一些经典初等数学模型

初等数学模型

本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法

复习要求

1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。

2．进一步理解数学模型的作用与特点。

类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.

利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.

1．雨中行走问题

雨中行走问题的结论是：

（1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即20πθ≤≤，那么全身被淋的雨水总量为

⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=++=+=h v hr dr pwD v r h dr v pwD C C C θθθθcos sin )]cos (sin [21 这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑.

（2）如果雨是从你的背后落下，即

πθπ≤≤2. 令απθ+=2，则20πα<<. 那么全身被淋

的雨水总量为 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=h v rh rd Dpw v C ααθsin cos ),( 这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.

从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C ，而C =C （v ），于是问题便归结为确定速度v ，使C （v ）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定。

有了确定的建模目的，自然引出与C （v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个

主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必

说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立

起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个

模型的原因，是符合人们的认识规律的.

另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模

型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步

完善模型的需要.

例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如

图2-1）的东偏南)102(cos =θθ方向300km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向 西偏北︒45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km ，并以10km /h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受

到台风的侵袭？

问题分析与假设

1. 根据问题解决目的：问几小时后该城市开始受到台风的侵

袭，以及台风侵袭的范围为圆形的假设，只要求出以台风中心p （动点）为圆心的圆的半径r ，这个圆的半径划过的区域自然是侵

袭范围.

2. 台风中心是动的，移动方向为向西偏北︒45，速度为20km /h ，而当前半径为60km ，并以10km /h 的速度不断增大，即半径的增加

速度为t t r 1060)(+=，t 为时间.于是只要6010+≤t p o ，便是城 图2-1

市O 受到侵袭的开始.

模型I 如图2-2建立坐标系：以O 为原点，正东方向

为x 轴正向.在时刻t (h )台风中心),(y x P 的坐标为

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是

,)]([)()(222t r y y x x ≤-+-

其中r (t )=10t +60. 图2-2

若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有

,)6010()0()0(222+≤-+-t y x

即 ,)6010()2

2201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 整理可得 ,0288362≤+-t t

由此解得 12≤t ≤24，即12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

模型II 设在时刻t (h )台风中心为P （如图2-2），此时台风侵袭的圆形半径为10t +60，因此，若在时刻t 城市O 受到台风侵袭，应有

6010+≤t P O

由余弦定理知

.cos 2222P OP PO P P PO P P P O ∠⋅⋅-+=

注意到 t P P OP 20,300==

,542210212210245sin sin 45cos cos )45cos(cos 2=⨯-+⨯=

︒

⋅+︒⋅=︒-=∠θθθP OP

故 .

30096002054300202300)20(222222+-=⨯

⨯⨯-+=t t t t P O

因此 .)6010(3009600202222+≤+-t t t

即 0288362≤+-t t

解得 .2412≤≤t 2．动物的身长与体重问题

在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重.试建立数学模型讨论四足动物的躯干的长度（不含头、尾）与它的体重的关系，

（1）问题分析

众所周知，不同种类的动物，其生理构造不尽相同，如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的研究，就很难得到我们所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化.因此，我们舍弃具体动物的生理结构讨论，仅借助力学的某些已知结果，采用类比方法建立四足动物的身长和体重关系的数学模型.

类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法. 它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，它是建立数学模型的一种常见的、重要的方法.

类比法的作用是启迪思维，帮助我们寻求解题的思路.，而它对建模者的要求是具有广博的知识，只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系.

（2）模型假设与求解

我们知道对于生猪，其体重越大、躯干越长，其脊椎下陷越大，这与弹性梁类似.

为了简化问题，我们把动物的躯干看作圆柱体，设其长度为l 、直径为d 、断面面积为S （如图2—3）. 将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系.

设动物在自身体重（记为f ）的作用下，躯干的最

大下垂度为b ，即弹性梁的最大弯曲. 根据对弹性梁的

研究，可以知道

23

Sd

fl b ∝. 又由于∝f Sl (体积)，于是

23

d l l b ∝. b 是动物躯干的绝对下垂度，b /l 是动物躯干的相对下垂度.b /l 太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b /l 图2—3