章节结构图
高中地理必修一知识结构图
南亚季 风风向
一月
七月
亚洲高压
印度低压
阿留申低压
夏威夷高压
西北季风
东南季风
东北季风
西南季风
冬夏海陆的气压差异及亚洲的季风环流
大气环流对气候的影响
大气环流主要通过降水对气候产生影响
0º
10º
30º
40º
60º
90º
热带草原气候
热带沙漠气候
热带季风气 候
亚热带季风气候
2、洋流的分布规律
3、主要渔场的位置及成因
0°
30°
60°
4、洋流对地理环境的影响
夏
冬
0°
太平洋
大西洋
南印度洋
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
⑾
⑿
⒀
⒁
⒂
A
C
B
D
洋流流向
洋流性质
南北半球副热带海区
北半球中高纬海区
南半球中高纬海区
北印度洋海区
北顺南逆
东寒西暖
逆时针
东暖西寒
西风漂流
寒流
夏顺冬逆
暖流
洋流部分重点掌握分布规律和A、B、C、D四大渔场的成因，并将洋流与航线结合起来
冰 原 带
苔 原 带
北回归线
赤道
北极圈
纬度地带性
经度地带性
热量递减
水分差异
自然带的类型
陆地自然带
气候类型
典型植被
热带雨林带
热带雨林气候
热带雨林
热带季雨林带
热带季风气候
热带季雨林
热带草原带
热带草原气候
四年级上册数学教材结构图
四年级数学上册教材结构图（一）数与代数1．第一单元“理解更大的数”本单元是在第一学段学生理解万以内数的基础上，进一步理解亿以内的数在实际生活中的意义，掌握大数读写的方法，理解近似数及其作用。
本单元安排了四个情境活动：数一数（亿以内数的理解），人口普查（亿以内数的读写及比较大小），国土面积（大数的改写），森林面积（近似数的理解）。
通过本单元的学习，学生将经历收集日常生活中常见大数的过程，感受学习更大数的必要性，并能体验大数的实际意义；理解亿以内数的计数单位，理解各单位之间的关系，并会准确读、写；能比较亿以内数的大小；掌握万、亿为单位表示大数的方法；理解近似数，能求一个数的近似数，能对大数实行估计。
2．第三单元“乘法”本单元学习的内容主要有：三位数乘两位数，对一些较大的数实行估计，理解计算器以及使用计算器探索一些数学规律。
教材安排了六个情境活动：卫星运行时间（三位数乘两位数的乘法），体育场（较大数的估计方法），神奇的计算器（计算器的理解与使用），探索与发现（一）（有趣算式的探索），探索与发现（二）（乘法结合律的探索），探索与发现（三）（乘法分配律的探索）。
本单元又专题安排了“计算工具的演变”的阅读材料，以使学生理解计算工具的发展过程。
通过本单元的学习，学生将理解三位数乘两位数乘法的计算方法，并能准确计算，会使用所学知识解决一些实际问题；能对生活中具体事物的数量用不同的方法实行估计；掌握计算器的使用方法，会利用计算器探索一些数学规律。
3．第五单元“除法”本单元的学习是小学阶段整数运算的最后一个章节内容。
本单元学习的内容主要有：三位数除以整十数，三位数除以两位数，速度、时间与路程的数量关系，探索商的运算规律以及整数四则混合运算。
本单元安排了七个情境活动：买文具（除数是整十数的除法），路程、时间与速度（常见的数量关系），参观苗圃（一次试商的除数是两位数的除法），国家体育场（体会万、亿的实际意义），秋游（试商需要改商的除法），探索与发现（四）（探索商的变化规律），抗震救灾（三步的混合运算）。
沪教版(上海市) 初中数学思维导图 七年级数学全册章节思维导图集
-5Math 实验室
你现在的努力要对得起别人对你的好！
第十九章 几何证明的章节知识点结构思维导图
-6Math 实验室
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第二十章 一次函数的章节知识点结构思维导图
第二十一章 代数方程的章节知识点结构思维导图
-7Math 实验室
第十二章 实数的章节知识点结构思维导图
第十三章 相交线 平行线的章节知识点结构思维导图
-3Math 实验室
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第十四章 三角形的章节知识点结构思维导图
第十五章 平面直角坐标系的章节知识点结构思维导图
-4Math 实验室
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第十六章 二次根式的章节知识点结构思维导图 第十七章 一元二次方程的章节知识点结构思维导图
第二十七章 圆与正多边形的章节知识点结构思维导图
-9Math 实验室
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第二十八章 统计初步的章节知识点结构思维导图
- 10 Math 实验室
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上海市（沪教版）七年级数学全册章节思维导图 共七章
第九章 整式的章节知识点结构思维导图
-1Math 实验室
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第十章 分式的章节知识点结构思维导图
第十一章 图形的运动的章节知识点结构思维导图
-2！
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第二十二章 四边形的章节知识点结构思维导图
第二十三章 概率初步的章节知识点结构思维导图
第二十四章 相似三角形的章节知识点结构思维导图
-8Math 实验室
八年级物理上册各章节知识结构图
八年级物理上册知识总结机械运动、长度和时间的测量1、 _______________________ 叫做单位。
为方便交流，国际计量组织制定了一套国 际统一的单位，叫 _____________ （简称SI ）。
2、 长度的单位：在国际单位制中，长度的基本单位 _______________ ，其他单位有：千— 米（km ）、分米（dm ）、厘米（cm ）、毫米（mm ）、微米（ym ）、纟纳米（nm ）。
1km=1 000m ; 1dm=0.1m :1cm=Q01m ;…一lmm=Q.Q01m 一;…1 展m=..QQlm …1nm= 000 001m 。
测量长度的常用工 具： ______________ 。
刻度尺的使用方法：① 注意刻度标尺的零刻度 线、 、 _____________ ；② 测量时刻度尺的 ______________ ，位置要放正，不得歪斜，零刻度线应对准所测物体的一端；③读数时 _______________________ ，并且对 正观测点，不能仰视或者俯视。
3、 国际单位制中，时间的基本单位是 _______________ 。
时间的单位还有小时 （h ）、分 （min ）。
1h=60min 1min=60s 。
4、 __________________ 叫做误差，我们不能消灭误差，但应尽量减小误差。
误差的产生与测量仪器、测量方法、测量的人有关。
减少误差方法： _______________________ 、 选用精密测量工具、改进测量方法。
误差与错误区别：误差不是错误，错误不该 发生能够避免，误差永远存在不能避免。
二、运动的描述1、运动是宇宙中最普遍的现象，物理学里把 __________________ 叫做机械运动。
2、在研究物体的运动时， _____________________ 叫做参照物。
参照物的选择：任何科学探究包含有七个要素：提出问题T T ____________ T 分析和论证T__ T 制作计划与设计实验T 交流与合作物体都可做参照物，应根据需要选择合适的参照物（不能选被研究的物体作参照物）研究地面上物体的运动情况时，通常选地面为参照物。
人教版物理九年级全一册各章节知识点总结
第十三章内能本章知识结构图：一、分子热运动1.分子热运动：（1）物质的构成：常见的物质是由极其微小的粒子——分子、原子构成的。
无论大小，无论是否是生命体，物质都是由分子、原子等粒子构成。
（2）扩散：不同物质在相互接触时彼此进入对方的现象。
比如墨水在水中扩散等等。
a.扩散的物理意义：表明一切物质的分子都在不停地做无规则运动。
表明分子之间存在间隙。
b.扩散的特点：无论固体、液体，还是气体，都可以发生扩散。
发生扩散时每一个分子都是无规则运动的。
（3）分子的热运动a.定义：分子永不停息地做无规则运动叫做热运动。
无论物体处于什么状态、是什么形状、温度是高还是低都是如此。
因此，一切物体在任何情况下都具有内能。
b.影响因素：分子的运动与温度有关，物体温度越高，分子运动越剧烈。
2.分子间的作用力：（1）分子间同时存在着引力和斥力，它们是随着分子间距离的增大而减小，随着分子间距离的减小而增大，但是斥力变化要比引力变化快得多。
分子间作用力的特点如图：（2）固态、液态、气态的微观模型二、内能1.内能：（1）定义：构成物体的所有分子，其热运动的动能与分子势能的总和。
分子动能：分子由于运动而具有的能，其大小决定于温度高低。
分子势能：分子由于存在相互作用力而具有的能，其大小决定于分子间距。
单位是焦耳（J）。
（2）一切物体的分子都永不停息地做无规则运动，无论物体处于什么状态、是什么形状、温度是高还是低都是如此。
因此，一切物体在任何情况下都具有内能。
（3）同一物体的内能的大小与温度有关，温度越高，具有的内能就越多。
但不同物体的内能则不仅以温度的高低为依据来比较。
（4）影响内能大小的因素：分子的个数、分子的质量、热运动的剧烈程度（温度高低）、分子间相对位置。
2.物体内能的改变：（1）改变内能的方法：做功和热传递做功：两种不同形式的能量通过做功实现转化。
热传递：内能在不同物体间的转移。
（2）热量：a.定义：在热传递过程中，传递能量的多少叫做热量。
高三数学校本课程体例
高三数学校本课程体例（必考部分）第一章集合、常用逻辑用语1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题第二章函数1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题第三章导数及其应用1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题第四章三角函数与解三角形1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题第五章平面向量1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题第六章复数1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题第七章数列1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理第八章不等式与推理证明1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题第九章立体几何1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题第十章解析几何1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题第十一章概率1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题第十二章统计1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题第十三章算法初步与框图1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题（选考部分）选修4—1 几何证明选讲1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理选修4—4 坐标系与参数方程1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题选修4—5 不等式选讲1、章节结构图2、复习指导3、知识梳理4、典型例题分析5、典型习题6、05—11年高考真题。
章节结构图
第五章 数列章节结构图5．1 数列的概念(一)复习指导学习数列一章，要了解数列的概念和几种表示方法(列表、图象、通项公式等)，了解数列是自变量为正整数的一类函数．数列是定义在正整数集N*或其从1开始的有限子集{1，2，…，n }上的函数，即a n =f (n )．若f (n )是一个具体的函数表达式，则a n =f (n )是其通项公式．数列{a n }的前n 项和定义为S n =a 1+a 2+…+a n ，要理解S n 与a n 之间的关系． (二)解题方法指导例1．根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，9，17，33，…；(2);,9910,638,356,154,32(3)2，－6，12，－20，30，－42，…．例2．一给定函数y =f (x )的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n +1=f (a n )得到的数列{a n }满足a n +1＞a n (n ∈N*)，则该函数的图象是( )例3．若数列{a n }的前n 项和S n =n 2－10n (n =1，2，3，…)，则此数列的通项公式为____；数列{na n }中数值最小的项是第____项．例4．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放．从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)=____；f (n )=____(答案用n 表示)(其中)12)(1(613212222++=++++n n n n)．(三)体会与感受1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________5．2 等差数列(一)复习指导1．理解等差数列、公差及等差中项等概念．等差数列{a n }中，a n +1=a n +d ，⋅+=++)(2121n n n a a a2．掌握等差数列的通项公式和前n 项和的公式：.2)1(2)(,)()1(111d n n naa an Sd m n ad n aannmn-+=+=-+=-+=3．掌握等差数列的有关性质： (1)等差数列{a n }中，公差为d ， 若d ＞0，则{a n }是递增数列； 若d =0，则{a n }是常数列； 若d ＜0，则{a n }是递减数列．(2)等差数列{a n }中，若m +n =s +t (m ，n ，s ，t ∈N*)，则a m +a n =a s +a t ． (二)解题方法指导例1．设{a n }是等差数列，前n 项和为S n . (1)已知a 6=5，a 3+a 8=5，求a 9；(2)已知a 1+a 2+a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11+a 12+a 13； (3)已知a 10=10，S 10=70，求公差d ； (4)已知S 3=9，S 6=36，求a 7+a 8+a 9．例2．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A nn ，则使nn b a 得为整数的正整数n 的个数是( ) (A)2(B)3(C)4(D)5例3．已知函数:244)(+=x xx f(Ⅰ)若x 1+x 2=1，求f (x 1)+f (x 2)的值； (Ⅱ)设)2011(n f a n =，求数列{a n }的前2010项的和．例4．数列{a n }的前n 项和为S n =npa n (n ∈N*)且a 1≠a 2， (Ⅰ)求常数p 的值； (Ⅱ)证明：数列{a n }是等差数列．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________5．3 等比数列(一)复习指导1．理解等比数列、公比及等比中项等概念．等比数列{a n }中，⋅==+++2211,n n n n n a a a q a a2．掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式：⎪⎩⎪⎨⎧=/--====--.1,1)1(,1,,1111q q q a q na S q a q a a n nmn ni n n 3．掌握等比数列的有关性质：(1)等比数列{a n }中，公比为q ，当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时为递增数列； 当a 1＜0，q ＞1或a 1＞0，0＜q ＜1时为递减数列；当q＜0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．(2)若m+n=s+t(m，n，s，t∈N*)，则a m·a n=a s·a t．(二)解题方法指导例1．设{a n}是等比数列，前n项和为S n．(1)已知a6=6，a9=9，求a3；(2)已知S1，2S2，3S3成等差数列，求{a n}的公比q；(3)已知a3=－4，a4=6，求S5；(4)已知a6=192，a8=768，求S10．例2．若等比数列{a n}的公比q＜0，前n项和为S n，则S8a9与S9a8的大小关系是( )(A)S8a9＞S9a8(B)S8a9＜S9a8(C)S8a9=S9a8(D)不确定例3．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=qa n+m(n∈N*，q，m∈R且mq≠0)(Ⅰ)当q=2，m=1时，是否存在实数x，使得数列{a n+x}是等比数列?(Ⅱ)对于q，m∈R且mq≠0，是否存在实数x，使得数列{a n+x}是等比数列?例4．已知{a n}是等比数列，a1=2，a3=18；{b n}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{b n}的前n项和S n的公式；(Ⅲ)设P n=b1+b4+b7+…+b3n－2，Q n=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n 与Q n的大小，并证明你的结论．(三)体会与感受1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________5．4数列求和(一)复习指导数列{a n}的前n项的和记作S n，即S n=a1+a2+…+a n．若{a n }是等差数列，公差为d ，则.2)1(2)(11d n n naa a n S n n ++=+=若{a n }是等比数列，公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧=/--==.1,1)1(,1,11q q q a q na S n n或⎪⎩⎪⎨⎧=/--==.1,1,1,11q q q a a q na s n n常见的求和方法：(1)化归为等差数列或等比数列求和；(2)倒序相加；(3)错位相减；(4)分组求和；(5)裂项相消等．(二)解题方法指导例1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5，那么a 18的值为____，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为____．例2．已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)令b n =a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和．例3．化简⋅+-++⋅+⋅=)12)(12()2(534312222n n n s n(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________5．5 数列的综合应用(一)(一)复习指导理解数列是自变量为正整数集N*(或{1，2，3，…，n })的一类函数，会用函数中的方法处理问题，如项的最大、最小，单调递增、递减，前n 项和的最大值、最小值等．能把与等差数列、等比数列有关的问题进行转化，会用解决等差数列、等比数列的方法处理问题．能利用等差数列、等比数列的概念、通项公式与前n 项和公式解决简单的实际问题． (二)解题方法指导例1．已知函数⎩⎨⎧⋅∈≤<--+--≤=*),1(),1()]1([),0(,0)(Νn n x n n f n x n x x f 数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N*)，则数列{a n }的通项公式为____．例2．数列{a n }，{b n }(n =1，2，3，…)由下列条件所确定： (i)a 1＜0，b 1＞0；(ii)k ≥2时，a k 与b k 满足如下条件： 当a k －1+b k －1≥0时，;2,111---+==k k k k k b a b a a当a k －1+b k －1＜0时，⋅=+=---111,2k k k k k b b b a a那么，当a 1=－5，b 1=5时，{a n }的通项公式为⎩⎨⎧≥=-=;2______,,1,5n n a n当b 1＞b 2＞…＞b n (n ≥2)时，用a 1，b 1表示{b k }的通项公式为b k =____(k =2，3…，n )． 例3．某工厂生产总值月增长率为p ，求年平均增长率． 例4．下表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数． (Ⅰ)写出a 45的值； (Ⅱ)写出a ij 的计算公式；(Ⅲ)证明：正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________5．6 数列的综合应用(二)(一)复习指导要注意数列知识的综合，也要注意与其他知识的结合，如函数、不等式、三角函数、解析几何等．(二)解题方法指导例1．在等差数列{a n }中，前n 项的和为mn S n=，前m 项的和为nm S m=，其中m ≠n ，则S m +n 的值 ( ) (A)大于4 (B)等于4 (C)小于4 (D)大于2且小于4 例2．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1+a 2+a 3+…+a 4n =A ，a 1·a 2·a 3·…·a 4n =B ，则=++++na a a a 43211111 =( )(A)nAB 2(B)nBA 2(C)nBA 4(D)nAB 4例3．在公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，已知a 1=b 1=1，a 2＝b 2，a 6=b 3． (Ⅰ)求{a n }的公差与{b n }的公比；(Ⅱ)是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n 都有a n =log a b n +b 成立?若存在，求出a ，b ；若不存在，说明理由．例4．已知二次函数y =f (x )的图象经过坐标原点，其导函数)('x f =6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N*)均在函数y =f (x )的图象上．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设11+=n n n a a b ，T n 是数列{bn }的前n 项和，求使得20m T n<对所有n ∈N*都成立的最小正整数m ．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________例 题 解 析第五章 数 列5.1数列的概念例1分析：观察数列的项与序号之间的联系，注意从函数增减、数式的运算、符号的特点等方面思考.解：(Ⅰ)联想数列2，4，8，16，32，…，可知所求通项公式为a n ＝2n ＋1. (Ⅱ)分别观察各项分子与分母的规律，分子为偶数列{2n }；分母为1×3，3×5，5×7，7×9，…，故所求通项公式为⋅+-=)12)(12(2n n na n(Ⅲ)将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，…，于是可得已知数列的通项公式为a n＝(－1)n ＋1·n (n ＋1).小结：适当的分拆、合理的运算可寻找出数列的变化规律，由此可体会“配”方法. 例2分析：用函数的观点去分析.解：由a n ＋1＝f (a n )及a n ＋1＞a n (n ∈N*)可知，函数y ＝f (x )中y ＞x ，x ∈(0，1)，因此，函数图象在直线y ＝x 上方.选A ．小结：数列的图象上的点为(n ，a n )是离散的.注意用函数思想指导解题.例3分析：已知S n 求a n ，利用⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,11n S S n S a n nn解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －(n －1)2＋10(n －1)＝2n －11. ∴a n ＝2n －11.由na n ＝2n 2－11n ，可知f (x )＝2x 2－11x 为关于x 的二次函数，其对称轴411=x满足.341125<<因此na n 中3a 3最小，即数列{na n }中数值最小的项是第3项.小结：(1)由前n 项和S n 求出通项a n ，能归为一个式子时写成一个式子，不然就分段表示.如{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，求得⎩⎨⎧≥-==.2,12,1,2n n n a n(2)由前n 项积T n 求出通项a n ，也是能归为一个式子时写成一个式子，不然就分段表示.如{a n }的前n 项积T n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，求得⎪⎩⎪⎨⎧≥-==.2,)1(,1,12n n n n a n其中利用⎪⎩⎪⎨⎧≥==-.2,,1,11n TT n T a n n n 例4分析：查清第n 堆最底层的球数.解：第n 堆最底层的球数).(21)1(213212n n n n n a n+=+=++++=∴第n 堆的球数f (n )＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n)321(21)321(212222n n +++++++++=⋅++=++++=)2)(1(61)12)(1(121)1(41n n n n n n n n⋅++==∴6)2)(1()(,10)3(n n n n f f小结：注意新情景的理解.对于公式)12)(1(613212222++=++++n n n n，读者不妨利用(n ＋1)3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1叠加得出.5.2 等差数列例1分析：等差数列的基本量a 1，d 的应用及通项公式、前n 项和公式是解决问题的基本方法和思路.解：(1)由a 6＝5，a 3＋a 8＝5，得(5－3d )＋(5＋2d )＝5，所以d ＝5.a 9＝a 6＋3d ＝5＋3×5＝20.(2)由a 1＋a 2＋a 3＝15，得a 2＝5.又a 1a 2a 3＝80，即(5－d )×5×(5＋d )＝80. ∴d ＝±3.当d ＝3时，a 11＋a 12＋a 13＝(a 1＋a 2＋a 3)＋30d ＝15＋3×30＝105； 当d ＝－3时，a 11＋a 12＋a 13＝(a 1＋a 2＋a 3)＋30d ＝15＋(－3)×30＝－75.(3)由a 10＝10，S 10＝70，得2)10(10701+=a ，所以a 1＝4.故⋅=-=-=3294109110a a d(4)由于数列{a n }成等差数列，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等差数列， ∴a 7＋a 8＋a 9＝2(S 6－S 3)－S 3＝2S 6－3S 3＝72－27＝45.小结：(1)灵活运用等差数列中的公式a n ＝a m ＋(n －m )d 及其变形公式)(n m m n a a d mn =/--=解决问题； (2)数列{a n }成等差数列，∴S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也成等差数列.例2分析：由等差数列的前n 项和的特点，知其常数项为零，可设出相应和的形式或利用等差数列的中项性质解决.解－：由题意，设A n ＝(7n ＋45)nk ，B n ＝(n ＋3)nk ，则a n ＝A n －A n －1＝14nk ＋38k ，b n ＝B n －B n －1＝2nk ＋2k ，11271197++=++=∴n n n b a nn ，要使nn b a 为整数，则正整数n ＝1，2，3，5，11，故选D ．解二：2)12(2)12(22121121121121----+⋅-+⋅-=++=n n n n nn b b n a a n b b a a b a3)12(45)12(71212+-+-==--n n B A n n1197++=n n 下同法一.小结：本题解法颇多，对通项与前n 项和的关系进行必要的考查. 例3分析：利用题(Ⅰ)，寻找规律. 解：(Ⅰ)由x 1＋x 2＝1，得x 2＝1－x 1. f (x 1)＋f (x 2)＝f (x 1)＋f (1－x 2).1242244244442442442441111111111111=+++=+++=+++=--x x x x x x x x x x x(Ⅱ))20112010()20112009()20112()20111(2010f f f f S ++++=)]20111006()20111005([)]20112009()20112([)]20112010()20111([f f f f f f ++++++=＝1005小结：本题求和体现了等差数列的求和公式的推导方法：倒序相加. 例4分析：(1)注意讨论p 的可能取值. (2)运用公式⎩⎨⎧≥-==-.2,111n S S n S a n nn求a n .解：(Ⅰ)当n ＝1时，a 1＝pa 1，若p ＝1时，a 1＋a 2＝2pa 2＝2a 2， ∴a 1＝a 2，与已知矛盾，故p ≠1.则a 1＝0. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2pa 2. ∴(2p －1)a 2＝0. ∵a 1≠a 2，故⋅=21p(Ⅱ)由已知.0,211==a na S n nn ≥2时，⋅--=-=--11)1(2121n nn n n a n naS S a⋅--=∴-211n n a a n n 则,12,,322321=--=--a a n n a a n n 12-=∴n a a n.∴a n ＝(n －1)a 2，a n －a n －1＝a 2.故{a n }是以a 2为公差，以a 1为首项的等差数列.小结：本题为“知S n 与a n 的关系，求a n ”的问题，体现了数列的一般性质的应用.5.3 等比数列例1分析：利用等比数列的基本量a 1，q 及通项公式、前n 项和公式是解决问题的基本方法.解：(1)a 3，a 6，a 9成等比数列，故.49263==a a a(2)由题意，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，故q (3q －1)＝0.又q ≠0，所以⋅=31q(3)由a 3＝－4，a 4＝6，得,23,9161-=-=q a 所以⋅-=-----=955)23(1])23(1[91655S(4)由a 6＝192，a 8＝768，得⎩⎨⎧-=-=261q a 或⎩⎨⎧==.261q a ，故S 10＝2046或6138.小结：注意公式的应用.例2分析：由等比数列通项公式与前n 项和公式得7191818189981)1(1)1(qa qq a qa qq a a S a S ⋅---⋅--=⋅-⋅⋅-=--=----=q a qq qa qaqqqa 2717821167168211)(1)]()[(又q ＜0，则S 8·a 9－S 9·a 8＞0，即S 8·a 9＞S 9·a 8.答案：A例3分析：若{a n ＋x }是等比数列，则必有q ′≠0，使a n ＋1＋x ＝q ′(a n ＋x )成立.比较可得. 解：(Ⅰ)由题意，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，故a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，取x ＝1即可.(Ⅱ)如果{a n ＋x }是等比数列，则存在常数q ′，对于任意n ∈N*有a n ＋1＋x ＝q ′(a n ＋x )，即a n ＋1＝q ′a n ＋x (q ′－1)，又已知a n ＋1＝qa n ＋m ，所以(q －q ′)a n ＝x (q ′－1)－m ，因为该式对任意n ∈N*都成立，所以q ＝q ′，x (q ′－1)－m ＝0，所以当q ≠1时，⋅-=1q m x 当q ＝1时，x 不存在.小结：(1)在解决问题时要注意待定系数法的应用； (2)当q ＝1时，x 不存在，原问题变成了等差数列问题.例4分析：将已知转化成基本量的关系式，求出首项和公比后，再进行其它运算.解：(Ⅰ)设{a n }的公比为q ，由a 3＝a 1q 2得.3,9132±===q a aq当q ＝－3时，a 1＋a 2＋a 3＝2－6＋18＝14＜20，这与a 1＋a 2＋a 3＞20矛盾，故舍去. 当q ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2＋6＋18＝26＞20，故符合题意. 设数列{b n }的公差为d ，由b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝26得.2623441=⨯+d b又b 1＝2，解得d ＝3，所以b n ＝3n －1. (Ⅱ) .21232)(21n nb b n S n n+=+=(Ⅲ)b 1，b 4，b 7，…，b 3n －2组成以3d 为公差的等差数列， 所以;252932)1(21n nd n n nb p n -=⋅-+=b 10，b 12，b 14，…，b 2n ＋8组成以2d 为公差的等差数列，b 10＝29， 所以.1923)263()2529(.26322)1(22210）（-=+--=-+=⋅-+=n n n n n n Q P n n d n n nb Q n n n所以，对于正整数n ，当n ≥20时，P n ＞Q n ；当n ＝19时，P n ＝Q n ；当n ≤18时，P n ＜Q n .小结：本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.5.4 数列求和例1分析：本题是课本知识学习的再现，通过阅读，在理解了课本上研究问题的思路的基础上，此题是很容易解决的.解：由题意可知此数列为2，3，2，3，2，3，…，故a 18＝3；当n 为偶数时，nS n25=；当n 为奇数时，⋅-=2125n S n小结：等差数列、等比数列的定义给了我们“看数列”的方法：主动地利用运算解决问题. 例2分析：本题考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.解：(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d ， 则a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12， 又a 1＝2，得d ＝2. 所以a n ＝2n .(Ⅱ)令S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则由b n ＝a n x n ＝2nx n ，得S n ＝2x ＋4x 2＋…＋(2n －x )x n －1＋2nx n ，①xS n ＝2x 2＋4x 3＋…＋(2n －2)x n ＋2nx n ＋1② ①式减去②式，得(1－x )S n ＝2(x ＋x 2＋…＋x n )－2nx n ＋1.③当x ＝1时，由①，S n ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)；当x ≠1时，由③得,21)1(2)1(1+---=-n nn nxxx x S x所以⋅----=+xnxx x x S n nn12)1()1(212综上可得⎪⎩⎪⎨⎧=/----=+=+.1,12)1()1(2,1),1(12x x nxx x x x n n s n n n小结：本题注意分类讨论的数学思想方法解决问题.另外要注意在求x ＋x 2＋…＋x n 的时候，没有说{x n }等比数列，当x ＝0时，{x n}并不是等比数列，但xx x xxx nn--=+++1)1(2成立.例3分析：,)12)(12(22+-=n n n a n）（{a n ｝既非等差数列，又非等比数列，没有公式可直接用.注意到分式的变形方法，分子分母都在变化，可使得分子成为定值，只分母变化，问题得以转化.解：)12)(12(111)2(11)2()12)(12()2(222+-+=-+-=+-n n n n n n n])12()12(1751531311[+⋅-++⋅+⋅+⋅+=∴n n n Sn)]121121()7151()5131()3111[21+--++-+-+-+=n n n⋅+-+=)1211(21n n小结：(1)本题第一步所用方法，通常称为“分离常数”，它事实上是数学中变形的重要方法“一元化”；(2)本题第二步所用方法，通常称为“裂项相消”，它符合“为了更好的一跃而后退”的哲理.5.5 数列的综合应用(一)例1分析：将a n ＝f (n )(n ∈N*)代入函数式解决. 解：由题意，a n ＝f (n )＝n ＋a n －1，即a n －a n －1＝n ，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…⋅+=+2)1(n n n小结：函数解析式只是一个形式，注意理解形式下的实质内容.例2分析：认真阅读题目所给条件，弄清采用哪个递推关系解决问题. 解：(1)当a 1＝－5，b 1＝5时，a 1＋b 1＝0，故a 2＝a 1＝－5， 02112=+=b a b此时,,0,21)5(21,05,232322==⨯-==<-=+b b a a b a⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯-=-=-.2,)21()5(,1,52n n a n n填;)21(52--n(2)当b 1＞b 2＞…＞b n (n ≥2)时，利用当a k －1＋b k －1≥0时，2,111---+==k k k k kb a b a a ，得112121a b b k k +=-.所以)(21111a b a b k k -=--，所以.)21)((1111--=-k k a b a b填.)21)((1111--+=k k a b a b小结：认真阅读题中所给条件，是正确解答问题的前提.例3分析：设第一个月产值为a ，则第二个月产值增长了ap ，第二个月的产值为a ＋ap ＝a (1＋p )，第三个月的产值为a (1＋p )2，… 各月产值依次组成一个公比为1＋q 的等比数列.这个数列的前12项和S 12表示第一年的总产值，S 24－S 12表示第二年的总产值.S 12，S 24－S 12，S 36－S 24，…组成一个新的等比数列，其公比是(1＋q )12，因此年平均增长率为.1)1()1(1212121212-+=-+q S S q S例4(Ⅰ)解：a 45＝49.(Ⅱ)解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)， 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j ＝7＋5(j －1)， ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， 因此a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .(Ⅲ)证明：必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数ij 使得N ＝i (2j ＋1)＋j ，从而2N ＋1＝2i (2j ＋1)＋2j ＋1＝(2i ＋1)(2j ＋1)，即正整数2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N ＋1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k 、l ，使得2N ＋1＝(2k ＋1)(2l ＋1)，从而N ＝k (2l ＋1)＋l ＝a kl ，可见N 在该等差数阵中.综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积.5.6 数列的综合应用(二)例1分析：由题意，可设S k ＝ak 2＋bk ，k ∈N ＋，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=+=+n m bm am mn bn an 22,解得⎪⎩⎪⎨⎧==.01b mn a 所以mn k S k 2=. 44)(2=>+=∴+mnmn mnn m S nm ，选A ．小结：本题数列与不等式结合，渗透了方程思想，能够促进学生掌握等差数列的求和公式及均值不等式等知识.例2分析1.(直接翻译)设等比数列{a n }的公比为q ，由,,43214321B a a a a A a a a a n n =⋅⋯⋅⋅⋅=+⋯+++得.,1)1(2)]14(1)[14(411B qa A qq a n n n n==---+-nnn nnBAqq a qa qq a a a a a 2411421413211)1(.111])1(1[11111=--=--=++++-分析2.(利用等比数列的性质)B a a a a n =⋅⋯⋅⋅⋅4321⇔nn n B a a a a 214241==⋅=⋅-nn n n n n nnBAa a a a a a a a a a a a a a a a 21421424141142414321)11(111111=++++=++++=++++--- ）（．分析3.作为选择题，我们又可以用特殊值检验，如此题，设数列为1，2，4，8，n ＝1，则A ＝15，B ＝16，选择支代入验证，选B ．例3解：(Ⅰ)设公差为d ，公比为q ，则⎩⎨⎧==⇔⎩⎨⎧=+=+.4,351,12q d qd q d(Ⅱ)假设存在常数a ，b 使得对于一切自然数n 都有a n ＝log a b n ＋b 即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧==⇔⎩⎨⎧=--=-.1,4024log ,04log 33b a b a a 例4解：(Ⅰ)由二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，可设f (x )＝ax 2＋bx ，因为f ′(x )＝2ax ＋b ＝6x －2，所以f (x )＝3x 2－2x ，因为点(n ，S n )(n ∈N*)均在函数y ＝f (x )的图象上，所以S n ＝3n 2－2n ，所以.561,1,1,561,1,11-=⎩⎨⎧=>-=⎩⎨⎧=>-=-n n n n n S n S S a n n n (Ⅱ)因为)161561(61)16)(56(1+--=+-=n n n n b n所以)1611(61)]161561()13171)711[(61+-=+--++-+-=n n n T n0)761161(611>+-+=-+n n T T n n122161T T T T T n n n >>>>>>∴--要使得20m T n <对所有n ∈N*都成立，只需使2061m ≤即可，所以313620=≥m ，所以使得20m T n <对所有n ∈N*都成立的最小正整数m ＝4.。
初一至初二上册课本内结构图及知识点总结
七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章 有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (p q≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (aa ；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a.13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.第二章 整式的加减一．知识框架二.知识概念1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
国际商法知识结构图
再版新编国际商法各章中心内容图表法讲解归纳第一章导论本章中心内容是国际商法概论、西方两大法律体系的比较，以及中国重要民商立法，可以用下面图表归纳第一节国际商法概论第五节国际商法的基本原则第二章商事组织法本章中心内容是公司与股份有限公司，可以用下面图表加以简要归纳。
第一节商事组织法概论个人企业、合伙和公司三种法律形式三、90年代后期的努力1、跨国兼购的特点2、双边与多边努力3、世贸组织的有关规定第六节中国的商事组织与商事组织法1、公司法；2、国有独资企业；3、公司法的修改第三章合同法本章中心内容是合同的成立、合意、履行与消灭；中国的新合同法以及电子商务示范法律。
这些内容可以用下面图表加以归纳总结五、特殊情况1、大陆法的情势变迁2、英美法的合同落空3、不可抗力第四章国际货物买卖合同法本章中心内容是围绕《1980年联合国国际货物买卖合同公约》展开的，可以用下面的图表加以归纳总结第一节概论一、货物所有权转移1、英国法：（1）特定物的买卖：以当事人的意图为转移（2）非特定物的买卖：指凭说明买卖的货物，特定化之前即划归合同项下之前不转移2、法国法：订立合同时转移3、德国法：（1）动产：货物交付转移（2）不动产：向主管单位登记转移4、美国法：交付货物为转移5、《华沙-牛津规则》：CIF ——交付单据转移同样适用FOB 、CFR公约规定：由于各国分歧太大，无法调和，没有涉及第七节合同的条款与形式第四章 产品责任法本章中心内容是美国产品责任理论，以及中国的产品质量法，可用下面图表归纳和总结 第一节 产品责任法概论二、货物风险转移1、物主承担原则：英国和法国 （所有权转移决定风险转移）2、交货决定转移：美国、法国、奥地利3、公约规定：与美国等相同4、贸易术语：（1）EXW 合同：工厂指定地点交货转移 （2）FOB 、CIF 、CFR 合同：装运港越过船舷 （3）目的港交货合同：货交买方掌握一、1977年《关于造成人身伤害和死亡产品责任欧洲公约》（《斯特拉斯堡公约》）3、关于产品的定义可以移动的物品，不包括初级农产品和赌博用品第五节产品责任法的新发展1、通行全程产品责任2、推动全球烟草控制3、“召回制”势在必行第六节中国的产品质量法一一新法的主要内容第六章代理法本章中心内容是代理的产生、分类、内外部关系与中国的外贸代理制，可用下面图表加以归纳第一节代理法概论二、承担特别1、信用担保代理人；2、运输代理人；3、保险经纪人；4、保付代理人责任的代理人5、对商业信用证加以保兑的保兑行第五节中国的代理法与外贸代理制一、中国关于代理的法律、分类与性质一、新合同法前的3个法律规定1、《民法通则》规定直接代理；2、1991年对外贸易与合作部发布实施的《关于对外贸易代理制的暂行规定》，虽然规定了间接代理，但由于是行政部门法规，缺乏权威性；3、1994年《中华人民共和国对外贸易法》没有为间接代理提供法律依据二、新合同法的规定1、引入英美法不显名代理（402条）和隐名代理（403条）制度；2、借鉴英美法的直接请求权2、采用了传统大陆法间接代理的概念—一行纪合同三、放开外贸经营权，改革外贸代理制1、以审批制为基础2、逐步开放外贸经营权3、大幅度修改对外贸易法，扩大外贸经营者范围第七章票据法本章中心内容是票据、汇票与两大法系关于汇票的不同规定，可以用下面图表加以归纳第一节票据法概论十二、公约规定同大陆法第八章知识产权保护法本章中心内容是商标、专利和版权的申请及其有关的国际公约、TRIPs的基本原则与主要内容，可用下面图表加以归纳总结2、1955年（1974年新修订）世界版权公约及其3原则（国民待遇、非自动保护和最低限度保护）三、世界知识产权组织1、联合国机构之一；2、宗旨和主要任务；3、主要机构第六节中国的知识产权保护法主要特点第九章国际商事仲裁本章中心内容是仲裁特点、仲裁协议、仲裁条款及其独立性以及仲裁裁决的承认与执行，可用下面的图表归纳。
考研数学一章节知识结构图
重积分
计算公式 二重积分的极坐标变换面积微元 重积分变量替换 三重积分柱坐标变换，体积微元
d σ= rdrd θ dV = rdrd θ dz
三重积分球坐标变换、体积微元
几何应用 应用 物理应用 多元函数积 分学 平面图形面积、体积 质量、质心、转动惯量
dV = ρ sin ? dρ d? dθ
2
基本概念、性质
8
第九章
常微分方程
基本概念 一阶微分方程 基本类型 变量可分离方程 一阶线性方程 全微分方程 伯努力方程 可化为基本类型 齐次方程 用某些简单的变量代换求解某些微分方程
常 微 分 方 程
解的叠加原理 性质 通解的结构 可降阶的 高 阶微分方程 基本概念 可降阶的类型 二阶，高阶微分方程
基本概念 二阶线性常系数方程 高阶线 性微 分方程 二阶微分方程（含 某些高阶情形） 特殊的二阶线性变系数方程 可化为求解微分方程的情形（含变限积分的方程）
奇偶性与周期函数的导数性质 隐函数与反函数求导法 分阶函数求导法 基本求导法则 含参数方程所确定的函数的求导 对数求导法及幂指数求导法 导 数的 计 算与 高 阶导数 高阶导数
导 数 与 微 分
高阶导数的定义
极大值、极小值
微分 中值 定理 与 导数的应用
几种微分中值定理
（ 费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公定、柯西定理）
17
第三章
多维随机变量及其概率分布
基本概念
多维，二维随机变量 离散型
考研数学一章节知识结构图
第一部分 第一章 高等数学 函数、极限与连续性
函数的概念 反函数、复和函数 函数 常见的几种函数形式（初等函数、分段函数、隐函数、由参数确定的函 数、由变限积分确定的函数，由级数确定的函数） 函数的四种特性：单调性、奇偶性、周期性、有界性
初中数学知识点及结构图(新人教版)
1 -七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章 有理数一． 知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.2 -10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
初中数学知识点及结构图(新人教版)
七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章 有理数一． 知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
章节结构图
第二章函数一、章节结构图二、复习指导函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数的数学思想方法贯穿于高中数学课程的始终，函数又是初等数学和高等数学衔接内容，因此在历届高考中都占有很大的比例，成为数学高考的重点和热点，考察的内容涉及函数的概念，定义域、值域，函数的奇偶性、单调性和周期性，图象的变换和函数知识的综合运用等，考察的数学思想或方法有函数与方程、分类讨论、等价转化、数形结合、待定系数法和换元法等．做好函数的复习将有利于整个高中数学的复习．按照新课标的要求，复习中要始终强化函数的对应、运动变化等本质特征，重视对函数概念的理解；以简单的函数为载体，全面复习函数的性质，再利用函数的性质研究较复杂的函数，在复习中应注意数形结合的训练，关注函数与其他知识的联系．2．1 函数的基本概念(一)复习指导1．映射：设A 、B 是两个集合，若按照某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素在B 中都有唯一的一个元素和它对应，则这样的对应称为A 到B 的映射记作f ：A →B ．2．一一映射：设f 是A 到B 的映射，并且对于B 中的每一个元素，在A 中都有唯一的一个原象，则称这个映射是从A 到B 的一一映射．3．函数：设集合A 是一个非空集合，对A 中的任意实数x ，按照对应法则f ，都有唯一确定的数与它对应，则称这种对应关系为A 上的一个函数．这里要注意：在映射中，要求元素的对应形式是“多对一”或“一对一”，一一映射中元素的对应形式必须是“一对一”．本节课复习的目的，是了解映射的概念，并在映射的基础上进一步加深对函数概念的理解，理解函数的三种表示方法．重点是对函数中对应法则f 的理解和应用．(二)解题方法指导例1．设A ={x :0≤x ≤2}，B ={y :－2≤y ≤2}则从A 到B 能构成映射的一个是( ) (A)x y x f 1:=→ (B)2:x y x f =→ (C)x y x f ±=→： (D)x x f 41→： 例2．试判断以下各组函数是否表示同一函数．x x g x x f 2log )(,)()1(22== (2)f (x )=lg x 2，g(x )=2lg x2)(24)()3(2-=+-=x x g x x x f (4)f (x )=x 3，g(t )=t 3 例3．已知f ：A →B ，其中A =B ＝R ，对应法则f :x →y =－x 2+2x(Ⅰ)对于实数k ∈B ，在集合A 中存在不同的两个原象，求k 的取值范围．(Ⅱ)若对于实数p ∈B ，在A 中不存在原象，求p 的取值范围．例4．从集合{a ，b ，c }到集合{m ，n ，p }可构成多少个映射，其中一一映射有多少个?例5．函数y =f (x )的图象与直线x =a (a ∈R )的交点个数为( )(A)0 (B)1 (C)0或1 (D)可多于1(三)体会与感受1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．2 函数的解析式及定义域(一)复习指导确定一个函数只需两个要素，就是定义域和函数的对应法则f ，定义域是自变量x 的取值范围，它是函数不可缺少的组成部分，在中学阶段，所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数x 的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量x 所代表的具体量的允许范围，求函数的定义域，有以下一些常见的情况：(1)若f (x )为整式，则函数的定义域为R ．(2)若f (x )为分式，则要求分母不为0．(3)若f (x )为对数形式，则要求真数大于0．(4)若f (x )为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负．此外，函数解析式涉及到零指幂或负指幂时，注意底不为0，涉及到分数指数幂时，注意底大于0；对于函数y =ϕtan (x )，应考虑ϕ(x ))(2ππZ k k ∈+=/等，如果函数f (x )是由几个数学式子构成的，则其定义域是使每个式子都有意义的实数集合．对函数中对应法则f 的作用，应该加深理解并能正确的应用．(二)解题方法指导例1．求下列函数的定义域： (1)⋅-=)32(log 12x y (2)⋅-=)3(log 25.0x y例2．已知y =f (x )的定义域为[－3，2]，求y =f (2x +3)的定义域．例3．已知f (x +1)=x 2－2x ，求f (x )及f (x －2)．例4．已知f (x )是二次函数，且满足f (x +1)+f (x －1)=2x 2－4x ，求f (x )．例5*．已知函数f (x )对任意x 均满足2f (x )+f (1－x )=x 2，求f (x )．(三)体会与感受1．重点知识________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．3 函数的值域与最大(小)值(一)复习指导函数的值域就是全体的函数值所构成的集合，在多数情况下，一旦函数的定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定了，而函数的最大(小)值一定是值域内最大(小)的一个函数值，因此求函数的值域和求函数的最大(小)值在方法上是相通的．求函数值域的情况比较复杂，本节通过例题，介绍几种比较常见的方法：(1)数形结合的方法；(2)换元法；(3)利用均值不等式；(4)反解变量法；(5)利用函数的单调性以后复习导数时还要讨论其它方法．(二)解题方法指导例1．求下列函数的值域：(1)f (x )=x 2－2x －3，x ∈[2，4] (2)f (x )=x 2－2x －3，x ∈[－3，4](3)f (x )=sin 2x －2sin x －3 (4)x x y 22)21(-=例2．求下列函数的值域： (1);152++=x x y (2)1sin 22sin -+=x x y例3．求函数2cos 1sin --=θθy 的值域．例4．求x x y -+-=42的值域．(三)体会与感受1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．4 函数的单调性与奇偶性(一)(一)复习指导本节主要复习函数的单调性．设函数y ＝f (x )定义域为A ，区间M ⊆A ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称f (x )在区间M 上是增函数，当Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称f (x )在区间M 上是减函数．如果y ＝f (x )在某个区间M 上是增(减)函数，则说y =f (x )在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间．函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u =φ(x )，然后分别根据u =φ(x )，y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．(二)解题方法指导例1．设a ≠0，试确定函数21)(x ax x f -=在(－1，1)上的单调性．例2．讨论xx x f 2)(+=的增减性．例3．f (x )在(－∞，2)上是增函数，且对任意实数x 均有f (4－x )=f (x )成立，判断f (x )在(2，+∞)上的增减性．例4*．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有21)()()(++=+n f m f n m f 且当21>x 时，f (x )＞0．又.0)21(=f (Ⅰ)求证;1)21(,21)0(-=--=f f (Ⅱ)判断函数f (x )的单调性并进行证明 (三)体会与感受1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．5 函数的单调性与奇偶性(二)(周期性)(一)复习指导(1)设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=－f (x )，则这个函数叫做奇函数；设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=f (x )，则这个函数叫做偶函数．函数的奇偶性有如下重要性质：f (x )奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称．f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称．此外，由奇函数定义可知：若奇函数f (x )在原点处有定义，则一定有f (0)=0，此时函数f (x )的图象一定通过原点．(2)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )成立，则函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．关于函数的周期性，下面结论是成立的．(1)若T 为函数f (x )的一个周期，则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数)．(2)若T 为y =f (x )的最小正周期，则||ωT为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期，其中ω≠0．(二)解题方法指导例1．在R 上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数例2．判断下列函数的奇偶性⋅++=)1lg()()1(2x x x f(2) 11)()(+-⋅=x x a a x x f ϕ(其中φ(x )为奇函数，a ＞0且a ≠1)．例3．设函数])1,1[(1)(2-∈+++=x bx x ax x f 是奇函数，判断它的增减性．例4．设f (x )是定义域为R 且以2为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当x ∈[2，3]时f (x )=(x －1)2+1，求当x ∈[1，2]时f (x )的解析式．(三)体会与感受1．重点知识________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．6 函数的图象(一)复习指导函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用．(1)利用平移变换作图：y =f (x )−−−→−左右平移y =f (x ＋a ) y =f (x )−−−→−上下平移y =f (x )＋b(2)利用和y =f (x )对称关系作图：y =f (－x )与y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =－f (x )与y =f (x )的图象关于x 轴对称y =－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称；y =f -1(x )与y =f (x )的图象关于直线y =x 对称(3)利用y =f (x )图象自身的某种对称性作图y =|f (x )|的图象可通过将y =f (x )的图象在x 轴下方的部分关于x 轴旋转180°，其余部分不变的方法作出．y =f (|x|)的图象：可先做出y =f (x )，当x ≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质，作出y =f (x )(x ＜0)的图象．此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究．还要记住一些结论：若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2b a x +=对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点(2b a +，0)对称． (二)解题方法指导例1．作出112++=x x y 的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性．例2．作出函数的图象 (1)1)1(32+-=x y(2)y =|lg|x||例3．(1)作出方程｜x｜+｜y｜=1所表示的曲线．(2)作出方程｜x－1｜+｜y+1｜=1所表示的曲线．例4．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x．(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≥f(x)－｜x－1｜．(三)体会与感受1．重点知识________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 2．问题与困惑______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3．经验问题梳理____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．7二次函数(一)复习指导1．二次函数的图象是抛物线，其解析式常有三种形式：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，常通过配方确定抛物线的顶点和对称轴．顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，抛物线的顶点为(m，k)，对称抽为x=m．零点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是相应方程ax2+bx+c=0的根．这里，系数a的符号决定了抛物线的开口方向，｜a｜的大小决定了抛物线的开口大小；在解题中，可根据条件选取恰当的形式用待定系数法求出函数的解析式．2．二次函数在给定区间上的最大(小)值．二次函数的值域和两个因素密切相关：一是所给的区间，二是对称轴的位置．根据所给条件条件，迅速作出草图，是解决这类问题的最佳方法．3．在复习中应特别注意二次函数，二次方程，二次不等式三者之间的关系．(二)解题方法指导例1．(1)已知二次函数f(x)的图象经过原点，且以(1，－2)为顶点，求这个二次函数．(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象满足f(2)=0，f(－5)=0，f(0)=1，求这个二次函数．例2．设f(x)=x2－4x－4的定义域为[t－2，t－1]，对于任意实数t，求f(x)的最小值 (t)的表达式．例3．当时x∈[－1，1]时，求y=x2+ax+3的最小值．例4．如果x 2－4x +3＜0和x 2－6x +8＜0同时成立时，不等式2x 2－9x +a ＜0也成立，求a 的取值范围．(三)体会与感受1．重点知识________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．8 指数函数(一)复习指导高中指数运算在初中整数指数幂的基础上加以推广了，需要学生能熟练进行根式与分数指数的互化，熟悉指数的运算法则．指数函数是高中阶段的基本函数之一，复习中要求学生能规范画出指数函数的示意图，同时要借助指数函数的图象掌握指数函数的性质，并应用指数函数的性质来解决一些函数问题．试题中常常以指数函数与其他函数复合，或以指数运算法则为模型的抽象函数的形式来考察．(二)解题方法指导例1．计算下列各式 (1)2121325.032)2.0()02.0(008.0945833(⨯÷+----）（）（） (2)653323)3(ab b a b a÷-⋅例2．已知函数f (x )满足f (a +b )=f (a )·f (b )，f (1)=2，则)3()4()2()1()2()1(22f f f f f f +++ =++++)7()8()4()5()6()3(22f f f f f f __________．例3．求下列函数的定义域、值域和单调区间．(1)y =4x +2x +1+1(2)232)31(+-=x x y例4．如果函数f (x )=a x (a x －3a 2－1)(a ＞0且a ≠1)在区间[0，+∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．(三)体会与感受1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．9 对数函数(一)复习指导对数由指数导出而又独立于指数，对数函数是高中阶段的基本函数之一，复习中要求学生能熟练掌握对数的运算法则、换底公式，熟练进行指对互化，能规范画出对数函数的示意图，同时要借助对数函数的图象掌握对数函数的性质，并应用对数函数的性质来解决一些函数问题．试题中常常以对数函数与其他函数复合，或以对数运算法则为模型的抽象函数的形式来考察．(二)解题方法指导例1．计算：;18lg 7lg 37lg 214lg )1(-+- (2)lg25+lg2·lg50+lg 22．例2．已知log 189=a ，18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．例3．已知f (x )=log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，求a 的取值范围．例4．已知函数f (x )=log a x (a ＞0，且a ≠1，x ∈(0，+∞))．若x 1，x 2∈(0，+∞)，判断)2()]()([212121x x f x f x f ++与的大小，并加以证明．例5．设0＜x ＜1，a ＞1，且a ≠1，试比较｜log a (1－x )｜与｜log a (1+x )｜的大小．(三)体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2．10 幂函数(一)复习指导幂函数是高中数学所学的基本函数之一，虽然在近几年高考大纲与教学大纲中没有出现，但它却蕴涵在历年高考函数类试题中，现在，高中数学新课标将幂函数重新列为必修内容，并作为高中阶段专门研究的四大基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、三角函数)之一，幂函数将在高中数学新课标高考复习中应给予重视。
七年级上学期数学章节知识点总结
七年级上学期数学章节知识点总结第一章：有理数1、知识点结构图如下：2、回顾与思考本章我们在小学学习的基础上，进一步认识了负数，使数的范围扩充到有理数。
引入负数不仅可以表示具有相反意义的量，而且还拓展了减法运算的范围。
由此，类似于x+2=1的方程就可以解了。
我们知道，有理数是整数与分数的统称。
由于整数可以看成是分母为1的分数，因此有理数可以写成qp （p、q 是整数，q≠0）的形式；另一方面，形如q p （p、q 是整数，q≠0）的数都是有理数。
所以，有理数可用q p （p、q 是整数，q≠0）表示。
本章我们研究了有理数的加、减、乘、除和乘方运算。
实际上，与负数有关的运算，我们都借助绝对值，将它们转化为正数之间的运算。
数轴不仅能直观表示数，而且还能帮助我们理解数的运算。
在运算的过程中，数形结合、转化是很重要的思想方法。
我们从具体数的加法和乘法中，归纳出了交换律、结合律和分配律等运算律。
运算律不仅能给数的运算带来方便，而且还是今后研究代数问题(如解方程、不等式等)的基础。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。
1。
你能举出一些实例，说明正数、负数在表示相反意义的量时的作用吗?2。
你能用一个图表示有理数的分类吗?引入负数后，减法中哪些原来不能进行的运算可以进行了?3。
怎样用数轴表示有理数?数轴与普通直线有什么不同?怎样利用数轴解释一个数的绝对值和相反数?4。
有理数的加法与减法、乘法与除法各有什么关系?有理数的混合运算都能转化为加法与乘法运算吗?5。
有理数有哪些运算律?结合例子说明运算律在有理数运算中的作用。
第二章：整式的加减法1、知识点结构图如下：2、回顾与思考本章学习了整式的有关概念与整式的加减运算。
由具体的数到用字母表示数，可以简明地表达一些一般的数量和数量关系，给研究问题和计算带来方便，这是数学上的一个重大发展。
从数到式，字母参与运算，得到了各种式子。
其中表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式。
高中数学集合知识讲解e
集合一、章节结构图123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩二、复习指导1．新课标知识点梳理在高中数学中，集合的初步知识与常用逻辑用语知识，与其它内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的根底，准确表述数学内容，更好交流的根底．集合知识点及其要求如下：1．集合的含义与表示(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于〞关系．(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2．集合间的根本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的根本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．1 集合的概念及其运算(一)(一)复习指导本节主要内容：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，会用集合的有关术语和符号表示一些简单\的集合．高考中经常把集合的概念、表示和运算放在一起考查．因此，复习中要把重点放在准确理解集合概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上．1．集合的根本概念(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合．集合中每个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作．(3)集合可分为有限集与无限集．(4)集合常用表示方法：列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法．(5)元素与集合间的关系运算；属于符号记作“∈〞；不属于，符号记作“∉〞．2．集合与集合的关系对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，就说集合B 包含集合A ，记作A ⊆B (读作A 包含于B )，这时也说集合A 是集合B 的子集．也可以记作B ⊇A (读作B 包含A )①子集有传递性，假设A ⊆B ，B ⊆C ，那么有A ⊆C .②空集是任何集合的子集，即⊆A③真子集：假设A ⊆B ，且至少有一个元素b ∈B ，而b ∉A ，称A 是B 的真子集．记作A B (或B ∉A )． ④假设A ⊆B 且B ⊆A ，那么A =B⑤含n (n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：2的n 次方个．(二)解题方法指导例1．选择题：(1)不能形成集合的是( )(A)大于2的全体实数(B)不等式3x －5＜6的所有解(C)方程y =3x +1所对应的直线上的所有点(D)x 轴附近的所有点(2)设集合62},23|{=≥=x x x A ，那么以下关系中正确的选项是( )(A)x A(B)x ∉A (C){x }∈A (D){x }A (3)设集合},214|{},,412|{Z Z ∈+==∈+==k k x x N k k x x M ，那么( ) (A)M =N(B)M N (C)M N(D)M ∩N = 例2．集合}68{N N ∈-∈=xx A ，试求集合A 的所有子集．例3．A ={x ｜－2＜x ＜5}，B ={x ｜m +1≤x ≤2m －1}，B ≠，且B ⊆A ，求m 的取值范围．例4*．集合A ={x ｜－1≤x ≤a }，B ={y ｜y =3x －2，x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，x ∈A }，假设C ⊆B ，求实数a 的取值范围．1．2集合的概念及其运算(二)(一)复习指导(1)补集：如果A ⊆S ，那么A 在S 中的补集s A ={x ｜x ∈S ，且x ≠A }．(2)交集：A ∩B ={x ｜x ∈A ，且x ∈B }(3)并集：A∪B={x｜x∈A，或x∈B}这里“或〞包含三种情形：①x∈A，且x∈B；②x∈A，但x∉B；③x∈B，但x∉A；这三局部元素构成了A∪B(4)交、并、补有如下运算法那么全集通常用U表示．(A∩B)=(U A)∪(U B)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)U(A∪B)=(U A)∩(U B)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)U(5)集合间元素的个数：card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B)集合关系运算常与函数的定义域、方程与不等式解集，解析几何中曲线间的相交问题等结合，表达出集合语言、集合思想在其他数学问题中的运用，因此集合关系运算也是高考常考知识点之一．(二)解题方法指导例1．(1)设全集U={a，b，c，d，e}．集合M={a，b，c}，集合N={b，d，e}，那么(U M)∩(U N)是( )(A)(B){d} (C){a，c} (D){b，e}(2)全集U={a，b，c，d，e}，集合M={c，d，e}，N={a，b，e}，那么集合｛a，b}可表示为( )(A)M∩N(B)(U M)∩N(C)M∩(U N) (D)(U M)∩(U N)例2．如图，U是全集，M、P、S为U的3个子集，那么以下图中阴影局部所表示的集合为( )(A)(M∩P)∩S(B)(M∩P)∪S(C)(M∩P)∩(U S) (D)(M∩P)∪(U S)例3．(1)设A={x｜x2－2x－3=0}，B={x｜ax=1}，假设A∪B=A，那么实数a的取值集合为____；(2)集合M={x｜x－a=0}，N={x｜ax－1=0}，假设M∩N=M，那么实数a的取值集合为____．例4．定义集合A－B={x｜x∈A，且x∉B}．(1)假设M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}那么N－M等于( )(A)M(B)N(C)｛1，4，5 } (D){6}(2)设M、P为两个非空集合，那么M－(M－P)等于( )(A)P(B)M∩P(C)M∪P(D)M例5．全集S={1，3，x3+3x2+2x}，A={1，|2x－1|}.如果sA={0}，那么这样的实数x是否存在?假设存在，求出x；假设不存在，请说明理由．例题解析1．1 集合的概念及其运算(1)例1分析：(1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2)注意“∈〞与“⊆〞以及x与{x}的区别；(3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换．解：(1)选D ．“附近〞不具有确定性．(2)选D ．(3)选B ． 方法一：N M ∉∉21,21故排除(A)、(C)，又N ∉∉43,43M ，故排除(D)． 方法二：集合M 的元素.),12(41412Z ∈+=+=k k k x 集合N 的元素=+=214k x Z ∈+k k ),2(41．而2k ＋1为奇数，k ＋2为全体整数，因此M N ． 小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化．例2分析：此题是用{x ｜x ∈P }形式给出的集合，注意此题中竖线前面的代表元素x ∈N ．解：由题意可知(6－x )是8的正约数，所以(6－x )可以是1，2，4，8；可以的x 为2，4，5，即A ={2，4，5}．∴A 的所有子集为，{2}，{4}，{5}，{2，4}，{2，5}，{4，5}，{2，4，5}．小结：一方面，用{x ｜x ∈P }形式给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；另一方面，含n (n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：+++210n n n C C C n n n C 2=+ 个．例3分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题．解：由题设知⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m ，解之得，2≤m ＜3．小结：(1)要善于利用数轴解集合问题．(2)此类题常见错误是：遗漏“等号〞或多“等号〞，可通过验证“等号〞问题防止犯错．(3)假设去掉条件“B ≠〞，那么不要漏掉⊆A 的情况．例4*分析：要首先明确集合B 、C 的意义，并将其化简，再利用C ⊆B 建立关于a 的不等式．解：∵A ＝[－1，a ]，∴B ={y ｜y =3x －2，x ∈A }，B =[－5，3a －2]⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤-=∈==∴1],,0[10],1,0[01],1,[}.,|{222a a a a a C A x x z z C(1)当－1≤a ＜0时，由C ⊆B ，得a 2≤1≤3a －2无解；(2)当0≤a ＜1时，1≤3a －2，得a =1；(3)当a ≥1时，a 2≤3a －2得1≤a ≤2综上所述，实数a 的取值范围是[1，2]．小结：准确理解集合B 和C 的含义(分别表示函数y =3x －2，y =x 2的值域，其中定义域为A )是解此题的关键．分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点．假设结合图象分析，结果更易直观理解．1．2 集合的概念及其运算(2)例1分析：注意此题含有求补、求交两种运算．求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律．解：(1)方法一：∵U M ={b ，c }，U N ={a ，c }∴(U M )∩(U N )=，答案选A方法二：(U M )∩(U N )= U (M ∪N )=∴答案选A方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化．∴答案选A(2)同理可得答案选B小结：交、并、补有如下运算法那么U (A ∩B )=(U A )∪(U B )；A ∩(B ∪C )=(A ∩B )∪(A ∩C )U (A ∪B )=(U A )∩(U B )；A ∪(B ∩C )=(A ∪B )∩(A ∪C )例2分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断．解：∵阴影中任一元素x 有x ∈M ，且x ∈P ，但x ∉S ，∴x ∈U S ．由交集、并集、补集的意义．∴x ∈(M ∩P )∩(U S )答案选D ．小结：灵活进行图形语言、文字语言、符号语言的转化是学好数学的重要能力．例3解：(1)由，集合A ={－1，3}， ⎪⎩⎪⎨⎧=/=∅=0}1{0a aa B ∵A ∪B =A 得B ⊆A∴分B =和}1{aB =两种情况． 当B ＝时，解得a =0；当}1{a B =时，解得a 的取值}31,1{- 综上可知a 的取值集合为⋅-}31,1,0{(2)由，⎪⎩⎪⎨⎧=/=∅==0}1{0},{a aa N a M ∵M ∩N =M ⇔M ⊆N当N =时，解得a =0；M ={0} 即M ∩N ≠M ∴a =0舍去当}1{a N =时，解得11±=⇔=a aa 综上可知a 的取值集合为{1，－1}．小结：(Ⅰ)要重视以下几个重要根本关系式在解题时发挥的作用：(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆B ；(A ∪B )⊇A ，(A ∪B )⊇B ；A ∩U A =，A ∪U A =U ；A ∩B =A ⇔A ⊆B ，A ∪B =B ⇔A ⊆B 等．(Ⅱ)要注意是任何集合的子集．但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用．例4解：(1)方法一：由，得N －M ={x ｜x ∈N ，且x ∉M }={6}，∴选D方法二：依画出图示∴选D ．(2)方法一：M －P 即为M 中除去M ∩P 的元素组成的集合，故M －(M －P )那么为M 中除去不为M ∩P 的元素的集合，所以选B ．方法二：由图示可知M =(M ∩P )∪(M －P )选B ．方法三：计算(1)中N －(N －M )={2，3}，比拟选项知选B ．小结：此题目的检测学生的阅读理解水平及适应、探索能力，考查学生在新情境中分析问题解决问题的能力．事实证明，虽然这类问题内容新颖，又灵活多样，但其涉及的数学知识显得相对简单和根底，要勇于尝试解题．例5*解：假设这样的x 存在，∵S A ={0}，∴0∈S ，且｜2x －1｜∈S ．易知x3＋3x2＋2x＝0，且｜2x－1｜=3，解之得，x=－1．当x=－1时，S={1，3，0}，A={1，3}，符合题设条件．∴存在实数x=－1满足S A={0}．。
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创造的过程
特点：整体性；基础性；内化性；综合性
素质教育的 素质教育目标的分解：1思想政治素质目标及教育2道德素质目标及教育3文化素质目标及教
内容 育4生理素质目标及教育5心理素质目标及教育6审美素质目标及教育7劳动素质目标及教育8
交往素质目标及教育
现代人格素质的基本特征
人格教育的方法：树立正确人生观和价值观-确定人格教育导向-明确道德基本规范的内容
道德认识：道德知识的掌握--道德评价能力的发展（他律--自律；客观效果--内在动机；
第八章 教会学 生做人
道德品质的 形成和发展
他人--自己；片面--全面） 道德情感 道德意志
道德行为
理论与实践相结合的原则
疏导原则
发扬积极因素、克服消极因素原则
德育原则 严格要求与尊重学生相结合原则
因材施教原则
在集体中教育原则
ห้องสมุดไป่ตู้
教育影响一致性和连贯性原则
说服教育
学生教育的 方法
榜样和示范
榜样具备五个条件：特点突出；符合年龄特征；可行性；可信任性；感人 示范的形式：行为；言语；象征性；抽象；创造；参与性；延迟示范
锻炼：练习；制度；委托任务；组织活动
修养：学习；座右铭；立志；自我批评；慎独（在无人监督时能自觉按照道德规范要求自
陶冶
人格感化；环境陶冶；艺术陶冶
评价：奖励；惩罚；操行评定