∵2x2﹣5x+2=﹣,∴2x3﹣5x2+2x+1=0,∴2x3﹣2x2﹣2x2+2x﹣x2+1=0,∴(2x3﹣2x2)﹣(2x2﹣2x)﹣(x2﹣1)=0,∴2x2(x﹣1)﹣2x(x﹣1)﹣(x+1)(x﹣1)=0,∴(x﹣1)(2x2﹣2x﹣x﹣1)=0,∴2x2﹣3x﹣1=0,∴x=或x=.故答案为:,.(3)x1满足方程﹣x+m=﹣,即﹣mx1=2,x2,x3满足方程x﹣m=﹣,即x2,x3是方程x2﹣mx+2=0的两个根,∴Δ=m2﹣8>0,即m2>8,x2+x3=m,∴=(m﹣2x1)2=m2﹣4mx1+4=m2+4(﹣mx1)=m2+8>16.5.(2022•宿迁)如图,二次函数y=x2+bx+c与x轴交于O(0,0),A(4,0)两点,顶点为C,连接OC、AC,若点B是线段OA上一动点,连接BC,将△ABC沿BC折叠后,点A落在点A′的位置,线段A′C与x轴交于点D,且点D与O、A点不重合.(1)求二次函数的表达式;(2)①求证:△OCD∽△A′BD;②求的最小值;(3)当S△OCD=8S△A'BD时,求直线A′B与二次函数的交点横坐标.【答案】(1)y=x2﹣2x;(2)①证明见解答;②;(3).【解答】(1)解:∵二次函数y=x2+bx+c与x轴交于O(0,0),A(4,0)两点,∴二次函数的解析式为:y=(x﹣0)(x﹣4)=x2﹣2x;(2)①证明:如图1,由翻折得:∠OAC=∠A',由对称得:OC=AC,∴∠AOC=∠OAC,∴∠COA=∠A',∵∠A'DB=∠ODC,∴△OCD∽△A′BD;②解:∵△OCD∽△A′BD,∴=,∵AB=A'B,∴=,∴的最小值就是的最小值,y=x2﹣2x=(x﹣2)2﹣2,∴C(2,﹣2),∴OC=2,∴当CD⊥OA时,CD最小,的值最小,当CD=2时,的最小值为=;(3)解法一:∵S△OCD=8S△A'BD,∴S△OCD:S△A'BD=8,∵△OCD∽△A′BD,∴=()2=8,∴=2,∵OC=2,∴A'B=AB=1,∴BF=2﹣1=1,如图2,连接AA',过点A'作A'G⊥OA于G,延长CB交AA'于H,设抛物线的对称轴与x 轴交于点F,由翻折得:AA'⊥CH,∵∠AHB=∠BFC=90°,∠ABH=∠CBD,∴∠BCF=∠BAH,tan∠BCF=tan∠GAA',∴==,设A'G=a,则AG=2a,BG=2a﹣1,在Rt△A'GB中,由勾股定理得:BG2+A'G2=A'B2,∴a2+(2a﹣1)2=12,∴a1=0(舍),a2=,∴BG=2a﹣1=﹣1=,∵A'G∥OQ,∴△A'GB∽△QOB,∴=,即=,∴OQ=4,∴Q(0,4),设直线A'B的解析式为:y=kx+m,∴,解得:,∴直线A'B的解析式为:y=﹣x+4,∴﹣x+4=x2﹣2x,3x2﹣4x﹣24=0,解得:x=,∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是.(3)解法二:如图3,过点M作MH⊥OA于H,∵△OCD∽△A′BD,∴===2,∵OC=2,∴A'B=AB=1,设BD=t,则CD=2t,∴A'D=2﹣2t,OD=2A'D=8﹣8t,∵OB=OD+BD=4﹣1=3,∴8﹣8t+t=3,∴t=,∴A'D=2﹣=,∵A'B=AB,∠A'=∠OAC,∠A'BD=∠ABN,∴△A'BD≌△ABM(ASA),∴AM=A'D=,∵△AHM是等腰直角三角形,∴AH=MH=,∴M(,﹣),易得BM的解析式为:y=﹣x+4,∴﹣x+4=x2﹣2x,解得:3x2﹣4x﹣24=0,解得:x=,∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是.6.(2021•宿迁)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),与y 轴交于点C.连接AC,BC,点P在抛物线上运动.(1)求抛物线的表达式;(2)如图①,若点P在第四象限,点Q在PA的延长线上,当∠CAQ=∠CBA+45°时,求点P的坐标;(3)如图②,若点P在第一象限,直线AP交BC于点F,过点P作x轴的垂线交BC 于点H,当△PFH为等腰三角形时,求线段PH的长.【答案】(1)y=;(2)P的坐标是(6,﹣7);(3)当FP=FH时,PH=;当PF=PH时,PH=;当HF=HP时,PH=;【解答】解:(1)∵A(﹣1,0),B(4,0)是抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点,且二次项系数a=,∴根据抛物线的两点式知,y=.(2)根据抛物线表达式可求C(0,2),即OC=2.∴==2,∵∠AOC=∠COB=90°,∴△AOC∽△COB,∴∠ACO=∠CBO,∴∠QAB=∠QAC+∠CAO=∠CBA+45°+∠CAO=∠ACO+∠CAO+45°=135°,∴∠BAP=180°﹣∠QAB=45°,设P(m,n),且过点P作PD⊥x轴于D,则△ADP是等腰直角三角形,∴AD=PD,即m+1=﹣n①,又∵P在抛物线上,∴②,联立①②两式,解得m=6(﹣1舍去),此时n=﹣7,∴点P的坐标是(6,﹣7).(3)设PH与x轴的交点为Q1,P(a,),则H(a,),PH=,若FP=FH,则∠FPH=∠FHP=∠BHQ1=∠BCO,∴tan∠APQ1=tan∠BCO=2,∴AQ1=2PQ1,即a+1=2(),解得a=3(﹣1舍去),此时PH=.若PF=PH,过点F作FM⊥y轴于点M,∴∠PFH=∠PHF,∵∠CFA=∠PFH,∠Q1HB=∠PHF,∴∠CFA=∠Q1HB,又∵∠ACF=∠BQ1H=90°,∴△ACF∽△BQ1H,∴CF=AC=,在Rt△CMF中,MF=1,CM=,F(1,),∴AF:,将上式和抛物线解析式联立并解得x=(﹣1舍去),此时PH=.若HF=HP,过点C作CE∥AB交AP于点E(见上图),∵∠CAF+∠CFA=90°,∠PAQ+∠HPF=90°,∠CFA=∠HFP=∠HPF,∴∠CAF=∠PAQ1,即AP平分∠CAB,∴CE=CA=,∴E(,2),∴AE:,联立抛物线解析式,解得x=5﹣(﹣1舍去).此时PH=.∴当FP=FH时,PH=;当PF=PH时,PH=;当HF=HP时,PH=;五.三角形综合题(共1小题)7.(2023•宿迁)【问题背景】由光的反射定律知:反射角等于入射角(如图①,即∠CEF=∠AEF).小军测量某建筑物高度的方法如下:在地面点E处平放一面镜子,经调整自己位置后,在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A.经测得,小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m,BE=20m,DE=2m,求建筑物AB的高度;【活动探究】观察小军的操作后,小明提出了一个测量广告牌高度的做法(如图②):他让小军站在点D处不动,将镜子移动至E1处,小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出DE1=2m;再将镜子移动至E2处,恰好通过镜子看到广告牌的底端A,测出DE2=3.4m.经测得,小军的眼睛离地面距离CD=1.7m,BD=10m,求这个广告牌AG的高度;【应用拓展】小军和小明讨论后,发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度.他们给出了如下测量步骤(如图③):①让小军站在斜坡的底端D处不动(小军眼睛离地面距离CD=1.7m),小明通过移动镜子(镜子平放在坡面上)位置至E处,让小军恰好能看到塔顶B;②测出DE=2.8m;③测出坡长AD=17m;④测出坡比为8:15(即).通过他们给出的方案,请你算出信号塔AB的高度(结果保留整数).【答案】【问题背景】17m;【活动探究】3.5m;【应用拓展】信号塔AB的高度约为20m.【解答】解:【问题背景】由题意得:AB⊥BD,CD⊥BD,EF⊥BD,∴∠ABE=∠CDE=∠FEB=∠FED=90°,∵∠CEF=∠AEF,∴∠FEB﹣∠AEF=∠FED﹣∠CEF,即∠AEB=∠CED,∴△AEB∽△CED,∴=,∴AB===17(m),答:建筑物AB的高度为17m;【活动探究】如图②,过点E1作E1F⊥BD,过点E2作E2H⊥BD,由题意得:GB⊥BD,CD⊥BD,∴∠GBE1=∠CDE1=∠ABE2=∠CDE2=∠FE1B=∠FE1D=∠HE2B=∠HE2D=90°,∵∠CE2H=∠AE2H,∠CE1F=∠GE1F,∴∠FE1B﹣∠GE1F=∠FE1D﹣∠CE1F,∠HE2B﹣∠AE2H=∠HE2D﹣∠CE2H,即∠GE1B=∠CE1D,∠AE2B=∠CE2D,∴△GE1B∽△CE1D,△AE2B∽△CE2D,∴=,=,∴BE1=BD﹣DE1=10﹣2=8(m),BE2=BD﹣DE2=10﹣3.4=6.6(m),∴GB===6.8(m),AB===3.3(m),∴AG=GB﹣AB=6.8﹣3.3=3.5(m),答:这个广告牌AG的高度为3.5m;【应用拓展】如图,过点B作BM⊥AD于点M,过点C作CN⊥AD于点N,由题意得:BG⊥DG,CD⊥DG,∴∠AGD=∠CDG=∠BMA=∠CND=90°,∵∠BAM=∠GAD,∴90°﹣∠BAM=90°﹣∠GAD,即∠ABM=∠ADG,∵∠ADG+∠DAG=90°,∠ADG+∠CDN=90°,∴∠CDN=∠DAG,∴90°﹣∠CDN=90°﹣∠DAG,即∠DCN=∠ADG,∴∠DCN=∠ADG=∠ABM,∴△DCN∽△ABM,∴=,由题意得:AE=AD﹣DE=17﹣2.8=14.2(m),∵tan∠ADG=,∴tan∠DCN==,tan∠ABM==,设DN=am,AM=bm,则CN=,BM=,∵CN2+DN2=CD2,∴()2+a2=1.72,解得:a=0.8(m)(负值已舍去),∴EN=DE﹣DN=2.8﹣0.8=2(m),CN==1.5(m),∴=,∴AB=,同【问题背景】得:△BME∽△CNE,∴=,∴=,解得:b=(m),∴AB=×≈20(m),答:信号塔AB的高度约为20m.六.四边形综合题(共1小题)8.(2021•宿迁)已知正方形ABCD与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.(1)如图①,连接BG、CF,求的值;(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时,连接CF、BE,分别取CF、BE的中点M、N,连接MN、试探究:MN与BE的关系,并说明理由;(3)连接BE、BF,分别取BE、BF的中点N、Q,连接QN,AE=6,请直接写出线段QN 扫过的面积.【答案】(1)=;(2)BE=2MN,MN⊥BE,理由见解析过程;(3)9π.【解答】解:(1)如图①,连接AF,AC,∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,∴AC=AB,AF=AG,∠CAB=∠GAF=45°,∠BAD=90°,∴∠CAF=∠BAG,,∴△CAF∽△BAG,∴=;(2)BE=2MN,MN⊥BE,理由如下:如图②,连接ME,过点C作CH∥EF,交直线ME于H,连接BH,设CF 与AD交点为P,CF与AG交点为R,∵CH∥EF,∴∠FCH=∠CFE,∵点M是CF的中点,∴CM=MF,又∵∠CMH=∠FME,∴△CMH≌△FME(ASA),∴CH=EF,ME=HM,∴AE=CH,∵CH∥EF,AG∥EF,∴CH∥AG,∴∠HCF=∠CRA,∵AD∥BC,∴∠BCF=∠APR,∴∠BCH=∠BCF+∠HCF=∠APR+∠ARC,∵∠DAG+∠APR+∠ARC=180°,∠BAE+∠DAG=180°,∴∠BAE=∠BCH,又∵BC=AB,CH=AE,∴△BCH≌△BAE(SAS),∴BH=BE,∠CBH=∠ABE,∴∠HBE=∠CBA=90°,∵MH=ME,点N是BE中点,∴BH=2MN,MN∥BH,∴BE=2MN,MN⊥BE;(3)如图③,取AB中点O,连接ON,OQ,AF,∵AE=6,∴AF=6,∵点N是BE的中点,点Q是BF的中点,点O是AB的中点,∴OQ=AF=3,ON=AE=3,∴点Q在以点O为圆心,3为半径的圆上运动,点N在以点O为圆心,3为半径的圆上运动,∴线段QN扫过的面积=π×(3)2﹣π×32=9π.七.直线与圆的位置关系(共1小题)9.(2022•宿迁)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC 交于点D.(1)判断直线AC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=4,求图中阴影部分的面积.【答案】(1)直线AC与⊙O相切,理由见解答;(2)6﹣π.【解答】解:(1)直线AC与⊙O相切,理由如下:∵∠ABC=45°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=45°,∴∠BAC=180°﹣2×45°=90°,∴BA⊥AC,∵AB是⊙O的直径,∴直线AC与⊙O相切;(2)连接OD,AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠ABD=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,∠AOD=90°,∵AO=OB,AB=4,∴S△ABD=•AB•OD=×4×2=4,∴图中阴影部分的面积=S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD=×4×4﹣×4﹣=8﹣2﹣π=6﹣π.八.切线的判定与性质(共1小题)10.(2023•宿迁)(1)如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分∠BAC,点E在AC上,连接DE、DB, ①(答案不唯一) .求证: ②(答案不唯一) ;从①DE与⊙O相切;②DE⊥AC中选择一个作为已知条件,余下的一个作为结论,将题目补充完整(填写序号),并完成证明过程;(2)在(1)的前提下,若AB=6,∠BAD=30°,求阴影部分的面积.【答案】(1)①(答案不唯一);②(答案不唯一);证明过程见解答;(2)阴影部分的面积为.【解答】解:(1)若选择:①作为条件,②作为结论,如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分∠BAC,点E在AC上,连接DE、DB,DE与⊙O相切,求证:DE⊥AC,证明:连接OD,∵DE与⊙O相切于点D,∴∠ODE=90°,∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠DAB,∵OA=OD,∴∠DAB=∠ADO,∴∠EAD=∠ADO,∴AE∥DO,∴∠AED=180°﹣∠ODE=90°,∴DE⊥AC;若选择:②作为条件,①作为结论,如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分∠BAC,点E在AC上,连接DE、DB,DE⊥AC,求证:DE与⊙O相切,证明:连接OD,∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠DAB,∵OA=OD,∴∠DAB=∠ADO,∴∠EAD=∠ADO,∴AE∥DO,∴∠ODE=180°﹣∠AED=90°,∵OD是⊙O的半径,∴DE与⊙O相切;故答案为:①(答案不唯一);②(答案不唯一);(2)连接OF,DF,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵AB=6,∠BAD=30°,∴BD=AB=3,AD=BD=3,∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠DAB=30°,在Rt△AED中,DE=AD=,AE=DE=,∵∠EAD=∠DAB=30°,∴∠DOB=2∠DAB=60°,∠DOF=2∠EAD=60°,∵OD=OF,∴△DOF都是等边三角形,∴∠ODF=60°,∴∠DOB=∠ODF=60°,∴DF∥AB,∴△ADF的面积=△ODF的面积,∴阴影部分的面积=△AED的面积﹣扇形DOF的面积=AE•DE﹣=××﹣=﹣=,∴阴影部分的面积为.九.圆的综合题(共1小题)11.(2022•宿迁)如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,点A、B、C、D、M均为格点.【操作探究】在数学活动课上,佳佳同学在如图①的网格中,用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD,相交于点P并给出部分说理过程,请你补充完整:解:在网格中取格点E,构建两个直角三角形,分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中,tan∠BAC=,在Rt△CDE中, tan∠DCE= ,所以tan∠BAC=tan∠DCE.所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠ACP+∠BAC=90°,所以∠APC=90°,即AB⊥CD.【拓展应用】(1)如图②是以格点O为圆心,AB为直径的圆,请你只用无刻度的直尺,在上找出一点P,使=,写出作法,并给出证明;(2)如图③是以格点O为圆心的圆,请你只用无刻度的直尺,在弦AB上找出一点P.使AM2=AP•AB,写出作法,不用证明.【答案】【操作探究】tan∠DCE=;【拓展应用】(1)见解析部分;(2)见解析部分.【解答】解:【操作探究】在网格中取格点E,构建两个直角三角形,分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中,tan∠BAC=,在Rt△CDE中,tan∠DCE=,所以tan∠BAC=tan∠DCE.所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠ACP+∠BAC=90°,所以∠APC=90°,即AB⊥CD.故答案为:tan∠DCE=;【拓展应用】(1)如图②中,点P即为所求.作法:取格点T,连接AT交⊙O于点P,点P即为所求;证明:由作图可知,OM⊥AP,OM是半径,∴=;(2)如图③中,点P即为所求.作法:取格点J,K,连接JK交AB于点P,点P即为所求.一十.解直角三角形的应用-仰角俯角问题(共1小题)12.(2021•宿迁)一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作,在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°,面向AB方向继续飞行5米,测得该建筑物底端B的俯角为45°,已知建筑物AB的高为3米,求无人机飞行的高度(结果精确到1米,参考数据:≈1.414,≈1.732).【答案】约为14米.【解答】解:过A作AC⊥PQ,交PQ的延长线于C,如图所示:设AC=x米,由题意得:PQ=5米,∠APC=30°,∠BQC=45°,在Rt△APC中,tan∠APC==tan30°=,∴PC=AC=x(米),在Rt△BCQ中,tan∠BQC==tan45°=1,∴QC=BC=AC+AB=(x+3)米,∵PC﹣QC=PQ=5米,∴x﹣(x+3)=5,解得:x=4(+1),∴BC=4(+1)+3=4+7≈14(米),答:无人机飞行的高度约为14米.一十一.列表法与树状图法(共1小题)13.(2021•宿迁)即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”,将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀.(1)若从中任意抽取1张,抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 .(2)若先从中任意抽取1张,记录后放回,洗匀,再从中任意抽取1张,求两次抽取的卡片图案相同的概率.(请用树状图或列表的方法求解)【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)从中任意抽取1张,抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是,故答案为:;(2)把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为A、B、C,画树状图如图:共有9种等可能的结果,两次抽取的卡片图案相同的结果有3种,∴两次抽取的卡片图案相同的概率为=.。
2021中考数学试题分类汇编考点26 正方形(含解析)
2021中考数学试题分类汇编:考点26 正方形一.选择题(共4小题)1.(2021•无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值()A.等于B.等于C.等于D.随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD,由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD,结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答.【解答】解:∵EF∥AD,∴∠AFE=∠FAG,∴△AEH∽△ACD,∴==.设EH=3x,AH=4x,∴HG=GF=3x,∴tan∠AFE=tan∠FAG===.故选:A.2.(2021•宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥A B.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于()A.1 B.C.D.【分析】根据轴对称图形的性质,解决问题即可;【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴直线AC是正方形ABCD的对称轴,∵EG⊥A B.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.∴根据对称性可知:四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,∴S阴=S正方形ABCD=,故选:B.3.(2021•湘西州)下列说法中,正确个数有()①对顶角相等;②两直线平行,同旁内角相等;③对角线互相垂直的四边形为菱形;④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质,可得答案.【解答】解:①对顶角相等,故①正确;②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误;④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,故选:B.4.(2021•张家界)下列说法中,正确的是()A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等B.对角线相等的平行四边形是正方形C.相等的角是对顶角D.角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可.【解答】解:A、两条平行线被第三条直线所截,内错角才相等,错误,故本选项不符合题意;B、对角线相等的四边形是矩形,不一定是正方形,错误,故本选项不符合题意;C、相等的角不一定是对顶角,错误,故本选项不符合题意;D、角平分线上的点到角的两边的距离相等,正确,故本选项符合题意;故选:D.二.填空题(共7小题)5.(2021•武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数是30°或150°.【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得.【解答】解:如图1,∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°,∴∠BAE=∠CDE=150°,又AB=AE,DC=DE,∴∠AEB=∠CED=15°,则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°.如图2,∵△ADE是等边三角形,∴AD=DE,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∴DE=DC,∴∠CED=∠ECD,∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°,∴∠CED=∠ECD=(180°﹣30°)=75°,∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°.故答案为:30°或150°.6.(2021•呼和浩特)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A 重合),且AM<AB,△CBE由△DAM平移得到.若过点E作EH⊥AC,H为垂足,则有以下结论:①点M位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM;②无论点M运动到何处,都有DM=HM;③无论点M运动到何处,∠CHM一定大于135°.其中正确结论的序号为①②③.【分析】先判定△MEH≌△DAH(SAS),即可得到△DHM是等腰直角三角形,进而得出DM=HM;依据当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°,即可得到Rt△ADM中,DM=2AM,即可得到DM=2BE;依据点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,可得∠AHM<∠BAC=45°,即可得出∠CHM>135°.【解答】解:由题可得,AM=BE,∴AB=EM=AD,∵四边形ABCD是正方形,EH⊥AC,∴EM=AH,∠AHE=90°,∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH,∴EH=AH,∴△MEH≌△DAH(SAS),∴∠MHE=∠DHA,MH=DH,∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形,∴DM=HM,故②正确;当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°,∴∠ADM=45°﹣15°=30°,∴Rt△ADM中,DM=2AM,即DM=2BE,故①正确;∵点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,∴∠AHM<∠BAC=45°,∴∠CHM>135°,故③正确;故答案为:①②③.7.(2021•青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为.【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°,然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF,进一步得∠AGE=∠BGF=90°,从而知GH=BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAE=∠D=90°,AB=AD,在△ABE和△DAF中,∵,∴△ABE≌△DAF(SAS),∴∠ABE=∠DAF,∵∠ABE+∠BEA=90°,∴∠DAF+∠BEA=90°,∴∠AGE=∠BGF=90°,∵点H为BF的中点,∴GH=BF,∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3,∴BF==,∴GH=BF=,故答案为:.8.(2021•咸宁)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为(﹣1,5).【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标,再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标.【解答】解:如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.过点G作x轴的垂线EG,垂足为G,连接GE、FO交于点O′.∵四边形OEFG是正方形,∴OG=EO,∠GOM=∠OEH,∠OGM=∠EOH,在△OGM与△EOH中,∴△OGM≌△EOH(ASA)∴GM=OH=2,OM=EH=3,∴G(﹣3,2).∴O′(﹣,).∵点F与点O关于点O′对称,∴点F的坐标为(﹣1,5).故答案是:(﹣1,5).9.(2021•江西)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为2或2或﹣.【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,∠ABC=90°,根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD,画出符合的三种情况,根据勾股定理求出即可.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,AB=6,∴AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,∠ABC=∠DAB=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC===6,∴OA=OB=OC=OD=3,有三种情况:①点P在AD上时,∵AD=6,PD=2AP,∴AP=2;②点P在AC上时,设AP=x,则DP=2x,在Rt△DPO中,由勾股定理得:DP2=DO2+OP2,(2x)2=(3)2+(3﹣x)2,解得:x=﹣(负数舍去),即AP=﹣;③点P在AB上时,设AP=y,则DP=2y,在Rt△APD中,由勾股定理得:AP2+AD2=DP2,y2+62=(2y)2,解得:y=2(负数舍去),即AP=2;故答案为:2或2或﹣.10.(2021•潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置,B'C′与CD相交于点M,则点M的坐标为(﹣1,).【分析】连接AM,由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°,证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°,由DM=ADtan∠DAM可得答案.【解答】解:如图,连接AM,∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′,∴AD=AB′=1,∠BAB′=30°,∴∠B′AD=60°,在Rt△ADM和Rt△AB′M中,∵,∴Rt△ADM≌Rt△AB′M(HL),∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°,∴DM=ADtan∠DAM=1×=,∴点M的坐标为(﹣1,),故答案为:(﹣1,).11.(2021•台州)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3,则△BCG 的周长为+3.【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的,进而依据△BCG的面积以及勾股定理,得出BG+CG的长,进而得出其周长.【解答】解:∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3,∴阴影部分的面积为×9=6,∴空白部分的面积为9﹣6=3,由CE=DF,BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°,可得△BCE≌△CDF,∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等,均为×3=,设BG=a,CG=b,则ab=,又∵a2+b2=32,∴a2+2ab+b2=9+6=15,∴a+b=,即BG+CG=,∴△BCG的周长=+3,故答案为:+3.三.解答题(共6小题)12.(2021•盐城)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.【分析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;(2)四边形AECF是菱形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;【解答】证明:(1)∵正方形ABCD,∴AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABE=∠ADF,在△ABE与△ADF中,∴△ABE≌△ADF(SAS);四边形AECF是菱形.理由:∵正方形ABCD,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥EF,∴OB+BE=OD+DF,即OE=OF,∵OA=OC,OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形,∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.13.(2021•吉林)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF,求证:△ABE≌△BCF.【分析】根据正方形的性质,利用SAS即可证明;【解答】证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,在△ABE和△BCF中,,∴△ABE≌△BCF.14.(2021•白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≌△FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可;(2)利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可.【解答】解:(1)∵点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,∴FH∥BE,FH=BE,FH=BG,∴∠CFH=∠CBG,∵BF=CF,∴△BGF≌△FHC,(2)当四边形EGFH是正方形时,可得:EF⊥GH且EF=GH,∵在△BEC中,点,H分别是BE,CE的中点,∴GH=,且GH∥BC,∴EF⊥BC,∵AD∥BC,AB⊥BC,∴AB=EF=GH=a,∴矩形ABCD的面积=.15.(2021•潍坊)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.【分析】(1)通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE;(2)设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE 的面积之和得到•x•x+•x•2=24,解方程求出x得到AE=BF=6,则EF=x﹣2=4,然后利用勾股定理计算出BE,最后利用正弦的定义求解.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴BA=AD,∠BAD=90°,∵DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,∴∠AFB=90°,∠DEA=90°,∵∠ABF+∠BAF=90°,∠EAD+∠BAF=90°,∴∠ABF=∠EAD,在△ABF和△DEA中,∴△ABF≌△DEA(AAS),∴BF=AE;(2)解:设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,∵四边形ABED的面积为24,∴•x•x+•x•2=24,解得x1=6,x2=﹣8(舍去),∴EF=x﹣2=4,在Rt△BEF中,BE==2,∴sin∠EBF===.16.(2021•湘潭)如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O.(1)求证:△DAF≌△ABE;(2)求∠AOD的度数.【分析】(1)利用正方形的性质得出AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,即可得出结论;(2)利用(1)的结论得出∠ADF=∠BAE,进而求出∠ADF+∠DAO=90°,最后用三角形的内角和定理即可得出结论.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=∠ABC=90°,AD=AB,在△DAF和△ABE中,,∴△DAF≌△ABE(SAS),(2)由(1)知,△DAF≌△ABE,∴∠ADF=∠BAE,∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°,∴∠AOD=180°﹣(∠ADF+DAO)=90°.17.(2021•遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E、F分别在AB、BC上(AE <BE),且∠EOF=90°,OE、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON.(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.【分析】(1)证△OAM≌△OBN即可得;(2)作OH⊥AD,由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4,再根据勾股定理得OM=2,由直角三角形性质知MN=OM.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN=135°,∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,∴∠AOM=∠BON,∴△OAM≌△OBN(ASA),∴OM=ON;(2)如图,过点O作OH⊥AD于点H,∵正方形的边长为4,∴OH=HA=2,∵E为OM的中点,∴HM=4,则OM==2,∴MN=OM=2.。
2014年全国中考数学试题分类汇编25 矩形菱形与正方形(含解析)
矩形菱形与正方形一、选择题1. (2014•安徽省,第10题4分)如图,正方形ABCD的对角线BD长为2,若直线l满足:①点D到直线l的距离为;②A、C两点到直线l的距离相等.则符合题意的直线l的条数为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4考点:正方形的性质.菁优网分析:连接AC与BD相交于O,根据正方形的性质求出OD=,然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答.解答:解:如图,连接AC与BD相交于O,∵正方形ABCD的对角线BD长为2,∴OD=,∴直线l∥AC并且到D的距离为,同理,在点D的另一侧还有一条直线满足条件,故共有2条直线l.故选B.点评:本题考查了正方形的性质,主要利用了正方形的对角线互相垂直平分,点D到O 的距离小于是本题的关键.2. (2014•福建泉州,第5题3分)正方形的对称轴的条数为()3. (2014•珠海,第2题3分)边长为3cm的菱形的周长是()4.(2014•广西玉林市、防城港市,第6题3分)下列命题是假命题的是()5.(2014•毕节地区,第8题3分)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BC相交于点O,H 为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于()AAB6.(2014•襄阳,第12题3分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是()PE===7.(2014•孝感,第9题3分)如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是()8.(2014·台湾,第12题3分)如图,D 为△ABC 内部一点,E 、F 两点分别在AB 、BC 上,且四边形DEBF 为矩形,直线CD 交AB 于G 点.若CF =6,BF =9,AG =8,则△ADC 的面积为何?( )A .16B .24C .36D .54分析:由于△ADC =△AGC ﹣△ADG ,根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解. 解:△ADC =△AGC ﹣△ADG =12×AG ×BC ﹣12×AG ×BF=12×8×(6+9)﹣12×8×9=60﹣36=24. 故选:B .点评:考查了三角形的面积和矩形的性质,本题关键是活用三角形面积公式进行计算. 9.(2014·台湾,第27题3分)如图,矩形ABCD 中,AD =3AB ,O 为AD 中点,是半圆.甲、乙两人想在上取一点P ,使得△PBC 的面积等于矩形ABCD 的面积其作法如下: (甲) 延长BO 交于P 点,则P 即为所求;(乙) 以A 为圆心,AB 长为半径画弧,交于P 点,则P 即为所求. 对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确?( )A .两人皆正确B .两人皆错误C .甲正确,乙错误D .甲错误,乙正确分析:利用三角形的面积公式进而得出需P甲H=P乙K=2AB,即可得出答案.解:要使得△PBC的面积等于矩形ABCD的面积,需P甲H=P乙K=2A B.故两人皆错误.故选:B.点评:此题主要考查了三角形面积求法以及矩形的性质,利用四边形与三角形面积关系得出是解题关键.10.(2014•浙江宁波,第6题4分)菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是()===511.(2014•浙江宁波,第11题4分)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG 上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()..=,=3,===2,=AF=×2=.11.(2014•呼和浩特,第9题3分)已知矩形ABCD的周长为20cm,两条对角线AC,BD 相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交两边AD,BC于E,F(不与顶点重合),则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为()=12. (2014•湘潭,第7题,3分)以下四个命题正确的是()13. (2014•株洲,第7题,3分)已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是()14. (2014年江苏南京,第6题,2分)如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(﹣2,1),点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是()(第3题图)A.(,3)、(﹣,4)B.(,3)、(﹣,4)C.(,)、(﹣,4)D.(,)、(﹣,4)考点:矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。
2022年江西省中考数学真题(含解析)
z2022年江西省中考数学试题卷说明:1.全卷满分120分,考试时间120分钟.2.请将答案写在答题卡上,否则不给分.一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1. 下列各数中,负数是( ) A.B. 0C. 2D.2.实数a ,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列结论中,正确的是( )A.B.C.D.3. 下列计算正确的是( ) AB.C. D.4. 将字母“C ”,“H ”按照如图所示的规律摆放,依次下去,则第4个图形中字母“H ”的个数是( )A. 9B. 10C. 11D. 125. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体,它的俯视图为( )1-a b >a b =a b <a b =-236m m m ×=()m n m n --=-+2()m m n m n +=+222()m n m n +=+zA. B.C. D.6. 甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示,则下列说法中,错误的是( )A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大B. 当温度升高至时,甲的溶解度比乙的溶解度大C. 当温度为时,甲、乙的溶解度都小于D. 当温度为时,甲、乙的溶解度相等二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)7. 因式分解:__________.8. 正五边形的外角和等于 _______◦. 9. 已知关于方程有两个相等的实数根,则的值是______.10. 甲、乙两人在社区进行核酸采样,甲每小时比乙每小时多采样10人,甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等,甲、乙两人每小时分别采样多少人?设甲每小时采样x 人,则可列分式方程为__________.11. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2正方形,再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示),则长方形的对角线长为__________.(g)y ()t℃2t ℃0℃20g 30℃23a a -=x的220x x k ++=k 的z.12. 已知点A 在反比例函数的图象上,点B 在x 轴正半轴上,若为等腰三角形,且腰长为5,则的长为__________.三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13. (1)计算:; (2)解不等式组:14. 以下是某同学化筒分式的部分运算过程:(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误; (2)请你写出完整的解答过程.15. 某医院计划选派护士支援某地的防疫工作,甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加,其中甲是共青团12(0)y x x=>OAB !AB 0|2|2-26325x x x <ìí>-+î2113422x x x x +æö-÷ç÷-+-èøz员,其余3人均是共产党员.医院决定用随机抽取的方式确定人选. (1)“随机抽取1人,甲恰好被抽中”是__________事件; A .不可能 B .必然 C .随机(2)若需从这4名护士中随机抽取2人,请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率.16. 如图是的正方形网格,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).(1)在图1中作的角平分线;(2)在图2中过点作一条直线,使点,到直线的距离相等.17. 如图,四边形为菱形,点E 在的延长线上,.(1)求证:;(2)当时,求的长.四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18. 如图,点在反比例函数图象上,点B 在y 轴上,,将线段向右下方平移,得到线段,此时点C 落在反比例函数的图象上,点D 落在x 轴正半轴上,且.44´ABC ÐC l A B l ABCD AC ACD ABE Ð=ÐABC AEB !!∽6,4AB AC ==AE (,4)A m (0)ky x x=>的2OB =AB CD 1OD =z(1)点B 的坐标为__________,点D 的坐标为__________,点C 的坐标为__________(用含m 的式子表示);(2)求k 的值和直线的表达式.19. (1)课本再现:在中,是所对的圆心角,是所对的圆周角,我们在数学课上探索两者之间的关系时,要根据圆心O 与的位置关系进行分类.图1是其中一种情况,请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形,并从三种位置关系中任选一种情况证明; (2)知识应用:如图4,若的半径为2,分别与相切于点A ,B ,,求的长.20. 图1是某长征主题公园的雕塑,将其抽象成如图2所示的示意图,已知,A ,D ,H ,G 四点在同一直线上,测得.(结果保留小数点后一位)AC O !AOB ÐAB C ÐAB C Ð12Ð=ÐC AOB O !,PA PB O !60C Ð=°PA AB CD FG ∥∥72.9, 1.6m, 6.2m FEC A AD EFÐ=Ð=°==z(1)求证:四边形为平行四边形; (2)求雕塑的高(即点G 到的距离).(参考数据:)五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21. 在“双减”政策实施两个月后,某市“双减办”面向本市城区学生,就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查(以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”),根据问卷提交时间的不同,把收集到的数据分两组进行整理,分别得到统计表1和统计图1: 整理描述表1:“双减”前后报班情况统计表(第一组) 报班数 人数 类别 0 1 2 3 4及以上 合计“双减”前 102 48 75 51 24 m “双减”后 2551524nm(1)根据表1,m 的值为__________,的值为__________; (2)分析处理:请你汇总表1和图1中数据,求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比; (3)“双减办”汇总数据后,制作了“双减”前后报班情况的折线统计图(如图2).请依据以上图表中的信息回答以下问题:DEFG AB sin72.90.96,cos72.90.29,tan72.9 3.25°»°»°»nm的z①本次调查中,“双减”前学生报班个数的中位数为__________,“双减”后学生报班个数的众数为__________;②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析(用一句话来概括).22. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段,运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上,着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点,落地点超过K 点越远,飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为,基准点K 到起跳台的水平距离为,高度为(h 为定值).设运动员从起跳点A 起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为.(1)c 的值为__________;(2)①若运动员落地点恰好到达K 点,且此时,求基准点K 的高度h ; ②若时,运动员落地点要超过K 点,则b 的取值范围为__________; (3)若运动员飞行的水平距离为时,恰好达到最大高度,试判断他的落地点能否超过K 点,并说明理由.六、解答题(本大题共12分)23. 问题提出:某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O 处,并绕点O 逆时针旋转,探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2). OA 66m 75m m h (m)y (m)x 2(0)y ax bx c a =++¹19,5010a b =-=150a =-25m 76m ()90,60PEF P F Ð=°Ð=°PEF ABCDz(1)操作发现:如图1,若将三角板的顶点P 放在点O 处,在旋转过程中,当与重合时,重叠部分的面积为__________;当与垂直时,重叠部分的面积为__________;一般地,若正方形面积为S ,在旋转过程中,重叠部分的面积与S 的关系为__________;(2)类比探究:若将三角板的顶点F 放在点O 处,在旋转过程中,分别与正方形的边相交于点M ,N .①如图2,当时,试判断重叠部分的形状,并说明理由; ②如图3,当时,求重叠部分四边形的面积(结果保留根号); (3)拓展应用:若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处,该锐角记为(设),将绕点O 逆时针旋转,在旋转过程中,的两边与正方形的边所围成的图形的面积为,请直接写出的最小值与最大值(分别用含的式子表示),(参考数据:OF OB OF BC 1S ,OE OP BM CN =OMN !CM CN =OMCN GOH ÐGOH a Ð=GOH ÐGOH ÐABCD 2S 2S a sin15tan152°=°=°=z2022年江西省中考数学试题卷说明:1.全卷满分120分,考试时间120分钟.2.请将答案写在答题卡上,否则不给分.一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1. 下列各数中,负数是( ) A. B. 0C. 2D.【答案】A 【解析】【分析】根据负数的定义即可得出答案. 【详解】解:-1是负数,20既不是正数也不是负数,故选:A .【点睛】本题考查了实数,掌握在正数前面添加“-”得到负数是解题的关键. 2. 实数a ,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列结论中,正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据数轴上点的特点,进行判断即可.【详解】ABC.根据数轴上点a 、b 的位置可知,,, ∴,故AB 错误,C 正确;根据数轴上点a 、b 的位置可知,,故D 错误. 故选:C .【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点,熟练掌握数轴上点表示的数,越向右越大,是解题的关键.3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D.【答案】B 【解析】1-a b >a b =a b <a b =-0a <0b >a b <a b -<236m m m ×=()m n m n --=-+2()m m n m n +=+222()m n m n +=+z【分析】利用同底数幂的乘法,去括号法则,单项式乘多项式,完全平方公式对各选项依次判断即可.【详解】解:A 、,故此选项不符合题意; B 、,故此选项符合题意;C 、,故此选项不符合题意;D 、,故此选项不符合题意. 故选:B .【点睛】本题考查了整式的混合运算,涉及到同底数幂的乘法,去括号法则,单项式乘多项式的运算法则,完全平方公式等知识.熟练掌握各运算法则和的应用是解题的关键.4. 将字母“C ”,“H ”按照如图所示的规律摆放,依次下去,则第4个图形中字母“H ”的个数是( )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B 【解析】【分析】列举每个图形中H 个数,找到规律即可得出答案.【详解】解:第1个图中H 的个数为4, 第2个图中H 的个数为4+2, 第3个图中H 的个数为4+2×2, 第4个图中H 的个数为4+2×3=10, 故选:B .【点睛】本题考查了规律型:图形变化类,通过列举每个图形中H 的个数,找到规律:每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键.5. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体,它的俯视图为( )2356m m m m ×=¹()m n m n --=-+22()m m n m mn m n +=+¹+22222()2m m n m n m n n +=++¹+222()2a b a ab b +=++的的zA. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】从上面观察该几何体得到一个“T ”字形的平面图形,横着两个正方形,中间有一个正方形,且有两条垂直的虚线,下方有半个正方形.画出图形即可.【详解】俯视图如图所示.故选:A .【点睛】本题主要考查了几何体的三视图,俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形..注意:能看到的线用实线,看不到而存在的线用虚线.6. 甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示,则下列说法中,错误的是( ) (g)y ()t ℃zA. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大B. 当温度升高至时,甲的溶解度比乙的溶解度大C. 当温度为时,甲、乙的溶解度都小于D. 当温度为时,甲、乙的溶解度相等【答案】D【解析】【分析】利用函数图象的意义可得答案.【详解】解:由图象可知,A 、B 、C 都正确,当温度为t 1时,甲、乙的溶解度都为30g ,故D 错误,故选:D .【点睛】本题主要考查了函数的图象,熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键.二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)7. 因式分解:__________.【答案】【解析】【分析】直接提公因式a 即可.【详解】解:原式=.故答案为:.【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式,关键是正确确定公因式.8. 正五边形的外角和等于 _______◦.【答案】360【解析】【详解】试题分析:任何n 边形的外角和都等于360度.考点:多边形的外角和.9. 已知关于的方程有两个相等的实数根,则的值是______. 2t ℃0℃20g 30℃23a a -=(3)a a -(3)a a -(3)a a -x 220x x k ++=k【答案】1【解析】【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案.【详解】解:一元二次方程有两个相等的实数根,可得判别式,∴,解得:.故答案为:【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式,掌握根的判别式的含义是解题的关键. 10. 甲、乙两人在社区进行核酸采样,甲每小时比乙每小时多采样10人,甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等,甲、乙两人每小时分别采样多少人?设甲每小时采样x 人,则可列分式方程为__________.【答案】 【解析】【分析】先表示乙每小时采样(x-10)人,进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间,再根据时间相等列出方程即可.【详解】根据题意可知乙每小时采样(x-10)人,根据题意,得. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了列分式方程,确定等量关系是列方程的关键. 11. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形,再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示),则长方形的对角线长为__________.【答【解析】【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2,长方形的宽是正方形对角线的一半为1,然后利用勾股定理即可解决问题. 0=!440k -=1k =1.16014010x x =-16014010x x =-16014010x x =-z 【详解】解:根据图形可知:长方形的长是正方形的对角线为2,长方形的宽是正方形对角线的一半为1,∴根据勾股定理故答案【点睛】本题主要考查了正方形的性质,七巧板,矩形的性质,勾股定理,解决本题的关键是所拼成的正方形的特点确定长方形的长与宽.12. 已知点A 在反比例函数的图象上,点B 在x 轴正半轴上,若为等腰三角形,且腰长为5,则的长为__________.【答案】5或【解析】【分析】因为等腰三角形的腰不确定,所以分三种情况分别计算即可.【详解】解:①当AO=AB 时,AB =5; ②当AB =BO 时,AB =5;③当OA =OB 时,则OB =5,B (5,0), 设A (a ,)(a >0), ∵OA=5, , 解得:,, ∴A (3,4)或(4,3), ∴AB AB 综上所述,AB 的长为5或故答案为:5或=12(0)y x x=>OAB !AB 12a 5=13a =24a ===z 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征,考查分类讨论的思想,当时,求出点的坐标是解题的关键.三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13. (1)计算:;(2)解不等式组: 【答案】(1)3;(2)1<x <3【解析】【分析】(1)根据绝对值的性质,算术平方根的意义,零指数幂的意义解答即可;(2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.【详解】(1)原式=2+2-1,=3.(2) 解不等式①得:x <3,解不等式②得:x >1,∴不等式组的解集为:1<x <3.【点睛】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.14. 以下是某同学化筒分式的部分运算过程:(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误;(2)请你写出完整的解答过程. 0|2|2-26325x x x <ìí>-+î26325x x x ìí-+î<①>②2113422x x x x +æö-÷ç÷-+-èø【答案】(1)③ (2)见解析【解析】【分析】根据分式的运算法则:先乘方,再加减,最后乘除,有括号先算括号里面的计算即可.【小问1详解】第③步出现错误,原因是分子相减时未变号,故答案:③;【小问2详解】解:原式= 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算,熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键. 15. 某医院计划选派护士支援某地的防疫工作,甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加,其中甲是共青团员,其余3人均是共产党员.医院决定用随机抽取的方式确定人选.(1)“随机抽取1人,甲恰好被抽中”是__________事件;A .不可能B .必然C .随机 (2)若需从这4名护士中随机抽取2人,请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率.【答案】(1)C (2)【解析】【分析】(1)根据随机事件的定义即可解决问题;(2)从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加,设甲是共青团员用T 表示,其余3人均是共产党员用G 表示,从这4名护士中随机抽取2人,所有可能出现的结果共有12种,然后利用树状图即可解决问题.【小问1详解】解:“随机抽取1人,甲恰好被抽中”是随机事件;故答案为:C ; 为112(2)(2)23x x x x x éù+--´êú+-+ëû122(2)(2)(2)(2)3x x x x x x x éù+--=-´êú+-+-ëû122(2)(2)3x x x x x +-+-=´+-32(2)(2)3x x x -=´+-12x =+12z【小问2详解】从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加,设甲是共青团员用T 表示,其余3人均是共产党员用G 表示.从这4名护士中随机抽取2人,所有可能出现的结果共有12种,如图所示:它们出现的可能性相同,所有的结果中,被抽到的两名护士都是共产党员的(记为事件A )的结果有6 种,则, 则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为.【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率,随机事件.解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比.16. 如图是的正方形网格,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).(1)在图1中作的角平分线;(2)在图2中过点作一条直线,使点,到直线的距离相等.【答案】(1)作图见解析部分(2)作图见解析部分【解析】【分析】(1)连接,,与交于点,作射线即可;(2)取格点,过点和点作直线即可.【小问1详解】解:如图1,连接、,与交于点,设小正方形的边长为1个单位, ∵线段和是矩形的两条对角线且交于点,∴, ()61122P A ==1244´ABC ÐC l A B l AC HG AC HG P BP D C D l AC HG AC HG P AC HG P AP CP =z又∵∴,∴平分,∴射线即为所作;【小问2详解】如图2,连接、、、,直线经过点和点,设小正方形的边长为1个单位,∴∴,∴四边形是菱形, 又∵,,,在和中,∴,∴,∵,∴,∴,∴四边形是正方形,∴,,且, AB ==BC ==AB BC =BP ABC ÐBP AD AB BC CD l C D AB ==AD ==BC ==CD ==AB AD CD BC ===ABCD 1AE DF ==2BE AF ==90AEB DFA Ð=Ð=°AEB △DFA !AE DF AEB DFA BE AF =ìïÐ=Ðíï=î()AEB DFA SAS △≌△ABE DAF Ð=Ð90ABE BAE Ð+Ð=°90DAF BAE Ð+Ð=°90BAD Ð=°ABCD AD l ^BC l ^AD BC =z∴直线即为所作.【点睛】本题考查作图一应用与设计作图,考查了等腰三角形三线合一的性质,矩形的性质,正方形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形两锐角互余,勾股定理等知识.解题的关键是理解题意,学会利用数形结合的思想解决问题.17. 如图,四边形为菱形,点E 在的延长线上,.(1)求证:;(2)当时,求的长. 【答案】(1)见解析 (2)AE =9【解析】【分析】(1)根据四边形ABCD 是菱形,得出,,根据平行线的性质和等边对等角,结合,得出,即可证明结论;(2)根据,得出,代入数据进行计算,即可得出AE 的值. 【小问1详解】证明:∵四边形ABCD 为菱形,∴,,,,l ABCD AC ACD ABE Ð=ÐABC AEB !!∽6,4AB AC ==AE CD AB ∥AB CB =ACD ABE Ð=ÐACD ABE CAB ACB Ð=Ð=Ð=ÐABC AEB D D ∽AB AC AE AB =CD AB ∥AB CB =ACD CAB \Ð=ÐCAB ACB Ð=Ðz ∵,∴,∴.小问2详解】∵,∴, 即, 解得:.【点睛】本题主要考查了菱形的性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,三角形相似的判定和性质,根据题意得出,是解题关键.四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18. 如图,点在反比例函数的图象上,点B 在y 轴上,,将线段向右下方平移,得到线段,此时点C 落在反比例函数的图象上,点D 落在x 轴正半轴上,且.(1)点B 的坐标为__________,点D 的坐标为__________,点C 的坐标为__________(用含m 的式子表示);(2)求k 的值和直线的表达式.【答案】(1)(0,2),(1,0),(m +1,2)(2)1;y =-2x +6【解析】【分析】(1)根据OB =2可得点B 的坐标,根据OD =1可得点D 的坐标为(1,0),由平移规律可得点C 的坐标;(2)根据点C 和D 的坐标列方程可得m 的值,从而得k 的值,再利用待定系数法可得直线AC 的解析式. ACD ABE Ð=ÐACD ABE CAB ACB Ð=Ð=Ð=ÐABC AEB D D ∽【ABC AEB D D ∽AB AC AE AB =646AE =9AE =ACD ABE CAB ACB Ð=Ð=Ð=Ð(,4)A m (0)k y x x=>2OB =AB CD 1OD=AC【小问1详解】∵点B 在y 轴上,, ∴B (0,2),∵点D 落在x 轴正半轴上,且 ∴D (1,0),∴线段AB 向下平移2个单位,再向右平移1个单位,得到线段CD , ∵点A (m ,4), ∴C (m +1,2),故答案为:(0,2),(1,0),(m +1,2); 【小问2详解】∵点A 和点C 在反比例函数的图象上, ∴k =4m =2(m +1), ∴m =1,∴A (1,4),C (2,2), ∴k =1×4=4,设直线AC 的表达式为:,∴ 解得,∴直线AC 的表达式为:y =-2x +6.【点睛】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质,根据OB 和OD 的长得出平移的规律是解题关键.19. (1)课本再现:在中,是所对的圆心角,是所对的圆周角,我们在数学课上探索两者之间的关系时,要根据圆心O 与的位置关系进行分类.图1是其中一种情况,请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形,并从三种位置关系中任选一种情况证明; (2)知识应用:如图4,若的半径为2,分别与相切于点A ,B ,,求的长. 2OB =1OD =(0)ky x x=>y sx t =+422s t s t +=ìí+=î26s t =-ìí=îO !AOB ÐAB C ÐAB C Ð12Ð=ÐC AOB O !,PA PB O !60C Ð=°PAz【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)①如图2,当点O 在∠ACB 的内部,作直径,根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论;②如图3,当O 在∠ACB 的外部时,作直径CD ,同理可理结论;(2)如图4,先根据(1)中的结论可得∠AOB =120°,由切线的性质可得∠OAP =∠OBP =90°,可得∠OP A =30°,从而得P A 的长.【详解】解:(1)①如图2,连接CO ,并延长CO 交⊙O 于点D ,∵OA =OC =OB ,∴∠A =∠ACO ,∠B =∠BCO ,∵∠AOD =∠A +∠ACO =2∠ACO ,∠BOD =∠B +∠BCO =2∠BCO , ∴∠AOB =∠AOD +∠BOD =2∠ACO +2∠BCO =2∠ACB , ∴∠ACB =∠AOB ;如图3,连接CO ,并延长CO 交⊙O 于点D ,12z∵OA =OC =OB ,∴∠A =∠ACO ,∠B =∠BCO ,∵∠AOD =∠A +∠ACO =2∠ACO ,∠BOD =∠B +∠BCO =2∠BCO , ∴∠AOB =∠AOD -∠BOD =2∠ACO -2∠BCO =2∠ACB , ∴∠ACB=∠AOB ;(2)如图4,连接OA ,OB,OP ,∵∠C =60°,∴∠AOB =2∠C =120°,∵P A ,PB 分别与⊙O 相切于点A ,B ,∴∠OAP =∠OBP =90°,∠APO =∠BPO =∠APB =(180°-120°)=30°, ∵OA =2, ∴OP =2OA =4, ∴P A =【点睛】本题考查了切线长定理,圆周角定理等知识,掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键.20. 图1是某长征主题公园的雕塑,将其抽象成如图2所示的示意图,已知,A ,D ,H ,G 四点在同一直线上,测得121212=AB CD FG ∥∥z.(结果保留小数点后一位)(1)求证:四边形为平行四边形; (2)求雕塑的高(即点G 到的距离).(参考数据:) 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高为7.5m ,详见解析 【解析】【分析】(1)根据平行四边形的定义可得结论;(2)过点G 作GP ⊥AB 于P ,计算AG 的长,利用 ∠A 的正弦可得结论. 【小问1详解】证明:∵, ∴∠CDG =∠A , ∵∠FEC =∠A , ∴ ∠FEC =∠CDG , ∴EF ∥DG , ∵FG ∥CD ,∴四边形DEFG 为平行四边形; 【小问2详解】如图,过点G 作GP ⊥AB 于P , ∵四边形DEFG 为平行四边形, ∴DG =EF =6.2, ∵AD =1.6,∴AG =DG +AD =6.2+1.6=7.8, 在Rt △APG 中,sin A =, ∴=0.96, ∴PG =7.8×0.96=7.488≈7.5.72.9, 1.6m, 6.2m FEC A AD EF Ð=Ð=°==DEFG AB sin72.90.96,cos72.90.29,tan72.9 3.25°»°»°»AB CD FG ∥∥PGAG7.8PG答:雕塑的高为7.5m.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是理解题意,正确作辅助线构建直角三角形解决问题.五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21. 在“双减”政策实施两个月后,某市“双减办”面向本市城区学生,就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查(以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”),根据问卷提交时间的不同,把收集到的数据分两组进行整理,分别得到统计表1和统计图1:整理描述表1:“双减”前后报班情况统计表(第一组)(1)根据表1,m 的值为__________,的值为__________; (2)分析处理:请你汇总表1和图1中的数据,求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比;(3)“双减办”汇总数据后,制作了“双减”前后报班情况的折线统计图(如图2).请依据以上图表中的信息回答以下问题:①本次调查中,“双减”前学生报班个数的中位数为__________,“双减”后学生报班个数的众数为__________;②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析(用一句话来概括). 【答案】(1)300;(2)见解析; (3)①1;0;②见解析 【解析】【分析】(1)将表1中“双减前”各个数据求和确定m 的值,然后再计算求得n 值,从而求解;(2)通过汇总表1和图1求得“双减后”报班数为3的学生人数,从而求解百分比; (3)①根据中位数和众数的概念分析求解;②根据“双减”政策对学生报班个数的影响结果角度进行分析说明. 【小问1详解】解:由题意得,,解得,∴, 故答案为:300; 【小问2详解】汇总表1和图1可得:0 1 2 3 4及以上 总数 “双减”前 172 82 118 82 46 500 “双减”后4232440121500∴“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为; nm1502.4%1024875512425515240m n m =++++ìí++++=î3006m n =ìí=î6130050n m ==15012100% 2.4%500´=z【小问3详解】“双减”前共调查500个数据,从小到大排列后,第250个和第251个数据均为1, ∴“双减”前学生报班个数的中位数为1, “双减”后学生报班个数出现次数最多的是0, ∴“双减”后学生报班个数的众数为0, 故答案为:1;0;②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明:“双减”政策宣传落实到位,参加校外培训机构的学生大幅度减少,“双减”取得了显著效果.【点睛】本题考查统计的应用,理解题意,对数据进行采集和整理,掌握中位数和众数的概念是解题关键.22. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段,运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上,着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点,落地点超过K 点越远,飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为,基准点K 到起跳台的水平距离为,高度为(h 为定值).设运动员从起跳点A 起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为.(1)c 的值为__________;(2)①若运动员落地点恰好到达K 点,且此时,求基准点K 的高度h ; ②若时,运动员落地点要超过K 点,则b 的取值范围为__________; (3)若运动员飞行的水平距离为时,恰好达到最大高度,试判断他的落地点能否超过K 点,并说明理由.【答案】(1)66 (2)①基准点K 的高度h 为21m ;②b >; (3)他的落地点能超过K 点,理由见解析.OA 66m 75m m h (m)y (m)x 2(0)y ax bx c a =++¹19,5010a b =-=150a =-25m 76m 910【解析】【分析】(1)根据起跳台的高度OA 为66m ,即可得c =66; (2)①由a =﹣,b =,知y =﹣x 2+x +66,根据基准点K 到起跳台的水平距离为75m ,即得基准点K 的高度h 为21m ;②运动员落地点要超过K 点,即是x =75时,y >21,故﹣×752+75b +66>21,即可解得答案;(3)运动员飞行水平距离为25m 时,恰好达到最大高度76m ,即是抛物线的顶点为(25,76),设抛物线解析式为y =a (x ﹣25)2+76,可得抛物线解析式为y =﹣(x ﹣25)2+76,当x =75时,y =36,从而可知他的落地点能超过K 点. 【小问1详解】解:∵起跳台的高度OA 为66m , ∴A (0,66),把A (0,66)代入y =ax 2+bx +c 得: c =66, 故答案为:66; 【小问2详解】 解:①∵a =﹣,b =, ∴y =﹣x 2+x +66, ∵基准点K 到起跳台的水平距离为75m , ∴y =﹣×752+×75+66=21, ∴基准点K 的高度h 为21m ; ②∵a =﹣, ∴y =﹣x 2+bx +66, ∵运动员落地点要超过K 点, ∴当x =75时,y >21, 即﹣×752+75b +66>21, 150910150910150的2125150910150910150910150150150解得b >, 故答案为:b >; 【小问3详解】解:他的落地点能超过K 点,理由如下:∵运动员飞行的水平距离为25m 时,恰好达到最大高度76m , ∴抛物线的顶点为(25,76),设抛物线解析式为y =a (x ﹣25)2+76, 把(0,66)代入得: 66=a (0﹣25)2+76, 解得a =﹣, ∴抛物线解析式为y =﹣(x ﹣25)2+76, 当x =75时,y =﹣×(75﹣25)2+76=36, ∵36>21,∴他的落地点能超过K 点.【点睛】本题考查二次函数的应用,解题的关键是读懂题意,能根据题意把实际问题转化为数学问题.六、解答题(本大题共12分)23. 问题提出:某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O 处,并绕点O 逆时针旋转,探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2).910910212521252125()90,60PEF P F Ð=°Ð=°PEF ABCD。
2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形(含解析)
第3题图A. 20 °B.302020年中考数学一轮专项复习一一矩形、菱形、正方形课时1 矩形■基础过关1. (2019重庆模拟)下列关于矩形对角线的说法中,正确的是 ( )A.对角线相互垂直B.面积等于对角线乘积的一半C.对角线平分一组对角D.对角线相等2 . (2019临沂)如图,在?ABCD 中,M, N 是BD 上两点,个条件,使四边形 AMCN 是矩形,这个条件是()B. MB= MOD. / AMB = Z CNDBM = DN,连接 AM, MC , CN, NA.添加一1A. OM =2ACC. BD± AC3 .如图,将矩形纸片 数为( )ABCD 沿BD 折叠,得到△ BCD, CD 与AB 交于点E.若/1 = 35°,则/ 2的度第2题图5.如图,矩形 ABCD 中,A (-2, 0), B (2, 0), C (2, 2),将AB 绕点A 旋转,使点 B 落在边CD 上的点E 处,则点E 的坐标为()B. (2击,2) D. (2^3-2, 2)4. (2019贵阳模拟)如图,在矩形ABCD ( ) ABCD 中,AE 平分/ BAD,交边BC 于点E,若ED=5, EC=3,则A. 11B. 14C. 22D. 28A.(a 2) C. (1 ,6.如图,在矩形ABCD 中,对角线 AC 与BD 相交于点 O,过点A 作BD 的垂线,垂足为E.已知/ EAD= 3/BAE,则/ EAO 的度数为(A . 22.5B. 67.5C. 45°D. 60°7 . (2020原创)如图,点O 是矩形 则^ BOE 的周长为()ABCD 对角线 AC 的中点,OE // AB 交AD 于点E.若AB=6, BC=8,A. 10B. 8 + 2^5C. 8+2^13D. 14E第4题图第5题图4第6题图10.(人教八下P55练习2题)如图,?ABCD的对角线AC、BD交于点O, △ OAB是等边三角形,AB =4.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)求四边形ABCD的面积.8. (2018遵义)如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点, 点E, F,连接PB、PD.若AE=2, PF = 8.则图中阴影部分的面积为过点P作EF // BC,分别交AB, CD于A. 10 8.12 C. 16D. 189.(2019徐州)如图,矩形ABCD中,AC、BD交于点O, M、N分别为BC、OC的中点,若MN = 4, 则AC的长为第7题图第8题图第9题图第10题图11 . (2019怀化)已知:如图,在?ABCD中,AEXBC, CFXAD, E, F分别为垂足.⑴求证:△ ABE^A CDF ;(2)求证:四边形AECF是矩形.第11题图12 . (2019连云港)如图,在^ ABC中,AB = AC>AABC沿着BC方向平移得到△ DEF ,其中点E在边BC上,DE 与AC相交于点O.(1)求证:△ OEC为等腰三角形;(2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时,四边形AECD为矩形,并说明理由.第12题图1 . (2019台州)如图,有两张矩形纸片 ABCD 和EFGH, AB=EF =2 cm, BC = FG=8 cm 把纸片 ABCD 交叉叠放在纸片 EFGH 上,使重叠部分为平行四边形,且点 D 与点G 重合,当两张纸片交叉所成的角 “最 小时,tan a 等于()2 .如图,在矩形 ABCD 中,AB = 4, BC = 6, E 是矩形内部的一个动点,且 AEXBE,则线段CE 的最 小值为.A.B. 2C. 187D.8_15;1 DB EC F第1题图第2题图立满分冲关1. (2019眉山模拟)如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BEXAC,垂足为点F,连接DF ,分析下列四个结论:① CF = 3AF;②AB=DF;③DF = ^BC;④S四边形CDEF^S MBF.其中正确白结论有( )第1题图A . 1个B,2个C,3个D,4个【错误结论纠正】请将错误结论改正确.2 .如图,在矩形ABCD中,ZBAC=30°,对角线AC, BD交于点O, / BCD的平分线CE分别交AB, BD于点E, H,连接OE.(1)求/ BOE的度数;(2)若BC=1,求^ BCH的面积;(3)求S A CHO :S^BHE的值.H E第2题图课时2菱形(建议时间:40分钟)名■基础过关1. (2019玉林)菱形不具备的性质是()A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2. (2019 河北)如图,菱形ABCD 中,/ D= 150°,则/ 1 =()A.30 °B. 25 °C. 20 °D. 15 °DB第2题图3. (2019襄阳)如图,分别以线段AB的两个端点为圆心,大于AB的一半的长为半径画弧,两弧分别交于C, D两点,连接AC, BC, AD, BD,则四边形ADBC一定是()A.正方形B.矩形第3题图4. (2019呼和浩特)已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角线的长为()A.2 2B. 2 . 5C. 4 2D. 2 . 105. (2019宁夏)如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A.AC± BDB.AB = ADC.AC= BDD./ ABD = Z CBD,4第5题图6 . (2019赤峰)如图,菱形ABCD的周长为20,对角线AC、BD相交于点O, E是CD的中点,则OE 的长是()A. 2.5B. 3第6题图7. (2019天津)如图,四边形ABCD 为菱形,A, B两点的坐标分别是(2, 0), (0, 1),点C, D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于(y6D第7题图A. 5B.4 3C.4 5D. 208 . (2019永州)如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且点。
2024年陕西省中考数学试题(含解析)
2024年陕西省初中学业水平考试数学试卷注意事项:1.本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题),全卷共8页,总分120分,考试时间120分钟2.领到试卷和答题卡后,请用0.5毫米黑色墨水签字笔,分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号,同时用2B 铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点(A 或B )3.请在答题卡上各题的指定区域内作答,否则作答无效4.作图时,先用铅笔作图,再用规定签字笔描黑5.考试结束,本试卷和答题卡一并交回第一部分(选择题共24分)一、选择题(共8小题,每小题3分,计24分,每小题只有一个选项是符合题意的)1.3-的倒数是()A.3B.13 C.13- D.3-2.如图,将半圆绕直径所在的虚线旋转一周,得到的立体图形是()A. B. C. D.3.如图,AB DC ∥,BC DE ∥,145B ∠=︒,则D ∠的度数为()A.25︒B.35︒C.45︒D.55︒4.不等式()216x -≥的解集是()A.2x ≤ B.2x ≥ C.4x ≤ D.4x ≥5.如图,在ABC 中,90BAC ∠=︒,AD 是BC 边上的高,E 是DC 的中点,连接AE ,则图中的直角三角形有()A.2个B.3个C.4个D.5个6.一个正比例函数的图象经过点()2,A m 和点(),6B n -,若点A 与点B 关于原点对称,则这个正比例函数的表达式为()A.3y x = B.3y x =- C.13y x = D.13y x =-7.如图,正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上,AF 与DC 交于点H ,若6AB =,2CE =,则DH 的长为()A .2 B.3 C.52 D.838.已知一个二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表,x…4-2-035…y …24-8-03-15-…则下列关于这个二次函数的结论正确的是()A.图象的开口向上B.当0x >时,y 的值随x 的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线1x =第二部分(非选择题共96分)二、填空题(共5小题,每小题3分,计15分)9.分解因式:2a ab -=_______________.10.小华探究“幻方”时,提出了一个问题:如图,将0,2-,1-,1,2这五个数分别填在五个小正方形内,使横向三个数之和与纵向三个数之和相等,则填入中间位置的小正方形内的数可以是________.(写出一个符合题意的数即可)11.如图,BC 是O 的弦,连接OB ,OC ,A ∠是 BC所对的圆周角,则A ∠与OBC ∠的和的度数是________.12.已知点()12,A y -和点()2,B m y 均在反比例函数5y x=-的图象上,若01m <<,则12y y +________0.13.如图,在ABC 中,AB AC =,E 是边AB 上一点,连接CE ,在BC 右侧作BF AC ∥,且BF AE =,连接CF .若13AC =,10BC =,则四边形EBFC 的面积为________.三、解答题(共13小题,计81分。
2022年全国中考数学真题分项汇编专题2:专题02 整式与因式分解(含解析)
专题02 整式与因式分解一.选择题1.(2022·浙江温州)计算的结果是A.6 B.C.3D.2.(2022·江苏宿迁)下列运算正确的是()A. B. C. D.3.(2022·陕西)计算:()A.B.C.D.4.(2022·浙江嘉兴)计算a2·a()A.a B.3a C.2a2D.a35.(2022·四川眉山)下列运算中,正确的是()A.B.C.D.6.(2022·江西)下列计算正确的是()A. B. C. D.7.(2022·浙江宁波)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()A.正方形纸片的面积 B.四边形的面积 C.的面积 D.的面积8.(2022·浙江温州)化简的结果是()A.B.C.D.9.(2022·江西)将字母“C”,“H”按照如图所示的规律摆放,依次下去,则第4个图形中字母“H”的个数是()A.9B.10C.11D.1210.(2022·浙江绍兴)下列计算正确的是()A. B. C. D.11.(2022·云南)按一定规律排列的单项式:x,3x²,5x³,7x,9x,……,第n个单项式是()A.(2n-1)B.(2n+1)C.(n-1)D.(n+1)12.(2022·重庆)把菱形按照如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有1个菱形,第②个图案中有3个菱形,第③个图案中有5个菱形,…,按此规律排列下去,则第⑥个图案中菱形的个数为()A.15B.13C.11D.913.(2022·安徽)下列各式中,计算结果等于的是()A.B.C.D.14.(2022·四川成都)下列计算正确的是()A. B. C. D.15.(2022·山东滨州)下列计算结果,正确的是()A.B.C.D.16.(2022·重庆)用正方形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有5个正方形,第②个图案中有9个正方形,第③个图案中有13个正方形,第④个图案中有17个正方形,此规律排列下去,则第⑨个图案中正方形的个数为()A.32B.34C.37D.4117.(2022·湖南湘潭)下列整式与为同类项的是()A.B.C.D.18.(2022·江苏苏州)下列运算正确的是()A.B.C.D.19.(2022·重庆)对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简,称之为“加算操作”,例如:,,…,给出下列说法:①至少存在一种“加算操作”,使其结果与原多项式相等;②不存在任何“加算操作”,使其结果与原多项式之和为0;③所有的“加算操作”共有8种不同的结果.以上说法中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3二.填空题20.(2022·江苏苏州)已知,,则______.21.(2022·四川乐山)如果一个矩形内部能用一些正方形铺满,既不重叠,又无缝隙,就称它为“优美矩形”,如图所示,“优美矩形”ABCD的周长为26,则正方形d的边长为______.22.(2022·四川乐山)已知,则______.23.(2022·湖南邵阳)已知,则_________.24.(2022·天津)计算的结果等于___________.25.(2022·江苏扬州)掌握地震知识,提升防震意识.根据里氏震级的定义,地震所释放出的能量与震级的关系为(其中为大于0的常数),那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍.26.(2022·山东泰安)观察下列图形规律,当图形中的“○”的个数和“.”个数差为2022时,n的值为____________.27.(2022·四川遂宁)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这一过程所画出来的图形,因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树,按照勾股树的作图原理作图,则第六代勾股树中正方形的个数为______.28.(2022·山东滨州)若,,则的值为_______.29.(2022·山东泰安)地球的体积约为1012立方千米,太阳的体积约为1.4×1018立方千米,地球的体积约是太阳体积的倍数是_____(用科学记数法表示,保留2位有效数字)30.(2022·四川德阳)已知(x+y)2=25,(x﹣y)2=9,则xy=___.31.(2022·浙江嘉兴)分解因式:m2-1=_____.32.(2022·湖南怀化)因式分解:_____.33.(2022·浙江绍兴)分解因式:= ______.34.(2022·浙江宁波)分解因式:x2-2x+1=__________.35.(2022·江苏连云港)若关于的一元二次方程的一个解是,则的值是___.36.(2022·浙江丽水)如图,标号为①,②,③,④的矩形不重叠地围成矩形,已知①和②能够重合,③和④能够重合,这四个矩形的面积都是5.,且.(1)若a,b是整数,则的长是___________;(2)若代数式的值为零,则的值是___________.37.(2022·四川德阳)古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究,尤其注意形与数的关系,“多边形数”也称为“形数”,就是形与数的结合物.用点排成的图形如下:其中:图①的点数叫做三角形数,从上至下第一个三角形数是1,第二个三角形数是,第三个三角形数是,……图②的点数叫做正方形数,从上至下第一个正方形数是1,第二个正方形数是,第三个正方形数是,……由此类推,图④中第五个正六边形数是______.38.(2022·湖南怀化)正偶数2,4,6,8,10,……,按如下规律排列,24 68 10 1214 16 18 20……则第27行的第21个数是______.三.解答题39.(2022·江苏苏州)已知,求的值.40.(2022·江苏宿迁)某单位准备购买文化用品,现有甲、乙两家超市进行促销活动,该文化用品两家超市的标价均为10元/件,甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠,超过400元的部分按标价的6折售卖;乙超市全部按标价的8折售卖.(1)若该单位需要购买30件这种文化用品,则在甲超市的购物金额为元;乙超市的购物金额为元;(2)假如你是该单位的采购员,你认为选择哪家超市支付的费用较少?41.(2022·湖南衡阳)先化简,再求值:,其中,.42.(2022·浙江金华)如图1,将长为,宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形. (1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长.(2)当时,该小正方形的面积是多少?43.(2022·安徽)观察以下等式:第1个等式:,第2个等式:,第3个等式:,第4个等式:,……按照以上规律.解决下列问题:(1)写出第5个等式:________;(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明.44.(2022·浙江丽水)先化简,再求值:,其中.45.(2022·重庆)若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数,则这个四位数为“勾股和数”.例如:,∵,∴2543是“勾股和数”;又如:,∵,,∴4325不是“勾股和数”.(1)判断2022,5055是否是“勾股和数”,并说明理由;(2)一个“勾股和数”的千位数字为,百位数字为,十位数字为,个位数字为,记,.当,均是整数时,求出所有满足条件的.46.(2022·重庆)对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N,若N能被它的各数位上的数字之和m整除,则称N是m的“和倍数”.例如:∵,∴247是13的“和倍数”.又如:∵,∴214不是“和倍数”.(1)判断357,441是否是“和倍数”?说明理由;(2)三位数A是12的“和倍数”,a,b,c分别是数A其中一个数位上的数字,且.在a,b,c中任选两个组成两位数,其中最大的两位数记为,最小的两位数记为,若为整数,求出满足条件的所有数A.47.(2022·浙江嘉兴)设是一个两位数,其中a是十位上的数字(1≤a≤9).例如,当a=4时,表示的两位数是45.(1)尝试:①当a=1时,152=225=1×2×100+25;②当a=2时,252=625=2×3×100+25;③当a=3时,352=1225=;……(2)归纳:与100a(a+1)+25有怎样的大小关系?试说明理由.(3)运用:若与100a的差为2525,求a的值.专题02 整式与因式分解一.选择题1.(2022·浙江温州)计算的结果是A.6 B.C.3D.【答案】A【分析】根据有理数的加法法则计算即可.【详解】解:.故选:A.【点评】本题考查了有理数的加法,掌握绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键.2.(2022·江苏宿迁)下列运算正确的是()A. B. C. D.【答案】C【分析】由合并同类项可判断A,由同底数幂的乘法可判断B,由积的乘方运算可判断C,由幂的乘方运算可判断D,从而可得答案.【详解】解:,故A不符合题意;,故B不符合题意;,故C符合题意;,故D不符合题意;故选:C【点睛】本题考查的是合并同类项,同底数幂的乘法,积的乘方运算,幂的乘方运算,掌握以上基础运算是解本题的关键.3.(2022·陕西)计算:()A.B.C.D.【答案】C【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可.【详解】解:.故选:C.【点睛】本题考查了单项式乘单项式的运算,正确地计算能力是解决问题的关键.4.(2022·浙江嘉兴)计算a2·a()A.a B.3a C.2a2D.a3【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算即可.【详解】解:故选D【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法,掌握“同底数幂的乘法,底数不变,指数相加”是解本题的关键.5.(2022·四川眉山)下列运算中,正确的是()A.B.C.D.【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则,合并同类项,完全平方公式,单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案.【详解】解:A. ,根据同底数幂的乘法法则可知:,故选项计算错误,不符合题意;B. ,和不是同类项,不能合并,故选项计算错误,不符合题意;C. ,根据完全平方公式可得:,故选项计算错误,不符合题意;D. ,根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确,符合题意;故选:D【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则,合并同类项,完全平方公式,单项式乘多项式的法则,解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则,合并同类项,完全平方公式,单项式乘多项式的法则.6.(2022·江西)下列计算正确的是()A. B. C. D.【答案】B【分析】利用同底数幂的乘法,去括号法则,单项式乘多项式,完全平方公式对各选项依次判断即可.【详解】解:A、,故此选项不符合题意;B、,故此选项符合题意;C、,故此选项不符合题意;D、,故此选项不符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了整式的混合运算,涉及到同底数幂的乘法,去括号法则,单项式乘多项式的运算法则,完全平方公式等知识.熟练掌握各运算法则和的应用是解题的关键.7.(2022·浙江宁波)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()A.正方形纸片的面积 B.四边形的面积 C.的面积 D.的面积【答案】C【分析】设正方形纸片边长为x,小正方形EFGH边长为y,得到长方形的宽为x-y,用x、y表达出阴影部分的面积并化简,即得到关于x、y的已知条件,分别用x、y列出各选项中面积的表达式,判断根据已知条件能否求出,找到正确选项.【详解】根据题意可知,四边形EFGH是正方形,设正方形纸片边长为x,正方形EFGH边长为y,则长方形的宽为x-y,所以图中阴影部分的面积=S正方形EFGH+2S△AEH+2S△DHG==2xy,所以根据题意,已知条件为xy的值,A.正方形纸片的面积=x2,根据条件无法求出,不符合题意;B.四边形EFGH的面积=y2,根据条件无法求出,不符合题意;C.的面积=,根据条件可以求出,符合题意;D.的面积=,根据条件无法求出,不符合题意;故选 C.【点睛】本题考查整式与图形的结合,熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式,能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键.8.(2022·浙江温州)化简的结果是()A.B.C.D.【答案】D【分析】先化简乘方,再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可.【详解】解:,故选:D.【点睛】本题考查单项式乘单项式,掌握单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键.9.(2022·江西)将字母“C”,“H”按照如图所示的规律摆放,依次下去,则第4个图形中字母“H”的个数是()A.9B.10C.11D.12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数,找到规律即可得出答案.【详解】解:第1个图中H的个数为4,第2个图中H的个数为4+2,第3个图中H的个数为4+2×2,第4个图中H的个数为4+2×3=10,故选:B.【点睛】本题考查了规律型:图形的变化类,通过列举每个图形中H的个数,找到规律:每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键.10.(2022·浙江绍兴)下列计算正确的是()A. B. C. D.【答案】A【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可.【详解】解:A、,原式计算正确;B、,原式计算错误;C、,原式计算错误;D、,原式计算错误;故选:A.【点睛】本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方,熟练掌握运算法则是解题的关键.11.(2022·云南)按一定规律排列的单项式:x,3x²,5x³,7x,9x,……,第n个单项式是()A.(2n-1)B.(2n+1)C.(n-1)D.(n+1)【答案】A【分析】系数的绝对值均为奇数,可用(2n-1)表示;字母和字母的指数可用xn表示.【详解】解:依题意,得第n项为(2n-1)xn,故选:A.【点睛】本题考查的是单项式,根据题意找出规律是解答此题的关键.12.(2022·重庆)把菱形按照如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有1个菱形,第②个图案中有3个菱形,第③个图案中有5个菱形,…,按此规律排列下去,则第⑥个图案中菱形的个数为()A.15B.13C.11D.9【答案】C【分析】根据第①个图案中菱形的个数:;第②个图案中菱形的个数:;第③个图案中菱形的个数:;…第n个图案中菱形的个数:,算出第⑥个图案中菱形个数即可.【详解】解:∵第①个图案中菱形的个数:;第②个图案中菱形的个数:;第③个图案中菱形的个数:;…第n个图案中菱形的个数:,∴则第⑥个图案中菱形的个数为:,故C正确.故选:C.【点睛】本题主要考查的是图案的变化,解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律.13.(2022·安徽)下列各式中,计算结果等于的是()A.B.C.D.【答案】B【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可.【详解】A.,不是同类项,不能合并在一起,故选项A不合题意;B.,符合题意;C.,不是同类项,不能合并在一起,故选项C不合题意;D.,不符合题意,故选B【点睛】本题考查了整式的运算,熟练掌握整式的运算性质是解题的关键.14.(2022·四川成都)下列计算正确的是()A. B. C. D.【答案】D【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算,即可一一判定.【详解】解:A.,故该选项错误,不符合题意;B.,故该选项错误,不符合题意;C.,故该选项错误,不符合题意;D.,故该选项正确,符合题意;故选:D.【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式,熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键.15.(2022·山东滨州)下列计算结果,正确的是()A.B.C.D.【答案】C【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可.【详解】解:A、,该选项错误;B、,该选项错误;C、,该选项正确;D、,该选项错误;故选:C.【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值,熟练掌握运算法则是解题的关键.16.(2022·重庆)用正方形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有5个正方形,第②个图案中有9个正方形,第③个图案中有13个正方形,第④个图案中有17个正方形,此规律排列下去,则第⑨个图案中正方形的个数为()A.32B.34C.37D.41【答案】C【分析】第1个图中有5个正方形,第2个图中有9个正方形,第3个图中有13个正方形,……,由此可得:每增加1个图形,就会增加4个正方形,由此找到规律,列出第n 个图形的算式,然后再解答即可.【详解】解:第1个图中有5个正方形;第2个图中有9个正方形,可以写成:5+4=5+4×1;第3个图中有13个正方形,可以写成:5+4+4=5+4×2;第4个图中有17个正方形,可以写成:5+4+4+4=5+4×3;...第n个图中有正方形,可以写成:5+4(n-1)=4n+1;当n=9时,代入4n+1得:4×9+1=37.故选:C.【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律,通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键.17.(2022·湖南湘潭)下列整式与为同类项的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据同类项的定义:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,这样的项叫做同类项,结合选项求解.【详解】解:由同类项的定义可知,a的指数是1,b的指数是2.A、a的指数是2,b的指数是1,与不是同类项,故选项不符合题意;B、a的指数是1,b的指数是2,与是同类项,故选项符合题意;C、a的指数是1,b的指数是1,与不是同类项,故选项不符合题意;D、a的指数是1,b的指数是2,c的指数是1,与不是同类项,故选项不符合题意.故选:B.【点睛】此题考查了同类项,判断同类项只要两看,即一看所含有的字母是否相同,二看相同字母的指数是否相同.18.(2022·江苏苏州)下列运算正确的是()A.B.C.D.【分析】通过,判断A选项不正确;C选项中、不是同类项,不能合并;D 选项中,单项式与单项式法则:把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式;B选项正确.【详解】A. ,故A不正确;B. ,故B正确;C. ,故C不正确;D. ,故D不正确;故选B.【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算,灵活运用相应运算法则是解题的关键.19.(2022·重庆)对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简,称之为“加算操作”,例如:,,…,给出下列说法:①至少存在一种“加算操作”,使其结果与原多项式相等;②不存在任何“加算操作”,使其结果与原多项式之和为0;③所有的“加算操作”共有8种不同的结果.以上说法中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】给添加括号,即可判断①说法是否正确;根据无论如何添加括号,无法使得的符号为负号,即可判断②说法是否正确;列举出所有情况即可判断③说法是否正确.【详解】解:∵∴①说法正确∵又∵无论如何添加括号,无法使得的符号为负号∴②说法正确∵当括号中有两个字母,共有4种情况,分别是、、、;当括号中有三个字母,共有3种情况,分别是、、;当括号中有四个字母,共有1种情况,∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D.【点睛】本题考查了新定义运算,认真阅读,理解题意是解答此题的关键.20.(2022·江苏苏州)已知,,则______.【答案】24【分析】根据平方差公式计算即可.【详解】解:∵,,∴,故答案为:24.【点睛】本题考查因式分解的应用,先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键.21.(2022·四川乐山)如果一个矩形内部能用一些正方形铺满,既不重叠,又无缝隙,就称它为“优美矩形”,如图所示,“优美矩形”ABCD的周长为26,则正方形d的边长为______.【答案】5【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d,分别求得b=c,c=d,由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26,列式计算即可求解.【详解】解:设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d,∵“优美矩形”ABCD的周长为26,∴4d+2c=26,∵a=2b,c=a+b,d=a+c,∴c=3b,则b=c,∴d=2b+c=c,则c=d,∴4d+d =26,∴d=5,∴正方形d的边长为5,故答案为:5.【点睛】本题考查了整式加减的应用,认真观察图形,根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键.22.(2022·四川乐山)已知,则______.【答案】【分析】根据已知式子,凑完全平方公式,根据非负数之和为0,分别求得的值,进而代入代数式即可求解.【详解】解:,,即,,,故答案为:.【点睛】本题考查了因式分解的应用,掌握完全平方公式是解题的关键.23.(2022·湖南邵阳)已知,则_________.【答案】2【分析】将变形为即可计算出答案.【详解】∵∴故答案为:2.【点睛】本题考查代数式的性质,解题的关键是熟练掌握代数式的相关知识.24.(2022·天津)计算的结果等于___________.【答案】【分析】根据同底数幂的乘法即可求得答案.【详解】解:,故答案为:.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,熟练掌握计算方法是解题的关键.25.(2022·江苏扬州)掌握地震知识,提升防震意识.根据里氏震级的定义,地震所释放出的能量与震级的关系为(其中为大于0的常数),那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍.【答案】1000【分析】分别求出震级为8级和震级为6级所释放的能量,然后根据同底数幂的除法即可得到答案.【详解】解:根据能量与震级的关系为(其中为大于0的常数)可得到,当震级为8级的地震所释放的能量为:,当震级为6级的地震所释放的能量为:,,震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍.故答案为:1000.【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识,充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键.26.(2022·山东泰安)观察下列图形规律,当图形中的“○”的个数和“.”个数差为2022时,n的值为____________.【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时,“•”的个数分别是3、6、9、12,判断出第n个图形中“•”的个数是3n;然后根据n=1、2、3、4,“○”的个数分别是1、3、6、10,判断出第n个“○”的个数是;最后根据图形中的“○”的个数和“.”个数差为2022,列出方程,解方程即可求出n的值是多少即可.【详解】解:∵n=1时,“•”的个数是3=3×1;n=2时,“•”的个数是6=3×2;n=3时,“•”的个数是9=3×3;n=4时,“•”的个数是12=3×4;……∴第n个图形中“•”的个数是3n;又∵n=1时,“○”的个数是1=;n=2时,“○”的个数是,n=3时,“○”的个数是,n=4时,“○”的个数是,……∴第n个“○”的个数是,由图形中的“○”的个数和“.”个数差为2022①,②解①得:无解解②得:故答案为:不存在【点睛】本题考查了图形类规律,解一元二次方程,找到规律是解题的关键.27.(2022·四川遂宁)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这一过程所画出来的图形,因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树,按照勾股树的作图原理作图,则第六代勾股树中正方形的个数为______.【答案】127【分析】由已知图形观察规律,即可得到第六代勾股树中正方形的个数.【详解】解:∵第一代勾股树中正方形有1+2=3(个),第二代勾股树中正方形有1+2+22=7(个),第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15(个),......∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127(个),故答案为:127.【点睛】本题考查图形中的规律问题,解题的关键是仔细观察图形,得到图形变化的规律.28.(2022·山东滨州)若,,则的值为_______.【答案】90【分析】将变形得到,再把,代入进行计算求解.【详解】解:∵,,∴.故答案为:90.【点睛】本题主要考查了代数式求值,完全平方公式的应用,灵活运用完全平方公式是解答关键.29.(2022·山东泰安)地球的体积约为1012立方千米,太阳的体积约为1.4×1018立方千米,地球的体积约是太阳体积的倍数是_____(用科学记数法表示,保留2位有效数字)【答案】7.1×10-7【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案.【详解】∵地球的体积约为1012立方千米,太阳的体积约为1.4×1018立方千米,∴地球的体积约是太阳体积的倍数是:1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7.故答案是:7.1×10-7.【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字,正确掌握运算法则是解题关键.30.(2022·四川德阳)已知(x+y)2=25,(x﹣y)2=9,则xy=___.【答案】4【分析】根据完全平方公式的运算即可.【详解】∵,∵+=4=16,∴=4.【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用,解题的关键是熟知完全平方公式的应用. 31.(2022·浙江嘉兴)分解因式:m2-1=_____.【答案】【分析】利用平方差公式进行因式分解即可.【详解】解:m2-1=故答案为:【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式,掌握“平方差公式的特点”是解本题的关键.32.(2022·湖南怀化)因式分解:_____.【答案】【分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可.【详解】解:,故答案为:【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式,熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键.33.(2022·浙江绍兴)分解因式:= ______.【答案】【分析】利用提公因式法即可分解.【详解】,故答案为:.【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解.34.(2022·浙江宁波)分解因式:x2-2x+1=__________.【答案】(x-1)2【详解】由完全平方公式可得:故答案为.【点睛】错因分析容易题.失分原因是:①因式分解的方法掌握不熟练;②因式分解不彻底.35.(2022·江苏连云港)若关于的一元二次方程的一个解是,则的值是___.【答案】1【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可.【详解】∵关于x的一元二次方程的一个解是,∴,∴,故答案为:1.【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义,代数式求值,熟知一元二次方程解的定义是解题的关键.36.(2022·浙江丽水)如图,标号为①,②,③,④的矩形不重叠地围成矩形,已知①和②能够重合,③和④能够重合,这四个矩形的面积都是5.,且.(1)若a,b是整数,则的长是___________;(2)若代数式的值为零,则的值是___________.【答案】【分析】(1)根据图象表示出PQ即可;(2)根据分解因式可得,继而求得。
部编版2020年中考数学试题分项版解析汇编第期专题图形的变换含解析
专题04 图形的变换一、选择题1.(2017山东德州市第11题)如图放置的两个正方形,大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a >b),M在边BC上,且BM=b,连AM,MF,MF交CG于点P,将△ABM绕点A旋转至△ADN,将△MEF绕点F旋转至△NGF。
给出以下五种结论:①∠MAD=∠AND;②CP=2-bba;③ΔABM≌ΔNGF;④S四边形AMFN=a2+b2;⑤A,M,P,D四点共线其中正确的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】考点:正方形、全等、相似、勾股定理2.(2017重庆A卷第2题)下列图形中是轴对称图形的是()【答案】C.【解析】试题解析:A 、不是轴对称图形,不合题意; B 、不是轴对称图形,不合题意; C 、是轴对称图形,符合题意; D 、不是轴对称图形,不合题意. 故选C .考点:轴对称图形.3.(2017甘肃庆阳第1题)下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是( )A .B .C .D .【答案】B .考点:中心对称图形.4.(2017广西贵港第11题)如图,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=o,将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点,P 是''A B 的中点,连接PM ,若230BC BAC =∠=o ,,则线段PM 的最大值是 ( )A .4B .3 C.2 D .1 【答案】B 【解析】试题解析:如图连接PC .在Rt△ABC中,∵∠A=30°,BC=2,∴AB=4,根据旋转不变性可知,A′B′=AB=4,∴A′P=PB′,∴PC=12A′B′=2,∵CM=BM=1,又∵PM≤PC+CM,即PM≤3,∴PM的最大值为3(此时P、C、M共线).故选B.考点:旋转的性质.5.(2017贵州安顺第7题)如图,矩形纸片ABCD中,AD=4cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,AE 交DC于点O,若AO=5cm,则AB的长为()A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm【答案】C.【解析】考点:翻折变换(折叠问题);矩形的性质.6.(2017江苏无锡第4题)下列图形中,是中心对称图形的是()A.B.C. D.【答案】C.【解析】试题解析:A、不是中心对称图形,故本选项不符合题意;B、不是中心对称图形,故本选项不符合题意;C、是中心对称图形,故本选项符合题意;D、不是中心对称图形,故本选项不符合题意;故选C.考点:中心对称图形.7.(2017江苏无锡第10题)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于()A .2B .54 C .53 D .75【答案】D . 【解析】试题解析:如图连接BE 交AD 于O ,作AH ⊥BC 于H .在Rt △ABC 中,∵AC=4,AB=3,∴2234+=5,∵CD=DB , ∴AD=DC=DB=52, ∵12•BC•AH=12•AB•AC, ∴AH=125, ∵AE=AB ,DE=DB=DC ,∴AD 垂直平分线段BE ,△BCE 是直角三角形, ∵12•AD•BO=12•BD•AH, ∴OB=125, ∴BE=2OB=245, 在Rt △BCE 中,22222475()55BC BE -=-= . 故选D .考点:1.翻折变换(折叠问题);2.直角三角形斜边上的中线;3.勾股定理.8.(2017江苏盐城第3题)下列图形中,是轴对称图形的是()【答案】D.【解析】试题解析:D的图形沿中间线折叠,直线两旁的部分可重合,故选D.考点:轴对称图形.9. (2017江苏盐城第6题)如图,将函数y=12(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是()A.y=12(x−2)2−2 B.y=12(x−2)2+7 C.y=12(x−2)2−5 D.y=12(x−2)2+4【答案】D.【解析】试题解析:∵函数y=12(x-2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),∴m=12(1-2)2+1=112,n=12(4-2)2+1=3,∴A(1,112),B(4,3),过A 作AC ∥x 轴,交B′B 的延长线于点C ,则C (4,112), ∴AC=4-1=3,∵曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分), ∴AC•AA′=3AA′=9, ∴AA′=3, 即将函数y=12(x-2)2+1的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象, ∴新图象的函数表达式是y=12(x-2)2+4. 故选D .考点:二次函数图象与几何变换.10.(2017甘肃兰州第14题)如图,在正方形ABCD 和正方形DEFG 中,点G 在CD 上,2DE =,将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转60°,得到正方形'''DE F G ,此时点'G 在AC 上,连接'CE ,则''CE CG +=( )26313236【答案】AA 【解析】试题解析:作G′I⊥CD 于I ,G′R⊥BC 于R ,E′H⊥BC 交BC 的延长线于H .连接RF′.则四边形RCIG′是正方形.∵∠DG′F′=∠IGR=90°, ∴∠DG′I=∠RG′F′, 在△G′ID 和△G′R F 中,DG I RG G D G I G G F F R '=∠''''⎧=⎪∠''⎨=⎪⎩∴△G′ID≌△G′RF, ∴∠G′ID=∠G′RF′=90°, ∴点F 在线段BC 上,在Rt △E′F′H 中,∵E′F′=2,∠E′F′H=30°, ∴E′H=123 易证△RG′F′≌△HF′E′, ∴RF′=E′H,RG′RC=F′H, ∴CH=RF′=E′H, 2 3 26 ∴CE′+26 故选A .考点:旋转的性质;正方形的性质.11.(2017山东烟台第2题)下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )【答案】A.考点:中心对称图形;轴对称图形.12.(2017四川宜宾第7题)如图,在矩形ABCD中BC=8,CD=6,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上F处,则DE的长是()A.3 B.245C.5 D.8916【答案】C.【解析】试题解析:∵矩形ABCD,∴∠BAD=90°,由折叠可得△BEF≌△BAE,∴EF⊥BD,AE=EF,AB=BF,在Rt△ABD中,AB=CD=6,BC=AD=8,根据勾股定理得:BD=10,即FD=10﹣6=4,设EF=AE=x,则有ED=8﹣x,根据勾股定理得:x2+42=(8﹣x)2,解得:x=3(负值舍去),则DE=8﹣3=5,故选C.考点:1. 翻折变换(折叠问题);2.矩形的性质.13.(2017四川自贡第6题0下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是()【答案】A.考点:1.轴对称图形;2.中心对称图形.14.(2017江苏徐州第题0下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A. B. C. D.【答案】C.【解析】试题解析:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意;B、是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意;C、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意;D、不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意.故选C.考点:1.中心对称图形;2.轴对称图形.15.(2017浙江嘉兴第7题)若平移点A到点C,使以点O,A,C,B为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是()A.向左平移1个单位,再向下平移1个单位-个单位,再向上平移1个单位B.向左平移(221)C.向右平移2个单位,再向上平移1个单位D.向右平移1个单位,再向上平移1个单位【答案】D.【解析】试题解析:过B作射线BC∥OA,在BC上截取BC=OA,则四边形OACB是平行四边形,过B作DH⊥x轴于H,∵B(1,1),22+1=1220),∴C(21)∴OA=OB,∴则四边形OACB是菱形,∴平移点A到点C,向右平移1个单位,再向上平移1个单位而得到,考点:1.菱形的性质;2.坐标与图形变化-平移.16.(2017浙江嘉兴第9题)一张矩形纸片ABCD ,已知3AB =,2AD =,小明按所给图步骤折叠纸片,则线段DG 长为( )A .2B .22C .1D .2【答案】A .【解析】试题解析:∵AB=3,AD=2,∴DA′=2,CA′=1,∴DC′=1,∵∠D=45°,∴DG=2DC′=2,故选A .考点:矩形的性质.17.(2017山东德州第2题)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )【答案】D【解析】试题分析:选项A 和B 是中心对称图形,但不是轴对称图形;选项C 是轴对称图形,但不是中心对称图形;选项D 既是轴对称图形又是中心对称图形。
【2022】苏教版中考数学精编专题《平行四边形、矩形、正方形、菱形》(含答案解析)
【苏教版】中考数学精编专题汇编专题1平行四边形、矩形、菱形、正方形学校:___________姓名:___________班级:___________1.【江苏省南京市中考二模】下列命题中假命题是( ) A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B 、两组对角分别相等的四边形是平行四边形C 、一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形D 、一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形D 、例如等腰梯形,满足一组对边平行一组对边相等,但它不是平行四边形,所以是个假命题.正确. 故选D .【考点定位】命题与定理.2.【江苏省江阴市中考】如图,菱形ABCD 中,对角线AC 交BD 于O ,AB =8, E 是CD 的中点,则OE 的长等于( )A.2B.3C.4D.5 【答案】C.B【解析】已知菱形ABCD ,根据菱形的性质可得AB=BC=8,OB=OD ,又因E 是CD 的中点,所以OE 为△DBC 的中位线,根据三角形的中位线定理可得OE=BC=4.故选C. 【考点定位】菱形的性质;三角形的中位线定理.3. 【江苏省常州市中考】如图,▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,则下列说法一定正确的是( )A .AO =ODB .AO ⊥ODC .AO =OCD .AO ⊥AB 【答案】C .【考点定位】平行四边形的性质.4.【江苏省徐州市中考】如图,菱形中,对角线AC 、BD 交于点O ,E 为AD 边中点,菱形ABCD 的周长为28,则OE 的长等于( )【考点定位】菱形的性质.215. 【江苏省徐州市中考模拟】15.如图,四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.若四边形EFGH 为菱形,则对角线AC 、BD 应满足条件 .【答案】AC=BD .【考点定位】1.菱形的性质;2.三角形中位线定理.6.【江苏省徐州市中考模拟】将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起,设较短直角边为1,如图2,将Rt△BCD 沿射线BD 方向平移,在平移的过程中,当点B的移动距离为时,四边ABC 1D 1为矩形;当点B 的移动距离为 时,四边形ABC1D 1为菱形.【解析】当点B 的移动距离为时,∠C 1BB 1=60°,则∠ABC 1=90°,根据有一直角的平行四边形是矩形,可判定四边形ABC 1D 1为矩形;当点B 的移动距离为时,D 、B1两点重合,根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形,可判定四边形ABC 1D 1为菱形.333如图:【考点定位】1.菱形的判定;2.矩形的判定;3.平移的性质.7. 【江苏省淮安市中考】如图,A,B两地被一座小山阻隔,为测量A,B两地之间的距离,在地面上选一点C,连接CA,CB,分别取CA,CB的中点D、E,测得DE的长度为360米,则A、B两地之间的距离是米.【答案】720.【考点定位】1.三角形中位线定理;2.应用题.8.【江苏省无锡市中考】如图,已知矩形ABCD的对角线长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH的周长等于 cm.【答案】16.【解析】根据三角形的中位线定理和矩形对角线相等的性质可证得四边形EFGH是菱形,且故答案为:16.【考点定位】三角形的中位线定理;矩形的性质;菱形的判定及性质.9.【江苏省中考模拟】已知:如图,在平行四边形ABCD中,点E、F在AC上,且AE=CF.求证:四边形BEDF是平行四边形.【答案】证明见解析.【解析】试题分析:根据平行四边形的性质,可得对角线互相平分,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可得证明结论.试题解析:证明:如图,连接 BD设对角线交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵AE=CF,OA﹣AE=OC﹣CF,∴OE=OF.∴四边形BEDF是平行四边形.【考点定位】平行四边形的判定与性质.10.【江苏省常州市中考】如图,在▱ABCD中,∠BCD=120°,分别延长DC、BC到点E,F,使得△BCE和△CDF 都是正三角形.(1)求证:AE=AF;(2)求∠EAF的度数.【答案】(1)证明见试题解析;(2)60°.【考点定位】1.全等三角形的判定与性质;2.等边三角形的性质;3.平行四边形的性质.专题2 圆的有关计算及圆的综合学校:___________姓名:___________班级:___________1.【江苏省南通市九年级上学期期末】如图,⊙O 中,OA ⊥BC ,∠A OB=52°,则∠ADC 的度数为( )A .36°B .26°C . 38°D .46°【答案】D . 【解析】故选D.【考点定位】1.圆周角定理;2.垂径定理.2.【江苏省江阴市九年级下学期期中】一个圆锥底面直径为2,母线为4,则它的侧面积为( ) A . B.C .D .【答案】C.【解析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl 可得这个圆锥的侧面积为π×1×4=4π.故选C. 【考点定位】圆锥的侧面积公式.3.【江苏省苏州市区中考】如图,⊙O 上A 、B 、C 三点,若∠B=50,∠A=20°,则∠AOB 等于( ) A 、30° B 、50° C 、70° D 、60°【答案】D .2π12π4π8π【解析】先根据圆周角定理得出∠ACB=∠AOB ,再由三角形内角和定理即可得出结论.∵∠AOB 与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角,∠B=50,∠A=20°,∴∠ACB=∠AOB .∴180°-∠AOB-∠A=180°-∠ACB-∠B ,即180°-∠AOB-20°=180°-∠AOB-50°,解得∠AOB=60°.故选D .【考点定位】圆周角定理.4.【江苏省南通市九年级上学期期末】某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为6cm ,圆心角为120°的扇形,则这个圆锥的底面半径为( )cm . A 、2B 、3C 、4D 、5【答案】A .故选A.【考点定位】弧长的计算.5.【江苏省苏州市中考一模】如图,AB 是⊙O 的切线,切点为B ,AO 交⊙O 于点C ,且AC=OC ,若⊙O 的半径为5,则图中阴影部分的面积是 .. 【解析】直接利用切线的性质结合勾股定理得出AB 的长,再利用锐角三角函数关系得出∠BOC 的度数,结合阴影部分的面积为:S △OBA -S 扇形BOC 求出即可.连接OB ,∵AB 是⊙O 的切线,切点为B ,∴∠OBBA=90°,∵AC=OC ,⊙O 的半径为5,∴AC=5,AB=5,∴∠A=30°,则∠BOC=60°,∴图中阴影部分的面积为:S △OBA -S 扇形BOC =×BO ×AB-.故答案为:121212625π312605360π⨯536225π. 【考点定位】1.扇形面积的计算;2.切线的性质.6.【江苏省徐州中考】13.圆锥底面圆的半径为3m ,其侧面展开图是半圆,则圆锥母线长为 m. 【答案】6.【考点定位】圆锥的计算.7.【江苏省中考】已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则扇形的面积是 . 【答案】27π.【考点定位】扇形面积的计算.8.【江苏省南京市中考二模】已知等腰△ABC 中,AB=AC=13cm ,BC=10cm ,则△ABC 的内切圆半径为 cm . 【答案】. 【解析】如图,设△ABC 的内切圆半径为r ,由勾股定理得AD=12,再由切线长定理得AE=8,根据勾股定理求得r 即可.如图,∵AB=AC=13cm ,BC=10cm ,∴BD=5cm ,∴AD=12cm ,根据切线长定理,AE=AB-BE=AB-BD=13-5=8,设△ABC 的内切圆半径为r ,∴AO=12-r ,∴(12-r )2-r 2=64,解得r=.故答案为:. 【考点定位】1.三角形的内切圆与内心;2.等腰三角形的性质.9.【江苏省苏州中考一模】如图所示,D 是以AB 为直径的半圆O 上的一点,C 是弧AD 的中点,点M 在AB 上,AD 与CM 交于点N ,CN=AN .625π103103103(1)求证:CM⊥AB;(2)若BD=2,求半圆的直径.【答案】(1)证明见解析;(2)6.【解析】试题解析:(1)证明:如图1,连接BC,则∠ACB=90°,∵CN=AN,∴∠NCA=∠NAC,∴∠MCA=∠DAC,∵C是弧AD的中点,∴∠ABC=∠DAC,∴∠MCA=∠ABC,∵∠CAB=∠BAC,∴△ABC∽△ACM,∴∠AMC=90°,∴CM⊥AB;(2)解:如图2,连接CD,作CE⊥BD,交BD的延长线于E,在△CMB与△BCE中,,【考点定位】1.相似三角形的判定与性质;2,全等三角形的判定与性质;2.圆周角定理.10.【江苏省无锡市中考】已知:如图,AB 为⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,且BC =6cm ,AC =8cm ,∠ABD =45º.(1)求BD 的长;(2)求图中阴影部分的面积.【答案】(1)BD =52cm;(2)S 阴影=25π-504cm 2. 【解析】MBC CBE CMB CEB BC BC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩【考点定位】圆周角定理的推论;勾股定理;扇形的面积公式.专题3 图形的变换、视图与投影学校:___________姓名:___________班级:___________1. 【江苏省苏州市中考一模】下列腾讯QQ表情中,不是轴对称图形的是()【答案】C.【解析】根据轴对称图形的概念求解.A、是轴对称图形,故本选项错误;B、是轴对称图形,故本选项错误;C、不是轴对称图形,故本选项正确;D、是轴对称图形,故本选项错误.故选C.【考点定位】轴对称图形.2.【江苏省徐州市中考模拟】下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是()【答案】D.【考点定位】1.中心对称图形;2.轴对称图形.3. 【江苏省淮安市中考】如图所示物体的主视图是()A. B. C. D.【答案】C.【考点定位】简单组合体的三视图.4.【江苏省常州市中考】下列“慢行通过,注意危险,禁止行人通行,禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)中为轴对称图形的是()A. B. C. D.【答案】B.故选B.【考点定位】轴对称图形.5.【江苏省常州市中考】将一张宽为4cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形,则这个三角形面积的最小值是【答案】8cm2 .故答案为:8cm 2.【考点定位】1.翻折变换(折叠问题);2.最值问题.6.【江苏省江阴市中考】如图,Rt ΔABC 中,AB=9,BC=6,∠B=900,将ΔABC 折叠,使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为MN ,则线段BN的长为【答案】 4. 【解析】 故答案为:4.【考点定位】翻折变换;勾股定理. 7.【江苏省苏州市区中考】在R t △ABC 中,斜边AB=4,∠B=60°,将△ABC 绕点B 旋转60°,顶点C 运动的路线长是 (结果保留π).【答案】.【解析】将△ABC 绕点B 旋转60°,顶点C 运动的路线长是就是以点B 为圆心,B C 为半径所旋转的弧,根据弧长公式即可求得.∵AB=4,∴BC=2,所以弧长=.故答案为:. 【考点定位】1.弧长的计算;2.旋转的性质.8.【江苏省扬州市2015年中考数学试题】如图,已知Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AC =6,BC =4,将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ,若点F 是DE 的中点,连接AF ,则AF = 23π602180π⨯=23π23π【答案】5【考点定位】旋转的性质9.【江苏省徐州市中考】如图,在方格纸上建立平面直角坐标系,每个小正方形的边长为1.(1)画出△AOB关于x轴对称的△A1OB1.(2)画出将△AOB绕点O顺时针旋转90°的△A2OB2,并判断△A1OB1和△A2OB2在位置上有何关系?若成中心对称,请直接写出对称中心坐标;如成轴对称,请直接写出对称轴的函数关系式.(3)若将△AOB绕点O旋转360°,试求出线段AB扫过的面积.【答案】(1)画图见解析;(2)画图见解析;△A1OB1和△A2OB2是轴对称关系,对称轴为:y=﹣x.(3)2.5π.【解析】试题解析:(1)如图所示:.(2)如图所示:△A1OB1和△A2OB2是轴对称关系,对称轴为:y=﹣x.(3)过点O作OE⊥AB,线段AB2﹣π()2=5π﹣2.5π=2.5π. 【考点定位】1.作图-旋转变换;2.扇形面积的计算;3.作图-轴对称变换.10.【江苏省南京市中考二模试题】△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,矩形DEFG 中,EF=4,FG >12.(1)如图①,点A 是FG 的中点,FG ∥BC ,将矩形DEFG 向下平移,直到DE 与BC 重合为止.要研究矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积,就要进行分类讨论,你认为如何进行分类,写出你的分类方法(无需求重叠部分的面积).(2)如图②,点B 与F 重合,E 、B 、C 在同一直线上,将矩形DEFG 向右平移,直到点E 与C 重合为止.设矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为y ,平移的距离为x .①求y 与x 的函数关系式,并写出自变量的取值范围;②在给定的平面直角坐标系中画出y 与x 的大致图象,并在图象上标注出关键点坐标.2【考点定位】几何变换综合题.。
中考数学真题分类汇编——几何综合题(含答案)
中考数学真题分类汇编——几何综合题(含答案)类型1 类比探究的几何综合题类型2 与图形变换有关的几何综合题类型3 与动点有关的几何综合题类型4 与实际操作有关的几何综合题类型5 其他类型的几何综合题类型1 类比探究的几何综合题(2018苏州)(2018烟台)(2018东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=33,BO:CO=1:3,求AB的长.经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2).请回答:∠ADB= °,AB= .(2)请参考以上解决思路,解决问题:如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=33,∠ABC=∠ACB=75°, BO:OD=1:3,求DC的长.(2018长春)(第24题图1) (第24题图2) (第24题图3)(2018陕西)(2018齐齐哈尔)(2018河南)(2018仙桃)问题:如图①,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A 逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为;探索:如图②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论;应用:如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.(2018襄阳)如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.(1)证明与推断:①求证:四边形CEGF是正方形;的值为;②推断:AGBE(2)探究与证明:将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE 之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展与运用正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=22,则BC= .(2018淮安)(2018咸宁)(2018黄石)在△ABC 中,E 、F 分别为线段AB 、AC 上的点(不与A 、B 、C 重合). (1)如图1,若EF ∥BC ,求证:AEF ABC S AE AFS AB AC∆∆= (2)如图2,若EF 不与BC 平行,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;(3)如图3,若EF 上一点G 恰为△ABC 的重心,34AE AB =,求AEFABC S S ∆∆的值.BBB(2018山西)(2018盐城)【发现】如图①,已知等边ABC ,将直角三角形的60角顶点D 任意放在BC 边上(点D 不与点B 、C 重合),使两边分别交线段AB 、AC 于点E 、F .(1)若6AB=,4AE=,2BD=,则CF=_______;(2)求证:EBD DCF∆∆.【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动,保持三角板与AB、AC的两个交点E、F都存在,连接EF,如图②所示.问点D是否存在某一位置,使ED平分BEF∠且FD平分CFE∠?若存在,求出BDBC的值;若不存在,请说明理由.【探索】如图③,在等腰ABC∆中,AB AC=,点O为BC边的中点,将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处(其中MON B∠=∠),使两条边分别交边AB、AC于点E、F(点E、F均不与ABC∆的顶点重合),连接EF.设Bα∠=,则AEF∆与ABC∆的周长之比为________(用含α的表达式表示).(2018绍兴)(2018达州)(2018菏泽)(2018扬州)问题呈现如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点D、N和E、C,DN与EC相交于点P,求tan CPN∠的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中CPN∠不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点M、N,可得∠就变换到中Rt DMN∆.∠=∠,连接DM,那么CPNMN EC,则DNM CPN//问题解决(1)直接写出图1中tan CPN ∠的值为_________;(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN 与CM 相交于点P ,求cos CPN ∠的值; 思维拓展(3)如图3,AB BC ⊥,4AB BC =,点M 在AB 上,且AM BC =,延长CB 到N ,使2BN BC =,连接AN 交CM 的延长线于点P ,用上述方法构造网格求CPN ∠的度数.(2018常德)已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于O 点,点M 在线段BD 上,作直线AM 交直线DC 于E ,过D 作DH AE ⊥于H ,设直线DH 交AC 于N .(1)如图14,当M 在线段BO 上时,求证:MO NO =;(2)如图15,当M 在线段OD 上,连接NE ,当//EN BD 时,求证:BM AB =; (3)在图16,当M 在线段OD 上,连接NE ,当NE EC ⊥时,求证:2AN NC AC =⋅.(2018滨州)(2018湖州)(2018自贡)如图,已知AOB 60∠=,在AOB ∠的平分线OM 上有一点C ,将一个120°角的顶点与点C 重合,它的两条边分别与直线OA OB 、相交于点D E 、 .⑴当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图1),请猜想OE OD +与OC 的数量关系,并说明理由;⑵当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时,到达图2的位置,⑴中的结论是否成立?并说明理由; ⑶当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给于证明;若不成立,线段OD OE 、与OC 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.(2018嘉兴、舟山)O BOO B图3.(2018淄博)(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形ABC ,其中AB AC =,在ABC ∆的外侧分别以,AB AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD ACE ,,分别取,BD CE ,BC 的中点,,M N G ,连接,GM GN .小明发现了:线段GM 与GN 的数量关系是 ;位置关系是 . (2)类比思考:如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三角形,其中AB AC >,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由. (3)深入研究:如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向ABC ∆的内侧分别作等腰直角三角形,ABD ACE ,其它条件不变,试判断GMN ∆的形状,并给与证明.类型2 与图形变换有关的几何综合题(2018宜昌)在矩形ABCD 中,12AB =,P 是边AB 上一点,把PBC 沿直线PC 折叠,顶点B 的对应点是点G ,过点B 作BE CG ⊥,垂足为E 且在AD 上,BE 交PC 于点F . (1)如图1,若点E 是AD 的中点,求证:AEB DEC ∆∆≌; (2) 如图2,①求证: BP BF =;②当AD 25=,且AE DE <时,求cos PCB ∠的值; ③当BP 9=时,求BE EF 的值.图1 图2 图2备用图 23.(1)证明:在矩形ABCD 中,90,A D AB DC ∠=∠==, 如图1,又AE DE =,图1∆≅∆,ABE DCE(2)如图2,图2①在矩形ABCD中,90∠=,ABC∆沿PC折叠得到GPC∆BPC∠=∠∴∠=∠=,BPC GPC PGC PBC90⊥BE CG∴,BE PG//∴∠=∠GPF PFBBPF BFP∴∠=∠∴=BP BFAD=时,②当25∠=BEC90∴∠+∠=,90AEB CED90AEB ABE ∠+∠=,CED ABE ∴∠=∠ 又90A D ∠=∠=,ABE DEC ∴∆∆∽AB DEAE CD∴=∴设AE x =,则25DE x =-,122512xx -∴=, 解得19x =,216x =AE DE <9,16AE DE ∴==, 20,15CE BE ∴==,由折叠得BP PG =,BP BF PG ∴==,//BE PG , ECF GCP ∴∆∆∽EF CEPG CG∴=设BP BF PG y ===,152025y y -∴=253y ∴=则253BP = 在Rt PBC ∆中,PC =,cos 10BC PCB PC ∠=== ③若9BP =,解法一:连接GF ,(如图3)90GEF BAE ∠=∠=, //,BF PG BF PG =∴四边形BPGF 是平行四边形BP BF =,∴平行四边形BPGF 是菱形//BP GF ∴, GFE ABE ∴∠=∠, GEF EAB ∴∆∆∽EF ABGF BE∴=129108BE EF AB GF ∴==⨯= 解法二:如图2,90FEC PBC ∠=∠=,EFC PFB BPF ∠=∠=∠, EFC BPC ∴∆∆∽EF CEBP CB∴=又90BEC A ∠=∠=, 由//AD BC 得AEB EBC ∠=∠,AEB EBC ∴∆∆∽AB CEBE CB∴=AE EFBE BP∴=129108BE EF AE BP ∴==⨯=解法三:(如图4)过点F 作FH BC ⊥,垂足为HBPF PFEGS BF BFS EF PG BE∆==+四边形图41212BFC BEC S BF EF BC EFBE S BC ∆∆⋅===⨯ 912EFBE ∴=129108BE EF ∴=⨯=(2018邵阳)(2018永州)(2018无锡)(2018包头)(2018赤峰)(2018昆明)(2018岳阳)(2018宿迁)(2018绵阳)(2018南充)(2018徐州)类型3 与动点有关的几何综合题(2018吉林)(2018黑龙江龙东)(2018黑龙江龙东)(2018广东)已知Rt△OAB,∠OAB=90o,∠ABO=30o,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60o,如图25-1图,连接BC.(1)填空:∠OBC=_______o;(2)如图25-1图,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度;(3)如图25-2图,点M、N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值?最大值为多少?(结果可保留根号)(2018衡阳)(2018黔东南)如图1,已知矩形AOCB,6cm s的AB cm=,动点P从点A出发,以3/=,16BC cm速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2/cm s的速度向点B运动,与点P同时结束运动.(1)点P 到达终点O 的运动时间是________s ,此时点Q 的运动距离是________cm ; (2)当运动时间为2s 时,P 、Q 两点的距离为________cm ; (3)请你计算出发多久时,点P 和点Q 之间的距离是10cm ;(4)如图2,以点O 为坐标原点,OC 所在直线为x 轴,OA 所在直线为y 轴,1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系,连结AC ,与PQ 相交于点D ,若双曲线ky x=过点D ,问k 的值是否会变化?若会变化,说明理由;若不会变化,请求出k 的值.(2018青岛)已知:如图,四边形ABCD ,//,AB DC CB AB ⊥,16,6,8AB cm BC cm CD cm ===,动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动,动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动,它们的运动速度均为2/cm s .点P 和点Q 同时出发,以QA QP 、为边作平行四边形AQPE ,设运动的时间为()t s ,05t <<.根据题意解答下列问题: (1)用含t 的代数式表示AP ;(2)设四边形CPQB 的面积为()2S cm ,求S 与t 的函数关系式; (3)当QP BD ⊥时,求t 的值;(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使点E 在ABD ∠的平分线上?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.(2018广州)如图12,在四边形ABCD 中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC. (1)求∠A+∠C 的度数(2)连接BD,探究AD,BD,CD 三者之间的数量关系,并说明理由。
湖南省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类②
湖南省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类②一.二次函数综合题(共6小题)1.(2023•岳阳)已知抛物线Q1:y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣3,0),B两点,交y轴于点C(0,3).(1)请求出抛物线Q1的表达式.(2)如图1,在y轴上有一点D(0,﹣1),点E在抛物线Q1上,点F为坐标平面内一点,是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形?若存在,请求出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,将抛物线Q1向右平移2个单位,得到抛物线Q2,抛物线Q2的顶点为K,与x轴正半轴交于点H,抛物线Q1上是否存在点P,使得∠CPK=∠CHK?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2.(2023•衡阳)如图,已知抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y 轴交于点C,连接AC,过B、C两点作直线.(1)求a的值.(2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度,交抛物线于B′、C′两点.在直线B ′C′上方的抛物线上是否存在定点D,无论m取何值时,都是点D到直线B′C′的距离最大.若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.(3)抛物线上是否存在点P,使∠PBC+∠ACO=45°,若存在,请求出直线BP的解析式;若不存在,请说明理由.3.(2023•怀化)如图一所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A (﹣4,0)、B(2,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标;(2)点P为第三象限内抛物线上一点,作直线AC,连接PA、PC,求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标;(3)设直线l1:y=kx+k﹣交抛物线于点M、N,求证:无论k为何值,平行于x轴的直线l2:y=﹣上总存在一点E,使得∠MEN为直角.4.(2023•湘西州)如图(1),二次函数y=ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A(﹣4,0),B (b,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣4).(1)求二次函数的解析式和b的值.(2)在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M,使?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图(2),作点A关于原点O的对称点E,连接CE,作以CE为直径的圆.点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点(点E′不与圆弧的端点E重合,但与圆弧的另一个端点可以重合),平移线段AE,使点E移动到点E′,线段AE的对应线段为A′E′,连接E′C,A′A,A′A的延长线交直线E′C于点N,求的值.5.(2023•邵阳)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c经过点A(﹣2,0)和点B(4,0),且与直线l:y=﹣x﹣1交于D、E两点(点D在点E的右侧),点M为直线l上的一动点,设点M的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式.(2)过点M作x轴的垂线,与抛物线交于点N.若0<t<4,求△NED面积的最大值.(3)抛物线与y轴交于点C,点R为平面直角坐标系上一点,若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形,请求出所有满足条件的点R的坐标.6.(2023•永州)如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)经过点F(0,5),顶点坐标为(2,9),点P(x1,y1)为抛物线上的动点,PH⊥x轴于H,且.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,直线OP:交BF于点G,求的最大值;(3)如图2,四边形OBMF为正方形,PA交y轴于点E,BC交FM的延长线于C,且BC⊥BE,PH=FC,求点P的横坐标.二.四边形综合题(共1小题)7.(2023•湘潭)问题情境:小红同学在学习了正方形的知识后,进一步进行以下探究活动:在正方形ABCD的边BC上任意取一点G,以BG为边长向外作正方形BEFG,将正方形BEFG绕点B顺时针旋转.特例感知:(1)当BG在BC上时,连接DF,AC相交于点P,小红发现点P恰为DF的中点,如图①.针对小红发现的结论,请给出证明;(2)小红继续连接EG,并延长与DF相交,发现交点恰好也是DF中点P,如图②.根据小红发现的结论,请判断△APE的形状,并说明理由;规律探究:(3)如图③,将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α,连接DF,点P是DF中点,连接AP,EP,AE,△APE的形状是否发生改变?请说明理由.三.圆的综合题(共1小题)8.(2023•永州)如图,以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆,延长BC到点D.使得∠BAC =∠BDA,点E在DA的延长线上,点M在线段AC上,CE交BM于N,CE交AB于G.(1)求证:ED是⊙O的切线;(2)若,BD=5,AC>CD,求BC的长;(3)若DE•AM=AC•AD,求证:BM⊥CE.四.几何变换综合题(共1小题)9.(2023•岳阳)如图1,在△ABC中,AB=AC,点M,N分别为边AB,BC的中点,连接MN.初步尝试:(1)MN与AC的数量关系是 ,MN与AC的位置关系是 .特例研讨:(2)如图2,若∠BAC=90°,BC=4,先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角),得到△BEF,当点A,E,F在同一直线上时,AE与BC相交于点D,连接CF.①求∠BCF的度数;②求CD的长.深入探究:(3)若∠BAC<90°,将△BMN绕点B顺时针旋转α,得到△BEF,连接AE,CF.当旋转角α满足0°<α<360°,点C,E,F在同一直线上时,利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系,并说明理由.湖南省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类②参考答案与试题解析一.二次函数综合题(共6小题)1.(2023•岳阳)已知抛物线Q1:y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣3,0),B两点,交y轴于点C(0,3).(1)请求出抛物线Q1的表达式.(2)如图1,在y轴上有一点D(0,﹣1),点E在抛物线Q1上,点F为坐标平面内一点,是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形?若存在,请求出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,将抛物线Q1向右平移2个单位,得到抛物线Q2,抛物线Q2的顶点为K,与x轴正半轴交于点H,抛物线Q1上是否存在点P,使得∠CPK=∠CHK?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3.(2)存在,E(﹣2,3),F(1,2).(3)点P的坐标为(1,0)或(﹣2,3).【解答】解:(1)∵抛物线Q1:y=﹣x2+bx+c经过A(﹣3,0),C(0,3)两点,∴,解得:,∴抛物线Q1的表达式为y=﹣x2﹣2x+3.(2)存在点E,F使得四边形DAEF为正方形.理由:如图1,过点E作EG⊥x轴于点G,则∠AGE=90°=∠AOD,∵A(﹣3,0),D(0,﹣1),∴OA=3,OD=1,∵四边形DAEF是正方形,∴AE=AD=DF,∠DAE=∠ADF=90°,∵∠EAG+∠DAO=90°,∠DAO+∠ADO=90°,∴∠EAG=∠ADO,∴△EAG≌△ADO(AAS),∴AG=OD=1,EG=OA=3,∴E(﹣2,3),当x=﹣2时,y=﹣x2﹣2x+3=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3,∴点E在抛物线上,过点F作FL⊥y轴于点L,同理,△DFL≌△ADO(AAS),∴FL=OD=1,DL=OA=3,∴OL=DL﹣OD=3﹣1=2,F(1,2).(3)抛物线Q1上存在点P,使得∠CPK=∠CHK.∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,∴抛物线Q1的顶点坐标为(﹣1,4),∵将抛物线Q1向右平移2个单位,得到抛物线Q2,∴抛物线Q2的解析式为y=﹣(x+1﹣2)2+4=﹣(x﹣1)2+4,∵抛物线Q2的顶点为K,与x轴正半轴交于点H,∴K(1,4),H(3,0),过点K作KT⊥y轴于点T,连接BC,如图2,过点C作PS⊥y轴交BK于点S,交抛物线Q1于点P,连接PK,则T(0,4),∴KT=TC=1,∠KTC=90°,∴△CKT是等腰直角三角形,∴∠KCT=45°,CK=KT=,∵OH=OC=3,∠COH=90°,∴△COH是等腰直角三角形,∴∠HCO=45°,CH=OC=3,∴∠KCH=180°﹣∠KCT﹣∠HCO=90°,∴tan∠CHK===,∵∠CPK=∠CHK,∴tan∠CPK=tan∠CHK=,∵tan∠BCO==,∴∠BCO=∠CHK,∵BK∥OC,∴∠CBK=∠BCO,∴∠CBK=∠CHK,即点P与点B重合时,∠CPK=∠CHK,∴P1(1,0);∵SK=1,PS=3,∴tan∠CPK==,∴∠CPK=∠CHK,∵点P与点C关于直线x=﹣1对称,∴P(﹣2,3);综上所述,抛物线Q1上存在点P,使得∠CPK=∠CHK,点P的坐标为(1,0)或(﹣2,3).2.(2023•衡阳)如图,已知抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y 轴交于点C,连接AC,过B、C两点作直线.(1)求a的值.(2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度,交抛物线于B′、C′两点.在直线B ′C′上方的抛物线上是否存在定点D,无论m取何值时,都是点D到直线B′C′的距离最大.若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.(3)抛物线上是否存在点P,使∠PBC+∠ACO=45°,若存在,请求出直线BP的解析式;若不存在,请说明理由.【答案】(1)a=﹣1.(2)存在,D(,).(3)抛物线上存在点P,使∠PBC+∠ACO=45°,直线BP的解析式为y=﹣x+1或y =﹣3x+9..【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴交于点A(﹣1,0),∴a+2a+3=0,∴a=﹣1.(2)存在定点D,无论m取何值时,都是点D到直线B′C′的距离最大.∵y=﹣x2+2x+3,当x=0时,y=3,∴C(0,3),当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得:x1=﹣1,x2=3,∴B(3,0),设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得:,∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,∵将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度,交抛物线于B′、C′两点,∴直线B′C′的解析式为y=﹣x+3﹣m,设D(t,﹣t2+2t+3),过点D作DE∥y轴,交B′C′于点E,作DF⊥B′C′于点F,设直线B′C′交y轴于点G,如图,∴E(t,﹣t+3﹣m),∴DE=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3﹣m)=﹣t2+3t+m,∵OB=OC=3,∠BOC=90°,∴∠BCO=∠CBO=45°,∵B′C′∥BC,∴∠B′GO=∠BCO=45°,∵DE∥y轴,∴∠DEF=∠B′GO=45°,∵∠DFE=90°,∴△DEF是等腰直角三角形,∴DF=DE=(﹣t2+3t+m)=﹣(t﹣)2+(+m),∵﹣<0,∴当t=时,DF取得最大值(+m),此时点D的坐标为(,).(3)存在.当∠PBC在BC的下方时,在y轴正半轴上取点M(0,1),连接BM交抛物线于点P,如图,∵A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),M(0,1),∴OB=OC=3,OM=OA=1,∠BOM=∠COA=90°,∴△BOM≌△COA(SAS),∴∠MBO=∠ACO,∵∠CBO=45°,∴∠CBP+∠MBO=45°,∴∠CBP+∠ACO=45°,设直线BM的解析式为y=k′x+b′,则,解得:,∴直线BM的解析式为y=﹣x+1,联立,得,解得:(舍去),,∴P(﹣,);当∠PBC在BC的上方时,作点M关于直线BC的对称点M′,如图,连接MM′,CM ′,直线BM′交抛物线于P,由对称得:MM′⊥BC,CM′=CM=2,∠BCM′=∠BCM=45°,∴∠MCM′=90°,∴M′(2,3),则直线BM′的解析式为y=﹣3x+9,联立,得:,解得:(舍去),,综上所述,抛物线上存在点P,使∠PBC+∠ACO=45°,直线BP的解析式为y=﹣x+1或y=﹣3x+9.3.(2023•怀化)如图一所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A (﹣4,0)、B(2,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标;(2)点P为第三象限内抛物线上一点,作直线AC,连接PA、PC,求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标;(3)设直线l1:y=kx+k﹣交抛物线于点M、N,求证:无论k为何值,平行于x轴的直线l2:y=﹣上总存在一点E,使得∠MEN为直角.【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=x2+2x﹣8,顶点坐标为(﹣1,﹣9);(2)S△PAC的最大值为8,点P(﹣2,﹣8);(3)证明见解答.【解答】(1)解:∵抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A(﹣4,0)、B(2,0)两点,∴,解得:,∴抛物线的函数表达式为y=x2+2x﹣8,∵y=x2+2x﹣8=(x+1)2﹣9,∴抛物线的顶点坐标为(﹣1,﹣9);(2)解:∵抛物线y=x2+2x﹣8与y轴交于点C,设直线AC的解析式为y=mx+n,则,解得:,∴直线AC的解析式为y=﹣2x﹣8,设P(t,t2+2t﹣8),过点P作PF∥y轴,交AC于点F,如图,则F(t,﹣2t﹣8),∴PF=﹣2t﹣8﹣(t2+2t﹣8)=﹣t2﹣4t,∴S△PAC=S△PAF+S△PCF=PF•(t+4)+PF•(﹣t)=2PF=2(﹣t2﹣4t)=﹣2(t+2)2+8,∵﹣2<0,∴当t=﹣2时,S△PAC的最大值为8,此时点P(﹣2,﹣8);(3)证明:∵直线l1:y=kx+k﹣交抛物线于点M、N,∴x2+2x﹣8=kx+k﹣,整理得:x2+(2﹣k)x+﹣k=0,∴x M+x N=k﹣2,x M x N=﹣k,∵y M=kx M+k﹣,y N=kx N+k﹣,∴y M﹣y N=k(x M﹣x N),∴MN2=(x M﹣x N)2+(y M﹣y N)2=(1+k2)(x M﹣x N)2=(1+k2)[(x M+x N)2﹣4x M x N]=(1+k2)[(k﹣2)2﹣4(﹣k)]=(1+k2)2,∵设MN的中点为O′,∴O′(,k2﹣),过点O′作O′E⊥直线l2:y=﹣,垂足为E,如图,∴E(,﹣),∴O′E=k2﹣﹣(﹣)=(1+k2),∴O′E=MN,∴以MN为直径的⊙O′一定经过点E,∴∠MEN=90°,∴在直线l2:y=﹣上总存在一点E,使得∠MEN为直角.4.(2023•湘西州)如图(1),二次函数y=ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A(﹣4,0),B (b,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣4).(1)求二次函数的解析式和b的值.(2)在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M,使?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图(2),作点A关于原点O的对称点E,连接CE,作以CE为直径的圆.点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点(点E′不与圆弧的端点E重合,但与圆弧的另一个端点可以重合),平移线段AE,使点E移动到点E′,线段AE的对应线段为A′E′,连接E′C,A′A,A′A的延长线交直线E′C于点N,求的值.【答案】(1)y=﹣x2﹣5x﹣4,b=﹣1;(2)不存在,理由见解析;(3)1.【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A(﹣4,0),B(b,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣4),∴,解得:,∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣5x﹣4,当y=0时,得:﹣x2﹣5x﹣4=0,解得:x1=﹣4,x2=﹣1,∴B(﹣1,0),∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣5x﹣4,b=﹣1;(2)不存在.理由如下:如图,设M(m,﹣m2﹣5m﹣4),∵A(﹣4,0),B(﹣1,0),C(0,﹣4),∴AB=﹣1﹣(﹣4)=3,OB=1,OC=4,∵点M在二次函数位于x轴上方的图象上,且,∴,整理得:m2+5m+8=0,∵Δ=52﹣4×8=﹣7<0,∴方程无实数根,∴不存在符合条件的点M;(3)如图,设CE′交x轴于点M,∵A(﹣4,0),C(0,﹣4),∴OA=OC=4,∵点E与点A关于原点O对称,∴OE=OA=OC=4,∵∠AOC=∠EOC=90°,∴∠OAC=∠OCA=45°=∠OCE=∠OEC,∴AC=EC,∵CE为圆的直径,∴∠CE′E=90°,∵平移线段AE,使点E移动到点E′,线段AE的对应线段为A′E′,①当点E′与点O不重合时,∴A′E′=AE,A′E′∥AE,∴四边形AEE′A′是平行四边形,∴A′A∥E′E,A′A=E′E,∴∠ANE′=∠CE′E=90°,∠MAN=∠MEE′,∴∠ANC=90°,在Rt△ANM和Rt△COM中,∵∠MAN=90°﹣∠AMN,∠MCO=90°﹣∠CMO,∴∠MAN=∠MCO,∵∠OAC=∠OCE=45°,∴∠CAN=∠ECE′,又∵∠ANC=∠CE′E=90°,在△ANC和△CE′E中,,∴△ANC≌△CE′E(AAS),∴CN=EE′,∴AA′=CN,∴,②当点E′与点O重合时,此时点N与点O重合,∴AA′=EE′=OE=4,CN=CO=4,∴,综上所述,的值为1.5.(2023•邵阳)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c经过点A(﹣2,0)和点B(4,0),且与直线l:y=﹣x﹣1交于D、E两点(点D在点E的右侧),点M为直线l上的一动点,设点M的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式.(2)过点M作x轴的垂线,与抛物线交于点N.若0<t<4,求△NED面积的最大值.(3)抛物线与y轴交于点C,点R为平面直角坐标系上一点,若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形,请求出所有满足条件的点R的坐标.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+x+4;(2)△NED面积的最大值是7;(3)R的坐标为(,)或(,)或(,)或(,)或(,).【解答】解:(1)把A(﹣2,0),B(4,0)代入y=ax2+x+c得:,解得:,∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4;(2)联立,解得或,∴D(2+,﹣3﹣),E(2﹣,﹣3+),∵点M为直线l上的一动点,横坐标为t,∴M(t,﹣t﹣1),∴N(t,﹣t2+t+4),∴MN=﹣t2+t+4﹣(﹣t﹣1)=﹣t2+2t+5,∴S△NED=MN•|x D﹣x E|=×(﹣t2+2t+5)×2=﹣(t﹣2)2+7,∵﹣<0,0<t<4,∴当t=2时,S△NED取最大值7,∴△NED面积的最大值是7;(3)在y=﹣x2+x+4中,令x=0得y=4,∴C(0,4),设M(t,﹣t﹣1),R(m,n),又B(4,0),①当BC,MR为对角线时,BC,MR的中点重合,且BM=CM,∴,解得,∴R(,);②当BM,CR为对角线时,BM,CR的中点重合,且BC=CM,∴,解得或,∴R(,)或(,);③当BR,CM为对角线时,BR,CM的中点重合,且BC=BM,∴,解得或,∴R(,)或(,);综上所述,R的坐标为(,)或(,)或(,)或(,)或(,).6.(2023•永州)如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)经过点F(0,5),顶点坐标为(2,9),点P(x1,y1)为抛物线上的动点,PH⊥x轴于H,且.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,直线OP:交BF于点G,求的最大值;(3)如图2,四边形OBMF为正方形,PA交y轴于点E,BC交FM的延长线于C,且BC⊥BE,PH=FC,求点P的横坐标.【答案】(1)抛物线的表达式为y=﹣x2+4x+5;(2)的最大值为;(3)点P的横坐标为.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)经过点F(0,5),顶点坐标为(2,9),∴,解得,∴抛物线的表达式为y=﹣x2+4x+5;(2)过点G作GT⊥x轴于点T,如图所示,在y=﹣x2+4x+5中,令y=0得0=﹣x2+4x+5,解得x=5或x=﹣1,∴A(﹣1,0),B(5,0),∵F(0,5),∴BO=FO=5,设直线BF的解析式为:y=kx+5,∴y=5k+5,解得k=﹣1,∴直线BF的解析式为y=﹣x+5,由G在直线BF上,设G(m,﹣m+5),∵G在直线OP上,直线OP为,∴﹣m+5=m,∴,∴,由P(x1,y1)在抛物线y=﹣x2+4x+5上,知P(x1,﹣+4x1+5),∴,∵S△BPG=S△BPO﹣S△BOG,∴==﹣1=﹣1=﹣1,∵==,∴=﹣1=﹣1=﹣1=﹣(x1﹣)2+,∵,,∴当时,取最大值,最大值为;(3)设MF交PH于T,如图:∵OBFM为正方形,F(0,5),∴FM=BM=OF=BO=5,∠MBO=90°,FC∥OB,∵PH⊥x,∠MBO=90°,FC∥OB,∴MTBH为矩形,∴TH=MB=FM=5,∵PH=FC,∴PT=MC,∵BC⊥BE,∴∠MBC+∠MBE=90°,∵∠MBO=90°,∴∠OBE+∠MBE=90°,∴∠OBE=∠MBC,∴∠CMB=∠EOB=90°,∴△EOB∽△CMB,∴,∵OB=MB,∴EO=MC,∵PH=FC,∴PT=MC,∴EO=MC=PT,设EO=MC=PT=a,∴PH=PT+TH=5+a,E(0,a),∵A(﹣1,0),设直线AP的解析式为y=kx+b,则,∴,∴直线AP的解析式为y=ax+a,∵PH=a+5,P在直线AP上,∴a+5=ax+a,∴,即P点横坐标为,∴x1=,y1=a+5,∴a=,y1=+5∴+5=﹣+4x1+5,∴﹣4+5=0,∴(x1+1)(﹣5x1+5)=0,解得x1=1或x1=或x1=,∵x1≥,∴x1=,∴点P的横坐标为.方法2:设P(m,﹣m2+4m+5),∴OH=m,PH=﹣m2+4m+5,∵=tan∠EAO=,∴=,∴EO=5﹣m,∵BC⊥BE,∴∠CBM=90°﹣∠MBE=∠EBO,∵∠CMB=90°=∠EOB,BM=OB,∴△CMB≌△EOB(ASA),∴CM=EO=5﹣m,∴CF=CM+FM=5﹣m+5=10﹣m,∵PH=CF,∴﹣m2+4m+5=10﹣m,解得m=或m=,∵m≥,∴m=,∴点P的横坐标为.二.四边形综合题(共1小题)7.(2023•湘潭)问题情境:小红同学在学习了正方形的知识后,进一步进行以下探究活动:在正方形ABCD的边BC上任意取一点G,以BG为边长向外作正方形BEFG,将正方形BEFG绕点B顺时针旋转.特例感知:(1)当BG在BC上时,连接DF,AC相交于点P,小红发现点P恰为DF的中点,如图①.针对小红发现的结论,请给出证明;(2)小红继续连接EG,并延长与DF相交,发现交点恰好也是DF中点P,如图②.根据小红发现的结论,请判断△APE的形状,并说明理由;规律探究:(3)如图③,将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α,连接DF,点P是DF中点,连接AP,EP,AE,△APE的形状是否发生改变?请说明理由.【答案】(1)证明过程详见解答;(2)△APE是等腰直角三角形;(3)△APE仍然是等腰直角三角形.【解答】解:(1)如图1,延长FG,交AC于H,∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形,∴BC=CD,FG=BG,CD∥AE,FG∥AE,∠CGH=∠BGF=90°,∴∠CHG=45°,CD∥FG,∴∠ACB=∠CHG,∠CDP=∠HFP,∠DCP=∠FHP,∴CG=GH,∴CG+BG=GH+FG,∴BC=FH,∴CD=FH,∴△CDP≌△HFP(ASA),∴点P是DF的中点;(2)如图2,△APE是等腰直角三角形,理由如下:延长EG,交AD的延长线于点M,设DF和EG交于点Q,∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形,∴∠BAD=90°,∠BEG=45°,AD=AB,BE=EF,AD∥BC∥EF,∠BAC=45°,∴∠M=45°,∠M=∠GEF,∠MDQ=∠EFQ,∴∠M=∠BEG,∴AM=AE,∴AM﹣AD=AE﹣AB,∴DM=BE,∴DM=EF,∴△DQM≌△FQE(ASA),∴DQ=FQ,∴点Q和点P重合,即:EG与DF的交点恰好也是DF中点P,∵∠BAC=45°,∠BEG=45°,∴∠APE=90°,AP=EP,∴△APE是等腰直角三角形;(3)如图3,△APE仍然是等腰直角三角形,理由如下:延长EP至Q,是PQ=PE,连接DQ,延长DA和FE,交于点N,∵DP=PF,∠DPQ=∠EPF,∴△PDQ≌△PFE(SAS),∴DQ=EF,∠PQD=∠PEF,∴∠N+∠ADQ=180°,∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形,∴∠BAN=∠DAB=90°,∠BEN=∠BEF=90°,AB=AD,BE=EF,∴∠N+∠ABE=360°﹣∠BAN﹣∠BEN=360°﹣90°﹣90°=180°,DQ=BE,∴∠ABE=∠ADQ,∴△ADQ≌△ABE(SAS),∴AE=AQ,∠DAQ=∠BAE,∴∠BAE+∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=∠BAD=90°,∴∠QAE=90°,∴AP⊥EQ,AP=PE=,∴△APE是等腰直角三角形.三.圆的综合题(共1小题)8.(2023•永州)如图,以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆,延长BC到点D.使得∠BAC =∠BDA,点E在DA的延长线上,点M在线段AC上,CE交BM于N,CE交AB于G.(1)求证:ED是⊙O的切线;(2)若,BD=5,AC>CD,求BC的长;(3)若DE•AM=AC•AD,求证:BM⊥CE.【答案】(1)证明见解答过程;(2)BC=3;(3)证明见解答过程.【解答】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,∵∠BAC=∠BDA,∴∠BDA+∠ABC=90°,∴∠BAD=90°,∴ED是⊙O的切线;(2)解:∵∠BAC=∠BDA,∠ACB=∠DCA=90°,∴△ACB∽△DCA,∴,∴,解得BC=2或BC=3,当BC=2时,CD=BD﹣BC=3,当BC=3时,CD=BD﹣BC=2,∵AC>CD,即>CD,∴BC=3;(3)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠DCA=90°,∵∠BAC=∠BDA,∴△ABC∽△DAC,∴,∴AC•AD=CD•AB,∵DE•AM=AC•AD,∴DE.AM=CD•AB,∴,∵∠BAM+∠CAD=∠CDE+∠CAD=90°,∴∠BAM=∠CDE,∴△AMB∽△DCE,∴∠E=∠ABM,∵∠EGA=∠BGN,∴∠EGA+∠E=∠ABM+∠BGN=90°,∴∠BNG=90°,∴BM⊥CE.四.几何变换综合题(共1小题)9.(2023•岳阳)如图1,在△ABC中,AB=AC,点M,N分别为边AB,BC的中点,连接MN.初步尝试:(1)MN与AC的数量关系是 MN=AC ,MN与AC的位置关系是 MN∥AC .特例研讨:(2)如图2,若∠BAC=90°,BC=4,先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角),得到△BEF,当点A,E,F在同一直线上时,AE与BC相交于点D,连接CF.①求∠BCF的度数;②求CD的长.深入探究:(3)若∠BAC<90°,将△BMN绕点B顺时针旋转α,得到△BEF,连接AE,CF.当旋转角α满足0°<α<360°,点C,E,F在同一直线上时,利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系,并说明理由.【答案】(1);MN∥AC;(2)①∠BCF=30°;②;(3)∠BAE=∠ABF或∠BAE+∠ABF=180°.【解答】解:(1)∵AB=AC,点M,N分别为边AB,BC的中点,∴MN是△ABC的中位线,∴,MN∥AC;故答案为:MN=AC,MN∥AC;(2)特例研讨:①如图所示,连接EM,MN,NF,∵MN是△BAC的中位线,∴MN∥AC,∴∠BMN=∠BAC=90°,∵将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角),得到△BEF,∴BE=BM,BF=BN;∠BEF=∠BMN=90°,∵点A,E,F在同一直线上,∴∠AEB=∠BEF=90°,在Rt△ABE中,M是斜边AB的中点,∴,∴BM=ME=BE,∴△BME是等边三角形,∴∠ABE=60°,即旋转角α=60°,∴∠NBF=60°,BN=BF,∴△BNF是等边三角形,又∵BN=NC,BN=NF,∴NF=NC,∴∠NCF=∠NFC,∴∠BNF=∠NCF+∠NFC=2∠NFC=60°,∴∠FCB=30°;(2)如图所示,连接AN,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴,∠ACB=∠ABC=45°,∵∠ADN=∠BDE,∠ANB=∠BED=90°,∴△ADN∽△BDE,∴,设DE=x,则,在Rt△ABE中,,则,在Rt△ADN中,AD2=DN2+AN2,∴,解得:或(舍去),∴;(3)如图所示,当点C,E,F在同一直线上时,且点E在FC上时,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,设∠ABC=∠ACB=θ,则∠BAC=180°﹣2θ,∵MN是△ABC的中位线,∴MN∥AC,∴∠MNB=∠MBN=θ,∵将△BMN绕点B顺时针旋转α,得到△BEF,∴△EBF≌△MBN,∠MBE=∠NBF=α,∴∠EBF=∠EFB=θ,∴∠BEF=180°﹣2θ,∵点C,E,F在同一直线上,∴∠BEC=2θ,∴∠BEC+∠BAC=180°,∴A,B,E,C在同一个圆上,∴∠EAC=∠EBC=α﹣θ,∴∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=(180°﹣2θ)﹣(α﹣θ)=180°﹣α﹣θ,∵∠ABF=α+θ,∴∠BAE+∠ABF=180°,如图所示,当F在EC上时,∵∠BEF=∠BAC,BC=BC,∴A,B,E,C在同一个圆上,设∠ABC=∠ACB=θ,则∠BAC=∠BEF=180°﹣2θ,将△BMN绕点B顺时针旋转α,得到△BEF,设∠NBF=β,则∠EBM=β,则α+β=360°,∴∠ABF=θ﹣β,∵∠BFE=∠EBF=θ,∠EFB=∠FBC+∠FCB,∴∠ECB=∠FCB=∠EFB﹣∠FBC=θ﹣β,∵,∴∠EAB=∠ECB=θ﹣β,∴∠BAE=∠ABF,综上所述,∠BAE=∠ABF或∠BAE+∠ABF=180°.。
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类一.一次函数的应用(共1小题)1.(2023•日照)要制作200个A,B两种规格的顶部无盖木盒,A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒,B种规格是长、宽、高各为20cm,20cm,10cm的长方体无盖木盒,如图1.现有200张规格为40cm×40cm的木板材,对该种木板材有甲、乙两种切割方式,如图2.切割、拼接等板材损耗忽略不计.(1)设制作A种木盒x个,则制作B种木盒 个;若使用甲种方式切割的木板材y张,则使用乙种方式切割的木板材 张;(2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒,请分别求出A,B 木盒的个数和使用甲,乙两种方式切割的木板材张数;(3)包括材质等成本在内,用甲种切割方式的木板材每张成本5元,用乙种切割方式的木板材每张成本8元.根据市场调研,A种木盒的销售单价定为a元,B种木盒的销售单价定为(20﹣a)元,两种木盒的销售单价均不能低于7元,不超过18元.在(2)的条件下,两种木盒的销售单价分别定为多少元时,这批木盒的销售利润最大,并求出最大利润.二.二次函数综合题(共5小题)2.(2023•淄博)如图,一条抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点,其中O为坐标原点,点A(3,﹣3),点B在第一象限内,对称轴是直线x=,且△OAB的面积为18.(1)求该抛物线对应的函数表达式;(2)求点B的坐标;(3)设C为线段AB的中点,P为直线OB上的一个动点,连接AP,CP,将△ACP沿CP翻折,点A的对应点为A1.问是否存在点P,使得以A1,P,C,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.3.(2023•东营)如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE 上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.4.(2023•枣庄)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),C(0,3)两点,并交x轴于另一点B,点M是抛物线的顶点,直线AM与y轴交于点D.(1)求该抛物线的表达式;(2)若点H是x轴上一动点,分别连接MH,DH,求MH+DH的最小值;(3)若点P是抛物线上一动点,问在对称轴上是否存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.5.(2023•日照)在平面直角坐标系xOy内,抛物线y=﹣ax2+5ax+2(a>0)交y轴于点C,过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D.(1)求点C,D的坐标;(2)当时,如图1,该抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点P 为直线AD上方抛物线上一点,将直线PD沿直线AD翻折,交x轴于点M(4,0),求点P的坐标;(3)坐标平面内有两点E(,a+1),F(5,a+1),以线段EF为边向上作正方形EFGH.①若a=1,求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标;②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点,且这两个交点到x轴的距离之差为时,求a的值.6.(2023•聊城)如图①,抛物线y=ax2+bx﹣9与x轴交于点A(﹣3,0),B(6,0),与y 轴交于点C,连接AC,BC.点P是x轴上任意一点.(1)求抛物线的表达式;(2)点Q在抛物线上,若以点A,C,P,Q为顶点,AC为一边的四边形为平行四边形时,求点Q的坐标;(3)如图②,当点P(m,0)从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A,B不重合),自点P分别作PE∥BC,交AC于点E,作PD⊥BC,垂足为点D.当m为何值时,△PED面积最大,并求出最大值.三.三角形综合题(共1小题)7.(2023•临沂)如图,∠A=90°,AB=AC,BD⊥AB,BC=AB+BD.(1)写出AB与BD的数量关系.(2)延长BC到E,使CE=BC,延长DC到F,使CF=DC,连接EF.求证:EF⊥AB.(3)在(2)的条件下,作∠ACE的平分线,交AF于点H,求证:AH=FH.四.四边形综合题(共2小题)8.(2023•淄博)在数学综合与实践活动课上,小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.(1)操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案,如图①.试判断:△ACF的形状为 .(2)深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下,将矩形CEFG绕点C旋转,若AB=2,AD=4.探究一:当点F恰好落在AD的延长线上时,设CG与DF相交于点M,如图②.求△CMF 的面积.探究二:连接AE,取AE的中点H,连接DH,如图③.求线段DH长度的最大值和最小值.9.(2023•东营)(1)用数学的眼光观察如图①,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是AB的中点,N是DC的中点.求证:∠PMN=∠PNM.(2)用数学的思维思考如图②,延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段BC交MN的延长线于点F.求证:∠AEM=∠F.(3)用数学的语言表达如图③,在△ABC中,AC<AB,点D在AC上,AD=BC,M是AB的中点,N是DC 的中点,连接MN并延长,与BC的延长线交于点G,连接GD.若∠ANM=60°,试判断△CGD的形状,并进行证明.五.圆的综合题(共3小题)10.(2023•枣庄)如图,AB为⊙O的直径,点C是的中点,过点C做射线BD的垂线,垂足为E.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)若BE=3,AB=4,求BC的长;(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积(用含有π的式子表示).11.(2023•日照)在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上,小霞小组通过探究得出:在平面内,一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论,解决以下问题:如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(60°<α<180°).点D是BC边上的一动点(点D不与B,C重合),将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE,连接BE.(1)求证:A,E,B,D四点共圆;(2)如图2,当AD=CD时,⊙O是四边形AEBD的外接圆,求证:AC是⊙O的切线;(3)已知α=120°,BC=6,点M是边BC的中点,此时⊙P是四边形AEBD的外接圆,直接写出圆心P与点M距离的最小值.12.(2023•济宁)如图,已知AB是⊙O的直径,CD=CB,BE切⊙O于点B,过点C作CF⊥OE交BE于点F,EF=2BF.(1)如图1,连接BD,求证:△ADB≌△OBE;(2)如图2,N是AD上一点,在AB上取一点M,使∠MCN=60°,连接MN.请问:三条线段MN,BM,DN有怎样的数量关系?并证明你的结论.六.相似三角形的判定与性质(共1小题)13.(2023•泰安)如图,△ABC和△CDE均是等腰直角三角形,∠BAC=∠DCE=90°,点E在线段AC上,BC,DE相交于点F,连接BE,BD,作EH⊥BD,垂足为点H,交BC与点G.(1)若点H是BD的中点,求∠BED的度数;(2)求证:△EFG∽△BFD;(3)求证:=.七.相似形综合题(共2小题)14.(2023•济南)在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E在边BC上,将射线AE绕点A逆时针旋转90°,交CD延长线于点G,以线段AE,AG为邻边作矩形AEFG.(1)如图1,连接BD,求∠BDC的度数和的值;(2)如图2,当点F在射线BD上时,求线段BE的长;(3)如图3,当EA=EC时,在平面内有一动点P,满足PE=EF,连接PA,PC,求PA+PC的最小值.15.(2023•菏泽)(1)如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE⊥DF,垂足为点G.求证:△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证:∠ADF=∠H.【类比迁移】(3)如图3,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,求CF的长.山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类参考答案与试题解析一.一次函数的应用(共1小题)1.(2023•日照)要制作200个A,B两种规格的顶部无盖木盒,A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒,B种规格是长、宽、高各为20cm,20cm,10cm的长方体无盖木盒,如图1.现有200张规格为40cm×40cm的木板材,对该种木板材有甲、乙两种切割方式,如图2.切割、拼接等板材损耗忽略不计.(1)设制作A种木盒x个,则制作B种木盒 (200﹣x) 个;若使用甲种方式切割的木板材y张,则使用乙种方式切割的木板材 (200﹣y) 张;(2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒,请分别求出A,B 木盒的个数和使用甲,乙两种方式切割的木板材张数;(3)包括材质等成本在内,用甲种切割方式的木板材每张成本5元,用乙种切割方式的木板材每张成本8元.根据市场调研,A种木盒的销售单价定为a元,B种木盒的销售单价定为(20﹣a)元,两种木盒的销售单价均不能低于7元,不超过18元.在(2)的条件下,两种木盒的销售单价分别定为多少元时,这批木盒的销售利润最大,并求出最大利润.【答案】(1)(200﹣x),(200﹣y);(2)制作A种木盒100个,B种木盒100个;使用甲种方式切割的木板150张,使用乙种方式切割的木板50张;(3)A种木盒的销售单价定为18元,B种木盒的销售单价定为11元时,这批木盒的销售利润最大,最大利润为1750元.【解答】解:(1)∵要制作200个A,B两种规格的顶部无盖木盒,制作A种木盒x个,故制作B种木盒(200﹣x)个;∵有200张规格为40cm×40cm的木板材,使用甲种方式切割的木板材y张,故使用乙种方式切割的木板材(200﹣y)张;故答案为:(200﹣x),(200﹣y);(2)使用甲种方式切割的木板材y张,则可切割出4y个长、宽均为20cm的木板,使用乙种方式切割的木板材(200﹣y)张,则可切割出8(200﹣y)个长为10cm、宽为20cm 的木板;设制作A种木盒x个,则需要长、宽均为20cm的木板5x个,制作B种木盒(200﹣x)个,则需要长、宽均为20cm的木板(200﹣x)个,需要长为10cm、宽为20cm的木板4(200﹣x)个;故,解得:,故制作A种木盒100个,制作B种木盒100个,使用甲种方式切割的木板150张,使用乙种方式切割的木板材50张;(3)∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元,用乙种切割方式的木板材每张成本8元,且使用甲种方式切割的木板150张,使用乙种方式切割的木板材50张,故总成本为150×5+8×50=1150(元);∵两种木盒的销售单价均不能低于7元,不超过18元,∴,解得:7≤a≤18,设利润为w元,则w=100a+100(20﹣a)﹣1150,整理得:w=850+50a,∵50>0,∴w随a的增大而增大,故当a=18时,有最大值,最大值为850+50×18=1750(元),则此时B种木盒的销售单价定为20﹣×18=11(元),即A种木盒的销售单价定为18元,B种木盒的销售单价定为11元时,这批木盒的销售利润最大,最大利润为1750元.二.二次函数综合题(共5小题)2.(2023•淄博)如图,一条抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点,其中O为坐标原点,点A(3,﹣3),点B在第一象限内,对称轴是直线x=,且△OAB的面积为18.(1)求该抛物线对应的函数表达式;(2)求点B的坐标;(3)设C为线段AB的中点,P为直线OB上的一个动点,连接AP,CP,将△ACP沿CP 翻折,点A的对应点为A1.问是否存在点P,使得以A1,P,C,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=x2﹣3x;(2)(6,6);(3)存在,P点坐标为(,)或(﹣,﹣)或(+6,+6)或(﹣+6,﹣+6).【解答】解:(1)∵对称轴为直线x=,∴﹣=,∴b=﹣a①,将点A(3,﹣3)代入y=ax2+bx,∴9a+3b=﹣3②,联立①②可得,a=,b=﹣3,∴函数的解析式为y=x2﹣3x;(2)设B(m,m2﹣3m),如图1,过A点作EF⊥y轴交于E点,过B点作BF⊥EF交于F点,∴△OAB的面积=•m(m2﹣3m+3+3)﹣3×3﹣(m﹣3)(m2﹣3m+3)=18,解得m=6或m=﹣3(舍),∴B(6,6);(3)存在点P,使得以A1,P,C,B为顶点的四边形是平行四边形,理由如下:∵A(3,﹣3),B(6,6),∴C(,),设直线OB的解析式为y=kx,∴6k=6,解得k=1,∴直线OB的解析式为y=x,设P(t,t),如图2,当BP为平行四边形的对角线时,BC∥A1P,BC=A1P,∵AC=BC,∴AC=A1P,由对称性可知AC=A1C,AP=A1P,∴AP=AC,∴=,解得t=,∴P点坐标为(,)或(﹣,﹣);如图3,当BC为平行四边形的对角线时,BP∥A1C,BP=A1C,由对称性可知,AC=A1C,∴BP=AC,∴=,解得t=+6或t=﹣+6,∴P(+6,+6)或(﹣+6,﹣+6);综上所述:P点坐标为(,)或(﹣,﹣)或(+6,+6)或(﹣+6,﹣+6).3.(2023•东营)如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE 上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.【答案】(1)y=x2﹣x;(2)当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为;(3)抛物线向右平移的距离是4个单位.【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=ax(x﹣10),∵当t=2时,BC=4,∴点C的坐标为(2,﹣4),∴将点C坐标代入解析式得2a(2﹣10)=﹣4,解得:a=,∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣x;(2)由抛物线的对称性得AE=OB=t,∴AB=10﹣2t,当x=t时,点C的纵坐标为t2﹣t,∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2[(10﹣2t)+(﹣t2+t)]=﹣t2+t+20=﹣(t﹣1)2+,∵﹣<0,∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为;(3)如图,连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接PQ,∵t=2,∴B(2,0),∴A(8,0),∵BC=4.∴C(2,﹣4),∵直线GH平分矩形ABCD的面积,∴直线GH过点P,由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,∴PQ=CH,∵四边形ABCD是矩形,∴点P是AC的中点,∴P(5,﹣2),∴PQ=OA,∵OA=8,CH=PQ=OA=4,∴抛物线向右平移的距离是4个单位4.(2023•枣庄)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),C(0,3)两点,并交x轴于另一点B,点M是抛物线的顶点,直线AM与y轴交于点D.(1)求该抛物线的表达式;(2)若点H是x轴上一动点,分别连接MH,DH,求MH+DH的最小值;(3)若点P是抛物线上一动点,问在对称轴上是否存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)MH+DH的最小值为;(3)对称轴上存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,点Q的坐标为(1,3)或(1,1)或(1,5).【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),C(0,3)两点,∴,解得:,∴该抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3;(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点M(1,4),设直线AM的解析式为y=kx+d,则,解得:,∴直线AM的解析式为y=2x+2,当x=0时,y=2,∴D(0,2),作点D关于x轴的对称点D′(0,﹣2),连接D′M,D′H,如图,则DH=D′H,∴MH+DH=MH+D′H≥D′M,即MH+DH的最小值为D′M,∵D′M==,∴MH+DH的最小值为;(3)对称轴上存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形.由(2)得:D(0,2),M(1,4),∵点P是抛物线上一动点,∴设P(m,﹣m2+2m+3),∵抛物线y=﹣x2+2x+3的对称轴为直线x=1,∴设Q(1,n),当DM、PQ为对角线时,DM、PQ的中点重合,∴,解得:,∴Q(1,3);当DP、MQ为对角线时,DP、MQ的中点重合,∴,解得:,∴Q(1,1);当DQ、PM为对角线时,DQ、PM的中点重合,∴,解得:,∴Q(1,5);综上所述,对称轴上存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,点Q的坐标为(1,3)或(1,1)或(1,5).5.(2023•日照)在平面直角坐标系xOy内,抛物线y=﹣ax2+5ax+2(a>0)交y轴于点C,过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D.(1)求点C,D的坐标;(2)当时,如图1,该抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点P 为直线AD上方抛物线上一点,将直线PD沿直线AD翻折,交x轴于点M(4,0),求点P的坐标;(3)坐标平面内有两点E(,a+1),F(5,a+1),以线段EF为边向上作正方形EFGH.①若a=1,求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标;②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点,且这两个交点到x轴的距离之差为时,求a的值.【答案】(1)C(0,2),D(5,2);(2);(3)①(1,6),(4,6),(5,2);②a=0.5.【解答】解:(1)在y=﹣ax2+5ax+2(a>0)中,当x=0时,y=2,∴C(0,2),∵抛物线解析式为y=﹣ax2+5ax+2(a>0),∴抛物线对称轴为直线,∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D,∴C、D关于抛物线对称轴对称,∴D(5,2);(2)当时,抛物线解析式为,当y=0时,,解得x=﹣1或x=6,∴A(﹣1,0),如图,设DP上与点M关于直线AD对称的点为N(m,n),由轴对称的性质可得:AN=AM,DN=DM,,∴3m+n=12,∴n=12﹣3m∴m2+2m+1+144﹣72m+9m2=25,∴m2﹣7m+12=0,解得m=3或m=4(舍去),∴n=12﹣3m=3,∴N(3,3),设直线DP的解析式为y=kx+b1,∴,解得,∴直线DP的解析式为,联立,解得或,∴P(,);(3)①当a=1时,抛物线解析式为y=﹣x2+5x+2,E(1,2),F(5,2),∴EH=EF=FG=4,∴H(1,6),G(5,6),当x=1时,y=﹣12+5×1+2=6,∴抛物线y=﹣x2+5x+2 恰好经过H(1,6);∵抛物线对称轴为直线,由对称性可知抛物线经过(4,6),∴点(4,6)为抛物线与正方形的一个交点,又∵点F与点D重合,∴抛物线也经过点F(5,2);综上所述,正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标为(1,6),(4,6),(5,2);②如图,当抛物线与GH、GF分别交于T、D时,∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点,且这两个交点到x轴的距离之差为,∴点T的纵坐标为2+2.5=4.5,∴,∴a2+1.5a﹣1=0,解得a=﹣2(舍去)或a=0.5;如图,当抛物线与GH、EF分别交于T、S,∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点,且这两个交点到x轴的距离之差为,∴,解得a=0.4(舍去,因为此时点F在点D下方)如图,当抛物线与EH、EF分别交于T、S,∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点,且这两个交点到x轴的距离之差为,∴﹣a()2+5a•+2=a+1+2.5,解得或(舍去);当时,y=﹣ax2+5ax+2=6.25a+2,当时,6.25a+2>6+a﹣,∴不符合题意;综上所述,a=0.5.6.(2023•聊城)如图①,抛物线y=ax2+bx﹣9与x轴交于点A(﹣3,0),B(6,0),与y 轴交于点C,连接AC,BC.点P是x轴上任意一点.(1)求抛物线的表达式;(2)点Q在抛物线上,若以点A,C,P,Q为顶点,AC为一边的四边形为平行四边形时,求点Q的坐标;(3)如图②,当点P(m,0)从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A,B不重合),自点P分别作PE∥BC,交AC于点E,作PD⊥BC,垂足为点D.当m为何值时,△PED面积最大,并求出最大值.【答案】(1)y=;(2)Q(3,﹣9)或(,9)或(,9);(3)当m=时,△PDE的面积最大值为:.【解答】解:(1)设抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣6),∴﹣9=a•3×(﹣6),∴a=,∴y=(x+3)(x﹣6)=;(2)如图1,抛物线的对称轴为:直线x==,由对称性可得Q1(3,﹣9),当y=9时,=9,∴x=,∴Q2(,9),Q3(,9),综上所述:Q(3,﹣9)或(,9)或(,9);(3)设△PED的面积为S,由题意得:AP=m+3,BP=6﹣m,OB=6,OC=9,AB=9.∴BC==3,∵sin∠PBD=,∴,∴PD=,∵PE∥BC,∴△APE∽△ABC,∠EPD=∠PDB=90°,∴,∴,∴PE=,∴S=PE•PD=(m+3)(6﹣m)=﹣,∴当m=时,S最大=,∴当m=时,△PDE的面积最大值为:.三.三角形综合题(共1小题)7.(2023•临沂)如图,∠A=90°,AB=AC,BD⊥AB,BC=AB+BD.(1)写出AB与BD的数量关系.(2)延长BC到E,使CE=BC,延长DC到F,使CF=DC,连接EF.求证:EF⊥AB.(3)在(2)的条件下,作∠ACE的平分线,交AF于点H,求证:AH=FH.【答案】(1)结论:AB=(+1)BD.理由见解析部分;(2)(3)证明见解析部分.【解答】(1)解:结论:AB=(+1)BD.理由:在BC上取一点T,使得BT=BD,连接DT,AT.设AB=AC=a,则BC=a.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°,∵BD⊥AB,∴∠ABD=90°,∴∠DBT=45°,∵BD=BT,∴∠BDT=∠BTD=67.5°,∵BC=AB+BD=AC+BD=BT+AC,∴CT=CA=a,∴BD=BT=BC﹣CT=a﹣a,∴==+1,∴AB=(+1)BD;(2)证明:如图2中,在△BCD和△ECF中,,∴△BCD≌△ECF(SAS),∴∠CBD=∠E=45°,BD=EF,∴BD∥EF,∵BD⊥AB,∴EF⊥AB;(3)证明:延长CH交EF的延长线于点J.∵∠ACE=180°﹣∠ACB=135°,CH平分∠ACE,∴∠ACH=∠ECH=67.5°,∵∠ACB=∠E=45°,∴AC∥EJ,∴∠J=∠ACH=∠ECJ=67.5°,∴CE=EJ=CB,∵BC=BD+AB,EJ=EF+FJ,∴FJ=AB=AC,∵∠AHC=∠FHJ,∠ACH=∠J,∴△ACH≌△FJH(AAS),∴AH=FH.四.四边形综合题(共2小题)8.(2023•淄博)在数学综合与实践活动课上,小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.(1)操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案,如图①.试判断:△ACF的形状为 等腰直角三角形 .(2)深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下,将矩形CEFG绕点C旋转,若AB=2,AD=4.探究一:当点F恰好落在AD的延长线上时,设CG与DF相交于点M,如图②.求△CMF 的面积.探究二:连接AE,取AE的中点H,连接DH,如图③.求线段DH长度的最大值和最小值.【答案】(1)等腰直角三角形;(2)探究一:;探究二:DH的最大值为+1,最小值为﹣1.【解答】解:(1)在Rt△ABC中,AC=,在Rt△CFG中,CF=,∵AB=GF,BC=CG,∴AC=CF,∴△ACF是等腰三角形,∵AB=GF,∠FGC=∠ABC=90°.BC=CG,∴△ABC≌△FGC(SAS),∴∠ACG=∠GFC,∵∠GCF+∠GFC=90°,∴∠ACG+∠GCF=90°,∴∠ACF=90°,∴△ACF是等腰直角三角形,故答案为:等腰直角三角形;(2)探究一:∵CD=GF,∠FMG=∠DMC,∠G=∠CDF=90°,∴△CDM≌△FGM(AAS),∴CM=MF,∵AC=CF,CD⊥AF,∴AD=DF,∵AB=CD=2,AD=DF=4,∴DM=4﹣CM,在Rt△CDM中,CM2=CD2+DM2,∴CM2=22+(4﹣CM)2,解得CM=,∴MF=,∴△CMF的面积=2×=;探究二:连接DE,取DE的中点P,连接HP,取AD、BC的中点为M、N,连接MN,MH,NH,∵H是AE的中点,∴MH∥DE,且MH=DE,∵CD=CE,∴CP⊥DE,DP=PE,∵MH∥DP,且MH=DP,∴四边形MHPD是平行四边形,∴MD=HP,MD∥HP,∵AD∥BC,MD=CN,∴HP∥CN,HP=CN,∴四边形HNCP是平行四边形,∴NH∥CP,∴∠MHN=90°,∴H点在以MN为直径的圆上,设MN的中点为T,∴DT==,∴DH的最大值为+1,最小值为﹣1.方法二:设AC的中点为T,连接HT,∵HT是△ACE的中位线,∴HT=CE=1,∴H在以T为圆心,1为半径的圆上,∵DT==,∴DH的最大值为+1,最小值为﹣1.9.(2023•东营)(1)用数学的眼光观察如图①,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是AB的中点,N是DC的中点.求证:∠PMN=∠PNM.(2)用数学的思维思考如图②,延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段BC交MN的延长线于点F.求证:∠AEM=∠F.(3)用数学的语言表达如图③,在△ABC中,AC<AB,点D在AC上,AD=BC,M是AB的中点,N是DC 的中点,连接MN并延长,与BC的延长线交于点G,连接GD.若∠ANM=60°,试判断△CGD的形状,并进行证明.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)直角三角形,理由见解析.【解答】(1)证明:∵P是BD的中点,N是DC的中点,∴PN是△BCD的中位线,PM是△ABD的中位线,∴PN=BC,PM=AD,∵AD=BC,∴PM=PN,∴∠PMN=∠PNM;(2)证明:由(1)知,PN是△BDC的中位线,PM是△ABD的中位线,∴PN∥BC,PM∥AD,∴∠PNM=∠F,∠PMN=∠AEM,∵∠PNM=∠PMN,∴∠AEM=∠F;(3)解:△CGD是直角三角形,理由如下:如图③,取BD的中点P,连接PM、PN,∵N是CD的中点,M是AB的中点,∴PN是△BCD的中位线,PM是△ABD的中位线,∴PN ∥BC ,PN =BC ,PM ∥AD ,PM =AD ,∵AD =BC∴PM =PN ,∴∠PNM =∠PMN ,∵PM ∥AD ,∴∠PMN =∠ANM =60°,∴∠PNM =∠PMN =60°,∵PN ∥BC ,∴∠CGN =∠PNM =60°,又∵∠CNG =∠ANM =60°,∴△CGN 是等边三角形.∴CN =GN ,又∵CN =DN ,∴DN =GN ,∴∠NDG =∠NGD =CNG =30°,∴∠CGD =∠CGN +∠NGD =90°,∴△CGD 是直角三角形.五.圆的综合题(共3小题)10.(2023•枣庄)如图,AB 为⊙O 的直径,点C 是的中点,过点C 做射线BD 的垂线,垂足为E .(1)求证:CE 是⊙O 的切线;(2)若BE =3,AB =4,求BC 的长;(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积(用含有π的式子表示).【答案】(1)证明见解答.(2)BC的长为2.(3)阴影部分的面积为.【解答】(1)证明:如图,连接OC,∵点C是的中点,∴,∴∠ABC=∠EBC,∵OB=OC,∴∠ABC=∠OCB,∴∠EBC=∠OCB,∴OC∥BE,∵BE⊥CE,∴半径OC⊥CE,∴CE是⊙O的切线.(2)解:如图,连接AC,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠CEB=90°,∵∠ABC=∠EBC,∴△ACB∽△CEB,∴,∴,∴.答:BC的长为2.(3)解:如图,连接OD、CD,∵AB=4,∴OC=OB=2,在Rt△BCE中,,∴,∴∠CBE=30°,∴∠COD=60°,∴∠AOC=60°,∵OC=OD,∴△COD是等边三角形,∴∠CDO=60°,∴∠CDO=∠AOC,∴CD∥AB,∴S△COD=S△CBD,∴.答:阴影部分的面积为.11.(2023•日照)在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上,小霞小组通过探究得出:在平面内,一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论,解决以下问题:如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(60°<α<180°).点D是BC边上的一动点(点D不与B,C重合),将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE,连接BE.(1)求证:A,E,B,D四点共圆;(2)如图2,当AD=CD时,⊙O是四边形AEBD的外接圆,求证:AC是⊙O的切线;(3)已知α=120°,BC=6,点M是边BC的中点,此时⊙P是四边形AEBD的外接圆,直接写出圆心P与点M距离的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析,(3).【解答】(1)证明:由旋转的性质可得AE=AD,∠DAE=α,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAE﹣∠BAD,即∠BAE=∠CAD,又∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD(SAS),∴∠AEB=∠ADC,∵∠ADC+∠ADB=180°,∴∠AEB+∠ADB=180°,∴A、B、D、E四点共圆;(2)证明:如图所示,连接OA,OD,∵AB=AC,AD=CD,∴∠ABC=∠ACB=∠DAC,∵⊙O是四边形AEBD的外接圆,∴∠AOD=2∠ABC,∴∠AOD=2∠ABC=2∠DAC,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°,∴2∠DAC+2∠OAD=180°,∴∠DAC+∠OAD=90°,即∠OAC=90°,∴OA⊥AC,又∵OA是⊙O的半径,∴AC是⊙O的切线;(3)解:如图所示,作线段AB的垂直平分线,分别交AB、BC于G、F,连接AM,PM,如图:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=∠ACB=30°,∵点M是边BC的中点,∴,AM⊥BC,∴,,在Rt△BGF中,,∴FM=BM﹣BF=3﹣2=1,∵⊙P是四边形AEBD的外接圆,∴点P一定在AB的垂直平分线上,∴点P在直线GF上,∴当MP⊥GF时,PM有最小值,∴∠PFM=∠BFG=90°﹣∠ABC=60°,在Rt△MPF中,PM=MF•sin∠PFM=1×sin60°=,∴圆心P与点M距离的最小值为.12.(2023•济宁)如图,已知AB是⊙O的直径,CD=CB,BE切⊙O于点B,过点C作CF ⊥OE交BE于点F,EF=2BF.(1)如图1,连接BD,求证:△ADB≌△OBE;(2)如图2,N是AD上一点,在AB上取一点M,使∠MCN=60°,连接MN.请问:三条线段MN,BM,DN有怎样的数量关系?并证明你的结论.【答案】(1)证明过程见解答;(2)MN=BM+DN,理由见解答.【解答】(1)证明:∵CF⊥OE,OC是半径,∴CF是圆O的切线,∵BE是圆O的切线,∴BF=CF,∵EF=2BF,∴EF=2CF,sin E==,∴∠E=30°,∠EOB=60°,∵CD=CB,∴=,∴OC⊥BD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°=∠EBO,∵∠E+∠EBD=90°,∠ABD+∠EBD=90°,∴∠E=∠ABD=30°,∴AD=BO=AB,∴△ABD≌△OEB(AAS);(2)解:MN=BM+DN,理由如下:延长ND至H使得DH=BM,连接CH,BD,如图2所示,∵∠CBM+∠NDC=180°,∠HDC+∠NDC=180°,∴∠HDC=∠MBC,∵CD=CB,DH=BM,∴△HDC≌△MBC(SAS),∴∠BCM=∠DCH,CM=CH,由(1)可得∠ABD=30°,∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠DCB=180°﹣∠A=120°,∵∠MCN=60°,∴∠BCM+∠NCD=120°﹣∠NCM=120°﹣60°=60°,∴∠DCH+∠NCD=∠NCH=60°,∴∠NCH=∠NCM,∵NC=NC,∴△CNH≌△CNM(SAS),∴NH=MN,∴MN=DN+DH=DN+BM,∴MN=BM+DN.六.相似三角形的判定与性质(共1小题)13.(2023•泰安)如图,△ABC和△CDE均是等腰直角三角形,∠BAC=∠DCE=90°,点E在线段AC上,BC,DE相交于点F,连接BE,BD,作EH⊥BD,垂足为点H,交BC与点G.(1)若点H是BD的中点,求∠BED的度数;(2)求证:△EFG∽△BFD;(3)求证:=.【答案】(1)60°;(2)证明过程详见解答;(3)证明过程详见解答.【解答】(1)解:∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形,∴∠ACB=∠ABC=45°,∠CED=∠CDE=45°,∴∠CFE=180°﹣∠ACB﹣∠CED=90°,∴EF=DF=DE,∵BH=DH,EH⊥BD,∴BE=DE,∴EF=BE,∴cos∠BED=,∴∠BED=60°;(2)证明:由(1)得:∠CFE=90°,∴CF⊥DE,∴∠BFD=∠EFG=∠BHE=90°,∵∠BGH=∠EGF,∴∠DBF=∠FEG,∴△EFG∽△BFD;(3)证明:如图,作BQ∥AC,交EH的延长线于点Q,∴△BGQ∽△CGE,∴,∠Q=∠CEH,∠QBE=∠AEB,∴,设∠DBF=DEH=α,由(1)知:BC是DE的垂直平分线,∴BE=BD,∴∠EBF=∠DBF=α,∴∠AEB=∠ACB+∠EBF=45°+α,∠CEH=∠CED+∠FEG=45°+α,∴∠AEB=∠CEH,∴∠Q=∠QBE,∴BE=EQ,∴=.七.相似形综合题(共2小题)14.(2023•济南)在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E在边BC上,将射线AE绕点A逆时针旋转90°,交CD延长线于点G,以线段AE,AG为邻边作矩形AEFG.(1)如图1,连接BD,求∠BDC的度数和的值;(2)如图2,当点F在射线BD上时,求线段BE的长;(3)如图3,当EA=EC时,在平面内有一动点P,满足PE=EF,连接PA,PC,求PA+PC 的最小值.【答案】(1)∠BDC=60°,;(2);(3)4.【解答】解:(1)∵矩形ABCD中,AB=2,,∴∠C=90°,CD=AB=2,,∴,∴∠BDC=60°,∵∠ABE=∠BAD=∠EAG=∠ADG=90°,∴∠EAG﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD,即∠DAG=∠BAE,∴△ADG∽△ABE,∴;(2)如图2,过点F作FM⊥CG于点M,∵∠ABE=∠AGF=∠ADG=90°,AE=GF,∴∠BAE=∠DAG=∠CGF,∠ABE=∠GMF=90°,∴△ABE≌△GMF(AAS),∴BE=MF,AB=GM=2,∴∠MDF=∠BDC=60°,FM⊥CG,∴,∴,设DM=x,则,∴DG=GM+MD=2+x,由(1)可知:,∴,解得x=1,∴;(3)如图3,连接AC,将△AEP绕点E顺时针旋转120°,EA与EC重合,得到△CEP',连接PP',矩形ABCD中,AD=BC=,AB=2,∴tan∠ACB==,∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=4,∵EA=EC,∴∠EAC=∠ACE=30°,∠AEC=120°,∴∠ACG=∠GAC=90°﹣30°=60°,∴△AGC是等边三角形,AG=AC=4,∴PE=EF=AG=4,∵将△AEP绕点E顺时针旋转120°,EA与EC重合,得到△CEP',∴PA=P'C,∠PEP'=120°,EP=EP'=4,∴,∴当点P,C,P′三点共线时,PA+PC的值最小,此时为.15.(2023•菏泽)(1)如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE⊥DF,垂足为点G.求证:△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证:∠ADF=∠H.【类比迁移】(3)如图3,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,求CF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)3.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠ADE=90°,∴∠CDF+∠DFC=90°,∵AE⊥DF,∴∠DGE=90°,∴∠CDF+∠AED=90°,∴∠AED=∠DFC,∴△ADE∽△DCF;(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,AD∥BC,∠ADE=∠DCF=90°,∵AE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL),∴DE=CF,∵CH=DE,∴CF=CH,∵点H在BC的延长线上,∴∠DCH=∠DCF=90°,又∵DC=DC,∴△DCF≌△DCH(SAS),∴∠DFC=∠H,∵AD∥BC,∴∠ADF=∠DFC,∴∠ADF=∠H;(3)解:如图3,延长BC至点G,使CG=DE=8,连接DG,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=DC,AD∥BC,∴∠ADE=∠DCG,∴△ADE≌△DCG(SAS),∴∠DGC=∠AED=60°,AE=DG,∵AE=DF,∴DG=DF,∴△DFG是等边三角形,∴FG=DF=11,∵CF+CG=FG,∴CF=FG﹣CG=11﹣8=3,即CF的长为3.。
山东省济南市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类(含答案)
山东省济南市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类一.分式方程的应用(共2小题)1.(2023•济南)某校开设智能机器人编程的校本课程,购买了A,B两种型号的机器人模型.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元,用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同.(1)求A型,B型机器人模型的单价分别是多少元?(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台,购买B型机器人模型不超过A 型机器人模型的3倍,且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?2.(2021•济南)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元,购进乙种粽子的金额是800元,购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个,甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍.(1)求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元?(2)为满足消费者需求,该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个,若总金额不超过1150元,问最多购进多少个甲种粽子?二.反比例函数综合题(共2小题)3.(2021•济南)如图,直线y=与双曲线y=(k≠0)交于A,B两点,点A的坐标为(m,﹣3),点C是双曲线第一象限分支上的一点,连接BC并延长交x轴于点D,且BC=2CD.(1)求k的值并直接写出点B的坐标;(2)点G是y轴上的动点,连接GB,GC,求GB+GC的最小值;(3)P是坐标轴上的点,Q是平面内一点,是否存在点P,Q,使得四边形ABPQ是矩形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.4.(2022•济南)如图,一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(a,3),与y轴交于点B.(1)求a,k的值;(2)直线CD过点A,与反比例函数图象交于点C,与x轴交于点D,AC=AD,连接CB.①求△ABC的面积;②点P在反比例函数的图象上,点Q在x轴上,若以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有符合条件的点P坐标.三.二次函数图象与系数的关系(共1小题)5.(2023•济南)在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点A,B在x轴上,C(2,3),D(﹣1,3).抛物线y=ax2﹣2ax+c(a<0)与x轴交于点E(﹣2,0)和点F.(1)如图1,若抛物线过点C,求抛物线的表达式和点F的坐标;(2)如图2,在(1)的条件下,连接CF,作直线CE,平移线段CF,使点C的对应点P落在直线CE上,点F的对应点Q落在抛物线上,求点Q的坐标;(3)若抛物线y=ax2﹣2ax+c(a<0)与正方形ABCD恰有两个交点,求a的取值范围.四.二次函数综合题(共2小题)6.(2022•钢城区)抛物线y=ax2+x﹣6与x轴交于A(t,0),B(8,0)两点,与y轴交于点C,直线y=kx﹣6经过点B.点P在抛物线上,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式和t,k的值;(2)如图1,连接AC,AP,PC,若△APC是以CP为斜边的直角三角形,求点P的坐标;(3)如图2,若点P在直线BC上方的抛物线上,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,求CQ+ PQ的最大值.7.(2021•济南)抛物线y=ax2+bx+3过点A(﹣1,0),点B(3,0),顶点为C.(1)求抛物线的表达式及点C的坐标;(2)如图1,点P在抛物线上,连接CP并延长交x轴于点D,连接AC,若△DAC是以AC为底的等腰三角形,求点P的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,点E是线段AC上(与点A,C不重合)的动点,连接PE,作∠PEF=∠CAB,边EF交x轴于点F,设点F的横坐标为m,求m的取值范围.五.菱形的性质(共2小题)8.(2022•济南)已知:如图,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上两点,连接DE,DF,∠ADF=∠CDE.求证:AE=CF.9.(2021•济南)已知:如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AD和CD上的点,且∠ABE =∠CBF.求证:DE=DF.六.四边形综合题(共1小题)10.(2021•济南)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在边BC上,BD=BC,将线段DB绕点D顺时针旋转至DE,记旋转角为α,连接BE,CE,以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF,连接AF.(1)如图1,当α=180°时,请直接写出线段AF与线段BE的数量关系;(2)当0°<α<180°时,①如图2,(1)中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立?请说明理由;②如图3,当B,E,F三点共线时,连接AE,判断四边形AECF的形状,并说明理由.七.切线的性质(共2小题)11.(2023•济南)如图,AB,CD为⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点C的切线与AB的延长线交于点P,∠ABC=2∠BCP,点E是的中点,弦CE,BD相交于点F.(1)求∠OCB的度数;(2)若EF=3,求⊙O直径的长.12.(2022•钢城区)已知:如图,AB为⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,CE平分∠ACB交⊙O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F.(1)求证:CA=CD;(2)若AB=12,求线段BF的长.八.几何变换综合题(共1小题)13.(2022•钢城区)如图1,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的内部,连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连接BD,DE,CE.(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明;(2)延长ED交直线BC于点F.①如图2,当点F与点B重合时,直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为 ;②如图3,当点F为线段BC中点,且ED=EC时,猜想∠BAD的度数并说明理由.九.相似形综合题(共1小题)14.(2023•济南)在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E在边BC上,将射线AE绕点A逆时针旋转90°,交CD延长线于点G,以线段AE,AG为邻边作矩形AEFG.(1)如图1,连接BD,求∠BDC的度数和的值;(2)如图2,当点F在射线BD上时,求线段BE的长;(3)如图3,当EA=EC时,在平面内有一动点P,满足PE=EF,连接PA,PC,求PA+PC 的最小值.一十.解直角三角形的应用-坡度坡角问题(共1小题)15.(2023•济南)图1是某越野车的侧面示意图,折线段ABC表示车后盖,已知AB=1m,BC=0.6m,∠ABC=123°,该车的高度AO=1.7m.如图2,打开后备箱,车后盖ABC 落在AB'C'处,AB'与水平面的夹角∠B'AD=27°.(1)求打开后备箱后,车后盖最高点B'到地面l的距离;(2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的车后盖C'处经过,有没有碰头的危险?请说明理由.(结果精确到0.01m,参考数据:sin27°≈0.454,cos27°≈0.891,tan27°≈0.510,≈1.732)山东省济南市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类参考答案与试题解析一.分式方程的应用(共2小题)1.(2023•济南)某校开设智能机器人编程的校本课程,购买了A,B两种型号的机器人模型.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元,用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同.(1)求A型,B型机器人模型的单价分别是多少元?(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台,购买B型机器人模型不超过A 型机器人模型的3倍,且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元,B型编程机器人模型单价是300元;(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少,最少花费是11200元.【解答】解:(1)设A型编程机器人模型单价是x元,B型编程机器人模型单价是(x﹣200)元.根据题意:,解这个方程,得:x=500,经检验,x=500是原方程的根,∴x﹣200=300,答:A型编程机器人模型单价是500元,B型编程机器人模型单价是300元;(2)设购买A型编程机器人模型m台,购买B型编程机器人模型(40﹣m)台,购买A型和B型编程机器人模型共花费w元,由题意得:40﹣m≤3m,解得:m≥10,w=500×0.8•m+300×0.8﹣(40﹣m),即:w=160m+9600,∵160>0∴w随m的减小而减小.当m=10时,w取得最小值11200,∴40﹣m=30答:购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少,最少花费是11200元.2.(2021•济南)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元,购进乙种粽子的金额是800元,购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个,甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍.(1)求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元?(2)为满足消费者需求,该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个,若总金额不超过1150元,问最多购进多少个甲种粽子?【答案】(1)甲种粽子的单价为8元,乙种粽子的单价为4元.(2)最多购进87个甲种粽子.【解答】解:(1)设乙种粽子的单价为x元,则甲种粽子的单价为2x元,依题意得:﹣=50,解得:x=4,经检验,x=4是原方程的解,则2x=8,答:甲种粽子的单价为8元,乙种粽子的单价为4元.(2)设购进甲种粽子m个,则购进乙种粽子(200﹣m)个,依题意得:8m+4(200﹣m)≤1150,解得:m≤87.5,答:最多购进87个甲种粽子.二.反比例函数综合题(共2小题)3.(2021•济南)如图,直线y=与双曲线y=(k≠0)交于A,B两点,点A的坐标为(m,﹣3),点C是双曲线第一象限分支上的一点,连接BC并延长交x轴于点D,且BC=2CD.(1)求k的值并直接写出点B的坐标;(2)点G是y轴上的动点,连接GB,GC,求GB+GC的最小值;(3)P是坐标轴上的点,Q是平面内一点,是否存在点P,Q,使得四边形ABPQ是矩形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)k=6,B(2,3);(2)2;(3)点P的坐标为(,0)或(0,).【解答】解:(1)将点A的坐标为(m,﹣3)代入直线y=x中,得﹣3=m,解得:m=﹣2,∴A(﹣2,﹣3),∴k=﹣2×(﹣3)=6,∴反比例函数解析式为y=,由,得或,∴点B的坐标为(2,3);(2)如图1,作BE⊥x轴于点E,CF⊥x轴于点F,∴BE∥CF,∴△DCF∽△DBE,∴=,∵BC=2CD,BE=3,∴=,∴=,∴CF=1,∴C(6,1),作点B关于y轴的对称点B′,连接B′C交y轴于点G,则B′C即为BG+GC的最小值,∵B′(﹣2,3),C(6,1),∴B′C==2,∴BG+GC=B′C=2;(3)存在.理由如下:①当点P在x轴上时,如图2,设点P1的坐标为(a,0),过点B作BE⊥x轴于点E,∵∠OEB=∠OBP1=90°,∠BOE=∠P1OB,∴△OBE∽△OP1B,∴=,∵B(2,3),∴OB==,∴=,∴a=,∴点P1的坐标为(,0);②当点P在y轴上时,过点B作BN⊥y轴于点N,如图2,设点P2的坐标为(0,b),∵∠ONB=∠P2BO=90°,∠BON=∠P2OB,∴△BON∽△P2OB,∴=,即=,∴b=,∴点P2的坐标为(0,);综上所述,点P的坐标为(,0)或(0,).4.(2022•济南)如图,一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(a,3),与y轴交于点B.(1)求a,k的值;(2)直线CD过点A,与反比例函数图象交于点C,与x轴交于点D,AC=AD,连接CB.①求△ABC的面积;②点P在反比例函数的图象上,点Q在x轴上,若以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有符合条件的点P坐标.【答案】(1)a=4,k=12;(2)①8;②P(3,4)或(6,2).【解答】解:(1)把x=a,y=3代入y=x+1得,,∴a=4,把x=4,y=3代入y=得,3=,∴k=12;(2)∵点A(4,3),D点的纵坐标是0,AD=AC,∴点C的纵坐标是3×2﹣0=6,把y=6代入y=得x=2,∴C(2,6),①如图1,作CF⊥x轴于F,交AB于E,当x=2时,y==2,∴E(2,2),∵C(2,6),∴CE=6﹣2=4,∴x A==8;②如图2,当AB是对角线时,即:四边形APBQ是平行四边形,∵A(4,3),B(0,1),点Q的纵坐标为0,∴y P=1+3﹣0=4,当y=4时,4=,∴x=3,∴P(3,4),当AB为边时,即:四边形ABQP是平行四边形(图中的▱ABQ′P′),由y Q′﹣y B=y P′﹣y A得,0﹣1=y P′﹣3,∴y P′=2,当y=2时,x==6,∴P′(6,2),综上所述:P(3,4)或(6,2).三.二次函数图象与系数的关系(共1小题)5.(2023•济南)在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点A,B在x轴上,C(2,3),D(﹣1,3).抛物线y=ax2﹣2ax+c(a<0)与x轴交于点E(﹣2,0)和点F.(1)如图1,若抛物线过点C,求抛物线的表达式和点F的坐标;(2)如图2,在(1)的条件下,连接CF,作直线CE,平移线段CF,使点C的对应点P落在直线CE上,点F的对应点Q落在抛物线上,求点Q的坐标;(3)若抛物线y=ax2﹣2ax+c(a<0)与正方形ABCD恰有两个交点,求a的取值范围.【答案】(1),F(4,0);(2)(﹣4,﹣6);(3)或.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2﹣2ax+c过点C(2,3),E(﹣2,0),得,解得,∴抛物线表达式为,当y=0 时,,解得x1=﹣2 (舍去),x2=4,∴F(4,0);(2)设直线CE的表达式为y=kx+b,∵直线过点C(2,3),E(﹣2,0),得,解得,∴直线CE的表达式为,设点,则点Q向左平移2个单位,向上平移3个单位得到点,将代入,解得t1=﹣4,t2=4 (舍去),∴Q点坐标为(﹣4,﹣6);(3)将E(﹣2,0)代入y=ax2﹣2ax+c得c=﹣8a,∴y=ax2﹣2ax﹣8a=a(x﹣1)2﹣9a,∴顶点坐标为(1,﹣9a),①当抛物线顶点在正方形内部时,与正方形有两个交点,∴0<﹣9a<3,解得,②当抛物线与直线BC交点在点C上方,且与直线AD交点在点D下方时,与正方形有两个交点,,解得综上所述,a的取值范围为或.四.二次函数综合题(共2小题)6.(2022•钢城区)抛物线y=ax2+x﹣6与x轴交于A(t,0),B(8,0)两点,与y轴交于点C,直线y=kx﹣6经过点B.点P在抛物线上,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式和t,k的值;(2)如图1,连接AC,AP,PC,若△APC是以CP为斜边的直角三角形,求点P的坐标;(3)如图2,若点P在直线BC上方的抛物线上,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,求CQ+ PQ的最大值.【答案】(1)k=,t=3,y=﹣x2+x﹣6;(2)(10,﹣);(3).【解答】解:(1)将B(8,0)代入y=ax2+x﹣6,∴64a+22﹣6=0,∴a=﹣,∴y=﹣x2+x﹣6,当y=0时,﹣t2+t﹣6=0,解得t=3或t=8(舍),∴t=3,∵B(8,0)在直线y=kx﹣6上,∴8k﹣6=0,解得k=;(2)作PM⊥x轴交于M,∵P点横坐标为m,∴P(m,﹣m2+m﹣6),∴PM=m2﹣m+6,AM=m﹣3,在Rt△COA和Rt△AMP中,∵∠OAC+∠PAM=90°,∠APM+∠PAM=90°,∴∠OAC=∠APM,∴△COA∽△AMP,∴=,即OA•MA=CO•PM,3(m﹣3)=6(m2﹣m+6),解得m=3(舍)或m=10,∴P(10,﹣);(3)作PN⊥x轴交BC于N,过点N作NE⊥y轴交于E,∴PN=﹣m2+m﹣6﹣(m﹣6)=﹣m2+2m,∵PN⊥x轴,∴PN∥OC,∴∠PNQ=∠OCB,∴Rt△PQN∽Rt△BOC,∴==,∵OB=8,OC=6,BC=10,∴QN=PN,PQ=PN,由△CNE∽△CBO,∴CN=EN=m,∴CQ+PQ=CN+NQ+PQ=CN+PN,∴CQ+PQ=m﹣m2+2m=﹣m2+m=﹣(m﹣)2+,当m=时,CQ+PQ的最大值是.7.(2021•济南)抛物线y=ax2+bx+3过点A(﹣1,0),点B(3,0),顶点为C.(1)求抛物线的表达式及点C的坐标;(2)如图1,点P在抛物线上,连接CP并延长交x轴于点D,连接AC,若△DAC是以AC为底的等腰三角形,求点P的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,点E是线段AC上(与点A,C不重合)的动点,连接PE,作∠PEF=∠CAB,边EF交x轴于点F,设点F的横坐标为m,求m的取值范围.【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;顶点C(1,4);(2)P();(3)﹣1<m≤.【解答】解:(1)将点A(﹣1,0),点B(3,0)代入y=ax2+bx+3得:,解得:.∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3.∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点C(1,4).(2)设AC交y轴于点F,连接DF,过点C作CE⊥x轴于点E,如图,∵A(﹣1,0),C(1,4),∴OA=1,OE=1,CE=4.∴OA=OE,AC==2.∵FO⊥AB,CE⊥AB,∴FO∥CE,∴OF=CE=2,F为AC的中点.∵△DAC是以AC为底的等腰三角形,∴DF⊥AC.∵FO⊥AD,∴△AFO∽△FDO.∴.∴.∴OD=4.∴D(4,0).设直线CD的解析式为y=kx+m,∴,解得:.∴直线CD的解析式为y=﹣.∴,解得:,.∴P().(3)过点P作PH⊥AB于点H,如图,则OH=,PH=,∵OD=4,∴HD=OD﹣OH=,∴PD==.∴PC=CD﹣PD=5﹣=.由(2)知:AC=2.设AF=x,AE=y,则CE=2﹣y.∵DA=DC,∴∠DAC=∠C.∵∠CAB+∠AEF+∠AFE=180°,∠AEF+∠PEF+∠CEP=180°,又∵∠PEF=∠CAB,∴∠CEP=∠AFE.∴△CEP∽△AFE.∴.∴.∴x=﹣+y=﹣+.∴当y=时,x即AF有最大值.∵OA=1,∴OF的最大值为﹣1=.∵点F在线段AD上,∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1<m≤.解法二:∵DC=DA,∴∠DAC=∠DCA,∴∠FAE=∠PEF=∠PCE,∴△CEP∽△AFE,∴=,∵C(1,4),A(﹣1,0),∴直线AC的解析式为y=2x+2,设E(n,2n+2),则AE==(n+1),CE==(1﹣n),CP==.∴=,∴45n2+20m﹣25=0,∵Δ>0,∴02﹣4×45×(20m﹣25)≥0,∴m≤,∴F的横坐标m的取值范围为﹣1<m≤.五.菱形的性质(共2小题)8.(2022•济南)已知:如图,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上两点,连接DE,DF,∠ADF=∠CDE.求证:AE=CF.【答案】证明过程见解答.【解答】证明:∵四边形ABCD是菱形,∴DA=DC,∴∠DAC=∠DCA,∵∠ADF=∠CDE,∴∠ADF﹣∠EDF=∠CDE﹣∠EDF,∴∠ADE=∠CDF,在△DAE和△DCF中,,∴△DAE≌△DCF(ASA),∴AE=CF.9.(2021•济南)已知:如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AD和CD上的点,且∠ABE =∠CBF.求证:DE=DF.【答案】证明见解析.【解答】证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,AB=BC,∠A=∠C,又∵∠ABE=∠CBF,∴△ABE≌△CBF(ASA),∴AE=CF,∴AD﹣AE=CD﹣CF,∴DE=DF.六.四边形综合题(共1小题)10.(2021•济南)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在边BC上,BD=BC,将线段DB绕点D顺时针旋转至DE,记旋转角为α,连接BE,CE,以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF,连接AF.(1)如图1,当α=180°时,请直接写出线段AF与线段BE的数量关系;(2)当0°<α<180°时,①如图2,(1)中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立?请说明理由;②如图3,当B,E,F三点共线时,连接AE,判断四边形AECF的形状,并说明理由.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)如图1,当α=180°时,点E在线段BC上,∵BD=BC,∴DE=BD=BC,∴BD=DE=EC,∵△CEF是等腰直角三角形,∴∠CFE=∠BAC=90°,∵∠ECF=∠BCA=45°,∴△ABC∽△FEC,∴==,∴==,∵BC=AC,∴==,∴=,即==,∴=•=×=;(2)①=仍然成立.理由如下:如图2,∵△CEF是等腰直角三角形,∴∠ECF=45°,=,∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠BCA=45°,=,∴∠ECF=∠BCA,=,∴∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE,∴∠ACF=∠BCE,∵=,∴△CAF∽△CBE,∴==,∴=仍然成立.②四边形AECF是平行四边形.理由如下:如图3,过点D作DG⊥BF于点G,由旋转得:DE=BD=BC,∵∠BGD=∠BFC=90°,∠DBG=∠CBF,∴△BDG∽△BCF,∴===,∵BD=DE,DG⊥BE,∴BG=EG,∴BG=EG=EF,∵EF=CF,∴CF=BG=BF,由①知,AF=BE=BG=CF=CE,∵△CAF∽△CBE,∴∠CAF=∠CBE,∠ACF=∠BCE,∵∠CEF=∠CBE+∠BCE=45°,∠BCE+∠ACE=∠ACB=45°,∴∠CBE=∠ACE,∴∠CAF=∠ACE,∴AF∥CE,∵AF=CE,∴四边形AECF是平行四边形.七.切线的性质(共2小题)11.(2023•济南)如图,AB,CD为⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点C的切线与AB的延长线交于点P,∠ABC=2∠BCP,点E是的中点,弦CE,BD相交于点F.(1)求∠OCB的度数;(2)若EF=3,求⊙O直径的长.【答案】(1)证明见解析;(2)6.【解答】解:(1)∵PC与⊙O相切于点C,∴OC⊥PC,∴∠OCB+∠BCP=90°,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∵∠ABC=2∠BCP,∴∠OCB=2∠BCP,∴3∠BCP=90°,∴∠BCP=30°,∴∠OCB=60°.(2)连接DE,∵CD是直径,∴∠DEC=90°,∵点E是的中点,∴,∴∠DCE=∠FDE=∠ECB=∠DCB=30°,∵∠E=90°,EF=3,∠FDE=30°,∴DE=FE=3,∵∠E=90°,∠DCE=30°,∴,∴⊙O的直径的长为.12.(2022•钢城区)已知:如图,AB为⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,CE平分∠ACB交⊙O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F.(1)求证:CA=CD;(2)若AB=12,求线段BF的长.【答案】(1)证明过程见解答;(2)线段BF的长为3.【解答】(1)证明:连接OC,∵CD与⊙O相切于点C,∴∠OCD=90°,∵∠D=30°,∴∠COD=90°﹣∠D=60°,∴∠A=∠COD=30°,∴∠A=∠D=30°,∴CA=CD;(2)解:∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠A=30°,AB=12,∴BC=AB=6,∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACB=45°,∵BF⊥CE,∴∠BFC=90°,∴BF=BC•sin45°=6×=3,∴线段BF的长为3.八.几何变换综合题(共1小题)13.(2022•钢城区)如图1,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的内部,连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连接BD,DE,CE.(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明;(2)延长ED交直线BC于点F.①如图2,当点F与点B重合时,直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为 AE=BE﹣CE ;②如图3,当点F为线段BC中点,且ED=EC时,猜想∠BAD的度数并说明理由.【答案】(1)BD=CE;(2)AE=BE﹣CE;(3)45°.【解答】解:(1)BD=CE,理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC,∵AE是由AD绕点A逆时针旋转60°得到的,∴∠DAE=60°,AD=AE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即:∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中,,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE;(2)①由(1)得:∠DAE=60°,AD=AE,BD=CE,∴△ADE是等边三角形,∴DE=AE,∴AE=DE=BE﹣BD=BE﹣CE,故答案为:AE=BE﹣CE;②如图,∠BAD=45°,理由如下:连接AF,作AG⊥DE于G,∴∠AGD=90°,∵F是BC的中点,△ABC是等边三角形,△ADE是等边三角形,∴AF⊥BC,∠ABF=∠ADG=60°,∴∠AFB=∠AGD,∴△ABF∽△ADG,∴,∠BAF=∠DAG,∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF,∴∠BAD=∠FAG,∴△ABD∽△AFG,∴∠ADB=∠AGF=90°,由(1)得:BD=CE,∵CE=DE=AD,∴AD=BD,∴∠BAD=45°.九.相似形综合题(共1小题)14.(2023•济南)在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E在边BC上,将射线AE绕点A逆时针旋转90°,交CD延长线于点G,以线段AE,AG为邻边作矩形AEFG.(1)如图1,连接BD,求∠BDC的度数和的值;(2)如图2,当点F在射线BD上时,求线段BE的长;(3)如图3,当EA=EC时,在平面内有一动点P,满足PE=EF,连接PA,PC,求PA+PC 的最小值.【答案】(1)∠BDC=60°,;(2);(3)4.【解答】解:(1)∵矩形ABCD中,AB=2,,∴∠C=90°,CD=AB=2,,∴,∴∠BDC=60°,∵∠ABE=∠BAD=∠EAG=∠ADG=90°,∴∠EAG﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD,即∠DAG=∠BAE,∴△ADG∽△ABE,∴;(2)如图2,过点F作FM⊥CG于点M,∵∠ABE=∠AGF=∠ADG=90°,AE=GF,∴∠BAE=∠DAG=∠CGF,∠ABE=∠GMF=90°,∴△ABE≌△GMF(AAS),∴BE=MF,AB=GM=2,∴∠MDF=∠BDC=60°,FM⊥CG,∴,∴,设DM=x,则,∴DG=GM+MD=2+x,由(1)可知:,∴,解得x=1,∴;(3)如图3,连接AC,将△AEP绕点E顺时针旋转120°,EA与EC重合,得到△CEP',连接PP',矩形ABCD中,AD=BC=,AB=2,∴tan∠ACB==,∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=4,∵EA=EC,∴∠EAC=∠ACE=30°,∠AEC=120°,∴∠ACG=∠GAC=90°﹣30°=60°,∴△AGC是等边三角形,AG=AC=4,∴PE=EF=AG=4,∵将△AEP绕点E顺时针旋转120°,EA与EC重合,得到△CEP',∴PA=P'C,∠PEP'=120°,EP=EP'=4,∴,∴当点P,C,P′三点共线时,PA+PC的值最小,此时为.一十.解直角三角形的应用-坡度坡角问题(共1小题)15.(2023•济南)图1是某越野车的侧面示意图,折线段ABC表示车后盖,已知AB=1m,BC=0.6m,∠ABC=123°,该车的高度AO=1.7m.如图2,打开后备箱,车后盖ABC落在AB'C'处,AB'与水平面的夹角∠B'AD=27°.(1)求打开后备箱后,车后盖最高点B'到地面l的距离;(2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的车后盖C'处经过,有没有碰头的危险?请说明理由.(结果精确到0.01m,参考数据:sin27°≈0.454,cos27°≈0.891,tan27°≈0.510,≈1.732)【答案】(1)车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m;(2)没有危险,详见解析.【解答】解:(1)如图,作B′E⊥AD,垂足为点E,在Rt△AB′E中,∵∠B′AD=27°,AB′=AB=1,∴sin27°=,∴B′E=AB′sin27°≈1×0.454=0.454,∵平行线间的距离处处相等,∴B′E+AO=0.454+1.7=2.154≈2.15,答:车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m.(2)没有危险,理由如下:过C′作C′F⊥B′E,垂足为点F,∵∠B′AD=27°,∠B′EA=90°,∴∠AB′E=63°,∵∠AB′C′=∠ABC=123°,∴∠C′B′F=∠AB′C′﹣∠AB′E=60°,在Rt△B′FC′中,B′C′=BC=0.6,∴B′F=B′C′•cos60°=0.3.∵平行线间的距离处处相等,∴C′到地面的距离为2.15﹣0.3=1.85.∵1.85>1.8,∴没有危险.。
山东省东营市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类(含答案)
山东省东营市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类一.科学记数法—表示较大的数(共2小题)1.(2022•东营)2022年2月20日,北京冬奥会圆满落幕,赛事获得了数十亿次数字平台互动,在中国仅电视收视人数就超6亿.6亿用科学记数法表示为 .2.(2021•东营)2021年5月11日,第七次全国人口普查数据显示,全国人口比第六次全国人口普查数据增加了7206万人.7206万用科学记数法表示 .二.科学记数法与有效数字(共1小题)3.(2023•东营)我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为,它与π的误差小于0.0000003.0.0000003用科学记数法表示为 .三.提公因式法与公式法的综合运用(共3小题)4.(2023•东营)因式分解:3ma2﹣6mab+3mb2= .5.(2022•东营)因式分解:x3﹣9x= .6.(2021•东营)因式分解:4a2b﹣4ab+b= .四.根的判别式(共1小题)7.(2022•东营)关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .五.由实际问题抽象出分式方程(共1小题)8.(2021•东营)某地积极响应“把绿水青山变成金山银山,用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念,开展荒山绿化,打造美好家园,促进旅游发展.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方米,则所列方程为 .六.解一元一次不等式组(共1小题)9.(2021•东营)不等式组的解集为 .七.点的坐标(共1小题)10.(2023•东营)如图,一束光线从点A(﹣2,5)出发,经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n),则2m﹣n的值是 .八.规律型:点的坐标(共1小题)11.(2023•东营)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣与x轴交于点A1,以OA1为边作正方形A1B1C1O,点C1在y轴上,延长C1B1交直线l于点A2,以C1A2为边作正方形A2B2C2C1,点C2在y轴上,以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2,⋯,正方形A2023B2023C2023C2022,则点B2023的横坐标是 .九.一次函数图象上点的坐标特征(共1小题)12.(2022•东营)如图,△AB1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…是等边三角形,直线y=x+2经过它们的顶点A,A1,A2,A3,…,点B1,B2,B3,…在x轴上,则点A2022的横坐标是 .一十.反比例函数系数k的几何意义(共1小题)13.(2022•东营)如图,△OAB是等腰直角三角形,直角顶点与坐标原点重合,若点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,则经过点A的函数图象表达式为 .一十一.三角形内角和定理(共1小题)14.(2022•东营)如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=40°,则∠AOC的度数为 .一十二.勾股定理的应用(共1小题)15.(2023•东营)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港,则A,C两港之间的距离为 km.一十三.垂径定理的应用(共1小题)16.(2023•东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言表达就是:如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长度为 寸.一十四.扇形面积的计算(共1小题)17.(2021•东营)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,以E为圆心,BE长为半径画弧交对角线AC于点F,若∠BAC=60°,∠ABC=100°,BC=4,则扇形BEF的面积为 .一十五.作图—基本作图(共1小题)18.(2023•东营)如图,在△ABC中,以点C为圆心,任意长为半径作弧,分别交AC,BC于点D,E;分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;作射线CF交AB于点G.若AC=9,BC=6,△BCG的面积为8,则△ACG的面积为 .一十六.翻折变换(折叠问题)(共1小题)19.(2021•东营)如图,正方形纸片ABCD的边长为12,点F是AD上一点,将△CDF沿CF折叠,点D落在点G处,连接DG并延长交AB于点E.若AE=5,则GE的长为 .一十七.相似三角形的判定与性质(共2小题)20.(2022•东营)如图,在△ABC中,点F、G在BC上,点E、H分别在AB、AC上,四边形EFGH是矩形,EH=2EF,AD是△ABC的高,BC=8,AD=6,那么EH的长为 .21.(2021•东营)如图,正方形ABCB1中,AB=,AB与直线l所夹锐角为60°,延长CB1交直线l于点A1,作正方形A1B1C1B2,延长C1B2交直线l于点A2,作正方形A2B2C2B3,延长C2B3交直线l于点A3,作正方形A3B3C3B4…,依此规律,则线段A2020A2021= .一十八.条形统计图(共1小题)22.(2021•东营)如图所示是某校初中数学兴趣小组年龄结构条形统计图,该小组年龄最小为11岁,最大为15岁,根据统计图所提供的数据,该小组组员年龄的中位数为 岁.一十九.众数(共1小题)23.(2022•东营)为了落实“双减”政策,东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查,15名同学的作业时长统计如下表,则这组数据的众数是 分钟.作业时长(单位:分钟)5060708090人数(单位:人)14622二十.方差(共1小题)24.(2023•东营)为备战东营市第十二届运动会,某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试,他们射击测试成绩的平均数(单位:环)及方差S2(单位:环2)如表所示:甲乙丙丁9.68.99.69.6S2 1.40.8 2.30.8根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应选择 .山东省东营市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类参考答案与试题解析一.科学记数法—表示较大的数(共2小题)1.(2022•东营)2022年2月20日,北京冬奥会圆满落幕,赛事获得了数十亿次数字平台互动,在中国仅电视收视人数就超6亿.6亿用科学记数法表示为 6×108 .【答案】6×108.【解答】解:6亿=600000000=6×108.故答案为:6×108.2.(2021•东营)2021年5月11日,第七次全国人口普查数据显示,全国人口比第六次全国人口普查数据增加了7206万人.7206万用科学记数法表示 7.206×107 .【答案】7.206×107.【解答】解:7206万=72060000=7.206×107,故答案为:7.206×107.二.科学记数法与有效数字(共1小题)3.(2023•东营)我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为,它与π的误差小于0.0000003.0.0000003用科学记数法表示为 3×10﹣7 .【答案】3×10﹣7.【解答】解:0.0000003=3×10﹣7,故答案为:3×10﹣7.三.提公因式法与公式法的综合运用(共3小题)4.(2023•东营)因式分解:3ma2﹣6mab+3mb2= 3m(a﹣b)2 .【答案】3m(a﹣b)2.【解答】解:3ma2﹣6mab+3mb2=3m(a2﹣2ab+b2)=3m(a﹣b)2,故答案为:3m(a﹣b)2.5.(2022•东营)因式分解:x3﹣9x= x(x+3)(x﹣3) .【答案】见试题解答内容【解答】解:x3﹣9x,=x(x2﹣9),=x(x+3)(x﹣3).6.(2021•东营)因式分解:4a2b﹣4ab+b= b(2a﹣1)2 .【答案】见试题解答内容【解答】解:原式=b(4a2﹣4a+1)=b(2a﹣1)2.故答案为:b(2a﹣1)2.四.根的判别式(共1小题)7.(2022•东营)关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 k<2且k≠1 .【答案】k<2且k≠1.【解答】解:根据题意得k﹣1≠0且Δ=(﹣2)2﹣4×(k﹣1)>0,解得k<2且k≠1,所以k的取值范围是k<2且k≠1.故答案为:k<2且k≠1.五.由实际问题抽象出分式方程(共1小题)8.(2021•东营)某地积极响应“把绿水青山变成金山银山,用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念,开展荒山绿化,打造美好家园,促进旅游发展.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方米,则所列方程为 ﹣=30 .【答案】﹣=30.【解答】解:设原计划每天绿化的面积为x万平方米,则实际每天绿化的面积为(1+25%)x万平方米,依题意得:﹣=30.故答案为:﹣=30.六.解一元一次不等式组(共1小题)9.(2021•东营)不等式组的解集为 ﹣1≤x<2 .【答案】见试题解答内容【解答】解:解不等式﹣≤1,得:x≥﹣1,解不等式5x﹣1<3(x+1),得:x<2,则不等式组的解集为﹣1≤x<2,故答案为:﹣1≤x<2.七.点的坐标(共1小题)10.(2023•东营)如图,一束光线从点A(﹣2,5)出发,经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n),则2m﹣n的值是 ﹣1 .【答案】﹣1.【解答】解:∵点A(﹣2,5)关于y轴的对称点为A′(2,5),∴反射光线所在直线过点B(0,1)和A′(2,5),设A'B的解析式为:y=kx+1,过点A′(2,5),∴5=2k+1,∴k=2,∴A'B的解析式为:y=2x+1,∵反射后经过点C(m,n),∴2m+1=n,∴2m﹣n=﹣1.故答案为:﹣1.八.规律型:点的坐标(共1小题)11.(2023•东营)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣与x轴交于点A1,以OA1为边作正方形A1B1C1O,点C1在y轴上,延长C1B1交直线l于点A2,以C1A2为边作正方形A2B2C2C1,点C2在y轴上,以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2,⋯,正方形A2023B2023C2023C2022,则点B2023的横坐标是 (1+)2022 .【答案】(1+)2022.【解答】解:当y=0时,有x﹣1=0,解得:x=1,∴点A1的坐标为(1,0).∵四边形A1B1C1O为正方形,∴OA1=A1B1=OC1=1,∴点B1(1,1),B1的横坐标为1;∴y=1时,1=x﹣,解得:x=,∴点A2的坐标为(,1),A2B2C2C1是正方形,∴A2B2=C2C1=A2C1=,∴点B2(,2+),即B2的横坐标为;当y=2+时,2+=x﹣,解得:x=(),∴点A3((),2+),∵A3B3C3C2是正方形,∴A3B3=C3C2=A3C2=(),∴点B3的横坐标为()=(1+)2,……,以此类推,则点B2023的横坐标是(1+)2022.故答案为:(1+)2022.九.一次函数图象上点的坐标特征(共1小题)12.(2022•东营)如图,△AB1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…是等边三角形,直线y=x+2经过它们的顶点A,A1,A2,A3,…,点B1,B2,B3,…在x轴上,则点A2022的横坐标是 (22023﹣2) .【答案】(22023﹣2).【解答】解:如图:∵直线y=x+2,令x=0,则y=2,令y=0,则x+2=0,解得x=﹣2,∴A(0,2),C(﹣2,0),∴OA=2,OC=2,∴∠OCA=30°,∵△AB1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…是等边三角形,∴∠AA1B1、∠AA2B2=60°,A1B1=AB1=AC=2OA=4,……∴△A1B1C、△A2B2C、……是含30°角的直角三角形,∴A1B1=4=22,A2B2=8=23,……,∴OB1=A1B1﹣OC=4=2,OB2=A2B2﹣OC=8=6,∴A1(2,4),A2(6,8),……∴A n[(2n+1﹣2),2n+1],∴点A2022的横坐标是(22023﹣2),故答案为:(22023﹣2).一十.反比例函数系数k的几何意义(共1小题)13.(2022•东营)如图,△OAB是等腰直角三角形,直角顶点与坐标原点重合,若点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,则经过点A的函数图象表达式为 y=﹣ .【答案】y=﹣.【解答】解:如图,作AD⊥x轴于D,BC⊥x轴于C,∴∠ADO=∠BCO=90°,∵∠AOB=90°,∴∠AOD+∠BOC=90°,∴∠AOD+∠DAO=90°,∴∠BOC=∠DAO,∵OB=OA,∴△BOC≌△OAD(AAS),∵点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴S△OBC=,∴S△OAD=,∴k=﹣1,∴经过点A的反比例函数解析式为y=﹣.故答案为:y=﹣.一十一.三角形内角和定理(共1小题)14.(2022•东营)如图,在⊙O中,弦AC∥半径OB,∠BOC=40°,则∠AOC的度数为 100° .【答案】100°.【解答】解:∵AC∥半径OB,∴∠OCA=∠BOC=40°,∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=40°,∴∠AOC=180°﹣∠A﹣∠OCA=180°﹣40°﹣40°=100°.故答案为:100°.一十二.勾股定理的应用(共1小题)15.(2023•东营)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港,则A,C两港之间的距离为 50 km.【答案】50.【解答】解:如图:由题意得:∠DAB=60°,∠FBC=30°,AD∥EF,∴∠DAB=∠ABE=60°,∴∠ABC=180°﹣∠ABE﹣∠FBC=90°,在Rt△ABC中,AB=30km,BC=40km,AC===50(km),∴A,C两港之间的距离为50km,故答案为:50.一十三.垂径定理的应用(共1小题)16.(2023•东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言表达就是:如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长度为 26 寸.【答案】26.【解答】解:连接OA,设⊙O的半径是r寸,∵直径CD⊥AB,∴AE=AB=×10=5寸,∵CE=1寸,∴OE=(r﹣1)寸,∵OA2=OE2+AE2,∴r2=(r﹣1)2+52,∴r=13,∴直径CD的长度为2r=26寸.故答案为:26.一十四.扇形面积的计算(共1小题)17.(2021•东营)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,以E为圆心,BE长为半径画弧交对角线AC于点F,若∠BAC=60°,∠ABC=100°,BC=4,则扇形BEF的面积为 .【答案】.【解答】解:∵∠BAC=60°,∠ABC=100°,∴∠ACB=20°,又∵E为BC的中点,∴BE=EC=BC=2,∵BE=EF,∴EF=EC=2,∴∠EFC=∠ACB=20°,∴∠BEF=40°,∴扇形BEF的面积==,故答案为:.一十五.作图—基本作图(共1小题)18.(2023•东营)如图,在△ABC中,以点C为圆心,任意长为半径作弧,分别交AC,BC于点D,E;分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;作射线CF交AB于点G.若AC=9,BC=6,△BCG的面积为8,则△ACG的面积为 12 .【答案】12.【解答】解:如图,过点G作GM⊥AC于点M,GN⊥BC于点N.由作图可知CG平分∠ACB,∵GM⊥AC,GN⊥BC,∴GM=GN,∵S△BCG=•BC•GN=8,BC=6,∴GN=,∴GN=GM=,∴S△AGC=•AC•GM=×9×=12,故答案为:12.一十六.翻折变换(折叠问题)(共1小题)19.(2021•东营)如图,正方形纸片ABCD的边长为12,点F是AD上一点,将△CDF沿CF折叠,点D落在点G处,连接DG并延长交AB于点E.若AE=5,则GE的长为 .【答案】.【解答】解:方法一、设CF与DE交于点O,∵将△CDF沿CF折叠,点D落在点G处,∴GO=DO,CF⊥DG,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠A=∠ADC=90°=∠FOD,∴∠CFD+∠FCD=90°=∠CFD+∠ADE,∴∠ADE=∠FCD,在△ADE和△DCF中,,∴△ADE≌△DCF(ASA),∴AE=DF=5,∵AE=5,AD=12,∴DE===13,∵cos∠ADE=,∴,∴DO==GO,∴EG=13﹣2×=,方法二、易证△ADE≌△DCF(ASA),∴AE=DF=5,∴DE===13,∵将△CDF沿CF折叠,点D落在点G处,∴GO=DO,CF⊥DG,∵S△DFC=×DF×CD=×CF×DO,∴DO=,∴DG=2DO=,∴EG=13﹣=,故答案为:.一十七.相似三角形的判定与性质(共2小题)20.(2022•东营)如图,在△ABC中,点F、G在BC上,点E、H分别在AB、AC上,四边形EFGH是矩形,EH=2EF,AD是△ABC的高,BC=8,AD=6,那么EH的长为 .【答案】.【解答】解:设AD交EH于点R,∵矩形EFGH的边FG在BC上,∴EH∥BC,∠EFC=90°,∴△AEH∽△ABC,∵AD⊥BC于点D,∴∠ARE=∠ADB=90°,∴AR⊥EH,∴=,∵EF⊥BC,RD⊥BC,EH=2EF,∴RD=EF=EH,∵BC=8,AD=6,AR=6﹣EH,∴=,解得EH=,∴EH的长为,故答案为:.21.(2021•东营)如图,正方形ABCB1中,AB=,AB与直线l所夹锐角为60°,延长CB1交直线l于点A1,作正方形A1B1C1B2,延长C1B2交直线l于点A2,作正方形A2B2C2B3,延长C2B3交直线l于点A3,作正方形A3B3C3B4…,依此规律,则线段A2020A2021= 2×()2020 .【答案】2×()2020.【解答】解:根据题意可知AB1=AB=,∠B1AA1=90°﹣60°=30°,∴tan∠B1AA1==,∴A1B1=AB1×=×=1,AA1=2A1B1=2,A2B2=A1B2×=A1B1×=,A1A2=2A2B2=2×,A3B3=A2B3×=A2B2×=×=()2,A2A3=2A3B3=2×()2,∴A2021B2021=A2020B2021×=()2020,A2020A2021=2A2021B2021=2×()2020,故答案为:2×()2020.一十八.条形统计图(共1小题)22.(2021•东营)如图所示是某校初中数学兴趣小组年龄结构条形统计图,该小组年龄最小为11岁,最大为15岁,根据统计图所提供的数据,该小组组员年龄的中位数为 13 岁.【答案】13.【解答】解:根据题意排列得:11,11,12,12,12,13,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,15,则该小组组员年龄的中位数为×(13+13)=13(岁),故答案为:13.一十九.众数(共1小题)23.(2022•东营)为了落实“双减”政策,东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查,15名同学的作业时长统计如下表,则这组数据的众数是 70 分钟.作业时长(单位:分钟)5060708090人数(单位:人)14622【答案】70.【解答】解:∵70分钟出现了6次,它的次数最多,∴众数是70分钟.故答案为:70.二十.方差(共1小题)24.(2023•东营)为备战东营市第十二届运动会,某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试,他们射击测试成绩的平均数(单位:环)及方差S 2(单位:环2)如表所示:甲乙丙丁9.68.99.69.6S2 1.40.8 2.30.8根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应选择 丁 .【答案】丁.【解答】解:由表格知,甲、丙、丁,平均成绩较好,而丁成绩的方差小,成绩更稳定,所以要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择丁.故答案为:丁.。
中考数学压轴题练习 正方形问题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
正方形问题1 如图,在边长为6的正方形ABCD 的两侧作正方形BEFG 和正方形DMNK ,恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上,连接MF 交线段AD 于点P ,连接NP ,设正方形BEFG 的边长为x ,正方形DMNK 的边长为y .(1)求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值X 围; (2)当△NPF 的面积为32时,求x 的值;(3)以P 为圆心,AP 为半径的圆能否与以G 为圆心,GF 为半径的圆相切?如果能,请求出x 的值,如果不能,请说明理由.解析:(1)∵正方形BEFG 、正方形DMNK 、正方形ABCD ∴∠E =∠F =90O ,AE ∥MC ,MC ∥NK ∴AE ∥NK ,∴∠KNA =∠EAF∴△KNA ∽△EAF ,∴NK EA =KA EF ,即y x +6=y -6x∴y =x +6(0<x ≤6)(2)由(1)知NK =AE ,∴AN =AF∵正方形DMNK ,∴AP ∥NM ,∴FP PM =AFAN =1∴FP =PM ,∴S △MNP =S △NPF =32 ∴S 正方形DMNK =2S △MNP =64 ∴y =8,∴x =2(3)连接PG ,延长FG 交AD 于点H ,则GH ⊥AD易知:AP =y2,AH =x ,PH =y 2-x ,HG =6;PG =AP +GF =y2+x①当两圆外切时在Rt △GHP 中,PH 2+HG 2=PG 2,即(y2-x )2+62=(y2+x )2解得:x =-3-33(舍去)或x =-3+3 3 ②当两圆内切时NK G CE DFAB PM在Rt △GHP 中,PH 2+HG 2=PG 2,即(y2-x )2+62=(y2-x )2方程无解所以,当x =33-3时,两圆相切2 已知:正方形ABCD 的边长为1,射线AE 与射线BC 交于点E ,射线AF 与射线CD 交于点F ,∠EAF =45°,连接EF .(1)如图1,当点E 在线段BC 上时,试猜想线段EF 、BE 、DF 有怎样的数量关系?并证明你的猜想; (2)设BE =x ,DF =y ,当点E 在线段BC 上运动时(不包括点B 、C ),求y 关于x 的函数解析式,并指出x 的取值X 围;(3)当点E 在射线BC 上运动时(不含端点B ),点F 在射线CD 上运动.试判断以E 为圆心,以BE 为半径的⊙E 和以F 为圆心,以FD 为半径的⊙F 之间的位置关系;(4)如图2,当点E 在BC 的延长线上时,设AE 与CD 交于点G .问:△EGF 与△EFA 能否相似?若能相似,求出BE 的长,若不可能相似,请说明理由.解析:(1)猜想:EF =BE +DF证明:将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°,得△ABF′,易知点F′、B 、E 在同一直线上(如.图1) ∵AF′=AF∠F′AE =∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF 又AE =AE ,∴△AF ′E ≌△AFEAB DCEF图1AB D CEFG图2AB DCEF图1F ′12∴EF =F′E =BE +BF =BE +DF (2)在Rt △EFC 中,EC 2+FC 2=EF 2 ∵EC =1-x ,FC =1-y ,EF =x +y ∴(1-x )2+(1-y )2=(x +y )2 ∴y =1-x1+x (0<x <1)(3)①当点E 在点B 、C 之间时,由(1)知EF =BE +DF ,故此时⊙E 与⊙F 外切; ②当点E 在点C 时,DF =0,⊙F 不存在.③当点E 在BC 延长线上时,将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°,得△ABF′(如图2) 则AF′=AF ,∠1=∠2,B F′=DF ,∠F ′AF =90° ∴∠F ′AE =∠EAF =45° 又AE =AE ,∴△AF ′E ≌△AFE ∴EF =EF′=BE -B F′=BE -DF ∴此时⊙E 与⊙F 内切综上所述,当点E 在线段BC 上时,⊙E 与⊙F 外切;当点E 在BC 延长线上时,⊙E 与⊙F 内切 (4)△EGF 与△EFA 能够相似,只要当∠EFG =∠EAF =45°即可 此时CE =CF设BE =x ,DF =y ,由(3)知EF =x -y 在Rt △CFE 中,CE 2+CF 2=EF 2∴(x -1)2+(1+y )2=(x -y )2∴y =x -1x +1(x >1)由CE =CF ,得x -1=1+y ,即x -1=1+x -1x +1化简得x 2-2x -1=0,解得x 1=1-2(舍去),x 2=1+ 2 ∴△EGF 与△EFA 能够相似,此时BE 的长为1+ 23已知:如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B =90°,AD =2,BC =6,AB =3.E 为BC 边上一点,ABD CEFG图2F ′12以BE 为边作正方形BEFG ,使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧. (1)当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时,求BE 的长;(2)将(1)问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移,记平移中的正方形BEFG 为正方形B′EFG ,当点E 与点C 重合时停止平移.设平移的距离为t ,正方形B′EFG 的边EF 与AC 交于点M ,连接B′D ,B′M ,DM .是否存在这样的t ,使△B′DM 是直角三角形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由;(3)在(2)问的平移过程中,设正方形B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为S ,请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值X 围.解析:(1)如图①,设正方形BEFG 的边长为x 则BE =FG =BG =x∵AB =3,BC =6,∴AG =AB -BG =3-x ∵GF ∥BE ,∴△AGF ∽△ABC∴AG AB =GF BC ,即3-x 3=x 6解得x =2,即BE =2(2)存在满足条件的t ,理由如下: 如图②,过D 作DH ⊥BC 于点H 则BH =AD =2,DH =AB =3由题意得:BB′=HE =t ,HB′=|t -2|,EC =4-t在Rt△B′ME 中,B′M 2=B′E 2+ME 2=22+(2-12t )2=14t 2-2t +8∵EF ∥AB ,∴△MEC ∽△ABC∴ME AB =EC BC ,即ME 3=4-t 6,∴ME =2-12t在Rt△DHB′中,B′D 2=DH 2+B′H 2=32+(t -2)2=t 2-4t +13BACDBACD备用图B A CD 图①EFGB A CD 图②EFG HB ′ M N过M 作MN ⊥DH 于点N 则MN =HE =t ,NH =ME =2-12t ∴DN =DH -NH =3-(2-12t )=12t +1 在Rt△DMN 中,DM 2=DN 2+MN 2=54t 2+t +1(ⅰ)若∠DB′M =90°,则DM 2=B′M 2+B′D 2 即54t 2+t +1=(14t 2-2t +8)+(t 2-4t +13),解得t =207 (ⅱ)若∠B′MD =90°,则B′D 2=B′M 2+DM 2即t 2-4t +13=(14t 2-2t +8)+(54t 2+t +1),解得t 1=-3+17,t 2=-3-17∵0≤t ≤4,∴t =-3+17(ⅲ)若∠B′DM =90°,则B′M 2=B′D 2+DM 2即14t 2-2t +8=(t 2-4t +13)+(54t 2+t +1),此方程无解 综上所述,当t =207或-3+17时,△B′DM 是直角三角形 (3)当0≤t ≤43时,S =14t 2当43≤t ≤2时,S =-18t 2+t -23 当2≤t ≤103时,S =-38t 2+2t -53 当103≤t ≤4时,S =-12t +52 提示:当点F 落在CD 上时,如图③FE =2,EC =4-t ,DH =3,HC =4 由△FEC ∽△DHC ,得FE EC =DHHC即24-t =34,∴t =43当点G 落在AC 上时,点G 也在DH 上(即DH 与AC 的交点)t =2当点G 落在CD 上时,如图④B ACD图③E FGB ′ HB ACD图④E FGB ′ HGB ′=2,B ′C =6-t由△GB ′C ∽△DHC ,得G ′B B ′C =DHHC即26-t =34,∴t =103 当点E 与点C 重合时,t =4 ①当0≤t ≤43时,如图⑤ ∵MF =t ,FN =12t∴S =S △FMN =12·t ·12t =14t 2②当43≤t ≤2时,如图⑥ ∵PF =t -43,FQ =34PF =34t -1 ∴S △FPQ =12(t -43)(34t -1)=38t 2-t +23∴S =S △FMN -S △FPQ =14t 2-(38t 2-t +23)=-18t 2+t -23 ③当2≤t ≤103时,如图⑦ ∵B′M =12B′C =12(6-t )=3-12t ∴GM =2-(3-12t )=12t -1 ∴S 梯形GMNF =12(12t -1+12t )×2=t -1∴S =S 梯形GMNF -S △FPQ =(t -1)-(38t 2-t +23)=-38t 2+2t -53 ④当103≤t ≤4时,如图⑧ ∵P B′=34B′C =34(6-t )=92-34t ∴GP =2-(92-34t )=34t -52∴S 梯形GPQF =12(34t -52+34t -1)×2=32t -72∴S =S 梯形GMNF -S 梯形GPQF =(t -1)-(32t -72)=-12t +52BC图⑥EB ′BC图⑦EB ′B C 图⑧E B ′。
2011年中考数学试题分类26_矩形、菱形与正方形
第26章 矩形、菱形与正方形一、选择题1. (2011浙江省舟山,10,3分)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH (不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2,四边形ABCD 面积是11cm 2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( ) (A )48cm (B )36cm (C )24cm(D )18cm【答案】A2. (2011山东德州8,3分)图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2),依此规律继续拼下去(如图3),……,则第n 个图形的周长是(A )2n(B )4n(C )12n + (D )22n +【答案】C3. (2011山东泰安,17 ,3分)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S 2的值为图1图2图3……(第10题)FABCDH EG①②③④⑤A.17B.17C.18D.19 【答案】B4. (2011山东泰安,19 ,3分)如图,点O 是矩形ABCD 的中心,E 是AB 上的点,沿CE 折叠后,点B 恰好与点O 重合,若BC =3,则折痕CE 的长为 A.2 3 B.332C. 3D.6【答案】A5. (2011浙江杭州,10,3)在矩形ABCD 中,有一个菱形B F D E (点E ,F 分别在线段AB ,CD 上),记它们的面积分别 为ABCD BFDE S S 和.现给出下列命题:( )①若ABCD BFDE S S =tan EDF ∠=.②若2,DE BD EF =∙则2DF AD =. 则:A .①是真命题,②是真命题B .①是真命题,②是假命题C .①是假命题,②是真命题D ,①是假命题,②是假命题 【答案】A6. (2011浙江衢州,1,3分)衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜,如图为一农村民居侧面截图,屋坡AF AG 、分别架在墙体的点B 、点C 处,且AB AC =,侧面四边形BDEC 为矩形,若测得100FAG ∠=︒,则FBD ∠=( )A. 35°B. 40°C. 55°D. 70° 【答案】C7. (2011浙江温州,6,4分)如图,在矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O .已知∠AOB = 60°,AC =16,则图中长度为8的线段有( ) A .2条B .4条C .5条D .6条【答案】D8. 2011四川重庆,10,4分)如图,正方形ABCD 中,AB =6,点E 在边CD 上,且CD =3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE ,延长EF 交边BC 于点G ,连结AG 、CF .下列结论:①△ABG ≌△AFG ;②BG =GC ;③AG ∥CF ;④S △FGC =3.其中正确结论的个数是()A .1B .2C .3D .4【答案】C9. (2011浙江省嘉兴,10,4分)如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH (不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2,四边形ABCD 面积是11cm 2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( ) (A )48cm (B )36cm (C )24cm(D )18cm【答案】A10.(2011台湾台北,29)如图(十二),长方形ABCD 中,E 为BC 中点,作AEC 的角平分线交AD 于F 点。
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考点:正方形一.选择题(共4小题)1.(2018•无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值()A.等于B.等于C.等于D.随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD,由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD,结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答.【解答】解:∵EF∥AD,∴∠AFE=∠FAG,∴△AEH∽△ACD,∴==.设EH=3x,AH=4x,∴HG=GF=3x,∴tan∠AFE=tan∠FAG===.故选:A.2.(2018•宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG ⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于()A.1 B.C.D.【分析】根据轴对称图形的性质,解决问题即可;【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴直线AC是正方形ABCD的对称轴,∵EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.∴根据对称性可知:四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,∴S阴=S正方形ABCD=,故选:B.3.(2018•湘西州)下列说法中,正确个数有()①对顶角相等;②两直线平行,同旁内角相等;③对角线互相垂直的四边形为菱形;④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质,可得答案.【解答】解:①对顶角相等,故①正确;②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误;④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,故选:B.4.(2018•张家界)下列说法中,正确的是()A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等B.对角线相等的平行四边形是正方形C.相等的角是对顶角D.角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可.【解答】解:A、两条平行线被第三条直线所截,内错角才相等,错误,故本选项不符合题意;B、对角线相等的四边形是矩形,不一定是正方形,错误,故本选项不符合题意;C、相等的角不一定是对顶角,错误,故本选项不符合题意;D、角平分线上的点到角的两边的距离相等,正确,故本选项符合题意;故选:D.二.填空题(共7小题)5.(2018•武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数是30°或150°.【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得.【解答】解:如图1,∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°,∴∠BAE=∠CDE=150°,又AB=AE,DC=DE,∴∠AEB=∠CED=15°,则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°.如图2,∵△ADE是等边三角形,∴AD=DE,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∴DE=DC,∴∠CED=∠ECD,∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°,∴∠CED=∠ECD=(180°﹣30°)=75°,∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°.故答案为:30°或150°.6.(2018•呼和浩特)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,△CBE由△DAM平移得到.若过点E作EH⊥AC,H为垂足,则有以下结论:①点M位置变化,使得∠DHC=60°时,2BE=DM;②无论点M运动到何处,都有DM=HM;③无论点M运动到何处,∠CHM一定大于135°.其中正确结论的序号为①②③.【分析】先判定△MEH≌△DAH(SAS),即可得到△DHM是等腰直角三角形,进而得出DM=HM;依据当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°,即可得到Rt△ADM中,DM=2AM,即可得到DM=2BE;依据点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,可得∠AHM<∠BAC=45°,即可得出∠CHM>135°.【解答】解:由题可得,AM=BE,∴AB=EM=AD,∵四边形ABCD是正方形,EH⊥AC,∴EM=AH,∠AHE=90°,∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH,∴EH=AH,∴△MEH≌△DAH(SAS),∴∠MHE=∠DHA,MH=DH,∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形,∴DM=HM,故②正确;当∠DHC=60°时,∠ADH=60°﹣45°=15°,∴∠ADM=45°﹣15°=30°,∴Rt△ADM中,DM=2AM,即DM=2BE,故①正确;∵点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AM<AB,∴∠AHM<∠BAC=45°,∴∠CHM>135°,故③正确;故答案为:①②③.7.(2018•青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为.【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°,然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF,进一步得∠AGE=∠BGF=90°,从而知GH=BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAE=∠D=90°,AB=AD,在△ABE和△DAF中,∵,∴△ABE≌△DAF(SAS),∴∠ABE=∠DAF,∵∠ABE+∠BEA=90°,∴∠DAF+∠BEA=90°,∴∠AGE=∠BGF=90°,∵点H为BF的中点,∴GH=BF,∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3,∴BF==,∴GH=BF=,故答案为:.8.(2018•咸宁)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为(﹣1,5).【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标,再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标.【解答】解:如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.过点G作x轴的垂线EG,垂足为G,连接GE、FO交于点O′.∵四边形OEFG是正方形,∴OG=EO,∠GOM=∠OEH,∠OGM=∠EOH,在△OGM与△EOH中,∴△OGM≌△EOH(ASA)∴GM=OH=2,OM=EH=3,∴G(﹣3,2).∴O′(﹣,).∵点F与点O关于点O′对称,∴点F的坐标为(﹣1,5).故答案是:(﹣1,5).9.(2018•江西)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为2或2或﹣.【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,∠ABC=90°,根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD,画出符合的三种情况,根据勾股定理求出即可.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,AB=6,∴AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,∠ABC=∠DAB=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC===6,∴OA=OB=OC=OD=3,有三种情况:①点P在AD上时,∵AD=6,PD=2AP,∴AP=2;②点P在AC上时,设AP=x,则DP=2x,在Rt△DPO中,由勾股定理得:DP2=DO2+OP2,(2x)2=(3)2+(3﹣x)2,解得:x=﹣(负数舍去),即AP=﹣;③点P在AB上时,设AP=y,则DP=2y,在Rt△APD中,由勾股定理得:AP2+AD2=DP2,y2+62=(2y)2,解得:y=2(负数舍去),即AP=2;故答案为:2或2或﹣.10.(2018•潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置,B'C′与CD相交于点M,则点M的坐标为(﹣1,).【分析】连接AM,由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°,证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°,由DM=ADtan∠DAM可得答案.【解答】解:如图,连接AM,∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′,∴AD=AB′=1,∠BAB′=30°,∴∠B′AD=60°,在Rt△ADM和Rt△AB′M中,∵,∴Rt△ADM≌Rt△AB′M(HL),∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°,∴DM=ADtan∠DAM=1×=,∴点M的坐标为(﹣1,),故答案为:(﹣1,).11.(2018•台州)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3,则△BCG的周长为+3 .【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的,进而依据△BCG的面积以及勾股定理,得出BG+CG的长,进而得出其周长.【解答】解:∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3,∴阴影部分的面积为×9=6,∴空白部分的面积为9﹣6=3,由CE=DF,BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°,可得△BCE≌△CDF,∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等,均为×3=,设BG=a,CG=b,则ab=,又∵a2+b2=32,∴a2+2ab+b2=9+6=15,即(a+b)2=15,∴a+b=,即BG+CG=,∴△BCG的周长=+3,故答案为: +3.三.解答题(共6小题)12.(2018•盐城)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.【分析】(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;(2)四边形AECF是菱形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;【解答】证明:(1)∵正方形ABCD,∴AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABE=∠ADF,在△ABE与△ADF中,∴△ABE≌△ADF(SAS);(2)连接AC,四边形AECF是菱形.理由:∵正方形ABCD,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥EF,∴OB+BE=OD+DF,即OE=OF,∵OA=OC,OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形,∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.13.(2018•吉林)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF,求证:△ABE≌△BCF.【分析】根据正方形的性质,利用SAS即可证明;【解答】证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,在△ABE和△BCF中,,∴△ABE≌△BCF.14.(2018•白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≌△FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可;(2)利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可.【解答】解:(1)∵点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,∴FH∥BE,FH=BE,FH=BG,∴∠CFH=∠CBG,∵BF=CF,∴△BGF≌△FHC,(2)当四边形EGFH是正方形时,可得:EF⊥GH且EF=GH,∵在△BEC中,点,H分别是BE,CE的中点,∴GH=,且GH∥BC,∴EF⊥BC,∵AD∥BC,AB⊥BC,∴AB=EF=GH=a,∴矩形ABCD的面积=.15.(2018•潍坊)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF ⊥AM于点F,连接BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.【分析】(1)通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE;(2)设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24,解方程求出x得到AE=BF=6,则EF=x﹣2=4,然后利用勾股定理计算出BE,最后利用正弦的定义求解.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴BA=AD,∠BAD=90°,∵DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,∴∠AFB=90°,∠DEA=90°,∵∠ABF+∠BAF=90°,∠EAD+∠BAF=90°,∴∠ABF=∠EAD,在△ABF和△DEA中,∴△ABF≌△DEA(AAS),∴BF=AE;(2)解:设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,∵四边形ABED的面积为24,∴•x•x+•x•2=24,解得x1=6,x2=﹣8(舍去),∴EF=x﹣2=4,在Rt△BEF中,BE==2,∴sin∠EBF===.16.(2018•湘潭)如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O.(1)求证:△DAF≌△ABE;(2)求∠AOD的度数.【分析】(1)利用正方形的性质得出AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,即可得出结论;(2)利用(1)的结论得出∠ADF=∠BAE,进而求出∠ADF+∠DAO=90°,最后用三角形的内角和定理即可得出结论.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=∠ABC=90°,AD=AB,在△DAF和△ABE中,,∴△DAF≌△ABE(SAS),(2)由(1)知,△DAF≌△ABE,∴∠ADF=∠BAE,∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°,∴∠AOD=180°﹣(∠ADF+DAO)=90°.17.(2018•遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E、F分别在AB、BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON.(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.【分析】(1)证△OAM≌△OBN即可得;(2)作OH⊥AD,由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4,再根据勾股定理得OM=2,由直角三角形性质知MN=OM.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN=135°,∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,∴∠AOM=∠BON,∴△OAM≌△OBN(ASA),∴OM=ON;(2)如图,过点O作OH⊥AD于点H,∵正方形的边长为4,∴OH=HA=2,∵E为OM的中点,∴HM=4,则OM==2,∴MN=OM=2.。