高考数学文科一轮复习函数的图像练习含答案 精校打印版
2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 函数的图像(含解析)
2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 函数的图像（含解析）1、 (xx·山东卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 在x ＝π时为负，排除A ；易知函数为奇函数，图象关于原点对称， 排除B ；再比较C ，D ，不难发现当x 取接近于0的正数时y >0，排除C. 答案 D2、函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )．解析 容易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，可排除D.当0＜x ＜π2时，y ＝x sin x ＞0，当x ＝π时，y ＝0，可排除B ，C ，故选A.答案：A3、函数y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )．解析：∵y ′＝1－sin x ≥0，∴函数y ＝x ＋cos x 为增函数，排除C.又当x ＝0时，y ＝1，排除A ，当x ＝π2时，y ＝π2，排除D ，故选B.答案：B4、函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )．解析 当x ＞0时，y ＝log 2(x ＋1)，先画出y ＝log 2x 的图象，再将图象向左平移1个单位，最后作出关于y 轴对称的图象，得与之相符的图象为B. 答案 B5、已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋，－x －2＋1，x ∈，，作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0＜m ＜1，∴M ＝{m |0＜m ＜1}． 6．(xx·青岛一模)函数y ＝21－x的大致图象为( )．解析 y ＝21－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，因为0＜12＜1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1为减函数，取x ＝0时，则y ＝2，故选A.答案 A7．(xx·福建卷)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )．解析 函数f (x )＝ln(x 2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又因为f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数且f (0)＝ln 1＝0，综上选A.答案 A8．(xx·日照一模)函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )．解析 易知f (x )为偶函数，故只考虑x ＞0时f (x )＝lg(x －1)的图象，将函数y ＝lg x 图象向x 轴正方向平移一个单位得到f (x )＝lg(x －1)的图象，再根据偶函数性质得到f (x )的图象． 答案 B9．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________．解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1)10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x ＞，2xx，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的范围是________．解析 当x ≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1. 答案 (0,1]11．已知函数f (x )＝x1＋x.(1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．12．设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．解 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝[－(m ＋6)]2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．13．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f xcos x<0的解集为( )．A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜π2C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π2D ．{x |－1＜x ＜1}解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0， 当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0.故不等式f xcos x<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 C14．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋－x －2＋1，x ∈，作出图象如图所示．原方程变形为 |x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根.2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 函数的应用（含解析）1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )．A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30(x ≥0)，∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)． 答案 B2．(12分)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y (元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29，y 2＝12x .(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623 时，y 1>y 2，即使用“便民卡”便宜；当x >9623时，y 1<y 2，即使用“如意卡”便宜．3．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析 由已知条件y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x >8，由y ＝22.6解得x ＝9. 答案 94．某类产品按质量可分10个档次，生产最低档次(第1档次为最低档次，第10档次为最高档次)，每件利润为8元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件产品，则生产第________档次的产品，所获利润最大． 解析 设生产第x 档次的产品，1≤x ≤10，则利润y ＝[60－3(x －1)][2(x －1)＋8]＝(63－3x )(2x ＋6)＝6(－x 2＋18x ＋63)＝6[－(x －9)2＋144]． 当x ＝9时，y 取到最大值，故应生产第9档次的产品． 答案 9。
高三数学(文)一轮复习讲解与练习2.8函数的图象(含答案解析)
第八节 函数的图象[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换：y ＝f (x )―――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换：y ＝f (x )1011ωωωω→＜＜，伸长为原来的倍＞1，缩短为原来的y ＝f (ωx )；y ＝f (x )―――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|. [探究] 1.函数y ＝f (x )的图象关于原点对称与函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称一致吗？提示：不一致，前者是本身的对称，而后者是两个函数图象间的对称． 2．一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称有何区别？ 提示：一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称不是一回事．函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，是两个函数的图象对称．3．若函数y ＝f (x )的图象关于点(a,0)(a >0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？提示：向左平移a 个单位即可；解析式变为y ＝f (x ＋a )．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车行驶的路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：选B 汽车在启动、加速行驶的过程中，路程变化越来越快，图象呈下凸趋势；匀速行驶过程，图象呈直线上升趋势；减速行驶过程，路程变化越来越慢，图象呈上凸趋势．2．函数y ＝x |x |的图象经描点确定后的形状大致是( )解析：选A y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >00，x ＝0－x 2，x <0为奇函数，奇函数图象关于原点对称．3．函数y ＝ln(1－x )的图象大致为( )解析：选C y ＝ln(1－x )＝ln[－(x －1)]，其图象可由y ＝ln x 关于y 轴对称的图象向右平移一个单位得到．4．已知下图(1)中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝－f (|x |)；④y ＝f (－|x |)．解析：由图(1)和图(2)的关系可知，图(2)是由图(1)在y 轴左侧的部分及其关于y 轴对称图形构成的，故选④.答案：④5．(2012·镇江模拟)函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为________．解析：利用函数f (x )的图象关于y 轴对称和余弦函数y ＝cos x 的图象可知不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2[例1] 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2.[自主解答] (1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x－1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图(1)所示(实线部分)．(2)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图(2)所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2 (x ≥0)x 2＋x －2 (x <0)，其图象如图(3)所示．———————————————————画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.1．分别画出下列函数的图象． (1)y ＝|x 2－4x ＋3|；(2)y ＝2x ＋1x ＋1；(3)y ＝10|lg x |. 解：(1)先画函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，再将其x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，如图(1)．(2)y ＝2x ＋1x ＋1＝2(x ＋1)－1x ＋1＝2－1x ＋1.可由函数y ＝－1x 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图(2)．(3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，如图(3).[例2] (1)(2012·山东高考)函数y ＝cos 6x2x －2－x的图象大致为( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )[自主解答] (1)∵y ＝f (x )＝cos 6x2x －2－x ，∴f (－x )＝cos (－6x )2－x －2x＝－f (x )．∴f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A ；当x 从正方向趋近0时，y ＝f (x )＝cos 6x2x －2－x 趋近＋∞，排除选项B ；当x 趋近＋∞时，y ＝f (x )＝cos 6x2x －2－x趋近0，排除选项C.(2)法一：由y ＝f (x )的图象知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0≤x ≤1)，1(1<x ≤2).当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(0≤x ≤1)，2－x (1<x ≤2)，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(0≤x ≤1)，x －2(1<x ≤2).图象应为B.法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B.[答案] (1)D (2)B ——————————————————— 寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法(1)知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项． (2)知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．2．函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )解析：选C 当x ＝0时，y ＝0，由此排除选项A ；当x ＝2π时，y ＝π<4，由此排除B ；当x →＋∞时，y >0，由此排除选项D.3．(2013·杭州模拟)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝x 2－2ln |x |B ．f (x )＝x 2－ln |x |C ．f (x )＝|x |－2ln |x |D ．f (x )＝|x |－ln |x |解析：选B 由函数图象可得，函数f (x )为偶函数，且x >0时，函数f (x )的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2,1，由此可得仅函数f (x )＝x 2－ln |x |符合条件．[例3] (2012·天津高考)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．[自主解答] 先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解．根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x >1或x <－1)，－x －1(－1≤x <1).在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．[答案] (0,1)∪(1,4)若将“y ＝kx －2”改为“y ＝kx ”，k 的取值范围是什么？解：函数可表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1或x <－1，－x －1，－1≤x <1，图象为如图所示的实线部分，数形结合可知，要使两函数图象有两个交点，则k ∈(0,1)∪(1,2)．———————————————————1.利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.2.利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值.4．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]解析：选B ∵a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，∴函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2. 结合图象可知，当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数f (x )与y ＝c 的图象有两个公共点， ∴c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．5．已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是________．解析：由题知，当x ∈(－1,1)时，f (x )＝x 2－a x <12，即x 2－12<a x .在同一坐标系中分别作出二次函数y ＝x 2－12，指数函数y ＝a x 的图象，如图，当x ∈(－1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值范围是12≤a ＜1或1＜a ≤2.答案：⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2]1个易错点——图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．3个关键点——正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： (1)正确求出函数的定义域；(2)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数；(3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．3种方法——识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：(1)定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；(2)定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.易误警示——作图不准确或数与形不吻合致误[典例] (2011·新课标全国卷)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由题意知y ＝11－x ＝－1x －1的图象是双曲线，且关于点(1,0)成中心对称，又y ＝2sin πx 的周期为T ＝2ππ＝2，且也关于点(1,0)成中心对称；因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称，再结合图象(如图所示)可知两图象在[－2,4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x 8＝4×2＝8.[答案] D [易误辨析]1．如果作出的函数图象比较粗糙，极易造成区间(1,2)上的两个交点遗漏，从而误选B. 2．如果作函数y ＝11－x的图象不够准确，只注意到图象过点⎝⎛⎭⎫32，－1，极易忽视区间⎝⎛⎭⎫32，2上的交点，从而误选C.3．如果不能正确地挖掘函数y ＝11－x 及y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象均关于点(1,0)对称，从而无法求出交点横坐标的和．4．解决此类问题，避免在解题过程中出现失误，应关注以下几点：(1)平时涉及函数图象的问题时，要规范准确地画出图象，切忌不用尺规草草完成． (2)加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练以提高解决这类问题的能力．(3)训练由图分析其函数性质的解题技巧． [变式训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)解析：选D 因为方程f (x )－a ＝0的根，即是直线y ＝a 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2，的图象交点的横坐标，画出函数图象进行观察可以得知，a 的取值范围是(0,1)．2．已知a ，b ，c 依次是方程2x ＋x ＝0，log 2x ＝2－x 和log 12x ＝x 的实数根，则a ，b ，c的大小关系是________．解析：由2x ＋x ＝0，得2x ＝－x ，分别作出y ＝2x ，y ＝－x 的图象，如图(1)， 两图象交点的横坐标即为a ，可得a <0. 同理，对于方程log 2x ＝2－x ，可得图(2)， 得1<b <2；对于方程log 12x ＝x ，可得图(3)，得0<c <1，所以a <c <b .答案：a <c <b一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x <0)，2x －1(x ≥0)的图象大致是( )解析：选B 当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.2．函数y ＝log 2 |x |x的大致图象是( )解析：选C 由于log 2 |－x |－x ＝－log 2 |x |x ，所以函数y ＝log 2 |x |x 是奇函数，其图象关于原点对称．当x >0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.3．(2013·太原模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则函数f (x )的大致图象为( )解析：选B 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数知，函数f (x )的图象过原点且关于原点对称，故可排除A 、C ，由f (x )在[0，＋∞)上为增函数，可排除D ，由题意知，f (0)＝0，得m ＝－1，即当x ≥0时，f (x )＝3x －1；设x <0，则－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(3－x －1)＝－3－x＋1.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－1(x ≥0)，－3－x ＋1(x <0).4．已知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )解析：选A 观察图象可知，y ＝f (x )有两个零点x 1＝－π2，x 2＝π2，且y ＝g (x )在x ＝0时，函数值不存在，所以函数y ＝f (x )·g (x )在x ＝0时，函数值也不存在，故可以排除选项C ，D.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝f (x )·g (x )的函数值为负，故排除选项B. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x －8， x ≤1，0， x >1，g (x )＝log 2x ，则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 如图，易知f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为2.6．(2013·烟台模拟)f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1(x ≤0)，f (x －1)(x >0)，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x －1,0＜x ≤1时，－1≤x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1，故x >0时，f (x )是周期函数．如图．欲使方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同的交点，故a <1.二、填空题7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2. 又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19的图象过点(0,2)， 将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1338．(2013·盐城模拟)若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．解析：在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如图所示．若a ≤0，则其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切，由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－94；若a >0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0,2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－94，2.答案：⎝⎛⎭⎫－94，2 9．若方程2a ＝|a x －1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，则实数a 的取值范围为________． 解析：当a >1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图①所示，显然直线y ＝2a 与该图象只有一个交点，故a >1不合适；当0<a <1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图②所示，要使直线y ＝2a 与该图象有两个交点，则0<2a <1， 即0<a <12.综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域． 解：(1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0， 即m ＝4. (2)f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4. f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)由图象可知，f (x )>0的解集为{x |0<x <4，或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4，∴由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．11．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：设f (x )＝(x －1)2，g (x )＝log a x ，在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，要使x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数f (x )的图象在g (x )的图象下方即可．当0<a <1时，由两函数的图象知，显然不成立；当a >1时，如图，使x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f (2)≤g (2)，即(2－1)2≤log a 2，解得1<a ≤2. 综上可知，1<a ≤2.12．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值． 解：(1)设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点， 则y 0＝f (x 0)．又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′， 则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)． 由已知f (x ＋m )＝f (m －x )， 得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)] ＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0.即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上． ∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称． (2)对定义域内的任意x ， 有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立． ∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立， 即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立． 又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.1．为了得到函数y ＝4·2x 的图象，可以把函数y ＝2x 的图象上所有的点( ) A ．向上平移2个单位长度 B ．向下平移2个单位长度 C ．向左平移2个单位长度 D ．向右平移2个单位长度解析：选C y ＝4·2x ＝2x ＋2，把y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度，可以得到y ＝2x＋2的图象．2．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )解析：选D 函数f (x )的最小正周期T ＝2π|a |，故当|a |>1时，T <2π，当0<|a |<1，T >2π.经观察图中的振幅A 与周期的关系可以发现，A 中0<a <1，T >2π，B 中，a >1，T <2π，C 中，a ＝0，故D 不正确．3．作出下列函数的图象．(1)y ＝|x －2|(x ＋1)；(2)y ＝|x 2－2|x |－3|.解：(1)函数化为y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94(x ≥2)，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94(x <2)，图象如图(1)所示．(2)y ＝x 2－2x －3→y ＝x 2－2|x |－3→y ＝|x 2－2|x |－3|.图象变换如图(2)所示．。
高考文科数学一轮复习练习-函数的图象
§2.6 函数的图象探考情 悟真题 【考情探究】考点 内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数的 图象在掌握基本初等函数图象的基础上,利用函数变化的快慢、函数的定义域、奇偶性、单调性、函数图象过定点等特点对函数图象作出判断2018课标全国Ⅱ,3,5分 函数图象的判断 函数奇偶性的应用 ★★☆2018课标全国Ⅲ,9,5分 函数图象的判断 用求导法判断函数的单调性2017课标全国Ⅰ,8,5分 函数图象的判断 函数奇偶性的应用2016课标全国Ⅰ,9,5分 函数图象的判断 函数零点 2019课标全国Ⅰ,5,5分 函数图象的判断 函数性质的应用函数图象 的应用掌握函数图象的平移变换、对称变换、伸缩变换和翻折变换,熟悉各种变换的过程和特点,并由此解决相关问题;利用函数图象研究函数的性质,根据性质解决相关问题以及利用函数图象解决最值问题、判断方程解的个数2015课标Ⅰ,12,5分函数图象的变换—★★☆2016课标全国Ⅱ,12,5分 函数图象的应用—分析解读1.高考主要考查由函数解析式画出函数的图象,两个函数图象的交点情况.近几年考查了用图象表示函数.2.在数学中,由“形”到“数”比较明显,由“数”到“形”需要意识,而试题中主要是由“数”到“形”.在解答题中,要注意推理论证的严密性,避免出现以图代证的现象,利用图象研究函数的性质,特别是在判断非常规方程根的个数时,此法有时“妙不可言”,这是数形结合思想在“数”中的重要体现.破考点 练考向 【考点集训】考点一 函数的图象1.(2018湖南长沙第一中学高考模拟,6)已知函数f(x)={e x ,x ≤e,lnx,x >e,则函数y=f(e-x)的大致图象是( )答案 B2.(2018湖南(长郡中学、衡阳八中)、江西(南昌二中)等十四校第二次联考,3)函数f(x)=1-x 2e x的图象大致为( )答案 D3.(2018江西新余二模,6)函数y=2xln|x|的图象大致为( )答案 B4.(2019广东深圳二模,8)函数f(x)=√1-x 2lg|x|的图象大致为( )答案 B考点二函数图象的应用(2019安徽马鞍山二模,7)已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足g(x)=f(|x-1|),则函数y=g(x)的图象关于()A.直线x=-1对称B.直线x=1对称C.原点对称D.y轴对称答案B炼技法提能力【方法集训】方法1 函数图象的识辨方法+ln|x|的图象大致为()1.(2018安徽淮北一模,8)函数f(x)=1x答案B2.(2019山西吕梁4月模拟,3)函数f(x)=|x|sin x的图象大致是()答案A3.(2018福建三明第一中学开学考试,9)给出下列四个函数:①y=x·sin x;②y=x·cos x;③y=x·|cos x|;④y=x·2x.这四个函数的部分图象如图,但顺序被打乱,则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号排列正确的一组是()A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①答案 A方法2 函数图象的应用1.(2018湘东五校联考,11)已知函数f(x)={|x +1|,-7≤x ≤0,lnx,e -2≤x ≤e,g(x)=x 2-2x,设a 为实数,若存在实数m,使得f(m)-2g(a)=0,则实数a 的取值范围为( ) A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]∪[3,+∞) C.[-1,3] D.(-∞,3]答案 C2.(2018河南焦作第四次模拟,12)已知函数f(x)=e x-1-e 1-x+4,若方程f(x)=kx+4-k(k>0)有三个不同的根x 1,x 2,x 3,则x 1+x 2+x 3=( ) A.0B.2C.6D.3答案 D3.(2020届黑龙江哈尔滨第六中学调研,7)若x 1是方程xe x=4的解,x 2是方程xln x=4的解,则x 1·x 2等于( ) A.4 B.2C.eD.1答案 A【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 函数的图象1.(2018课标全国Ⅲ,9,5分)函数y=-x 4+x 2+2的图象大致为( )答案 D2.(2017课标全国Ⅲ,7,5分)函数y=1+x+sinxx 2的部分图象大致为( )答案D的部分图象大致为()3.(2017课标全国Ⅰ,8,5分)函数y=sin2x1-cosx答案C4.(2016课标全国Ⅰ,9,5分)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为()答案D5.(2015课标Ⅱ,11,5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为()答案 B考点二 函数图象的应用1.(2016课标全国Ⅱ,12,5分)已知函数f(x)(x ∈R )满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x 2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1mx i =( )A.0B.mC.2mD.4m答案 B2.(2015课标Ⅰ,12,5分)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x 对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=( ) A.-1 B.1C.2D.4答案 CB 组 自主命题·省(区、市)卷题组1.(2019浙江,6,4分)在同一直角坐标系中,函数y=1ax ,y=log a (x +12)(a>0,且a ≠1)的图象可能是( )答案 D2.(2018浙江,5,4分)函数y=2|x|sin 2x 的图象可能是( )答案 D3.(2016浙江,3,5分)函数y=sin x 2的图象是( )答案 DC 组 教师专用题组考点一 函数的图象1.(2014江西,10,5分)在同一直角坐标系中,函数y=ax 2-x+a 2与y=a 2x 3-2ax 2+x+a(a ∈R )的图象不可能···的是( )答案 B2.(2013课标Ⅰ,9,5分)函数f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π,π]上的图象大致为( )答案C3.(2013福建,5,5分)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是()答案A4.(2013山东,9,5分)函数y=xcos x+sin x的图象大致为()答案D考点二函数图象的应用1.(2014辽宁,10,5分)已知f(x)为偶函数,当x≥0时, f(x)={cos πx,x∈[0,12],2x-1,x∈(12,+∞),则不等式f(x-1)≤12的解集为()A.[14,23]∪[43,74] B.[-34,-13]∪[14,23]C.[13,34]∪[43,74] D.[-34,-13]∪[13,34]答案A2.(2014湖北,15,5分)如图所示,函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.若∀x∈R, f(x)>f(x-1),则正实数a的取值范围为.答案(0,16)【三年模拟】时间:35分钟分值:45分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019安徽1号卷A10联盟4月联考,6)已知函数f(x)=10(x 2+1)x ·e |x|,则函数f(x)的图象大致为( )答案 A2.(2019湖南娄底二模,8)函数f(x)=(e x -e -x )cosxx 2的部分图象大致是( )答案 A3.(2020届广东广宁中学模拟,5)函数y=f(x)在区间(-π2,π2)上的大致图象如图,则f(x)的解析式可能是( )A.f(x)=ln|sin x|B.f(x)=ln(cos x)C.f(x)=-sin|tan x|D.f(x)=-tan(cos x)答案 B4.(2020届河南濮阳模拟,10)函数f(x)=(x-1)ln|x|的图象可能为( )答案 A5.(2018湖南衡阳二模,9)已知函数f(x)=dax 2+bx+c(a,b,c,d ∈R )的图象如图所示,则()A.a>0,b>0,c<0,d>0B.a<0,b>0,c<0,d>0C.a<0,b>0,c>0,d>0D.a>0,b<0,c>0,d>0答案 B6.(2018安徽江淮十校第三次(4月)联考,10)若直角坐标系内A 、B 两点满足:(1)点A 、B 都在f(x)图象上;(2)点A 、B 关于原点对称,则称点对(A,B)是函数f(x)的一个“和谐点对”,(A,B)与(B,A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)={x 2+2x(x <0),2ex (x ≥0),则f(x)的“和谐点对”有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 B7.(2019河南天一大联考阶段性测试(五),12)已知函数f(x)={e x ,x <0,-x 2+52x,x ≥0,若方程f(x)=kx+1有3个不同的实根,则实数k 的取值范围为( ) A.(-∞,0] B.(0,12) C.(12,+∞)D.(0,+∞)答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2020届河南濮阳模拟,16)已知函数f(x)={log 2x(x >0),3x (x ≤0),且关于x 的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a 的取值范围是 . 答案 (1,+∞)9.(2019福建龙岩教学质量检查,15)设函数y=f(x)的图象与y=(13)x+a的图象关于直线y=-x 对称,且f(-3)+f (-13)=4,则实数a= . 答案 2。
高考数学专题《函数的图象》习题含答案解析
专题3.7 函数的图象1．（2021·全国高三专题练习（文））已知图①中的图象是函数()y f x =的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（ ）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--【答案】C【解析】根据函数图象的翻折变换，结合题中条件，即可直接得出结果.【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数()y f x =的图象在y 轴右侧的部分，然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧，y 轴左侧图象不变得来的，∴图②中的图象对应的函数可能是(||)y f x =-.故选：C.2．（2021·浙江高三专题练习）函数()lg 1y x =-的图象是（ ）A ．B．练基础C ．D ．【答案】C【解析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.3．（2021·全国高三专题练习（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来研究函数图象的特征．若函数()y fx =在区间[],a b 上的图象如图，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断出函数是偶函数，根据偶函数的图像特征可得选项．【详解】函数()y f x =是偶函数，所以它的图象是由()y f x =把0x ≥的图象保留，再关于y 轴对称得到的．结合选项可知选项D 正确，故选：D ．4．（2021·全国高三专题练习（文））函数()5x f x x x e =-⋅的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()20f >和()20f -<可排除ACD ，从而得到选项.【详解】由()()2223222160f e e =-=->，可排除AD ；由()()2223222160f e e ---=-+=-<，可排除C ；故选：B.5．（2021·陕西高三三模（理））函数x y b a =⋅与()log a y bx =的图像在同一坐标系中可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，以及特殊点函数值的范围逐一判断可得选项．【详解】令()x f x b a =×，()()log a g x bx =，对于A 选项：由()x f x b a =×得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，所以log >0a b ，而()1log 0a g b =<，所以矛盾，故A 不正确；对于B 选项：由()x f x b a =×得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，而()1log >0a g b =，所以矛盾，故B 不正确；对于C 选项：由()x f x b a =×得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，又()1log 0a g b =<，故C 正确；对于D 选项：由()x f x b a =×得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，而()()log a g x bx =中01a <<，所以矛盾，故D 不正确；故选：C ．6．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）．A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】先求出函数的定义域.A ：根据函数图象关于直线对称的性质进行判断即可；B ：根据函数图象关于点对称的性质进行判断即可；C ：根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行判断即可；D ：结合C 的分析进行判断即可.【详解】()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+-函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A7．（2021·安徽高三二模（理））函数()n x f x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n n x x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.【详解】因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．9.【多选题】（2021·浙江高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =．关于下列法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过280mD ．若浮萍蔓延到22m 、24m 、28m 所经过的时间分别是1t 、2t 、3t ，则2132t t t =+【答案】AD【解析】根据图象过点求出函数解析式，根据四个选项利用解析式进行计算可得答案.【详解】由图象可知，函数图象过点(1,3)，所以3a =，所以函数解析式为3t y =，所以浮萍每月的增长率为13323233t t tt t +-⨯==，故选项A 正确；浮萍第一个月增加的面积为10332-=平方米，第二个月增加的面积为21336-=平方米，故选项B 不正确；第四个月时，浮萍面积为438180=>平方米，故C 不正确；由题意得132t =，234t =，338t =，所以13log 2t =，23log 4t =，33log 8t =，所以2133333332log 2log 8log (28)log 16log 42log 42t t t +=+=⨯====，故D 正确.故选：AD10．（2020·全国高一单元测试）函数()2x f x =和()3g x x =的图象如图所示，设两函数的图象交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <．（1）请指出图中曲线1C ，2C 分别对应的函数；（2）结合函数图象，比较(3)f ，(3)g ，(2020)f ，(2020)g 的大小．【答案】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）(2020)(2020)(3)(3)f g g f >>>．【解析】（1）根据指数函数和一次函数的函数性质解题；（2）结合函数的单调性及增长快慢进行比较.【详解】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）(0)1f = ，(0)0g =，(0)(0)f g ∴>，又(1)2f = ，(1)3g =，(1)(1)f g ∴<，()10,1x ∴∈；(3)8f = ，(3)9g =，(3)(3)f g ∴<，又(4)16f = ，(4)12g =，(4)(4)f g ∴>，()23,4x ∴∈．当2x x >时，()()f x g x >，(2020)(2020)f g ∴>．(2020)(2020)(3)(3)f g g f ∴>>>．1．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（ ）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B 练提升【解析】令()0f x =得到1ln x n m=，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断.【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =，解得1ln x n m=，由图象知1l 0n x mn =>，当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ，当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C故选：B2．（2021·甘肃高三二模（理））关于函数()ln |1|ln |1|f x x x =++-有下列结论，正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称C ．函数()f x 的最小值为0D ．函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞【答案】D 【解析】A.由函数的奇偶性判断；B.利用特殊值判断；C.利用对数函数的值域求解判断；D.利用复合函数的单调性判断.【详解】2()ln |1|ln |1|ln |1|f x x x x =++-=-，由1010x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，解得1x ≠±，所以函数的定义域为{}|1x x ≠±，因为()ln |1|ln |1|ln |1|ln |1|()f x x x x x f x -=-++--=++-=,所以函数为偶函数，故A 错误. 因为(0)ln |1|0,(3)ln 8f f =-==，所以(0)(3)f f ≠，故B 错误；因为 ()2|1|0,x -∈+∞，所以()f x ∈R ，故C 错误；令2|1|t x =-，如图所示：，t 在(),1,[0,1)-∞-上递减，在()(1,0],1,-+∞上递增，又ln y t =在()0,∞+递增，所以函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞，故D 正确；故选：D3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（理））函数ln xy x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】求出函数ln xy x=的定义域，利用导数分析函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数ln xy x =，则有0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以，函数ln xy x=的定义域为()()0,11,+∞ ，排除AB 选项；对函数ln x y x=求导得()2ln 1ln x y x -'=.当01x <<或1x e <<时，0y '<；当x e >时，0y '>.所以，函数ln xy x=的单调递减区间为()0,1、()1,e ，单调递增区间为(),e +∞，当01x <<时，0ln xy x =<，当1x >时，0ln x y x=>，排除D 选项.故选：C.4．（2021·海原县第一中学高三二模（文））函数2xx xy e+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】利用导数可求得2xx xy e+=的单调性，由此排除AB ；根据0x >时，0y >可排除C ，由此得到结果.【详解】由题意得：()()222211x xxxx e x x e x x y e e +-+-++'==，令0y '=，解得：1x =，2x =∴当x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭时，0y '<；当x ∈时，0y '>；2x x x y e +∴=在⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，在上单调递增，可排除AB ；当0x >时，0y >恒成立，可排除C.故选：D.5．（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为2x xe e y -+=的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析函数2x xe e y -+=的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项.【详解】令()e e 2x x f x -+=，则该函数的定义域为R ，()()2x xe ef x f x -+-==，所以，函数()e e 2x xf x -+=为偶函数，排除B 选项.由基本不等式可得()112f x ≥⨯=，当且仅当0x =时，等号成立，所以，函数()f x 的最小值为()()min 01f x f ==，排除AD 选项.故选：C.6．（2021·浙江高三月考）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【解析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可.【详解】根据题意，()3log a f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠，即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =，当x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间⎛ ⎝上，()0g x '<，则()g x在区间⎛ ⎝上为减函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上，()0g x '>，则()g x在区间⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数，0g=，则()g x存在极小值3g a =-=，此时()g x存在极大值()0,1，此时()0f x >，排除A ，故选：B.7.（2019·北京高三高考模拟（文））当x∈[0，1]时，下列关于函数y=的图象与图象交点个数说法正确的是（ ）A ．当时，有两个交点B ．当时，没有交点C ．当时，有且只有一个交点D ．当时，有两个交点【答案】B2(1)mx -y =[]m 0,1∈(]m 1,2∈(]m 2,3∈()m 3,∞∈+设f （x ）=，g （x ），其中x∈[0，1]A ．若m=0，则与在[0，1]上只有一个交点，故A 错误．B ．当m∈（1，2）时，即当m∈（1，2]时，函数y=的图象与x∈[0，1]无交点，故B 正确，C ．当m∈（2，3]时，，时，此时无交点，即C 不一定正确．D ．当m∈（3，+∞）时，g （0）＞1，此时f （1）＞g （1），此时两个函数图象只有一个交点，故D 错误，故选：B ．8.（2021·浙江高三专题练习）若关于x 的不等式34log 2xax -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】转化为当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，根据图象列式可解得结果.2(1)mx -()1f x =()g x =(1,1)111()(0)1,()(0)1()()2f x f g x g f x g x m<<∴≤=≥=>∴<2(1)mx -y =2111()(1)(1),()(1)32f x f mg x g m <<∴≤=-≤=2(1)m >-()()f x g x <由题意知关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，由图可知0111log 22a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a ≤<.故选：A9.对、，记，函数．（1）求，．（2）写出函数的解析式，并作出图像．（3）若关于的方程有且仅有个不等的解，求实数的取值范围．（只需写出结论）【答案】见解析．【解析】解：（1）∵，函数，∴，．a b ∈R {},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥{}2()max ||,24()f x x x x x =--+∈R (0)f (4)f -()fx x ()f x m =3m {},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥{}2()max ||,24f x x x x =--+{}(0)max 0,44f =={}(4)max 4,44f -=-=（2）（3）或10．（2021·全国高一课时练习）函数()2xf x =和()()30g x x x =≥的图象，如图所示．设两函数的图象交于点()11A x y ，，()22B x y ，，且12x x <．（1）请指出示意图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数；（2）结合函数图象，比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小．【答案】（1）1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）()()()()2015201588f g g f >>>．【解析】（1）根据图象可得结果；（2）通过计算可知1282015x x <<<，再结合题中的图象和()g x 在()0+∞，上的单调性，可比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小.【详解】5m =m =（1）由图可知，1C 的图象过原点，所以1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）因为11g =（），12f =（），28g =（），24f =（），()9729g =，()9512f =，()101000g =，()101024f =，所以11f g >（）（），22f g <（）（），()()99f g <，()()1010f g >．所以112x <<，2910x <<．所以1282015x x <<<．从题中图象上知，当12x x x <<时，()()f x g x <；当2x x >时，()()f x g x >，且()g x 在()0+∞，上是增函数，所以()()()()2015201588f g g f >>>．1. （2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.2.（2019年高考全国Ⅲ卷理）函数在的图像大致为（）3222x xx y -=+[]6,6-练真题A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又排除选项D ；，排除选项A ，故选B ．3.（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根32()22x x x y f x -==+332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++()f x 34424(4)0,22f -⨯=>+36626(6)722f -⨯=≈+即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.4.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数的定义域为R ，满足，且当时，()f x (1) 2 ()f x f x +=(0,1]x ∈．若对任意，都有，则m 的取值范围是A ．B ． C ． D ．【答案】B【解析】∵，．∵时，；∴时，，；∴时，，，如图：当时，由解得，，若对任意，都有，则.则m 的取值范围是.故选B.5.（2017·天津高考真题（文））已知函数f (x )=|x|+2,x <1x +2x ,x ≥1．设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥|x 2+a |在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[―2,2]B ．[―23,2]C ．[―2,23]D ．[―23,23]【答案】A ()(1)f x x x =-(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(1) 2 ()f x f x +=()2(1)f x f x ∴=-(0,1]x ∈1()(1)[,0]4f x x x =-∈-(1,2]x ∈1(0,1]x -∈1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦(2,3]x ∈1(1,2]x -∈()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-(2,3]x ∈84(2)(3)9x x --=-173x =283x =(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-73m ≤7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】满足题意时f (x )的图象恒不在函数y =|x 2+a |下方，当a =23时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；当a =―23时，函数图象如图所示，排除B 选项，本题选择A 选项.6.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .。
高考数学一轮复习：函数的图象(Word版,含解析)
函数的图象基础练一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －3－1的图象，只需把函数y ＝2x 的图象上所有的点( ) A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2．[2018·全国卷Ⅲ]下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x ) D ．y ＝ln(2＋x ) 3．[2021·河南汝州模拟]已知函数y ＝f (1－x )的图象如图所示，则y ＝f (1＋x )的图象为( )4．[2021·河南省豫北名校高三质量考评]函数f (x )＝4x －4－x4x 2－1的大致图象是( )5．函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c >0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 二、填空题6．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________． 7．[2021·上海长宁模拟]已知函数f (x )＝log a x 和g (x )＝k (x －2)的图象分别如图所示，则不等式f (x )g (x )≥0的解集是________．8．[2021·四川攀枝花模拟]设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题9．作出下列函数的图象．(1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|x －2|·(x ＋2)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．能力练11．[2021·石家庄市重点高中摸底考试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >00，x ＝0－1，x <0，则函数g (x )＝f (x )·(e x－1)的大致图象是( )12．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )13．[2021·山东济南章丘模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论不正确的是( )A ．x 1＋x 2＝－1B ．x 3x 4＝1C ．1<x 4<2D ．0<x 1x 2x 3x 4<1参考答案：1．解析：y ＝2x ――→向右平移3个单位长度y ＝2x －3――→向下平移1个单位长度y ＝2x －3－1. 答案：A2．解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a2对称，令a ＝2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象．故选B.答案：B3．解析：因为y ＝f (1－x )的图象过点(1，a )，所以f (0)＝a .所以y ＝f (1＋x )的图象过点(－1，a )．故选B 项．答案：B4．解析：因为f (－x )＝4－x －4x 4x 2－1＝－4x －4－x 4x 2－1＝－f (x )，f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12，所以函数f (x )为奇函数，排除D ；f (1)＝54>0，排除A ；当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除B.故选C.答案：C5．解析：由f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2及图象可知，x ≠－c ，－c >0，则c <0.当x ＝0时，f (0)＝bc2>0，所以b >0，当y ＝0时，ax ＋b ＝0⇒x ＝－ba>0.所以a <0，选C. 答案：C 6.解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)7．解析：函数f (x )＝log a x 的定义域为(0，＋∞)，①当0<x <1时，f (x )<0，g (x )>0，f (x )g (x )<0，不符合题意；②当1≤x <2时，f (x )≥0，g (x )>0，f (x )g (x )≥0，符合题意；③当x >2时，f (x )>0，g (x )<0，f (x )g (x )<0，不符合题意．所以不等式f (x )g (x )≥0的解集是[1,2)． 答案：[1,2) 8.解析：作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，如图，观察图象易知当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)9．解析：(1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图①实线部分．图① 图②(2)函数式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x ≥2，－x 2＋4，x <2.其图象如图②实线所示．10.解析：(1)函数f (x )的图象如图所示． (2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.11．解析：解法一 g (x )＝f (x )(e x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－1，x >00，x ＝0－(e x －1)，x <0，当x >0时，将函数y ＝e x 的图象向下平移一个单位得到函数y ＝e x －1的图象，当x <0时，将函数y ＝e x －1的图象作关于x轴对称的图象，得到函数y ＝－(e x －1)的图象，故选D.解法二 g (x )＝f (x )(e x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－1，x >00，x ＝0－(e x －1)，x <0，当x ＝1时，g (x )>0，排除A ，当x ＝－1时，g (x )>0，排除B ，当x →－∞时，g (x )→1，排除C ，故选D.答案：D12．解析：函数f (x －1)的图象向左平移1个单位长度，即可得到函数f (x )的图象； ∵函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数， ∴函数f (x －1)的图象关于原点对称，∴函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，选B. 答案：B13．解析：画出函数f (x )的大致图象如图，得出x 1＋x 2＝－2，－log 23x ＝log 24x ，则3x 4x ＝1，A 不正确，B 正确；由图可知1<x 4<2，C 正确；因为－2<x 1<－1，x 1x 2＝x 1(－2－x 1)＝－x 21－2x 1＝－(x 1＋1)2＋1∈(0,1)，所以x 1x 2x 3x 4＝x 1x 2∈(0,1)，D 正确．故选A.答案：A。
高考数学一轮复习 考点10 函数的图像必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点10 函数的图像 1．函数2()1sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()211sin sin 11xx x e f x x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭则()()()()111sin sin sin 111x x xx x x e e e f x x x x f x e e e ------=⋅-=⋅-=⋅=+++则()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B D当1x =时，()11sin101ef e -=⋅<+，排除A本题正确选项：C .2．在下面四个[,]x ππ∈-的函数图象中，函数sin 2y x x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 因为()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-，即()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,B D ， 当x π=时，()sin 20f πππ==，排除A .故选：C ．3．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xya=过定点(0,1)且单调递减，函数1log2ay x⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441xxf x=-的图象大致是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数()441xxf x=-，44()()()4141x xx xf x f x----==≠--所以函数()f x不是偶函数，图像不关于y轴对称，故排除A、B选项；又因为81256(3),(4),(3)(4)63255f f f f==∴>，而选项C在0x>是递增的，故排除C故选D.5．函数ln()xf xx=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数的定义定义域为0x ≠，()()()ln ln ln x x x f x f x f x x x x-=⇒-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B ，当1x >时，()ln ln 0x x f x x x==>，故可排除C; 当0x >时，()ln ln x x f x x x ==()'21ln x f x x -⇒=，显然当1x >时，()'0f x <，函数()f x 是单调递减的，可排除D ，故本题选A.6．函数cos y x x =的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数cos y x x =为奇函数，故排除B D 、，当x 取很小的正实数时，函数值大于零，故选A.7．函数()21()ln 2x f x x e -=+-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】当x →+∞时，()f x →-∞，故排除D ；由于函数()f x 的定义域为R ，且在R 上连续，故排除B ；由1(0)ln 2f e -=-，由于1ln 2ln 2e >= ，112e -< ，所以1(0)ln 20f e -=->，故排除C. 故答案为A.8．下列图象中，可能是函数的图象的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据题意，函数f （x ）＝x a （e x +e ﹣x ），其导数f ′（x ）＝ax a ﹣1（e x +e ﹣x ）+x a （e x ﹣e ﹣x ），又由a∈Z，当a＝0，f（x）＝e x+e﹣x，（x≠0）其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限为增函数，没有选项符合；当a为正偶数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为R，f（x）为偶函数且过原点，在第一象限为增函数，没有选项符合，当a为正奇数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为R，f（x）为奇函数且过原点，在第一象限为增函数且增加的越来越快，没有选项符合，当a为负偶数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，不经过原点且在第一象限先减后增，D选项符合；当a为负奇数时，f（x）＝x a（e x+e﹣x），其定义域为{x|x≠0}，f（x）为奇函数，不经过原点且在第一象限先减后增，没有选项符合，综合可得：D可能是函数f（x）＝x a（e x+e﹣x）（a∈Z）的图象；故选：D．9．函数的大致图像为( )．A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的定义域为，，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，显然当时，；当时，，综上所述，本题选B. 10．函数的图像是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，故选：A 11．函数在上的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】解：f （﹣x ）＝（﹣x）cos （﹣x ）＝﹣（x ）cos x ＝﹣f （x ），函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ， f （1）＝2cos1＞0，排除B ，故选：A ．12．设函数()()f x x R ∈满足()()()()0,2f x f x f x f x --==-,则()y f x =的图象可能( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 由()()0f x f x --=得()()f x f x =-，即函数()f x 是偶函数，排除,A C由()()2f x f x =-,得()()()2f x f x f x =-=-，即函数关于1x =-对称，排除D本题正确选项：B13．函数ln ||()x x f x e=的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：由()x ln x f x =e ，得()f 1=0，()f 1=0- 又()1f e =0e e >，()1f e =0ee --> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D故选：A.14．定义，由集合确定的区域记作，由曲线：和轴围成的封闭区域记作，向区域内投掷12000个点，则落入区域的点的个数为（）A．4500 B．4000 C．3500 D．3000【答案】A【解析】试验包含的所有事件对应的集合Q＝{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤1}，则＝2×1＝2，，画出函数的图象，如图所示；故落入区域M内的概率为P，所以落入区域M的点的个数为120004500（个）．故选：A．15．设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，，当时，.若在在上有且仅有三个零点，则的取值X围为（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】 由题意，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于y 轴对称， 又由，则，即， 可得，代入可得，所以函数的图象关于对称，且是周期为4的周期函数， 又由当时，，画出函数的图象，如图所示， 因为在上有且仅有三个零点， 即函数和的图象在上有且仅有三个交点， 当时，则满足，解得； 当时，则满足，解得；综上所述，可得实数的取值X 围是，故选C. 16．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln x y x =D ．()22x y x x e =- 【答案】D【解析】2sin y x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴排除B.函数ln x y x =的定义域为{}011x x x <或，∴排除C . 对于221x y x =--，当2x =-时，()222210y -=---<，∴排除A 故选：D. 17．函数f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，函数满足，即是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，又由当时，恒成立，排除A ，D ， 故选：C ． 18．函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，则函数为奇函数，故排除， 当时，，故排除，19．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，令，则.当时，，单调递减，故. 故，即函数在上为增函数.故选A. 20．函数的图象大致为（）.A．B．C．D．【解析】因为，所以，因此为偶函数，所以排除选项A,B，又，所以排除D.故选C21．函数的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以函数为奇函数，排除C；又，排除D；又，因为所以由可得，解得；由可得，解得或；所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；故选A22．函数的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：∵的定义域为，关于原点对称，又∵，即函数是奇函数，∴的图象关于原点对称，排除A、D，当时，，，∴，排除B，故选：C．23．已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数f（x）的图象如下图所示：当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x22，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k恒成立，由[（x1+x2）﹣48]≤2故k≥2，故实数k的最小值为2，故选：C．24．函数的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】定义域为为定义在上的奇函数，可排除和 又，当时，，可排除 本题正确选项：25．函数f （x ）=3344x x -的大数图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题知，函数()f x 满足()333()3()4444x x x x f x f x ---==-=---，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项； 又由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，故选A.26．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出()f x 的函数图象如图所示， 由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得(),1f x a a =∴>， 即1a >， 不妨设12x x < ，则2212x x e a ==，令(1)a t t =>，则12,ln 2t x x t =-=， 12ln 2t x x t ∴+=-，令()ln 2t g t t =-，则42'()4t g t t-=， ∴当 18t <<时，()'0g t >，g t 在()1,8上递增；当8t 时，()'0g t <，g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，g t 取得最大值g(8)=ln82=3ln22--,故答案为3ln 22-.27．如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．【答案】0【解析】由题可得：是周期为的函数，所以.由题可得：当时，点恰好在轴上，所以，所以.。
2025年高考数学一轮复习-函数的图象与性质-专项训练(含答案)
2025年高考数学一轮复习-函数的图象与性质-专项训练一、基本技能练1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数F (x )＝f (x ＋2)＋3－x 的定义域为()A.(－2，3]B.[－2，3]C.(0，3]D.(0，3)2.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A.y ＝ln xB.y ＝|x |＋1C.y ＝－x 2＋1D.y ＝3－|x |3.已知函数f (x )2－2x ＋2，x ＞0，x ＋a ，x ≤0的值域为[1，＋∞)，则a 的最小值为()A.1B.2C.3D.44.函数f (x )＝ln |x |＋1＋cos x 在[－π，π]上的大致图象为()5.设函数f (x )＝2（6－x ），x ＜1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 26)＝()A.2B.6C.8D.106.已知函数f (x )＝－x |x |，且f (m ＋2)＋f (2m －1)＜0，则实数m 的取值范围为()B.(－∞，3)C.(3，＋∞)－13，＋∞7.已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，1，则()A.－32B.－1C.1D.328.定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(x)≥12的解集为()A.12，＋∞ B.12，32C.4k＋12，4k＋32(k∈Z) D.2k＋12，2k＋32(k∈Z)9.(多选)已知函数f(x)＝2xx2＋9，则()A.f(x)的定义域为RB.f(x)是偶函数C.函数y＝f(x＋2022)的零点为0D.当x＞0时，f(x)的最大值为1310.(多选)对于函数f(x)＝x|x|＋x＋1，下列结论中错误的是()A.f(x)为奇函数B.f(x)在定义域上是单调递减函数C.f(x)的图象关于点(0，1)对称D.f(x)在区间(0，＋∞)上存在零点11.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则f(log27)＝________.12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________.①f(－x)＝f(x)；②当x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0；③f(x1x2)＝f(x1)·f(x2).二、创新拓展练13.(多选)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，且y＝f(x＋2)为偶函数，若当x∈[0，2]时，f(x)＝12log3(x＋a2)，下列结论正确的是()A.a＝1B.f(1)＝f(3)C.f(2)＝f(6)D.f(2022)＝－1214.(多选)已知函数f(x)为偶函数，且f(x＋2)＝－f(2－x)，则下列结论一定正确的是()A.f(x)的图象关于点(－2，0)中心对称B.f(x)是周期为4的周期函数C.f(x)的图象关于直线x＝－2轴对称D.f(x＋4)为偶函数15.若f(x)＝ln |a＋11－x|＋b是奇函数，则a＝______，b＝______.16.设函数f(x)＝x－1，x≤0，x2＋x，x＞0，则f(f(－ln2))＝________；当x∈(－∞，m]时，函数f(x)的值域1，14，则m的取值范围是________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案A解析函数F(x)＝f(x＋2)＋3－x ＋2>0，－x≥0，解得－2<x≤3.2.答案B解析对于A，函数y＝ln x定义域是(0，＋∞)，不是偶函数，A不是；对于B，函数y＝|x|＋1定义域为R，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B是；对于C，函数y＝－x2＋1定义域为R，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C不是；对于D，函数y＝3－|x|定义域为R，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，D不是.故选B.3.答案A解析由已知得当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，值域为[1，＋∞)；当x≤0时，f(x)＝－x＋a，值域为[a，＋∞)；∵函数f(x)的值域为[1，＋∞)，∴a≥1，则a的最小值为1.故选A.4.答案C解析由题知f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，排除A；f(π)＝lnπ＋1－1＜ln e－1＝0，排除B，D.故选C.5.答案B解析因为f(x)2（6－x），x＜1，x－1，x≥1.所以f(－2)＝log28＝3，f(log26)＝2log26－1＝3，所以f(－2)＋f(log26)＝6.故选B.6.答案D解析对f(x)＝－x|x|，其定义域为R，且f(－x)＝x|x|＝－f(x)，故f(x)为R上的奇函数；又当x＞0时，f(x)＝－x2，其在(0，＋∞)单调递减；当x＜0时，f(x)＝x2，其在(－∞，0)单调递减；又f(x)是连续函数，故f(x)在R上是单调递减函数；则f(m＋2)＋f(2m－1)＜0，即f(m＋2)＜f(1－2m)，则m＋2＞1－2m，解得m＞－13.故选D.7.答案C解析因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，又因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (2－x )＝f (x )，则f (2－x )＝f (－x )，即f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )的周期为T ＝2.－32＋ 1.8.答案C解析由题意，函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x )＝f (x ＋4)，所以函数f (x )是周期为4的函数，又由f (x )为R 上的奇函数，可得f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，可得函数f (x )的图象关于x ＝1对称，因为当0≤x ≤1时f (x )＝x ，可得函数f (x )的图象，如图所示，当x ∈[－1，3]时，令f (x )＝12，解得x ＝12或x ＝32，所以不等式f (x )≥12的解集为4k ＋12，4k ＋32(k ∈Z ).故选C.9.答案AD解析对A ，由解析式可知f (x )的定义域为R ，故A 正确；对B ，因为f (x )＋f (－x )＝2xx 2＋9＋－2x x 2＋9＝0，可知f (x )是奇函数，故B 不正确；对C ，y ＝f (x ＋2022)＝2（x ＋2022）（x ＋2022）2＋9＝0，得x ＝－2022，故C 不正确；对D ，当x ＞0时，0＜f (x )＝2x x 2＋9＝2x ＋9x ≤22x ·9x ＝13，当且仅当x ＝3时取等号，故D 正确.故选AD.10.答案ABD解析f (x )x 2＋x ＋1，x ＜0，2＋x ＋1，x ≥0，由图象可知，图象关于点(0，1)对称，因此不是奇函数，在定义域内函数为增函数，在(0，＋∞)上没有零点.故选ABD.11.答案－17解析因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，所以f (log 27)＝－f (－log 27)＝－2log 217＝－17.12.答案x 2(答案不唯一)解析由题意，要求f (x )为偶函数且值域为(0，＋∞).若满足f (x 1x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，则f (x )可以为幂函数，则有f (x )＝x 2满足条件.二、创新拓展练13答案BD解析根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f(－x)＝f(4＋x)，即有f(x＋4)＝－f(x)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期为8的周期函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝12log3(x＋a2)，可得f(0)＝12log3a2＝0，所以a2＝1，a＝±1，A错；由f(x＋4)＝f(－x)，可得f(1)＝f(3)，B正确；f(6)＝f(－2)＝－f(2)，C错；f(2022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－12log3(2＋1)＝－12，D正确.故选BD.14.答案AD解析因为f(x＋2)＝－f(2－x)，所以f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，又因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)是周期为8的周期函数，且它的图象关于点(－2，0)中心对称和关于直线x＝4轴对称，所以f(x＋4)为偶函数.故选AD.15.答案－12ln2解析f(x)＝ln|a＋11－x|＋b，若a＝0，则函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，所以a≠0.由函数解析式有意义可得：x≠1且a＋11－x≠0，所以x≠1且x≠1＋1 a .因为函数f(x)为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，所以1＋1a ＝－1，解得a ＝－12，所以f (x )＝ln |1＋x2（1－x ）|＋b ，定义域为{x |x ≠1且x ≠－1}.由f (0)＝0，得ln 12＋b ＝0，所以b ＝ln 2，即f (x )＝ln|－12＋11－x |＋ln 2＝ln |1＋x 1－x |，在定义域内满足f (－x )＝－f (x )，符合题意.16.答案e －12－112，解析∵－ln 2＜0，∴f (－ln 2)＝e－ln2－1＝12－1＝－12，又－12＜0，f (f (－ln 2))＝e －12－1或ee －1；当x ≤0时，f (x )∈(－1，0]，当x >0时，f (x )∞，14，且在x ＝12时，函数f (x )取得最大值14，根据函数表达式，绘制函数图象如下：当f (x )＝－1时，－x 2＋x ＝－1，解得x ＝1＋52，要使f (x )的值域在x ∈(－∞，m ]1，14，则必须m ∈12，。
高考文科数学第一轮复习经典习题集(附答案解析)
高中数学（文科）高考一轮复习习题集（含答案）目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数()sin()f x A xw j=+的图象 (45)第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系A 组1．已知A ＝{1，2}，B ＝{}|x x A Î，则集合A 与B 的关系为________．解析：由集合B ＝{}|x x A Î知，B ＝{1，2}．答案：A ＝B2．若{}2,|a a R x x ＮÆØ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，2x a £有解，故0a ³．答案：0a ³3．已知集合A ＝{}2|21,y y x x x R =--?，集合B ＝{}|28x x-＃，则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴A ＝{y|y ≥－2}，∴B A ．答案：B A4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={}2|0x x x +=，得N ={-1，0}，则N M ．答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{}|5x x >，集合B ＝{}|x x a >，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5．答案：a <56．(原创题)已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B ．B 组1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab |可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0，讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________．解析：∵B ⊆A ，显然m 2≠－1且m 2≠3，故m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴m ＝1． 答案：13．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0，2，5；b ＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，集合N ＝{x |ax ＝1}，若N M ，那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2010年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1．∴A ＝{x ，1，0}，B ＝{0，|x |，1x}． 于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1． 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ．②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3．由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3，4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．，即不存在m 值使得A ＝B ． 12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }，故a >2．(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，由数轴可知1≤a ≤2．(3)若A =B ，则必有a =2第二节 集合的基本运算A 组1．(2009年高考浙江卷改编)设U ＝R ，A ＝{}|0x x >，B ＝{}|1x x >，则A ∩∁U B ＝____．解析：∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ＝{4，5，7，9}，B ＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4，7，9}，A ∪B ＝{3，4，5，7，8，9}，∁U (A ∩B )＝{3，5，8}．答案：33．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{}|2,x x a a M =?，则集合M ∩N ＝________．解析：由题意知，N ＝{0，2，4}，故M ∩N ＝{0，2}．答案：{0，2}4．(原创题)设A ，B 是非空集合，定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⓐB ＝________．解析：A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0，2]，所以A ⓐB ＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；(2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．解：(1)当1m =-时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥－1}．(2)若B ⊆A ，则1m >，即m 的取值范围为(1，＋∞)B 组1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝________．解析：因为集合N ＝{－1，0，1，2}，所以M ∩N ＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{0，2}，则(∁U A )∩B ＝________．解析：∁U A ＝{0，1}，故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝________．解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}4．集合A ＝{3，log 2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2，∴a ＝4，从而b ＝2，∴A ∪B ＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________．解析：U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，6}，∴A ∪B ＝{1，3，5，6，7}，得∁U (A ∪B )＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0，2}，B ＝{1，2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0，4，5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.点(0，2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2． 9．设全集I ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2，3，a 2＋2a －3}＝{2，5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1，2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3．(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－3． 11．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B ．(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；(3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意． 若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98． 综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98． (2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意． 当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时， 方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}． 综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}． (3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅．当a ≠0时，要使方程有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98． 综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4，0)∪(0，1] ．答案：[－4，0)∪(0，1] 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2．答案：2 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________．解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32．答案：log 324．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2，1，－1)＝________．解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3， 解得b 1＝－1，b 2＝0．答案：(－1，0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x(x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32， 求a ． 解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3， 又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32． (2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x 3x －1； 若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2； 若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1．∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧ 3x 3x －1 (x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1． 当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2； 当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22． ∴a ＝2或±22．B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0，2x －1>0，得x >23．答案：{x |x >23} 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_． 解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3， ∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7．答案：73．定义在区间(－1，1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1，1)，有－x ∈(－1，1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，①由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)． 答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1) 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)． 由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0)3 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1，3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，解得x ＝1，x ＝3．故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3．当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3．综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0， 则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2．答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95， 又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数()f x =．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；(ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数．由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1．由①②可得－511≤a ≤1． (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a 2≠0且－2，1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a 2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2．11．已知()()()2f x f x x R +=?，并且当x ∈[－1，1]时，()21f x x =-+，求当[]()21,21x k k k Z ?+?时、()f x 的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1，2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1．∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1．又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)． (2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129．第二节 函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当12x x <时，都有()()12f x f x >”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，12]时，g (x )为减函数．由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1．答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y =________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2． 答案：[1，2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋a ex |(a ∈R )在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围__． 解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋a e0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －a ex ≥0在x ∈[0，1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1．答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数()2f x x =，()1g x x =-． (1)若存在x ∈R 使()()f x b g x <?，求实数b 的取值范围；(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--2，且()F x 在[0，1]上单调递增，求实数m 的取值范围．解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x x ∈R ，x 2－bx ＋b＝(－b )2－4b b <0或b >4．(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需 ⎩⎨⎧ m 2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0． ②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m 2≥1，则x 1≤0．⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2． 若m 2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255．综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2．B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x | 解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4．答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__． 解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916． 答案：(0，916] 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________． ①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3)③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14． 6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1，2)，点B 的坐标为(3，0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)， 当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1．答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1，1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1，1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2，0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2，0]．答案：[－2，0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1，9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1，3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0，1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13．答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0，1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1． μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12) 10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性． 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22．由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增． 11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2． 由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9．因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0，1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1．若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0，1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b 1＝1．即a ＋b ＝2．设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋b x 2恒成立． 由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立． 又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1．设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立． ∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1．由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1．∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节 函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1，1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0．答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23．答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2．答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5．(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1，4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4，9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0．(2)当x ∈[1，4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0，1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x ．∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15．当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9．B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2)④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1，0)，及点(－1，0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________．解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0．答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________．解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0．答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0．从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1，0)时，f (x )<0；x ∈(0，1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0．∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，1)答案：(－∞，－1)∪(0，1)．5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2．∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1．答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009．5)＝________． 解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009．5)＝f (502×4＋1．5)＝f (1．5)＝f (－2．5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009．5)＝f (2．5)＝52．答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1．答案：－19．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0．由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4．由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8． 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0．当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2，6]上的最值． 解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称．∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0．∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R ．则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0．∴f (x 2)－f (x 1)<0．即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3．∴所求f (x )在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3．12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0，2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ， 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x ．∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x ．故f (x )＝12x (－1≤x ≤1) 又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)， 又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3) 由f (x )＝－12，解得x ＝－1．∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0，2010]上共有502个x 使f (x )＝－12．第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1．又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a－2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b－a －b ＝－2．答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3．又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3．答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________． 解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴(12)2x －x 2≥12．答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1． 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝3．答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值； (2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1． 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a ．又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2． (2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ．即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13． 法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0 即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13．B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1．答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1，2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1．答案：(0，1] 3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12．答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________． 解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1， 故f －1(13)＝－1．又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2．答案：2 5．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y ＝(13)2－x ＝3x －2．答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e －xe x －e－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④． 又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③．答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________．解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2．∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124．答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．。
高考文科数学(北师大版)一轮复习课时规范练11函数的图像
课时规范练11 函数的图像基础巩固组1.函数f (x )={3x ,x ≤1,log 13x ,x >1,则y=f (x+1)的图像大致是( )f (x )的图像向左平移一个单位即得到y=f (x+1)的图像.故选B . 2.已知f (x )=2x ,则函数y=f (|x 1|)的图像为( )(|x 1|)=2|x 1|.当x=0时,y=2.可排除选项A,C . 当x=1时,y=4.可排除选项B . 故选D .3.(2019山西吕梁一模,6)函数f (x )=x sin x+ln |x|的图像大致为( )f (x )为偶函数,可排除A,C;又f (1)=sin 1>0,可排除B,因而选D .4.(2019湖南三湘名校联考一,4)函数f (x )=|x |ln |x |x 2的图像大致为( )f (x )=|-x |ln |-x |x 2=|x |ln |x |x 2=f (x ),所以f (x )是偶函数,可得图像关于y 轴对称,排除C,D;当x>0时,f (x )=lnx x ,f (1)=0,f (12)<0,排除B,故选A . 5.函数f (x )的部分图像如图所示,则f (x )的解析式可以是( )A.f (x )=x+sin xB.f (x )=cosxxC.f (x )=x (x -π2)(x -3π2)D.f (x )=x cos x,排除C;又f (x )=x+sin x=0,函数只有一个零点,所以A 不正确;函数的图像可知,x=0是函数的零点,而f (x )=cosxx ,x ≠0,所以B 不正确.故选D .6.已知函数f (x )=x 2+e x 12(x<0)与g (x )=x 2+ln(x+a )的图像上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A .(√e) B.(∞,√e )C .(√e√e) D .(-√e ,√e)f (x )的图像关于y 轴对称的图像的解析式为h (x )=x 2+e x 12(x>0).令h (x )=g (x ),得ln(x+a )=e x 12,作函数M (x )=e x 12(x>0)的图像,显然当a ≤0时,函数y=ln(x+a )的图像与M (x )的图像一定有交点.当a>0时,若函数y=ln(x+a )的图像与M (x )的图像有交点,则ln a<12,则0<a<√e. 综上a<√e.故选B .7.(2019河北衡水同卷联考,7)下列函数中,其图像与函数y=log 2x 的图像关于直线y=1对称的是( )A.y=log 22x B.y=log 24x C.y=log 2(2x )D.y=log 2(4x )P (x ,y )为所求函数图像上的任意一点,它关于直线y=1对称的点是Q (x ,2y ),由题意知点Q (x ,2y )在函数y=log 2x 的图像上,则2y=log 2x ,即y=2log 2x=log 24x ,故选B .8.(2019湖北省一月模拟,7)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,-1x ,x >0, g (x )=f (x ),则函数g (x )的图像是( )g (x )=f (x ),所以g (x )图像与f (x )的图像关于原点对称,由f (x )解析式,作出f (x )的图像如图.从而可得g (x )的图像为A .9.(2019吉林实验中学模拟)函数f (x )=x+1x 的图像与直线y=kx+1交于不同的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1+y 2= .f (x )=x+1x=1x+1,所以f (x )的图像关于点(0,1)对称,而直线y=kx+1过(0,1)点,故两图像的交点(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于点(0,1)对称,所以y 1+y 22=1,即y 1+y 2=2. 10.已知函数f (x )={-x 2+2x ,x ≤0,ln (x +1),x >0.若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是 .|f (x )|的图像如图所示.当a=0时,|f (x )|≥ax=0恒成立,所以a=0满足题意;当a>0时,在x<0时,|f (x )|≥ax=0恒成立,所以只需x>0时,ln(x+1)≥ax 成立.对比对数函数与正比例函数的增长速度发现,一定存在ln(x+1)<ax 的时刻,所以a>0不满足条件;当a<0时,在x>0时满足题意; 当x ≤0时,只需x 22x ≥ax 成立,即直线在抛物线下方,即a ≥x 2恒成立,则a ≥2. 综上,a 的取值范围为[2,0].综合提升组11.(2019河南郑州三模,5)我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中,常用函数的图像来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图像的特征.如函数f (x )=x 4|4x -1|的图像大致是( ),函数f (x )=x 4|4x -1|,则f (x )=(-x )4|4-x-1|=x 4·4x|4x -1|,易得f (x )为非奇非偶函数,排除A,B;当x →+∞时,f (x )=x 44x -1→0,排除C .故选D .12.已知f (x )={|lgx |,x >0,2|x |,x ≤0,则函数y=2f 2(x )3f (x )+1的零点个数是 .2f 2(x )3f (x )+1=0的解为f (x )=12或1.作出y=f (x )的图像,由图像知零点的个数为5. 13.(2019山东青岛二中期末)已知f (x )={-2x ,-1≤x ≤0,√x ,0<x ≤1,则下列函数的图像错误的是( )y=f (x )的图像,将函数y=f (x )的图像向右平移1个单位长度,得到函数y=f (x 1)的图像,因此A 正确;作函数y=f (x )的图像关于y 轴的对称图形,得到y=f (x )的图像,因此B 正确;y=f (x )在[1,1]上的值域是[0,2],因此y=|f (x )|的图像与y=f (x )的图像重合,C 正确;y=f (|x|)的定义域是[1,1],且是偶函数,当0≤x ≤1时,y=f (|x|)=√x ,这部分的图像不是一条线段,因此选项D 不正确.故选D . 14.(2019北师大实验中学模拟)如图,矩形ABCD 的周长为8,设AB=x (1≤x ≤3),线段MN 的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时,线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ,记G 围成的区域的面积为y ,则函数y=f (x )的图像大致为( ),点P 的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为12的扇形.因为矩形ABCD 的周长为8,AB=x ,则AD=8-2x2=4x ,所以y=x (4x )π4=(x 2)2+4π4(1≤x ≤3),显然该函数的图像是二次函数图像的一部分,且当x=2时,y max =4π4∈(3,4),故选D .15.(2019福建双十中学模拟)设函数y=f (x+1)是定义在(∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在区间(∞,0)上是减函数,且图像过点(1,0),则不等式(x 1)f (x )≤0的解集为 .x|x ≤0或1<x ≤2}f (x )的大致图像如图所示.不等式(x 1)f (x )≤0可化为{x >1,f (x )≤0,或{x <1,f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x|x ≤0或1<x ≤2}.创新应用组16.(2019安徽江淮十校联考)若直角坐标系内A ,B 两点满足:(1)点A ,B 都在f (x )图像上;(2)点A ,B 关于原点对称,则称点对(A ,B )是函数f (x )的一个“和谐点对”,(A ,B )与(B ,A )可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )={x 2+2x ,x <0,2e x ,x ≥0,则f (x )的“和谐点对”有( )A.1个B.2个C.3个D.4个y=x 2+2x (x<0)的图像关于原点对称的图像,看它与函数y=2ex (x ≥0)的图像的交点个数即可,观察图像可得交点个数为2,即f (x )的“和谐点对”有2个.17.如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y=f (x )的图像大致为 ( )f (π2)=2√2,f (π4)=√5+1,即f (π2)<f (π4),由此可排除C,D 项;当3π4≤x ≤π时,f (x )=tan x+√tan 2x +4,可知x ∈[3π4,π]时,f (x )的图像不是线段,可排除A 项,故选B 项.。
新高考数学文科一轮总复习课时练习6.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象(含答案详析)
第 4 讲函数 y ＝ Asin (ωx＋ φ) 的图象π1．设函数 f(x)＝ cos ωx (ω>0)，将 y ＝ f(x)的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与3原图象重合，则ω的最小值等于 ()1A. 3 B ．3 C ．6 D ．92．若函数 f(x) ＝ sinx ， φ∈ [0,2 π]是偶函数，则 φ＝ ()3π2π3π 5πA. 2B. 3C. 2D. 33．函数 y ＝ sin(ωx ＋φ)(x ∈ R ，ω>0,0≤ φ<2π)的部分图象如图 K6- 4-1，则 ()图 K6- 4-1A ． ω＝ ππ B ． ω＝ π π， φ＝ 4 ， φ＝62 3C ． ω＝ π πD ． ω＝ π5π， φ＝ 4 ， φ＝4444．(2013 年广东广州天河三模 )函数 y ＝cosx 的图象上各点的横坐标变成本来的1倍(纵坐2标不变 )，再向左平移 π()个单位，则所得函数的分析式是1 6π πA ． y ＝ cos 2x ＋6 B ． y ＝ cos 2x ＋31 ππ C ． y ＝ cos 2x ＋12D ． y ＝ cos 2x ＋65．将函数 y ＝ sinx 的图象向左平移φ(0≤φ＜ 2π)个单位后，获得函数 y ＝ sin x －π的图象，则 φ＝ ()6π 5π 7π 11πA. 6B. 6C. 6D. 6π个单位长度，所得图象经过6． (2012 年天津 )将函数 f(x)＝ sin ωx (ω>0)的图象向右平移 4 3π点 ， 0，则 ω的最小值是 ()41 5A. 3 B ． 1 C.3 D ． 27． (2012 年浙江 )把函数 y ＝cos2x ＋ 1 的图象上全部点的横坐标伸长到本来的2 倍(纵坐标不变 )，而后向左平移 1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，获得的图象是( )8． (2013 年山东威海二模 )函数 f(x)＝ Asin( ωx＋ φ)(A ＞0， ω＞ 0)的部分图象如图 K6- 4-2 所示，则 f(1) ＋ f(2) ＋ ＋ f(2013) ＝ __________.图 K6- 4-29．已知函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)， x ∈ R 此中 A>0， ω>0， 0< φ< π2的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 π，且图象上一个最低点为 2π2M 3 ，－ 2 .(1)求 f(x)的分析式；(2)当 x ∈ π， π122 ，求 f(x)的值域．第 4 讲函数 y ＝ Asin (ωx＋ φ) 的图象π 2π1． C＝·k(k ∈ Z )，∴ ω＝ 6k ，令 k ＝ 1，∴ ω＝ 6.分析： 由题意知， 3x ＋ φφ π 2． C 分析： 由 f(x)＝ sin 3 (φ∈ [0,2 π为])偶函数可知， 3 ＝ k π＋ 2， k ∈ Z ，∴当 k ＝ 0时， φ＝32π∈ [0,2 π]．应选 C.3． C T2π π分析： ∵ ＝ 3－ 1＝ 2，∴ T ＝ 8，∴ ω＝T＝ .44π π π令 4×1＋ φ＝2，得 φ＝4，∴应选 C.4．B分析： y ＝ cosx 图象上的每一点的横坐标变成本来的1倍 (纵坐标不变 )，获得函数2ππy ＝ cos2x ，向左平移 6 个单位长度获得 y ＝ cos 2 x ＋ 6，π即 y ＝ cos 2x ＋ 3 .5．D 分析： 由函数 y ＝ sinx 向左平移 φ个单位获得 y ＝ sin(x ＋φ)的图象．由条件，知：π11π π 函数 y ＝ sin(x ＋ φ)可化为函数 y ＝ sin x －6 ，比较个各选项， 只有 y ＝sin x ＋ 6 ＝ sin x －6 .6．D 分析： 函数向右平移 π g(x) ＝f x － π π ωπ，此时 4 获得函数 ＝ sin ω x － ＝ sin ωx－4 4 4 3π 3π π 3π π ωπ函数过点 4 ， 0 ，∴ sin ω 4 － 4 ＝ 0，即 ω 4 － 4 ＝ 2 ＝ k π，∴ ω＝ 2k ， k ∈ Z ，∴ ω 的最小值为 2.应选 D.7．A 分析：由题意， y ＝ cos2x ＋1 的图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍 (纵坐标 不变 )，即分析式为 y ＝ cosx ＋ 1，向左平移一个单位为 y ＝ cos(x ＋ 1)＋1，向下平移一个单位 为 y ＝ cos(x ＋ 1)，∵曲线 y ＝cos(x ＋1) 由余弦曲线 y ＝cosx 左移一个单位而得， ∴曲线 y ＝ cos(xπ 3π π 3π＋ 1)经过点 －1，0和－ 1，0，且在区间 － 1，－ 1上的函数值小于 0.应选 A.22222ππ8． 2 3 分析： 由图象可得＝ 7－ 4，解得 ω＝ ，A ＝ 2，2ω3π故 f(x)＝ 2sin 3x ＋ φ ，代入 (4,0)，4π 4π 可得 0＝ 2sin3 ＋ φ，即 3 ＋ φ＝ k π， k ∈ Z ，4π5π解得 φ＝ k π－ 3，同理代入点2， 2 ，综合可取 φ＝－ 3，故可得 f(x)＝ 2sin π π 3x － 3 .故函数的周期为 6，且 f(1) ＋ f(2) ＋ ＋ f(6) ＝0，故 f(1) ＋ f(2) ＋ ＋ f(2013)＝ 335× 0＋ f(1) ＋ f(2) ＋f(3)π 2π 3.＝ 2sin0＋ 2sin ＋ 2sin ＝23 32π 9． 解： (1)由最低点为 M 3 ，－ 2 得 A ＝2.π π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为，得 T＝ ，2π 2π22 2即 T ＝ π， ω＝ T ＝ π＝ 2.2π2π，－ 2在图象上，得 2sin 2×＋φ＝－ 2，由点M 334π即 sin ＋ φ＝－ 1，4π 3π故 3 ＋φ＝ 2k π－2， k ∈ Z .11π∴ φ＝ 2k π－ 6 . 又 φ∈ 0， π π π. 2 ，∴ φ＝ .故 f(x)＝ 2sin 2x ＋66 π 7π π π ，∴ 2x ＋ π，6 ∈ ，(2)∵ x ∈ 12 2 3 6 .当π π π 2；2x ＋ ＝ ，即 x ＝ 时， f(x)获得最大值6 2 6π 7π π当 2x ＋ 6＝6 ，即 x ＝ 2时， f(x)获得最小值－ 1. 故 f(x)的值域为 [ － 1,2] ．。
锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习2.7函数的图像(含答案详析)
高效达标训练A 组基础达标（时间： 30 分钟满分：50分）若时间有限，建议选讲3， 5，9一、选择题（每题 5 分，共 25 分）1.（ 2014 ·日照模拟）设函数f（ x）（x∈ R）知足 f（－ x）＝ f（ x）， f（ x＋2）＝ f（ x），则 y＝ f （ x）的图像可能是（B）分析：代数表达式“f（x）＝ f （－ x）”，说明函数是偶函数，代数表达式“f（x＋2）＝f （x）”，说明函数的周期是2，再联合选项图像不难看出正确选项为 B.2.（2013 ·汕头模拟）对随意的函数 y＝ f（ x），在同一个直角坐标系中，函数 y＝ f（ x ＋1）与函数 y＝ f （－ x－ 1）的图像恒（ C）A.对于 x 轴对称B. 对于直线 x＝ 1 对称C. 对于直线x＝－ 1 对称D. 对于 y 轴对称分析：由函数图像变换，f（x＋1）的图像是由 f （ x）的图像向左平移1 个单位获得的， f （－ x－ 1）的图像是由 f （ x＋ 1）的图像先对于y 轴对称，再向左平移 2 个单位获得的，应选 C.3.（ 2013 ·东城模拟）已知 f（ x）是 R 上最小正周期为2 的周期函数，且当 0≤ x＜ 2 时，3f （x）＝ x － x，则函数 y＝ f（ x）的图像在区间[0， 6]上与 x 轴的交点的个数为（ B ）A. 6B. 7C. 8D. 9分析：由 f（ x）＝ 0，x∈ [0， 2）可得 x＝ 0 或 x＝1，即在一个周期内，函数的图像与x 轴有两个交点，在区间[0，6）上共有6 个交点，当 x＝ 6 时，也是切合要求的交点，故共有 7 个不一样的交点.4.（ 2013 ·潍坊质检）在函数 y＝ |x|（ x∈ [－ 1，1] ）的图像上有一点P（ t， |t|），此函数与 x 轴，直线 x＝－ 1 及 x＝ t 围成图形（如图暗影部分）的面积为S，则 S 与 t 的函数关系图像可表示为（B）5.当 t ∈ [－1， 0]时， S 增速愈来愈缓和，当 t∈[0， 1]时， S 增速愈来愈快，应选 B.（ 2013 ·北京期末）函数 f （ x）＝ log2（ x＋ 1）－ x2的零点个数为（ C）A. 0B. 1C. 2D. 3分析：由 f （ x）＝ log2（ x＋1）－ x2＝ 0 得 log 2（ x＋ 1）＝ x2.令 y1＝ log2（ x＋ 1）， y2＝ x2，在同一坐标系下分别作出函数y1＝log 2（ x＋ 1），y2＝x2的图像，由图像可知两个函数的图像的交点个数为2，∴函数 f （ x）＝ log2（ x＋1）－ x2的零点个数为2，选 C.二、填空题（每题 5 分，共 15 分）6.（2014 ·盘锦模拟）方程|x|＝ cos x 在（－∞ ，＋∞）内根的个数为2分析：如下图，由图像可得两函数图像有两个交点，故方程有且仅有两个根.7.如图，定义在 [－ 1，＋∞）上的函数 f （x）的图像由一条线段及抛物线的一部分组x＋ 1，－ 1≤ x≤0，成，则 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝1（ x－ 2）. 2－1， x＞ 04－k＋ b＝ 0，k＝ 1，分析：当－ 1≤ x≤0 时，设分析式为 y＝ kx ＋b，则得∴ y＝ x＋ 1.b＝ 1，b＝ 1.当 x＞ 0 时，设分析式为y＝ a（ x－ 2）2－ 1，∵图像过点（ 4，0），∴ 0＝ a（ 4－ 2）2－ 1，得1a＝4.8.（ 2014 ·冀州模拟）已知函数f（ x）＝ 2－ x2， g（ x）＝ x.若 f （ x） *g （ x）＝ min{f （ x）， g（x） } ，那么 f （ x）*g （ x）的最大值是1分析：画出函数的图像（实线部分）， f（x） *g （ x）＝2－ x2（ x≤－ 2或 x≥ 1），其x（－ 2＜ x＜1），最大值为 1.三、解答题（共10 分）9.（2013 ·泰州月考）已知函数y＝ f （ x）的定义域为R，且当x∈ R 时， f （ m＋x）＝f （ m－ x）恒建立 .（1）求证： y＝ f（ x）的图像对于直线 x＝ m 对称；（ 2）若函数y＝ log2 |ax－ 1|的图像的对称轴是直线x＝2，求非零实数 a 的值 .分析：（ 1）设 P（ x0，y0）是 y＝ f（ x）图像上随意一点，则y0＝f（x0）.设P点对于x ＝ m 的对称点为P′，则 P′的坐标为（ 2m－x0，y0） .（ 3 分）由已知 f （ x＋ m）＝ f（ m－ x），得 f （ 2m－ x0）＝ f[m ＋（ m－ x0）] ＝f[m －（ m－x0） ] ＝ f （ x0）＝ y0.即 P′（ 2m－ x0，y0）在 y＝f （x）的图像上 .∴ y＝ f （ x）的图像对于直线x＝ m 对称 .（ 6 分）（ 2）由题知，对定义域内的随意x，有 f（ 2－ x）＝ f（ 2＋x）恒建立 .∴|a（ 2－ x）－ 1|＝ |a（ 2＋ x）－ 1|恒建立，（ 8 分）即 |－ax＋（ 2a－ 1） |＝ |ax＋（ 2a－1） |恒建立 .又 a≠0，∴ 2a－1＝ 0，得 a＝12.（ 10 分）B 组提优操练（时间： 30 分钟满分： 50 分）若时间有限，建议选讲 2， 5，8一、选择题（每题 5分，共 15 分）1.（ 2013 ·湖南高考）函数 f（ x）＝ 2ln x 的图像与函数 g（ x）＝ x2－ 4x＋5 的图像的交点个数为（ B ）A. 3B. 2分析： g（ x）＝ x2－4x＋ 5＝（ x－ 2）2＋ 1，作出函数 f（ x）＝ 2ln x 与 g（ x）＝ x2－4x＋ 5 的图像 .由图像可知两函数图像的交点个数为2，选 B.3x2.（2013 ·四川高考）函数 y＝3x－1的图像大概是（C）33x x分析：当x＜0时，x＜0，3－1＜0，∴ y＝x＞0，故清除B；因为函数值不行能为 0，故能够清除A；∵ y＝ 3x－ 1 与 y＝ x3对比，跟着 x 的增大，指数函数比幂函数增加速x3→0，∴D 不正确，C 正确 .应选 C.度快，∴ x→＋∞，y＝x3 － 13.（2013 ·吉林模拟）若函数 y＝ f（ 10＋ x）与函数 y＝ f（ 10－ x）的图像对于直线 l 对称，则直线 l 的方程是（ B）A. y ＝ 0B. x ＝ 0C. y＝ 10D. x ＝ 10分析： y＝ f （ 10＋ x）能够看做是由y＝f（ x）的图像向左平移10 个单位获得的， y＝f （10－ x）＝ f[ －（ x－ 10） ] 能够看做是由 y＝ f（－ x）的图像向右平移10 个单位获得的 .而 y＝ f （ x）的图像与 y＝ f （－ x）的图像对于 y 轴（即直线 x＝0）对称，故函数 y＝ f（ 10 ＋ x）与 y＝ f （ 10－ x）的图像的对称轴 l 的方程是 x＝0.二、填空题（每题 5 分，共 15 分）4.（2014 ·贵阳模拟）把函数y＝ log 3（ x－ 1）的图像向右平移1个单位，再把横坐标缩2小为本来的1，所得图像的函数分析式是y＝ log 32x－3.2213分析： y＝ log 3（ x－1）的图像向右平移2个单位获得y＝ log 3 x－2的图像，再把横坐13的图像 .标减小为本来的2，获得 y＝ log 3 2x－25.直线 y＝ 1 与曲线 y＝ x2－ |x|＋ a 有 2个交点，则 a 的取值范围是121x－2＋ a－4， x≥ 0，分析： y＝ x2－ |x|＋ a＝12当其图像如下图时1x＋2＋ a－4， x＜ 0.5a|a＜ 1或 a＝4，知足题意 .由图知 a＜ 1 或 a－1＝ 1，解得 a＜ 1 或 a＝5. 446.（ 2013 ·通化模拟）若函数y＝ f（ x）（x∈ R）知足 f（ x＋ 2）＝ f（ x），且 x∈ [ － 1， 1）时， f （ x）＝ |x|.则函数 y＝ f （ x）的图像与函数y＝ log 4|x|的图像的交点的个数为6分析：∵函数 y＝ f（x）知足 f（ x＋ 2）＝ f（ x），∴该函数的周期为 2，又 x∈ [ － 1，1）时，f（x）＝|x|，∴可获得该函数的图像，在同向来角坐标系中，画出两函数的图像如图，可得交点有 6 个 .三、解答题（共 20 分）7.（ 10 分）（ 2013 ·南昌模拟）已知函数f（x）的图像与函数1＋ 2 的图像h（ x）＝ x＋x对于 A（0， 1）对称 .（ 1）求 f （ x ）的分析式；（ 2）若 g （ x ）＝ f （ x ）＋ x a，且 g （x ）在区间（ 0，2] 上为减函数 ，务实数 a 的取值范围 .分析：（1）设 f （ x ）图像上任一点 P （ x ，y ），则点 P 对于（ 0，1）点的对称点 P ′（－x ， 2－ y ）在 h （ x ）的图像上 ，即 2－y ＝－ x －1＋ 2， ∴ f （x ）＝ x ＋1（ x ≠ 0） .（ 5 分）xx（ 2）g （ x ）＝ f （ x ）＋ a ＝x ＋ a ＋ 1a ＋ 1分）xx ，g ′（ x ）＝ 1－ x 2 .（ 6∵ g （ x ）在（ 0，2]上为减函数 ，∴ 1－ a ＋ 1 2在（ 0，x 2 ≤ 0 在（ 0， 2]上恒建立 ，即 a ＋ 1≥x2]上恒建立 ， ∴ a ＋ 1≥4，即 a ≥ 3，故 a 的取值范围是 [3 ，＋∞） .（10 分）（ 10 分）已知真命题： “函数 y ＝ f （ x ）的图像对于点 P （ a ，b ）成中心对称图形 ”的充要条件为 “函数 y ＝f （ x ＋ a ）－ b 是奇函数 ”.（ 1）将函数 g （ x ）＝ x 3－ 3x 2 的图像向左平移 1 个单位 ，再向上平移 2 个单位 ，求此时图像对应的函数分析式 ，并利用题设中的真命题求函数 g （ x ）图像的对称中心的坐标；2x（ 2）求函数h （ x ）＝ log 24－x 图像的对称中心的坐标；（ 3）已知命题： “函数 y ＝f （ x ）的图像对于某直线成轴对称图形 ”的充要条件为 “存在实数 a 和 b ，使得函数 y ＝ f （ x ＋ a ）－ b 是偶函数 ”判.断该命题的真假 .假如是真命题 ，请给予证明；假如是假命题 ，请说明原因 ，并类比题设的真命题对它进行改正 ，使之成为真命题（不用证明） .（ 1）平移后图像对应的函数分析式为 y ＝（ x ＋1） 3－ 3（ x ＋1） 2＋ 2， 整理得 y ＝ x 3 － 3x ， 因为函数 y ＝ x 3－ 3x 是奇函数 ，由题设知 ，函数 g （ x ）图像的对称中心的坐标是 （ 1，－2）.（ 3分）2x（ 2）设 h （ x ）＝ log 2的对称中心为 P （ a ，b ），由题设知函数 h （ x ＋ a ）－ b 是奇函数 .设 f （x ）＝ h （ x ＋ a ）－ b ，则 f （ x ）＝ log 22（x ＋a ）－ b ，即 f （ x ）＝ log 22x ＋2a－ b.4－（ x ＋ a ）4－ a － x由不等式2x ＋2a＞0 的解集对于原点对称 ，得 a ＝ 2.此时 f （ x ）＝ log 22（x ＋2）－ b ，x ∈（－4－ a － x2－x2x 图2，2）.任取 x ∈（－ 2，2），由 f （－ x ）＋ f （x ）＝ 0，得 b ＝ 1，∴函数 h （ x ）＝ log 24－ x像的对称中心的坐标是（2， 1）. （6 分）（ 3）此命题是假命题 .举反例说明：函数 f （ x ）＝ x 的图像对于直线 y ＝－ x 成轴对称图形 ，可是对随意实数 a 和 b ，函数 y ＝ f （ x ＋ a ）－ b ，即 y ＝ x ＋ a － b 总不是偶函数 . 改正后的真命题： “函数 y ＝f （ x ）的图像对于直线 x ＝ a 成轴对称图形 ”的充要条件是 “函数 y ＝ f （ x ＋ a ）是偶函数 ”.（ 10 分）。
2025高考一轮复习专练10 函数的图像【含答案】
2025高考一轮复习专练10函数的图像（原卷版）[基础强化]一、选择题1．[2023·全国甲卷(理)，5]函数y＝(3x－3－x)cos x在区间－π2，π2的图像大致为()2．为了得到函数y＝log2x－1的图像，可将函数y＝log2x图像上所有点的() A．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位3．[2023·安徽省滁州市高三质检]函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2sin|x|e xB．f(x)＝x2cos|x|e xC．f(x)＝x2|sin x|e xD．f(x)＝x2|cos x|e x4．[2023·河南省郑州市高三质量预测]函数f(x)＝3x－3－xx2＋|x|－2的部分图像大致是()5．[2023·江西省九江市二模]已知函数y ＝f (x )的部分图像如图所示，则y ＝f (x )的解析式可能是()A ．f (x )＝sin xe x ＋e －xB ．f (x )＝sin x e x －e －xC ．f (x )＝cos x e x －e －xD ．f (x )＝cos x e －x －ex 6．对于函数f (x )＝x ＋2x ＋1的图像及性质的下列表述，正确的是()A ．图像上点的纵坐标不可能为1B ．图像关于点(1，1)成中心对称C ．图像与x 轴无交点D ．图像与垂直于x 轴的直线可能有两个交点7．已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图像对应的函数为()A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－|x |)C ．y ＝|f (x )|D ．y ＝－f (|x |)8．[2023·全国甲卷(理)]函数y ＝f (x )的图象由函数y ＝cos (2x ＋π6)的图象向左平移π6个单位长度得到，则y ＝f (x )的图象与直线y ＝12x －12的交点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．49．函数y ＝11－x的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图像的所有交点的横坐标之和等于()A ．2B ．4C．6D．8二、填空题10．若函数y＝f(x)的图像经过点(2，3)，则函数y＝f(－x)＋1的图像必定经过的点的坐标为________．11．函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图像如图所示，那么不等式f（x）cos x <0的解集为________.12．已知函数y＝|x2－1|x－1的图像与函数y＝kx－2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．[能力提升]13．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿A－B－C －M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图像的形状大致是()14．[2023·安徽省江南十校一模]函数f(x)＝|x＋1|＋ax的图像不可能是()15．[2023·江西省南昌市高三二模]已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx＋c(a<0，b<0)，则函数f(x)的图像可能是()16．[2023·郑州市质检]已知函数f(x)＝e x－2，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，h(x)＝kx－2k＋1(k∈R)，给出下列四个命题，其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)①存在实数k，使得方程|f(x)|＝h(x)恰有一个根；②存在实数k，使得方程|f(x)|＝h(x)恰有三个根；③任意实数a，存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)；④任意实数a，存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)2025高考一轮复习专练10函数的图像（解析版）1．A 设函数f (x )＝(3x －3－x )cos x ，则对任意x ∈[－π2，π2]，都有f (－x )＝(3－x －3x )cos (－x )＝－(3x －3－x )cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，因此排除B ，D 选项．又f (1)＝(3－3－1)cos 1＝83cos 1＞0，所以排除C 选项．故选A.2．A 把函数y ＝log 2x 的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，得到函数y ＝12log 2x 的图像，再向右平移1个单位，得到函数y ＝12log 2(x －1)的图像，即函数y ＝log 2(x －1)12＝log 2x －1的图像．3．A 对于B 选项，f (π2)＝0，与题图不符；对于C 选项，当π<x <3π2时，|sin x |>0，则f (x )＝x 2|sin x |e x >0，与题图不符；对于D 选项，f (π2)＝0，与题图不符．排除BCD 选项．4．C f (－x )＝3－x －3x （－x ）2＋|－x |－2＝3－x －3x x 2＋|x |－2＝－3x －3－x x 2＋|x |－2＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，排除A 选项；令x 2＋|x |－2＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以f (x )在x ＝1和x ＝－1处没有意义，函数图像存在虚线，当取1.000001时，f (x )分母为正，分子为正所以函数值为正数，排除B 选项；当x ＝－12时，f (x )分母为负，分子为负，所以f (x )为正数，排除D 选项；对比图像和函数值知只有C 选项符合题意．5．D 函数f (x )在x ＝0处无定义，排除选项A ，函数f (x )的图像关于原点对称，故f (x )为奇函数，排除选项B ，当0<x <1时，cos x >0，e x >e －x ，故cos x e x －e－x >0，排除选项C.6．A 函数f (x )＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1，∵1x ＋1≠0，∴f (x )≠1.故A 正确；显然f (x )的图像关于(－1，1)成中心对称，故B 不正确；∵当x ＝－2时，f (x )＝0，故图像与x 轴有交点，C 不正确；由函数的概念知D 不正确．7．B 图②是由图①y 轴左侧图像保留，左右关于y 轴对称得，故图②对应的解析式为y ＝f (－|x |).8．C 把函数y ＝cos x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数f (x )＝cos2＋π6＝cos x ＝－sin 2x 的图象．作出函数f (x )的部分图象和直线y ＝12x －12如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.9．D 由题意知y ＝11－x ＝－1x －1的图像是双曲线，且关于点(1，0)成中心对称，又y ＝2sin πx 的周期为T ＝2ππ＝2，且也关于点(1，0)成中心对称，因此两图像的交点也一定关于点(1，0)成中心对称，再结合图像(如图所示)可知两图像在[－2，4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x 8＝4×2＝8.故选D.10．(－2，4)解析：由题意得f (2)＝3，又y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称，∴y ＝f (－x )过点(－2，3)y ＝f ((－2，4).11.－π2，－1∪1，π2解析：当x ∈0，π2时，y ＝cos x >0.当x ∈π2，4时，y ＝cos x <0.结合y ＝f (x )，x ∈[0，4]上的图像知，当1<x <π2时，f （x ）cos x <0.又函数y ＝f （x ）cos x 为偶函数，∴在[－4，0]上，f （x ）cos x <0－π2，－1，所以f （x ）cos x <0的解集为－π2，－11，π2.12．(0，1)∪(1，4)解析：根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1x ＋1（x >1或x <－1），－x －1（－1≤x <1）.在直角坐标系中作出该函数的图像，如图中实线所示，根据图像可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．13．A y ＝f (x )12x ，0≤x <1，34－x 4，1≤x <2，54－12x ，2≤x ≤52，画出分段函数的大致图像，如图所示．故选A.14．D 当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|x ＋1，x ≥－1－x －1，x <－1，图像为A ；当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋x 2x ，x ≥－1－1，x <－1，图像为C ；当a ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|－x 1，x ≥－1－2x －1，x <－1，图像为B.当x ≥－1时f (x )＝x ＋1＋ax ＝(1＋a )x ＋1为常数函数，则1＋a ＝0，解得a ＝－1，显然与B 的图像矛盾，故D 错误．15．B 由题f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b (a <0，b <0)，Δ＝4a 2－4b >0，导函数有两个变号零点即原函数有两个极值点x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－2a >0，x 1·x 2＝b <0，只有B 图符合．16．①②④解析：画出|f (x )|＝|e x －2|的函数图像，如图：h (x )＝kx －2k ＋1经过定点(2，1)，从图中可以看出存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有一个根；①正确；存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有三个根，②正确；要想对任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，只需函数f (x )＝e x －2，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )始终有两个交点，当a ＝1时，g (x )＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，开口向上，且最小值为－14，此时图像如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显然此时两函数只有一个交点，故③错误；要想对任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)＝－[g (x 1)－g (x 2)]，只需f (x )＝e x －2与－g (x )＝－x 2－ax ，无论a 取何值，都有两个交点，其中－g (x )＝－x 2－ax ＝－(x ＋a 2)2＋a 24开口向下，且有最大值为a 24≥0，且恒过(0，0)，画出两函数图像如下，其中－g (x )＝－x 2－ax ＝－(x ＋a 2)2＋a 24为一组抛物线，用虚线表示：无论a 取何值，都有两个交点，④正确．。
高考数学(文科)一轮复习基础知识检测函数的图像及其应用 Word版含解析
函数的图像及应用．把函数＝(－)＋的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图像对应的函数的解析式是( )．＝(－)＋．＝(－)＋．＝(－)＋．＝(－)＋．已知函数()＝(－)(－)(其中＞)的图像如图－所示，则函数()＝＋的图像是()．已知函数：①＝；②＝；③＝－；④＝.则下列函数图像(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是()．②①③④．②③①④．④①③②．④③①②．函数＝的图像关于点对称．．已知图－①是函数＝()的图像，则图－②中的图像对应的函数可能是( )．＝() ．＝()．＝(－) ．＝－(－)．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“”形图案，如图－所示．设小矩形的长、宽分别为、，剪去部分的面积为，若≤≤，记＝()，则＝()的图像是( )．已知()＝(\\(＋，∈[－，(，＋，∈[，]，))( )图－．已知函数＝()的周期为，当∈[－]时()＝，那么函数＝()的图像与函数＝的图像的交点共有( )．个．个．个．个．如图－，正方形的顶点，，，顶点、位于第一象限，直线：＝(≤≤)将正方形分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为()，则函数＝()的图像大致是( )图－图－．函数＝()的图像与函数＝的图像关于直线＝对称，将＝()的图像向左平移个单位，得到函数＝()的图像，再将＝()的图像向上平移个单位，得到函数＝()的图像，则函数＝()的解析式是．．若函数()在区间[－]上是增函数，则函数(＋)的单调递增区间是．．已知>且≠，()＝－，当∈(－)时均有()<，则实数的取值范围是．．已知函数＝()和＝()在[－]上的图像如图－所示：。
2025高考数学一轮复习-函数的图象专项训练【含解析】
课时过关检测(十一)函数的图象【原卷版】1．函数y ＝4x x 2＋1的图象大致为()2．已知指数函数f (x )＝a x ，将函数f (x )的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g (x )的图象，再将g (x )的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f (x )的图象重合，则a 的值是()A ．32B ．23C ．33D ．33．如图，设有圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，它的图象大致是如图所示的四种情况中的()4．函数y |－m 有两个零点，则m 的取值范围是()A ．[1，＋∞)B ．[0,1]C ．(0,1)D ．[－1,0)5．已知函数f (x )＝|2x －1|，当a <b <c 时有f (a )>f (c )>f (b )，则必有()A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．2－a <2cD ．1<2a ＋2c <26．(多选)对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，下列说法正确的是()A ．f (x ＋2)是偶函数B ．f (x ＋2)是奇函数C ．f (x )在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增D ．f (x )没有最小值7．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1,1)对称，则实数a ＝________．8．已知函数f (x )＝x 2－2|x |－m 的零点有两个，则实数m 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝3－x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0，试讨论方程f (x )－a ＝0的根的个数？10．已知f (x )＝x 2－2，x ≤0，3x －2，x >0，若|f (x )|≥ax 在x ∈[－1,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)B ．[0,1]C ．[－1,0]D ．(－1,0)11．(多选)f (x )是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示，令g (x )＝af (x )＋b ，则下列关于函数g (x )的叙述正确的是()A ．若a <0，则函数g (x )的图象关于原点对称B ．若a ＝－1，－2<b <0，则方程g (x )＝0有大于2的实根C ．若a ≠0，b ＝2，则方程g (x )＝0有两个实根D ．若a ≥1，－2<b <2，则方程g (x )＝0有三个实根12．已知函数f (x )＝sin πx ，0≤x ≤1，log 2020x ，x >1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．13．已知函数f (x )在R 上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f (x ＋t )<4的解集为(－1,2)，则实数t 的值为________．14．如图，函数y ＝f (x )的图象由曲线段OA 和直线段AB 构成．(1)写出函数y＝f(x)的一个解析式；(2)提出一个能满足函数y＝f(x)的图象变化规律的实际问题．15．若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对(A，B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”．点对(A，B)与(B，A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f(x)x22x(x<0)，2e x(x≥0)，则f(x)的“姊妹点对”有()A．0个B．1个C．2个D．3个16．已知函数f(x)－x2＋x，x≤1，log13x，x>1，g(x)＝|x－k|＋|x－2|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围是________．课时过关检测(十一)函数的图象【解析版】1．函数y ＝4x x 2＋1的图象大致为()解析：A 法一：令f (x )＝4x x 2＋1，显然f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，排除C 、D ，由f (1)>0，排除B ，故选A ．法二：令f (x )＝4x x 2＋1，由f (1)>0，f (－1)<0，故选A ．2．已知指数函数f (x )＝a x ，将函数f (x )的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数g (x )的图象，再将g (x )的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f (x )的图象重合，则a 的值是()A ．32B ．23C ．33D ．3解析：D由题意可得g (x )＝3a x ，再将g (x )的图象向右平移2个单位长度，得到函数f (x )＝3a x －2，又因为f (x )＝a x ，所以，a x ＝3a x －2，整理可得a 2＝3，因为a >0且a ≠1，解得a ＝3．故选D ．3．如图，设有圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，它的图象大致是如图所示的四种情况中的()解析：C 观察可知阴影部分的面积S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项C 符合要求，故选C ．4．函数y ＝12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是()A ．[1，＋∞)B ．[0,1]C ．(0,1)D ．[－1,0)解析：C 因为函数y ＝12|x |－m 有两个零点，所以y ＝12|x |与y ＝m 的图象有两个交点，又因为y ＝12|x |是偶函数，当x ＞0时，y ＝12x ，函数图象如图所示，当0＜m ＜1时，两函数有两个交点．故选C ．5．已知函数f (x )＝|2x －1|，当a <b <c 时有f (a )>f (c )>f (b )，则必有()A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．2－a <2cD ．1<2a ＋2c <2解析：D 作出函数的图象，∵a <b <c ，有f (a )>f (c )>f (b )，则必有a <0,0<c <1，且|2a －1|>|2c －1|，∴1－2a >2c －1，得2a ＋2c <2，且2a ＋2c >1，即1<2a ＋2c <2．故选D ．6．(多选)对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，下列说法正确的是()A ．f (x ＋2)是偶函数B ．f (x ＋2)是奇函数C ．f (x )在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增D ．f (x )没有最小值解析：AC f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)为偶函数，A 正确，B 错误．作出f (x )的图象如图所示，可知f (x )在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；由图象可知函数存在最小值0，C 正确，D 错误．7．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1,1)对称，则实数a ＝________．解析：f (x )＝ax －a ＋a －2x －1＝a ＋a －2x －1，关于点(1，a )对称，故a ＝1．答案：18．已知函数f (x )＝x 2－2|x |－m 的零点有两个，则实数m 的取值范围是________．解析：在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝x 2－2|x |的图象和直线y ＝m ，可知当m >0或m ＝－1时，直线y ＝m 与函数y ＝x 2－2|x |的图象有两个交点，即函数f (x )＝x 2－2|x |－m 有两个零点．答案：{－1}∪(0，＋∞)9．已知函数f (x )－x ，x ≥0，x 2－4x ，x <0，试讨论方程f (x )－a ＝0的根的个数？解：作出函数f (x )的图象如图，方程f (x )－a ＝0的根的个数，即为函数y ＝f (x )与y ＝a 的交点个数，由图知，当a >4时，方程无实数根；当a ＝4或a ≤0时方程有1个实数根；当1<a <4时，方程有2个实数根；当0<a ≤1时，方程有3个实数根．10．已知f (x )2－2，x ≤0，x －2，x >0，若|f (x )|≥ax 在x ∈[－1,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)B ．[0,1]C ．[－1,0]D ．(－1,0)解析：C作出y ＝|f (x )|，y ＝ax 在[－1,1]上的图象如图所示，因为|f (x )|≥ax 在x ∈[－1,1]上恒成立，所以y ＝|f (x )|的图象在y ＝ax 的图象的上方(可以部分点重合)，且|f (－1)|＝|1－2|＝1，令3x －2＝0，得x ＝23，所以A (－1,1)，y ＝ax 经过点A (－1,1)时，a 有最小值，a min ＝－1，当y ＝ax 经过点B a 有最大值，a max ＝0，综上可知a 的取值范围是[－1,0]，故选C ．11．(多选)f (x )是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示，令g (x )＝af (x )＋b ，则下列关于函数g (x )的叙述正确的是()A ．若a <0，则函数g (x )的图象关于原点对称B ．若a ＝－1，－2<b <0，则方程g (x )＝0有大于2的实根C ．若a ≠0，b ＝2，则方程g (x )＝0有两个实根D ．若a ≥1，－2<b <2，则方程g (x )＝0有三个实根解析：BD当a<0时，f(x)关于原点对称，根据图象平移知g(x)＝af(x)＋b关于点(0，b)对称，A错误；a＝－1时，方程g(x)＝0⇔f(x)＝b，－2<b<0，由f(x)的图象知，f(x)＝b在x∈(2，c)上有一个交点，故B正确；a≠0，b＝2时，g(x)＝0⇔f(x)＝－2a，若使方程g(x)＝0有两个根，由图知，必有－2 a＝±2⇒a＝±1，其他的非零a值均不满足，故C错误；a≥1，－2<b<2时，g(x)＝0⇔f(x)＝－ba∈(－2,2)，由图知有三个交点，故D正确．故选B、D．12．已知函数f(x)πx，0≤x≤1，2020x，x>1，若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________．解析：函数f(x)πx，0≤x≤1，2020x，x>1的图象如图所示，不妨令a<b<c，由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2020，所以2<a＋b＋c<2021．答案：(2,2021)13．已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1,2)，则实数t的值为________．解析：由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0)．又y＝f(x)在R上单调递减，∴0<x＋t<3，不等式解集为(－t,3－t)．依题意，得t＝1．答案：114．如图，函数y＝f(x)的图象由曲线段OA和直线段AB构成．(1)写出函数y＝f(x)的一个解析式；(2)提出一个能满足函数y＝f(x)的图象变化规律的实际问题．解：(1)当0≤x≤2时，曲线段OA类似指数函数y＝2x，设曲线段OA的解析式为C：f(x)＝2x＋k，由O(0,0)，A(2,3)在曲线段OA上，可知f(x)＝2x－1，当2<x≤5时，设直线段AB的解析式为f(x)＝ax＋b，将A(2,3)，B(5,0)代入直线段AB的解析式，＝2a ＋b ，＝5a ＋b ，＝－1，＝5，此时f (x )＝－x ＋5，所以f (x )x －1，0≤x ≤2，x ＋5，2<x ≤5.(2)答案不唯一，合理即可．离上课时间还有5分钟时，小明用了2分钟急速跑(先慢后快)到距离教室3百米的操场找小华来上课，然后两个人用了3分钟时间匀速走到教室．15．若直角坐标平面内A 、B 两点满足①点A 、B 都在函数f (x )的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则点对(A ，B )是函数f (x )的一个“姊妹点对”．点对(A ，B )与(B ，A )可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f (x )2x (x <0)，x ≥0)，则f (x )的“姊妹点对”有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：C 根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y ＝2ex (x ≥0)交点个数即可．如图所示，当x ＝1时，0<2ex <1，观察图象可得，它们有2个交点．故选C ．16．已知函数f (x )x 2＋x ，x ≤1，x ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围是________．解析：对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min ．如图，作出函数f (x )x 2＋x ，x ≤1，x ，x >1的图象，观察图象可知，当x ＝12时，f (x )max ＝14．因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94．故实数k ∞，74∪94，＋－∞，74∪94，＋∞。
2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题函数的图象强化训练含解析
函数的图象学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.闻名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和探讨中，我们常常用函数的图象来探讨函数的性质，也常常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LLLL 为，可抽象为如图所示的轴对称的美丽曲线，下列函数中，其图象大致可“完备”局部表达这条曲线的函数是( )A. L(L)=LLL5L2−L −2L B. L(L)=LLLL2L−2−LC. L(L)=LLL5L|2L−2−L|D. L(L)=LLL5L|2L−2−L|2.已知函数L(L)=14L2+LLLL，L′(L)是函数L(L)的导函数，则L′(L)的图象大致是( )A. B.C. D.3.已知函数L(L)=3L+L,L(L)=log3L+L,L(L)=L3+L的零点分别为L,L,L，则L,L,L的大小依次关系是( )A. L>L>LB. L>L>LC. L>L>LD. L>L>L4.如图是函数L=L sin(LL+L)(L>0,L>0,0<L<2L)的部分图象，则该函数图象与直线L=L2021的交点个数为( )1A. 8083B. 8084C. 8085D. 80865. 已知函数L (L )={L ln L −L ,L >0L (L +1),L ⩽0，若关于L 的方程2L (L )−LL +1=0有四个不同的实根，则实数L 的取值范围是( ) A. (−14,−16]∪(14,12] B. [−14,−16)∪[14,12) C. (−12,−13]∪(12,1] D. [−12,−13]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
高考数学一轮复习 专题10 函数的图象(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题10函数的图象最新考纲1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数．2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.基础知识融会贯通1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． 【知识拓展】1．关于对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．重点难点突破【题型一】作函数的图象【典型例题】已知函数f （x ）＝a x （a ＞0且a ≠1）在（0，2）内的值域是（1，a 2），则函数y ＝f （x ）的图象大致是（ ） A ．B ．C．D．【解答】解：函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）在（0，2）内的值域是（1，a2），则由于指数函数是单调函数，则有a＞1，由底数大于1指数函数的图象上升，且在x轴上面，可知B正确．故选：B．【再练一题】函数f（x）sin（2x+φ）（|φ|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）sin（2x+φ）（|φ|）的图象向左平移个单位后，得到g（x）sin（2xφ）（|φ|）的图象，由于平移后的图象关于原点对称，故g（0）sin（φ）＝0，由|φ|得：φ，故选：D．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．【题型二】函数图象的辨识【典型例题】函数f（x）＝x sin x+ln|x|在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，f（x）＝x sin x+ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）+ln|（﹣x）|＝x sin x+ln|x|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上关于y轴对称，排除A、D；又由x→0时，x sin x+lnx＜0，排除C；故选：B．【再练一题】函数的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝﹣f（x），即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x＞0时，f（x）＞0，排除D，当x→+∞，f（x）→+0，排除C，故选：A．思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．【题型三】函数图象的应用命题点1 研究函数的性质【典型例题】已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足g（x）＝f（|x﹣1|），则函数y＝g（x）的图象关于（）A．直线x＝﹣1对称B．直线x＝1对称C．原点对称D．y轴对称【解答】解：由y＝f（|x|）关于y轴对称，由y＝f（x）向右平移一个单位可得y＝f（x﹣1），即函数y ＝g（x）的图象关于x＝1对称，故选：B．【再练一题】已知函数f（x）＝sin，则（）A．f（x）在（1，3）上单调递增B．f（x）在（1，3）上单调递减C．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称D．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称【解答】解：∵y＝sinπx关于点（1，0）对称，y关于点（1，0）对称，∴f（x）＝sinπx关于点（1，0）对称．故选：C．命题点2 解不等式【典型例题】已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图，则满足f'（x）＜f（x）的x的取值X围为（）A．（0，4）B．（﹣∞，0），（1，4）C．D．（0，1），（4，+∞）【解答】解：由题意可知导函数是二次函数，原函数是3次函数，可知：则满足f'（x）＜f（x）的x的取值X围为：（0，1），（4，+∞）．故选：D．【再练一题】设f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），则使得f（x+1）＜f（2x﹣2）的x的取值X围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，）∪（1，+∞）D．（，1）【解答】解：根据题意，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）＝﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1）+1，分析可得：y＝﹣（x﹣1）2+1与函数y＝2（e x﹣1+e1﹣x）都关于直线x＝1对称，则函数f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x＝1对称，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）＝﹣2x+2﹣（e x﹣1）＝﹣2（x+1+e x﹣1），又由x≥1，则有e x﹣1，即e x﹣10，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．命题点3 求参数的取值X围【典型例题】已知函数g（x）＝a﹣x3（，e为自然对数的底数）与h（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值X围是（）A．B．[1，e3﹣3]C．D．[e3﹣3，+∞）【解答】解：由已知，得到方程a﹣x3＝﹣3lnx⇔﹣a＝3lnx﹣x3在[，e]上有解．设f（x）＝3lnx﹣x3，求导得：f′（x）3x2，∵x≤e，∴f′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，∵f（）＝﹣3，f（e）＝3﹣e3，f（x）极大值＝f（1）＝﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a＝2lnx﹣x2在上有解等价于3﹣e3≤﹣a≤﹣1．从而a的取值X围为[1，e3﹣3]．故选：B．【再练一题】已知函数y＝a+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点P，函数y＝﹣x2﹣2的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则a的取值X围是（）A．[3，e2]B．[e2，+∞）C．[4，e2]D．[3，4]【解答】解：函数y＝﹣x2﹣2的图象与函数y＝x2+2的图象关于原点对称，若函数y＝a+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点P，函数y＝﹣x2﹣2的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则函数y＝a+2lnx（x∈[，e]）的图象与函数y＝x2+2的图象有交点，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，则f′（x），当x∈[，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，e]时，f′（x）＞0，故当x＝1时，f（x）取最小值3，由f（）4，f（e）＝e2，故当x＝e时，f（x）取最大值e2，故a∈[3，e2]，故选：A．思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．基础知识训练1．函数的大致图像是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】令可得，，即函数仅有一个零点，所以排除B，D选项；又，所以由，可得，由,即函数上单调递增，在上单调递减，故排除C.2．函数的图像大致为A． B． C．D．【答案】C【解析】由，可排除B，D，由，可得，由此可排除A，故选C.3．函数的图像大致为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于函数，可得为奇函数，故排除C、D，当x＝1时，f（1），排除A，故选：B．4．函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线关于轴对称，则 ( ) A． B． C． D．【答案】A【解析】函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e-x，然后将所得函数图象向左平移1个单位长度即得到函数f(x)的图像，即f(x)=e-（x+1）=e-x-1故选：A．5．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（）A．10 B．-1 C．2 D．-2【答案】C【解析】关于对称的反函数本题正确选项：6．函数的大致图像为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵f（-x）=f（x），∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，C，当0＜x＜1时，log2x8＜0，x2-4＜0，∴f（x）＞1，故排除A，故选：D．7．函数的图像大致为( )A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为,且即函数为奇函数，图像关于原点对称，排除选项A,D,又f(2)=,排除选项C，故选：B8．设函数定义在上，给出下述三个命题：①满足条件的函数图像关于点对称；②满足条件的函数图像关于直线对称；③函数在同一坐标系中，其图像关于直线对称．其中，真命题的个数是（）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【详解】用代替中的，得．如果点的图像上，则，即点关于点的对称点，也在的图像上．反之亦然，故命题①是真命题．用代替中的，得．如果点的图像上，则，即点关于点的对称点，也在的图像上，故命题②是真命题．由命题②是真命题，不难推知命题③也是真命题．故三个命题都是真命题．9．函数的图像为，而关于直线对称的图像为，将向左平移1个单位后得到的图像为，则所对应的函数为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【详解】，选B.10．已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移1个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，所以，所以的最小正周期为，由，可知都是函数的最大值3（或都是最小值-3），所以的值为周期的整数倍，所以其最小值为，故选B.11．将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则具有的性质是( ) A．图像关于直线对称且最大值为1B．图像关于点对称且周期为C．在区间上单调递增且为偶函数D．在区间上单调递增且为奇函数【答案】A【解析】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，则当时，，所以函数关于直线对称，且最大值为1，所以A是正确的；当时，，所以不关于点对称，所以B不正确；当时，则，所以函数上单调递减，在上单调递增，所以C不正确；又由是偶函数，所以D 不正确，故选D.12．将函数的图像向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的是A．最小正周期为 B．图像关于直线对称C．图像关于点对称 D．在上是增函数【答案】B【解析】的图像向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得，其周期为,选项A错误；由可得对称轴方程为,当时，对称轴为，选项B正确，对称中心为,选项C错误；增区间为, 故选项D错误.故选B.13．若函数图像的对称轴是，则非零实数的值为__________．【答案】【解析】因为，其对称轴为，由.14．将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若的图像关于轴对称，则的最小值为__________．【答案】【解析】函数可化为，将它的图像向左平移个单位长度后得到函数=，因为的图像关于轴对称，所以，解得：所以，又，所以的最小值为。
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第7讲函数的图像
一、选择题
1．为了得到函数y＝2x－2的图像，可以把函数y＝2x图像上所有的点
() A．向右平行移动2个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动2个单位长度
D．向左平行移动1个单位长度
解析因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图像上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图像．
答案 B
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是
()
解析小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，排除
A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间
加快速度行驶，排除B.故选C.
答案 C
3．(2015·浙江卷)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图像可能为
( )
解析 (1)因为f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －1x cos x ＝－f (x )，－π≤x ≤π
且x ≠0，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B.当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫π－1πcos π<0，
排除C ，故选D. 答案 D
4．(2017·安庆一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图像大致是
( )
解析 由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图像关于原点对称．当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0. 排除选项A ，C ，D ，选B. 答案 B
5．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是
( )
A ．(－1,0)
B ．[－1,0)
C ．(－2,0)
D ．[－2,0)
解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图像，知满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.
答案 A 二、填空题
6.已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．
解析 当f (x )>0时，
函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图像知满足f (x )>0的x ∈(2,8]． 答案 (2,8]
7．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．
解析 当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a ≠0)．
∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2
－1，得a ＝1
4.
答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，－1≤x ≤014
(x －2)2
－1，x >0
8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．
答案 [－1，＋∞) 三、解答题
9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
3－x 2
，x ∈[－1，2]，
x －3，x ∈(2，5].
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；
(2)写出f (x )的单调递增区间；
(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解 (1)函数f (x )的图像如图所示．
(2)由图像可知，
函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图像；
(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝
⎩
⎨⎧
x 2
－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图像为：
(2)由函数的图像可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．
(3)由f (x )的图像知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．
11．已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧
x 2
＋2x －1，x ≥0，
x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下
列不等式成立的是
( )
A ．f (x 1)＋f (x 2)<0
B ．f (x 1)＋f (x 2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
解析
函数f(x)的图像如图所示：
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x1|<|x2|，
∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
答案 D
12.(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax＋b
(x＋c)2
的图像如图所示，则下列结论成立的是()
A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
解析函数定义域为{x|x≠－c}，结合图像知－c>0，∴c<0.
令x＝0，得f(0)＝b
c2，又由图像知f(0)>0，∴b>0.
令f(x)＝0，得x＝－b
a，结合图像知－
b
a>0，∴a<0.
答案 C
13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2＋x ，x ≤1，log 1
3
x ，x >1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，
则实数k 的取值范围为________．
解析 对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|.
因为f (x )的草图如图所示，
观察f (x )＝⎩⎨⎧
－x 2＋x ，x ≤1，
log 1
3x ，x >1
的图像可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝1
4，
所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥5
4. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
54，＋∞
14．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1
x ＋2的图像关于点A (0,1)对称． (1)求函数f (x )的解析式；
(2)若g (x )＝f (x )＋a
x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． 解 (1)设f (x )图像上任一点坐标为(x ，y )，
∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图像上， ∴2－y ＝－x ＋
1
－x
＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1
x .
(2)由题意g(x)＝x＋a＋1 x，
且g(x)＝x＋a＋1
x≥6，x∈(0,2]．
∵x∈(0,2]，∴a＋1≥x(6－x)，即a≥－x2＋6x－1. 令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0,2]，
q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，
∴当x∈(0,2]时，q(x)是增函数，q(x)max＝q(2)＝7. 故实数a的取值范围是[7，＋∞).。